有理数概念整理
有理数概念无理数定义
有理数概念无理数定义
有理数含义
1.有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
2.正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
无理数含义
无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
无理数应满足三个条件：1.是小数；2.是无限小数；3.不循环。
实数含义
实数是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，它们能把数轴“填满”。
具有有序性，传递性，四则运算封闭性等性质。
有理数的概念
有理数的概念有理数是数学中的一种特殊数。
它包括整数、分数以及它们之间的数。
有理数是在实数范围内的一部分，可以表示为分子和分母都是整数的分数形式。
在本文中，我们将探讨有理数的定义、性质和应用。
一、有理数的定义有理数可以表示为 p/q 的形式，其中 p 和 q 是整数，q ≠ 0。
p 是分子，q 是分母。
例如，2/3、-5/2、1/1 都是有理数。
类似地，整数也是有理数，例如，3、-7、0 都属于有理数的范畴。
有理数有两个重要的特征：可以是正数或负数，可以是绝对值大于1 的数或绝对值小于 1 的数。
有理数是实数的一个子集，简而言之，所有可以表示为分数形式的数都是有理数。
二、有理数的性质1. 封闭性：有理数是封闭的，即两个有理数的四则运算或乘方运算仍然是有理数。
例如，两个有理数相加或相乘的结果仍然是有理数。
2. 密度性：有理数在实数轴上是密度分布的。
对于任意两个有理数a 和b (a < b)，存在一个有理数 c，使得 a <c < b。
3. 唯一性：对于每一个有理数，它们的分数形式是唯一的。
例如，1/2 和 2/4 是相等的，但它们的分数没有唯一性。
4. 有序性：有理数可以按照大小进行排序。
例如，-5/3 < -1/2 < 0 < 1/2 < 5/3。
三、有理数的应用有理数在我们日常生活和数学领域广泛应用，其中一些应用包括：1. 分数的运算：有理数的分数形式使得我们能够进行准确的分数运算，如加减乘除。
2. 财务计算：有理数在财务领域的应用非常重要。
例如，计算货币兑换、计量单位之间的转换等。
3. 比例和比例关系：比例是有理数的一个重要应用。
它们用于解决许多比例关系的问题，如地图的比例尺、比例模型等。
4. 温度计量：在温度度量方面，有理数的应用很常见。
例如，华氏度和摄氏度之间的转换。
总结：有理数是数学中重要的数学概念之一，它包含了整数和分数，是实数的一个子集。
有理数具有封闭性、密度性、唯一性和有序性等性质。
有理数的知识点总结
有理数的知识点总结一、有理数的定义及基本性质：有理数是指所有可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和零。
有理数可以用一组整数的比值表示成两种形式：分数形式（也称作比例效应）和小数形式（也称作数列形式）。
有理数的集合通常记作Q。
有理数具有以下基本性质：1. 有理数的加法、减法、乘法和除法仍然是有理数，也就是说，有理数集合对于这四种运算是封闭的。
2. 有理数满足交换律和结合律，在加法和乘法运算中，a+b =b+a，(a+b)+c = a+(b+c)；在乘法运算中，a×b = b×a，(a×b)×c= a×(b×c)。
3. 有理数乘法和除法具有倒数性质，即对于任意非零有理数a，存在一个有理数b使得a×b = 1。
4. 有理数乘法符合分配律，即对于任意有理数a、b和 c，a×(b+c) = a×b + a×c。
5. 有理数具有唯一分解性质，即任何一个非零有理数都可以唯一表示为两个整数的比值，而且这个比值对于最简分数形式是唯一的。
二、有理数的四则运算：1. 有理数的加法和减法：对于两个有理数a/b和 c/d，它们的加法定义为(a/b) + (c/d) = (ad+bc)/bd，减法定义为(a/b) - (c/d) = (ad-bc)/bd。
在进行加法和减法运算时，通常需要化简结果为最简分数形式。
2. 有理数的乘法和除法：对于两个有理数 a/b和 c/d，它们的乘法定义为(a/b) × (c/d) =ac/bd，除法定义为(a/b) ÷ (c/d) = ad/bc（其中c/d≠0）。
在进行乘法和除法运算时，同样需要化简结果为最简分数形式。
三、有理数的大小比较：在有理数集合中，任何两个有理数都可以通过大小比较运算来确定它们的相对大小。
有理数的大小比较有以下几个基本原则：1. 相同符号的有理数比较大小，绝对值越大的数为更大的数；2. 不同符号的有理数比较大小，正数大于零，零大于负数；3. 相同符号的两个有理数的绝对值比较，绝对值较小的数较小。
有理数知识点整理
有理数知识点整理有理数是数学中的重要概念之一，它是指可以表示为两个整数的比值的数。
有理数包括正整数、负整数、零以及分数。
在这篇文档中，我们将整理一些与有理数相关的重要知识点。
一、有理数的定义有理数的定义是：可以表示为两个整数的比值的数。
形式上，有理数的表示通常采用分数的形式，如-5/3、2/5等。
有理数可以用来表示实际生活中的很多情况，例如温度、距离、时间等。
二、有理数的分类1. 正整数：如1、2、3等。
2. 负整数：如-1、-2、-3等。
3. 零：即0，表示没有任何数量。
4. 正分数：如1/2、3/4等，在分数中，分子大于分母。
