理论力学-刚体的基本运动
理论力学6—刚体的基本运动
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
1、角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
dj
ww
dt
大小
角速度矢沿轴线，弯向表示刚体转动的方向。
指向用右手螺旋法则。
w wk
角加速度矢量
dw dw
k k
dt
dt
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
2
例6-6
某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢w 的方向
余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小ω=25rad/s 。求：刚体上点
M（10，7，11）的速度矢。
解：角速度矢量
w wn
其中 n （0.6，0.48，0.64）
M点相对于转轴上一点M0的矢径
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13 ；(b)如
果n1=3000r/min，求n3.
1
n1
2
n2
3
n3
4
解：求传动比：
n1 n1 n2 Z 2 Z 4
i13
34.8
n3 n2 n3 Z1 Z 3
则有：
n1 3000
n3
86r / min
i13
4 rad
dw dw d
dw
w
dt
d dt
d
dw
w
0.2
d
解：
w
w wdw
0
理论力学中的刚体运动与角速度的计算
理论力学中的刚体运动与角速度的计算刚体是指具有一定形状和大小，其内部各点间相对位置不会发生改变的物体。
在理论力学研究中，刚体运动是一个重要且常见的问题，其中角速度的计算是关键的一部分。
本文将介绍刚体运动的基本概念和相关计算方法。
一、刚体运动的基本概念刚体的运动可以分为平动和转动两种形式。
平动是指刚体整体沿直线运动，而转动则是刚体围绕某个轴旋转运动。
在刚体转动的过程中，角速度是一个重要的物理量。
角速度表示刚体某一点在单位时间内绕轴旋转的角度。
通常用符号ω表示，计量单位是弧度/秒。
二、角速度的计算方法1. 定义式计算：对于旋转角速度恒定的情况，可以通过定义式计算角速度。
角速度ω等于单位时间内转过的弧长与转动所需时间的比值。
ω = Δθ / Δt其中，Δθ是转过的弧长，Δt是转动所需时间。
2. 瞬时角速度计算：在某一时刻的瞬时角速度等于通过该点的切线所确定的线速度与该点到轴的距离之比。
即，ω = v / r其中，v表示质点在切线方向上的线速度，r表示质点到该轴的距离。
3. 利用转动惯量计算：转动惯量是刚体抵抗转动的特性参数。
利用转动惯量的计算公式，可以推导出角速度的表达式。
比如，对于圆盘形刚体绕垂直于其平面并通过质心的轴转动的情况，转动惯量I和角速度的关系公式为：Iω = L其中，I表示转动惯量，L表示刚体的角动量。
三、刚体运动与角速度的应用角速度的计算在刚体运动的分析和应用中发挥着重要作用。
下面以两个实例介绍其应用。
实例一：自转的地球地球自转是一个典型的刚体运动问题。
地球自转一周的周期是24小时。
将地球看作一个近似的刚体，其转动惯量与角速度的乘积等于地球的角动量。
通过计算地球的转动惯量和已知的角动量，可以求得地球的角速度。
实例二：陀螺稳定陀螺是另一个常见的刚体运动问题。
陀螺的稳定性与其角速度密切相关。
通过计算陀螺的角速度，可以分析陀螺的稳定性，并设计出能够保持平衡的陀螺。
总结：刚体运动与角速度的计算是理论力学中的重要内容。
理论力学--运动学总结
速度瞬心位置的确定总结
瞬时平动
几点注意 1、基点法是速度分析的基本方法；
2、速度投影法 应用起来简单，但必须知道待求速度 点的方位，致命的弱点—是不能求图形的角速度 2、当平面几何简单时，分析速度可采用瞬心法； 瞬心法既可以求某点的速度，也可以求刚体运动 的角速度； 4、确定速度瞬心的速度是该点的绝对运动速度； 5、具体分析时三种方法灵活运用；
（1）刚体的基本运动 平动
v A vB
aA aB
各点的轨迹相同；
可简化为一个点的运动。
定轴转动
v R
a R
an R 2
轮系的传动比：
1 n1 R1 Z 2 i12 2 n2 R2 Z1
各处不打滑时： 接触点有相同的线速度和相同的切向加速度。
（2）刚体的平面运动 1. 定义 任一点到某固定平面的距离保持不变。
B点的加速度分析
D
C
a a 2 a a 2 ae 2 ar 2
n
aa 2 ae 2
O1
30°
ar 2
B
aa 2cos60 aa2cos30 ae 2
n
aa 2
1
30° O2
n
A
a a2 O2 B 2
n 2 aa2 O2 B2
ae2 657mm/ s
2
三、刚体的运动
va=v
vCA
动点：滑块C 动系：固结于AE
u=vA
vr
vC' A
ωAE
分析三种运动
牵连运动：刚体的平面运动
牵连转动
va ( vA vCA ) vr
va cos vCA v A sin
刚体的简单运动—刚体绕定轴的转动(理论力学)
主轴转动两圈后停止 0
2 02 2
0 10π2 2 4π
