简单多面体的外接球问题 解析版
多面体的外接球内切球解析版
多面体的外接球内切球1.直棱柱：直棱柱的外接球球心为直棱柱的中位面与过底面外接圆圆心与底面垂直的直线的交点处①如题1：设长方体的相邻三边的边长分别为c b a ,,，则其外接球半径2222c b a R ++=②如图2：设直棱柱的底面外接圆半径为r ，高为h ，则其外接球半径22)2(r hR +=注：常见的外接圆半径①等腰三角形外接圆半径R 满足222)(BD R AD R +-=②直角三角形外接圆圆心为斜边的中点，半径为斜边的一半，即半径2AC R =③设等边三角形边长为a ，则其外接圆半径a R 33=，内切圆半径a r 63=满足222)2(ar R +=，ah r R 23==+2.对棱相等的三棱锥：我们可以将其放入某个长方体中去，其外接球即该长方体的外接球设四面体ABCD 满足a CD AB ==，b BD AC ==，c BC AD ==，则其外接球的半径8222c b a R ++=证明：如图，四面体ABCD 的外接球即长方体的外接球，设长方体相邻的三边长分别为z y x ,,，则2222222222222222c b a z y x cx z b z y a y x ++=++⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+外接球的半径82222222c b a z y x R ++=++=3.正棱锥：设正棱锥的底面的外接圆半径为r ，高为h ，侧棱长为a ，则其外接球半径ha h h r R 22222=+=证明：在OBD Rt ∆中，R h OD -=，由勾股定理得ha h h r R R h r R 22)(222222=+=⇒-+=4.非正棱锥：设非正棱锥外接球半径为R ，底面外接圆半径为r ，高为h ，顶点在底面的射影到底面外心的距离为d ，则有h d R r R =-+-2222证明：在AOH Rt ∆中，22r R OH -=在H PO Rt 1∆中，22d R OH -=又H O OH h 1+=，所以hd R r R =-+-22225.有两个面垂直的多面体：如图设四棱锥ABCD P -中，面⊥P AB 面ABCD ABCD ，面P AB 和面ABCD 的外接圆半径分别为21,r r ，则四棱锥的外接球半径为R 满足4222212AB r r R -+=证明：取AB 的中点E ，因为B O A O 11=，所以AB E O ⊥1同理AB E O ⊥2，所以⊥AB 面21EO OO ，所以OE AB ⊥在矩形21EO OO 中，22122121)2(AB r AE A O E O -=-=22222222)2(AB r AE A O E O -=-=所以22222122212AB r r E O E O OE -+=+=在AEO Rt ∆中，由勾股定理有4)2(2222212222212222AB r r AB AB r r AE OE OA R -+=+-+=+==注：该公式叫双半径单交线公式6.两个面不垂直：设二面角B CD A --的平面角为θ，面ACD 的外心到边CD 的距离为1d ，面BCD 的外心到边CD 的距离为2d ，则四面体ABCD 的外接球半径R 满足222122212)2(sin cos 2CD d d d d R +-+=θθ证明：设CD E O ⊥1于点E ，连E O 2，则θ=∠21EO O ，2211,d E O d E O ==，E 为CD 的中点，⊥CD 面21EO OO ，所以OECD ⊥在21O EO ∆中由余弦定理得θcos 2212221221d d d d O O -+=在四边形21EO OO 中，02190=∠=∠E OO E OO ，所以OE 为四边形21EO OO 外接圆的直径，所以由正弦定理得θθθ22122212212sin cos 2)sin (d d d d O O OE -+==所以在OEC Rt ∆中由勾股定理得22212221222)2(sin cos 2CD d d d d EC OE R +-+=+=θθ注：该公式叫双距离单交线公式典型例题例1.（2020湛江月考）如图，三棱锥ABC P -的四个顶点恰是长、宽、高分别为n m ,2,的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥的外接球体积的最小值为（）A.3256π B.328π C.332πD.π36解析：6222131=⇒=⨯⨯⨯⨯=-mn n m V ABCP 22422422=+≥++=mn n m R ，当且仅当6==n m 时等号成立所以该三棱锥的外接球体积的最小值为3322343ππ=⨯，故选C 例2.（2020咸阳二模）正四棱锥ABCD P -的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，高为3，则它的外接球的表面积为（）A.π4 B.π8 C.π16 D.π20解析：如图，设外接球半径为R ，则在OMC Rt ∆中由勾股定理得2)3()3()3()(222222=⇒=+-⇒=+-R R R R R h 所以外接球的表面积为ππ16242=⨯，故选C例3.（2020长治一模）已知直三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若3=AB ，3=AC ，0120=∠BAC ，81=AA ，则球O 的表面积为（）A.π25 B.3625πC.π100 D.32500π解析：ABC ∆中，3=AB ，3=AC ，0120=∠BAC ，所以ABC ∆外接圆半径为3=r 球O 的半径543)2(2222=+=+=hr R 所以球O 的表面积为πππ10054422=⨯==R S ，故选C 注：顶角为0120的等腰三角形的外接圆半径等于腰长例4.(2019全国卷1)已知三棱锥ABC P -的四个顶点在球O 的球面上，其中PC PB P A ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，F E ,分别是AB P A ,的中点，090=∠CEF ，则球O 的体积为（）A.π68 B.π64 C.π62 D.π6解析：由题意知三棱维ABC P -为正三棱锥，所以AC PB ⊥F E ,分别是AB P A ,的中点EF ⇒∥PB 又090=∠CEF EC EF ⊥⇒所以CE PB ⊥，所以⊥PB 面P AC 所以PC PB P A ,,两两互相垂直所以2===PC PB P A 262222=++=R ，所以πππ6)26(343433=⨯==R V例5.(2020山东模拟)已知三棱维BCD A -中，底面BCD 是边长为32的正三角形，侧面ABD ⊥底面BCD ，且2==AD AB ，则该几何体的外接球的表面积为（）A.π12B.π16C.π20D.π24解析：ABD ∆中，2==AD AB ，32=BD ，所以ABD ∆的外接圆半径21=r BCD ∆是边长为32的正三角形，所以BCD ∆的外接圆半径232332=⨯=r 由双半径单交线公式可得5344)2(222212=-+=-+=BD r r R 所以该几何体的外接球的表面积为πππ205442=⨯==R S ，故选C注：（1）设正ABC ∆的边长为a ，则其外接圆半径a a r 333223=⨯=（2）有两个面垂直的多面体：如图设四棱锥ABCD P -中，面⊥P AB 面ABCD ABCD ，面P AB 和面ABCD 的外接圆半径分别为21,r r ，则四棱锥的外接球半径为R 满足4222212AB r r R -+=例6.(2012安徽卷)若四面体ABCD 三组对棱分别相等，即CD AB =，BD AC =，BC AD =，则(写出所有正确结论编号)①四面体ABCD 每组对棱互相垂直②四面体ABCD 每个面的面积相等③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于090而小于0180④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段互相垂直平分⑤从四而体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的边长解析：由四面体ABCD 三组对棱分别相等知四面体ABCD 可放入一个长方体中，如图①当且仅当该长方体为正方体时四面体ABCD 每组对棱互相垂直，而该长方体不一定是正方体，故①错②四面体ABCD 四个面都全等，所以面积相等，故②正确③由②知四面体ABCD 四个面都全等，从每个顶点出发的三条棱两两夹角可以转化为其中一个面的三个内角，所以它们的和为0180，故③错④连接四面体ABCD 每组对棱中点构成菱形，线段互相垂直平分，故④正确⑤设所在长方体的长宽高分别为c b a ,,，则每个顶点出发的三条棱的长分别为22b a +，22c b +，22a c +，任意两边之和大于第三边，能构成三角形，故⑤正确故答案为②④⑤例7.在三棱锥BCD A -中，6==CD AB ，5====BC AD BD AC ，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.244343π B.64343π C.24343πD.π43解析：由题知三棱锥BCD A -的对棱相等，所以三棱锥BCD A -为长方体的一部分，则4342556)2(22222=⇒++=R R ，所以该三棱锥的外接球的表面积为ππ4342=R ，故选D注：若三棱锥BCD A -的对棱a CD AB ==，b BD AC ==，c BC AD ==，则三棱锥BCD A -的外接球半径R 满足2)2(2222c b a R ++=例8.