5. 负分数：如-1/2、-3/4等，在分数中，分子小于分母。
三、有理数的加法和减法1. 有理数的加法：当两个有理数的符号相同时，将它们的绝对值相加，并保持相同的符号。
当两个有理数的符号不同时，将绝对值较大的数减去绝对值较小的数，并保持绝对值较大的数的符号。
2. 有理数的减法：将减数取其相反数，然后按照加法的规则进行计算。
四、有理数的乘法和除法1. 有理数的乘法：将两个有理数的绝对值相乘，然后确定乘积的符号。
即两个有理数的符号相同，结果为正；两个有理数的符号不同，结果为负。
2. 有理数的除法：将被除数与除数的绝对值相除，然后确定商的符号。
即被除数和除数的符号相同，商为正；被除数和除数的符号不同，商为负。
五、有理数的比较1. 相同符号的有理数比较大小：绝对值大的有理数更大。
2. 不同符号的有理数比较大小：正数大于负数，绝对值大的数较小。
六、有理数的性质1. 有理数加法的封闭性：两个有理数相加的结果还是一个有理数。
2. 有理数乘法的封闭性：两个有理数相乘的结果还是一个有理数。
3. 有理数加法的结合律：对于任意三个有理数a、b、c，有(a+b)+c = a+(b+c)。
4. 有理数乘法的结合律：对于任意三个有理数a、b、c，有(a*b)*c = a*(b*c)。
5. 有理数乘法对加法的分配律：对于任意三个有理数a、b、c，有a*(b+c) = a*b + a*c。
有理数知识点梳理
有理数知识点梳理有理数是数的一种形式，它包含了整数和分数。
理数经常被用来表示量的大小和顺序关系。
理数的知识点梳理包括了有理数的定义、有理数的分类、有理数的运算、有理数的性质以及有理数的应用等内容。
一、有理数的定义有理数指的是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为零。
有理数可以用分数来表示，也可以用小数来表示。
例如，1/2、-3/4、0.5等都是有理数。
二、有理数的分类根据有理数的大小和性质，可以将有理数分为以下几类：1.正有理数：大于0的有理数，比如1/2、3/4、5/6等。
2.负有理数：小于0的有理数，比如-1/2、-3/4、-5/6等。
3.零：等于0的有理数。
4.自然数：整数中大于等于1的数，包括正整数和零。
5.整数：正整数、负整数和0的集合。
三、有理数的运算1.加法和减法：有理数的加法和减法遵循相同符号相加减，异号相加减的原则。
例如，正数加正数为正数，正数加负数为正数，负数加负数为负数。
2.乘法和除法：有理数的乘法和除法遵循相同符号相乘除，异号相乘除得负数的原则。
例如，正数乘以正数为正数，正数乘以负数为负数，负数乘以负数为正数。
3.混合运算：有理数的混合运算可以通过先进行加减法，再进行乘除法的顺序来进行。
四、有理数的性质1.有理数的封闭性：有理数的加法、减法、乘法和除法的结果仍然是有理数。
2.有理数的唯一性：对于任意一个有理数，它的表示形式是唯一的。
例如，1/2和2/4表示的是相同的有理数。
3.有理数的有序性：有理数可以按照大小进行排列，其中正数大于零，零大于负数。
4.有理数的稠密性：在两个有理数之间，一定存在其他有理数。
例如，在1和2之间，存在1.5五、有理数的应用1.分数计算：有理数的常见应用之一是进行分数的计算。
例如，将分数相加、相减、相乘、相除等。
2.测量单位：有理数常用来表示测量单位，例如长度、体积、重量等。
3.比例关系：有理数可以用来表达比例关系，例如百分比、比率等。
4.经济学：有理数在经济学中广泛应用，用来表示货币、商品的价格和利润等。
有理数的定义
有理数的定义
《有理数》概念、定义集合
1、大于0的数叫做正数（positive）.
2、小于0的数叫做负数（negative）.
3、可以写成分数形式的数叫做有理数（rational number）.
4、只有符号不同的两个数叫做互为相反数（opposite number）.
5、数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值（absolute value）.
6、有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得0.
（3）一个数同0相加，仍得这个数.
7、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.
8、有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0..
9、乘积是1的两个数互为倒数.
10、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.（两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.）
11、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）.在an中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent），当an看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂.
12、有理数混合运算的运算顺序：
（1）先乘方，再乘除，最后加减.
（2）同级运算，从左到右进行.
（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.
