圆锥曲线的极点与极线方程_汪民岳
圆锥曲线的极坐标方程介绍
节故所求椭圆方程为 x2 y2 1 ． 36 27
肀（II）记椭圆的右顶点为 A ，并设 AFPi i （ i 1，2，3），不失一般性，
莇假设 0 ≤1
2 3
，且 2
1
2 3
，3
1
4 3
．
螆又设点
Pi
在l
上的射影为 Qi
，因椭圆的离心率 e
c a
1 2
，从而有
蚃 FPi
PiQi
e
a2 c
来确定：
肄作射线 OM（如图二）使 XOM ，在 OM 的反向延长线上 P 点，使| OP || | ， 那么 P 点就是极坐标是（ ， ）的点 ( 0) ．
蒈
羅l
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。3
命运如同手中的掌纹，无论多曲折，终掌握在自己手中。
艿 袃O
芆M 莀X
芃 P(, ) ( <0)
命运如同手中的掌纹，无论多曲折，终掌握在自己手中。
袀(22) (本小题满分 12 分)如图，中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F（3，0），右准线的 方程为：x = 12。 羇（1）求椭圆的方程；
薃（2）在椭圆上任取三个不同点 P1 , P2 , P3 ，使 P1FP2 P2 FP3 P3 FP1 ，证明
袇这就是圆锥曲线的极坐标方程．
膃注意：对于椭圆和双曲线的一支，有 p b2 (b, c 0) ．然而对于抛物线，其中的 p c
即为抛物线标准方程 y2 2 px( p 0) 中的 p ．
虿下面我们就可以使用极坐标方程的方法很容易的解出重庆市０７年高考最后一题的 第二问．
你今天的日积月累，终会变成别人的望尘莫及。3
莃Q 肂
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2025新高考数学一轮复习极点与极线教案课件
知识拓展
定理 2：若点 P(x0，y0)是曲线外的一点，过 P(x0，y0)作曲线的两条切线， 切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程分别是 y0y＝p(x＋x0)，xa02x＋yb02y＝1， xa02x－yb02y＝1.
知识拓展
4.极点和极线的作图(几何意义) 如图所示(以椭圆图形为例)，若点P是不在圆 锥曲线上的点，且不为原点O，过点P作割线 PAB、PCD依次交圆锥曲线于A，B，C，D 四点，连接直线AD，BC交于点M，连接直 线AC，BD交于点N，则直线lMN为极点P对应 的极线.
板块五 平面解析几何
知识拓展
1.极点和极线的代数定义 已知圆锥曲线 Γ：Ax2＋2Bxy＋Cy2＋2Dx＋2Ey＋F＝0，P(x0，y0)(非中心)和直 线 l：Ax0x＋B(x0y＋y0x)＋Cy0y＋D(x0＋x)＋E(y0＋y)＋F＝0，则称点 P(x0，y0) 是直线 l 关于圆锥曲线 Γ 的极点，直线 l 称为 P 点关于曲线 Γ 的极线. 以上代数定义表明，在圆锥曲线方程中，以x0y＋2 y0x替换 xy，以 x0x 替换 x2， 以x0＋2 x替换 x(另一变量 y 也是如此)，即可得到点 P(x0，y0)关于曲线 Γ 的极线 方程.
易错提醒
解题的关键是发现点A(a，b)与直线l：ax＋by－r2＝0互为关于圆C的 极点、极线.
训练2
已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)，点 P(x0，y0)，x0＝acos α，y0＝bsin α，则直线
l：xa02x＋yb02y＝1 与椭圆的位置关系是
A.相交
√B.相切
C.相离
D.以上皆有可能
12345678
3.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的 方程为
用圆锥曲线极点与极线的性质解题
Ⅳ．过圆锥曲线特定直线（极线）上任意一点引圆锥曲线 的切线，则切点弦直线恒过定点（极点）．
上述证明可参考《高等几何》，此处不再展开，这里重在说 明其应用．
例１ 已知椭圆ｃ：每＋ｙ２—１的两焦点为，点Ｐ（如，Ｙｏ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
满足．则１ＰＦ，ｌ＋ｌＰＦ。ｊ的取值范围为——，直线等＋ｙｏｙ＝
１与椭圆Ｃ的公共点个数——．
一条直线都有一个极点．
２．标准方程下圆锥曲线极点与相应极线的方程
，２
．．２
椭圆争＋寺一１，则点ｐ（ｘ。，Ｙ ｃ，）对应的极线方程为：
掣＋掣一１．
Ⅱ。
Ｄ”
双曲线≥一ｙ６２—１，则点ｐ（ｚ。，Ｙ。）对应的极线方程为：
Ｘｏ工 口２
ｙｏＹ一１
ｂ２
１‘
抛物线Ｙ２＝２ｐｘ。则点ｐ（氙，Ｙ。，）对应的极线方程为：
Ｐ（Ｘ０，ｙｏ）．还有学生看到竿＋ｙｏｙ一１这样的结构，认为是 切线，所以判断有一个公共点．事实上，下Ｊ。ｏ ３１＂＋ｙｏＹ一１是
～２
Ｐ（ｚ。，Ｙ。）对应的极线，Ｐ（ｚ。，Ｙ。）在椭圆ｃ：等＋ｙ２—１的内 部，此直线与椭圆相离，故交点数为０个，问题能够快速解决．
而常规方法只能联立方程用判别式判断，计算比较复杂．
引用本文格式：黄彩红 用圆锥曲线极点与极线的性质解题[期刊论文]-中学生数理化（学研版） 2013(10)
点共线．由极点与极线性质知相应的三极线共点于Ｐ．
ｆ竿一ｙ，一一，１
Ｐ（Ｔ。，一１），代入极线方程得：＜
Ｉ—＇／７２：广Ｘ（Ｉ—ｙ２一一１．
两式相减得：塑１二竽堕一（ｙ。一ｙ：）． Ｌ
所以讳·蕊一Ｔ。（ｚ：一ｚ。）一２（弘一ｙ１）一ｏ．
（２）设ＡＢ方程：ｙ一１一ｋｘ，则ＡＢ对应的极点为（２ｋ， １）．把ＡＢ代人Ｃ：，一４ｙ．
高中数学4.2曲线的极坐标方程2曲线的极坐标方程的意义2圆锥曲线的极坐标方程及应用课件苏教版选修4-4
阶
段
段
一
三
第2课时 圆锥曲线的极坐标方程及应用
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．掌握极坐标系中圆锥曲线的方程． 2．会求简单的圆锥曲线的极坐标方程． 3．感受在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的完美统一．
圆锥曲线的统一极坐标方程
[基础·初探]
ρ＝1－eecpos θ，(***)
其中p为焦点到相应准线的距离，称为焦准距．
双曲线极坐标方程的应用
过双曲线
x2 4
－
y2 5
＝1的右焦点，引倾斜角为
π 3
的直线，交双曲线于A、
B两点，求AB.
【思路探究】 求出双曲线极坐标方程，得出A、B两点极坐标，进而求AB.
应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点(极点)的弦长非常方便．椭圆和抛物线 中，该弦长都表示为ρ1＋ρ2，而双曲线中，弦长的一般形式是|ρ1＋ρ2|.
