2020高考文科数学不等式问题的题型与方法
2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练
A．aa>b>0，由不等式性质知：->->0，所以<>-72∵x-x=4a-(-2a)=6a=15，∴a=15622020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练【题型归纳】题型一一元二次不等式解法及其应用例1若a>b>0，c<d<0，则一定有（）b a b a b a b>B．<C．>D．<c d c d d c d c 【答案】D【解析】由c<d<0⇒-11>0，又d ca b a bd c d c例2关于x的不等式x2-2ax-8a2<0（a>0）的解集为(x,x)，且x-x=15，则a=（）1221A．515B．C．D．24152【答案】A【解析】∵由x2-2ax-8a2<0(a>0)，得(x-4a)(x+2a)<0，即-2a<x<4a，∴x=-2a,x=4a.125=．故选A．21例3不等式x2-9x-2>0的解集是___________．【答案】(-3,2)⋃(3,+∞)【解析】不等式可化为(x+3)(x-2)(x-3)>0采用穿针引线法解不等式即可．例4已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是．【答案】(-22,0)【解析】由题意可得f(x)<0对于x∈[m,m+1]上恒成立，⎩f(m+1)=2m2+3m<0，则函数y=4x-2+1的最大值.x<,∴5-4x>0，∴y=4x-2+=- 5-4x+⎪+3≤-2+3=11【解析】因为y=x(8-2x)=1.【答案】9,+∞)⎧f(m)=2m2-1<02即⎨，解得-<m<0．2题型二应用基本不等式求函数最值例1已知x<【答案】1544x-5【解析】因4x-5<0，所以首先要“调整”符号，又(4x-2)14x-5不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项.5⎛1⎫44x-5⎝5-4x⎭当且仅当5-4x=15-4x，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，y max=1.【易错点】注意x<54,则4x-5为负数，要提“-”使其变“+”.【思维点拨】本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值例2当0<x<4时，则y=x(8-2x)的最大值是.【答案】8.12x+8-2x[2x(8-2x)]≤()2=8222当且仅当2x=8-2x，即x=2时取等号，所以当x=2时，y=x(8-2x)的最大值为8.【思维点拨】由0<x<4知，8-2x>0，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
高中数学不等式高考真题精选和解析
高中数学不等式高考真题精选和解析1.(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．2.(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集．2.(2020·全国卷Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.(1)证明：ab＋bc＋ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥3 4.4.(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a ＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.5.已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.(1)解不等式f(x)≤x＋3；(2)若g(x)＝|3x－2m|＋|3x－2|，对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围．6.已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为92，求实数a的值．答案解析1.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|.当x ≤3时，f (x )＝4－x ＋3－x ＝7－2x ，由f (x )≥4，解得x ≤32；当3＜x ＜4时，f (x )＝4－x ＋x －3＝1，f (x )≥4无解； 当x ≥4时，f (x )＝x －4＋x －3＝2x －7，由f (x )≥4，解得x ≥112. 综上所述，f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤32或x ≥112. (2)f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|(x －a 2)－(x －2a ＋1)|＝|－a 2＋2a －1|＝(a －1)2(当且仅当2a －1≤x ≤a 2时取等号)，∴(a －1)2≥4，解得a ≤－1或a ≥3，∴a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．2.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3，x ≥1，5x －1，－13＜x ＜1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位，可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示：由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－76.3. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)．由abc ＝1得a ，b ，c 均不为0，则a 2＋b 2＋c 2＞0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝(b ＋c )2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc ≥2bc ＋2bc bc ＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号，∴a ≥34，即max{a ，b ，c }≥34.4. 证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca＝ab ＋bc ＋ca abc＝1a ＋1b ＋1c . 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥3 3(a ＋b )3(b ＋c )3(c ＋a )3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.5.(1)原不等式等价于⎩⎨⎧ x ≤－1，－3x ≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x ≤12，－x ＋2≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >12，3x ≤x ＋3，解得－12≤x ≤32，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤32. (2)由f (x )＝|x ＋1|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x ≤12，3x ，x >12，可知当x ＝12时，f (x )最小，无最大值，且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32. 设A ＝{y |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝g (x )}， 则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥32，因为g (x )＝|3x －2m |＋|3x －2|≥|(3x －2m )－(3x －2)|＝|2m －2|，所以B ＝{y |y ≥|2m －2|}．由题意知A ⊆B ，所以|2m －2|≤32，所以m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，74. 故实数m的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |14≤m ≤74.6.解 (1)由题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，x ≥1，x ＋2，－12<x <1，－3x ，x ≤－12.当x ≥1时，由f (x )≥3得3x ≥3，解得x ≥1；当－12<x <1时，由f (x )≥3得x ＋2≥3，解得x ≥1， 这与－12<x <1矛盾，故舍去；当x ≤－12时，由f (x )≥3得－3x ≥3，解得x ≤－1.综上可知，不等式f (x )≥3的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，B (1,3)， ∴k AB ＝3－321＋12＝1，∴直线y ＝x ＋a 与直线AB 平行．若要围成多边形，则a >2.易得直线y ＝x ＋a 与y ＝f (x )的图象交于两点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，3a 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，3a 4，则|CD|＝2·|a2＋a4|＝324a，平行线AB与CD间的距离d＝|a－2|2＝a－22，|AB|＝322，∴梯形ABCD的面积S＝322＋324a2·a－22＝32＋34a2·(a－2)＝92(a>2)，即(a＋2)(a－2)＝12，∴a＝4.故所求实数a的值为4.。
2020年高考数学试题分项版—不等式(解析版)
2020年高考数学试题分项版——不等式（解析版）一、选择题1．(2020·新高考全国Ⅰ，11)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2答案 ABD解析 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤14.对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故A 正确；对于B,2a －b ＝22a －1＝12×22a ，因为a >0，所以22a >1，即2a －b >12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 214＝－2，故C 错误；对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 得a ＋b ≤2，故D 正确．2．(2020·新高考全国Ⅱ，12)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2 答案 ABD解析 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤14.对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故A 正确；对于B,2a －b ＝22a －1＝12×22a ，因为a >0，所以22a >1，即2a －b >12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 214＝－2，故C 错误；对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 得a ＋b ≤2，故D 正确．3．(2020·浙江，3)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 如图，l 1：x －3y ＋1＝0，l 2：x ＋y －3＝0.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．设初始直线为l ：y ＝－12x ，直线l 通过向上平移经过可行域内的第一个点为l 1与l 2的交点P (2,1)， 因此z 的最小值z min ＝2＋2×1＝4， 所以z ≥4. 二、填空题1．(2020·全国Ⅰ理，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ＋1≥0，则z ＝x ＋7y 的最大值为________． 答案 1解析 画出可行域如图阴影部分所示．由z ＝x ＋7y ，得y ＝－17x ＋17z .平移直线l 0：y ＝－17x ，可知当直线y ＝－17x ＋17z 过点A 时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，即A (1,0)， ∴z max ＝1＋7×0＝1.2．(2020·全国Ⅲ理，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，2x －y ≥0，x ≤1，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案 7解析 作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．z ＝3x ＋2y 可化为y ＝－32x ＋12z ，作直线y ＝－32x ，并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，z 最大，z max ＝7.3．(2020·天津，14)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为________．答案 4解析 因为a >0，b >0，ab ＝1， 所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4， 当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即a ＋b ＝4时，等号成立． 故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. 4．(2020·江苏，12)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． 答案 45解析 方法一 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1， 可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝⎛⎭⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45， 当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号．所以x 2＋y 2的最小值为45.方法二 设x 2＋y 2＝t >0，则x 2＝t －y 2. 因为5x 2y 2＋y 4＝1， 所以5(t －y 2)y 2＋y 4＝1， 所以4y 4－5ty 2＋1＝0. 由Δ＝25t 2－16≥0， 解得t ≥45⎝⎛⎭⎫t ≤－45舍去. 故x 2＋y 2的最小值为45.5．(2020·浙江，9)已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x －a )(x －b )(x －2a －b )≥0，则( )A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0 答案 C解析 由题意，知a ≠0，b ≠0，则方程(x －a )(x －b )(x －2a －b )＝0的根为a ，b,2a ＋b . ①a ，b,2a ＋b 均为不同的根，则不等式可标根为图(1)， 此时应满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0，2a ＋b <0，可得a <0，b <0.②a ，b,2a ＋b 中有两个根为相等的根，则 (ⅰ)a ＝2a ＋b >0，即b ＝－a <0，此时(x －a )2(x ＋a )≥0，如图(2)，符合题意．(ⅱ)a ＝b <0，此时(x －a )2(x －3a )≥0，如图(3)，符合题意．综合①②，可知b <0符合题意．6．(2020·全国Ⅰ文，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ＋1≥0，则z ＝x ＋7y 的最大值为________． 答案 1解析 画出可行域如图阴影部分所示．由z ＝x ＋7y ，得y ＝－17x ＋17z .平移直线l 0：y ＝－17x ，可知当直线y ＝－17x ＋17z 过点A 时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，即A (1,0)， ∴z max ＝1＋7×0＝1.7．