等腰三角形证明专题(汇编)

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专题23等腰三角形与等边三角形(优选真题60道)-学易金卷：三年(2021-2023)中考

A．8cmB．13cmC．8cm或13cmD．11cm或13cm
14．（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（）
A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）
15．（2022•海南）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（）
A．85°B．75°C．65°D．30°
20．（2021•广西）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则OD的长是（）
A． B． C．2D．3
21．（2021•辽宁）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（）
A．14°B．16°C．24°D．26°
6．（2023•河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（）
A．2B．3C．4D．5
7．（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（）
（1）如图1，求证：DE＝BF；
（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．
56．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
57．（2021•淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．

部编数学八年级上册专题04等腰三角形的判定(解析版)含答案

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题04 等腰三角形的判定考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）V中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使1．（2分）（2022八上·西湖期末）如图，在ABCPA PB BC+=，下列作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【完整解答】解：由作图可知，选项C中，∠C＝∠PAC，∴PA＝PC，∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC.故答案为：C.【思路引导】根据作图步骤可得选项A中∠BAP=∠CAP，无法判断PA+PB=BC；选项B中AC=BC，则AC+BP=BC；选项C中∠C=∠PAC，则PA=PC，PA+PB=BC；选项D中BP=PC，据此判断.2．（2分）（2021八上·河东期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合条件的M 点有（）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】C【完整解答】解：如图，①以A 为圆心，AB 为半径画圆，交直线AC 有二点M 1，M 2，交BC 有一点M 3，（此时AB ＝AM ）；②以B 为圆心，BA 为半径画圆，交直线BC 有二点M 5，M 4，交AC 有一点M 6（此时BM ＝BA ）．③AB 的垂直平分线交AC 一点M 7（MA ＝MB ），交直线BC 于点M 8；∴符合条件的点有8个．故答案为：C ．【思路引导】根据等腰三角形的判定方法求解即可。

3．（2分）（2021八上·昌平期末）如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，在直线BC 上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的点P 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【完整解答】解：以点A 、B 为圆心，AB 长为半径画弧，交直线BC 于两个点12P P ，，然后作AB 的垂直平分线交直线BC 于点3P ，如图所示：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴60ABC ∠=︒，∵33AP BP =，∴3ABP V 是等边三角形，∴点32P P ，重合，∴符合条件的点P 有2个；故答案为：B ．【思路引导】先求出60ABC ∠=︒，再求出3ABP V 是等边三角形，最后求解即可。

“等腰三角形”中考试题分类汇编(含答案)

要点一、等腰三角形的性质及判定一、选择题1．（2009·宁波中考）等腰直角三角形的一个底角的度数是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】选B .因为等腰三角形的两个底角相等，而等腰直角三角形的两个底角互余，所以每个底角等于45°；2、（2009·威海中考）如图，AB AC BD BC ==，，若40A ∠=，则ABD ∠的度数是（）A ．20B ．30C ．35D ．40【解析】选B.由AB=AC, 40A ∠=,得∠ABC=∠ACB=70°,由BD=BC 得∠BDC=∠ACB=70°,∴∠DBC=40, ABD ∠=∠ABC-∠DBC =70°-40=30. 3.（2009·聊城中考）如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ．E 、F 分别是CD 、AD 上的点，且CE ＝AF ．如果∠AED ＝62º，那么∠DBF ＝（）A ．62ºB ．38ºC ．28ºD ．26º【解析】选C.在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 得∠BAF=∠C=∠CAD=45 º，又∠AED ＝62º ,∴∠EAC=62º -45 º =17 º ,又CE ＝AF ，∴△ABF ≌△CAE, ∴∠ABF=17 º , ∴∠DBF ＝45 º-17 º=28º.4、(2009·黔东南中考)如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，则∠A 等于（）A 、30oB 、40oC 、45oD 、36o 【解析】选D.∵AB=AC ，BD=BC=AD ，∴∠A=∠ABD,∠C=∠ABC=∠BDC,设∠A=x o ,则∠ABD=x o , ∠C=∠ABC=∠BDC=2x o , 在△ABC 中，x+2x+2x=180,∴x=36,故∠A=36o5、（2009· 武汉中考）如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70°，则∠DAO+∠DCO 的大小是（） A ．70°B ．110C ．140°D ．150°【解析】选D ∠BAO+∠BCO ＝∠ABO+∠CBO ＝∠ABC ＝70°，所以∠BOA+∠BOC ＝360°－140°＝220°，所以∠AOC ＝140°，所以∠AOC ＋∠ADC ＝140°＋70°＝210°，所以∠DAO+∠DCO ＝360°－210°＝150°；6．（2009·烟台中考）如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝60°，则CD 的长为（） A ．32B ．23C ．12D ．34【解析】选B 因为∠APD ＝60°，所以∠PDC=60°＋∠PAD ，AD CPB60° BCOA又因为∠BPA ＝60°＋∠PAD ，所以∠PDC=∠BPA ，又因为∠B ＝∠C ，所以△ABP ∽△PCD ，所以23==PC AB CD BP ,所以CD ＝23.二、填空题8. (2009·达州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，与∠BAC 相邻的外角为80°，则∠B ＝____________.【解析】由AB ＝AC 得∠B=∠C=21∠DAC=21×80°=40°. 答案：40°.12、（2007·江西中考）如图，在ABC △中，点D 是BC 上一点，80BAD ∠=°，AB AD DC ==，则C ∠= 度．答案：25 三、解答题要点二、线段的垂直平分线的性质一、选择题1、（2009·怀化中考）如图，在Rt ABC △中，90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知10=∠BAE ，则C ∠的度数为（） A ．30 B ．40 C ．50 D ．60【解析】选B ．由 90=∠B ， 10=∠BAE 得∠AEB=80°，由ED 是AC 的垂直平分线得EA=EC ，所以∠EAC=∠ECA=21∠AEB=21×80°=40°.2、（2009·钦州中考）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB【解析】选A。

新人教版八年级数学(上)三角形——边、角关系及有关的证明汇编

新人教版八年级数学(上)三角形——边、角关系及有关的证明汇编新人教版八年级数学(上)三角形——边、角关系及有关的证明汇编三角形是几何学中的重要概念，它由三条边和三个角所构成。

在数学中，我们常常研究三角形的各种边、角之间的关系，并通过证明来验证这些关系。

本文将汇编介绍新人教版八年级数学(上)关于三角形边、角关系及有关的证明。

1. 三角形的边关系三角形的边有特定的关系，包括等边、等腰、直角等。

下面我们来逐一介绍。

1.1 等边三角形等边三角形是指三个边长相等的三角形。

在新人教版八年级数学(上)中，我们学习到等边三角形的性质是三个内角都是60°。

1.2 等腰三角形等腰三角形是指两条边相等的三角形。

根据新人教版八年级数学(上)的知识，等腰三角形的性质是底角相等。

1.3 直角三角形直角三角形是指其中一个角是直角（即90°）的三角形。

在教材中，我们学到直角三角形的性质是勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 三角形的角关系三角形的角也有特定的关系，包括对应角、内错角、外错角等。