负号表示 的转向与主轴转动方向相反，故为减速运动。
小结
1.刚体绕定轴转动 刚体运动时，有上或其扩展部分有两点保持不动,这种运动
为刚体的绕定轴转动。通过两点的直线称为转轴,不在转轴上 的各点都在垂直于转轴的平面内做圆周运动。
2.角速度
三、定轴转动的角速度和角加速度
1、角速度
lim
Δt 0
Δ Δt
d
dt
代数量 正负与转角相同
若已知转动方程 f (t)
f (t)
刚体转动的快慢和方向 单位为 rad/s
2、角加速度
设当t 时刻为 , t +△t 时刻为 +△
角加速度
lim
t 0
t
d
dt
d2
dt2
f (t)
表征角速度变化的快慢 单位:rad/s2 (代数量)
§6-2 刚体绕定轴的转动
一、刚体绕定轴转动
刚体运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动, 这种运动为刚体的绕定轴转动。通过两点的直线称为 转轴,不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内做 圆周运动。
二、转角和转动方程
____ 转角,单位弧度(rad)
=f(t)
转动方程
方向规定: 从Z轴正向看
逆时针为正
f (t) 刚体转动的快慢和方向 单位为 rad/s (代数量)
3.角加速度
f (t)
如果与同号,则转动是加速的;如果与异号,则转动是减
速的。
如果与同号,则转动是加速的; 如果与异号,则转动是减速的。
与同号,转动加速
与异号,转动减速
O
理论力学08刚体的基本运动
[例5] 图示仪表机构中，已知各齿轮齿数 z1 = 6、z2 = 24、z3 = 8、 z4 = 32，齿轮 5 的啮合圆半径 R = 4 cm。如齿条 AB 下移1 cm，试 求指针 OC 转过的角度。
解： 轮 5 转过的角度
5
1 4
轮 4 转过的角度
4
5
1 4
轮 3 转过的角度
3
4
i43
z4 z3
aMn
a
n A
π202l
16
cos
2
πt 4
aMt 0
aM
aMn
π202l
16
[例3] 如图，鼓轮绕轴 O 转动，已知鼓轮的半径 R = 0.2 m，转动方
程 = －t2＋4t （t 以 s 计， 以 rad 计）；不可伸长的绳索缠绕在鼓
轮上，绳索的另一端悬挂重物 A。试求当 t = 1 s 时，轮缘上的点 M 和重物 A 的速度和加速度。
[例1] 杆AO 套在套筒 B 中绕轴 O 转动，套筒 B 在竖直滑道中运动。 已知套筒 B 以匀速 v = 1 m/s 向上运动，滑道与轴 O 的水平距离 l =
400 mm，运动初始时 = 0°。试求 = 30°时，杆AO 的角速度和角
加速度。
解： 杆AO 的转动方程
arctan
BB0 OB0
第二节 刚体绕定轴转动
一、绕定轴转动刚体的转动方程
t
说明：1）转角 为代数量，正负号表示
转向，一般可按右手螺旋法则 确定。
2）转角 的单位：rad（弧度）
z
A A0
二、绕定轴转动刚体的角速度
d
dt 说明：1）绕定轴转动刚体的角速度 为代数
量，其正负号表示转向，角速度 的正 负号规定与转角 一致。 2）角速度 的单位：rad/s 3）角速度 与转速 n (r/min) 的换算关系
刚体的简单运动—转动刚体内各点的速度和加速度(理论力学)
设角加速度如图所示
A MO
O
切向加速度 at dv d (R) R d R (+)
dt dt
dt
R
an
v
at
即：转动刚体内任一点的切向加速度(又称转动加 速度)的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线
M
B
垂直距离的乘积。
它的方向由角加速度的符号决定，当是正值时，它沿圆周的切线，
[例]半径R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程 t 2 4t ，单位为弧度。 求t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速度。如在此轮缘上绕一柔软而不
可伸长的绳子并在绳端悬一物体A，求当t=1s时，物体A的速度和加速度。 解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为
d 2t 4
dt
d2 2
• ①滑轮3s内的转数； • ②重物B在3s内的行程；
• ③重物B在ｔ＝3s时的速度；
• ④滑轮边上C点在初瞬时的加速度；
• ⑤滑轮边上C点在ｔ＝3s时的加速度。
解：① 因为绳子不可以伸长，所以有
C aA 1m/s2
aCt 1 2 rad/s2
R 0.5
（ ）常数
vC
vA
1.5m /s， 0 vC
4.5m /s2
a (at )2 (an )2 12 4.52 4.61 m/s2
C
C
C
tan aCt 1 0.222， 12.5
aCn 4.5
⑤ t=3s 时，
at a
1m/s2，a n
R 2
2
0.5 9
40.5m/s2
a 12 40.52 40.51m/s2，tan 1 0.0247， 1.41 C
理论力学运动学知识点总结
运动学重要知识点一、刚体的简单运动知识点总结1.刚体运动的最简单形式为平行移动和绕定轴转动。
2.刚体平行移动。