(2020许昌一模)在内接于球O 的四面体ABCD 中，有t CD AB ==，6==BC AD ，7==BD AC ，若球O 的最大截面的面积是455π，则t 的值为（）A.5 B.6 C.7 D.8解析：球O 的最大截面是过球心的截面，其面积为2554552=⇒=R R ππ所以527655276)2(2222222=⇒++=⇒++=t t t R ，故选A例9.（2020天河区一模）在三棱锥ABC S -中，2=====AC BC AB SC SB ，侧面SBC 与底面ABC 垂直，则三棱锥ABC S -外接球的面积为解析：SBC ∆和ABC ∆的外接圆半径33221==r r 由双半径单交线公式得222212)2(BC r r R -+=3513434=-+=所以三棱锥ABC S -外接球的面积为32035442πππ=⨯=R 注：有两个面垂直的多面体：如图设四棱锥ABCD P -中，面⊥P AB 面ABCD ABCD ，面P AB 和面ABCD 的外接圆半径分别为21,r r ，则四棱锥的外接球半径为R 满足4222212AB r r R -+=例10.（2020年3月全国模拟）在三棱锥ABC P -中，平面⊥PBC 平面ABC ，090=∠ABC ，2=AB ，1=BC ，22=PB ，045=∠PBC ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为（）A.π16 B.π14 C.π20 D.π22解析：PBC∆中，由余弦定理得545cos 2212810=⨯⨯-+=PC ，由正弦定理得PBC ∆的外接圆半径21045sin 2501==rABC Rt ∆中，由勾股定理得52122=+=AC ，所以ABC ∆的外接圆半径为2522==AC r 由双半径单交线公式得2721(45252(2222212=-+=-+=BC r r R 所以三棱锥ABC P -的外接球的表面积为πππ1427442=⨯=R ，故选B例11.（2020西安一模）已知ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，P 为平面ABC 外一点，且平面⊥PBC 平面ABC ，3=BC ，22=PB ，5=PC ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为解析：PBC ∆中，由余弦定理得101052229582cos 222=⨯⨯-+=⋅-+=∠PC PB BC PC PB BPC 所以10103sin =∠BPC ，设PBC ∆外接圆半径为1r ，则由正弦定理得21010103232sin 11=⨯=⇒=∠r r BPCBCABC Rt ∆的外接圆半径2322==BC r 由双半径单交线公式有25)23(464102(2222212=-+=-+=BC r r R 所以三棱锥ABC P -的外接球的表面积为πππ1025442=⨯==R S 例12.（2018沙坪坝期末）已知球O 为三棱锥ABC S -的外接球，2====AC AB SC SA ，2==BC BS ，则球O 的表面积为（）A.314π B.316π C.π7 D.π8解析：易知AB SA ⊥，AB AC ⊥，所以SAC ∠为二面角C AB S --的平面角，且060=∠SAC SAB ∆的外心为SB 的中点，其到棱AB 的距离22=m ABC ∆的外心为BC 的中点，其到棱AB 的距离22=n 由双距离单交线公式得67)22(43212222221212(60sin 60cos 222020222=+⨯⨯⨯-+=+-+=AB mn n m R 所以球O 的表面积为πππ31467442=⨯=R ，故选A例13.（2020雅礼月考12题）在三棱锥ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，22==SC SA ，二面角B AC S --的余弦值为33-，若C B AS,,,都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.π6B.π8 C.π12 D.π18解析：由题知SAC ∆为正三角形，其外心1O 到棱AC 的距离366322=⨯=m ABC Rt ∆的外心为AC 的中点2O ，其到棱AC 的距离0=n 由双距离单交线公式得3)222(960096)2(60sin 60cos 222020222=+-+=+-+=AC mn n m R 所以该球的表面积为πππ123442=⨯=R ，故选C例14.（2020武汉3月调考16题）在三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的等边三角形，3=SA ，32=SB ，若此三棱锥外接球的表面积为π21，则二面角C AB S --的余弦值为解析：易知090=∠SAB ，所以SAB ∆的外心为SB 的中点1O ，其到棱AB 的距离为23=m 等边ABC ∆的外心2O 到棱AB 的距离2331233=⨯⨯=n 三棱锥外接球的表面积为2212142=⇒=R R ππ由双距离单交线公式得21cos )23(sin cos 232324343421)2(sin cos 22222222-=⇒+⨯⨯-+=⇒+-+=θθθθθAB mn n m R 所以二面角C AB S --的余弦值为21-15.（2019武昌区调研）已知正四棱锥ABCD P -的所有顶点都在球O 的球面上，2==AB P A ，则球O 的表面积为（）A.π2 B.π4 C.π8 D.π16解析：2222222=⨯==PO PC R 所以球O 的表面积为ππ824=⨯，故选C16.（2020网络模考）将一个实心球削成一个正三棱锥，若该三棱锥的底面边长为6，侧棱长为21，则此球表面积的最小值为（）A.π47B.π48 C.π49 D.π50解析：（1）若削成的正三棱锥四个顶点都在球面上，如图2，则底面ABC 的外接圆半径32336=⨯=r ，由勾股定理知高3122122=-=-=r PC h ，所以27322122=⨯==h PC R 此时，球表面积为πππ49449442=⨯=R （2）若削成的正三棱锥有三个顶点在球面上，则当底面ABC 为球的大圆面时球最小，此时球的半径为32=R ，此时球表面积为πππ4812442=⨯=R （3）如果削成的正三棱锥只有2个或1个或0个顶点在球面上时，这些球都比（1）（2）中的球大故此球表面积的最小值为π48，故选B。
两招搞定简单多面体外接球问题
■ 舒飞跃
此类 近年来， 高考题中常常出现简单多面体外接球问题， 问题能有效考查学生的空间想象能力， 它自然受到命题者的青 睐． 简单多面体外接球问题实质上是解决球的半径和确定球心 的位置问题， 解决这一问题从两个方面入手可以有效解决球心 与球半径， 下面笔者就这一问题谈一谈自已的想法， 供参考． 一、 深入理解球的定义， 转化为常见结论， 准确定位球心 在空间中， 如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的 距离都相等， 那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心 ． 由上面的性质， 可以得到下列简单多面体外接球的球心的 如下结论． 结论 1 ： n 棱锥有外接球的球心在过底面多边形外接圆的 圆心且垂直 于 底 面 的 直 线 上， 具体的位置通过计算后准确 找到． 结论 2 ：n 棱台有外接球的球心是在上 、 下底面多边形的外 接圆的圆心的连线的直线上， 具体位置可通过计算准确找到 ． 结论 3 ：n 直棱柱有外接球的球心是在上 、 下底面多边形的 外接圆的圆心的连线的中点 ． （ 特别地， 正方体与长方体的外接球的球心是其体对角线 中点． ） 例1 一个几何体的三视 图如图 1 所示， 其中正视图是 一个正三角形， 则这个几何体 的外接球的表面积为 ． 解：由三视图作出原几何 体是三棱锥 A － BCD， 如图 2 所 示， 平面 ABD ⊥ 平面 BCD， 取 BD 的 中 点 为 O1 ，连 结 AO1 ， CO1 ， 因 △ABD 边长为 4 的正三 角形， △BCD 是等腰直角三角 2， ∠BCD = 90 ° ， 形， 且 BC = CD = 2 槡 有 AO1 ⊥ 平面 BCD， 则球心 O 在线段 AO1 上， 连结 BO． 设外接球的半径为 Ｒ，
x = cosθ 4 － sinθ 4 －y ， ， 则k = 令 的最大值， 整理得：kx － y + 3 － cosθ 3 －x y = sinθ 4 － 3k = 0． y） 在直线 kx － y + 4 － 3 k = 0 上， 因此点 M（ x， 同时又在单
多面体的外接球和内切球(解析版)
多面体的外接球和内切球一、结论1、球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。