下面我们来逐一介绍。

2.1 对应角对应角是指两条平行线被一条截线所切割时，所形成的相同位置的角。

新人教版八年级数学(上)中明确了对应角是相等的性质。

2.2 内错角内错角是指两条平行线被一条截线所切割时，所形成的同一侧内角。

根据教材的内容，内错角互补，即两个内错角的和为180°。

2.3 外错角外错角是指两条平行线被一条截线所切割时，所形成的同一侧外角。

教材中提到外错角互补，即两个外错角的和为180°。

3. 有关三角形的证明证明是数学中重要的思维训练方式，在确定了关系的基础上，我们可以通过证明来验证这些关系。

3.1 等边三角形三个内角都是60°的证明我们可以通过构造等边三角形来证明这个结论。

首先，我们以一个边为定边，然后在其中一边上构造一个等边的三角形，将两个三角形合并在一起，再通过运用角的外错角等于180°的性质，可证明等边三角形的三个内角都是60°。

中考数学真题分类汇编之第二十三章等腰三角形及参考答案

第23章等腰三角形一、选择题1. （2011浙江省舟山，7，3分）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（）（A ）32（B ）33（C ）34（D ）36【答案】B2. （2011四川南充市，10，3分）如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个MECA【答案】D3. （2011浙江义乌，10，3分）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交 CE 于点G ，连结BE . 下列结论中：① CE =BD ； ② △ADC 是等腰直角三角形； ③ ∠ADB =∠AEB ； ④ CD ·AE =EF ·CG ；一定正确的结论有（第7题）A BCD EA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D4. （2011台湾全区，30）如图(十三)，ΔABC 中，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交AC 、AB于D 、E 两点，并连接BD 、DE ．若∠A =30∘，AB ＝AC ，则∠BDE 的度数为何？A ． 45B ． 52．5C ． 67．5D ． 75 【答案】Ｃ5. （2011台湾全区，34）如图(十六)，有两全等的正三角形ABC 、DEF ，且D 、A 分别为△ABC 、△DEF 的重心．固定D 点，将△DEF 逆时针旋转，使得A 落在DE 上，如图(十七)所示．求图(十六)与图(十七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？A ．2：1B ． 3：2C ． 4：3D ． 5：4 【答案】Ｃ6. （2011山东济宁，3，3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形的周长是A ．15cmB ．16cm ABCDEF GC ．17cmD ．16cm 或17cm 【答案】D7. （2011四川凉山州，8，4分）如图，在ABC △中，13AB AC ==，10BC =，点D 为BC 的中点，DE DE AB ⊥，垂足为点E ，则DE 等于（）A ．1013 B ．1513 C ．6013 D ．7513【答案】C二、填空题1. （2011山东滨州，15，4分）边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________.【答案】2. （2011山东烟台，14,4分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 . 【答案】4或63. （2011浙江杭州，16，4）在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为．4. （2011浙江台州，14,5分）已知等边△ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ˊ处，DB ˊ,EB ˊ分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF=80º ，则∠EGC 的度数为【答案】80º5. （2011浙江省嘉兴，14，5分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，︒=∠40A ，则△ABC 的外角∠BCD ＝ °．【答案】1106. （2011湖南邵阳，11，3分）如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠A=_______。

【史上最全】2011中考数学真题解析76_等腰三角形的性质和判定(含答案)

2011全国中考真题解析120考点汇编等腰三角形的性质和判定一、选择题1.（2011•铜仁地区7,3分）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（）A、等腰三角形两底角相等B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C、等腰三角形是中心对称图形D、等腰三角形是轴对称图形考点：等腰三角形的性质；轴对称图形；中心对称图形。

分析：根据等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等（等边对等角），等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合（三线合一），等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，即可求得答案．解答：解：A、等腰三角形两底角相等，故本选项正确；B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，故本选项正确；C、等腰三角形不是中心对称图形，故本选项错误；D、等腰三角形是轴对称图形，故本选项正确．故选C．点评：此题考查了等腰三角形的性质．注意等边对等角，三线合一，以及其对称性的应用．2.（2011内蒙古呼和浩特，7，3）如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是（）A、9cmB、12cmC、15cm或12cmD、15cm考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．解答：解：当6为腰，3为底时，6-3＜6＜6+3，能构成等腰三角形，周长为5+5+3=13；当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形．故选D．点评：本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．3.（2011辽宁沈阳，7，3）如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）A、2个B、4个C、6个D、8个考点：等腰三角形的判定；矩形的性质。