(2020·全国Ⅱ文，15)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥－1，x －y ≥－1，2x －y ≤1，则z ＝x ＋2y 的最大值是________．答案 8解析 作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．z ＝x ＋2y 可变形为y ＝－12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝－12x ，并平移，可知当直线过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，2x －y ＝1，得A (2,3)， 所以z max ＝2＋2×3＝8.8．(2020·全国Ⅲ文，13)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，2x －y ≥0，x ≤1，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案 7解析 作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．z ＝3x ＋2y 可化为y ＝－32x ＋12z ，作直线y ＝－32x ，并平移该直线，易知当直线经过点A (1,2)时，z 最大，z max ＝7. 三、解答题1．(2020·全国Ⅰ理，23)[选修4—5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|3x ＋1|－2|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式f (x )>f (x ＋1)的解集．解 (1)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≥1，5x －1，－13<x <1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位长度， 可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示，由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.由图象可知当且仅当x <－76时，y ＝f (x )的图象在y ＝f (x ＋1)的图象上方．所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－76. 2．(2020·全国Ⅱ理，23)[选修4—5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4的解集； (2)若f (x )≥4，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2x ，x ≤3，1，3<x ≤4，2x －7，x >4.因此，不等式f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤32或x ≥112. (2)因为f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1| ≥|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2，故当(a －1)2≥4，即|a －1|≥2时，f (x )≥4. 所以当a ≥3或a ≤－1时，f (x )≥4.当－1＜a ＜3时，f (a 2)＝|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2＜4. 所以a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 3．(2020·全国Ⅲ理，23)[选修4—5：不等式选讲] 设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1. (1)证明：ab ＋bc ＋ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)．∵abc ＝1，∴a ，b ，c 均不为0，∴a 2＋b 2＋c 2>0， ∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)<0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a >0，b <0，c <0， ∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝(b ＋c )2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc ≥2bc ＋2bcbc＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号， ∴a ≥34，即max{a ，b ，c }≥34.4．(2020·江苏，21)C ．[选修4－5：不等式选讲] 设x ∈R ，解不等式2|x ＋1|＋|x |<4.解 当x >0时，原不等式可化为2x ＋2＋x <4， 解得0<x <23；当－1≤x ≤0时，原不等式可化为2x ＋2－x <4， 解得－1≤x ≤0；当x <－1时，原不等式可化为－2x －2－x <4， 解得－2<x <－1.综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2<x <23. 5．(2020·全国Ⅰ文，23)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|3x ＋1|－2|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式f (x )>f (x ＋1)的解集．解 (1)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≥1，5x －1，－13<x <1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位长度， 可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示：由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.由图象可知当且仅当x <－76时，y ＝f (x )的图象在y ＝f (x ＋1)的图象上方．所以不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－76. 6．(2020·全国Ⅱ文，23)[选修4—5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4的解集； (2)若f (x )≥4，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2x ，x ≤3，1，3<x ≤4，2x －7，x >4.因此，不等式f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤32或x ≥112. (2)因为f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1| ≥|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2，故当(a －1)2≥4，即|a －1|≥2时，f (x )≥4. 所以当a ≥3或a ≤－1时，f (x )≥4.当－1＜a ＜3时，f (a 2)＝|a 2－2a ＋1|＝(a －1)2＜4. 所以a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 7．(2020·全国Ⅲ文，23)[选修4－5：不等式选讲] 设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1. (1)证明：ab ＋bc ＋ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥34. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)．∵abc ＝1，∴a ，b ，c 均不为0， ∴a 2＋b 2＋c 2>0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)<0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a >0，b <0，c <0， ∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝(b ＋c )2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc ≥2bc ＋2bcbc＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号， ∴a ≥34，即max{a ，b ，c }≥34.。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题目时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（）A. B.{–3，–2，2，3）C.{–2，0，2} D.{–2，2}【答案】D 【解析】【分析】解绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为3,2,1,0,1,2A x x x Z ，1,1B x x x Z x x 或 1,x x Z ，所以 2,2A B ∩.故选：D.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.2.（1–i ）4=（）A.–4B.4C.–4iD.4i【答案】A【解析】【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.【详解】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i .故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A.5B.8C.10D.15【答案】C 【解析】【分析】根据原位大三和弦满足3,4k j j i ，原位小三和弦满足4,3k j j i 从1i 开始，利用列举法即可解出．【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4k j j i ．∴1,5,8i j k ；2,6,9i j k ；3,7,10i j k ；4,8,11i j k ；5,9,12i j k ．原位小三和弦满足：4,3k j j i ．∴1,4,8i j k ；2,5,9i j k ；3,6,10i j k ；4,7,11i j k ；5,8,12i j k ．故个数之和为10．故选：C ．【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900 ，故需要志愿者9001850名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.5.已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A.a +2bB.2a +bC.a –2bD.2a –b【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：11cos 601122a b a b .A ：因为215(2)221022a b b a b b ，所以本选项不符合题意；B ：因为21(2)221202a b b a b b ，所以本选项不符合题意；C ：因213(2)221022a b b a b b ，所以本选项不符合题意；D：因为21(2)22102a b b a b b ，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.6.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（）A.2n –1 B.2–21–n C.2–2n –1D.21–n –1【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a 可得：421153111122124a q a q q a a q a q ，所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ，因此1121222n n n n n S a .故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.7.执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值模拟程序的运行过程0,0k a 第1次循环，2011a ,011k ，210 为否第2次循环，2113a ,112k ，310 为否第3次循环，2317a ,213k ，710 为否第4次循环，27115a ,314k ，1510 为是退出循环输出4k .故选：C.【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y 的距离为（）A.55B.255C.355D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，所以圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y 的距离均为22555d；所以，圆心到直线230x y 的距离为255.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9.设O 为坐标原点，直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ，可得双曲线的渐近线方程是b y x a，与直线x a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a，解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a，解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为：1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为2222222168c a b ab 当且仅当22a b 取等号C 的焦距的最小值：8【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10.设函数331()f x x x,则()f x （）A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为0x x ，利用定义可得出函数 f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数 331f x x x定义域为 0x x ，其关于原点对称，而 f x f x ，所以函数 f x 为奇函数．又因为函数3y x 在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增，而331y x x在()0,+¥上单调递减，在(),0-¥上单调递减，所以函数 331f x x x在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．11.已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A.3B.32C.1D.32【答案】C【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离22d R r.【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ，解得：2R .设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC ∵ 是面积为934的等边三角形，21393224a ，解得：3a ，22229933434a r a ，球心O 到平面ABC 的距离22431d R r .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.12.若2233x y x y ，则（）A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ，根据 23t tf t 的单调性知x y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得：2323x x y y ，令 23ttf t ，2x y ∵为R 上的增函数，3x y 为R 上的减函数， f t 为R 上的增函数，x y ，0y x Q ，11y x ， ln 10y x ，则A 正确，B 错误；x y Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin 3x ，则cos 2x __________．