球的内切问题(等体积法)例如：在四棱锥P -ABCD 中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下：V P -ABCD =V O -ABCD +V O -PBC +V O -PCD +V O -PAD +V O -PAB即：V P -ABCD =13S ABCD ⋅r +13S PBC ⋅r +13S PCD ⋅r +13S PAD ⋅r +13S PAB ⋅r ，可求出r .球的外接问题1.公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2.补形法(补长方体或正方体)①墙角模型(三条线两个垂直)题设：三条棱两两垂直(重点考察三视图)②对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB =CD ，AD =BC ，AC =BD )3.单面定球心法(定+算)步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ABC中，选中底面ΔABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r=asin A)；②过外心O1做(找)底面ΔABC的垂线，如图中PO1⊥面ABC,则球心一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上；③计算求半径R:在直线PO1上任取一点O如图：则OP=OA=R，利用公式OA2=O1A2+OO12可计算出球半径R.4.双面定球心法(两次单面定球心)如图：在三棱锥P-ABC中：①选定底面ΔABC，定ΔABC外接圆圆心O1②选定面ΔPAB，定ΔPAB外接圆圆心O2③分别过O1做面ABC的垂线，和O2做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.二、典型例题1(2023春·湖南湘潭·高二统考期末)棱长为1的正方体的外接球的表面积为()A.3π4B.3πC.12πD.16π【答案】B【详解】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为R，则2R=12+12+12=3，故R=3 2．所以S=4πR2=4π×322=3π．故选：B．【反思】本例属于正方体外接球问题，其外接球半径公式可直接记忆.2(2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)在四面体PABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC= 120°，AB=AC=AP=2，则该四面体的外接球的表面积为()A.12πB.16πC.18πD.20π【答案】D【详解】因为PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,所以PA⊥平面ABC.设底面△ABC的外心为G，外接球的球心为O，则OG⊥平面ABC，所以PA⎳OG.设D为PA的中点，因为OP=OA，所以DO⊥PA.因为PA⊥平面ABC，AG⊂平面ABC,所以PA⊥AG，所以OD⎳AG.因此四边形ODAG为平行四边形，所以OG=AD=12PA=1.因为∠BAC=120°，AB=AC=2，所以BC=AB2+AC2-2AB⋅AC cos∠BAC=4+4-2×2×2×-1 2=23,由正弦定理，得2AG=2332=4⇒AG=2.所以该外接球的半径R满足R2=OG2+AG2=5,故该外接球的表面积为S=4πR2=20π.故选:D.【反思】本例属于单面定球心问题①用正弦定理求出ΔABC外心G；②过G做平面ABC的垂线，则外接球球心O在此垂线上；③通过计算算出半径.3(2023秋·湖南娄底·高三校联考期末)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P-ABCD 是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4．则该阳马的外接球的表面积为()A.1252π3B.50π C.100π D.500π3【答案】B【详解】因PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，又因四边形ABCD为矩形，则AB⊥AD.则阳马的外接球与以PA，AB，AD为长宽高的长方体的外接球相同.又PA=5，AB=3，AD=BC=4．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：R=PA 2+AB 2+AD 22=32+42+522=522，则外接球的表面积为：S =4πR 2=4π⋅504=50π.故选：B【反思】本例属于墙角型模型，通过补形，将原图形补成长方体模型，借助长方体模型求外接球半径.4(2023·全国·高三专题练习)已知菱形ABCD 的各边长为2,∠D =60°．如图所示，将ΔACD 沿AC 折起，使得点D 到达点S 的位置，连接SB ，得到三棱锥S -ABC ，此时SB =3．E 是线段SA 的中点，点F 在三棱锥S -ABC 的外接球上运动，且始终保持EF ⊥AC ，则点F 的轨迹的周长为()A.233π B.433π C.533π D.2213π【答案】C【详解】取AC 中点M ，则AC ⊥BM ,AC ⊥SM ,BM ∩SM =M ，∴AC ⊥平面SMB ，SM =MB =3，又SB =3，∴∠SBM =∠MSB =30°，作EH ⊥AC 于H ，设点F 轨迹所在平面为α，则平面α经过点H 且AC ⊥α，设三棱锥S -ABC 外接球的球心为O ,△SAC ,△BAC 的中心分别为O 1,O 2，易知OO 1⊥平面SAC ,OO 2⊥平面BAC ，且O ,O 1,O 2,M 四点共面，由题可得∠OMO 1=12∠O 1MO 2=60°，O 1M =13SM =33，解Rt △OO 1M ，得OO 1=3O 1M =1，又O 1S =23SM =233，则三棱锥S -ABC 外接球半径r =OO 21+O 1S 2=73，易知O 到平面α的距离d =MH =12，故平面α截外接球所得截面圆的半径为r 1=r 2-d 2=73-14=536，∴截面圆的周长为l =2πr 1=533π，即点F 轨迹的周长为533π．故选：C 【反思】此题典型的双面定球心。
外接球与内切球专题
【典例 1】 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体
积为 16，则这个球的表面积是( )
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
【解析】 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积 为 16，可求得底面边长为 2，故球的直径为 22＋22＋42＝2 6，半径为 6， 球的表面积为 24π，故选 C。
【答案】 C
【小结】 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的三视图如图所示，则它的外接球的表 面积为( )
A．16π C．8π
B．4π D．2π
【解析】 由三视图可知该三棱锥的高为 1，底面为一个直角三角形， 由于底面斜边上的中线长为 1，则底面外接圆的半径为 1，顶点在底面上 的投影落在底面外接圆的圆心上。由于顶点到底面的距离与底面外接圆 的半径相等，则三棱锥的外接球的半径 R 为 1，则三棱锥的外接球的表 面积 S＝4πR2＝4π，故选 B。
【答案】 B
二、构造长方体或正方体确定球心 1．正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角 形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； 2．同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱 锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； 3．若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方 体； 4．若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正 方体。
5 2 4π× 2 2＝50π。故选 D。
【答案】 D
三、由性质确定球心 利用球心 O 与截面圆圆心 O′的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中 点的连线垂直于弦的性质，确定球心。
【典例 3】 正三棱锥 A－BCD 内接于球 O，且底面边长为 3，侧 棱长为 2，则球 O 的表面积为________。
专题--多面体的外接球问题
一. 多面体外接球的相关定义
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面 上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个 球是这个多面体的外接球。
定义2：如果空间中一个定点到一个多面体的所有顶 点的距离都相等，那么这个定点就是该多面体外接
球的球心。 公式3：球体的体积与表面积
4 V球 R 3 3
A 1B 1C 1, ∠B AC ＝∠A 1B 1C 1 ＝ 90° , A C ＝ A B ＝A 1A ＝ B 1C 1 ＝ 2,则多面体 A B C － A 1B 1C 1 的外接球的表面积为
(
C
) A. 2π B. 4π C. 6π
D. 8π
4. （2018 ?南岗区三模）三棱锥P - ABC中，底面 ABC满足BA BC，ABC
5.侧棱长都相等的棱锥
题型：侧棱长都相等的棱锥的外接球问题. P
l
A
方法一：利用定义找球心， 其外接球的球心在它的高 所在直线上
h
O
l C 方法二：
D
B
2
h 2R
M
6.折叠模型
题型: 1.两个全等三角形或等腰三角形拼在一起的三棱锥外接球； 2.一个直角三角形与一个等边三角形或等腰三角形拼在一 起的三棱锥外接球等； 3.菱形沿着对角线折叠形式的三棱锥外接球
方法：如图，分别过多边形外 心做平面垂线，垂线交点即为 外接球球心.
三. 例题分析
1. (2018 江西宜春模拟 )一个几何体的三视图如图所 示，则该几何体的外接球的表面积为( B ) A ．36π 9 C. π 2 B ．8π 27 D. π 8
2.(2017年江西五校调研)如图（1），五边形 PABC D 是由一个正方形与一个等腰三角形拼接而成，其中
简单多面体的外接球问题解析版
为 6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为( )