当0＜e＜1时，方程ρ＝1－eecpos
表示椭圆； θ当e＝1时，方(***)为ρ＝1－cpos θ，表示抛物线；
当e＞1时，方程ρ＝1－eecpos θ表示双曲线，其中ρ∈R.
椭圆极坐标方程的应用 已知A、B为椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)上两点，OA⊥OB(O为原点)．
求证：O1A2＋O1B2为定值．
抛物线极坐标的应用
已知抛物线y2＝4x的焦点为F. (1)以F为极点，x轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程； (2)过F作直线l交抛物线于A，B两点，若AB＝16，运用抛物线的极坐标方 程，求直线l的倾斜角．
1．抛物线ρ＝1－c4os θ(ρ＞0)的准线方程为______． 【答案】 ρcos θ＝－4
圆锥曲线的极坐标方程
圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的统一定义：一动点P 到一定点O 的距离与到一定直线L 的距离之比为一定值常数e ，则点P 的轨迹为圆锥曲线。
今以一定点O 为极点，使极轴垂直于定点的直线L ，交点为H ，L PD ⊥.设p HO =，又设),(θρP 为轨迹上任意一点，即θρcos +=HO DP ，从而θρρcos +==p DPOP e ，即θρcos 1e ep -=椭圆（双曲线）的焦参数cb p 2=（极和极线的距离）椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（如右图）其中02>=cb p 是定点F 到定直线的距离， 当10<<e 时，方程表示椭圆；当1>e 时，方程表示双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线右支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。
当1=e 时，方程表示开口向右的抛物线。
引论:（1）若θρcos 1e ep+=当10<<e 时，方程表示极点在右焦点上的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在左焦点的双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线左支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。
当1=e 时，方程表示开口向左的抛物线。
（2）若θρsin 1e ep-=10<<e 时，方程表示极点在下焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在上焦点上的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向上的抛物线。
（3）1sin ep e ρθ=+当10<<e 时，方程表示极点在上焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在下焦点的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向下的抛物线。
整体对比：θρcos 1e ep -=θρcos 1e ep +=θρsin 1e ep-=θρsin 1e ep +=例题：一、二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程θρcos 3510-=表示的曲线的离心率，焦距，长短轴长。
极点与极线法解高中圆锥曲线
极点与极线背景下的高考试题极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线Γ在P 点处的切线；(2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)；(3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹.定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，交l 于Q ，则PA PBAQ BQ= ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线 Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线.推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭 点为点Q ，则有211PQ PA PB =+ ②；反之，若有②成立， 则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有11AQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQ PA PB PA PB PA PB --=⇒=⇒-=-11()2PQ PA PB ⇒⋅+= 211PQ PA PB⇒=+.特别地，我们还有推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则PR PR OP OR OP ORRQ R Q OR OQ OR OQ '-+=⇒='-+，化简图1图2即可得2OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出PR PR RQ R Q'='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条 对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调 和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠.证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠；若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP ''的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠.定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线. 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b+=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b -=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. (4)如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b-=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2p F 时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题图4 R【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．(1)设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；(2)设12123x x ==，，求点T 的坐标；(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ，连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据 极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ， 又点T 对应的极线方程为9195x m y⋅⋅+=，即 15m yx ⋅+=，此直线恒过x 轴上的定点K (1,0)， 从而直线MN 也恒过定点K (1,0). 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ，且左焦点为1(F .(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明点Q分析与解：(1)易求得答案22142x y +=. (2)由条件可有PA PBAQ BQ=，说明点,P Q 关于 圆锥曲线C 调和共轭.根据定理2，点Q 的轨迹就是点P 对应的极线，即41142x y ⋅⋅+=，化简得220x y +-=. 故点Q 总在定直线220x y +-=上.【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆22:12416x y C +=，直线:1128x y l +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.分析与解：由条件知2OR OP OQ =⋅可知点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭，而点Q 可看作是点P 的极线与直线OP 的交点.设(12,88)P t t -，则与P 对应的极线方程为12(88)12416t x t y⋅-⋅+=，化简得 (1)2tx t y +-= ③图5,)m图6x又直线OP 的方程为8812ty x t-=，化简得 223ty x t-=④ 解由③④联立方程组得22654244542t x t t tx t t ⎧=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪-+⎩，消去t 得222346x y x y +=+，可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0)，故点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，，且长轴平行于x 轴的椭圆，但需去掉坐标原点.【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线24x y = 的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=(0)λ>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P . (1)证明FP AB ⋅为定值；(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式， 并求S 的最小值.分析与解：(1)显然，点P 的极线为AB ，故可设点0(,1)P x -，再设1122(,),(,)A x y B x y ，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，将1y =-代入后面两个极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=. (2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以212(12ABP S AB FP k ∆==+. 显然，当0k =时，S 取最小值4. 【例5】(2005江西卷理22)设抛物线2:C y x = 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别相切于,A B 两点. (1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠.分析与解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ， 与002y y x x +=对比可知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应的极线AB 必恒过点1(,2)2.图8图9设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k P -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为122212223322422222333k k x x k k x k k k y y k k k y ⎧+++⎪===⎪⎪⎨⎪++--++--+⎪===⎪⎩，消去k 即得 21(42)3y x x =-+.(2)设221122(,),(,)A x x B x x ，由(1)知1212,22k x x k x x +==-，又1(0,)4F ，由(1)知(,2)22k k P -，即1212(,)2x x P x x +，所以2111(,)4FA x x =-，12121(,)24x x FP x x +=-，2221(,)4FB x x =-.221211************111111()()()()244444cos 11()()4x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x FP x x ++--+++⋅∠====⋅++-.同理1214cos x x FP FB PFB FP FB FP+⋅∠==⋅. 所以有PFA PFB ∠=∠.。
2019-2020人教A版高中数学选修4-4课件第二讲二圆锥曲线的参数方程优质课件
知能演练轻松闯关
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OA、OB.
(1)求线段AB中点M的轨迹方程;
(2)分别以弦OA、OB为直径画圆,求两圆另一交点H的轨迹.
【解】 (1)设点 A(2pt21,2pt1),B(2pt22,2pt2),M(x,y), 则 x＝p(t21＋t22),① y＝p(t1＋t2),y2＝p2(t21＋t22＋2t1t2).② 又 OA⊥OB,且 kOA＝t11,kOB＝t12, 则t11·t12＝－1,t1·t2＝－1.③
所以,中点 M 的轨迹方程是py22＝xp－2,
即 y2＝p(x－2p)(p>0).
题型四 应用参数求曲线的轨迹方程
例4 设抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l,焦点为F,顶点为
O,P为抛物线上任一点,PQ⊥l于Q,求QF与OP的交点M的轨
迹方程. 【解】 设 P 点的坐标为(2pt2,2pt),当 t≠0 时,直线 OP 的方 程为 y＝1t x,QF 的方程为 y＝－2t(x－p2),它们的交点 M(x,y)
x＝asec θ _y_＝__b_t_a_n_θ____(θ
为参数,0≤θ＜2π,_θ_≠__π2_,3_2π______,a>0,b>0).