13、把一个大于10的数表示成a×10n的形式（a是整数数位只有一位的数，n是正整数），使用的是科学计数法.。
有理数 超全整理
第一章 有理数知识网络 有理数：一、概念：1.有理数的分类 2.相反数 3.有理数大小比较 4.绝对值 5.倒数二、运算：1.加减法 2.乘除法 3.乘方4.混合运算（法则） 学法导航1.有理数的概念是在是在自然数的基础上建立的，所以有理数的运算 依赖于算数的计算但是要认清有理数与算术数在特征上的不同。
有理数由两部分组成：一是数字（绝对值)部分，二是符号部分。
2.弄清绝对值、相反数、数轴这三个概念的本质和相互之间的联系，是学习有理数运算的必备条件。
分清有理数运算中的作用，不仅可以使运算简化，还可以使学生发现规律找到窍门，从而获得研究数学的乐趣。
知识技能一、有理数的相关概念有理数 正数与负数数轴 相关概念 计算科学记数法与近似数1.正数和负数的定义2.有理数的定义3.有理数的分类：（1）按整数和分数的关系分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 （2）按整数、负数、0的关系分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数04.数轴的概念1) 数轴的概念：规个定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
2) 用数轴表示数： 任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点表示， 但数轴上的任意一点却不一定表示一个有理数，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示.3) 利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数. 5.相反数1）概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数.0的相反数仍是0. 2）性质:①在数轴上，表示一对相反数的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，它们关于原点对称.②互为相反数的两个数的和为0；即：若a 与b 互为相反数，则0=+b a .反之，若两数的和为0，则它们互为相反数。
0000<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=a a a a a a 6.绝对值1）概念：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记做a .2）性质：①一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.②绝对值具有非负性，即a ≥0. 3）“两个负数，绝对值大的反而小” 类型1. 正数和负数考点分析：用正负数表示具有相反意义的量 典型例题：例1.下面各数哪些是正数，哪些是负数？哪些是正整数，哪些是负整数？哪些是正分数（小数），哪些是负分数（小数）？7，－9，109-，－301，274+，31.25，－3.5， ＋2004，211例2.（1）若将低于海平面392米的死海记作－392米，则高于海平面8848米的世界最高峰——珠穆朗玛峰应记作________米；（2）一根铁丝受热后伸长2mm ，记作＋2mm ，把受热的铁丝放入冷水中收缩4mm 应记作_______mm ；（3）存入银行2000元记作＋2000元，－500元表示______________；（4）图纸上一个零件的直径是03.002.030+-Φ(单位：mm).这样标注表示零件的标准尺寸是___________，实际产品的直径最大可以是___________，最小可以是___________.例3. 某粮库10日存粮食3000t ，下表是该粮库一周内进出粮食的记录（运进为正） 日期 11121314151617进出(t)+80 -22 -27 +62 -25 +50 -55(1) 根据记录，这周内该粮库哪一天运进的粮食最多？哪一天运出的粮食最多？（2）一周后（17日）该粮库共有粮食多少吨？ (3) 哪一天粮库里粮食最多？例4. 观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数、第101个数、第2004 个数是什么吗？（1）－1，－2，＋3，－4，－5，＋6，－7，－8，______，______，______，…．（2）－1，21，－3，41，－5，61，－7，81，______，______，______，…． 类型2. 有理数 考点分析： 1.有理数的分类： 2.分数与小数的互换 典型例题：例1.下列说法正确的是（ ） A ．一个有理数不是整数就是分数 B ．正整数和负整数统称整数C ．正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数D ．0不是有理数例2.把21-，＋5，－6.3，0，6.9，1312-，542，－7，210，0.031，－43，－10％，填入它所属于集合的圈内：例３．试一试：比较a 与－a 的大小。
有理数的知识点总结
有理数1. 重要观点有理数是数学中的一类数，它包括整数和分数。
有理数可以表示为两个整数的比值，其中分母不为零。
有理数的重要观点如下：1.1 有理数的定义有理数是可以表示为两个整数的比值的数，其中分母不为零。
有理数可以用分数形，其中a和b是整数，b不为零。
式表示，如ab1.2 有理数的分类有理数可以分为正有理数、负有理数和零。
正有理数是大于零的有理数，负有理数是小于零的有理数，零是整数中的特殊有理数。
1.3 有理数的运算有理数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
有理数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。
有理数的减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法。
1.4 有理数的比较有理数的大小可以通过比较其大小关系来确定。
两个有理数a和b，如果a−b大于零，则a大于b；如果a−b小于零，则a小于b；如果a−b等于零，则a等于b。
1.5 有理数的绝对值有理数的绝对值表示有理数的距离到零的距离，可以用来表示有理数的大小。
一个有理数a的绝对值，表示为|a|，如果a大于等于零，则|a|=a；如果a小于零，则|a|=−a。
1.6 有理数的约分有理数可以进行约分操作，即将分子和分母同时除以它们的公因数，得到一个等价的有理数。
约分可以使有理数的表示更简洁。
2. 关键发现在学习有理数的过程中，我们可以发现以下关键点：2.1 有理数与整数的关系整数是有理数的一种特殊情况，可以看作分母为1的有理数。
有理数的加法、减法和乘法运算也适用于整数。
2.2 有理数的小数表示有理数可以通过将分子除以分母得到小数表示形式。
有些有理数可以精确表示为有限小数，有些有理数则会出现循环小数。
2.3 有理数的运算性质有理数的运算满足交换律、结合律和分配律。