【答案】19【解析】【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.【详解】22281cos 212sin 12()1399x x .故答案为：19.【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.14.记n S 为等差数列 n a 的前n 项和．若1262,2a a a ，则10S __________．【答案】25【解析】【分析】因为 n a 是等差数列，根据已知条件262a a ，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案.【详解】∵ n a 是等差数列，且12a ，262a a 设 n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式： 11n a a n d 可得1152a d a d 即： 2252d d 整理可得：66d 解得：1d∵根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N可得： 1010(101)1022045252S1025S .故答案为：25.【点睛】本题主要考查了求等差数列的前n 项和，解题关键是掌握等差数列的前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15.若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y，，则2z x y 的最大值是__________．【答案】8【解析】【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线12y x ，在平面区域内找到一点使得直线1122y x z在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：平移直线12y x，当直线经过点A 时，直线1122y x z 在纵轴上的截距最大，此时点A 的坐标是方程组121x y x y的解，解得：23x y，因此2z x y 的最大值为：2238 .故答案为：8.【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面 内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面 内，所以，AB ，即3l ，命题1p 真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m 平面 ，则m 垂直于平面 内所有直线，∵直线l 平面 ， 直线m 直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p 为真命题，12p p 为假命题，23p p 为真命题，34p p 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A ．（1）求A ；（2）若33b c a，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】（1）3A；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，25cos cos 24A A可化为251cos cos 4A A，即可解出；（2）根据余弦定理可得222b c a bc ，将33b c a 代入可找到,,a b c 关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出．【详解】（1）因为25cos cos 24A A，所以25sin cos 4A A ，即251cos cos 4A A ，解得1cos 2A ，又0A ，所以3A；（2）因为3A ，所以2221cos 22b c a A bc ，即222b c a bc ①，又33b c a②，将②代入①得， 2223b c b c bc ，即222250b c bc ，而b c ，解得2b c ，所以3a c，故222b a c ，即ABC 是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix，2011200i iy，2021)80i i x x （，2021)9000i i y y （，201))800i i i x y x y （（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x（（（（，2=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20120202211()()()()iii iii i x x yy r x x yy计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000 （2）样本(,)i i x y 的相关系数为20120202211()()800220.943809000()()iii i i i i x x y y r x x y y（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C 1：22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．【答案】（1）12；（2）1C ：2211612x y ，2C ：28y x .【解析】【分析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4||||3CD AB ，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【详解】解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx ，其中22c a b.不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x y a b，所以当x c 时，有222221c y b y a b a ，因此,A B 的纵坐标分别为2b a ，2ba；又因为抛物线2C 的方程为24y cx ，所以当x c 时，有242y c c y c ，所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c ，故22||bAB a，||4CD c .由4||||3CD AB 得2843b c a，即2322()c c a a ，解得2c a （舍去），12c a .所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c ，3b c ，故22122:143x y C c c，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c ，(0,3)c ，(0,3)c ，2C 的准线为x c .由已知得312c c c c ，即2c .所以1C 的标准方程为2211612x y ，2C 的标准方程为28y x .【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.20.如图，已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）24.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F 平面1A AMN ，只需证明EF 平面1A AMN 即可；（2）根据已知条件求得11EB C F S 四边形和M 到PN 的距离，根据椎体体积公式，即可求得11B EB C F V .【详解】（1）∵,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB 又11//AA BB1//MN AA 在等边ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM 又∵侧面11BB C C 为矩形，1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ，,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ，且11B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMN EF ∵平面11EB C F 平面11EB C F 平面1A AMN（2）过M 作PN 垂线，交点为H ，画出图形，如图∵//AO 平面11EB C FAO 平面1A AMN ，平面1A AMN 平面11EB C F NP//AO NP又∵//NO AP6AO NP ∵O 为111A B C △的中心.1111sin 606sin 60333ON A C故：3ON AP，则333AM AP ，∵平面11EB C F 平面1A AMN ，平面11EB C F 平面1A AMN NP ，MH 平面1A AMNMH 平面11EB C F又∵在等边ABC 中EF APBC AM即36233AP BC EF AM由（1）知，四边形11EB C F 为梯形四边形11EB C F 的面积为：111126=62422EB C F EF B C S NP 四边形111113B EBC F EB C F V S h 四边形，h 为M 到PN 的距离23sin 603MH ， 1243243V .【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.21.已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a的单调性．【答案】（1）1c ；（2）()g x 在区间(0,)a 和(,)a 上单调递减，没有递增区间【解析】【分析】（1）不等式()2f x x c 转化为()20f x x c ，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数()g x 求导，把导函数()g x 分子构成一个新函数()m x ，再求导得到()m x ，根据()m x 的正负，判断()m x 的单调性，进而确定()g x 的正负性，最后求出函数()g x 的单调性.【详解】（1）函数()f x 的定义域为：(0,)()2()202ln 120()f x x c f x x c x x c ，设()2ln 12(0)h x x x c x ，则有22(1)()2x h x x x，当1x 时，()0,()h x h x 单调递减，当01x 时，()0,()h x h x 单调递增，所以当1x 时，函数()h x 有最大值，即max ()(1)2ln11211h x h c c ，要想不等式() 在(0,) 上恒成立，只需max ()0101h x c c ；（2）2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a且)x a 因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a ，设()2(ln ln )m x x a x x x a ，则有()2(ln ln )m x a x ，当x a 时，ln ln x a ，所以()0m x ，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a ，即()0g x ，所以()g x 单调递减；当0x a 时，ln ln x a ，所以()0m x ，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a ，即()0g x ，所以()g x 单调递减，所以函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a 上单调递减，没有递增区间.【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y ，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y ；222:4C x y ；（2）17cos 5.【解析】【分析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1 得1C 的普通方程为：4x y ；由11x t t y t t 得：2222221212x t t y t t，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y .（2）由2244x y x y 得：5232x y ，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中0a ，则22253022a a，解得：1710a ， 所求圆的半径1710r ， 所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ，即22175x y x ， 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2） ,13, .【解析】【分析】（1）分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时， 43f x x x .当3x 时， 43724f x x x x ，解得：32x ≤；当34x 时， 4314f x x x ，无解；当4x 时， 43274f x x x x ，解得：112x；综上所述： 4f x 的解集为32x x或112x .（2） 22222121211f x x a x a x ax a a a a （当且仅当221a x a 时取等号）， 214a ，解得：1a 或3a ，a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
2020年高考数学文科考点解读和命题热点突破03
2020年高考数学文科考点解读和命题热点突破专题03 不等式与线性规划【考向解读】不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决导数问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高.【命题热点突破一】不等式的解法 1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．2．简单分式不等式的解法 (1)f x g x >0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； (2)f x g x≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解． 例1、若101a b c >><<，,则( )（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C 【变式探究】(1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________. (2)已知f (x )是R 上的减函数，A (3，－1)，B (0,1)是其图象上两点，则不等式|f (1＋ln x )|<1的解集是________________．【答案】(1)52 (2)(1e，e 2)【命题热点突破二】基本不等式的应用 1.利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键. (2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错.2.结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式.常见的转化方法有(1)x ＋b x －a ＝x －a ＋bx －a＋a (x >a ).(2)若a x ＋b y ＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )×1＝(mx ＋ny )·⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2abmn (字母均为正数). 例2、设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B.【变式探究】(1)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________.(2)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________.【答案】(1)2 (2)15【命题热点突破三】简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．例3、若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A.0B.3C.4D.5 【答案】C【解析】作出如图可行域，则当y x z +=2经过点P 时，取最大值，而)2,1(P ，∴所求最大值为4，故选C.