A.5030π cm3
B.8636π cm3
1 372π C. 3
cm3
2 048π D. 3
cm3
[解析] 如图，作出球的一个截面，则 MC＝8 －6＝2(cm)，BM＝12AB＝12×8＝4(cm)．设球的半 径为 R cm，则 R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R ＝5.∴V 球＝43π×53＝5030π(cm3)．
A. 64 B. 16 C. 12 D. 4
O
O
16
3
O
O1
什么样旳三棱锥外接球球心好拟定？
上下底面中心旳连线旳中点
•
（贵州省• 2016适应性考试）已知正三棱柱的体积为3 3，所有顶点都在球 O的球面上，则球O的表面积的最小值为
在其高上
例7、求棱长为1旳正四面体外接球旳体积． 6
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题点五：球的内接直棱柱问题
5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一
个球面上，则该球的表面积为
()
A．πa2
B.73πa2
C.131πa2
ห้องสมุดไป่ตู้D．5πa2
解析：选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱
与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中
心，O为球心，易知AP＝23× 23a＝ 33a，OP＝12a，所以
[活学活用] 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________． 解析：由三视图可知，该几何体为一个半 径为 1 的半球，其表面积为半个球面与截 面面积的和，即12×4π×12＋π×12＝3π. 答案：3π
球的截面问题
[典例] 如图，有一个水平放置的透明无盖的
多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB 解：由已知建立空间直角坐标系3，，设球心坐BO 知222222)2(z y x z y x ++-=++CD A B S O 1图3A O D B 图4C y解得 1331===z y x 所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为a 46。
多面体的外接球问题(word文档良心出品)
多面体的外接球问题题型一 直角四面体的外接球 补成长方体，长方体对角线长为球的直径1．三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，2PA PB PC ===，PA PB ⊥，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．48πB ．12πC． D．解析:由题意得：,,PA PB PC 两两相互垂直，以,,PA PB PC 为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥P ABC -2412ππ=，选B ．C2.在正三棱锥A BCD -中，,E F 分别是,AB BC 的中点，EF DE ⊥，若BC =A BCD -外接球的表面积为A πB 2πC 3πD 4πC3.在正三棱锥S ABC -中，,M N 分别是,SC BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积为A 12πB 32πC 36πD 48π 4.（2019全国1理12）．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A．B．C． D5.设A ，B ，C ，D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1＋S 2＋S 3的最大值是________． 答案 8解析 由AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，∴AB →⊥AC →，AD →⊥AC →，AB →⊥AD →，由点A ，B ，C ，D 构成的三棱锥，可以补形成一个长方体，该长方体的外接球半径为2，∴AB 2＋AC 2＋AD 2＝(2＋2)2＝16，即AB 2＋AC 22＋AB 2＋AD 22＋AD 2＋AC 22＝16≥AB ·AC ＋AB ·AD ＋AC ·AD ，∴S 1＋S 2＋S 3＝12(AB ·AC ＋AB ·AD ＋AC ·AD )≤12×16，当且仅当AB ＝AC ＝AD ＝433时，S 1＋S 2＋S 3取得最大值8.题型二 等腰四面体的外接球 补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1．在四面体ABCD 中，若AB CD =，2AC BD ==，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为( ) A ．2π B ．4πC ．6πD．8π解：如下图所示，将四面体ABCD 放在长方体AEBF GCHD -内，设该长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ， 则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为R ，由勾股定理得222222222345AB x y AC x z AD y z ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=+=⎩，上述三个等式全加得2222()12x y z ++=，所以，该四面体的外接球直径为2R = 因此，四面体ABCD 的外接球的表面积为224(2)6R R πππ=⨯=， 故选：C ．2．A B C D ，，，四点在半径为225的球面上，且5AC BD ==，AD BC ==，AB CD =，则三棱锥D ABC -的体积是____________．【答案】2秒杀法：根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D ABC -，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a b c ，，，则有2222222254150a b a c a b c ⎧+=⎪+=⎨⎪++=⎩，解得4a =，3b =，5c =，所以三棱锥的体积为435⨯⨯－11443532⨯⨯⨯⨯⨯＝20．点拨：3.在三棱锥S ﹣ABC 中，底面△ABC 的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°，△ABC 的三条边长分别为AB=3，AC=5，BC=6， 则三棱锥ABC S -的体积（ ）A ．22B ． 10C ．232D ．234解：∵底面△ABC 的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°， ∴三棱锥的三个侧面与底面ABC 全等．∴三棱锥S ﹣ABC 可看做是面对角线分别为6,5,3的长方体沿着面对角线切去四个小棱锥得到的几何体．设长方体的棱长为z y x ,,，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+6y 53222222z z x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===421222z y x ，∴22=xyz∴三棱锥的体积3223142131==⨯⨯-=xyz xyz xyz V 故选C ．题型三 有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ，球心在公共斜边的中点处C1.在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125解：由于SA=AC=SB=BC=，SC=2，则SA 2+AC 2=SC 2，SB 2+BC 2=SC 2，即有SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，取SC 的中点O ，连接OA ，OB ， 则由直角三角形的斜边上的中线即为斜边的一半，可得OA=OB=OC=OS=1，即有球的半径r 为1，则球的体积为=．故选：B ．B2.三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，且SA AC SB BC ====，4SC =，则该球的体积为 A2563π B 323π C 16π D 64π解析：D3．在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是3-）A ．B ．6πC ．24π DA4.在平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体'A BCD -，使平面'A BD ⊥平面BCD ，若四面体'A BCD -顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A 2B 3πC 3D 2π5．平行四边形ABCD 中，AB ·BD =0，沿BD 将四边形折起成直二面角A 一BD －C ，且4=，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为（ ）A ．2π B ．4π C ．π4 D ．