这些运算性质使得有理数的运算更加方便和灵活。
2.4 有理数的应用有理数在日常生活和实际问题中有广泛的应用。
例如，有理数可以用来表示温度、货币、时间等实际量，并进行相关的计算。
3. 进一步思考学习有理数的过程中，我们可以深入思考以下问题：3.1 无理数与有理数的关系除了有理数，还存在一类不能表示为两个整数的比值的数，称为无理数。
有理数知识点总结归纳
有理数知识点总结归纳有理数是数学中的一个重要概念，是整数和分数的统称。
在数学的学习中，对于有理数的理解和运算是基础中的基础。
本文将对有理数的相关知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握有理数的概念与运算。
一、有理数的定义有理数指的是可以写成两个整数的比例形式的数，即分数，同时还包括所有整数。
有理数可以表示为 p/q的形式，其中p和q是整数，且q不等于零。
二、有理数的分类1. 正有理数：即大于零的有理数，如1/4, 2/3, 5/7等。
2. 负有理数：即小于零的有理数，如-1/3, -2/5, -4/7等。
3. 零：即整数与分数中的0，如0/1, 0/2, 0/3等。
三、有理数的比较1. 相反数的比较：对于两个有理数a和-b，如果a > -b，则a大于-b；如果a = -b，则a等于-b；如果a < -b，则a小于-b。
2. 同号数的比较：对于两个同号的有理数a和b，如果a > b，则a大于b；如果a = b，则a等于b；如果a < b，则a小于b。
3. 异号数的比较：对于一个正有理数和一个负有理数，正数永远大于负数。
四、有理数的运算1. 加法运算：对于两个有理数a和b，可以直接将它们的分母取公倍数，然后按照分数的加法规则进行计算。
例如：3/4 + 2/5 = (3*5)/(4*5) + (2*4)/(5*4) = 15/20 + 8/20 = 23/202. 减法运算：减法的原理类似于加法，只需要将第二个数改为相反数后进行加法运算。
例如：3/4 - 2/5 = 3/4 + (-2/5) = 15/20 + (-8/20) = 7/203. 乘法运算：乘法的规则是将两个有理数的分子乘积作为结果的分子，分母乘积作为结果的分母。
例如：3/4 * 2/5 = (3*2)/(4*5) = 6/20 = 3/104. 除法运算：除法的规则是将第一个数作为被除数，第二个数的倒数作为除数，然后进行乘法运算。
有理数知识点整理
有理数知识点整理有理数是数学中的一种数形集合，是可以用整数或者整数的比来表示的数。
有理数的主要性质是可以进行加减乘除等基本运算。
下面是对有理数的知识点进行整理。
一、有理数的定义和表示方法有理数是可以表示成分数的数，可以用整数或整数的比来表示。
二、有理数的基本运算1.有理数的加法对于任意两个有理数a和b，它们的加法运算为a+b=c，其中c也是一个有理数。
5.有理数的整除性如果在有理数a和b中，b整除a且b不等于0，则可以表示为a=n×b。
6.有理数的商的整除性如果有理数a÷b是有理数q，而q也可以表示为q=m/n，则有a=nq=bm。
这种情况称为有理数的商的整除性。
三、有理数的大小比较两个有理数相等的充分必要条件是它们的差为0。
四、有理数的绝对值有理数a的绝对值记作|a|，表示a到0的距离。
六、有理数的倒数有理数a的倒数记作1/a或a-1，表示a的倒数是1/a，其中a不等于0。
七、有理数的基本性质1.有理数的加法、减法、乘法和除法都满足结合律、交换律和分配律。
2.对于任意的有理数a，有加数等于减去它的相反数，即a+a'=0。
3.对于任意的有理数a和b，有乘数等于被除以它的倒数，即a×1/a=1。
4.有理数的加法和乘法满足可逆性。
八、有理数的比值有理数a和b之间的比a:b可以表示为a÷b或a/b。
九、有理数的平方根有理数a的平方根是一个有理数b，当b^2=a时，也就是说b是满足b×b=a的正有理数。
总之，有理数是数学中的一个重要概念，掌握有理数的定义、表示方法、基本运算、大小比较、绝对值、相反数和倒数等知识点，对于学好数学有很大的帮助。
有理数的概念及使用知识点整理
（一）有理数的基本概念1、正数和负数（1）、大于0的数叫做正数。
（2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
（3）、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。
（4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。
2、有理数(1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2。
π不是有理数；(2)有理数的分类:①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)自然数＜====＞0和正整数；a ＞0 ＜====＞a 是正数； a ＜0 ＜====＞a 是负数； a ≥0＜====＞a 是正数或0＜====＞a 是非负数； a ≤0＜====＞a 是负数或0＜====＞a 是非正数.3、数轴【重点】（1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
它满足以下要求：① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3…（2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
（3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。
数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。
注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。
（4）、一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数-a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。
4、相反数（1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
精编七年级数学《有理数》知识点总结
有理数是整数和分数的统称，它包括正整数、负整数、零以及正分数和负分数。
一、有理数的概念及表示方法1.有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数比值的数字。
2.有理数的表示方法：可以用分数表示，也可以用小数表示。
二、有理数的比较1.有理数的比较：对于两个有理数a和b，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b。
2.有理数比大小的常见方法：可以通过小数部分的大小判断大小关系，若小数部分相等，则比较整数部分的大小。
三、有理数的运算1.有理数的加法：-同号有理数相加，绝对值相加，符号保持不变。
-异号有理数相加，绝对值相减，符号由绝对值大的数确定。
2.有理数的减法：-减去一个有理数等于加上它的相反数。