·刚体内任一直线段在运动过程中，始终与它的最初位置平行，此种运动称为刚体平行移动，或平移。
·刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状完全相同，各点的轨迹可能是直线，也可能是曲线。
·刚体作平移时，在同一瞬时刚体内各点的速度和加速度大小、方向都相同。
3.刚体绕定轴转动。
•刚体运动时，其中有两点保持不动，此运动称为刚体绕定轴转动，或转动。
•刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。
•角速度ω表示刚体转动快慢程度和转向，是代数量，。
角速度也可以用矢量表示，。
•角加速度表示角速度对时间的变化率，是代数量，，当α与ω同号时，刚体作匀加速转动；当α与ω异号时，刚体作匀减速转动。
角加速度也可以用矢量表示，。
•绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系：。
速度、加速度的代数值为。
•传动比。
一、点的运动合成知识点总结1.点的绝对运动为点的牵连运动和相对运动的合成结果。
•绝对运动：动点相对于定参考系的运动；•相对运动：动点相对于动参考系的运动；• 牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动。
2.点的速度合成定理。
•绝对速度：动点相对于定参考系运动的速度；•相对速度：动点相对于动参考系运动的速度；•牵连速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的速度。
3.点的加速度合成定理。
•绝对加速度：动点相对于定参考系运动的加速度；•相对加速度：动点相对于动参考系运动的加速度；•牵连加速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的加速度；•科氏加速度：牵连运动为转动时，牵连运动和相对运动相互影响而出现的一项附加的加速度。
•当动参考系作平移或= 0 ，或与平行时， = 0 。
该部分知识点常见问题有问题一牵连速度和牵连加速度的意义。
问题二应用速度合成定理时要画速度矢量图。
理论力学6—刚体的基本运动分析
6.1 刚体的平行移动
平动的实例
夹 板 锤 的 锤 头
6.1 刚体的平行移动
2. 平动的特点
定理：当刚体作平动时，刚体内所有各点的轨迹形状完 全相同，而且在每一瞬时，刚体各点的速度相等，各点 的加速度也相等。 证明：
rA rB BA
◆速度 刚体平动时，刚体内任一线段AB 的长度和方向都保持不变。 因而 x
a a a R w
2 2 n 2
4
a tan 2 an w
( Rw ) 2 an Rw 2 R v2
即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的 大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的 乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。
6.3 转动刚体内各点的速度和加速度
如果ω与同号，角速度的绝对 值增加，刚体作加速转动，这 时点的切向加速度 aτ 与速度 v 的指向相同。 如果ω与异号，刚体作减速转 动，aτ与v的指向相反。 点的全加速度为：
6.1 刚体的平行移动
刚体的两种最简单的运动是平行移动和定轴转动。以后可 以看到，刚体的更复杂的运动可以看成由这两种运动的合 成。因此，这两种运动也称为刚体的基本运动。
1. 刚体的平动
在运动过程中，刚 体上任意一条直线 都与其初始位置保 持平行。具有这种 特征的刚体运动， 称为刚体的平行移 动，简称为平动。
6.3 转动刚体内各点的速度和加速度
当刚体绕定轴转动时，刚体内任意一点都作圆周运动，圆心在 轴线上，圆周所在的平面与轴线垂直，圆周的半径 R 等于该点 到轴线的垂直距离。 由于点M绕点O作圆周运动，用自然法表示。点M的弧坐标为
s Rj
动点速度的大小为
ds dj v R Rw dt dt
理论力学
第一章 力学基础
一、刚体、平衡与运动
1－刚体（不变形的物体）
物体在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不 变。它是一个理想化的力学模型
实际物体在力的作用下，都会产生程度不同的变形。但是，这 些微小的变形，对研究物体的平衡问题不起主要作用，可以略 去不计，这样可使问题的研究大为简化。
首都机场候机楼顶棚拱架支座
铰 (Hinge)
固定铰支座
构件的端部与支座有相同直径的圆孔，用一圆柱形销钉连接起 来，支座固定在地基或者其他结构上。这种连接方式称为固定铰链 支座，简称为固定铰支(smooth cylindrical pin support)。桥梁上的 固定支座就是固定铰链支座。
将具有相同圆孔的两构件用圆柱形销钉连接 起来，称为中间铰约束
三.力对点的矩
z
B
1.力对点的矩
mo(F)
mo(F) = r×F
mo(F)表示力F绕O点
A
r
O
y
转动的效应.O点称为矩
d
x
心.力矩矢是定位矢量.
力矩的三要素:力矩的大小;力矩平面的
方位;力矩在力矩平面内的转向.