【变式探究】若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________. 【答案】3 【高考题型解读】1. 若101a b c >><<，,则( )（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C【解析】用特殊值法，令3a =，2b =，12c =得112232>，选项A 错误，11223223⨯>⨯，选项B 错误，2313log 2log 22<，选项C 正确，3211log log 22>，选项D 错误，故选C ． 2.设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（ ）（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B.3.若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（ ）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C4.在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=（ ） A ．22 B ．4 C ．32 D ．6 【答案】C【解析】如图∆PQR 为线性区域，区域内的点在直线20x y +-=上的投影构成了线段''R Q ，即AB ，而''=R Q PQ ，由3400-+=⎧⎨+=⎩x y x y 得(1,1)-Q ，由20=⎧⎨+=⎩x x y 得(2,2)-R ，22(12)(12)32==--++=AB QR ．故选C ．5.若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A.0B.3C.4D.5 【答案】C6.设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的( )xy OP（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选A.7.若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为_____________.【答案】328.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．【答案】216000【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件,利润之和为z 元,那么1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩……………①目标函数2100900z x y =+. 二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩?…………② 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将2100900z x y =+变形,得73900z y x =-+,平行直线73y x =-,当直线73900z y x =-+经过点M 时,z 取得最大值.解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩,得M 的坐标(60,100).所以当60x =,100y =时,max 210060900100216000z =⨯+⨯=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元.9. 已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的取值范围是 ▲ .【答案】4[,13]510.“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的( )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B 【解析】由x ＞1x ＋2＞3log 12 (x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0x ＋2＞1x ＞－1，故“x＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.11.若x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为()A.0B.1C.32D.2【答案】 D12.设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A.q ＝r ＜pB.q ＝r ＞pC.p ＝r ＜qD.p ＝r ＞q【答案】 C【解析】∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C.13.若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________.【答案】 314.如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A.16B.18C.25D.812【答案】 B15.已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝()A.3B.2C.－2D.－3【答案】 B【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A (2，0)，由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y ＝2，得B (1，1).由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .∴当a ＝－2或a ＝－3时，z ＝ax ＋y 在O (0，0)处取得最大值，最大值为z max ＝0，不满足题意，排除C ，D 选项；当a ＝2或3时，z ＝ax ＋y 在A (2，0)处取得最大值，∴2a ＝4，∴a ＝2，排除A ，故选B.16.设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A17.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为()A.315B.6C.235D.4【答案】 C【解析】不等式组所表示的可行域如下图所示，由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z 2，依题意当目标函数直线l ：y ＝－32x ＋z2经过A ⎝⎛⎭⎫1，45时，z 取得最小值，即z min ＝3×1＋2×45＝235，故选C.18.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.【答案】022－3。
2020年高考数学(文)母题题源解密23 不等式选讲(全国Ⅱ专版原卷版)
专题23 不等式选讲【母题来源一】【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【解析】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a aa a =-+-+≥---+=-+-=-，当且仅当221a x a -≤≤时取等号，()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 【母题来源二】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞． （2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----． 所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 【母题来源三】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）{|23}x x -≤≤；（2）(,6][2,)-∞-+∞．【解析】（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立． 故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥， 所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．【命题意图】1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）a b a b +≤+. （2） a b a c c b -≤-+-.（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：; ; ax b c ax b c x a x b c +≤+≥-+-≥.2．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.3．主要考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查分类讨论、数形结合思想方法，考查逻辑推理、数学运算等核心素养. 【命题规律】从近三年高考情况来看，此类知识点以解答题的形式出现，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等. 【方法总结】（一）解绝对值不等式的常用方法有：（1）公式法：对于形如|f (x )|>g (x )或|f (x )|<g (x )，利用公式|x|<a ⇔−a<x<a (a>0)和|x|>a ⇔x>a 或x<−a (a>0)直接求解不等式；（2）平方法：对于形如|f (x )|≥|g (x )|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f (x )|≥|g (x )|⇔f (x )2≥g 2(x )；（3）零点分段法：对于形如|f (x )|±|g (x )|≥a ，|f (x )|±|g (x )|≤a ，利用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；（4）几何法：对于形如|x±a|±|x±b|≤c ，|x±a|±|x±b|≥c ，利用绝对值三角不等式的性质求解，即 ①定理1:如果a ，b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立.②定理2:如果a ，b ，c 是实数，那么|a−c|≤|a−b|+|b−c|，当且仅当(a−b )(b−c )≥0时，等号成立. ③推论1:||a|−|b||≤|a+b|. ④推论2:||a|−|b||≤|a−b|.（5）图象法：对于形如|f (x )|+|g (x )|≥a 可构造y=|f (x )|+|g (x )|−a 或y=|f (x )|+|g (x )|与y=a ，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数. （二）含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：（1）分享参数法运用“max min ()(),()()f x a f x a f x a f x a ≤⇔≤≥⇔≥”可解决恒成立中的参数范围问题.求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“||||||||||||a b a b a b -≤±≤+”求最值.（2）更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.（3）数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题. （三）不等式的证明（1）比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.（2）基本不等式:如果a ，b>0，那么2a b+≥，当且仅当a=b 时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即12nn a a a n+++≥当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，等号成立.1．（2020·山西省高三）已知函数()|1||2|f x x x a =++-． （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围．2．（2020·四川省泸县第二中学高三二模）已知函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()2f x x ≤+的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设0a >，0b >，且有a b m +=.求1212a b +++的最小值. 3．（2020·深圳市宝安中学（集团）高三月考）已知定义在R 上的函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为a .（1）求a 的值.（2）若p ，q ，r 为正实数，且p q r a ++=，求证：2223p q r ++≥.4．（2020·江西省高三）已知函数()221f x x x =-+-. （1）求不等式()6f x <的解集；（2）若函数()f x 的最小值为m ，且实数a ，b 满足222a b m +=，求34a b +的最大值. 5．（2020·山西省高三月考）已知函数()|1|2|2|)(R f x x x x =-+-∈，记()f x 得最小值为m . （1）解不等式()5f x ≤；（2）若2a b m +=，求22a b +的最小值.6．（2020·吉林省高三）已知函数()12f x x x =-+（1）在平面直角坐标系中作出函数()f x 的图象，并解不等式()2f x ≥； （2）若不等式()15f x x k +-≥-对任意的x ∈R 恒成立，求证：65k k+≥.7．（2020·山西省高三）已知函数()12f x x x a =++-. （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得()224m m f x -+=，求实数a 的取值范围.8．（2020·山西省太原五中高三月考）已知函数()1211f x x x =-+++ （1）求不等式()8f x <的解集；（2）若x R ∀∈，函数()2log f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围.9．（2020·全国高三）设函数()|2|f x x x =+-+，集合M 为不等式()0f x ＜的解集. （1）求集合M ；（2）当m ，n M ∈时，证明：3mn n ++.10．（2020·山西省高三）已知不等式23x x -<与不等式()20,x mx n m n R -+<∈的解集相同．（1）求m n -；（2）若(),,0,1a b c ∈，且ab bc ac m n ++=-，求222a b c ++的最小值． 11．（2020·重庆高三）已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|，设f （x ）的最大值为M . （1）求M ；（2）若正数a ，b 满足3311a b +=Mab ，证明：a 4b +ab 443≥. 12．（2020·福建省高三）已知函数()1f x x a x =-+-. （1）当0a =时，求不等式()1f x ≤的解集A . （2）设()32f x x ≤-的解集为B ，若A B ⊆，求这数a 的值. 13．（2020·福建省高三）已知函数()12f x x x =-+-. （1）求不等式()3f x <的解集I ；（2）当a ，b ，c I ∈时，求证：11191111114333abb cc a++≤+++---.14．（2020·山西省高三）已知函数()2f x x =．(1)求不等式()1f x >的解集； (2)若正数,,a b c 满足24923a b c f ⎛⎫++=+⎪⎝⎭，求149a b c ++的最小值． 15．（2020·山西省太原五中高三月考）已知函数()()0, 0f x x a x b a b =-++>>． （1）当1a b ==时，解不等式()2f x x <+；（2）若()f x 的值域为[)3,+∞，证明：()224281a b b a b +++≥+．16．（2020·山西省高三）已知函数()()220f x x a x a a =-++>. （1）求不等式()3f x a ≥的解集；（2）若()f x 的最小值为()20b b ->17．（2020·陕西省西安中学高三）已知,,a b c R +∈，x R ∀∈，不等式|1||2|x x a b c ---≤++恒成立.（1）求证:22213a b c ++≥（2）求证 18．（2020·江苏省高三）已知x ，y ，z 均为正数，且11131112x y z ++≤+++，求证：4910x y z ++≥． 19．