赏析一道物理题的5种解法

举例如下：如图所示。质量为 M、倾角为 θ 的滑
块 A 放于水平地面上。把质量为 m 的滑块 B 放在 A
的斜面上。忽略一切摩擦，有人求得 B 相对地面的加
速度
a
=
M
M +m + msin2
g sin
，式中
g
为重力加速度。
速度等于 g。该解给出 a=g，这符合实验结论，说明该 解可能是对的，B 选项正确。当 M m 时，滑块 A 可 近似认为是静止不动的，该解给出 a=gsinθ，这符合预 期的结果，说明该解可能是对的，C 选项正确。当 m M 时，该解给出 a = g g ，这是不可能出现的
xB
两边再关于时间 t 求导可得
(m + M )sin yB = M cos
xB
mg
(m + M )sin M cos
xB
=
m(m + M ) 2M
xB2
+
1 2
myB2
上式两边关于时间 t 求导可得
mg
(m + M )sin M cos
xB
=
m(m + M 2M
)
2xBxB
+
1 2
m 2yB yB
maBx = MaA 滑块 A 向左运动，具有向左的速度，则滑块 B 一定具
有向右的速度。所以，滑块 B 具有水平向右的加速度
分量。滑块 B 沿斜面向下滑，以地面为参考系，滑块
B 具有竖直向下的加速度分量。所以，滑块 B 的加速
度方向是斜向右下方的。画出滑块 A 和滑块 B 的加速
度如图所示。
aA θ
组成的系统机械能守恒，即
mgyB =
1 2
MvA2 +
1 2
mvB2 =
1 2
MvA2
+
1 2
m(vB2x
+ vB2y )
=
1 2
MvA2 +
1 2
mvB2x
+
1 2
mvB2y
=
1 2
MxA2
+
1 2
mxB2
+
1 2
myB2
将滑块 A 和滑块 B 看成一个系统，则该系统在水平方
向上不受外力作用。所以，A、B 两滑块在水平方向上
sin 结果，滑块 B 的加速度最大等于 g，不可能大于 g。所 以，正确答案是 D。
在高中阶段，A、B 两滑块的加速度的求解方法不 要求掌握。在这里，笔者提供 5 种不同的求解方法， 供学有余力的同学参考学习。 解法 1：正交分解法+牛顿第二定律的分量形式 对滑块 B 进行受力分析如图所示。
FN
对于上述解，某同学首先分析了等号右侧量的单
FN' sin =FN sin = MaA 对滑块 B 应用牛顿第二定律可得 FN sin =maBx
mg − FN =maBy
aBx =
Mg sin msin2
cos +M
aBy
=
(m + M )g sin2 msin2 + M
aB =
aB2x +aB2y = g sin
m2 sin2 + 2mM sin2 + M 2 msin2 + M
xB xB
aBx
=xB
=
Mg sin msin2
cos +M
aBy =yB =
(m + M )sin M cos
xB =
(m + M )sin M cos
Mg sin msin2
cos +M
=
(m + M )g sin2 msin2 + M
aB =
aB2x +aB2y = g sin
m2 sin2 + 2mM sin2 + M 2 msin2 + M
cos +M
mMg cos FN = msin2 + M
解法 3：机械能守恒（或系统动能定理）
设滑块 A 的位移大小为 xA，滑块 B 在水平方向上的位 移大小为 xB，在竖直方向上的位移大小为 yB。将滑块 A 和滑块 B 看成一个系统，则该系统内只存在重力势
能与动能之间发生相互转化。所以，滑块 A 和滑块 B
=FN
sin
=MaA
=M
mg sin msin2
cos +M
FN
=
mMg cos msin2 + M
解法 4（矢量图解法）：如图所示。
设滑块 B 的加速度大小为 a1，滑块 A 的加速度大小为 a2，滑块 B 相对于滑块 A 的加速度大小为 a，则 根据几何关系可得
a1 cos + a2 = a cos 将滑块 A 和滑块 B 看成一个系统，则该系统在水平方 向上不受外力作用。所以，A、B 两滑块在水平方向上 动量守恒，即
2
动量守恒，即
mvBx = MvAx = MvA mxB =MxA
xA
=
m M
xB
上式两边分别关于时间 t 积分和求导可得
m
m
xA = M xB xA = M xB
mgyB
=
1 2
M( m M
xB
)2
+
1 2
mxB2
+
1 2
myB2
=
m2 2M
xB2
+
1 2
mxB2
+
1 2
myB2
=
m(m + M ) 2M
根据余弦定理可得
3
a1 = a2 + a22 − 2aa2 cos
= g sin
m2 sin2 + 2mM sin2 + M 2 msin2 + M
根据几何关系可得
mg
cos
−
ma2
sin
=
N
N
=
mMg cos msin2 + M
解法 5（惯性力法）：引入惯性力，对滑块 B 进行受力
分析如图所示。
xB2
+
1 2
myB2
如图所示。
xA θ
θ xB θ
yB
斜面约束条件：滑块 A 和滑块 B 在垂直于斜面方向上
的位移相等，即
xA
sin =
m M
xB sin
=
yB
cos
−
xB sin
(m + M )sin yB = M cos xB
两边关于时间 t 求导可得
yB
=
(m + M )sin M cos
=
m(m + M
M
)
xB xB
+
myB
yB
=
m(m + M
M)
xB xB
+
m (m + M )sin M cos
xB
(m + M )sin M cos
xB