2π分析：0AB BD ⋅=,所以AB BD ⊥,因为ABCD 为平行四边形,所以,CD BD AB CD ⊥=.因为A BD C --为直二面角,所以⊥面ABD 面CBD ,因为=面ABD 面CBD BD ,⊂AB 面ABD ,AB BD ⊥,所以⊥AB 面CBD .因为⊂BC 面CBD ,所以AB BC ⊥.分析可知三棱锥A BCD -的外接球的球心为AC 的中点.因为22222222()24A C A B B C A B C D B D A B C D =+=++=+=,所以2AC =.则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1,表面积为4π.故C 正确.6已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为 ．4π题型四 侧棱垂直于地面或侧面垂直于地面 过底面外心做垂线，球心有垂线上1.已知四面体P ABC -,其中ABC ∆是边长为6的等边三角形,PA ⊥平面ABC ,4PA =,则四面体P ABC -外接球的表面积为________．π64解：∵△ABC 是边长为6的等边三角形，∵PA ⊥平面ABC ，PA=4，△ABC 的外接圆的半径为32，∴四面体P ﹣ABC 外接球的半径为=4∴四面体P ﹣ABC 外接球的表面积为4π•42=64π．故答案为：64π．D2.已知三棱锥BCD A -中，2====CD BD AC AB ,AD BC 2=,直线AD 底面BCD 所成的角是3π，则此时三棱锥外接球的体积是 ( ) A π8 Bπ32 C π324 D π328 3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（ ）A ．外接球的半径为33B ．表面积为137++C ．体积为3D ．外接球的表面积为π4 解：由三视图可知，这是侧面ACD ⊥ABC ，高3=DE 的三棱锥，AC=2，BE=1，所以三棱锥的体积为33322131=⨯⨯⨯，设外接球的圆心为0，半径为x ，则x OE -=3 在直角三角形OEC 中，OE 2+CE 2=OC 2，即221)3(x x =+-，整理得221323x x x =++-，解得半径332=x ，所以外接球的表面积为，31642ππ=x 所以A ，C ，D 都不正确，故选B ．题型五 其中一条侧棱满足某个特殊的条件1.已知三棱锥BCD A -中，2====CD BD AC AB ,AD BC 2=,直线AD 底面BCD 所成的角是3π，则此时三棱锥外接球的体积是 ( ) A π8 Bπ32 C π324 D π328 选D(太原2016届高三上学期考试）在四面体ABCD 中，已知060=∠=∠=∠CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．3解：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．设P ，M 分别为AB ，CD 的中点，则N 在DP 上，且ON ⊥DP ，OM ⊥CD ．因为∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°，设CD 与平面ABD 所成角为θ，∴cosθ=31，sinθ=32．在△DMN 中，DM==1，DN=332=DP由余弦定理得3131231⨯⨯⨯-+=MN 2= ∴四边形DMON 的外接圆的半径3sin ==θMNOD ．故球O 的半径3=R 故选：D ．巩固提高：1．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ．E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆，使得E ，F ，G ，H 重合得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为()A ．163πB ．253πC ．643πD ．1003π解：连接OE 交AB 与I ，E ，F ，G ，H 重合为P ，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD 的边长为x ．则2x OI =，62x IE =-．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得24(6)222x xx ⨯⨯-=，解得4x =．设外接球的球心为Q ，半径为R ，可得OC =OP =222)R R =+．解得R =∴该四棱锥的外接球的表面积210043S ππ=⨯=． 故选：D ．2．已知正方形ABCD 的边长为2，CD 边的中点为E ，现将ADE ∆，BCE ∆分别沿AE ，BE 折起，使得C ，D 两点重合为一点记为P ，则四面体P ABE -外接球的表面积是( )A ．1712πB ．1912πC ．193πD ．173π解：如图，PE PA ⊥，PE PB ⊥，1PE =，PAB ∆是边长为2的等边三角形， 设H 是PAB ∆的中心，OH ⊥平面PAB ，O 是外接球的球心，则1122OH PE ==，PH =，则22221912R OP OH PH ==+=． 故四面体P ABE -外接球的表面积是21943S R ππ==．故选：C ．3．在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，4AB =，2AD CD ==，将梯形ABCD 沿对角线AC 折叠成三棱锥D ABC -，当二面角D AC B --是直二面角时，三棱锥D ABC -的外接球的表面积为( ) A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π解：如图：4AB =，2AD CD ==，AC ∴=BC = 取AC 的中点E ，AB 的中点O ，连结DE ，OE ， 平面DCA ⊥平面ACB ，DE AC ⊥,DE ∴⊥平面ACB ，2DE =OE =，2OD ∴=，OB OA OC OD ∴===，2OB ∴=，即外接球的半径为2，此时三棱锥外接球的表面积为24216ππ=．故选：D ．4.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为3的球面上，AB AC ⊥，则该三棱锥体积的最大值是 ．解：设AB m =，AC n =，则12ABC S mn ∆=,ABC ∆的外接圆直径BC =取BC 的中点M ，则当PM ⊥平面ABC 时，三棱锥的体积最大此时球心O 在PM 上，113)32maxV mn =⨯⨯2213)34m n +⨯⨯…令224m n t +=，则1()3)3f t t =，1()3)3f t '=由()0f t '=，解得0t =（舍)，8t =，()f t 在(0,8)递增，在(8,9)递减 故f （8）最大，为323，所以三棱锥P ABC -的最大体积为3235.已知C B A P ,,,是半径为2的球面上的点，2===PC PB PA ，2ABC π=∠，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥ABD P -体积的最大值为________.【分析】P 在平面上的射影G 为△ABC 的外心，即G 为AC 中点，球的球心在PG 的延长线上，设PG ＝h ，则OG ＝2﹣h ，求出h ＝1，则AG ＝CG ＝，过B 作BD ⊥AC 于D ，设AD ＝x ，则CD ＝2﹣x ，设BD ＝y ，由△BDC ～△ADB ，得，从而y ＝，则＝，令f （x ）＝﹣x 4+2，则，利用导数性质能求出三棱锥P ﹣ABD 体积的最大值．解：如图，根据题意得P A ＝PB ＝PC ＝2，∠ABC ＝90°，∵P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，P A ＝PB ＝PC ＝2，2π=∠ABC ，点B 在AC 上的射影为D ，∴P 在平面上的射影G 为△ABC 的外心，即G 为∴OB 2﹣AC 中点，则球的球心在PG 的延长线上，设PG ＝h ，则OG ＝2﹣h ，OG 2＝PB 2﹣PG 2，即4﹣（2﹣h ）2＝4﹣h 2，解得h ＝1，则AG ＝CG ＝3，过B 作BD ⊥AC 于D ，设AD ＝x ，则CD ＝23﹣x ，设BD ＝y ，由△BDC ～△ADB ，得，解得y ＝，则＝， 令f （x ）＝﹣x 4+2，则，由f ′（x ）＝0，得x ＝，∴当x ＝时，f （x ）max ＝，∴△ABD 面积的最大值为＝，∴三棱锥P ﹣ABD 体积的最大值为．故答案为：833． 6．已知三棱柱111C B A ABC -的底面是正三角形，侧棱⊥1AA 底面ABC ，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则1AA 的长度为______． 13．【详解】由题意，的外接圆即为球的大圆设底面外接圆圆心，从而正三角形边长为，设圆心，由题意在球面上，为中点，则在中，，，则，，则故答案为。
学生讲义巧解外接球问题.docx