-a-b等于a+(-b)。
3.有理数的乘法：-同号有理数相乘，结果为正；-异号有理数相乘，结果为负。
4.有理数的除法：-除以一个非零有理数等于乘以它的倒数。
-a÷b等于a×(1/b)。
5.有理数的混合运算：按照顺序先做乘法和除法，再做加法和减法。
四、有理数的约分与化简1.有理数的约分：将一个有理数的分子与分母同时除以一个公因数，使其变成最简分数。
2.有理数的化简：通过约分将一个有理数变成最简形式。
五、绝对值与有理数间的关系1.绝对值的定义：一个数a的绝对值记作，a，表示a到原点的距离，若a≥0，则，a，=a；若a<0，则，a，=-a。
2.有理数的绝对值运算法则：-，a，≥0，且，a，=0的充要条件是a=0；-，-a，=，a；- ，ab，=，a，·，b。
六、有理数的乘方运算1.相同数连乘法则：a^n=a×a×a×…×a(n个a相乘，其中n是大于1的正整数)。
2.有理数的乘方公式：-a^0=1，其中a≠0；-a^1=a；-a^(-n)=1/(a^n)，其中a≠0。
七、实际问题中的有理数运算1.实际问题中的有理数加减法：根据实际情景将问题转化为有理数的加法或减法运算。
有理数的概念及分类
有理数的概念及分类
有理数的概念
1、有理数：整数和分数统称为有理数。
注意：
（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括
整数。
但是本节中的分数不包括分母是1的分数。
（2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。
（3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。
2、整数包括正整数、零、负整数。
3、分数包括正分数和负分数。
有理数的分类
1、按整数、分数的关系分类：
2、按正数、负数与0的关系分类：
注意：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。
如果用字母表示数，则a＞0表明a 是正数；a＜0表明a是负数；a 0表明a是非负数；a 0表明a是非正数。
有理数的概念
有理数的概念有理数是数学中的一个重要概念，指的是可以用两个整数的比例来表示的数。
在数学中，有理数包括整数、分数和小数。
有理数的概念对我们在日常生活中的计算和理解数字有着重要的意义。
本文将介绍有理数的定义及其性质。
一、有理数的定义有理数是指可以由两个整数的比例来表示的数。
它们可以用分数的形式表示，形如a/b，其中a和b都是整数，且b不等于0。
例如，2/3、-4/5、7/2都是有理数。
有理数可以是正数、负数或零。
二、有理数的性质1. 有理数的四则运算有理数的加法、减法、乘法和除法都能够应用于有理数。
例如，当我们对两个有理数进行加法运算时，只需将它们的分子相加，分母保持不变。
例如，1/2 + 1/3 = (1+1) / 2 = 2/3。
同样地，减法、乘法和除法也可按照相应的规则进行。
2. 有理数的比较我们可以利用有理数的大小来进行比较。
如果两个有理数的分数形式的分子和分母满足一定的大小关系，那么这两个有理数的大小关系也相同。
例如，2/3 > 1/2，因为2乘以2大于1乘以3。
3. 有理数的绝对值有理数的绝对值是该数到0的距离，总是非负的。
对于正数，它的绝对值等于这个数本身；对于负数，它的绝对值等于这个数去掉负号。
例如，|-5| = 5，|3| = 3。
4. 有理数的相反数有理数的相反数是指与其绝对值相等但符号相反的数。
例如，3的相反数是-3，-5的相反数是5。
有理数的相反数与原有理数相加等于0。
三、有理数在实际生活中的应用有理数在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在商业交易中，我们需要计算利润和亏损，这时就需要用到有理数的加法和减法运算。
在日常生活中，我们也常常使用有理数来表示时间、温度、海拔高度等。
有理数的概念帮助我们理解和处理这些实际问题。
总结：有理数是可以用两个整数的比例来表示的数，包括整数、分数和小数。
有理数的四则运算、比较、绝对值和相反数都有着相应的规则。
有理数在实际生活中有着广泛的应用。
有理数知识点总结归纳
有理数知识点总结归纳一、有理数的定义有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
整数可以看作分母为 1 的分数。
有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也属于有理数。
例如，5 是正整数，属于有理数；－3 是负整数，属于有理数；1/2 是分数，属于有理数；0333（3 循环）可以化为 1/3，也是有理数。
二、有理数的分类1、按定义分类有理数可以分为整数和分数。
整数包括正整数、0、负整数。
例如，3、0、－5 都是整数。
分数包括正分数和负分数。
比如，1/2、－3/4 都是分数。
2、按性质分类有理数可以分为正有理数、0、负有理数。
正有理数包括正整数和正分数，例如 2、3/4 。
负有理数包括负整数和负分数，比如－1、－5/6 。
三、有理数的基本性质1、顺序性对于任意两个有理数a 和b，在数轴上，右边的数总比左边的数大。
即如果 a ＜ b ，那么 b a 是正数。
2、封闭性有理数的四则运算（加、减、乘、除）结果仍为有理数。
例如，2 ＋ 3 ＝ 5（有理数）， 4 1 ＝ 3（有理数）， 2 × 3 ＝ 6（有理数）， 6 ÷ 2 ＝ 3（有理数）3、传递性如果 a ＜ b 且 b ＜ c ，那么 a ＜ c 。
例如，－1 ＜ 0 ， 0 ＜ 1 ，则－1 ＜ 1 。
四、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
例如，数字 2 可以用数轴上距离原点 2 个单位长度，且在原点右边的点表示；－3 可以用数轴上距离原点 3 个单位长度，且在原点左边的点表示。
数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
正数大于 0 ，负数小于 0 ，正数大于负数。
五、相反数绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数。
例如，5 和－5 互为相反数，0 的相反数是 0 。
《第二章有理数及其运算》归纳总结
若a、b互为相反数，则a+b= 0 ③与0相加 a是任一个有理数，则a+0= a
2)有理数减法法则
减去一个数， 等于加上这个数的相反数.
即 a-b=a+(-b)
课后作业
完成练习册本课时的习题
例：分别求出数轴上两点间的距离： ①表示2的点与表示-7的点； ②表示-3的点与表示-1的点.
解：①︱2-（-7）︱=︱2+7︱=︱9︱=9 ②︱-3-（-1）︱=︱-3+1︱=︱-2︱=2
3）有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负， 并把绝对值相乘；
任何数同0相乘，都得0.
① 几个不等于0的数相乘，积的符号 由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个 时，积为正.