力矩的几何意义: mo(F) =±2OAB面积=±Fd 力矩的单位: N·m 或 kN·m
同时作用于物体的一群力-------力系
汇交力系 平行力系 一般力系
空间力系 平衡力系
平面力系
等效力系
四、静力学的基本公理
二力平衡公理 加减平衡力系公理 力的平形四边形法则 作用与反作用定律
公理1 二力平衡公理 －最简单的平衡条件
作用在刚体上的两个力，使刚体平 衡的必要和充分条件是：两个力的大小 相等，方向相反，作用线沿同一直线。
理论力学 第二章 刚体的基本运动
0
nπ 式中n为转速 单位：转/ 分(r/min) 。 山东大学 土建与水利学院工程力学系 THEORETICAL MECHANICS 30
§ 2.2 刚体绕定轴的转动
3.角加速度
描述角速度变化的快慢程度
2
d d lim 2 t 0 t dt dt
单位：弧度/秒2 (rad/s2 ) α与同号，刚体加速转动；
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§2.4 轮系的传动比
1 n1 r2 Z2 i1,2 2 n2 r1 Z1
此结论对于锥齿轮传动和带 轮传动同样适用。 在一些复杂轮系（如变速器） 中包含有几对齿轮。可将每一对 齿轮的传动算出后，将它们连乘 起来，变为可得总的传动比。
392.8 62.5 转 2π
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
例2- 3 轮子绕O点作定轴转动，其加速度方向和轮的半径
成60度角，求轮的转动方程，以及角速度和转角之间的关系。
00, 0.
M
O
a
60
THEORETICAL MECHANICS
解 ： AB 杆 为 平 移 ， O1A 为 定 轴 转 动 。 根 据 平移的特点，在同一瞬 时，M、A两点具有相同 的速度和加速度。
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
A点作圆周运动，其运动方程为
s O1 A 3π t
ds dv vA 3π （m/s) a A t 0 dt dt
§ 2.1 刚体的平行移动
理论力学知识点总结
理论力学知识点总结理论力学是一门研究物体机械运动一般规律的学科，它是许多工程技术领域的基础。
以下是对理论力学一些重要知识点的总结。
一、静力学静力学主要研究物体在力系作用下的平衡问题。
1、力的基本概念力是物体之间的相互作用，具有大小、方向和作用点三个要素。
力的表示方法包括矢量表示和解析表示。
2、约束与约束力约束是限制物体运动的条件，约束力则是约束对物体的作用力。
常见的约束类型有柔索约束、光滑接触面约束、光滑圆柱铰链约束等，每种约束对应的约束力具有特定的方向和特点。
3、受力分析对物体进行受力分析是解决静力学问题的关键步骤。
要明确研究对象，画出其隔离体，逐个分析作用在物体上的力，包括主动力和约束力，并画出受力图。
4、力系的简化力系可以通过平移和合成等方法进行简化，得到一个合力或合力偶。
力的平移定理指出，力可以平移到另一点，但必须附加一个力偶。
5、平面力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程有三个：∑Fx ＝ 0，∑Fy ＝ 0，∑Mo(F) ＝0。
对于平面汇交力系和平面力偶系，平衡方程分别有所简化。
6、空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程数量增多，需要考虑三个方向的力平衡和三个方向的力矩平衡。
二、运动学运动学研究物体的运动而不考虑引起运动的力。
1、点的运动学描述点的运动可以使用矢量法、直角坐标法和自然法。
在自然法中，引入了弧坐标、切向加速度和法向加速度的概念。
2、刚体的基本运动刚体的基本运动包括平动和定轴转动。
平动时，刚体上各点的运动轨迹相同、速度和加速度相同；定轴转动时，刚体上各点的角速度和角加速度相同。
3、点的合成运动点的合成运动是指一个动点相对于两个不同参考系的运动。
通过选取合适的动点、动系和定系，运用速度合成定理和加速度合成定理来求解问题。
4、刚体的平面运动刚体平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
平面运动刚体上各点的速度可以用基点法、速度投影定理和瞬心法求解，加速度则可以用基点法求解。
三、动力学动力学研究物体的运动与作用力之间的关系。
理论力学—刚体平面运动
试求：该瞬时滑块B的速度和AB杆的角速度。
B
O
A
R
O1
解：用速度合成法（基点法）求解。
取A 为基点，B 点的速度为
vB v A vBA
式中：vA r 方向与OA相垂直。
vBA方向与AB杆垂直，大小未知
第二章 刚体的平面运动
§２.1. 刚体平面运动的简化 §２.2. 用分析方法研究平面图形的运动 §2.2.1. 运动方程
§2.2.２.平面图形的角位移、角速度 角加速度