=
m(m + M
M
)
xB
xB
+
m【(m + M )sin M cos
】2 xB
xB
m(m + M )(msin2 + M )
=
M 2 cos2
FN
=
mMg cos msin2 + M
aA θ
aB
a
如图所示，根据余弦定理可得
aB = a2 + aA2 − 2aaA cos
= g sin
m2 sin2 + 2mM sin2 + M 2 msin2 + M
【总结】在解答本题时，需要注意以下两点：
1.滑块 B 的加速度的方向是斜向右下方的，这一点千
mv1x = Mv2x = Mv2 对上式两边关于时间 t 求导可得
ma1x = ma1 cos = Ma2 ma cos = (M + m)a2 根据几何关系可得
mg sin + ma2 cos = ma
a2
=
mg sin cos msin2 + M
a
=
(m + M )g sin msin2 + M
θ B θθ
FN maA a
这一点，否则寻找到的几何关系也是错误的，将会导致 后面的过程全部都是错误的。 2.斜面约束条件一定要理解准确。滑块 B 沿滑块 A 的 斜面向下滑，在垂直于斜面的方向上，A、B 始终保持 相对静止。所以，A、B 在垂直于斜面的方向上始终具 有相同的位移、速度和加速度。
纵观以上 5 中解法，各有各的优点，希望同学们 好好体会，理解其中的物理知识，学会处理问题的方 法。
aA =xA
=
m M
xB =
m M
Mg sin msin2
cos +M
=
mg sin msin2
cos +M
对滑块 B 应用牛顿第二定律可得
FN sin =maBx =m
Mg sin msin2
cos +M
FN =
mMg cos msin2 + M
或对滑块 A 应用牛顿第二定律可得
FN'
sin
mg 引入惯性力之后，滑块 B 在垂直于斜面方向上受到的 合力等于 0，即 mg cos = FN +maA sin 对滑块 B，有 mg sin + maA cos = ma 对滑块 A，有
FN' sin =FN sin = MaA
aA
=
mg sin m sin 2
cos +M
a
=
(m + M )g sin msin2 + M
sin 果，说明该解可能是对的 【答案】D 【解析】当 θ=0o 时，滑块 B 静止不动，加速度为 0。 该解给出 a=0，这符合常识，说明该解可能是对的，A 选项正确。当 θ=90o 时，滑块 B 做自由落体运动，加
mg
由图可知，FN 具有水平向右的分力。根据牛顿第二定 律可知，滑块 B 具有水平向右的加速度分量。滑块 B 沿斜面向下滑，以地面为参考系，滑块 B 具有竖直向 下的加速度分量。所以，滑块 B 的加速度方向是斜向 右下方的。画出滑块 A、滑块 B 的运动过程图如图所 示。
B
yB
xA A
lB θ xB A
B θ
设滑块 A 的位移为 xA，滑块 B 的位移为 lB，其水平分 量为 xB，竖直分量为 yB，则
1
根据几何关系可得
tan = yB =
1 2
aByt
2
= aBy = sin
xA +xB
1 2
aAt 2
+
1 2
aBxt 2
aA +aBx
cos
对滑块 A 应用牛顿第二定律可得
aA =
mg sin cos msin2 + M
FN =
mMg cos msin2 + M
解法 2：动量守恒定律+牛顿第二定律+斜面约束条件
将滑块 A 和滑块 B 看成一个系统，则该系统在水平方
向上不受外力作用。所以，A、B 两滑块在水平方向上
动量守恒，即
mvBx = MvAx = MvA 对上式两边关于时间 t 求导可得
aA sin = aBy cos − aBx sin
Mg sin cos
(m + M )g sin2
aBx = msin2 + M aBy = msin2 + M
aB =
aB2x +aB2y = g sin
m2 sin2 + 2mM sin2 + M 2 msin2 + M
aA
=
mg sin msin2
赏析一道物理题的 5 种解法
例 1.（2008 年北京卷第 20 题，6 分）有一些问题你可
能不会求解，但是你仍有可能对这些问题的解是否合
理进行分析和判断。例如从解的物理量单位，解随某些
已知量变化的趋势，解在一些特殊条件下的结果等方
面进行分析，并与预期结果、实验结论等进行比较，从
而判断解的合理性或正确性。
万不要弄错，否则列出的牛顿第二定律是错误的，最终
计算出来的结果也是错误的。在画图时，也要特别注意
4
θ aBx θ
aBy
对滑块 B 进Байду номын сангаас受力分析如图所示。
FN
θ B
mg
对滑块 B 应用牛顿第二定律可得 FN sin = maBx mg − FN cos = maBy
aBx cos + aBy sin = g sin 对滑块 A 应用牛顿第二定律可得
FN' sin = FN sin = MaA 斜面约束条件：滑块 A 和滑块 B 在垂直于斜面方向上 的加速度分量相等，即
θ
B
位，没发现问题。他进一步利用特殊条件对该解做了如
下四项分析和判断，所得结论都是“解可能是对的”。
但是，其中有一项是错误的。请你指出该项。（ ） A．当 θ=0o 时，该解给出 a=0，这符合常识，说明该解 可能是对的 B．当 θ=90o 时，该解给出 a=g，这符合实验结论，说 明该解可能是对的 C．当 M m 时，该解给出 a=gsinθ，这符合预期的结 果，说明该解可能是对的 D．当 m M 时，该解给出 a = g ，这符合预期的结