一元二次方程与一元二次不等式的解法

一元二次方程、二次函数与一元二次不等式
【基础知识回顾】
1.一元二次方程的一般形式：()002
≠=++a c bx ax ①其中c b a ,,为常数，x 为未知数。

根的判别式：ac b 42
-=∆
一元二次方程根的个数与根的判别式的关系：0<∆时，方程①无实根； 0=∆时，方程①有且只有一个实根，或者说方程①有两个相等的实根； 0>∆时，方程①有两个不相等的实根。

求根公式：在0≥∆时，方程①的实根a
ac
b b x 2422,1-±-=
2.二次函数的一般形式：形如()02
≠++=a c bx ax y 其中c b a ,,为常数，x 为自变量。

顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--a b ac a b P 44,22，其中直线a b
x 2-=为对称轴， （1）0<a 时，函数c bx ax y ++=2
的图象开口向下，函数c bx ax y ++=2
在a
b
x 2-
=取到最大值，即a
b a
c y 442
max -=，对任意a b ac y R x 44,2-≤∈.
（2）0>a 时，函数c bx ax y ++=2
的图象开口向上，函数c bx ax y ++=2
在a
b
x 2-
=取到最小值，即a
b a
c y 442
min
-=，对任意a b ac y R x 44,2-≥∈.
3.二次函数()02
≠++=a c bx ax y 与x 轴交点个数的判断：
0<∆时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点；
0=∆时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴相切，有且只有一个交点； 0>∆时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点。

4.二次函数图象的基本元素：开口方向（即首项系数a 的正负）、对称轴、∆.
5.二次不等式的概念：形如()002
≠≠++a c bx ax 其中连接c bx ax ++2
与0的不等号可以
是><≥≤,，，或≠.
【典型例题】
【类型一】一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的解法
【方法一】求根公式法
步骤：①计算∆；②若0<∆，则方程无实根；若0≥∆，利用求根公式a
ac
b b x 2422,1-±-=.
【例1】求解下列方程.
（1）0442=-+x x （2）0122
=-+x x
【练习】解下列方程.
（1）03522=-+x x （2）862
=-x x
【方法二】十字相乘法
利用十字相乘法求解方程()002
≠=++a c bx ax 的前提条件是：0≥∆，也就是保证方程
()002≠=++a c bx ax 必须有实根.
十字分解依据：对于方程()002
≠=++a c bx ax 而言，c b a ,,均为整数。

当0>ac 时，将
ac 分解为两个约数之和为b ；当0<ac 时，将ac 分解为两个约数之差为b 或b -.
【例2】求解下列方程
（1）0862
=+-x x （2）01522
=--x x （3）0151122
=++x x （4）02532
=-+x x
【练习】解下列方程
（1）2082
=-x x （2）02522
=++x x
【方法一】公式法
①0<a 时，函数c bx ax y ++=2
在a
b
x 2-=取到最大值，即a b ac y 442max -=，对任意
a
b a
c y R x 44,2
-≤∈.
②0>a 时，函数c bx ax y ++=2
在a
b
x 2-=取到最小值，即a b ac y 442min -=，对任意
a
b a
c y R x 44,2
-≥∈.
【方法二】配方法
2
2222
2222⎪⎭⎫
⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=a b c a b x a b x a c x a b x a c bx ax y
a b ac a b x a 44222
-+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+= 【例3】求下列函数的最值
（1）1662
-+=x x y （2）5322
+-=x x y （3）652
+--=x x y （4）5632
++-=x x y
【练习】求下列函数的最值
（1）842
+--=x x y （2）4522
-+=x x y
三个两次之间的关系
基本步骤：化正-----计算--------求根--------写解集（大于取两边，小于取中间）
【例4】解下列不等式
（1）02732<+-x x ； （2）0262
≤+--x x ； （3）01442
<++x x ； （4）0532
>+-x x
【练习】（1）不等式x x 4142
<+的解集是. （2）不等式()()7212>+-x x 的解集是. （3）不等式()09>-x x 的解集是. （4）不等式05322
<++x x 的解集是.
【类型四】分式不等式的解法
解分式不等式的基本思路是将其转化为整式不等式（组）：
()(),00)()(>⋅⇔>x g x f x g x f ()()(),000)()
(≠≥⋅⇔≥x g x g x f x g x f 且 ()(),00)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ()()(),000)
()
(≠≤⋅⇔≤x g x g x f x g x f 且 【例5】解下列不等式
（1）
11<x ； （2）0232>+-x x
； （3）21≥-x x ； （4）03912
<--x
x
【练习】求解下列不等式 （1）
21≥x ； （2）31
12≥+-x x ；
【课后作业】 1.解下列方程
（1）862
-=+x x （2）021152
=++x x （3）02732
=+-x x （4）062
=--x x
2.不等式0161632≥+-x x 的解集是.
3.不等式()()6235≥-+x x 的解集是
A .⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤291x x x 或
B .⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-291x x
C .⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤129
x x x 或D .⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-129x x
4.不等式
2116
≥-x 的解集是. 5.不等式11
21≤--x x
的解集是.
6.在下列不等式中，解集是∅的是
0232.2>+-x x A 044.2≤++x x B 044.2<--x x C 0232.2>-+-x x D
7.不等式0752
<-+-x x 的解集是. 8.不等式01692<+-x x 的解集是. 9.不等式01442≤++x x 的解集是. 10.解下列不等式或方程
（1）01522
=--x x ； （2）01662
=++x x ； （3）08232
≥+--x x ； （4）0542
≥+-x x ； （5）31
≥-x x ； （6）52
≤x ；
11.已知集合{
}01662
≤--=x x x A ，集合{
}
11422
++-==x x y y B ，则下列式子中正确的是 （ ）
B A A =.A B B ⊆.B A
C ⊄.A
D .B
12.当=x 时，函数111232
+-=x x y 取到最值.。