4.抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程 x＝2pt2
__y_＝__2_p_t ____(p>0,t 为参数,t∈R),
其中参数 t 可以视为该抛物线 y2＝2px(p>0)上任一点 P 与 抛物线顶点 O 所连直线 OP 的斜率的倒数,即对抛物线上任 一点 P(x,y),都有 t＝xy.
则
d1·d2＝|absec
φ＋abtan a2＋b2
2019版数学人教A版选修4-4课件：2.2 圆锥曲线的参数方程 .pdf
������ ������
= =
2������������ 2 , 2������������
(������为参数).
(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线
的斜率的倒数.
【做一做3】 抛物线y2=14x的参数方程是( )
A.
������ ������
= =
14������, 14������2
(������是参数).因此,参数
φ
的几何意义是椭圆上任意一点
M 所对应的圆的半径 OA(或 OB)的旋转角(称为点 M 的离心角),而
不是 OM 的旋转角,如图所示.
-7-
二 圆锥曲线的参数方程
目标导航
3
(������为参数).
答案:
������ ������
= =
3sec������, tan������
-5-
二 圆锥曲线的参数方程
目标导航
Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
3.抛物线的参数方程
(1)抛物线 y2=2px(p>0)的参数方程为
-3-
二 圆锥曲线的参数方程
目标导航
Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
【做一做1-2】 在下面的参数方程中,表示的曲线是椭圆的为
()
A.
������ ������
= =
������cos������, ������sin������
-2-
二 圆锥曲线的参数方程
压轴题型05 圆锥曲线中的极点、极线问题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练
压轴题05圆锥曲线中的极点、极线问题“极点极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点极线是圆锥曲线的一种基本特征，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的说“极点极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向，学生掌握了极点极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，虽然高考解答题不能用相关结论，但是我们可以将它作为辅助手段，快速的找到正确答案，然后再用初等方法写过程解题。
也就是说只有熟练“二级结论”才能明确运算方向、提高运算效率.○热○点○题○型1椭圆中的极点与极线问题○热○点○题○型2双曲线中的极点与极线问题○热○点○题○型3抛物线中的极点与极线问题极点极线的定义4.极点极线的配极性质①点P关于二次曲线ϕ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于二次曲线ϕ的极线q 经过点P ．②直线p 关于二次曲线ϕ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于二次曲线ϕ的极点Q 在直线p 上．①②说白了，就是点P 和点Q 是二次曲线的一组调和共轭点．1.若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．解利用替换法则，易得直线AB 为：112x y +=，故1c =，2b =，椭圆方程是22154x y +=2.如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC 、BD ，设内层椭圆方程为()222210x y ab a b +=>>，若直线AC 与BD 的斜率之积为14-，则椭圆的离心率为()．A ．12B ．22C ．D ．34解(1)法一选C ；不妨特殊化，设切线BD 关于y 轴的对称切线为BE ，令切线AC 和BE 恰好重合为切线AB ，则222114b e a ==-，即32e =．法二设11(,)C x y ，22(,)D x y ，外层椭圆为()22222211x y m m a m b+=>，则(,0)A ma，(0,)B mb ．椭圆在点C 处的切线为：11221xx yy a b +=，代入(,0)A ma ，可得1ax m=，1y =；椭圆在点D 处的切线为：22221xx yy a b +=，代入(0,)B mb ，可得2bym=，2x =-因此，2244221212224421212114ACBD b x b x x x b b b k k e a y a y a y y a a ⎛⎫=--===-=-=-⎪⎝⎭ ，即32e =．法三设直线AC 为：()y k x ma =-，利用等效判别式：222222a k b k m a +=，解得AC k =；同理可得：BDk a=，因此，2214AC BDbk ka=-=-．3.如图，已知A、B分别为椭圆()222210x y a ba b+=>>的右顶点和上顶点，直线l∥AB，l与x轴、y轴分别交于C、D两点，直线CE、DF为椭圆的切线，则CE与DF的斜率之积CE DFk k等于()．A．22ab±B．222a ba-±C．22ba±D．222a bb-±ABCDyxOABCDyEFO xl解选C；不妨在第一象限，令CD与该椭圆相切于点H，则切点F与H关于y轴对称，切点E与H关于x轴对称，此时有22CE DFbk ka=．4.如图，O是坐标原点，过(,0)E p的直线分别交抛物线22(0)y px p=>于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线x p=相交于点N．则22ME NE-=()．A．22p B．2p C．4p D．pyxO EN BAM答案选A．法一设211,2yA yp⎛⎫⎪⎝⎭，222,2yB yp⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AB的方程为：1212()2y y y px y y+=+，代入点E可得：2122y y p=-．直线OB的方程为：22py xy=，令1y y=，可得x p=-，即点M的坐标为1(,)p y-．设3(,)N p y，则22222134ME NE p y y-=+-，只需要再得到一个关于1y、3y的式子即可．直线MN的两点式方程为：1313()2()0y y x py p y y-+-+=，与抛物线方程联立：2221313()42()0y y y p y p y y-+-+=，令2221313(4)4()2()0p y y p y y ∆=+-+= ，可得222132y y p -=-，故2222ME NE p -=．法二利用到点00(,)M x y 对抛物线22y px =的双切线方程为：[]2220000(2)(2)()y px y px yy p x x --=-+，代入点1(,)M p y -、3(,)N p y ，可得：[]222223131(2)(2)()y p y p y y p p p -+=--，解得222132y y p -=-．5.设a 、b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ，2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为()．A ．0B ．1C ．2D ．3解易知直线AB 的方程为cos sin 0y x θθ+=，又双曲线的渐近线为cos sin x y θθ=±，则直线AB 为双曲线的渐近线，故选A ．6.过椭圆22194x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，点A 、B 为切点．过A 、B的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，则△POQ 的面积的最小值为()．A ．12B ．23C ．1D ．43解(1)选B ；设00(,)M x y ，则直线l 的方程为：002xx yy +=，易得02,0P x ⎛⎫⎪⎝⎭，020,Q y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．又2200001943x y x y +=≥，即003x y ≤，故00223POQ S x y =≥△．7.