简单多面体的外接球问题 解析版

[活学活用]
某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．
解析：由三视图可知，该几何体为一个半 径为 1 的半球，其表面积为半个球面与截 1 面面积的和，即 ×4π×12＋π×12＝3π. 2 答案：3π
球的截面问题
[典例] 如图， 有一个水平放置的透明无盖的
正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口， 再向容器内注水， 当球面恰好接触水面时测得水深 为 6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为( 500π A. cm3 3 1 372π C. cm3 3 866π B. cm3 3 2 048π D. cm3 3 )
2
＝
7 2 7 2 3 2 1 2 2 a ＋ ＝ a ，故 S ＝ 4π R ＝ πa . a 球 2 12 3 3
(1)正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时 a 球的半径为r1＝ ，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)． 2


O


O

16 3

O
1 O
什么样的三棱锥外接球球心好确定？
上下底面中心的连线的中点


（贵州省 2016适应性考试）已知正三棱柱的体积为3 3，所有顶点都在球 O的球面上，则球O的表面积的最小值为
在其高上
例7、求棱长为1的正四面体外接球的体积．
6
课堂跟踪检测 1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则 球的表面积为( ) 2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6， 则这个球的表面积为( ) 3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
[活学活用]
一平面截一球得到直径为 2 5 cm 的圆面， 球心到这个平面的 距离是 2 cm，则该球的体积是 A．12π cm3 C．64 6π cm3
解析：选 B 垂直于截面圆 O1，如图所示． 在 Rt△OO1A 中，O1A＝ 5 cm， OO1＝2 cm， ∴球的半径 R＝OA＝ 22＋ 52＝3(cm)， 4 ∴球的体积 V＝ ×π×33＝36π(cm3)． 3
题点二：球的内接长方体问题 2．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点 上的三条棱的长分别为 1,2,3，则此球的表面积为______．
解析：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R＝ 12＋22＋32＝ 14，所以球的表面积 S＝4πR2＝14π. 答案：14π
题点三：球的内接正四面体问题 3．若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面 上，求球的表面积．
正方体的外接球
D A O D1 A1 C1
A1
C
对角面 A
B

C
2R 3a
O
C1
2a
B1
正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。
长方体的外接球

对角面
2 R a 2 b2 c 2
a 2 b2
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c
长方体外接球的直径等于长方体体对角线
两招搞定简单多面体外接球问题
9．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的 距离是4 cm，则该球的体积是( ) 10.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体 的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长 为2的正方形，则该球的表面积是________． 11．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且 这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是________． 12．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面 半径为1 cm，求球的体积． 13．在半径为15的球O内有一个底面边长为12 根号3的内接正三棱锥ABCD，求此正三棱锥 的体积．
(2)长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根 据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同 一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的 1 半径为r2＝ 2 a2＋b2＋c2，如图(2)．
(3)正四面体的外接球 6 正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为： 2R＝ a. 2
简单多面体的外接球问题
1．球的表面积 设球的半径为 R，则球的表面积 S＝_____，即球的表面积 等于它的大圆面积的 2．球的体积 设球的半径为 R，则球的体积 V＝_____. 倍．
3.球的性质
1. 用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面， 截线是圆。 大圆--截面过球心,半径等于球半径; 小圆--截面不过球心
( B．36π cm3 D．108π cm3
)
设球心为 O，截面圆心为 O1，连接 OO1，则 OO1
与球有关的组合问题
题点一：球的外切正方体问题 1．将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球 的体积为 4π A. 3 2π B. 3 3π C. 2 π D. 6 ( )
解析：选 A 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何 特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直 4 4π 3 径为 2，故半径为 1，其体积是 ×π×1 ＝ . 3 3
2 C C 解析：选 C 由 2πR＝C，得 R＝ ，∴S 球面＝4πR2＝ . 2π π
3．若一个球的直径是 10 cm，则它的体积为________ cm3.
10 4 3 解析： 由题意知其半径为 R＝ ＝5(cm)， 故其体积为 V＝ πR 2 3 4 500 3 ＝ × π× 5 ＝ π(cm3)． 3 3 500 答案： π 3
小结：
1. 正方体，长方体，正棱柱，正棱锥的外接球球心位置 2. 棱长为a的正四面体外接球半径
6 a 4
3. 求三棱锥的外接球两招：构造法；确定球心位置法
谢谢!
一、构造法
球的表面积是
构造正方体或长方体
9
例1、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3，则其外接
例2. 已知三棱锥A BCD的顶点都在球O的球面上，且AB 面BCD， AB 2, BD CD 1, BD CD, 则球O的体积为
4 3
A
C
O
B
P
例3. 求棱长为 a 的正四面体 D – ABC 的外接球的 表面积。 3 2
6
将“直二面角”改为“二面角”结果？
变式题：如图，棱形ABCD的边长为1, 且BAD=600 ,沿对角线 BD 将 棱形ABCD折成直二面角A-BD-C,则三棱锥A BCD外接球的表面积为
5 3
例6.(安顺市 二模)已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，
SA 平面ABC，SA=2 3, AB 1, AC 2, BAC 600 , 则球O的表面积为( B ) A. 64 B. 16 C. 12 D. 4
4 3 32π (1) 设球的半径为 R ，则由已知得 πR ＝ ， 3 3
故球的表面积 S 表＝4πR2＝16π. (2)由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四 分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面 3 1 2 积之和． 因为 R＝1， 所以 S＝ ×4×π×1 ＋2× ×π×12＝4π. 4 2 [答案] (1)B (2)4π
2
A B A B
a
O
D C C
O
D
6 R a 4 求正四面体外接球的半径 求正方体外接球的半径
29
思考总结：什么样的三棱锥可构造成正方体或长方体？
三条侧棱两两垂直的三棱锥
二、确定球心位置法