（2019·四川省高三月考）已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣|x +1|． （1）求不等式f （x ）≤﹣1的解集M ；（2）结合（1），若m 是集合M 中最大的元素，且a +b ＝m （a ＞0，b ＞0），求+ 20．（2020·广东省高三月考） 已知函数()()20,0f x x a x b a b =-++>>. （1）当1a b ==时，解不等式()2f x x ≥-；（2）若函数()f x 的值域为[)2,+∞，求2242a b b a+的最小值. 21．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三）已知()12f x x x =-+-. （1）求使得()2f x >的x 的取值集合M ；（2）求证：对任意实数a ，()0b a ≠，当R x C M ∈时，()a b a b a f x ++-≥恒成立. 22．（2020·河南省高三三模）已知是a ，b ，c 正实数，且21a b c ++=.()1求111abc++的最小值；()2求证：22216a b c ++≥. 23．（2020·江西省高三三模）已知()|||1|.f x k x x =+- （Ⅰ）若2k =，解不等式()5f x ≤.（Ⅱ）若关于x 的不等式()|1||22|f x x x ≤++-的充分条件是1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，求k 的取值范围.24．（2020·河北省高三）已知a ，b ，c 为正实数，且a+b+c=1. （Ⅰ）证明：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （Ⅱ）证明：32a b c b c a c a b ++≥+++. 25．（2020·南昌市新建一中高三）已知函数()21f x x x =---，函数()421g x x x m =---+-． （1）当()0f x >时，求实数x 的取值范围；（2）当()g x 与()f x 的图象有公共点时，求实数m 的取值范围． 26．（2020·四川省高三三模）已知函数()||f x x a =-.（1）当1a =时，求不等式11()x f x +>的解集； （2）设不等式|21|()x f x x -+的解集为M ，若1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围. 27．（2020·福建省高三）已知函数()212f x x x =--+，()221g x x m x =-++. （1）求不等式()2f x <的解集；（2）若存在1x ，2x ∈R ，使得()()120f x g x +=，求m 的取值范围. 28．（2020·青海省高三）设函数()21|1|f x x x =---. （1）求不等式()3f x <的解集；（2）若方程2()f x x ax =+有两个不等实数根，求a 的取值范围. 29．（2020·贵州省高三）设函数()16f x x x a =++--. （1）当2a =时，求不等式()0f x ≤的解集； （2）若()23f x a ≥-，求a 的取值范围.30．（2020·重庆高三）已知函数()22f x x x =+-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b+++的最小值. 31．（2020·广州市天河外国语学校高三月考）已知函数()123f x x x =--+. （1）求不等式()1f x <的解集；（2）若存在实数x ，使得不等式()230m m f x --<成立，求实数m 的取值范围. 32．（2020·广东省高三）已知函数()1=-f x x . （1）解不等式()(1)4f x f x ++≥；（2）当0x ≠，x ∈R 时，证明：1()()2f x f x-+≥.33．（2020·福建省高三）已知函数2()1,()|||21|,f x x g x x a x a R =+=---∈.（1）当12a =时，解不等式27()2g x <-；（2）对任意12,x x R ∈，若不等式12()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 34．（2020·湖北省高三）已知函数()|4||24|f x x x =--+． （1）解不等式()3f x ；（2）若()f x 的最大值为m ，且2a b c m ++=，其中0a ，0b ，3c >，求(1)(1)(3)a b c ++-的最大值．35．（2020·辽宁省高三三模）已知a ，b ，c 均为正数，设函数f （x ）＝|x ﹣b |﹣|x +c |+a ，x ∈R ． （1）若a ＝2b ＝2c ＝2，求不等式f （x ）＜3的解集； （2）若函数f （x ）的最大值为1，证明：14936a b c++≥． 36．（2020·广西柳城县中学高三）设函数()133f x x x a a =-+-+，x ∈R ． （1）当1a =时，求不等式()7f x >的解集； （2）对任意m R +∈，x ∈R 恒有()49f x m m≥--，求实数a 的取值范围． 37．（2020·安徽相山淮北一中高三月考）已知函数()|2|f x ax =-. （Ⅰ）当4a =时，求不等式()|42|8f x x ++≥的解集；（Ⅱ）若[2,4]x ∈时，不等式()|3|3f x x x +-≤+成立，求a 的取值范围. 38．（2020·河南高三月考）已知函数()21f x x x =--+.（1）解不等式()2f x <；（2）若正实数m ，n 满足3m n +=，试比较122m n +与()32f x -的大小，并说明理由. 39．（2020·湖南衡阳市八中高三）已知实数正数x ，y 满足1x y +=.（1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 40．（2020·湖南雨花雅礼中学高三）已知函数()33f x x a x =-++. （1）若3a =，解不等式()6f x ≤；（2）若不存在实数x ，使得()162f x a x ≤--+，求实数a 的取值范围. 41．（2020·湖北黄州黄冈中学高三）已知()3f x x x =+-. （1）求不等式()5xf x x>的解集； （2）若()f x 的最小值为M ，且22a b c M ++=（a ，b ，c ∈R ），求证：2221a b c ++≥. 42．（2020·湖北黄州黄冈中学高三）已知1()||f x x a x a=++-. （1）当1a =时，求不等式()6f x 的解集M ； （2）若a M ∈，求证：10()3f x . 43．（2020·河北桃城衡水中学高三三模）已知函数()11f x x a x =+--． （1）当2a =-时，解不等式()5f x >； （2）若()3f x a x ≤+，求a 的最小值．44．（2020·宁夏原州固原一中高三）已知函数()|3|2f x x =+-. （1）解不等式|()|4f x <；（2）若x R ∀∈，2()|1|41f x x t t ≤--+-恒成立，求实数t 的取值范围. 45．（2020·河南郑州一中高三）已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +b +c ＝1.证明：（1）|a 12-|+|b +c ﹣1|12≥； （2）（a 3+b 3+c 3）（222111a b c ++）≥3. 46．（2020·贵州贵阳一中高三）已知函数()3f x x x a =--．（1）当0a =时，求解关于x 的不等式2()10f x x +->的解集；（2）当[]2,3x ∈时，该不等式()1f x ≥-恒成立，求a 的取值范围．47．（2020·云南红河高三）已知函数()|1||1|f x x x =++-．（Ⅰ）求不等式()8f x ≤的解集M ；（Ⅱ）若m 为M 中的最大元素，正数a ，b 满足．12m a b +=，证明2142a b ab ++≥．48．（2020·重庆九龙坡高三）已知函数()f x =（1）求()f x 的最大值；（2）若关于x 的不等式()|1|f x a -有解，求实数a 的取值范围.49（2019·河北辛集中学高三月考）已知函数()43f x x x =-++．（1）解不等式()9f x <；（2）若不等式()21f x a <-+在实数R 上的解集不是空集，求正数a 的取值范围.50．（2020·河南南阳高三二模）已知a ，b ，c 均为正实数，函数222111()4f x x x a b c =+-++的最小值为1.证明：（1）22249a b c ++≥；（2）111122ab bc ac++≤. 51．（2020·河南高三）已知函数()221f x x x =-++.（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）若函数()1y f x x =++的最小值为k ，求()220km m m+>的最小值. 52．（2020·安徽六安一中高三）已知()()2f x x m m m R =-+∈．（1）若不等式()2f x ≤的解集为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m 的值； （2）在（1）的条件下，若a ，b ，c +∈R ，且4a b c m ++=，求证：4436ac bc ab abc ++≥． 53．（2020·辽宁实验中学高三）设函数()|21|f x x =-．（1）设()(1)5f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b c a b c---⋅⋅≥． 54．（2020·安徽芜湖高三一模）设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）证明：22213x y z ++≥； （2）求()()()222111x y z -++++的最小值.55．（2020·河南高三）已知函数()2f x x a x =-++.（1）当1a =时，求不等式()7f x ≤的解集；（2）若0x R ∃∈，()03f x a ≤-，求实数a 的取值范围.56．（2020·河南开封高三二模）已知函数()2231f x x x =+--．（1）求函数()f x 的最大值M ；（2）已知0a >，0b >，4a b M +=，求2221a b a b +++的最大值． 57．（2020·福建高三）已知函数()12f x x x =-+-.（1）求不等式()3f x <的解集I ；（2）当a ，b ，c I ∈时，求证：11191111114333a b b c c a ++≤+++---.58．（2020·湖南雅礼中学高三月考）已知不等式15|2|22x x -++≤的解集为M . （1）求集合M ； （2）设集合M 中元素的最大值为t .若0a >，0b >，0c >，满足111223t a b c ++=，求2993a b c ++的最小值.59．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三）已知函数()211f x x x =++-. （1）解不等式()3f x ≥；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且122a b c m ++=，求222a b c ++的最小值. 60．（2020·广东东莞高三）已知函数1()|||3|2()2f x x k x k R =-++-∈． （1）当1k =时，解不等式()1f x ≤；（2）若()f x x 对于任意的实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．。
2020年高考“不等式”专题解题分析
本文将从不等式解法、基本不等式及其应用、简单线性规划问题和不等式“跨界”综合问题这四个方面对2020年全国各地的高考数学试卷中与不等式相关的试题进行解法分析、试题评析和综述.一、解不等式例1（天津卷·2）设a ∈R ，则“a >1”是“a 2>a ”的（）.（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件答案：A.例2（全国Ⅰ卷·理2）设集合A ={}x |x 2-4≤0，B ={}x |2x +a ≤0，且A ⋂B ={}x |-2≤x ≤1，则a 的值为（）.（A ）-4（B ）-2（C ）2（D ）4解：因为A ={}x |-2≤x ≤2，B ={}x |||x ≤-a 2，利用数轴表示不等式对应解集，则-a 2=1.解得a =-2.故答案选B .【评析】求解一次不等式、二次不等式是高考的必考点，是考查数学运算和直观想象素养的基本载体.往往结合集合的运算、常用逻辑用语、函数的性质等知识综合考查.例3（浙江卷·9）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，若()x -a ()x -b ()x -2a -b ≥0在x ≥0上恒成立，则（）.（A ）a <0（B ）a >0（C ）b <0（D ）b >0解：设f ()x =()x -a ()x -b ()x -2a -b ，则f ()x 的零点为a ，b ，2a +b .因为a ≠0且b ≠0，所以b ≠2a +b .下面分三类讨论.若三个零点互不相等，则零点均小于等于0，则a <0，b <0；若a =b ，则f ()x =()x -a 2()x -3a ，故3a <0，则a =b <0；若a =2a +b ，则f ()x =()x -a 2()x -b ，故a >0，b <0.综上所述，b <0.故答案选C.【评析】该题考查含参数三次不等式的求解问题，2020年高考“不等式”专题解题分析王云剑收稿日期：2020-07-28作者简介：王云剑（1974—），女，高级教师，主要从事教学科研和命题研究.摘要：从解不等式、基本不等式及其应用、简单线性规划问题、不等式“跨界”综合问题四个方面对2020年全国各地高考数学试卷中与不等式相关的试题进行分类评析和综述，并提供解题指导和备考建议.关键词：不等关系；函数思想；“跨界”交会··33可以转化为对应的三次函数值恒大于等于0的问题.根据已知条件求出三次函数的零点，结合三次函数的图象特征，对函数零点进行分类讨论即可解决.该题解法体现出不等式与函数之间相互包含、转化的关系，更能体现出学生对函数与方程、数形结合思想的运用水平，是对逻辑推理和数学抽象素养的考查.例4（北京卷·6）已知函数f()x=2x-x-1，则不等式f()x>0的解集是（）.（A）()-1，1（B）()-∞，-1⋃()1，+∞（C）()0，1（D）()-∞，0⋃()1，+∞解：f()x>0等价于2x>x+1.在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x和y=x+1的图象，如图1所示.图1+1因为两个函数图象的交点坐标为()0，1和()1，2，所以不等式2x>x+1的解集为()-∞，0⋃()1，+∞.故答案选D.例5（新高考全国Ⅰ/Ⅱ卷·8）若定义在R的奇函数f()x在()-∞，0单调递减，且f()2=0，则满足xf()x-1≥0的x取值范围是（）.（A）[]-1，1⋃[)3，+∞（B）[]-3，-1⋃[]0，1（C）[]-1，0⋃[)1，+∞（D）[]-1，0⋃[]1，3解法1：因为定义在R上的奇函数f()x在()-∞，0上单调递减，且f()2=0，所以f()x在()0，+∞上也是单调递减，且f()-2= 0，f()0=0.由xf()x-1≥0，得{x≤0，-2≤x-1≤0或x-1≥2或{x≥0，0≤x-1≤2或x-1≤-2.解得-1≤x≤0或1≤x≤3.解法2：因为f()x是定义在R上的奇函数，所以f()0=0.结合函数的单调性、奇偶性、零点，举特例画出f()x（实线）及向右平移1个单位后f()x-1（虚线）的图象，如图2所示.图2根据图象解得满足xf()x-1≥0的x的取值范围是[]-1，0⋃[]1，3.故答案选D.【评析】以上两道试题都是解超越不等式，高考试题中的超越不等式是结合指数函数、对数函数、三角函数等，或者是以上其中之一与代数式的综合.主要利用单调性、奇偶性、周期性等函数的性质来解决.对于不提供具体解析式的抽象函数，可以结合函数的基本性质，利用数形结合思想解决.该题主要体现了对学生数学抽象、直观想象素养的考查.例6（全国Ⅰ卷·理23）已知函数f()x=||3x+1-2||x-1.（1）在图3中画出y=f()x的图象；图3··34（2）求不等式f()x>f()x+1的解集.解：（1）因为f()x=ìíîïïïïx+3，x≥1，5x-1，-13<x<1，-x-3，x≤-13，作出函数f()x的图象，如图4所示.图4（2）将函数f()x的图象向左平移1个单位，可得函数f()x+1的图象，如图5所示.图5由-x-3=5()x+1-1，解得x=-76.所以不等式f()x>f()x+1的解集为æèöø-∞，-76.【评析】绝对值不等式问题的本质是绝对值的定义，即||a={a，a≥0，-a，a<0.根据绝对值的定义进行分类讨论，即可把问题转化为不含绝对值的不等式问题.解题易错点有三个：一是分类不全有遗漏，如遗漏a=0的情况；二是忽视分类的前提条件；三是分类后混淆各类之间的关系.分类讨论后需要在每类的自变量取值范围内求出对应的解集，然后求并集方能得到原不等式的解集.该题体现了对学生的数学运算、直观想象和逻辑推理素养的考查.二、基本不等式及其应用例7（全国Ⅲ卷·文/理23）设a，b，c∈R，a+ b+c=0，abc=1.（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{}a，b，c表示a，b，c中的最大值，证明：max{}a，b，c≥43.