初中数学命题与证明的真题汇编附答案

初中数学命题与证明的真题汇编附答案一、选择题1．已知命题：等边三角形是等腰三角形．则下列说法正确的是（）A ．该命题为假命题B ．该命题为真命题C ．该命题的逆命题为真命题D ．该命题没有逆命题【答案】B【解析】分析：首先判断该命题的正误，然后判断其逆命题的正误后即可确定正确的选项．详解：等边三角形是等腰三角形，正确，为真命题；其逆命题为等腰三角形是等边三角形，错误，为假命题，故选：B ．点睛：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出该命题的逆命题，难度不大．2．下列命题中:①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③若ABC V 与'''A B C V 成轴对称，则ABC V 一定与'''A B C V 全等；④有一个角是60度的三角形是等边三角形；⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．正确命题的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】【分析】利用轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解:①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；正确； ②等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合；不正确: ③若ABC V 与'''A B C V 成轴对称，则ABC V 一定与'''A B C V 全等；正确； ④有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；不正确；⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线，不正确．正确命题为:2①③，个；故选：A【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，属于基础知识，难度不大．3．下列定理中，逆命题是假命题的是（）A ．在一个三角形中，等角对等边B．全等三角形对应角相等C．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形D．等腰三角形两个底角相等【答案】B【解析】【分析】先把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再进行判断即可．【详解】解：A、逆命题为：在一个三角形中等边对等角，逆命题正确，是真命题；B、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题错误，是假命题；C、逆命题为：如果一个三角形是等边三角形，那么它是一个等腰三角形而且有一个内角等于60°，逆命题正确，是真命题；D、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题正确，是真命题；故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出原命题的逆命题．4．下列命题是假命题的是（）A．有一个角为60︒的等腰三角形是等边三角形B．等角的余角相等C．钝角三角形一定有一个角大于90︒D．同位角相等【答案】D【解析】【分析】【详解】解：选项A、B、C都是真命题；选项D，两直线平行，同位角相等，选项D错误，是假命题，故选：D．5．下列命题是假命题的是()A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形【答案】C【解析】试题分析：A．四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；B．对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；C ．对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C 选项符合题意；D ．对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D 选项不符合题意．故选C ．考点：命题与定理．6．已知：ABC ∆中，AB AC =，求证：90O B ∠<，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴180O A B C ∠+∠+∠>，这与三角形内角和为180O 矛盾,②因此假设不成立．∴90O B ∠<,③假设在ABC ∆中，90O B ∠≥,④由AB AC =，得90O B C ∠=∠≥，即180O B C ∠+∠≥．这四个步骤正确的顺序应是（）A ．③④②①B ．③④①②C ．①②③④D ．④③①②【答案】B【解析】【分析】根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.【详解】题目中“已知：△ABC 中，AB=AC ，求证：∠B ＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：(1)假设∠B ≥90°，(2)那么，由AB=AC ，得∠B=∠C ≥90°，即∠B+∠C ≥180°，(3)所以∠A+∠B+∠C ＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，(4)因此假设不成立．∴∠B ＜90°，原题正确顺序为：③④①②，故选B ．【点睛】本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.7．下列命题中是真命题的是（）A ．多边形的内角和为180°B ．矩形的对角线平分每一组对角C ．全等三角形的对应边相等D ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式可对A 进行判定；根据矩形的性质可对B 进行判定；根据全等三角形的性质可对C 进行判定；根据平行线的性质可对D 进行判定．【详解】A.多边形的内角和为(n-2)·180°（n≥3），故该选项是假命题，B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．8．下列命题是真命题的个数是（）．①64的平方根是8±；②22a b =，则a b =；③三角形三条内角平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等；④三角形三边的垂直平分线交于一点．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】分别根据平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质进行分析即可.【详解】①64的平方根是8±，正确，是真命题；②22a b =，则不一定a b =，可能=-a b ；故错误；③根据角平分线性质，三角形三条内角平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等；是真命题；④根据三角形外心定义，三角形三边的垂直平分线交于一点，是真命题；故选：C【点睛】考核知识点：命题的真假.理解平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质是关键.9．下列命题是真命题的是（）A ．中位数就是一组数据中最中间的一个数B ．一组数据的众数可以不唯一C ．一组数据的标准差就是这组数据的方差的平方根D ．已知a 、b 、c 是Rt △ABC 的三条边，则a 2+b 2＝c 2【答案】B【解析】【分析】正确的命题是真命题，根据定义判断即可.解：A 、中位数就是一组数据中最中间的一个数或着是中间两个数的平均数，故错误； B 、一组数据的众数可以不唯一，故正确；C 、一组数据的标准差是这组数据的方差的算术平方根，故此选项错误；D 、已知a 、b 、c 是Rt △ABC 的三条边，当∠C ＝90°时，则a 2+b 2＝c 2，故此选项错误；故选：B ．【点睛】此题考查真命题的定义，掌握定义，准确理解各事件的正确与否是解题的关键.10．以下说法中：（1）多边形的外角和是360︒；（2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；（3）三角形的3个内角中，至少有2个角是锐角.其中真命题的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】利用多边形的外角和定理、平行线的性质及三角形的内角和定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：（1）多边形的外角和是360°，正确，是真命题；（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故错误，是假命题；（3）三角形的3个内角中，至少有2个角是锐角，正确，是真命题，真命题有2个，故选：C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的外角和定理、平行线的性质及三角形的内角和定理，难度不大．11．下面说法正确的个数有（）①方程329x y +=的非负整数解只有13x y ==，；②由三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；③如果1122A B C ∠=∠=∠，那么ABC V 是直角三角形；④各边都相等的多边形是正多边形；⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】【分析】根据二元一次方程的解的定义可对①进行判断；根据三角形的定义对②进行判断；根据直角三角形的判定对③进行判断；根据正多边形的定义对④进行判断；根据钝角三角形的定义对⑤进行判断．【详解】解：①二元一次方程329x y +=的非负整数解是x=3，y=0或x=1，y=3，原来的说法错误；②由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形，原来的说法错误；③如果3672=72A B C ∠=︒∠=︒∠︒，，，那么ABC V 不是直角三角形，故错误； ④各边都相等，各角也相等的多边形是正多边形，故错误．⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形，故错误，故选A.【点睛】此题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解二元一次方程的解的定义、三角形的定义、直角三角形的判定、正多边形的定义及钝角三角形的定义等知识，难度不大．12．下列命题中是真命题的是（）A ．两个锐角的和是锐角B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．点(3,2)-到x 轴的距离是2D ．若a b >，则a b ->-【答案】C【解析】【分析】根据角的定义、平行线的性质、点的坐标及不等式的性质对各选项进行分析判断，即可得解．【详解】A. 两个锐角的和是锐角是假命题，例如80°+80°=160°，是钝角，不是锐角，故本选项错误；B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等是假命题，两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等，故本选项错误；C. 点(3,2)-到x 轴的距离是2是真命题，故本选项正确；D. 若a b >，则a b ->-是假命题，正确结果应为a b -<-，故本选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查真假命题的判断，解题关键是认真判断由条件是否能推出结论，如果能举出一个反例，或由条件推出的结论与题干结论不一致，则为假命题．13．用三个不等式,0,a b ab a b >>>中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】A【解析】【分析】由题意得出三个命题，根据不等式的性质判断命题的真假.【详解】若,0a b ab >>，则a b >为假命题.反例：a=-1,b=-2 若,a b a b >>，则0ab >为假命题.反例：a=2,b=-1 若0,ab a b >>，则a b >为假命题.反例:a=-2,b=-1 故选：A【点睛】本题考查了命题与不等式的性质，解题的关键在于根据题意得出命题，根据不等式的性质判断真假.14．下列命题为真命题的是（）A ．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角B ．两直线被第三条直线所截，同位角相等C ．垂直于同一直线的两直线互相垂直D ．三角形的外角和为180o【答案】A【解析】【分析】根据三角形的外角性质、平行线的性质、平行公理的推论、三角形外角和定理判断即可．【详解】三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，A 是真命题；两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，B 是假命题；在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，C 是假命题；三角形的外角和为360°，D 是假命题；故选A ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．15．下列命题中是假命题的是( )A．一个三角形中至少有两个锐角B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行C．同角的补角相等aD．如果a为实数，那么0【答案】D【解析】A. 一个三角形中至少有两个锐角，是真命题；B. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，是真命题；C. 同角的补角相等，是真命题；D. 如果a为实数，那么|a|>0，是假命题；如：0是实数，|0|=0，故D是假命题；故选：D.16．下列命题是假命题的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．等边三角形有3条对称轴C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质一一判断即可．【详解】A．正确；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；B．正确．等边三角形有3条对称轴；C．错误，SSA无法判断两个三角形全等；D．正确．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理，等边三角形的判定方法、等边三角形的性质、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．17．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．直角都相等 B．钝角都小于180° C．如果x2+y2=0，那么x=y=0 D．对顶角相等【答案】C【解析】【分析】根据逆命题是否为真命题逐一进行判断即可.【详解】相等的角不都是直角，故A选项不符合题意，小于180°的角不都是钝角，故B选项不符合题意，如果x=y=0，那么x2+y2=0，正确，是真命题，符合题意，相等的角不一定都是对顶角，故D选项不符合题意，故选C【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．18．交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是()A．两直线平行，同位角相等B．相等的角是对顶角C．所有的直角都是相等的D．若a=b，则a﹣3=b﹣3【答案】C【解析】【分析】写出原命题的逆命题，根据相关的性质、定义判断即可．【详解】解：交换命题A的题设和结论，得到的新命题是同位角相等，两直线平行是真命题；交换命题B的题设和结论，得到的新命题是对顶角相等是真命题；交换命题C的题设和结论，得到的新命题是所有的相等的角都是直角是假命题；交换命题D的题设和结论，得到的新命题是若a-3=b-3，则a=b是真命题，故选C．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．19．下列命题错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．两直线平行，内错角相等C．等腰三角形的两个底角相等D．若两实数的平方相等，则这两个实数相等【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，分别进行判断，即可得到答案.【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，正确；B、两直线平行，内错角相等，正确；C、等腰三角形的两个底角相等，正确；D、若两实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数，故D错误；故选：D.【点睛】本题考查了判断命题的真假，以及平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.20．下列命题中是假命题的是（）A．一个锐角的补角大于这个角B．凡能被2整除的数，末位数字必是偶数C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D．相反数等于它本身的数是0【答案】C【解析】试题分析：利用锐角的性质、偶数的定义、平行线的性质及相反数的定义分别判断后即可确定正确的选项．A、一个锐角的补角大于这个角，正确，是真命题，不符合题意；B、凡能被2整除的数，末尾数字必是偶数，正确，是真命题，不符合题意；C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，故错误，是假命题，符合题意；D、相反数等于他本身的数是0，正确，是真命题，不符合题意考点：命题与定理．。