例5. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形 ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD 的外接球的体积为 125
r 圆锥底面的距离是 ，于是圆锥的底面半径为 2 r
2
r －22＝
3r 3r ，高为 . 2 2
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3r 1 4 3 2 3r 3 3 该圆锥的体积为 ×π× × 2 ＝8πr ，球体积为3πr ，∴该 3 2
3 3 πr 8 9 9 圆锥的体积和此球体积的比值为 ＝ .答案： 4 3 32 32 πr 3
[解析]
如图，作出球的一个截面，则 MC＝8
1 1 －6＝2(cm)，BM＝ AB＝ ×8＝4(cm)．设球的半 2 2 径为 R cm， 则 R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42， ∴R 4 500 3 ＝5.∴V 球＝ π×5 ＝ π(cm3)． 3 3 [答案] A
球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题， 常画出过球心的截面圆， 将问题 转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径 R，截面圆半径 r，球心到 截面的距离 d 构成的直角三角形，即 R2＝d2＋r2.
求球的体积与表面积的方法 (1)要求球的体积或表面积， 必须知道半径 R 或者通过条件能 求出半径 R，然后代入体积或表面积公式求解． (2)半径和球心是球的最关键要素， 把握住了这两点， 计算球 的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了． (3) 由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或 体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视 图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其 表面积或体积． 此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．
[典例]
球的体积与表面积 32π (1)球的体积是 ，则此球的表面积是 3
(
)
16π 64π A．12π B．16π C. D. 3 3 (2)一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图
都是半径为 1 的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几 何体的表面积为________．
[ 解析 ] 解得 R＝2.
题点五：球的内接直棱柱问题 5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一 个球面上，则该球的表面积为 7 2 11 2 A．πa B. πa C. πa D．5πa2 3 3 解析：选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱
2
(
)
与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中 2 3 3 1 心，O为球心，易知AP＝ × a＝ a，OP＝ a，所以 3 2 3 2 球的半径R＝OA满足R
4．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是 ( ) 5．球的表面积S1与它的内接正方体的表面积S2的比值是( )
6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面 积是________．
7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a，则球的表面积为 ________． 8．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容 器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这 个铁球的表面积为________ cm2.
解：把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x，则 a＝ 2x， 2a 6 由题意 2R＝ 3x＝ 3× ＝ a， 2 2 6 3 ∴S 球＝4πR ＝ aπ＝ aπ. 4 2
2
题点四：球的内接圆锥问题 4．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半 径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 解析：如图所示，设球半径为r，则球心到该
2. 球心和截面圆心的连线垂直于截面
3. 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r的关系： R2 r 2 d 2
4. 多面体的外接球
定义：若一个多面体的各顶点都在一 个球的球面上，则称这个多面体是这 个球的内接多面体，这个球是这个多 面体的外接球。
A
2．若球的过球心的圆面圆周长是 C，则这个球的表面积是 ( C2 A. 4π C2 C. π C2 B. 2π D．2πC2 )