（1）证明：因为()a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+ 2bc=0，所以2ab+2ac+2bc=-()a2+b2+c2≤0.因为a，b，c均不为0，所以ab+ac+bc<0.（2）解：根据条件可以判断出a，b，c三者地位完全对称，不妨设a=max{}a，b，c，由a+b+c=0，abc=1，得a>0，b<0，c<0.所以a=-b-c≥2bc=.解得a3≥4，当且仅当b=c时等号成立.所以max{}a，b，c≥43.【评析】运用基本不等式解题要注意其成立的三个条件，即“正、定、等”缺一不可.“正”是要先判断参数是否为正值；“定”是要看参数的和或积是否为定值；“等”是要验证等号能否成立.验证等号是否成立时主要注意两点：一是相等时参数是否在定义域内；二是多次运用基本不等式时等号是否同时成立.学生容易遗忘“正”和“等”这两个条件.例8（天津卷·14）已知a>0，b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为______.解：因为a>0，b>0，ab=1，所以12a+12b+8a+b=a+b2+8a+b≥4.当且仅当a+b=4时等号成立.因为ab=1，所以a=2-3，b=2+3或a=2+3，b=2-3时，等号成立.故答案为4.··35【评析】该题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键.解题的常见策略是将常数1替换为ab 代入，整体代换后转化为基本不等式的形式求最值.例9（全国新高考Ⅰ/Ⅱ卷·11）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）.（A ）a 2+b 2≥12（B ）2a -b>12（C ）log 2a +log 2b ≥-2（D ）a +b ≤2解：根据不等式æèöøa +b 22≤a 2+b 22可得出a 2+b 2≥12，故选项A 正确；因为a -b =2a -1>-1，所以2a -b >2-1=12.故选项B 正确；因为log 2a +log 2b =log 2ab ≤log 2æèöøa +b 22=log 214=-2，当且仅当a =b =12时，等号成立，故选项C 不正确；因为èø2≤a +b 2=12，所以a +b ≤2，当且仅当a =b =12时，等号成立.故选项D 正确.故答案选ABD.【评析】多选题是2020年高考中出现的新题型，较单选题的得分难度增大，更能考查学生对知识的掌握程度和理解运用能力，能更好地体现高考试题的梯度和效度.三、简单线性规划问题例10（全国Ⅰ卷·理13）若x ，y 满足约束条件ìíîïï2x +y -2≤0，x -y -1≥0，y +1≥0，则z =x +7y 的最大值为______.解：绘制不等式组表示的平面区域，如图6所示.图6=0目标函数z =x +7y 过点A 时达到最大值.由{2x +y -2=0，x -y -1=0，得点A 的坐标为()1，0.故目标函数的最大值为1.【评析】线性规划问题实质是求二元一次方程及二元一次不等式关系的问题.可以结合作出的可行域，根据目标函数对应直线的方向和倾斜程度，确定在何处取得最值.这类试题比较独立，相对容易掌握，主要是对直观想象和数学运算素养的考查.四、不等式“跨界”综合问题高考中的对不等式知识的考查常与函数、解析几何、数列、向量、三角函数等进行“跨界”综合.下面结合三类常考的试题进行分析，体会、总结解决不等式综合问题的常见策略.1.比较大小问题例11（全国Ⅲ卷·理12）已知55<84，134<85.设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（）.（A ）a <b <c （B ）b <a <c（C ）b <c <a（D ）c <a <b解：由题意可知a ，b ，c ∈()0，1.因为a b =log 53log 85=lg 3lg 5·lg 8lg 5<æèçöø÷lg 3+lg 82lg 52=æèçöø÷lg 24lg 252<1，所以a <b .由b =log 85，得8b =5.由55<84，得85b <84.所以5b <4，可得b <45.由c =log 138，得13c =8.由134<85，得134<135c .所以5c >4，可得c >45.··36综上所述，a <b <c .故答案选A.【评析】比较大小时，一般策略是将所求与特殊值（如0，1）进行比较.该题根据已知条件先将b ，c 与45进行比较，然后再根据函数的单调性或运用作商（差）法进行比较.比较大小的本质是对函数单调性的应用.该题主要考查学生的逻辑推理和数学运算素养.例12（全国Ⅱ卷·理11/文12）若2x-2y<3-x-3-y，则（）.（A ）ln ()y -x +1>0（B ）ln ()y -x +1<0（C ）ln ||x -y >0（D ）ln ||x -y <0解：将不等式变形为2x-3-x<2y-3-y，构造函数f ()t =2t -3-t .因为函数f ()t =2t -3-t 在R 上为增函数，所以x <y ，即y -x +1>1.故ln ()y -x +1>0.故答案选A.【评析】例12与例11类似，都是与指数函数、对数函数综合考查不等关系，解题的关键是能够发现共性，构造函数，利用函数的单调性进行求解.主要考查函数与方程、转化与化归的数学思想，体现对学生数学抽象、逻辑推理、数学运算素养的考查.2.最值和取值范围问题例13（全国Ⅱ卷·理8/文9）设O 为坐标原点，直线x =a 与双曲线C ：x 2a 2-y2b2=1()a >0，b >0的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）.（A ）4（B ）8（C ）16（D ）32解：双曲线的渐近线方程是y =±b ax .联立ìíîx =a ，y =±b a x ，得D ()a ，b ，E ()a ，-b .（设点D在第一象限，点E 在第四象限.）所以△ODE 的面积为S △ODE =12a ·2b =ab =8.所以c 2=a 2+b 2≥2ab =16，当且仅当a =b =22时等号成立.所以双曲线C 的焦距的最小值为8.故答案选B.例14（全国Ⅲ卷·文8）点()0，-1到直线y =k ()x +1距离的最大值为（）.（A ）1（B ）2（C ）3（D ）2解法1：点()0，-1到直线y =k ()x +1距离为||k +1k 2+1.由不等式æèöøa +b 22≤a 2+b 22，得æèöøk +122≤k 2+12，即k +1≤2.解法2：根据解法1，令tk +1.整理，得()t 2-1k 2-2k +t 2-1=0.由Δ=4-4()t 2-12≥0，解得0≤t 2≤2.故答案选B.【评析】该题是不等式与解析几何、函数的“跨界”综合.从几何法入手，可以利用几何性质将问题转化为求两点间距离问题，体现数形结合的优势；也可以从代数方法入手，利用基本不等式或函数最值来解决问题.例15（浙江卷·17）已知平面单位向量e 1，e 2，满足||2e 1-e 2≤2，a =e 1+e 2，b =3e 1+e 2，设a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值为_______.解：因为||2e 1-e 2≤2，两边平方，得34≤e 1·e 2≤1.令t =e 1·e 2，则t ∈éëùû34，1.所以cos 2θ=()a ·b 2a 2·b 2=()4+4e 1·e 22()2+2e 1·e 2()10+6e 1·e 2=4()1+t 5+3t=43æèöø1-25+3t .当t =34时，cos 2θ取得最小值，最小值为2829.【评析】利用向量模的平方可以求向量的数量积，··37利用向量的数量积可以求向量的夹角.采用换元法，将cos 2θ转化为关于t 的函数，求其最小值，即求函数y =43æèöø1-25+3t 的最小值，然后利用函数在éëùû34，1上为增函数即可求得cos 2θ的最小值.例16（全国新高考Ⅰ/Ⅱ卷·7）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则 AP ·AB 的取值范围是（）.（A ）()-2，6（B ）()-6，2（C ）()-2，4（D ）()-4，6解法1： AP · AB 的几何意义为向量AB 的模与向量 AP 在AB 方向上的投影数量的乘积.如图7，可知 AP 在AB 方向上的投影长度的取值范围是()-1，3.C 图7所以 AP ·AB 的取值范围是()-2，6.解法2：如图8，建立平面直角坐标系.则 AB =()2，0， AP =()x ，y ， AP ·AB =2x .因为x ∈()-1，3，所以 AP ⋅AB 的取值范围是()-2，6.【评析】该题为不等式与平面向量进行“跨界”综合，涉及向量数量积的定义及其几何意义.解决向量问题的策略主要是两类：一类是直接利用向量概念、运算和其几何意义；另一类是建立平面直角坐标系，转化为坐标解决，即利用解析几何的思想解决向量问题.例17（浙江卷·20）已知数列{}a n ，{}b n ，{}c n 满足a 1=b 1=c 1=1，c n =a n +1-a n ，c n +1=b nb n +2c n ，n ∈N ∗.（1）若{}b n 为等比数列，公比q >0，且b 1+b 2=6b 3，求q 的值及数列{}a n 的通项公式；（2）若{}b n 为等差数列，公差d >0，证明：c 1+c 2+⋯+c n <1+1d，n ∈N ∗.解：（1）由b 1+b 2=6b 3，q >0，解得q =12.所以b n =12n -1.所以c n +1=12n -112n +1c n =4c n .所以数列{}c n 是首项为1，公比为4的等比数列.所以c n =4n -1.所以a n +1-a n =c n =4n -1.所以a n =a 1+1+4+⋯+4n -2=4n -1+23.（2）根据题意，设b n =1+()n -1d =dn +1-d.因为c n +1c n =b nb n +2，所以c n c n -1=b n -1b n +1()n ≥2，n ∈N ∗.所以c n =c n c n -1·c n -1c n -2·⋯·c 3c 2·c2c 1·c 1=b 1b 2b n b n +1=æèöø1+1d æèçöø÷1b n -1b n +1.所以c 1+c 2+⋯+c n=æèöø1+1d éëêùûúæèçöø÷1b 1-1b 2+æèçöø÷1b 2-1b 3+⋯+æèçöø÷1b n -1b n +1=æèöø1+1d æèçöø÷1-1b n +1.因为d >0，b 1=1，所以b n +1>1.所以æèöø1+1d æèçöø÷1-1b n +1<1+1d .即c 1+c 2+…+c n <1+1d（n ∈N ∗）.【评析】该题主要考查利用累加法和累乘法求数列··38的通项公式，以及利用裂项相消法求数列的和.第（2）小题可以利用不等式性质推证.数列是一种离散型函数模型，可以视为关于n ()n ∈N ∗的函数，因此可以利用函数的性质求证不等式.3.导数综合问题例18（江苏卷·14）在平面直角坐标系xOy中，已知Pèöø÷0，A ，B 是圆C ：x 2+æèöøy -122=36上的两个动点，满足PA =PB ，则△PAB 面积的最大值是______.解法1：由PA =PB ，得PC ⊥AB .设圆心C 到直线AB 距离为d ，d ∈[)0，6.则||AB =236-d 2，||PC =4=1.所以S △PAB ≤12·236-d 2()d +1=()36-d 2()d +12.令y =()36-d 2()d +12()0≤d <6，由y ′=2()d +1()-2d 2-d +36=0，解得d =4.当0≤d <4时，y ′>0；当4≤d <6时，y ′≤0.所以当d =4时，y 取最大值，即S △PAB 取最大值，最大值为105.解法2：设∠ACB =2θæèçöø÷θ∈æèùû0，π2，则S △PAB ≤6sin θ+18sin 2θ.令y =6sin θ+18sin 2θ，则y ′=6cos θ+36cos 2θ=6()12cos 2θ+cos θ-6.当cos θ=23时，y max =105.故答案为105.例19（全国Ⅰ卷·理21）已知函数f ()x =e x+ax 2-x .（1）当a =1时，讨论f ()x 的单调性；（2）当x ≥0时，f ()x ≥12x 3+1，求a 的取值范围.解：（1）当a =1时，f ()x =e x +x 2-x ，则f ′()x =e x+2x -1.因为f ″()x =e x +2>0，所以f ′()x 单调递增.因为f ′()0=0，所以当x ∈()-∞，0时，f ′()x <0，故f ()x 单调递减.当x ∈()0，+∞时，f ′()x >0，故f ()x 单调递增.（2）由f ()x ≥12x 3+1，得e x +ax 2-x ≥12x 3+1()x ≥0.当x =0时，符合题意；当x >0时，分离参数，得a ≥-e x -12x 3-x -1x 2.令g ()x =-e x -12x 3-x -1x 2，则g ′()x =-()x -2æèöøe x -12x 2-x -1x3.令h ()x =e x -12x 2-x -1()x ≥0，则h ′()x =e x -x -1，h ″()x =e x -1≥0.所以h ′()x 单调递增，故h ′()x ≥h ′()0=0.所以函数h ()x 单调递增，故h ()x ≥h ()0=0.由h ()x ≥0，得e x -12x 2-x -1≥0恒成立.所以当x ∈()0，2时，g ′()x >0，g ()x 单调递增；当x ∈()2，+∞时，g ′()x <0，g ()x 单调递减.所以g max ()x =g ()2=7-e 24.综上所述，实数a 的取值范围是éëêöø÷7-e 24，+∞.【评析】函数是高中数学的主线之一，是研究实际问题的主要工具，而导数是研究函数单调性、极值（最值）的有效工具.不等式与导数的“跨界”考查主要从以下几个角度设计问题：（1）利用导数求函数的单调区间；（2）含参数不等式转化为对应函数最值；（3）实际生活中的优化问题.一般来说，此类试题难度偏大，主要是对学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模和数学运算素养的综合考查.五、综述不等关系在现实生活中广泛存在，相等关系与不··39等关系是对立统一的，因此，不等式与函数知识息息相关.在复习过程中，建议注重理解不等式与函数等知识的内在联系，抓住客观事实的本质，在熟悉知识与方法的基础上，对问题进行灵活转化，逐渐提高分析问题和解决问题的能力.《普通高中数学课程标准（2017年版）》注重发展学生的“四基”“四能”，新高考立足“一核”“四层”“四翼”，通过高考命题实现“教、学、考、评”的一致化.结合新高考命题的方向和对各地高考试卷的分析，给出如下不等式的备考建议.1.重强基熟悉、理解有关不等式的基础知识和基本方法，规避易错点是解题的基础.布卢姆认知目标分类学将认知领域分为记忆、理解、运用、分析、评价和创造六个层级.熟练记忆、理解概念性知识和事实性知识，才能进行进一步的分析和创造.例如，不等式21 a +1b≤ab≤a+b2≤()a>0，b>0在试题中的应用频率较高，准确记忆并能在具体问题中识别出参数意义是正确运用的前提.2.结构化在掌握不等式基础知识的基础上，还应注意知识结构化.在知识的交会处命题是不等式高考命题的规律，因此在复习备考中应注重梳理知识和学科间的内在联系，把握不等式蕴涵的数学思想.3.会解题阅读审题是解题的第一关，分析试题的结构有助于发现思维角度，进一步联想相关知识，合理分析、转化问题，综合运用数或形的方法，选择适当的解题方法，最终高效地解决问题.在备考中，应该注重解题技巧的积累，注重养成从多种思维角度分析问题的习惯，注重解题反思，这样才能不断提高数学学科核心素养.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.［2］杨学为.中国高考报告（2020）［M］.北京：社会科学文献出版社，2020.［3］王祎，夏峰.2019年高考“不等式”专题解题分析［J］.中国数学教育（高中版），2019（7/8）：87-94.解:（1）当a=1时，f()x=()x+1e x-x2-4x+1，所以f′()x=()x+2()e x-2.当x∈()-∞，-2时，f′()x>0，函数f()x是单调递增的；当x∈()-2，ln2时，f′()x<0，函数f()x是单调递减的；当x∈()ln2，+∞时，f′()x>0，函数f()x是单调递增的.综上所述，f()x在区间()-∞，-2，()ln2，+∞上单调递增；在区间()-2，ln2上单调递减.（2）当x≥-1时，f()x≥0恒成立，即a()x+1e x≥x2+4x-1恒成立；当x=-1时，对于任意a，0≥-4恒成立，即f()x≥0恒成立；当x>-1时，a()x+1e x≥x2+4x-1恒成立，即a≥x2+4x-1()x+1e x恒成立.令g()x=x2+4x-1()x+1e x，则g′()x=-()x+2()x+3()x-1()x+12e x.所以当-1<x<1时，g′()x>0，g()x单调递增；当x≥1时，g′()x≤0，g()x单调递减.所以当x>-1时，g max()x=g()1=2e.所以a≥2e.综上可得a≥2e.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.（上接第32页）··40。
2020年高考数学分类之不等式选讲详解
（2）求不等式 f (x) f (x 1) 的解集．
【答案】（1）详解解析；（2）
,
7 6
.