2022-2023学年江苏八年级数学上学期压轴题精练专题05 等腰三角形的判定和性质(含详解)

2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题05 等腰三角形的判定和性质考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：__________ 班级：__________考号：__________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·海曙期末）如图，CD 是等腰三角形 △ABC 底边上的中线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，AC ＝8，DE ＝2，则 △ BCE 的面积是（）A ．4B ．6C ．8D ．122．（2分）（2021八上·嵩县期末）等腰三角形的一个内角是 70︒ ，则它底角的度数是（） A ．70︒B ．70︒ 或 40︒C ．70︒ 或 55︒D ．55︒ 3．（2分）（2021八上·凉山期末）如图， MNP 中， 60P ∠=︒ ， MN NP = ， MQ PN ⊥ ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取 NG NQ = ，若 MNP 的周长为12，MQ m = ，则 MGQ 周长是（） A ．8＋2m B ．8＋m C ．6＋2m D ．6＋m4．（2分）（2020八上·东海期末）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，作△BCE ，点A 在△BCE 内，点D 在BE上，AD 垂直平分BE ，且∠BAC ＝m°，则∠BEC ＝（）A ．90°﹣ 12m° B ．180°﹣2m° C ．30°+ 12 m° D ．12m° 5．（2分）（2021八上·如皋月考）如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，点B 关于AC 的对称点B′恰好落在CD 上，若αBAD ∠=，则ACB ∠的度数为（）A ．45︒B ．α45-︒C ．1α2D ．190α2︒- 6．（2分）（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC =40°，BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，若点F 在AB 上，且满足DF =DE ，求∠DFB 的度数．”小贤的解答：以D 为圆心，DE 长为半径画圆交AB 于点F ，连接DF ，则DE =DF ，由图形的对称性可得∠DFB =∠DEB ．结合平行线的性质可求得∠DFB =140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB 还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（）A ．小军说的对，且∠DFB 的另一个值是40°B ．小军说的不对，∠DFB 只有140°一个值C ．小贤求的结果不对，∠DFB 应该是20°D ．两人都不对，∠DFB 应有3个不同值7．（2分）（2021八上·江津期中）如图，D 为∠BAC 的外角平分线上一点并且满足BD ＝CD ，∠DBC ＝∠DCB ，过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，则下列结论：①△CDE ≌△BDF ；②CE ＝AB+AE ；③∠BDC ＝∠BAC ；④∠DAF ＝∠CBD.其中正确的结论有（）个A ．1B ．2C ．3D ．48．（2分）（2021八上·江阴期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝46°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线OD 交于点O ，点E 在BC 上，点F 在AC 上，连接EF.将∠C 沿EF 折叠，点C 与点O 恰好重合时，则∠OEC 的度数（）A ．90°B ．92°C ．95°D ．98°9．（2分）（2021八上·崇阳期中）如图，已知 30MON ∠=︒ ，点 1A 、 2A 、 3A 、…在射线ON 上，点 1B 、 2B 、 3B 、…在射线OM 上， 112A B A ∆ 、 223A B A ∆ 、 334A B A ∆ …均为等边三角形，若 11OA = ，则 889A B A ∆ 的边长为( )A ．16B ．64C ．128D ．25610．（2分）（2018八上·北京月考）若（a ﹣2）2+|b ﹣3|＝0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为（） A ．6B ．7C ．8D ．7或8评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2021八上·长沙期末）如图， ABC ∠ 、 ACB ∠ 的平分线相交于点F ，过F 作 //DE BC ，交 AB 于点D ，交 AC 于点E ， 3cm BD = ， 2cm EC = ，则 DE = cm .12．（2分）（2021八上·句容期末）如图， 35MON ∠=︒ ，点P 在 MON ∠的边 ON 上，以点P 为圆心， PO 为半径画弧，交 OM 于点A ，连接 AP ，则 APN ∠= ︒ .13．（2分）（2021八上·句容期末）如图，AOB ∠ 是一角度为 α 的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件 EF 、 FG 、 GH …，且OE EF FG GH === …，在 OA 、 OB 足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，则锐角 α 的范围为 .14．（2分）（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，D 为BC 的中点，连接AD ，E 是AB 上的一点，P 是AD 上一点，连接EP 、BP ，AC=10，BC=12，则EP+BP 的最小值是 .15．（2分）（2021八上·宁波期末）如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝1，D是斜边AB 上一点（与点A ，B 不重合），将△BCD 绕着点C 旋转90°到△ACE ，连结DE 交AC 于点F ，若△AFD 是等腰三角形，则AF 的长为 .16．（2分）（2021八上·中山期末）如图，5AB AC ==，110BAC ∠=︒，AD 是∠BAC 内的一条射线，且25BAD ∠=︒，P 为AD 上一动点，则PB PC -的最大值是．17．（2分）（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC = ， 50BAC ∠=︒ ， BAC ∠ 的平分线与AB 的垂直平分线OD 交于点O ，点C 沿直线EF 折叠后与点O 重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：①50OEF ∠=︒ ；②图中没有60°的角；③D 、O 、C 三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：18．（2分）（2021八上·铁西月考）如图，矩形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝12，点M在对角线BD 上，点N 为射线BC 上一动点，连接MN ，DN ，且∠DNM ＝∠DBC ，当DMN 是等腰三角形时，线段BN 的长为．19．（2分）（2021八上·沈阳期中）已知长方形ABCD ，AB ＝6，BC ＝10，M 为线段AD 上一点且AM ＝8，点P 从B 出发以每秒2个单位的速度沿线段BC ﹣CD 的方向运动，至点D 停止，设运动时间为t 秒，当 AMP 为等腰三角形时，t 的值为．20．（2分）（2021八上·武昌期中）如图，已知△ABC 中，OE 、OF 分别是AB 、AC 的垂直平分线，∠OBC ，∠OCB 的平分线相交于点I ，有如下结论：①AO ＝CI ；②∠ABC+∠ACO ＝90°；③∠BOI ＝∠COI ；④OI ⊥BC.其中正确的结论是 .评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（5分）（2021八上·顺义期末）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA ，PB 组成，两根棒在P 点相连并可绕点P 旋转，C 点是棒PA 上的一个固定点，点A ，O 可在棒PA ，PB 内的槽中滑动，且始终保持OA ＝OC ＝PC ．∠AOB 为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB ＝13∠AOB ．