2.运算顺序
1）有括号，先算括号里面的； 2）先算乘方，再算乘除，
最后算加减； 3）对只含乘除，或只含加减的
运算，应从左往右运算.
3.有理数的运算律
1)加法交换律 a+b=b+a
2)加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)
3)乘法交换律
ab=ba
4)乘法结合律 (ab)c=a(bc) 5)分 配 律 a(b+c)=ab+ac
一、有理数的基本概念
1.负数 2.有理数 3.数轴 4.互为相反数 5.互为倒数 6.有理数的绝对值 7பைடு நூலகம்有理数大小的比较 8.科学记数法、近似数与有效数字
《有理数》章节知识点归纳总结
《有理数》章节知识点归纳总结有理数是数学中的一种基本概念，它包括了整数、分数和零。
有理数可以用分数形式表示，分子是整数，分母是正整数。
一、有理数的定义和性质1.有理数的定义：有理数表示为两个整数的比值，其中分母不为零。
有理数可以用分数形式表示为a/b的形式，其中a是整数，b是正整数。
2.有理数的四则运算法则：加法：同号求和，异号作差，结果的符号跟两个有理数的符号相同。
减法：转化为加法运算，将减法问题转化为加法问题。
乘法：同号得正，异号得负。
除法：将除法转化为乘法，取倒数后将除法问题转换为乘法问题。
3.有理数的乘方运算：有理数的乘方运算是将一个有理数乘以自身若干次。
有理数的乘方运算的结果仍然是有理数。
4.有理数的比较运算：可以通过比较大小符号来比较有理数的大小，如果两个有理数的大小符号相同，则比较绝对值的大小。
5.有理数的约分：可以将一个有理数化简成最简形式，即将分子和分母互质的形式。
二、有理数的绝对值和相反数1.有理数的绝对值：绝对值表示有理数距离零的距离，绝对值是非负的。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
2.有理数的相反数：一个有理数的相反数是与它的绝对值相等但符号相反的数。
三、有理数的数轴1.有理数的数轴是一条直线，可以用来表示有理数的大小关系。
2.在数轴上，正数表示为向右的方向，负数表示为向左的方向，原点为零。
3.数轴上，绝对值越大的数离原点越远，绝对值相同的数离原点的距离相等。
四、有理数的运算律1.有理数的加法符合交换律、结合律和分配律。
交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)分配律：a×(b+c)=a×b+a×c2.有理数的乘法符合交换律、结合律和分配律。
交换律：a×b=b×a结合律：(a×b)×c=a×(b×c)分配律：(a+b)×c=a×c+b×c五、有理数的应用1.有理数可以用来表示一些具体问题中的数值，比如表示温度、长度、质量等。
有理数的概念和运算法则
有理数的概念和运算法则一、有理数的概念1.有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数比的数，包括正整数、负整数、0、正分数和负分数。
2.整数：正整数、负整数和0。
3.分数：正分数和负分数，分子和分母都是整数，且分母不为0。
4.真分数：分子小于分母的分数。
5.假分数：分子大于或等于分母的分数。
6.带分数：由一个整数和一个真分数组成的数。
二、有理数的运算法则1.加法法则：a.同号相加，取相同符号，并把绝对值相加。
b.异号相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
c.0加任何数等于任何数。
d.任何数加0等于任何数。
2.减法法则：a.减去一个数等于加上这个数的相反数。
b.减法可以转化为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法法则：a.同号相乘，取相同符号，并把绝对值相乘。
b.异号相乘，取相反符号，并把绝对值相乘。
c.0乘任何数等于0。
d.任何数乘0等于0。
4.除法法则：a.同号相除，取相同符号，并把绝对值相除。
b.异号相除，取相反符号，并把绝对值相除。
c.除以0没有意义，除数不能为0。
5.乘方法则：a.正数的任何正整数次幂都是正数。
b.负数的任何正整数次幂都是负数。
c.正数的任何负整数次幂都是正数。
d.负数的任何负整数次幂都是正数。
e.0的任何正整数次幂都是0。
f.0的任何负整数次幂都没有意义。
三、有理数的混合运算1.运算顺序：a.先算乘方。
b.再算乘除。
c.最后算加减。
d.同级运算，从左到右依次进行。
e.如果有括号，先算括号里面的。
2.运算律：a.加法结合律：三个数相加，可以先算任意两个数的和，结果不变。
b.乘法结合律：三个数相乘，可以先算任意两个数的积，结果不变。
c.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，结果不变。
d.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，结果不变。
e.分配律：一个数乘以两个数的和，等于这个数分别乘以这两个加数，然后把乘积相加。
四、有理数的应用1.化简：将复杂的分数或带分数化为简化形式。
有理数的概念及运算
有理数的概念及运算有理数是指可以表示为两个整数的比值的数字。
在数学中，有理数是一类非负整数、负整数和分数的统称，包括正整数、零、负整数和分数。
一、有理数的基本概念有理数的基本概念是指存在着一种数x，可由分数、整数或它们的和与差来表达，如x=3/4、x=5、x=6-1/2等。
有理数可以用数轴上的点表示，正有理数位于0右边，负有理数位于0左边。
例如，点4、点-2均表示有理数。
有理数的概念与比较有理数的大小比较是指通过有理数的大小关系进行比较，根据有理数的正负与绝对值的大小来判断其大小关系。
若两个有理数x、y满足条件x>y，则称y在x的左边，x在y的右边。
例如，-3/4<-1/2；-5>-7。
二、有理数的运算1. 加法与减法有理数的加法与减法运算是指根据有理数的正负和绝对值的大小进行相加或相减的运算法则。
正负数相加或相减：1）两个正数相加，结果仍为正数，绝对值等于两个正数的绝对值之和。
2）两个负数相加，结果仍为负数，绝对值等于两个负数的绝对值之和。