快速解决巧解外接球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力 .研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法 (公式法 )1、求正方体的外接球的有关问题【例 1】（上海中学）若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .【例 2】（交大附中）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24 ，则该球的体积为______________.2、求长方体的外接球的有关问题【例 3】（复兴高级中学）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为______________.【例 4】（七宝中学）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.A.16B. 20C.24D.323.求多面体的外接球的有关问题【例 5】（上海实验中学）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶9点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 ，底面周长为3，则这个球的体积为______________. .二、构造法 (补形法 )1、构造正方体【例 6】（ 2015 年上海高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是_______________.【例 7】（上海中学）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是_______________.【小结】一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c ，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有 2Ra2b2c2.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
简单多面体外接球问题总结
简单多面体外接球球心得确定一、知识点总结1。
由球得定义确定球心⑴长方体或正方体得外接球得球心就是其体对角线得中点、⑵正三棱柱得外接球得球心就是上下底面中心连线得中点、⑶直三棱柱得外接球得球心就是上下底面三角形外心连线得中点.⑷正棱锥得外接球球心在其高上,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到、⑸若棱锥得顶点可构成共斜边得直角三角形,则公共斜边得中点就就是其外接球得球心.2、构造长方体或正方体确定球心⑴正四面体、三条侧棱两两垂直得正三棱锥、四个面都就是直角三角形得三棱锥。
⑵同一个顶点上得三条棱两两垂直得四面体、相对得棱相等得三棱锥。
⑶若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体。
⑷若三棱锥得三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体。
3.由性质确定球心利用球心与截面圆圆心得连线垂直于截面圆及球心与弦中点得连线垂直于弦得性质,确定球心、二:常见几何体得外接球小结1、设正方体得棱长为,求(1)内切球半径;(2)外接球半径;(３)与棱相切得球半径、(1)截面图为正方形得内切圆,得;(２)与正方体各棱相切得球:球与正方体得各棱相切,切点为各棱得中点,如图4作截面图,圆为正方形得外接圆,易得。
(3)正方体得外接球:正方体得八个顶点都在球面上,如图５,以对角面作截面图得,圆为矩形得外接圆,易得、2、正四面体得外接球与内切球得半径(正四面体图1 图2图3棱长为,也就是球心)内切球半径为:外接球半径为:三:常见题型1、已知各顶点都在同一个球面上得正四棱柱得高为４,体积为16,则这个球得表面积就是解析:本题就是运用“正四棱柱得体对角线得长等于其外接球得直径”这一性质来求解得、补形法2。
若三棱锥得三个侧棱两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球得表面积就是 .解析:一般地,若一个三棱锥得三条侧棱两两垂直,且其长度分别为,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于就是长方体得体对角线得长就就是该三棱锥得外接球得直径.设其外接球得半径为,则有.３.正四棱锥得底面边长与各侧棱长都为,点都在同一球面上,则此球得体积为、解析:寻求轴截面圆半径法4.在矩形中,,沿将矩形折成一个直二面角,则四面体得外接球得体积为( )解析:确定球心位置法四:练习1、已知点、就是球表面上得点,平面,四边形就是边长为得正方形、若,则得面积为多少?2、设三棱柱得侧棱垂直于底面,所有棱长都为,顶点都在同一个球面上,则该球得表面积为多少？３、三棱锥中,平面,,就是边长为１得正三角形,则其外接球得表面积为多少?４、点在同一个球得球面上,,,若四面体体积得最大值为,则这个球得表面积为多少？5、四面体得三组对棱分别相等,棱长为,求该四面体外接球得体积。
简单多面体外接球问题总结
简单多面体外接球球心的确定一、知识点总结1.由球的定义确定球心⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心2 .构造长方体或正方体确定球心⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体3.由性质确定球心利用球心0与截面圆圆心O i的连线垂直于截面圆及球心0与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.二：常见几何体的外接球小结1、设正方体的棱长为a，求(1)内切球半径；(2)外接球半径；(3)与棱相切的球半径。
(1 )截面图为正方形EFGH的内切圆，得R -24作截面图, (2)与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图圆0为正方形EFGH的外接圆，易得R竝a。
2(3)正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面AA1作截面图得，圆0 为矩形AA1C1C的外接圆，易得R A,0 J^a。
22、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为 三：常见题型解析：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的 补形法2.若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为 J 3，则其外接球的表面积是 解析： 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径 外接球的半径为R ，则有2R V a 2 b 2 c 2 .D1 t ! i Q I ■ ID "■'A f —■・ Cl G 内切球半径为:——a12 外接球半径为: 日0 L ,, a , O 也是球心）1.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4, 体积为16,则这个球的表面积是a b 、c ，则就可以 .设其。
数学高考重点内容多面体外接球、内切球常见解题方法总结
1 多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点考查的一个热点..研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用法在解题中往往会起到至关重要的作用. .公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为 . .解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,2936,384x x x h h =ìì=ïï\íí=´ïï=îî．∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离32d =.∴外接球的半径221R r d =+=.43V p\=球.小结本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式..多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为1616，则这个球的表面，则这个球的表面积是A.16pB.20pC.24pD.32p解设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴222222426,6R R =++=\=.∴这个球的表面积是2424R p p =.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的这一性质来求解的..补形法例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是则其外接球的表面积是 . . 解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球. . 设其外接球的半径为R ，则有()()()()222223339R=++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R p p ==.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c =++.寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为同一球面上，则此球的体积为 . .解 设正四棱锥的底面中心为设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图3所示所示..∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ^平面.