我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．已知：如图2，点O ，C 分别在∠APB 的边PB ，PA 上，且OA ＝OC ＝PC ．求证：∠APB ＝13∠AOB ．22．（5分）（2021八上·营口期末）如图，在等腰△ABC 和等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE 且C 、E 、D 三点共线，作AM ⊥CD 于M ．若BD ＝5，DE ＝4，求CM ．23．（7分）（2021八上·松桃期末）如图，在ABC 中， 30BAC ∠=︒ ，AB 边的垂直平分线分别交AB 于点E ，交AC 于点F ，点D 在EF 上，且 BD CD = ，G 是AC 的中点，连接DG.；（1）（3分）求证：DG AC（2）（4分）判断BCD是否是等边三角形，并说明理由.24．（9分）（2021八上·平凉期中）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.（1）（3分）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；（2）（3分）当点D在BC （点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；（3）（3分）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.25．（7分）（2020八上·松北期末）已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）（4分）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）（3分）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求ABF ACF SS 的值．26．（10分）（2021八上·淳安期末）如图（1）（5分）如图①，在△ABC 中，D 为△ABC 外一点，若AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，∠B+∠ADC ＝180°，求证：BC ＝CD ；琮琮同学：我的思路是在AB 上取一点F ，使得AD=AF ，连结CF ，先证明△ADC ≌△AFC 得到DC ＝FC ，再证明CB ＝CF ，从而得出结论；宸宸同学：我觉得也可以过点C 作边AD 的高线CG ，由角平分线的性质得出CG=CE ，再证明△GDC ≌△EBC ，从而得出结论.请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程.（2）（5分）如图②，D 、E 、F 分别是等边△ABC 的边BC 、AB 、 AC 上的点， AD 平分∠FDE ，且∠FDE=120°.求证：BE=CF.27．（10分）（2021八上·包河期末）在等腰△ABC 中，AB=AC ，点D 是AC 上一动点，点E 在BD 的延长线上，且AB=AE ，AF 平分∠CAE 交DE 于点F ，连接FC ．（1）（3分）如图1，求证：∠ABE=∠ACF ；（2）（3分）如图2，当∠ABC=60°时，在BE 上取点M ，使BM=EF ，连接AM ．求证：△AFM 是等边三角形；（3）（4分）如图3，当∠ABC=45°，且AE BC 时，求证：BD=2EF ．28．（7分）（2021八上·虎林期末）在等腰△ABC 中，AB ＝BC ，点D ，E 在射线BA 上，BD ＝DE ，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：（1）（3分）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE＋BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）（2）（4分）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题05 等腰三角形的判定和性质考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·海曙期末）如图，CD 是等腰三角形 △ABC 底边上的中线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，AC ＝8，DE ＝2，则 △ BCE 的面积是（）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】C【完整解答】解：过点E 作EF ⊥BC 于F ，∵AC ＝BC ＝8，CD 是等腰三角形△ABC 底边上的中线，∴CD ⊥AB ，∵BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，∴EF ＝DE ＝2，∴△BCE 的面积＝12×BC×EF ＝12×8×2=8. 故答案为：C.【思路引导】过点E 作EF ⊥BC 于F ，利用等腰三角形的性质可证得CD ⊥AB ，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF 的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE 的面积.2．（2分）（2021八上·嵩县期末）等腰三角形的一个内角是 70︒ ，则它底角的度数是（） A ．70︒B ．70︒ 或 40︒C ．70︒ 或 55︒D ．55︒ 【答案】C【完整解答】解：当70°角为顶角时，它的底角为 ()118070552︒-︒=︒ ，当70°角为底角时，它底角的度数是70°故答案为：C.【思路引导】分情况讨论：当70°角为底角时；当70°角为顶角时，利用三角形的内角和定理求出其底角的度数，即可求解.3．（2分）（2021八上·凉山期末）如图， MNP 中， 60P ∠=︒ ， MN NP = ， MQ PN ⊥ ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取 NG NQ = ，若 MNP 的周长为12，MQ m = ，则 MGQ 周长是（） A ．8＋2m B ．8＋m C ．6＋2m D ．6＋m【答案】C【完整解答】解：∵60P ∠=︒ ， MN NP = ，∴△PMN 是等边三角形，∵MQ PN ⊥ ，∴QN=PQ= 12MN ，∠QMN=30°，∠QNM=60°， ∵NG NQ = ，∴∠GQN=∠G=30°，QN=NG= 12MN ， ∴∠QMN=∠G=30°，∴QM=QG ， ∵MNP 的周长为12， MQ m = ，∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m ，∴MGQ 周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.故答案为：C.【思路引导】易得△PMN 是等边三角形，得QN=PQ=12MN ，∠QMN=30°，∠QNM=60°，根据等腰三角形的性质可得∠GQN=∠G=30°，QN=NG=12MN ，推出QM=QG ，根据△MNP 的周长可得MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m ，据此求解.4．（2分）（2020八上·东海期末）如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且∠BAC＝m°，则∠BEC＝（）A．90°﹣12m°B．180°﹣2m°C．30°+ 12m°D．12m°【答案】D【完整解答】解：∵AD垂直平分BE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵AB＝AC，∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE，∴∠BEC＝∠BEA+∠ACE，∵∠BAC＝m°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，∴∠BEC＝12（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝12[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝12[180°﹣（180°﹣m°）]＝12m°，故答案为：D.【思路引导】由AD垂直平分BE可得AB＝AE，从而得出AB＝AE=AC，利用等边对等角可得∠ABE＝∠AEB，∠AEC＝∠ACE，即得∠BEC＝∠BEA+∠ACE，由三角形内角和可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，由∠BEC＝12（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）即可求解.5．