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，圆222C x y a +=：，过双曲线的任意一点000(,)(0)P x y y ≠作圆C 的两条切线，其切点分别为A 、B ．若直线AB 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，则2222b a OMON-=．A ．22b aB ．22b a-C ．22a b D ．22c a 解选A ；直线AB 为：200xx yy a +=，令0y =，20a x x =，20a OM x =；令0x =，20a y y =，20a ON y =，因此，22222220022442b x a y b a b a a aOMON-=-=．8.圆221x y +=的切线与椭圆22143x y +=交于两点A 、B ，分别以A 、B 为切点的椭圆22143x y +=的切线交于点P ，则点P 的轨迹方程为．解设00(,)P x y ，则极点P 对应的极线（切点弦）AB 的方程为：00143xx yy+=，又直线AB1=，即22001169x y +=，即点P 的轨迹方程为221169x y +=．9.设1A 、2A 、3A 、4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312()A A A A λλ=∈R，1412()A A A A μμ=∈R ，且112λμ+=,则称3A 、4A 调和分割1A 、2A ，已知平面上的点C 、D 调和分割A 、B ，则下面说法正确的是()．A ．C 可能是线段AB 的中点B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上解对调和点列背景熟悉的话，此题是送分题，显然选D ．10.过点(1,1)M -的动直线l 交圆2220C x y x +-=：于点A 、B ，O 为坐标原点，若在线段AB 上的点Q 满足112MA MB MQ+=，则min OQ =．答案55；Q 点的轨迹就是极点M 对应的极线！。
极点极线及高中圆锥曲线必备公式
声明: 本内容来自网络,感谢∙百度贴吧mpc_killer吧的《[选][圆曲]--中点切线王牌杀手--极点极线草稿》∙《漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法》∙百度贴吧高中数学吧的《圆锥曲线基础必备》等优秀内容.极点极线定义 已知圆锥曲线С: A x+B y+C x +D y +E=0与一点P(x 0,y 0) [其中A+B ≠0,点．P ．不在曲线中心和渐近线上．．．．．．．．．．．].则称点P 和直线L: A ∙x 0x +B ∙y 0y +C ∙x 0+x 2+D ∙y 0+y 2+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线.即在圆锥曲线方程中,以x 0x 替换x，以x 0+x 2替换x ，以y 0y 替换y,以y 0+y 2替换y 则可得到极点P(x 0,y 0)的极线方程L.特别地：(1)对于圆(x-a)+(y-b)=r ,与点P(x 0,y 0)对应的极线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r ；(2)对于椭圆x a +y b=1，与点P(x 0,y 0)对应的极线方程为x 0x a +y 0yb=1 ；(3)对于双曲线xa-yb=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为x0xa-y0yb=1；(4)对于抛物线y=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x)；性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部．．．．．．．．．．．]:①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线；②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线；③若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=(x0-a)+(y0-b)；若是椭圆,则此时中点弦的方程为x0xa +y0yb=x0a+y0b；若是双曲线,则此时中点弦的方程为x0xa-y0yb=x0a-y0b；若是抛物线,则此时中点弦的方程为y0y-p(x0+x)=y0-2px0)；④当P(x 0,y 0)为圆锥曲线的焦点F(c,0)时，极线恰为该圆锥曲线的准线．．；⑤极点极线的对偶性:Ⅰ.已知点P 和直线L 是关于曲线С的一对极点和极线,则L 上任一点Pn 对应的极线Ln 必过点P,反之亦然,任意过点P 的直线Ln 对应的极点Pn 必在直线L 上[图．中点．．P ．n ．与．直线．．Ln ．．是一对极点极线．．．．．．．]；Ⅱ.过点P 作曲线C 的两条割线L 1、L 2，L 1交曲线C 于AB ，L 2交曲线C 于MN ，则直线AM 、BN 的交点T ，直线AN 、BM 的交点S 必都落在点P 关于曲线C 的极线L 上 [图中点．．．P ．与．直线．．ST ．．是一对极点极线；点．．．．．．．．．T ．与直线．．．SP ．．是一对极点极线．．．．．．．] ；Ⅲ. 点P 是曲线C 的极点，它对应的极线为L ，则有: 1)若C 为椭圆或双曲线，O 是C 的中心，直线OP 交C 与R ，交L 于Q ，则OP ∙OQ=OR 即OP OR = OR OQ 椭圆如图双曲线如图2) 若曲线为抛物线，过点P 作对称轴的平行线交C 于R ，交L 于Q ，则PR=QR 如图中学数学中极点与极线知识的现状与应用虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破而已.教材内改名换姓,“视”而不“见”.由④可知椭圆xa+yb=1的焦点的极线方程为: x=ac.焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容,它揭示了圆锥曲线的统一定义,更是高考的必考知识点.正是因为它太常见了,反而往往使我们“视”而不“见”.圆锥曲线基础必备极点极线例题。
附录24-圆锥曲线的极坐标方程PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
整顿得圆锥曲线统一旳极坐标方程为： ep
1 e cos
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴旳极坐标系：
建立如图所示旳极坐标系， 则圆锥曲线有统一旳极坐标方程
A F
ep 1 e cos
B
x
b2 注1：椭圆(双曲线)旳焦参数 p
c
注2：若AB为焦点弦，则
|
AB
|
1
2ep e2 cos2
;
1 1 2 | AF | | BF | ep
M
2 4
则椭圆旳极坐标方程为
1
3 2 2 cos
α
F1
N
F2 X
故 | MN || F1M | | F2 N | 1 2
1
1
3 2 2 cos 3 2 2 cos
6
9 8cos2
2
得 cos 3 又因 0
2
.故
6
或
5
6
(2)(2023年新课标Ⅱ)设F为抛物线
C : y2 =3x 旳焦点，
因
故 AF 3 FB
3p 3 3p
2 3 cos 2 3 cos
cos 3
3
tan 2
(4)(2023年重庆)过双曲线
x 2 y 2 4旳右焦点F作倾斜角
为1050旳直线，交双曲线于PQ两点，则|FP|·|FQ|=_____
法1：直角坐标系一般方程+设而不求 P 法2：直角坐标系参数方程+设而不求 法3：极坐标方程 由题意得,离心率为 e 2 , 焦参数为 p 2
2 2
22
2 2 22
22
2
22
22
22 22
2
2 222 222
数学复习：极点极线