又1SO ABCD ^平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上所在的直线上. . ∴ASC D 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径是外接球的半径. .在ASC D 中，由22SA SC AC ===，，得222SA SC AC +=. ∴ASC AC D D 是以为斜边的为斜边的Rt Rt . ∴12AC=是外接圆的半径，也是外接球的半径是外接圆的半径，也是外接球的半径..故43V p=球.小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径..本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究转化为平面几何问题来研究..这种等价转化的数学思想方法值得我们学习这种等价转化的数学思想方法值得我们学习..确定球心位置法例5 在矩形在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为的外接球的体积为 A.12512p B.1259p C.1256p D.1253p 解 设矩形对角线的交点为设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示所示..∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R p p ==球.选C.出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面^，°=Ð120BAC ，2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。
专题12多面体的外接球和内切球
专题12 多面体的外接球和内切球一、结论1．球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。
类型一 球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥P ABCD -中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下： P ABCD O ABCD O PBC O PCD O PAD O PAB V V V V V V ------=++++即：可求出.类型二 球的外接问题1、公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2、补形法（补长方体或正方体）①墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察）②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，）3、单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P ABC -中，选中底面ABC ∆，确定其外接圆圆心1O （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2sin a r A=）； ②过外心1O 做（找）底面ABC ∆的垂线，如图中1PO ⊥面ABC ,则球心一定在直线（注意不一定在线段1PO 上）1PO 上；③计算求半径R :在直线1PO 上任取一点O 如图：则OP OA R ==，利用公式22211OA O A OO =+可计算出球半径R .4、双面定球心法（两次单面定球心）如图：在三棱锥P ABC -中：①选定底面ABC ∆，定ABC ∆外接圆圆心1O②选定面PAB ∆，定PAB ∆外接圆圆心2O③分别过1O 做面ABC 的垂线，和2O 做面PAB 的垂线，两垂线交点即为外接球球心O . 二、典型例题1．（2022·山西吕梁·一模（文））在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑中，平面，则鳖臑内切球的表面积为A ．3πB．(3π- C ．12πD．(3π+【答案】B【解析】解：因为四面体四个面都为直角三角形，平面，所以，设四面体内切球的球心为，则， 所以3ABCD V r S =内， 因为四面体ABCD的表面积为1ABCD ABC ABD ACD BCD S S S S S =+++=△△△△又因为四面体ABCD 的体积16ABCD V =，所以3V r S ==内24(3S r ππ==-球， 故选：B【反思】本例中涉及到求内切球问题，典型的等体积法.2．（2021·四川省南充高级中学高二期中（文））在三棱锥P －ABC 中，两两垂直，则该三棱锥的外接球的表面积为A ．494πB ．56π CD ．14π【答案】D【解析】将三棱锥P －ABC 补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R ，则()222224214R R PA PB PC ==++=，所以球的表面积为2414S R ππ==． 故选：D ．【反思】由题意，两两垂直，可直接用补形法，补成长方体，利用长方体求外接球. 3．（2021·全国·高一课时练习）已知三棱锥，在底面中，面，则此三棱锥的外接球的表面积为A ．163πB ．43πC ．323πD ．16π【答案】D【解析】设三棱锥的外接球半径为R,已知其外接圆半径为1。
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16 3
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1 O
什么样的三棱锥外接球球心好确定？
上2016适应性考试）已知正三棱柱的体积为3 3，所有顶点都在球 O的球面上，则球O的表面积的最小值为
在其高上
例7、求棱长为1的正四面体外接球的体积．
6
课堂跟踪检测 1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则 球的表面积为( ) 2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6， 则这个球的表面积为( ) 3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
题点五：球的内接直棱柱问题 5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一 个球面上，则该球的表面积为 7 2 11 2 A．πa B. πa C. πa D．5πa2 3 3 解析：选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱
2
(
)
与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中 2 3 3 1 心，O为球心，易知AP＝ × a＝ a，OP＝ a，所以 3 2 3 2 球的半径R＝OA满足R
[活学活用]
一平面截一球得到直径为 2 5 cm 的圆面， 球心到这个平面的 距离是 2 cm，则该球的体积是 A．12π cm3 C．64 6π cm3
解析：选 B 垂直于截面圆 O1，如图所示． 在 Rt△OO1A 中，O1A＝ 5 cm， OO1＝2 cm， ∴球的半径 R＝OA＝ 22＋ 52＝3(cm)， 4 ∴球的体积 V＝ ×π×33＝36π(cm3)． 3
4 3 32π (1) 设球的半径为 R ，则由已知得 πR ＝ ， 3 3
故球的表面积 S 表＝4πR2＝16π. (2)由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四 分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面 3 1 2 积之和． 因为 R＝1， 所以 S＝ ×4×π×1 ＋2× ×π×12＝4π. 4 2 [答案] (1)B (2)4π
2
＝
7 2 7 2 3 2 1 2 2 a ＋ ＝ a ，故 S ＝ 4π R ＝ πa . a 球 2 12 3 3
(1)正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时 a 球的半径为r1＝ ，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)． 2
( B．36π cm3 D．108π cm3
)
设球心为 O，截面圆心为 O1，连接 OO1，则 OO1
与球有关的组合问题
题点一：球的外切正方体问题 1．将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球 的体积为 4π A. 3 2π B. 3 3π C. 2 π D. 6 ( )
解析：选 A 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何 特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直 4 4π 3 径为 2，故半径为 1，其体积是 ×π×1 ＝ . 3 3
[典例]
球的体积与表面积 32π (1)球的体积是 ，则此球的表面积是 3
(
)
16π 64π A．12π B．16π C. D. 3 3 (2)一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图
都是半径为 1 的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几 何体的表面积为________．
[ 解析 ] 解得 R＝2.