（2分）（2021八上·如皋月考）如图，四边形ABCD中，AB=AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD 上，若αBAD ∠=，则ACB ∠的度数为（）A ．45︒B ．α45-︒C ．1α2D ．190α2︒- 【答案】D【完整解答】解：如图，连接AB′，BB′，过A 作AE ⊥CD 于E ，∵点B 关于AC 的对称点B′恰好落在CD 上，∴AC 垂直平分BB′，∴AB ＝AB′，∴∠BAC ＝∠B′AC ，∵AB ＝AD ，∴AD ＝AB′，又∵AE ⊥CD ，∴∠DAE ＝∠B'AE ，∴∠CAE ＝12∠BAD ＝12α，又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°，∴四边形AOB′E 中，∠EB′O ＝180°−12α， ∴∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′＝180°−12α−90°＝90°−12α， ∴∠ACB ＝∠ACB′＝90°−12α，故答案为：D.【思路引导】连接AB′，BB′，过A 作AE ⊥CD 于E ，利用轴对称的性质可证得AC 垂直平分BB′，∠BAC ＝∠B′AC ，利用垂直平分线的性质可推出AB ＝AB′，由此可推出AD=AB′；利用等腰三角形的性质可得到∠DAE=∠BAE ，由此可表示出∠CAE 及∠EB′O ；然后根据∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′，代入计算可表示出∠ACB的度数.6．（2分）（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（）A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值【答案】A【完整解答】解：=='，如图，以点D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，F'，连接DF，DF'，则DE DF DF '，∠∴∠='DFF DF F∠，BD平分ABC∠=∠，由图形的对称性可知：DFB DEBDE AB，40∠=︒，ABC∴∠=︒-︒=︒，DEB18040140∴∠=︒，140DFB当点F位于点F'处时，='，DF DF'︒．∴∠=∠='︒-︒=18014040DF B DFF故答案为：A．【思路引导】以点D 为圆心， DE 长为半径画圆交 AB 于点F ，F ' ，连接 DF ，DF ' ，则 DE DF DF ==' ，由图形的对称性可知DFB DEB ∠=∠ ，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F 位于点 F ' 处时，由DF=DF'可求出∠DF'B 的度数.7．（2分）（2021八上·江津期中）如图，D 为∠BAC 的外角平分线上一点并且满足BD ＝CD ，∠DBC ＝∠DCB ，过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，则下列结论：①△CDE ≌△BDF ；②CE ＝AB+AE ；③∠BDC ＝∠BAC ；④∠DAF ＝∠CBD.其中正确的结论有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D 【完整解答】解：∵AD 平分 CAF ∠ ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴DE DF = ，在 Rt CDE 和 Rt BDF 中，BD CDDE DF =⎧⎨=⎩ ，∴Rt CDE Rt BDF ≅ ，故①正确；∴CE AF = ，在 t ADE R 和 Rt ADF 中，AD ADDE DF =⎧⎨=⎩ ，∴Rt ADE Rt ADF ≅ ，∴AE AF = ，∴CE AB AF AB AE =+=+ ，故②正确；∵Rt CDE Rt BDF ≅ ，∴DBF DCE ∠=∠ ，又∵AOB DOC ∠=∠ ，∴∠BDC ＝∠BAC ，故③正确；∵AD 平分 CAF ∠ ，∴DAF DAE ∠=∠ ，∵BD CD = ，∴DBC DCB ∠=∠ ，∵180BAC DAF DAE ∠+∠+∠=︒ ， 180BDC DBC DCB ∠+∠+∠=︒ ，∠BDC ＝∠BAC ， ∴DAF DAE DBC DCB ∠+∠=∠+∠ ，∴∠DAF ＝∠CBD ，故④正确；综上所述，正确的有①②③④；故答案为：D.【思路引导】由角平分线的性质可得DE=DF ，根据HL 证明Rt CDE Rt BDF ≅，可得CE=AF ， DBF DCE ∠=∠ ，根据HL 证明Rt ADE Rt ADF ≅，可得AE AF =，从而得出CE AB AF AB AE =+=+，据此判断①②；在△AOB 和△DOC 中，DBF DCE ∠=∠，∠AOB=∠DOC ，可得∠BDC ＝∠BAC ，据此判断③；利用三角形的内角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB，从而得出∠DAF ＝∠CBD ，据此判断④.8．（2分）（2021八上·江阴期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝46°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线OD 交于点O ，点E 在BC 上，点F 在AC 上，连接EF.将∠C 沿EF 折叠，点C 与点O 恰好重合时，则∠OEC 的度数（）A ．90°B ．92°C ．95°D ．98°【答案】B【完整解答】解：连接BO ，CO ，∵∠BAC=46°，∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，∴∠OAB=∠OAC=23°，∵OD 是AB 的垂直平分线，∴OA=OB ，∵OA=OB ，∠OAB=23°，∴∠OAB=∠ABO=23°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=67°，∴∠OBC=∠ABC -∠ABO=67°-23°=44°，∵AB=AC ，∠OAB=∠OAC ，AO=AO ，∴△ABO ≌△ACO （SAS ），∴BO=CO ，∴∠OBC=∠OCB=44°，∵点C 沿EF 折叠后与点O 重合，∴EO=EC ，∴∠EOC=∠OCE=44°，∴∠OEC=180°-∠EOC -∠OCE=180°-2×44°=92°.故答案为：B.【思路引导】连接BO ，CO ，由角平分线的概念可得∠OAB=∠OAC=23°，根据垂直平分线的性质可得OA=OB ，结合等腰三角形的性质可得∠OAB=∠ABO=23°，∠ABC=∠ACB=67°，然后求出∠OBC 的度数，证明△ABO ≌△ACO ，得到BO=CO ，则∠OBC=∠OCB=44°，根据折叠的性质可得EO=EC ，则∠EOC=∠OCE=44°，然后在△OEC 中，应用内角和定理进行求解.9．（2分）（2021八上·崇阳期中）如图，已知 30MON ∠=︒ ，点 1A 、 2A 、 3A 、…在射线ON 上，点 1B 、 2B 、 3B 、…在射线OM 上， 112A B A ∆ 、 223A B A ∆ 、 334A B A ∆ …均为等边三角形，若 11OA = ，则 889A B A ∆ 的边长为( )A．16B．64C．128D．256【答案】C【完整解答】解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：A8B8=27B1A2=27=128.故答案为：C.【思路引导】对图形进行角标注，由等边三角形的性质可得A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，根据邻补角的性质可得∠2=120°，由内角和定理可得∠1的度数，然后由平角的概念求出∠5的度数，推出OA 1=A 1B 1=A 2B 1=1，根据等边三角形的性质以及角之间的关系可得A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，由平行线的性质可得∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，然后根据含30°角的直角三角形的性质可得A 2B 2=2B 1A 2，B 3A 3=2B 2A 3，进而求出A 3B 3，A 4B 4，A 5B 5的值，据此解答.10．（2分）（2018八上·北京月考）若（a ﹣2）2+|b ﹣3|＝0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为（） A ．6B ．7C ．8D ．7或8【答案】D【完整解答】解：∵（a ﹣2）2+|b ﹣3|=0，∴a ﹣2=0，b ﹣3=0，解得a=2，b=3，①当腰是2，底边是3时，三边长是2，2，3，此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是2+2+3=7；②当腰是3，底边是2时，三边长是3，3，2，此时符合三角形的三边关系定理，即等腰三角形的周长是3+3+2=8．