§2.2.3. 平面图形上点的运动分析
*§2.3. 用矢量方法研究平面图形的运动 §2.3.1 平面平动 §2.3.2 定轴转动 *§ 2.3.3 平面图形上点的速度关系 *§2.3.4. 平面图形上点的加速度关系
Z
Y A1
S
A
A2
X
简化
Y
S A
X
§2.2 分析法研究平面图形的运动
2.2.1.运动方程
一、确定图形位置
自由的平面图形S,其位置的确定 可由其上任一线段AB 的位置来确定。
AB 位置由下述方法确定：
y
建立与参考空间固连
B
直角坐标Oxy
x A
A
A点坐标：xA, yA
O
y
A
x
方位角（AB与固定线 Ox夹角）
求解B 点的速度、加速度。
§2.3. 矢量法研究平面图形的运动
2.3.1、平面平动
平面平动特征
刚体上任意线段AB在移动
B
B'
过程中方向不变。
平动刚体上点的速度与加速度 rB A
理论力学8刚体的基本运动
前面都为数量表达式，只有大小，而未标明方向； 矢量表达既有大小，又有方向。
一. 角速度和角加速度的矢量表示
按右手定则规定
w ， 的方向。
大小:|w ||ddt |
dw dw k k
dt dt
方向如图 w wk
15
二 刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示
vRw rsin w |w r|wrsin Rw
小于90o , 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为:
各点速度分布图
各点加速度分布图
10
§8-4 绕定轴转动刚体的传动问题
传动比：通常称主动轮与从动轮角速度之比
i12
w1 w2
一.齿轮传动
因为是做纯滚动(即没有相对滑动) 1.内啮合
vF vE vF vE
wF rF wE rE
定义齿轮传动比
iEF
aC n Rw02 0.532 4.5m/s 2
aC (aC )2 (aC n )2 12 4.52 4.61 m/s2
tg
aC aC n
1 4.5
0.222,
12.5
⑤ t=3s 时， aC aA 1m/s2,aCn Rw 2 0.592 40.5m/s2
aC
12 40.52 40.51m/s2,
w 2 w02 2
7
§8-3 转动刚体内各点的速度和加速度
一. 线速度V和角速度w之间的关系(即角量与线量的关系)
w , 对整个刚体而言(各点都一样)；
v, a 对刚体中某个点而言(各点不一样)。
v
v
lim
t0
R t
wR
v wR
8
二.角加速度 与an ,a 的关系
理论力学 刚体的一般运动
即：刚体绕两平行轴的转动可合成为绕瞬轴的转动， 瞬轴与原两轴共面且平行，到两轴的距离与两角速 度大小成反比。同向转动时，瞬轴在两轴之间，
a e r ，转向与两者相同；反向转动时, 瞬轴
在两轴之外, 在角速度值大的一侧, a e r ，转 向与大者的相同。
8
[例1] 齿轮、半径均为R, 齿轮半径为 r ,依次互啮合, 轮 固 定不动，轮 和轮 装在曲柄O1O3上，可分别绕O2、O3轴转
第十章 刚体的一般运动
§10–1 刚体绕平行轴转动的合成
1
第十章 §10-1
刚体的一般运动
刚体绕平行轴转动的合成
刚体绕平行动。前面 所研究的平面运动是把它看成为平动和转动的合成运 动，但是在分析行星轮系的传动问题时，将行星轮的
a e r
d a d e d r dt dt dt
a e r
即：平面图形（这里指行星轮）的绝对角速度a等于牵连角速 度e 与相对角速度r的代表和． 当e 与r 转向相同时 a e r 转向与两者相同． 当e与r 转向相异时 a e r 转向与大者的相同．
动。设曲柄O1O3以 0顺时针转动．试求齿轮III相对于曲柄转
动的角速度3 r 和齿轮的绝对角速度3 以及图示瞬时A、
B 两点的速度。
9
解：取系杆O1O3 为动系,
1 r 、2 r 、 ３r 分别是 、 、
轮相对于系杆的角速度, 根据传动比公式， 可得
1r R r 1 1r 3 r 3r r R 由平行轴转动的合成理论，得
1 e 1r 0 1r o
3r 1r 0 ; 3 e 3r 0 0 0
10
由此可知，齿轮作平动，平动刚体上各点的速度相同，故
《理论力学》第六章 刚体的基本运动习题全解
第六章 刚体的基本运动 习题全解[习题6-1] 物体绕定轴转动的运动方程为334t t -=ϕ（ϕ以rad 计，t 以s 计）。
试求物体内与转动轴相距m r 5.0=的一点，在00=t 与s t 11=时的速度和加速度的大小，并问物体在什么时刻改变它的转向？ 解：角速度： 2394)34(t t t dt ddt d -=-==ϕω 角加速度：t t dtddt d 18)94(2-=-==ωα速度： )94(2t r r v -==ω)/(2)094(5.0|20s m r v t =⨯-⨯===ω)/(5.2)194(5.0|21s m v t -=⨯-⨯==切向加速度：rt t r a t 18)18(-=-==ρα法向加速度：22222)94()]94([t r rt r v a n -=-==ρ 加速度： 422222222)94(324])94([)18(t t r t r rt n a a n t -+=-+-=+=)/(8165.0)094(0324|24220s m r a t =⨯=⨯-+⨯== )/(405.1581.305.0)194(1324|24221s m r a t =⨯=⨯-+⨯== 物体改变方向时，速度等于零。