3）正数与负数相加，结果的正负由绝对值大的数决定，绝对值等于两个数的绝对值之差。
同号数相加或相减：1）两个正数相加，结果仍为正数，绝对值等于两个正数的绝对值之和。
2）两个负数相加，结果仍为负数，绝对值等于两个负数的绝对值之和。
2. 乘法与除法有理数的乘法与除法运算是指根据有理数的正负和绝对值的大小进行相乘或相除的运算法则。
正负数相乘或相除：1）两个正数相乘，结果为正数。
2）两个负数相乘，结果为正数。
3）一个正数与一个负数相乘，结果为负数。
4）两个正数相除，结果为正数。
5）两个负数相除，结果为正数。
6）一个正数与一个负数相除，结果为负数。
同号数相乘或相除：1）两个正数相乘，结果为正数。
2）两个负数相乘，结果为正数。
3）两个正数相除，结果为正数。
4）两个负数相除，结果为正数。
综上所述，有理数的概念及运算是数学中的基础概念之一。
通过对有理数的概念的理解和掌握，我们可以进行有理数的大小比较、加法、减法、乘法和除法等运算，从而应用于实际问题的解决中。
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有理数概念整理一、有理数的意义1、正数和负数知识点 1 正数和负数的概念（1）在正数前面加“－”的数，叫做负数。
负数比0 小。
（2）零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。
（2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
例如：－ a 一定是负数吗？答案是不一定。
知识点 2 有理数的有关概念有理数：整数和分数统称为有理数。
知识点 3 有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0 的关系分类：整数正整数正有理数正整数正分数有理数负整数有理数0分数正分数负分数负有理数负整数负分数注通常把正数和0 统称为非负数，负数和0 统称为非正数，正整数和0 称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0 统称为非正整数。
2、数轴知识点 1 数轴的概: 规定了原点、正方向和单位长度的直线数轴有三要素——原点、正方向、单位长度知识点 2 数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示。
正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。
知识点 3 利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。
3、相反数知识点1相反数的概念：只有符号不同的两个数， 0的相反数是0。
知识点2相反数的关系若a 、b 互为相反数则a+b=04、绝对值知识点1绝对值的概念：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离，数a的绝对值记作“ a绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。
即知识点2两个负数大小的比较：一、先分别求出这两个负数的绝对值；二、比较这两个绝 对值的大小；三、根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。
二、有理数的运算1有理数加法法则(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
(2 )绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去 较小的绝对值。
互为相反数的两个数相加得 0。
有理数乘除法法则： 两数相乘(除)，冋号得正，异号得负有理数练习题一、填空11. ______________________________________ 大于 3 -而不大于3的整数有 _____________ 。
绝对值大于2而不大于4的整数有 _______________个,2它们的和是2. ______________________ 相反数为本身的数是 __________ ，绝对值为本身的数是 _________ 。
平方等于它本身的是 _________ 立方等于它本身的是 _________ 。
倒数等于本身的是 __________a, ( a 0) 0,(a 0)或 a-a 。
(a 0)a ， —(:0绝对值的非负性3.若a1,则a ___ 0;若口a1,则a ___ 0 ；当|x-2|=3时,x= _________ ；m-n的相反数是7、-|a| —定是负数。
8、所有的有理数都有相反数、绝是负数。
4.若m,n 互为倒数，则mn 2 （n 1）的值为5.绝对值是1的数是 ,绝对值最小的有理数是;最小的正整数是,最大的负整数是6.-的相反数的绝对值是2（1-）的相反数是3I 的相反数。
一（一 3）=7.已知|a| = 3，那么 a =绝对值大于 1而不大于3的整数有 个，它们&比较大小（用“〉”或“V”表示）1.8-（3）；9. 观察下面一列数，根据规律写出横线上的数,2003个数是110.下列各数：3, 0,—,— (+5), 3— , +,,2004其中负数的有 个。
11.某日的最低气温是零下 4° C ,最高气温是零上 C ,这天的温差是 ° C o12•化简：—（ + ） =,—(—7)=+ (— 11) =13.数轴上与原点的距离是的点有 个，这些点表示的数是 ;与表示数1的点距离等于3的点表示的数有.个，这些点表示的数是14•已知a,b,c 在数轴上的位置，用“V”或“〉”连接 贝 U b _ c , a — b ________ 0 , a + c _______ 0 二、判断题。
（对的打“/'，错的打“X”。
） 1 、有理数按正负分类可分为正有理数和负有理数。
、在一个有理数前面添上一个“一”就变成了负数。
3、两个有理数的和一定大于其中一个加数。
、符号不同的两个数是相反数。
5、减去一个负数，差一定大于被减数。
、一个有理数的绝对值一定不对值和倒数。