故答案为：D ．【思路引导】首先根据非负数的性质可以得到a,b 的长度，再分类讨论:腰为2，底为3；和腰为3，底为2，分别求出即可二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2021八上·长沙期末）如图， ABC ∠ 、 ACB ∠ 的平分线相交于点F ，过F 作 //DE BC ，交 AB 于点D ，交 AC 于点E ， 3cm BD = ， 2cm EC = ，则 DE = cm . 【答案】5【完整解答】解： BF 是 ABC ∠ 的平分线，DBF CBF ∴∠=∠ ，//DE BC ，DFB CBF ∴∠=∠ ，DBF DFB ∴∠=∠ ，3cm DF BD ∴== ，同理可得： 2cm EF EC == ，5cm DE DF EF ∴=+= ，故答案为：5.【思路引导】由角平分线的定义得∠DBF=∠CBF ，由平行线性质得∠DFB=∠CBF ，即得∠DBF=∠DFB ，根据等角对等边得出DF=DB=3cm ，同里得出EF=EC=2cm ，利用DE=DF+EF 计算即可.12．（2分）（2021八上·句容期末）如图， 35MON ∠=︒ ，点P 在 MON ∠ 的边 ON 上，以点P 为圆心， PO 为半径画弧，交 OM 于点A ，连接 AP ，则 APN ∠= ︒ .【答案】70【完整解答】解：由作图可知，PO=PA ，∴∠PAO=∠O=35°，∴∠APN=∠O+∠PAO=70°.故答案为：70.【思路引导】由作图可知：PO=PA ，根据等边对等角得∠PAO=∠O=35°，由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠APN=∠O+∠PAO ，据此计算.13．（2分）（2021八上·句容期末）如图， AOB ∠ 是一角度为 α 的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件 EF 、 FG 、 GH …，且 OE EF FG GH === …，在 OA 、OB 足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，则锐角 α 的范围为 .【答案】0°＜α＜ 907⎛⎫︒⎪⎝⎭ 【完整解答】解：∵OE=EF ，∴∠EOF=∠EFO=α，∴∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，∵最多能添加这样的钢管6根，∴7α＜90°，∴0°＜α＜907⎛⎫︒⎪⎝⎭，故答案为：0°＜α＜907⎛⎫︒ ⎪⎝⎭.【思路引导】根据等腰三角形的性质得∠EOF=∠EFO=α，由外角的性质可得∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，由题意可得7α＜90°，求解即可.14．（2分）（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，AC=10，BC=12，则EP+BP的最小值是.【答案】9.6【完整解答】解：连接PC，∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵D为BC的中点，∴AD垂直平分BC，BD=12BC=6∴BP=CP，22221068AD AB BD=-=-=∴EP+BP=EP+CP要使EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且CE ⊥AB时，EP+BP的值最小，最小值为EC的长；∵1122ABCS AB CE CB AD=⋅=⋅，∴10CE=12×8解之：CE=9.6.故答案为：9.6.【思路引导】连接PC，利用已知易证△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长，利用垂直平分线的性质可证得BP=PC；由此可得到EP+BP=EP+CP，要使EP+BP 的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且CE⊥AB时，EP+BP 的值最小，最小值为EC的长；然后三角形的面积公式可求出CE的长.15．（2分）（2021八上·宁波期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点（与点A，B 不重合），将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为.【答案】12或21【完整解答】解：∵Rt△ABC中，AC=BC=1，∴∠CAB=∠B=45°，∵△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，∴∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，①AF=FD时，∠FDA=∠FAD=45°，∴∠AFD=90°，∠CDA=45°+45°=90°=∠ECD=∠DAE，∵EC=CD，∴四边形ADCE是正方形，∴AD=DC，∴AF= 12AC=12×1=12；②AF=AD时，∠ADF=∠AFD=67.5°，∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=180°-67.5°-45°=67.5°，∴∠DCB=180°-67.5°-45°=67.5°，∴∠DCB=∠CDB，∴BD=CB=1，∴AD=AB -BD=1，∴AF=AD=1，故答案为： 12或 1.【思路引导】Rt △ABC 中，AC=BC=1，可得∠CAB=∠B=45°，由旋转的性质可得∠ECD=90°，∠CDE =∠CED=45°，分两种情况①AF=FD 时，②AF=AD 时，根据等腰三角形的性质分别解答即可. 16．（2分）（2021八上·中山期末）如图，5AB AC ==，110BAC ∠=︒，AD 是∠BAC 内的一条射线，且25BAD ∠=︒，P 为AD 上一动点，则PB PC -的最大值是．【答案】5【完整解答】解：如图，作点B 关于射线AD 的对称点B '，连接AB '、CB '，B'P ．则AB AB ='，PB PB '=，25B AD BAD ∠=∠='︒，110252560B AC BAC BAB ∠=∠-∠=︒-︒-︒=''︒． ∵5AB AC ==，∴5AB AC '==，∴AB C '是等边三角形，∴5B C '=，在PB C '中，PB PC B C -'≤'，当P 、B '、C 在同一直线上时，PB PC '-取最大值B C '，即为5． ∴PB PC '-的最大值是5．故答案为：5．【思路引导】作点B 关于射线AD 的对称点B '，连接AB '、CB '，B'P ．易证 AB C '是等边三角形，可得5B C '=，在PB C '中，由于PB PC B C -'≤'，所以当P 、B '、C 在同一直线上时，PB PC '-取最大值，即为B C '的长.17．（2分）（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC = ， 50BAC ∠=︒ ， BAC ∠ 的平分线与AB 的垂直平分线OD 交于点O ，点C 沿直线EF 折叠后与点O 重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：①50OEF ∠=︒ ；②图中没有60°的角；③D 、O 、C 三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：【答案】①【完整解答】解：∵∠BAC=50°，AO 为∠BAC 的平分线，∴∠BAO= 12 ∠BAC= 12×50°=25°．又∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=65°．∵DO 是AB 的垂直平分线，∴OA=OB ，∴∠ABO=∠BAO=25°，∴∠OBC=∠ABC -∠ABO=65°-25°=40°．∵AO 为∠BAC 的平分线，AB=AC ，∴直线AO 垂直平分BC ，∴OB=OC ，∴∠OCB=∠OBC=40°，∵将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，∴OE=CE ．∴∠COE=∠OCB=40°；在△OCE 中，∠OEC=180°-∠COE -∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠OEF= 12∠CEO=50°，①符合题意；∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°，②不符合题意；∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，∵∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.故答案为：①．【思路引导】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。