通俗来讲:对于圆锥曲线Γ外或内一点K 来说,其对应的极线即为:过点K 作Γ的两条割线所交的四个点两两相连再延长后,形成的除K 以外的两个交点所在的直线. 注1：若点K 在圆锥曲线Γ上,则在点K 处的切线即为极线注2：若FH//EG ,即交不到点M ,则点K 对应的极线过点N 且与FH 或EG 平行. 第二几何定义：(i)P (x 0,y 0)在圆锥曲线上,极线即为点P 处的切线；(ii)P (x 0,y 0)在圆锥曲线外,极线即为过点P 处的两条切线的切点弦；(iii)点P (x 0,y 0)在圆锥曲线Γ内,其极线l 是曲线Γ过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹 代数定义：已知圆锥曲线C:Ax 2+Cy 2+Dx +Ey +F =0，一点P (x 0,y 0)， 直线l:Ax 0x +Cy 0y +Dx 0+x 2+Ey 0+y 2+F =0，则l 为P 关于C 的极线，P 为l 关于C 的极点．P (x 0,y 0)是平面上任一点,点P (x 0,y 0)对应的极线为数学复习：极点极线第一几何定义：如图过圆锥曲线Γ外一点上P 作两条割线依次交圆锥曲线Γ于E,F,G,H 四点,且EH ∩FG =N ,延长FH,EG 交于M ,则直线MN 即为点P 对应的极线,同理,极点M 对应的极线为NP ,极点N 对应的极线为PM,ΔMNP 称为自极三点形.l(1)椭圆x2a 2+y 2b2=1,极线l:x 0x a 2+y 0y b 2=1(2)双曲线:x 2a 2−y 2b2=1,极线l:x 0x a 2−y 0y b 2=1(3)抛物线:y 2=2px ,极线l:y 0y =p (x 0+x )特殊的极点与极线(1)椭圆:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b),点M(m,0)在椭圆中对应的极线方程为x =a 2m(2)双曲线:x 2a 2−y 2b 2=1,点M(m,0)对应的极线方程为x =a 2m(3)抛物线:y 2=2px ,点M(m,0)对应的极线方程为x =−m更特别地,圆锥曲线的焦点与其相应的准线是该圆锥曲线的一对极点与极线 (1)对于椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b),焦点F(±c,0)对应的极线方程为x =±a 2c (2)对于双曲线x 2a 2−y 2b 2=1,焦点F(±c,0)对应的极线方程为x =±a 2c(3)对于抛物线y 2=2px ,焦点F (p 2,0)对应的极线方程为x =−p 2核心性质1：配极原理给定平面内一圆锥曲线 C ，若点 P 关于 C 的极线过点 Q ，则点 Q 关于 C 的极线也过点 P ，如所示 .配极原则的一个等价命题：已知一圆锥曲线C，如果平面内有一直线d，直线d上有一动点P，P点关于C的极线为l，如图所示 .核心性质2：调和点列给定圆锥曲线T,点P(不在T上)对应的极线为lp ,过点P任意作一条直线1交lp于点Q,交r于A,B,则点P,A,Q,B为调和点列.调和点列定义已知点P,A,Q,B为直线上依次四点,且满足|AP||PB|=|AQ||QB|(等价于2|PQ|=1 |PA|+1|PB|或者2|QP|=1|QA|−1|QB|), 则称P,A,Q,B为调和点列。
专题7圆锥曲线之极点与极线微点1圆锥曲线之极点与极线
专题7 圆锥曲线之极点与极线 微点1 圆锥曲线之极点与极线专题7 圆锥曲线之极点与极线微点1 圆锥曲线之极点与极线【微点综述】“极点极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点极线是圆锥曲线的一种基本特征，蕴含了很多圆锥曲线的重要性质，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的说“极点极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向．学生掌握了极点极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，虽然高考解答题不能用相关结论，但是我们可以将它作为辅助手段，快速的找到正确答案，然后再用初等方法写过程解题．一、极点极线发展简史极点与极线 ，是法国数学家吉拉德·笛沙格(Girard Desargues ，1591-1661)于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述．吉拉德·笛沙格，1591年2月21日生于法国里昂，1661年10月卒于里昂，法国数学家和工程师，别名S ．G ．D ．L ．（是他署名Sieur Girard Desargues Lyonnois 的缩写），射影几何的创始人之一，他奠定了射影几何的基础．以他命名的事物有笛沙格定理、笛沙格图、笛沙格平面，1964年，国际天文学联合会以他的名字命名一个月球环形山．他建立了统一的二次曲线理论，是从笛沙格定理三角形的角度，也是笛沙格定理的退化（参见南师大周兴和著《高等几何》第四章P 98，科学出版社，2003）．二、引例先看一个引例：引例．对于一已知点()00,M x y 和一已知圆C ：222x y r +=，直线l 的方程200x x y y r+=（*）的几何意义有如下3种情形：（1）当点()00,M x y 在圆C 上时，方程(*)表示为经过点M 的圆的切线，切点为()00,M x y ；（2）当点()00,M x y 在圆C 的外部时，方程(*)表示为过点M 的两条切线的切点弦所在的直线．点()00,M x y 在切点弦的中垂线上．（3）当点()00,M x y 在圆C 的内部，且M 不为圆心时，方程(*)表示为过点M 的对应点N （即以点M 为中点的弦端点的两条切线的交点N ），且与以M 为中点的弦平行的直线．202200r y x y ⎫⎪+⎭若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线．由图4同理可知，PM为点N对应的极线，称为自极三点形．设直线MN交圆锥曲线于点A，B两点，则【定理1】（1）当P在圆锥曲线Γ上时，则点1PB证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则PR PR RQ R '=可得2OR OP OQ =⋅．反之由此式可推出PR PR RQ R Q =''，即点【推论4】如图7，A ，B 圆锥曲线Γ的一条对称轴关于Γ调和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于P 【推论6】如图9①～③，已知点Q 、直线l 和圆锥曲线,M N ，在直线l 上任取一点P ，连结PQ ，分别过点Q 与直线l 是Γ的一对极点与极线，则2MPN S ∆=【定理3】（配极原则）点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点证明：点P 的坐标用0标记，点Q 的坐标用1标记，点P 的极线为，图17注意其中的,B D 两点，我们固定,,,A C E F 点，先让B 与C 重合，D 与F 重合，这样，,BC DF 直线就成了椭圆的切线．我们得到一个圆锥曲线的内接四边形，这相当于帕斯卡定理的极限情形，我们对这个边形”用帕斯卡定理，就可以知道对边交点,X Z 与,C F 对应切线的交点在L 上．值得注意的是CF 是切点弦，说明L 是切点弦CF 上某个点的极线．边形”使用帕斯卡定理，由于前后2次使用帕斯卡定理的对象其实本质上是一个六边形，因此L不会变化，那么A，E处的切线交点也在L上，同理AE是切点弦，说明L是切点弦AE上某个点的极线．两个点的极线都是L，说明这两个点必须是同一个点，也就是AE，CF的交点，也就是四边形对角线的交点．由此我们得到一个重要的结论：对于圆锥曲线内部任意一个定点P，对于任何内接四边形，只要这个四边形的对角线交点是这个定点，那么其对边所在直线的交点，对顶点处的切线的交点，都在这个定点的极线上．这是后面论述几何作图的重要基础．图18四、极点与极线的几何作图1．几何作图：求圆锥曲线内一点的极线图19利用前面的分析就非常简单了，过A任意作两条直线交圆锥曲线于四点，这就构成了一个以A为对角线交点的四边形，两组对边所在直线的交点所构成的直线就是准线．这里还有一些结论，我们让其中一组对边所在直线的交点在极线上运动起来，那么这个四边形就是变化的，但是对角线的交点始终是A．如果过A点作极线的平行线，那么就是中点弦了，这里还有一个蝴蝶定理，可以参考“微专题：蝴蝶定理”．2．几何作图：求圆锥曲线外一点的极线，进而求出切线设圆锥曲线外一定点是A，过任意作三条直线交圆锥曲线于六个点，将相邻的四个点交叉相连，得到B，C两点．对于B，B相当于是一个四边形的对角线交点，而A是对边所在直线的交点，根据之前的结论，B极线过A．再根据性质三，A的极线也过B．同理，A极线也过C，那么根据两点确定一条直线，直线BC就是A的极线．直线BC与圆锥曲线交于D和另外一个点（图中没有标出），连接AD，就是切线．对于另外一个点也是如此．这不失为一种画切线的好方法．3．几何作图：求圆锥曲线外一点的极线，也就是切线曲线上有一定点A，为了求出切线，可以想办法构造图形，方便利用前面的结论．任意做一个以A为顶点的四边形，对角线交点为C，利用前面的结论先作出C的极线．在AC上任取一点B，作出B的极线与C的极线交于Q．由于B的极线，C的极线过Q，那么Q的极线过BC，事实上BC就是Q的极线．那么A就是切点弦的一个端点了，连AQ，即为切线．B在AC上运动时，极线会绕Q点转动，这是很明显的结论，不仅仅对极线是这样．证明略．C D重合．那么这两条我们现在想象，如果让这两条直线旋转起来，使得,A B重合，,F（1）当32CD=时，求直线l的方程；（1）若点P 的坐标为()2,2，求椭圆的方程；两点，且BP mBC = ，直线,OA OB （2019高考全国Ⅲ卷21）12．