流体力学第三章(相似原理与量纲分析)

2 1 2 2
它们所反映的是没有量纲（单位）的数，称为无量纲数
l Sr 斯特劳哈尔数 tu
欧拉数
雷诺数
Vl

Re
p Eu 2 V
V2 Fr 弗劳德数 gl
25
2w 2w 2w w w w w p u v w 2 2 2 g t y z z z x x y
u ＝ U u’
u’＝0.3
30
★注意：
1）无量纲量不因单位制的改变而发生变化,单位制所引 起的物理量数值的大小,应包含在特征值中 流速 u ＝0.006 km / s 流速 u ＝6 m / s 特征流速 U ＝10-2 km / s 特征流速 U ＝10 m / s
流速 u ＝600 cm / s
利用普通的方程分析法必须对两流场所有对应点进行比较 实际应用不方便 如何简化判断方法？
无量纲方程
28
特征值
对特定的物理过程，引入最具代表性、最能反映该物理 现象的某种物理特征的数值，称为特征值（特征量）
29
物理量的表示
物理量＝特征值×无量纲数 （A) (B)
（A)用大写字母表示,含有量纲,反映该物理量的一般大小； (B)用带 ’ 的小写字母表示,反映该物理量的具体大小； 流速 u ＝3 m / s 特征流速 U ＝10 m / s
13
通常可以采用两种方法来确定动力相似判据： （一）方程分析法：描述流体的运动方程应该是一致的。 从而得到必须满足的关系式，即相似判据；
（二）量纲分析方法：以量纲分析为基础的一种方法。
14
方程分析法
动力相似判据
前提条件：假定原型流场和模型流场是满足几何相似、 时间相似和运动相似的，考虑不可压缩粘性流体的简单 情况。 首先，给出有关相似常数的定义：
21
原型流场的运动方程
2 w1 2 w1 2 w1 w1 w1 w1 w1 p1 1 1 u1 x v1 y w1 z 1 g1 z 1 x 2 y 2 z 2 t1 1 1 1 1 1 1 1
5
★满足原型流动和模型流动中物理过程的本质
完全一致所进行的模拟，称之为相似。
①几何相似
流体力学的相似通常可分为
②时间相似 ③运动相似 ④动力相似
6
几何相似
几何相似:要求模型流场跟原型流场的“边界”几何形 状相似，这包括各对应部分的夹角相等，尺寸大小成 常数比例，即满足：
模型物理量 a2 b2 c2 原型物理量 a1 b1 c1
对于所考虑的问题，只要以上四个无量纲数在两流场中是 相同的，那么原型和模型流场相似，则两方程应反映同一 事实 可见，利用无量纲数作为动力相似判据，比方程分析法 要简单的多。另外，对特定的流动，作为动力相似判据 的无量纲数可能会更少
26
例3-2-1：试求与连续方程相应的相似判据
27
第三节 无量纲方程
第二章总结
§1连续方程(3种形式）
§2作用于流体的力、应力张量 （1）质量力和表面力； （2）应力张量； （3）广义的牛顿粘性假设
1
§3运动方程 （1）Navier—Stokes方程； （2）欧拉方程； （3）静力方程； §4能量方程 （1）动能方程； （2）伯努利方程 §5简单情况下的N-S方程的准确解
u ＝ U u’
特征流速 U ＝1000 cm / s
u’＝0.6
31
2）物理量随时间、空间是变化的，而在同一过程中， 特征值通常取定的（不变的），时空变化必须由无量纲 数决定 0.5 5 m / s
1.0
10 m / s
特征流速 U ＝10 m / s
u 5m / s U u 10m / s (1.0 0.5)
如何判断两流场是否相似？
C Cv Ct C Cv Cl
2
C Cg
Cp Cl