一、构造法
球的表面积是
构造正方体或长方体
9
例1、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3，则其外接
例2. 已知三棱锥A BCD的顶点都在球O的球面上，且AB 面BCD， AB 2, BD CD 1, BD CD, 则球O的体积为
4 3
A
C
O
B
P
例3. 求棱长为 a 的正四面体 D – ABC 的外接球的 表面积。 3 2
题点二：球的内接长方体问题 2．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点 上的三条棱的长分别为 1,2,3，则此球的表面积为______．
解析：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R＝ 12＋22＋32＝ 14，所以球的表面积 S＝4πR2＝14π. 答案：14π
题点三：球的内接正四面体问题 3．若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面 上，求球的表面积．
[活学活用]
某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．
解析：由三视图可知，该几何体为一个半 径为 1 的半球，其表面积为半个球面与截 1 面面积的和，即 ×4π×12＋π×12＝3π. 2 答案：3π
球的截面问题
[典例] 如图， 有一个水平放置的透明无盖的
正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口， 再向容器内注水， 当球面恰好接触水面时测得水深 为 6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为( 500π A. cm3 3 1 372π C. cm3 3 866π B. cm3 3 2 048π D. cm3 3 )
(2)长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根 据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同 一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的 1 半径为r2＝ 2 a2＋b2＋c2，如图(2)．
(3)正四面体的外接球 6 正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为： 2R＝ a. 2
[解析]
如图，作出球的一个截面，则 MC＝8
1 1 －6＝2(cm)，BM＝ AB＝ ×8＝4(cm)．设球的半 2 2 径为 R cm， 则 R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42， ∴R 4 500 3 ＝5.∴V 球＝ π×5 ＝ π(cm3)． 3 3 [答案] A
球的截面问题的解题技巧 (1)有关球的截面问题， 常画出过球心的截面圆， 将问题 转化为平面中圆的问题． (2)解题时要注意借助球半径 R，截面圆半径 r，球心到 截面的距离 d 构成的直角三角形，即 R2＝d2＋r2.
简单多面体的外接球问题
1．球的表面积 设球的半径为 R，则球的表面积 S＝_____，即球的表面积 等于它的大圆面积的 2．球的体积 设球的半径为 R，则球的体积 V＝_____. 倍．
3.球的性质
1. 用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面， 截线是圆。 大圆--截面过球心,半径等于球半径; 小圆--截面不过球心
2. 球心和截面圆心的连线垂直于截面
3. 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r的关系： R2 r 2 d 2
4. 多面体的外接球
定义：若一个多面体的各顶点都在一 个球的球面上，则称这个多面体是这 个球的内接多面体，这个球是这个多 面体的外接球。
A
2．若球的过球心的圆面圆周长是 C，则这个球的表面积是 ( C2 A. 4π C2 C. π C2 B. 2π D．2πC2 )
求球的体积与表面积的方法 (1)要求球的体积或表面积， 必须知道半径 R 或者通过条件能 求出半径 R，然后代入体积或表面积公式求解． (2)半径和球心是球的最关键要素， 把握住了这两点， 计算球 的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了． (3) 由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或 体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视 图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其 表面积或体积． 此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．
2
A B A B
a
O
D C C
O
D
6 R a 4 求正四面体外接球的半径 求正方体外接球的半径
29
思考总结：什么样的三棱锥可构造成正方体或长方体？
三条侧棱两两垂直的三棱锥
二、确定球心位置法
例5. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形 ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD 的外接球的体积为 125
2 C C 解析：选 C 由 2πR＝C，得 R＝ ，∴S 球面＝4πR2＝ . 2π π
3．若一个球的直径是 10 cm，则它的体积为________ cm3.
10 4 3 解析： 由题意知其半径为 R＝ ＝5(cm)， 故其体积为 V＝ πR 2 3 4 500 3 ＝ × π× 5 ＝ π(cm3)． 3 3 500 答案： π 3
r 圆锥底面的距离是 ，于是圆锥的底面半径为 2 r
2
r －22＝
3r 3r ，高为 . 2 2
3r 1 4 3 2 3r 3 3 该圆锥的体积为 ×π× × 2 ＝8πr ，球体积为3πr ，∴该 3 2
3 3 πr 8 9 9 圆锥的体积和此球体积的比值为 ＝ .答案： 4 3 32 32 πr 3
正方体的外接球
D A O D1 A1 C1
A1
C
对角面 A
B
C
2R 3a
O
C1
2a
B1
正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。
长方体的外接球
对角面
2 R a 2 b2 c 2
a 2 b2
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c
长方体外接球的直径等于长方体体对角线
两招搞定简单多面体外接球问题
6
将“直二面角”改为“二面角”结果？
变式题：如图，棱形ABCD的边长为1, 且BAD=600 ,沿对角线 BD 将 棱形ABCD折成直二面角A-BD-C,则三棱锥A BCD外接球的表面积为
5 3
例6.(安顺市 二模)已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，
SA 平面ABC，SA=2 3, AB 1, AC 2, BAC 600 , 则球O的表面积为( B ) A. 64 B. 16 C. 12 D. 4