简单多面体的外接球问题 解析版

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

[活学活用]
某几何体的三视图如图所示,则其表面积为________.
解析:由三视图可知,该几何体为一个半 径为 1 的半球,其表面积为半个球面与截 1 面面积的和,即 ×4π×12+π×12=3π. 2 答案:3π
球的截面问题
[典例] 如图, 有一个水平放置的透明无盖的
正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口, 再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深 为 6 cm,若不计容器厚度,则球的体积为( 500π A. cm3 3 1 372π C. cm3 3 866π B. cm3 3 2 048π D. cm3 3 )
2

7 2 7 2 3 2 1 2 2 a + = a ,故 S = 4π R = πa . a 球 2 12 3 3
(1)正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球,此时 a 球的半径为r1= ,过在一个平面上的四个切点作截面如图(1). 2


O


O

16 3

O
1 O
什么样的三棱锥外接球球心好确定?
上下底面中心的连线的中点


(贵州省 2016适应性考试)已知正三棱柱的体积为3 3,所有顶点都在球 O的球面上,则球O的表面积的最小值为
在其高上
例7、求棱长为1的正四面体外接球的体积.
6
课堂跟踪检测 1.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面圆的面积为π,则 球的表面积为( ) 2.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3,体积为6, 则这个球的表面积为( ) 3.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )
[活学活用]
一平面截一球得到直径为 2 5 cm 的圆面, 球心到这个平面的 距离是 2 cm,则该球的体积是 A.12π cm3 C.64 6π cm3
解析:选 B 垂直于截面圆 O1,如图所示. 在 Rt△OO1A 中,O1A= 5 cm, OO1=2 cm, ∴球的半径 R=OA= 22+ 52=3(cm), 4 ∴球的体积 V= ×π×33=36π(cm3). 3
题点二:球的内接长方体问题 2.一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上,且一个顶点 上的三条棱的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为______.
解析:长方体外接球直径长等于长方体体对角线长,即 2R= 12+22+32= 14,所以球的表面积 S=4πR2=14π. 答案:14π
题点三:球的内接正四面体问题 3.若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面 上,求球的表面积.
正方体的外接球
D A O D1 A1 C1
A1
C
对角面 A
B

C
2R 3a
O
C1
2a
B1
正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。
长方体的外接球

对角面
2 R a 2 b2 c 2
a 2 b2
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c
长方体外接球的直径等于长方体体对角线
两招搞定简单多面体外接球问题
9.一平面截一球得到直径是6 cm的圆面,球心到这个圆面的 距离是4 cm,则该球的体积是( ) 10.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体 的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长 为2的正方形,则该球的表面积是________. 11.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,且 这个球的体积是π,那么这个三棱柱的体积是________. 12.轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球,若圆锥的底面 半径为1 cm,求球的体积. 13.在半径为15的球O内有一个底面边长为12 根号3的内接正三棱锥ABCD,求此正三棱锥 的体积.
(2)长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体的外接球,根 据球的定义可知,长方体的体对角线是球的直径,若长方体过同 一顶点的三条棱长为a,b,c,则过球心作长方体的对角面有球的 1 半径为r2= 2 a2+b2+c2,如图(2).
(3)正四面体的外接球 6 正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为: 2R= a. 2
简单多面体的外接球问题
1.球的表面积 设球的半径为 R,则球的表面积 S=_____,即球的表面积 等于它的大圆面积的 2.球的体积 设球的半径为 R,则球的体积 V=_____. 倍.
3.球的性质
1. 用一个平面去截球,截面是圆面;用一个平面去截球面, 截线是圆。 大圆--截面过球心,半径等于球半径; 小圆--截面不过球心
( B.36π cm3 D.108π cm3
)
设球心为 O,截面圆心为 O1,连接 OO1,则 OO1
与球有关的组合问题
题点一:球的外切正方体问题 1.将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球 的体积为 4π A. 3 2π B. 3 3π C. 2 π D. 6 ( )
解析:选 A 由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何 特征知,此球的直径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直 4 4π 3 径为 2,故半径为 1,其体积是 ×π×1 = . 3 3
2 C C 解析:选 C 由 2πR=C,得 R= ,∴S 球面=4πR2= . 2π π
3.若一个球的直径是 10 cm,则它的体积为________ cm3.
10 4 3 解析: 由题意知其半径为 R= =5(cm), 故其体积为 V= πR 2 3 4 500 3 = × π× 5 = π(cm3). 3 3 500 答案: π 3
小结:
1. 正方体,长方体,正棱柱,正棱锥的外接球球心位置 2. 棱长为a的正四面体外接球半径
6 a 4
3. 求三棱锥的外接球两招:构造法;确定球心位置法
谢谢!
一、构造法
球的表面积是
构造正方体或长方体
9
例1、若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3,则其外接
例2. 已知三棱锥A BCD的顶点都在球O的球面上,且AB 面BCD, AB 2, BD CD 1, BD CD, 则球O的体积为
4 3
A
C
O
B
P
例3. 求棱长为 a 的正四面体 D – ABC 的外接球的 表面积。 3 2
6
将“直二面角”改为“二面角”结果?
变式题:如图,棱形ABCD的边长为1, 且BAD=600 ,沿对角线 BD 将 棱形ABCD折成直二面角A-BD-C,则三棱锥A BCD外接球的表面积为
5 3
例6.(安顺市 二模)已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上,
SA 平面ABC,SA=2 3, AB 1, AC 2, BAC 600 , 则球O的表面积为( B ) A. 64 B. 16 C. 12 D. 4
4 3 32π (1) 设球的半径为 R ,则由已知得 πR = , 3 3
故球的表面积 S 表=4πR2=16π. (2)由已知可得,该几何体是四分之三个球,其表面积是四 分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面 3 1 2 积之和. 因为 R=1, 所以 S= ×4×π×1 +2× ×π×12=4π. 4 2 [答案] (1)B (2)4π
2
A B A B
a
O
D C C
O
D
6 R a 4 求正四面体外接球的半径 求正方体外接球的半径
29
思考总结:什么样的三棱锥可构造成正方体或长方体?
三条侧棱两两垂直的三棱锥
二、确定球心位置法