即：0)94(2=-=t r v )(667.0)(32s s t ==[习题6-2] 飞轮边缘上一点Ｍ，以匀速ｖ＝１０ｍ／ｓ运动。
后因刹车，该点以)/(1.02s m t a t =作减速运动。
设轮半径Ｒ＝０.４ｍ，求Ｍ点在减速运动过程中的运动方程及ｔ＝２ｓ时的速度、切向加速度与法向加速度。
解：t dtd a t 1.04.022-===ϕρα （作减速运动，角加速度为负）t dt d 25.022-=ϕ12125.0C t dtd +-=ϕ2130417.0C t C t ++-=ϕ12124.005.0)125.0(4.0C t C t dtd R v +-=+-⨯==ϕ104.0005.0|120=+⨯-==C v t图题46-251=C0000417.0|2130=+⨯+⨯-==C C t ϕ 02=C ，故运动方程为： t t 250417.03+=ϕt t t t R s 100167.0)250417.0(4.033+-=+-==ϕ速度方程：1005.02+-=t v)/(8.910205.0|22s m v t =+⨯-== 切向加速度：)/(2.021.01.0|22s m t a t t -=⨯-=-== 法向加速度：222)25125.0(4.0+-⨯==t a n ρω)/(1.240)252125.0(4.0|2222s m a t n =+⨯-⨯==[习题6-3] 当起动陀螺罗盘时，其转子的角加速度从零开始与时间成正比地增大。
《理论力学》课件 第5章
因而 dBA/dt 0 ，于是得
vA vB
将上式再求一次导数，则得
aA aB
例5-1
如图5-4所示的曲柄滑道机构，当曲柄 OA 在平面上绕定轴 O 转动 时，通过滑槽连杆中的滑块 A 的带动，可使连杆在水平槽中沿直
线往复滑动。若曲柄 OA 的长为 r ，曲柄与 x 轴的夹角为 t，
其中 是常数，求此连杆在任一瞬时的速度及加速度。
根据上述结论，可作出截面上各点的加速度的分布图，在通过轴心的 直线上，各点的加速度按线性分布，将加速度矢的端点连成直线，此 直线通过轴心，如图5-10（b）所示。
（a）
图5-10
（b）
例5-3
如图5-11所示，一半径 R 0.2 m 的圆轮绕定轴O 的转动方程
为 t2 4t ， 单位为rad， t单位为s。求 t 1 s 时，轮
*
t
当 t 趋近于零时，刚体转动的瞬时角加速度为
lim * lim d
t 0
t0 t dt
刚体绕定轴转动的角加速度等于角速度对于时间的一阶导数，
或等于转角对于时间的二阶导数。
角加速度与角速度一样都是代数量，它的单位是 rad/s2
若 与 的符号相同，则角速度的绝对值随时间而增加，这 时称为加速转动；反之，若 与 的符号相反，则角速度
例
设有平动的刚体，在刚体上任取两点 A 和 B ，并连成一直线如
图5-3所示。运动开始时 AB 线在 A0B0 的位置；经过极短时间间 隔 t 之后，移至 A1B1 ；依次再继续移至 A2B2 ， ，AnBn 等。
首先证明这两个任意点的轨迹形状是完全 相同的，根据刚体的定义得知 A，B 两点间 的距离保持不变。 因此 AB A0B0 A1B1 A2B2 AnBn
理论力学第五章 点的运动和刚体的基本运动 [同济大学]
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dv v2 τ n dt
a
r
O
`
v vτ
r
dv 2 v2 ) ( )2 dt ρ
tan
aτ an
1
例5-2 汽车以匀速度v=10m/s过拱桥，桥面曲线 y=4fx(L–x)/L2, f=1m,求车到桥最高点时的加速度。
解： aτ
例5-3 销钉A由导杆B带动沿固定圆弧槽运动。导杆B沿轴螺旋 立柱以不变的速度v0 =2m/s向上运动。试计算当θ=30° 时，销钉 A的切向和法向加速度。 解: 建立弧坐标s和直角坐标Oxy如图。 因 s=Rθ,
销钉A的加速度为
aτ v sin θ v0 θ cos θ
2 2 sin θ v0 12.32m/s 2 R cos3 θ
an
2 v2 v0 21.33m/s 2 R R cos 2 θ
例5-4
判别下图示曲线中加速度、速度矢量是否正确。
§5-4 刚体的基本运动平动，转动
则vＤ＝vＡ＝２rω
aＤn＝aＡn＝２rω２ aＤτ＝aＡτ＝２ra
0 dt
0
t
y x
θ θ0 ω0t
t
0 0
t
αdtdt
角加速度为常量：