【详解】
x 3, x 1
（1）因为
f
x 5x 1,
1 3
x 1 ，作出图象，如图所示：
x 3, x 1 3
（2）将函数 f x 的图象向左平移1个单位，可得函数 f x 1 的图象，如图所示：
四.基本不等式 9．（2020 海南卷 12 山东卷 11)已知 a 0 ， b 0 ，且 a b 1，则（ ）
A． a2 b2 1 2
B． 2a b 1
2
C． log a log b 2
2
2
D． a b 2
【答案】ABD
【详解】对于
A， a2
b2
a2
1 a 2
2a2
2a1
x 1,
的最大值为_________．
【答案】7
【详解】不等式组所表示的可行域如图
因为 z 3x 2y ，所以 y 3x z ，易知截距 z 越大，则 z 越大，
22
2
平移直线 y 3x ，当 y 3x z 经过 A 点时截距最大，此时 z 最大，
2
22
y 2x x 1
由
x 1
，得
y
2
，
A(1,
2)
，
所以 zmax 3 1 2 2 7 .
故答案为：7.
2x y 2 0,
7．（2020·全国Ⅰ卷高考真题（文理
13））若
x，y
满足约束条件
x
y
1
0,
y 1 0,
则z x7y
的最大值为____________.
高考不等式题型及解题方法
高考不等式题型及解题方法高考不等式题型及解题方法不等式作为数学中的一种重要的数学概念，它在高考数学中也占有重要的地位。
在高考中，关于不等式的考点主要有以下几个方面：1. 不等式的基本性质：包括不等式的传递性、反对称性、加减乘除不等式两端的数等等。
2. 不等式的解法：包括一元一次不等式的解法、一元二次不等式的解法、绝对值不等式的解法等等。
3. 不等式的应用：包括利用不等式求最值、证明不等式等等。
在高考中，关于不等式的考点是非常多的，而其中涉及到的不等式类型也是非常多的，下面我们就来了解一下高考中常见的不等式类型及其解法。
一、一元一次不等式一元一次不等式是指一个未知数的一次不等式，它的一般形式为ax+b>0或ax+b<0。
解一元一次不等式时，首先需要将未知数的系数和常数项分别移项，然后根据不等式符号判断解的范围。
例如：解不等式2x-3>1。
解：将不等式中的常数项移项得：2x>4，再将未知数的系数2移项得：x>2。
所以，不等式2x-3>1的解集为{x|x>2}。
二、一元二次不等式一元二次不等式是指一个未知数的二次不等式，它的一般形式为ax+bx+c>0或ax+bx+c<0。
解一元二次不等式时，可以利用函数图像、配方法、求根公式等方法进行求解。
例如：解不等式x+2x-3>0。
解：首先求出x+2x-3=0的两个根：x1=-3,x2=1。
然后将不等式方程对应的二次函数的图像画出来，根据函数图像的上下关系，可以判断出不等式的解集为(-∞,-3)U(1,+∞)。
三、绝对值不等式绝对值不等式是指一个未知数与定值或其他未知数之间的关系，它的一般形式为|ax+b|<c或|ax+b|>c。
解绝对值不等式时，一般需要进行分情况讨论，然后利用不等式的基本性质进行求解。
例如：解不等式|2x-1|<3。
解：首先将不等式中的绝对值拆开，得到两个一元一次不等式：2x-1<3和2x-1>-3。
2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练
2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 一元二次不等式解法及其应用例1 若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a b d c< 【答案】D【解析】由1100c d d c<<⇒->->，又 0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c<例2 关于的不等式（）的解集为，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】∵由 ()，得(4)(2)0x a x a -+<，即24a x a -<<，∴122,4x a x a =-=. ∵214(2)615x x a a a -=--==，∴15562a ==．故选A ．例3 不等式2902x x ->-的解集是___________． 【答案】【解析】不等式可化为采用穿针引线法解不等式即可．例 4 已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．【答案】( 【解析】由题意可得()0f x <对于[,1]x m m ∈+上恒成立，x 22280x ax a --<0a >12(,)x x 2115x x -=a =527215415222280x ax a --<0a >(3,2)(3,)-⋃+∞(3)(2)(3)0x x x +-->,1)(2-+=mx x x f ]1,[+∈m m x 0)(<x f m即22()210(1)230f m m f m m m ⎧=-<⎨+=+<⎩，解得02m -<<． 题型二 应用基本不等式求函数最值 例1 已知54x <，则函数14245y x x =-+-的最大值 . 【答案】1【解析】因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数， 所以对42x -要进行拆、凑项.5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =. 【易错点】注意54x <,则4x-5为负数，要提“-”使其变“+”. 【思维点拨】本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值. 例 2 当40<<x 时，则(82)y x x =-的最大值是 . 【答案】8.【解析】因为8)2282(21)]28(2[21)28(y 2=-+≤-=-=x x x x x x 当且仅当x x 282-=，即2=x 时取等号，所以当2=x 时，(82)y x x =-的最大值为8.【思维点拨】由40<<x 知，028>-x ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
高考文科数学不等式题型
高考文科数学不等式题型
在高考文科数学中，不等式是一种重要的题型，主要考察学生的数学思维和解决问题的能力。
以下是一些常见的不等式题型：
1. 基础不等式：考察学生对基本不等式的理解和应用，如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等。
2. 绝对值不等式：考察学生对绝对值不等式的理解和应用，如a ≤ b ≤ c等。
3. 线性规划问题：考察学生利用不等式表示的可行域，求目标函数的最值。
4. 函数不等式：考察学生对函数不等式的理解和应用，如f(x) > g(x)或f(x) < g(x)，以及求解一些函数的不等式。
5. 序列不等式：考察学生对序列不等式的理解和应用，如an < bn或an > bn等。
6. 综合不等式：考察学生综合运用不等式的能力，如通过构造特定的函数或序列，利用不等式性质求解问题。
在解决不等式问题时，学生需要掌握一些基本的解题技巧和方法，如因式分解、配方、换元、放缩法等。
同时，还需要注意一些关键的细节，如不等式的定义域、取值范围等。
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故 z 的最小值是
9
.
2
y (3) z 2
x
1 2
表示可行域内任一点
1
1
x, y 与定点 Q 1,
连线斜率的 2
2
倍.因为 k QA
7 ， kQB 4
3 ，所以 z 的取值范围为
8
3, 7 . 42
【易错点】 作出直线图像后要熟练掌握如何找到满足条件的可行域
.
【思维点拨】 (1) 把直线直线 x 2 y 4 z 变形为 y
．
【答案】 c 9
【解析】 因为 f ( x) 的值域为 [0,+ ∞），所以
0, 即 a 2 4b ,
所以 x2 ax a2 c 0 的两根，由韦达定理得 2m 6 4
a2
a, m(m 6)
c, 解得 c 9 .
4
4.已知函数 f (x)
x 2 1,x 0 ,则满足不等式 f (1 x2 )
1, x 0
。
xy
【答案】 64
2
【解析】 xy
xy 12
2 xy
8
4 y 64 x
4y 64x
32 2
32 64
xy
xy
xy
.
281
当且仅当
x
y
时，即 x 2
4. y
16 ，上式取 “ =，”故 xy min
64
.
2.已知 0 x 1 ，则函数 y 4 1 的最小值是
.
x 1x
【答案】 9
【解析】 因为 0 x 1，所以 1 x 0 。
【思维点拨】 由 0 x 4知， 8 2x 0 ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两 个式子积的形式， 但其和不是定值。 注意到 2x (8 2x) 8 为定值， 故只需将 y x(8 2x) 凑上一个系数
高考文科数学不等式问题的题型与方法
专题三；高考文科数学不等式问题的题型与方法（文科）一、考点回顾1．高考中对不等式的要求是；理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理；并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。
2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查；一是单方面考查不等式的性质；解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查；深化数学知识间的融汇贯通；从而提高学生数学素质及创新意识．3．在不等式的求解中；换元法和图解法是常用的技巧之一；通过换元；可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式；通过构造函数；将不等式的解化归为直观、形象的图象关系；对含有参数的不等式；运用图解法；可以使分类标准更加明晰．4．证明不等式的方法灵活多样；但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系；选择适当的证明方法；要熟悉各种证法中的推理思维；并掌握相应的步骤；技巧和语言特点．比较法的一般步骤是；作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中；不等式在各种题型中都有出现。
在解答题中；不等式与函数、数列与导数相结合；难度比较大；使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络其中；指数不等式、对数不等式、无理不等式只需了解；不做过高要求.二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中；一般与函数的值域；最值与比较大小等常结合在一起例1．（江西卷）若a >0；b >0；则不等式－b <1x<a 等价于（ ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b <-1a 或x >1b <1b －或x >1a解析；－b <1x <a 等价于－b <1x <0或0<1x <a 等价于x <1b －或x >1a答案；D点评；注意不等式ba b a 11>⇔<和适用条件是0>ab 例2.（2007年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==；那么（ ）Ａ．ab c d +≤；且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥；且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤；且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥；且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一解析；正数a b c d ，，，满足4a b cd +==；∴ 4=a b +≥；即4ab ≤；当且仅当a =b =2时；“=”成立；又4=2()2c d cd +≤；∴ c+d ≥4；当且仅当c =d =2时；“=”成立；综上得ab c d +≤；且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案；A点评；本题主要考查基本不等式；命题人从定值这一信息给考生提供了思维；重要不等式可以完成和与积的转化；使得基本不等式运用成为现实。
(晨鸟)2020年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练
2020 年高考文科数学《不等式》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 一元二次不等式解法及其应用例 1若 ab 0 ，c d0 ，则一定有（）abB ．a ba ba bA ．dcdC ．cD ．cc dd【答案】 D【解析】 由 c d1 1 0 ，又dca b0 ，由不等式性质知：a b 0 ，所以 abdcdc例 2关于 x 的不等式 x22ax 8a20 （ a 0 ）的解集为 ( x 1, x 2 ) ，且 x 2 x 1 15 ，则 a（）571515A ．B ．C ．D ．2242【答案】 A【解析】 ∵由 x22ax 8a20 ( a 0 )，得 (x 4a)( x 2a) 0 ，即 2a x 4a ，∴ x 12a, x 24a .∵ x 2x 1 4a ( 2a)6a 15 ，∴ a15 56．故选 A ．22x9例 3 不等式0 的解集是 ___________． 【答案】 ( 3,2)(3,)【解析】 不等式可化为 ( x 3)( x 2)( x 3)0 采用穿针引线法解不等式即可．例 4 已知函数 f ( x) x 2mx 1, 若对于任意 x [ m, m 1] ，都有 f (x) 0 成立，则实数m 的取值范围是．【答案】 (2,0)2【解析】 由题意可得 f ( x) 0 对于 x [m, m 1] 上恒成立，即 f (m) 2m 21 0，解得2 0 ．f (m 1) 2m 23mm2题型二 应用基本不等式求函数最值例 1已知 x5，则函数y4 x 21 5的最大值 .44 x【答案】 1【解析】 因 4x5 0 ，所以首先要 “调整 ”符号，又 (4 x 2)1不是常数，4x5所以对 4x2 要进行拆、凑项 .x5, 5 4x 0，y 4x 2155 4x1 32 3 144x 5 4x当且仅当 54x1 ，即 x 1时，上式等号成立，故当x 1 时， y max 1.4x5【易错点】 注意 x54 ,则 4x-5 为负数，要提 “-”使其变 “ +”.【思维点拨】 本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值 .例 2 当 0 x 4 时，则 yx(8 2x) 的最大值是.【答案】 8 .【解析】 因为 yx(8 2x)1 [2 x(8 2x)]1 ( 2x 8 2x )2 822 2当且仅当 2x8 2x ，即 x 2 时取等号，所以当 x 2 时， y x(8 2x) 的最大值为 8 .【思维点拨】 由 0x 4知， 8 2x 0 ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式， 但其和不是定值。