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线（1）设动点P满足224PF PB-=，求点（2）设12x=，21 3x=，求点T的坐标；（1）求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由参考答案：2）()11,A x y ，()22,B x y ，00(,)P x y ，由于点P 在圆M 上，,PA PB 是C 的两条切线，是切点，所以P 与切点弦所在直线AB ：00220x x y y --=互为极点与极线，联立02220,,4y y x --=可得200240x x x y -+=，由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，()()()222222001212000001414164422x x x x x x x y xx y ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-=+⋅-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点AB 的距离为200244x y d x -=+，∴()()()2300222200002041114442224x y AB d xx y x y x -=⋅=+-⋅=-+，()()22200000041441215621y y y y y y -=-+-=---=-++，由已知可得053y -≤≤-[方法四]【结合弦长公式和向量的运算求面积】由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=，于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+2222||1||1()42(1)AB t x x t x x x x t =+-=++-=+.由224PF PB -=，得()(222x y x ⎡-+-⎣化简得92x =，故所求点P 的轨迹为直线92x =．1又121121,QA QB y y k k k x x x '--==-=-所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线所以12||||||||||||||||x QA QA PA QB QB x PB ==='.故存在与P 不同的定点(0,2)Q ，使得【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、。
圆锥曲线关于极点极线的一个统一结论
= | QP |+ | QB |, 代入定理 ( 1) 中的式子整理即得要 证的式子. 同理可证 ( 2 ) 中的式子成立. 推论 2 设 P ( x 0, y 0 ) 是圆锥曲线
2 2 2
椭圆
x 2 a
2
+
y x y 双曲线 2 - 2 = 1 ( a > 0 , 2 = 1( a > b > 0 ) 、 b a b
的极点与极线, 有下面统一的结论. 2 x 椭圆 2 定理 设 P ( x 0, y 0 ) 是圆锥曲线 a 2 2 2 y x y + 2 = 1 ( a > b > 0) 、 双曲线 2 - 2 = 1 ( a > 0 , b a b ; 0)
2
的一个极点, 它 于点
2
b > 0 )、 抛物线 y = 2px ( p > 0)
的一个极点 , 它
对应的极线为 L. ( 1 ) 若 为椭圆或双曲线, OP (O 为中心 ) 或 OP 的 延 长 线 交 于 R, 交 L 于 点 Q, 则 | OP | | OQ | = | OR | ; ( 2 ) 若 为抛物线, l是 在顶点 O 处的切线 ( 即 y 轴 ), 过点 P 作 l的垂线, 交 L 于 Q, 交 于 R, 则 | PR | = | QR |. 证明较易 , 从略.
参考文献 1 陈光捷. 圆锥曲线的一个性质 [ J] . 数学通报, 1999 ( 6 ). (收稿日期 : 2010 06 10 )
2
2 2 2
! 的方程整理得 + a s in
2 2 0 2 2 2
)t
2 2
+
2
2 ( b x 0 cos
极点与极线法解高中圆锥曲线
极点与极线法解高中圆锥曲线极点与极线在高等几何中是重要的概念，虽然不是《高中数学课程标准》规定的研究内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所涉及，自然也会成为高考试题的命题背景。
从几何角度来看，极点与极线的定义如下：设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E、F、G、H，连接EH、FG交于N，连接EG、FH交于M，则直线MN为点P对应的极线。
若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线。
由图1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线。
因此，将MNP称为自极三点形。
设直线MN交圆锥曲线于点A、B两点，则PA、PB 恰为圆锥曲线的两条切线。
定理1如图1，当P在圆锥曲线上时，则点P的极线是曲线在P点处的切线；当P在圆锥曲线外时，过点P作圆锥曲线的两条切线，设其切点分别为A、B，则点P的极线是直线AB（即切点弦所在的直线）；当P在圆锥曲线内时，过点P任作一割线交圆锥曲线于A、B，设圆锥曲线在A、B处的切线交于点Q，则点P的极线是动点Q的轨迹。
定理2如图2，设点P关于圆锥曲线的极线为l，过点P任作一割线交圆锥曲线于A、B，交l于Q，则①成立；反之，若有①成立，则称点P、Q调和分割线段AB，或称点P与Q关于圆锥曲线的调和共轭，或称点P（或点Q）关于圆锥曲线的调和共轭点为点Q（或点P）。
点P关于圆锥曲线的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线。
推论1如图2，设点P关于圆锥曲线的调和共轭点为点Q，则有②成立；反之，若有②成立，则点P与Q关于圆锥曲线调和共轭。
可以证明，①与②是等价的。
事实上，由①可得到②，由②可得到①。
特别地，我们还有推论2如图3，设点P关于有心圆锥曲线（其中心为O）的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线的中心，则有OR²=OP×OQ，反之若有此式成立，则点P与Q关于圆锥曲线调和共轭。
极点极线及高中圆锥曲线必备公式
声明: 本内容来自网络,感谢∙百度贴吧mpc_killer吧的《[选][圆曲]--中点切线王牌杀手--极点极线草稿》∙《漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法》∙百度贴吧高中数学吧的《圆锥曲线基础必备》等优秀内容.极点极线定义 已知圆锥曲线С: A x+B y+C x +D y +E=0与一点P(x 0,y 0) [其中A+B ≠0,点．P ．不在曲线中心和渐近线上．．．．．．．．．．．].则称点P 和直线L: A ∙x 0x +B ∙y 0y +C ∙x 0+x 2+D ∙y 0+y 2+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线.即在圆锥曲线方程中,以x 0x 替换x，以x 0+x 2替换x ，以y 0y 替换y,以y 0+y 2替换y 则可得到极点P(x 0,y 0)的极线方程L.特别地：(1)对于圆(x-a)+(y-b)=r ,与点P(x 0,y 0)对应的极线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r ；(2)对于椭圆x a +y b=1，与点P(x 0,y 0)对应的极线方程为x 0x a +y 0yb=1 ；(3)对于双曲线xa-yb=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为x0xa-y0yb=1；(4)对于抛物线y=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x)；性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部．．．．．．．．．．．]:①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线；②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线；③若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=(x0-a)+(y0-b)；若是椭圆,则此时中点弦的方程为x0xa +y0yb=x0a+y0b；若是双曲线,则此时中点弦的方程为x0xa-y0yb=x0a-y0b；若是抛物线,则此时中点弦的方程为y0y-p(x0+x)=y0-2px0)；④当P(x 0,y 0)为圆锥曲线的焦点F(c,0)时，极线恰为该圆锥曲线的准线．．