3、下列说法是正确的是（）以上都不对7、 一个数的平方等于它的相反数，这个数是（）A ）正数（B ）负数（C ）-1（ D ）0 或-18、下列说法错误的是（ ）（A ）两个负数相加和一定为负； （B ）负数减去正数差一定为负；（C ）正数减去负数差- 「定为正;（D ）两个负数相减，差一 疋为负.9、若，那么（ ) (A )(B ) (C ) (D )37 1 »…23523亠 510、3 — ,b —,则 a b 的值是（ )(A )—(B )(C )——或231666 6（D ）以上都不对11、已知字母a 、b 表示有理数，如果 a + b =0,则下列说法正确的是（）A a 、b 中一定有一个是负数B a 、b 都为0212、下列说法错误的是（）A 零是有理数 B 零不是整数C 是正分数 D 2是负有510、有理数分为正数和负数。
11 、—X 不一定是负数。
12 、两个负数，绝对值大的反而小。
三、选择题：1、（ ） A.是负数，不是分数B. 不是分数，但是有理数C.是负数，也是分数D. 是分数，但不是有理数9、如果海拔1200 m 表示咼于海平面 1200 m,那么海拔一150 m 表示低于海平面一150 m 。
2、某地夏天平均气温 31oC,冬天平均气温-2oC,则夏天比冬天平均气温高（ ）oC oC oC oCA.非负有理数都是正有理数B. 零表示不存在，无实际意义•C.正整数和负整数统称为整数 14、 2的倒数的相反数的绝对值是 .D.整数和分数统称为有理数 1 2A.5、下列各计算题中，结果是零的是（）（A ）（ B ） (C )( D )- 3(|)6、绝对值大于2且小于6的所有整数的和为（）（A ）12 （ B ） -12 (C ) (D )C a 与b 不可能相等Da 与b 的绝对值相等理数13、 若a a ，则a 的取值范围应当是（）Aa 0 B 、a 0 C 、a 0 D 、a 014、 已知四个式子（1） 1（ 2）2（2） 1 a（a>1） （3） 1 2 2 （4）1 （a ）其中相等的是（ ）A 、（ 1）和（2）B 、（ 2）和（3）C 、（ 3）和（4）D （ 2）和（4）15、 高度每增加1千米，气温就下降 2° C,现在地面气温是 10° C ，那么7千米的高空的16、如图所示的图（A ）这两个有理数同为正数（C ）这两个有理数异号 （B ）这两个有理数同为负数 （D ）这两个有理数中有一 个为零18、计算 5 3 7 9 12 5 7 12 3 9是应用了（)（A ）加法交换律 (B ) 加法结合律（C ）分配律 (D ) 加法的交换律与结合律17、.已知两个有理数的和比其中任何一个加数都小 ，那么一定是 （）19、若 | a+b| = - (a+b )F 列结论正确的是（)(A )— 14° C( B )— 24° C (C )— 4 ° C (D ) 14° C12 3450 1 23ABfaLl■11fl 1-1 -2a 12-2 -1 D 12CD形为四位同学画 的数轴，其中正确 的是（ ）(A ) a+b<0(B ) a+b w 0(C ) a+b=0(D ) a+b>0气温 疋20、下列四组有理数的大小比较正确的是( )21、下列说法正确的是()为相反数。
④两个数比较，绝对值大的反而小。
⑤-1是最大的负整数；A ①② B①③C ①②⑤D①②③④22、 数轴上点 M 到原点的距离是 5,则点M 表示的数是()A. 5 B. 5 C. 5或 5 D.不能确定23、 下列说法中：(1) 0是最小的数；(2) 0是绝对值最小的数；(3)— 1是最大的负整数； (4) 0属于整数；(5) 0既非正数也非负数.正确的是( )A . (1) (2) ( 4)B . (2)( 3) (4) ( 5) C . ( 3) (4) (5)D . (1) (2)( 5)24、 学校、家、书店依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20米，书店在家北边100米，张明同学从家里出发，向北走了 50米，接着又向北走了一 70米，此时张明的位置在()A.在家B. 在学校 25下列判断中，正确的是() (A)正整数和负整数统称为整数 (C)整数和分数统称为有理数26、 若 | a+b| = - (a+b ),下列结论正确的是( )(A ) a+b w 0(B ) a+b<0(C )a+b=0(D ) a+b>027、 下列说法正确的是() (A ) -a 一定是负数；(B )|a | 一定是正数；(C )|a | —定不是负数； (D )-I a |一定是负数A.B. I 1| I 1| c1111 C. --D.2 323①0是绝对值最小的有理数。
②相反数大于本身的数是负数。
③数轴上原点两侧的数互C. 在书店D. 不在上述地方(B) 正数和负数统称为有理数 (D)自然数和负数统称为有理数28、某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为（ kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 （ ）A 0.8kgB 0.6kgC 0.5kgD 0.4kg 四、解答题：1把下列各数填在相应的大括号内：2.1 ,3,1,1, 0,- 43.14, 101 , 20.6,5 5, 1056 , — 7. 2正分数集合：｛...}； ,非负数集合： {…} 正整数集合：｛...}； ,负整数集合： {…}2、画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“<”连接：15 , 3.5 , 1,11 , 4 ,0, 2.5223、计算题1 .(- 10 ) + ( — 7 ) — ( — 3 )3.4.7 ( 8.9) 7.5 ( 6)2 2 4 36. 12 12 3 ( °.6)(笃)74、若|a | =4,b 是绝对值最小的数,c 是最大的负整数，求a+b-c 的值.25土）kg,（25 土）kg, （25土）2 .12 — ( - 18)+ ( - 7 )— 15(4)( 20) ( 3)( 5) ( 7)5. 6+ ( — )++ ( — + (—5、若|a | =3, b是最大的正整数,c是最大的负整数，求a+b-c的值.1 1 16、已知a 8 —,b 3—,c 2 —,求b c a 的值。