两个独立方程
0 t,
1 θ θ0 ω0 t t 2 2
1 θ θ0 (ω0 ω)t , 2
t 0
'2 1 1 y " k y
切线
v r S M* + M
dτ s v lim n d t lim t 0 t t 0 s t
an
第六章 刚体的基本运动
z R a M
n
a = α × r + ω× v
aτ = α × r
α × r = α ⋅ r sin θ = α ⋅ R
O
aτ
v
α ω θ r
ω× r
a
n
= ω × v
ω ⋅ v = ω ⋅ ω ⋅ R = ω
dθ = ωo 其中： dt
所以： bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
dϕ =ω dt
*
rcos(θ + ϕ ) ω 解得： ω o = bcosθ − rcos(θ + ϕ )
方程*两边对时间取导数，得：
bcosθ ⋅ ω o = rcos(θ + ϕ ) ⋅ (ω o + ω )
一 、角速度的矢量表示
z
ω
k k
ω
z
ω=ω k
右手螺旋规则：右手的四指代表转动的方向，拇指代表角 速度矢量 ω 的方向。
二、角加速度的矢量表示
角加速度矢量定义：
dω α= dt
角加速度矢
α 为角速度矢 ω 对时间的一阶导数
d dω α = ( ωk) = k dt dt
dω d ϕ = 2 α= dt dt
为描述变速的程度，引入传动比的概念。
ω1 R2 z 2 = = 传动比： i12 = ω 2 R1 z1
ω1 n1 α1 R2 z 2 i12 = = = = = ω 2 n2 α 2 R1 z1
二 、皮带轮传动
n1 R1
vB A vA B R2
理论力学-刚体的简单运动
0 t
0
0t
1t2
2
§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度
1.点的运动方程
s R
2.速度
v s R R
3.加速度
at
dv dt
s
R
an
v2
1 R2
R
R 2
4.速度与加速度分布图
v R
a
a2 t
an 2
R
2 4
tan at an 2
§6-４ 轮系的传动比
1. 齿轮传动
drA dt
vA
ω rA
ωa
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
i jk
v r n r 0.6 0.48 0.64 8 j 6k
86 8
例6-3
一矢量绕z轴以角速度ω转动，若 =a常量
求：da
dt
解： 将矢量的端点A看成是绕z轴作定轴转动刚体上的一点
rA a
从而
da dt
① 啮合条件
R11 vA vB R22
② 传动比
i12
1 2
R2 R1
z2 z1
２.带轮传动
r11 vA vA vB vB r22
i12
1 2
r2 r1
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度
1.角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
大小
d
dt
作用线 沿轴线 滑动矢量
1.定义
刚体上(或其扩展部分)两点保持不动，则这种运动称为刚 体绕定轴转，简称刚体的转动。
转轴 ：两点连线
转角： 单位:弧度(rad)
2.运动方程
f t
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的中点M的速度和加速度。
第二章 刚体的基本运动
例题 2-1
§2-1 刚体的平移
例题 2-1
O1 φl
A O
（+）
O2
解：
l
由于两条钢索O1A和O2B的长度相
等，并且相互平行，于是荡木AB在运
M
B
动中始终平行于直线O1O2，故荡木作
平移。
为求中点M 的速度和加速度，只需求出A点（或B点）的速度和加速
第二章 刚体的基本运动
§2-1 刚体的平移
思考题
思考题
在图示机构中，已知：O1A=O2B=l， O1O2=AB， AC=0.5BC。 O1A，O2B 与三角板铰接， O1A匀角速度ω 转动。
试问： (1). 三角板ABC作什么运动？ 其角速度等于多少？
(2). 三角板BC边中点M的速度 和加速度各为多少？
静力学
刚体的基本运动
西北工业大学
第二章 刚体的基本运动
运动学
第 二
§2– 1 刚体的平移
章
§2–2 刚体的定轴转动
刚
体 的
§2–3 定轴转动刚体内各点的速度和 加速度
基
本
运
§2–4 用矢积表示刚体上点的速度和
动
加速度
第二章 刚体的基本运动
目录
刚体的基本运动
平动和定轴转动是刚体的两种最简单、最基本的 运动；以后可以看到，刚体的更复杂的运动可以看成 是由这两种运动的合成。因此，这两种运动称为刚体 的基本运动。
度即可。点A在圆弧上运动，圆弧的半径为l。如以最低点O为起点，规
定弧坐标s向右为正，则A点的运动方程为
s
0l sin
πt 4
将上式对时间求导，得A点的速度