高考文科数学不等式问题的题型与方法
专题三：高考文科数学不等式问题的题型与方法（文科）一、考点回顾1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。
2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识．3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。
在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只需了解，不做过高要求.二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起例1．（2006年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a解析：－b <1x <a 等价于－b <1x <0或0<1x <a 等价于x <1b －或x >1a答案：D点评：注意不等式ba b a 11>⇔<和适用条件是0>ab 例2.（2007年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2()2c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。
2020年高考文科数学《不等式选讲》题型归纳和训练
2020年高考文科数学《不等式选讲》题型归纳与训练【题型归纳】题型一解绝对值不等式例1设函数f(x)=|x-l|+|x-2|(1)解不等式f⑴>3.(2)若f(x)>a对xcR恒成立，求实数。
的取值范围.【答案】(1)(—oo,0)(3,+oo);(2)实数a的取值范围是(-8,1)3-2x,x<l,【解析】(1)因为/(x)=|x-l|+|x-2|=-1,1<x<2,2x-3,x>2.所以当时，3—2Q3,解得x〈0；当1GM2时，/(x)>3无解；当x〉2时，*3>3,解得x〉3.所以不等式/'(x)>3的解集为(一qo,0)d(3,+co).3-2x,x<1,(2)因为/'(X)=<1,1<2,所以/(X)min=l.2x-3,x>2.因为f(x)>a T旦成立，所以aVl,即实数a的取值范围是(一co,l).【易错点】注意定义域取值范围.【思维点拨】试题以考查不等式的性质为目标，以绝对值不等式求解与证明问题为背景，所涉及到的知识均为考生熟悉的，易于入手，可从不同角度思考分析,使得不同基础和能力的考生都有所收获.题型二解绝对值三角不等式例1已知函数/(x)=|.x-l|+|x-2|,若不等式|a+b|+|a一仞2|a|y(x)对a?0,a、beR恒成立，求实数X的范围.【答案】(x|i<x<|-}【解析】Si\a+k\+\a-t\>\c^f(x)且"0得血+七”")>川).\a\又因为M±M)>fe±^M=2,则有2>/(x).14〔a解不等式I—1|+|—2区2得:C〈：.【易错点】注意等号成立的条件【思维点拨】1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.含有两个绝对值符号的不等式，如|x-a|+|x—Z j|>c^D|x—a|+|x-Z?|<c 型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于X前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.题型三利用绝对值不等式求参数范围例1设函数/(x)=|2x+l|+|2x-a|+a,x e R.(1)当。
高考数学不等式方法技巧及题型全归纳(100页)
g(x) 0
f
(x)
0
（2） f (x) 0 f x g x 0
g(x)
f (x) g(x)
0
f (x) g(x) g(x) 0
0
2.2 含有绝对值的不等式
（1） f x g x f (x) g(x) 或 f (x) g(x) ；
（2）| f (x) | g(x) g(x) f (x) g(x) ；
到的 与原式是恒等的，则称 1, 2, ⋅⋅⋅ , 是完全对称的.
如
+
+
，
b
a
c
c
b
a
a
c
b
等.
设 ( 1, 2, ⋅⋅⋅ , )是一个 元函数. 若作置换 1 → 2, 2 → 3, ⋅⋅⋅ , −1 → , → 1，得到
的 与原式是恒等的，则称 ( 1, 2, ⋅⋅⋅ , )是轮换对称的.
如3
+
3
+
3 ， a b c 等. ab bc ca
显然，完全对称的一定是轮换对称的.
2
2、重要不等式
2.1 无理式、分式
（1）
f
(x)
g(x)
g(x) 0
f
(x)
0
g(x) 0
或
f
(x)
g 2(x)
g(x) 0
f
(x)
g(x)
f
(x)
0
f (x) g 2 (x)
f (x)
g(x) 0 g(x) 0 或
2.1 无理式、分式............................................................................................................... 3 2.2 含有绝对值的不等式................................................................................................... 3 2.3 一元二次不等式........................................................................................................... 3 2.4 基本不等式................................................................................................................... 4 2.5 柯西不等式................................................................................................................... 4
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专题三：高考文科数学不等式问题的题型与方法（文科）一、考点回顾1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。
2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识．3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。
在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只需了解，不做过高要求.二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a解析：－b <1x <a 等价于－b <1x <0或0<1x <a 等价于x <1b －或x >1a答案：D点评：注意不等式ba b a 11>⇔<和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2()2c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。
例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜-1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x<0时，－x ≥ax ，∴a ≥－1，综上得11a -≤≤，即实数a 的取值范围是a ≤1，选B 。
2． 有关不等式的解法此类问题在高考中选择题，填空题及解答题中均有出现，并且这几年考查也为较为平凡，要求掌握几种简单的不等式的解法，如分式不等式，高次不等式，无理不等式及含有绝对值的不等式的解法，特别要注意含参数不等式，这类问题经常一集合结合在一起出现在解答题中。
例4．（xx 年安徽）解不等式(|31|1)(sin 2)x x ---＞0解析：因为对任意x ∈R ，sin 20x -<，所以原不等式等价于3110x --<．即311x -<，1311x -<-<，032x <<，故解为203x <<． 所以原不等式的解集为203x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭点评：本题将绝对不等式与三角函数知识结合起来考查，属中档题例5．（xx 年湖北卷）设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于（ ）Ａ．{}|01x x <<Ｂ．{}|01x x <≤Ｃ．{}|12x x <≤Ｄ．{}|23x x <≤解析：先解两个不等式得{}02P x x =<<，}{13Q x x =<<。
由P Q -定义选Ｂ 答案：Ｂ点评：本题通过考察两类简单不等式的求解，进一步考察对集合的理解和新定义的一种运算的应用，体现了高考命题的创新趋向。
此处的新定义一般称为两个集合的差。
注意点：对新定义理解不全，忽略端点值而误选Ａ，以及解{}2|log 1P x x =<时出错。
例6．（xx 年江西卷）已知函数21(0)()2(1)x c cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩ ≤在区间(01)，内连续，且29()8f c =．（1）求实数k 和c 的值；（2）解不等式()18f x >+． 解析：（1）因为01c <<，所以2c c <，由29()8f c =，即3918c +=，12c =． 又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续，所以215224f k -⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即1k =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()18f x >+得，当102x <<时，解得142x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 点评：本题在分段函数的背景下考查不等式的解法，巧妙地将连续结合在一起，近几年来这类以分段函数为背景下的命题很多，逐步形成了热点问题，很值得重视3．有关不等式的证明不等式的证明非常活跃，它可以和很多知识如函数、数列、三角、导数等相联系，证明时不仅要用到不等式的相关知识，还要用到相关的技能、技巧，应注意加强逻辑推理能力的训练。
例7．（xx 年天津卷）已知数列{}n x 满足121x x ==并且11,(n n n n x xx x λλ+-=为非零参数，2,3,4,...).n =（I ）若1x 、3x 、5x 成等比数列，求参数λ的值；（II ）设01λ<<，常数*k N ∈且3,k ≥证明：*1212...().1k k k n k kn x x x n N x x x λλ++++++<∈- （I ）解：由已知121,x x ==且36335244345213243,,.x x x x x xx x x x x x x x x λλλλλλ=⇒==⇒==⇒= 若1x 、3x 、5x 成等比数列，则2315,x x x =即26.λλ=而0,λ≠解得 1.λ=±（II ）证明：设1,n n n x a x +=由已知，数列{}n a 是以211xx =为首项、λ为公比的等比数列，故11,n n n x x λ-+=则 1112....n k n k n k n n n k n k nx x x x x x x x +++-++-+-=(3)2312.....k k kn n k n k n λλλλ-++-+--== 因此，对任意*,n N ∈1212...k k n knx x x x x x ++++++(3)(3)(3)2222...k k k k k k k k kn λλλ---+++=+++ (3)(3)222(1)(...).1k k k k k nk k knkkλλλλλλλλ---=+++=-当3k ≥且01λ<<时，(3)201,011,k k nk λλ-<≤<-<所以*1212...().1kk k n k kn x x x n N x x x λλ++++++<∈- 点评：本题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n 项和公式、等差数列前n 项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力4．有关不等式的综合问题例8．用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为h 米，盖子边长为a 米，(1)求a 关于h 的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值(求解本题时，不计容器厚度)解析 ①设h ′是正四棱锥的斜高，由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+='⋅+12222412214h a a a h a 消去)0(11:.2>+='a h a h 解得 ②由)1(33122+==h hh a V (h ＞0) 得 2121)1(31=⋅=++=hh h h h h V 而 所以V ≤61，当且仅当h =h1即h =1时取等号故当h =1米时，V 有最大值，V 的最大值为61立方米点评 本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值注意 在求得a 的函数关系式时易漏h ＞0例9．（xx 年全国卷I ）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。
（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对任意的[0,3]x ∈，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围。
解析：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，． ，解得3a =-，4b =． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>． 所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 298c c +<，解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞U ，，． 点评：本题将导数、极值的应用、恒成立问题的解法交汇在一起考查，要求要有较强的运用数学知识解决问题的能力。