例5. 在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形 ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD 的外接球的体积为 125
r 圆锥底面的距离是 ,于是圆锥的底面半径为 2 r
2
r -22=
3r 3r ,高为 . 2 2
百度文库
3r 1 4 3 2 3r 3 3 该圆锥的体积为 ×π× × 2 =8πr ,球体积为3πr ,∴该 3 2
3 3 πr 8 9 9 圆锥的体积和此球体积的比值为 = .答案: 4 3 32 32 πr 3
[解析]
如图,作出球的一个截面,则 MC=8
1 1 -6=2(cm),BM= AB= ×8=4(cm).设球的半 2 2 径为 R cm, 则 R2=OM2+MB2=(R-2)2+42, ∴R 4 500 3 =5.∴V 球= π×5 = π(cm3). 3 3 [答案] A
球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题, 常画出过球心的截面圆, 将问题 转化为平面中圆的问题. (2)解题时要注意借助球半径 R,截面圆半径 r,球心到 截面的距离 d 构成的直角三角形,即 R2=d2+r2.
求球的体积与表面积的方法 (1)要求球的体积或表面积, 必须知道半径 R 或者通过条件能 求出半径 R,然后代入体积或表面积公式求解. (2)半径和球心是球的最关键要素, 把握住了这两点, 计算球 的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了. (3) 由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或 体积,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视 图中数据的含义.根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其 表面积或体积. 此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆.
[典例]
球的体积与表面积 32π (1)球的体积是 ,则此球的表面积是 3
(
)
16π 64π A.12π B.16π C. D. 3 3 (2)一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图
都是半径为 1 的圆,且这个几何体是实心球体的一部分,则这个几 何体的表面积为________.
[ 解析 ] 解得 R=2.
题点五:球的内接直棱柱问题 5.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一 个球面上,则该球的表面积为 7 2 11 2 A.πa B. πa C. πa D.5πa2 3 3 解析:选B 由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱
2
(
)
与底面边长相等,均为a.如图,P为三棱柱上底面的中 2 3 3 1 心,O为球心,易知AP= × a= a,OP= a,所以 3 2 3 2 球的半径R=OA满足R
4.等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是 ( ) 5.球的表面积S1与它的内接正方体的表面积S2的比值是( )
6.已知正方体的棱长为2,则与正方体的各棱都相切的球的表面 积是________.
7.球内切于正方体的六个面,正方体的棱长为a,则球的表面积为 ________. 8.圆柱形容器的内壁底半径是10 cm,有一个实心铁球浸没于容 器的水中,若取出这个铁球,测得容器的水面下降了 cm,则这 个铁球的表面积为________ cm2.
解:把正四面体放在正方体中,设正方体棱长为 x,则 a= 2x, 2a 6 由题意 2R= 3x= 3× = a, 2 2 6 3 ∴S 球=4πR = aπ= aπ. 4 2
2
题点四:球的内接圆锥问题 4.球的一个内接圆锥满足:球心到该圆锥底面的距离是球半 径的一半,则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______. 解析:如图所示,设球半径为r,则球心到该
2. 球心和截面圆心的连线垂直于截面
3. 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r的关系: R2 r 2 d 2
4. 多面体的外接球
定义:若一个多面体的各顶点都在一 个球的球面上,则称这个多面体是这 个球的内接多面体,这个球是这个多 面体的外接球。
A
2.若球的过球心的圆面圆周长是 C,则这个球的表面积是 ( C2 A. 4π C2 C. π C2 B. 2π D.2πC2 )
相关文档
最新文档