2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案解析

=
e
x (1−
y
)
确定，则
lim
n→∞
n

f
(
1 n
)
−
1
= ___________
【答案】1
【解析】 x = 0 时， y = 1 方程两边对 x 求导得 y′ −1 = ex(1−y) (1− y − xy′) 所以 y′(0) = 1
lim
n→∞
n

f
(
1 n
)
−
1
【答案】A
【解析】曲面在点 (0,1,-1) 处的法向量为
→
n =(Fx′,Fy′,Fz′) (0,1,-1) =(2x-y sin (xy)+1,-x sin (xy)+z,y) (0,1,-1) =(1,-1,1) 故曲面在点 (0,1,-1) 处的切面方程为 1⋅ (x-0)-(y-1)+(z+1)=0, 即 x − y + z = −2 ，选 A
aij + Aij = 0(i, j = 1, 2, 3) 则 A =___________ 【答案】 −1.
1 0 0
【解析】方法一：取矩阵
A
=

0 0
−1 0
0 1

，满足题设条件，
A = −1.
方法二： A* = − AT ，则 A* = − AT ，整理得到 A 3−1 = (−1)3 A ，即 A = −1或者 A = 0 .
≤a
a}
+
1}
=
a +1
a +∞
f ( y)dy f ( y)dy
=
e−a
− e−(a+1) e−a
=1− 1 e
a
三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
(15)(本题满分 10 分)
∫ ∫ 计算 1 f (x) dx ，其中 f (x) = x ln(t +1) dt
(C) 2α
(D)1− 2α
P{Y > c2} = P{X 2 > c2} = P{X > c} + P{X < −c} = 2P{X > c} = 2α ,选 C.
二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
(9)
设函数 y
=
f (x) 由方程 y − x
∫ ∑ (3)
设
f (x) =
x−
1 2
, bn
=
2
1 0
f
(x) sin nπ xdx(n
= 1, 2,L)
.
令
∞
s(x) = bn sin nπx
n=1
,
则
s(− 9) = 4
(A) 3 4
【答案】C
(B) 1 4
(C) − 1 4
(D) − 3 4
（）
【解析】
f
(x)=
x- 1
=

y
y = ϕ(x)
O 1 2 7/3
x
(8) 设随机变量 X ~ t(n) ，Y ~ F (1, n) ，给定α (0 < α < 0.5) ,常数 c 满足 P{X > c} = α ，
{ } 则 P Y > c2 = （ ）
(A) α
【答案】C
(B) 1−α
【解析】 X ~ t(n) ，则 X 2 ~ F (1, n)
dt
dx = 2tdt
= 2[t − arctan t]1 = 2(1− π)
从而 A = −1.
(14) 设随机变量Y 服从参数为1的指数分布， a 为常数且大于零，则
P{Y ≤ a +1 Y > a} = ____.
【答案】1 − 1 e
【解析】
f
(y)
=
e− y， y > 0， 0， y ≤ 0，
{ { { ∫∫ P
Y
≤ a +1Y
> a} =
P
Y
> P
a,Y Y>
t=π 4
=
1 cos
π
=
2
dt
4
∫ (12)
+∞ 1
ln (1 +
x x)2
dx
=
.
【答案】 ln 2
∫ ∫ 【解析】
+∞ 1
ln (1 +
x x)2
dx
=
−
ln (1 +
x x)
+∞ 1
+
+∞ dx = ln x 1 x(1+ x) (1+ x)
+∞ 1
= ln 2
(13) 设 A = (aij ) 是 3 阶 非 零 矩 阵 ， A 为 A 的 行 列 式 ， Aij 为 aij 的 代 数 余 子 式 ， 若
【解析】将 A,C 按列分块， A = (α1,...,αn ),C = (γ1,...,γ n )
由于 AB = C ,故
(α1,
...,α
n
)

b11 . bn1
... ... ...
b1n . bnn

=
(γ
1
,
...,
γ
n
)
即 γ1 = b11α1 + ... + bn1αn ,...,γ n = b1nα1 + ... + bnnαn 即 C 的列向量组可由 A 的列向量线性表示 由于 B 可逆，故 A = CB−1 ， A 的列向量组可由 C 的列向量组线性表示，选 B
0
≤
X2 −0 2
≤
2
− 2
0

=
Φ(1)
−
Φ(−1)
=
2Φ(1) −1,
p3
=
P{−2
≤
X3
≤
2} =
P −2 − 5 3
≤
X3 −5 3
≤
2 − 5 3
=
Φ(−1)
−
Φ

−
7 3

=
Φ

7 3

−
Φ(1),
由下图可知， p1 > p2 > p3 ,选 A.
所以3 − k = 0, k = 3, c = 1 = 1 ,故选D k3
(2) 曲面 x2 + cos(xy) + yz + x = 0 在点 (0,1, −1) 的切平面方程为
（）
（A) x − y + z = −2 (B) x + y + z = 0 (C) x − 2 y + z = −3 (D) x − y − z = 0
2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题
目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
(1)已知
lim
x→0
x-arctan xk来自x=c
，其中
k,
c
为常数，且
c
≠
0
，则
(A) k =2,c = −1 2
故选 D
(5)设 A, B,C 均为 n 阶矩阵，若 AB = C ,且 B 可逆，则
（）
(A)矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价
(B)矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
(C)矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价
(D)矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价
【答案】B
−1 −a λ −1 −λ −a λ −1
λ −a −1
= 0 λ − b −a = λ (λ − 2)(λ − b) − 2a2 ，
0 −a λ −1
因为 λ = 2 是 A 的特征值，所以 2E − A = 0
所以 −2a2 = 0 ，即 a = 0 .
当 a = 0 时， λE − A = λ (λ − 2)(λ − b) ，
(B)
1 k =2,c=
2
(C) k =3,c = −1 3
k =3,c= 1 3
【答案】D
【解析】因为 c ≠ 0
（） (D)
c
=
lim
x→0
x
−
arctan xk
x
洛
=
lim
x→0
1-
1 1+x
2
kx k −1
=
lim
x→0
kxk
x2 −1 (1 +
x2
)
=
lim
x→0
x2 kx k −1
=
1 lim x3−k k x→0
0x
0x
0
∫ ∫
= −4 ln(x +1)
x
1 0
−
1
x
dx = −4 ln 2 + 4
01+ x
1x dx
01+ x
其中
∫ = ∫ ∫ ∫ ∫ 1 x
x =t
dx
0 1+ x x=t2
1t 0 1+ t2
.2tdt
=
2
1 t2 0 1+ t2
dt
=
2
1 dt − 2