；⑤极点极线的对偶性:Ⅰ.已知点P 和直线L 是关于曲线С的一对极点和极线,则L 上任一点Pn 对应的极线Ln 必过点P,反之亦然,任意过点P 的直线Ln 对应的极点Pn 必在直线L 上[图．中点．．P ．n ．与．直线．．Ln ．．是一对极点极线．．．．．．．]；Ⅱ.过点P 作曲线C 的两条割线L 1、L 2，L 1交曲线C 于AB ，L 2交曲线C 于MN ，则直线AM 、BN 的交点T ，直线AN 、BM 的交点S 必都落在点P 关于曲线C 的极线L 上 [图中点．．．P ．与．直线．．ST ．．是一对极点极线；点．．．．．．．．．T ．与直线．．．SP ．．是一对极点极线．．．．．．．] ；Ⅲ. 点P 是曲线C 的极点，它对应的极线为L ，则有: 1)若C 为椭圆或双曲线，O 是C 的中心，直线OP 交C 与R ，交L 于Q ，则OP ∙OQ=OR 即OP OR = OR OQ 椭圆如图双曲线如图2) 若曲线为抛物线，过点P 作对称轴的平行线交C 于R ，交L 于Q ，则PR=QR 如图中学数学中极点与极线知识的现状与应用虽然中学数学中没有提到极点极线,但事实上,它的身影随处可见,只是没有点破而已.教材内改名换姓,“视”而不“见”.由④可知椭圆xa+yb=1的焦点的极线方程为: x=ac.焦点与准线是圆锥曲线一章中的核心内容,它揭示了圆锥曲线的统一定义,更是高考的必考知识点.正是因为它太常见了,反而往往使我们“视”而不“见”.圆锥曲线基础必备极点极线例题。
第07讲圆锥曲线论之极点极线速解（1）
第07讲 圆锥曲线论之极点极线速解【结论3圆锥曲线的以弦的端点为切点的两条切线的交点的轨迹方程】例1. （1）过点()1,2P 作曲线22:25C x y +=的一条弦，与曲线交于A ，B 两点，过A 点作曲线的切线1l ，过点B 作曲线的切线2l ，则1l 与2l 的交点轨迹方程为__________________；（2）过点()1,2M 作曲线22:184x y C +=的一条弦，与曲线交于A ，B 两点，过A 点作曲线的切线1l ，过点B 作曲线的切线2l ，则1l 与2l 的交点轨迹方程为__________________；（3）过点13,2M ⎛⎫⎪⎝⎭作曲线22:184x y C -=的一条弦，与曲线交于A ，B 两点，过A 点作曲线的切线1l ，过点B 作曲线的切线2l ，则1l 与2l 的交点轨迹方程为__________________；（4）过点(M 作曲线2:4C y x =的一条弦，与曲线交于A ，B 两点，过A 点作曲线的切线1l ，过点B 点曲线的切线2l ，则1l 与2l 的交点轨迹方程为__________________.【题型1极线过定点】例2. （2010年江苏卷）已知椭圆22195x y +=的左右顶点为A ，B ，设过点(),T t m 的直线TA ，TB 与椭圆分别交于()11,M x y ，()22,N x y ，其中0m >，10y >，20y <，（1）设动点P 满足224PF PB -=，求点P 的轨迹；（2）12x =，213x =，求点T 的坐标；（3）设9t =，求证直线MN 必过x 轴上的定点（其坐标与m 无关）．猿梦小店QQ2501241786例3. （2012年北京高考改）已知曲线C ：()()22528m x m y -+-=（m R ∈）．（1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ，N ，连接AM ，BN 交于点G ，求证：G 点纵坐标为定值；例4. 如图，已知椭圆C 的离心率e =，长轴的左右端点分别为()12,0A -，()22,0A （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1x my =+与椭圆C 交于,P Q 两点，直线1A P 与2A P 交于点S ，试问当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，证明你的结论；若不是，请说明理由；例5. （2011年四川卷理）椭圆有两顶点()1,0A -、()1,0B ,过其焦点()0,1F 的直线l 与椭圆交于C 、D两点,并与xP .直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当CD 求直线l 的方程；(2)当点P 异于A 、B 两点时,求证:OP OQ ⋅u u u r u u u r为定值.例6. 如图，椭圆22:14y C x +=短轴的左右两个端点分别为,A B ，直线:1l y kx =+与x 轴、y 轴分别交于两点,E F ，与椭圆交于两点,C D ，(1)若CE FD =u u u r u u u r，求直线l 的方程；(2)设直线AD ，CB 的斜率分别为12,k k ，若12:2:1k k=，求k 的值.例7. （2012年福建）如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆的周长为8，(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线m kx y l +=:与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4=x 相较于点Q ，试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由；例8. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是12，其左、右顶点分别为1A ，2A ，B 为短轴的端点，△12A BA 的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）2F 为椭圆C 的右焦点，若点P 是椭圆C 上异于1A ，2A 的任意一点，直线1A P ，2A P 与直线4x =分别交于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于点2F ．例9. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线()1(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点，直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．类焦点(),0t ，类准线2a x t =，以MN 为直径的圆过x 轴上定点2a t ⎛⎫ ⎪⎝⎭例10. （2011年山东文）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=.如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点()3,D m -， （1）求22m k +的最小值； （2）若2OG OD OE =⋅； （i ）求证：直线l 过定点；（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG V 的外接圆方程；若不能，请说明理由例11.已知椭圆22:143x yE+=，过点()2,1P的直线l交椭圆E于()11,M x y，()22,N x y两点，过点N作斜率为32-的直线交椭圆E与另一点Q，求证：直线MQ过定点．。
极点极线讲稿