v
ds dt
π 4
l0
cos
π 4
t
第二章 刚体的基本运动
§2-1 刚体的平移
例题 2-1
O1 φl
O2 l
再求一次导，得A点的切向加速度
§2-1 刚体的平移
平移的特点
应该注意，平移刚体内的点，不一定沿直线运动，也 不一定保持在平面内运动，它的轨迹可以是任意的空间曲 线。
如果平移刚体内各点的轨迹都是平面曲线或直线，则 这些特殊情形称为平面平移或直线平移。
由上述刚体平移的特点可见，当刚体作平移时，只须 给出刚体内任意一点的运动，就可以完全确定整个刚体的 运动。
O1 φl
ωA
C
O2 l B
M
第二章 刚体的基本运动
§2-1 刚体的平移
思考题
答： (1). 因为三角板ABC作平移运动，所以其角速度等于零。
(2). 三角板ABC作平移运动，点M与点B有相同的速度和加速 度。
vM=vB =rω aM=aB=rω2
第二章 刚体的基本运动
O1 φl l
ωA
O2
l
at
dv dt
π2 16
l
0
sin
πt 4
A
M
O
（+）
B
A点的法向加速度
an
v2 l
π2 16
l02
cos2
πt 4
代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点M在 这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：
t (s) φ(rad) 00 2 φ0
v (m·s－1)
vB
B
vM
C
M
O1 φl
A O
（+）
§2-1 刚体的平移
例题 2-1
例2-1 荡木用两条等长的钢
O2
索平行吊起，如图所示。钢索长
l
为长l，长度单位为m。当荡木摆
动时钢索的摆动规律
M
B
为 间
0 sin
，单位为s；
π t ，其中 t 转4 角φ0的单
为时 位为
rad。试求当t=0和t=2 s时，荡木
vB
aB aA
rB
A2
即，在每一瞬时，平移刚体 内任意两点的速度和加速度 O
A rA
vA A1
y
分别相等。
x
第二章 刚体的基本运动
§2-1 刚体的平移
平移刚体上各点的速度
平移的特点
第二章 刚体的基本运动
§2-1 刚体的平移
平移刚体上各点的加速度
平移的特点
第二章 刚体的基本运动
这样，刚体平移问题就可看为点的运动问题来处理。
第二章 刚体的基本运动
§2-1 刚体的平移
平移的特点
综上所述，可以得出刚体平移的几个主要结论：
刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹。
刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度 和 加速度。
刚体平移时的运动分析可以简化为其上任意 一点的运动分析。
第二章 刚体的基本运动
§2-1 刚体的平移
刚体的平移 平移的特点
第二章 刚体的基本运动
§2-1 刚体的平移
一、 刚体平移的定义
在运动过程中，刚体上任意一条直线的方位都保持不 变。具有这种特征的刚体运动，称为刚体的平行移动，简 称为平移。
第二章 刚体的基本运动
1. 刚体的平移
§2-1 刚体的平移
平移的实例
体的平移
第二章 刚体的基本运动
§2-1 刚体的平移
平移的实例
刚体的平移
第二章 刚体的基本运动
§2-1 刚体的平移
平移的实例
刚体的平移
第二章 刚体的基本运动
§2-1 刚体的平移
刚体的平移
刚体的平移
第二章 刚体的基本运动
§2-1 刚体的平移
刚体的平移
刚体的平移
第二章 刚体的基本运动
§2-1 刚体的平移
二、平移的特点
1.当刚体作平移时，刚体上所有各点的轨迹形状相同，
并且位置平行。
2.当刚体作平移时，同一瞬时，刚体上各点的速度相
等，各点的加速度也相等。
z
B2
证明： 刚体作平移时的特点1
B
B1
vB
可由图说明。
rB
A2
刚体作平移时的特点2 可证明如下：
始终保持不动，这种运动称为刚体的定轴转动。 该固定不动的直线称为转轴。
二、刚体定轴转动的特点 当刚体作定轴转动时，转动轴以外的各点都分别在垂
直于转轴的平面内作圆周运动，圆心在该平面与转轴之交 点上。
第二章 刚体的基本运动
§2-2 刚体的定轴转动
定轴转动实例
O
A rA
vA A1
y
x
第二章 刚体的基本运动
§2-1 刚体的平移
平移的特点
AB为刚体上任意一矢量，则有 rB rA AB
刚体平移时，刚体内任一线段AB的长度和方向都保持不变。
因而 d AB 0 dt
故
drB drA 或 dt dt
vB vA
z
B2
B
B1
上式再对时间t求导一次，即得
at (m·s－
2)
π 4
（0 水平向右）
0
0
π 16
0l
an (m·s－2)
π2 16
02（l 铅直向上）
0
第二章 刚体的基本运动
§2-2 刚体的定轴转动
刚体的定轴转动 转动规律 角速度 角加速度
第二章 刚体的基本运动
§2-2 刚体的定轴转动
一、 刚体的定轴转动 当刚体运动时，如其上（或其延展部分）有一条直线