C Cv Cl
2
22
c cv ct

c cv cl
2
c c g
cp cl

c cv cl
2
模型流场中其运动方程的各项（各动力学变量）跟原型 流场相比较必须成相同的常数比例，它是动力相似的充 分必要条件。
相似常数
模型的物理量 原型的物理量
15
几何相似 流体的相似可分为 物理相似 物理相似：除几何相似之外，两流场中所有物 理量，诸如流速、时间、温度和压力等彼此间 均各自成常数比例。
16
则根据几何相似和运动相似，满足如下的关系式： 几何相似常数 cl x2 / x1 y2 / y1 z2 / z1 l2 / l1 运动相似常数 cv u2 / u1 v2 / v1 w2 / w1 V2 / V1 上式要求所有对应点均成立 （场的观点，要求任意对应点均成立）
L t t /( ) U
33
流体运动时，流场与压力场的关系是很密切的，且通 常可以用 V 2 / 2 来度量流体压力（源于流速测压 原理）。压力的特征值可以用 0U 2表示。
p / 0U 2 p
34
以垂直方向的运动方程为例，求其无量纲方程。
w w w w 1 p u v w 2 w g t x y z z
此时，两个流场称之为是流场 相似或运动相似的。流场相似 也就是在两流场对应点的速度 的大小、方向成常数比例。
Q P
9
动力相似
动力相似:要求在两流场相应点上各动力学变量 成同一常数比例。 例如原型流场和模型流场在运动过程中受到的 质量力、粘性力等动力学变量成正比。
10
几何相似 时直接观测） 判断什么条件下两流场才满足动力相似？？
24
c g cl cp c cl 1, 2 1, 1, 1 2 cv c t cv c l c cv c cv
进一步可以得到：
l1 l2 u u p1 p2 l1u11 l 2 u2 2 , , , 2 2 t1u1 t 2 u2 g1l1 g2 l2 1u1 2 u2 1 2
a
b
c
7
时间相似
时间相似:要求模型流场跟原型流场的所有对应点上均 按同一常数值的时间变化加速或延缓，即满足：
t2 Ct t1
8
运动相似
运动相似（流场相似）:要求模型流场和原型流场在任意 选取的对应点上，流速分量满足：
uP2 v P2 w P2 uQ2 v Q2 w Q2 uP1 v P1 w P1 uQ1 v Q1 w Q1
c 2 / 1 1 c 2 / 1 1 cg g 2 / g1 1
（需要说明，这是特例，一般不为1）。
19
方程分析法求解动力相似判据
下面以垂直方向运动方程为例推导动力相似判据： 对于原型流动，考虑运动方程在z方向的分量形式
2 w1 2 w1 2 w1 w1 w1 w1 w1 p1 1 1 u1 x v1 y w1 z 1 g1 z 1 x 2 y 2 z 2 t1 1 1 1 1 1 1 1
32
二、无量纲方程
在不可压粘性流体中引进无量纲量：
u u / U , v v / U , w w / U
u u / U
x x / L, y y / L, z z / L
/ 0
x x / L
p p / 0U
2
p / 0U 2 p
2
x 2 y 2 z 2
36
U w UU w UU w UU w 1 0U 2 1 p U 2 u v w ( ) 2 w g L / U t L x L y L z ' 0 L z L
上式则反映实验流场的动力性质和过程。
将相似系数
cl x2 / x1 y2 / y1 z2 / z1 cv u2 / u1 v2 / v1 w2 / w1 ct t2 / t1
c 2 / 1 c 2 / 1 cg g 2 / g1
代入模型流动方程，可得：
17
模型流动中的时间变化过程并不要求与原型流动以相 同的时间变化率进行（过程加速或延缓），但要求两 流场的所有对应点上均按同一常数值的时间变化加速 和延缓，即要求满足
时间相似常数
ct t2 / t1
t 注意：
f (l , v) ，通常 c t 可以是不独立的，决定于
。
c l 和 cv
18
如果模型流体和原型流体是同一种流体（保证流体本身 的物理性质不变），且质量力仅为重力，通常有：
c cv
w1 c cv w1 w1 w1 u1 1 1 v1 w1 ct t1 cl y1 z1 x1
2
c p p1 c cv 2 w1 2 w1 2 w1 c cg 1 g1 2 1 x 2 y 2 z 2 cl z1 cl 1 1 1
模型流场的运动方程
c cv w w c c w w 1 1 v 1 u1 1 v1 1 w1 1 x ct t1 cl y1 z1 1
2
c p p1 c cv 2 w1 2 w1 2 w1 c cg 1 g1 2 1 x 2 y 2 z 2 cl z1 cl 1 1 1
以上方程反映实际流场的动力性质和过程
20
模型流场，同样遵循流体的运动方程，即：
2 w2 2 w2 2 w2 w 2 w 2 w 2 w 2 p2 2 2 u2 x v 2 y w 2 z 2 g 2 z 2 x 2 y 2 z 2 t 2 2 2 2 2 2 2 2