一、极点与极线的定义定义 1（代数定义）已知圆锥曲线: Ax2Cy 22Dx2Ey F 0 ,则称点 P(x0 , y0 ) 和直线l : Ax0 x Cy 0 y D ( x x0 ) E( y y0 )F0 是圆锥曲线的一对极点和极线 .事实上，在圆锥曲线方程中，以x0 x 替换 x2，以xx替换 x （另一变量 y 也是如此），2即可得到点 P( x0 , y0 ) 的极线方程.特别地：（ 1）对于椭圆x2y21，与点 P( x0 , y0 ) 对应的极线方程为xxy0 y1；a2b2a2b2221 ，与点 P(x0 , y0 ) 对应的极线方程为xx（2）对于双曲线x2y2y0 y1；a b a2b2（3）对于抛物线y2 2 px ，与点 P( x0 , y0 ) 对应的极线方程为 y0 y p( x0x) .定义 2（几何定义）如图 1，P是不在圆锥曲线上的点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H ,连接 EH ,FG 交于点N ，连接EG , FH交于点 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线 .若 P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图 1 可知，同理PM为点 N 对应的极线， PN 为点M所对应的极线 . MNP 称为自极三点形 . 若连接 MN 交圆锥曲线于点A, B, 则 PA, PB 恰为圆锥曲线的两条切线 .二、极点与极线的基本性质、定理定理 1（1）当P在圆锥曲线上时，其极线l是曲线在P点处的切线；（2）当P在外时，其极线l是曲线从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；（3）当P在内时，其极线l是曲线过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.定理2（配极原则）（1）点P 关于圆锥曲线的极线 p 经过点 Q点Q 关于的极线q 经过点P ;（2）直线p 关于的极点P 在直线q 上直线q 关于的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.特别地：圆锥曲线的焦点与其相应的准线是该圆锥曲线的一对极点与极线.（1）对于椭圆x 2y 2 1 而言，右焦点 F (c,0) 对应的极线为c x0 y 1，即 x a 2 ，恰a 2b 2a 2b 2c为椭圆的右准线 . 对于椭圆x 2y 2 1 而言，点 M (m,0) 对应的极线方程为 x a 2 ;a 2b 2m（2）对于双曲线x 2y 2 1 而言，点 M (m,0) 对应的极线方程为 x a 2 ；a 2b 2 m（3）对于抛物线 y 22px 而言，点 M (m,0) 对应的极线方程为 xm .定理 3 下面再给出与圆锥曲线的极点和极线有关的性质 .性质 1如图，已知点 A 是椭圆x 2y 2 1(a b 0) 上任一点，极点a 2b 2P(t,0)( ta, t c, t0) ，相应的极线 x a 2 . 椭圆在点 A 处的切线与极线txa 2交于点 N ，过点 N 作直线 AP 的垂线 MN ，垂足为 M ，则直线 MN 恒 t过 x 轴上的一个定点 Q ，且点 M 的轨迹是以 PQ 为直径的圆（点 Q 除外） .性质 2 如图，已知点 A 是双曲线x 2y 2 1( a 0, b 0) 上任一点，极点a 2b 2P(t,0)a 2( ta, t c) ，相应的极线 x. 双曲线在点 A 处的切线与极线txa 2 交于点 N ，过点 N 作直线 AP 的垂线 MN ，垂足为 M ，则直线 MN 恒t过 x 轴上的一个定点 Q ，且点 M 的轨迹是以 PQ 为直径的圆（点 Q 除外） .性质 3 如图，已知点A是抛物线y2 2 px( p 0) 上任一点，极点 P(t,0)(t 0,t p) ，相应的极线为x t . 抛物线在点A处的切线与极线 x t 2交于点 N ，过点 N 作直线AP的垂线 MN ，垂足为M，则直线 MN 恒过x轴上的一个定点 Q ，且点M的轨迹是以 PQ 为直径的圆（点 Q 除外）.定理 4如图，设圆锥曲线的一个焦点为 F ，与 F 相应的准线为l .（1）若过点 F 的直线与圆锥曲线相交于 M,N两点，则在M,N两点处的切线的交点 Q 在准线l上，且 FQ MN ;（2）若过准线 l 上一点Q作圆锥曲线的两条切线，切点分别为M,N ，则直线MN过焦点F，且 FQ MN ；（3）若过焦点 F 的直线与圆锥曲线相交于 M,N 两点，过F作FQ MN 交准线l于 Q ，则连线 QM ,QN 是圆锥曲线的两条切线 .定理 5 设椭圆x2y21(a b 0)的一个焦点为 F ，相应的准线为l，过焦点 F 的直线交a2b2椭圆于 A, B 两点，C是椭圆上任意一点.直线 CA, CB 交准线l于 M , N 两点，则以MN为直径的圆必过 F .三、历年高考题【例 1】（ 2011 年四川高考理数21 题第（ 2）问）如图，椭圆有两顶点A( 1,0) 、B(1,0) ，过其焦点 F (0,1) 的直线l与椭圆交于 C, D 两点，并与 x 轴交于点P .直线AC 与直线BD交于点Q . 当点P异于A, B两点时，求证： OP OQ 为定值 .【例2】（2010 年高考全国卷I 理数21 题第（1）问）已知抛物线 C : y 24x的焦点为 F ，过点K ( 1,0)的直线l 与 C 相交于A, B两点，点 A 关于x 轴的对称点为 D . 证明：点 F 在直线 BD 上.【例 3】（ 2010 江苏卷文理 18）在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知椭圆x 2y 2设过点 T (t , m) 的直线 TA, TB 与此91 的左右顶点为 A, B ，右焦点为 F .5椭圆分别交于点 M ( x , y ), N ( x , y ) ，其中 m 0, y0, y20 . 设t 9 ，求证11221直线 MN 必过 x 轴上一定点（其坐标与 m 无关） .【例 4】（ 2012 年北京卷 19）已知曲线 C : (5 m)x 2(m 2) y 28(mR)（ 1）若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，求 m 的取值范围 .（ 2）设 m 4 ，曲线 C 与 y 轴交点为 A, B （点 A 位于点 B 的上方），直线 y kx 4与曲线 C 交于不同的两点 M , N ，直线 y1 与直线 BM 交于点 G . 求证： A,G,N 三点共线 .【例 5】（ 2012 年福建卷理 19）如图，椭圆 E :x 2y 2 1(a b 0) 的左焦点为 F 1 ，右焦点为a 2b 2F 2 ，离心率 e1，过 F 1 的直线交椭圆于 A, B 两点，且 ABF 2 的周长为 8.2（ 1）求椭圆 E 的方程 . （2）设动直线 l : y kx m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ，且与直线 x4 相交于点 Q . 试探究：在坐标平面内是否存在定点 M ，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 .【例 6】（2006 年全国卷Ⅱ理 21）已知抛物线 x 2 4 y 的焦点为 F ， A, B 是抛物线上的两动点，且 AFFB (0) ，过 A, B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P .（ 1）证明 FP AB 为定值；（ 2）设 ABP 的面积为 S ，写出 S f ( ) 的表达式，并求 S 的最小值 .2【例 7】（2014 年江西卷理 20）如图，已知双曲线 C :x2 y 21(a 0) 的右焦点为 F ，点 A, B a分别在 C 的两条渐近线上， AF x 轴， AB OB, BF ∥ OA .（ 1）求双曲线 C 的方程；（ 2）过 C 上一点 P( x 0 , y 0 )( y 0 0) 的直线l :x 0 xy 0 y 1与直线 AF 相交于点 M ，与直线 x3相交于点 N ，证明点a 22P 在 C 上移动时，MF恒为定值，并求此定值 .NF【例 8】（ 2013 年江西卷理 20）椭圆 C :x 2y 21( a b 0) 的离心率 e 3， a b 3 .a 2b 22（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）如图所示， A, B, D 是椭圆 C 的顶点， P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点，直线 DP 交 x 轴于点 N ，直线 AD 交 BP 于点 M ，设 BP 的斜率为 k ， MN 的斜率为 m ，证明： 2m k 为定值 .【例 9】（ 2009年福建）如图，已知椭圆C 的离心率为e3长轴的左右端点分别为2A 1 ( 2,0), A 2(2,0) .（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）设直线 xmy 1与椭圆 C 交于 P,Q 两点，直线 A 1P 与 A 2Q 交于点 S . 试问当 m 变化时，点 S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程， 并证明你的结论； 若不是，请说明理由 .【例 10】（ 2006 年全国卷Ⅱ理 21）已知抛物线 x 2 4y 的焦点为 F ， A, B 是抛物线上的两动点，且 AFFB (0) ，过 A, B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为 P .（ 1）证明 FP AB 为定值 ;（ 2）设△ ABP 的面积为 S ，写出 S f ( ) 的表达式，并求 S 的最小值 .。