2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编(-等腰三角形的性质)解析版

2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编等腰三角形的性质考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题满分20分每小题2分）1．（2分）（2021八上·海曙期末）如图CD是等腰三角形△ABC底边上的中线BE平分∠ABC 交CD 于点E AC＝8 DE＝2 则△ BCE的面积是（）A．4B．6C．8D．12【答案】C【完整解答】解：过点E作EF⊥BC于F∵AC＝BC＝8 CD是等腰三角形△ABC底边上的中线∴CD⊥AB∵BE平分∠ABC ED⊥AB EF⊥BC∴EF＝DE＝2∴△BCE的面积＝12×BC×EF＝12×8×2=8.故答案为：C.【思路引导】过点E作EF⊥BC于F 利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB 利用角平分线上的点到角两边的距离相等可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.2．（2分）（2021八上·永定期末）下列命题是真命题的是（）A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B ．一个三角形被截成两个三角形每个三角形的内角和是90度C ．有两个角是60°的三角形是等边三角形D ．在ABC 中 2A B C ∠=∠=∠ 则 ABC 为直角三角形【答案】C【完整解答】解：A 、等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合即三线合一故此选项错误；B 、三角形的内角和为180° 故此选项错误；C 、有两个角是60° 则第三个角为 180606060︒-︒-︒=︒ 所以三角形是等边三角形故此选项正确；D 、设 C x ∠= 则 2A B x ∠=∠= 故 22180x x x ++=︒ 解得 36x =︒ 所以 72A B ∠=∠=︒ 36C ∠=︒ 此三角形不是直角三角形故此选项错误.故答案为：C.【思路引导】A 、等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合据此判断即可； B 、三角形的内角和为180° 据此判断即可；C 、三个角是60°的三角形时等边三角形据此判断即可；D 、根据三角形内角和定理求出最大角利用直角三角形的定义来验证最大角是否为90°即可.3．（2分）（2021八上·嵩县期末）等腰三角形的一个内角是 70︒ 则它底角的度数是（） A ．70︒B ．70︒ 或 40︒C ．70︒ 或 55︒D ．55︒ 【答案】C【完整解答】解：当70°角为顶角时它的底角为()118070552︒-︒=︒ 当70°角为底角时它底角的度数是70°故答案为：C.【思路引导】分情况讨论：当70°角为底角时；当70°角为顶角时利用三角形的内角和定理求出其底角的度数即可求解.4．（2分）（2021八上·凉山期末）如图 MNP 中 60P ∠=︒ MN NP = MQ PN ⊥ 垂足为Q 延长MN 至G 取 NG NQ = 若 MNP 的周长为12 MQ m = 则 MGQ 周长是（）A ．8＋2mB ．8＋mC ．6＋2mD ．6＋m【答案】C 【完整解答】解：∵60P ∠=︒ MN NP =∴△PMN 是等边三角形∵MQ PN ⊥∴QN=PQ= 12MN ∠QMN=30° ∠QNM=60°∵NG NQ =∴∠GQN=∠G=30° QN=NG=12MN ∴∠QMN=∠G=30°∴QM=QG∵MNP 的周长为12 MQ m =∴MN=4 QN=NC=2 QM=QG=m∴MGQ 周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.故答案为：C.【思路引导】易得△PMN 是等边三角形得QN=PQ=12MN ∠QMN=30° ∠QNM=60° 根据等腰三角形的性质可得∠GQN=∠G=30° QN=NG=12MN 推出QM=QG 根据△MNP 的周长可得MN=4 QN=NC=2 QM=QG=m 据此求解.5．（2分）（2021八上·遵义期末）已知 ABC 的周长是16 且 AB AC = 又 AD BC ⊥ D 为垂足若 ABD 的周长是12 则AD 的长为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】D【完整解答】解：如图：∵AB=AC 且AD ⊥BC∴BD=DC= 12BC ∵AB+BC+AC=2AB+2BD=16∴AB+BD=8∴AB+BD+AD=8+AD=12解得AD=4.故答案为：D.【思路引导】根据等腰三角形的性质可得BD=DC=12BC 结合△ABC 的周长为16可得AB+BD=8 然后根据△ABD 的周长为12就可求出AD.6．（2分）（2021八上·如皋期末）如图在 ABC 中 AC BC = 30B ∠=︒ D 为 AB 的中点 P 为 CD 上一点 E 为 BC 延长线上一点且 .PA PE = 有下列结论：①30PAD PEC ∠+∠=︒ ；②PAE 为等边三角形；③PD CE CP =- ；④.ABC AECP S S =四边形其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①②C ．①②④D ．③④【答案】C 【完整解答】解：如图连接BP∵AC＝BC ∠ABC＝30° 点D是AB的中点∴∠CAB＝∠ABC＝30° AD＝BD CD⊥AB ∠ACD＝∠BCD＝60°∴CD是AB的中垂线∴AP＝BP 而AP＝PE∴AP＝PB＝PE∴∠PAB＝∠PBA ∠PEB＝∠PBE∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°故①正确；∵PA＝PE∴∠PAE＝∠PEA∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°︒-︒=︒，∴∠PAE+∠PEA＝18060120=，∴∠=︒而PA PEAPE60∴△PAE是等边三角形故②正确；='，则点P关于AB的对称点为P′ 连接P′A 如图延长PD至P'使PD P D∴AP＝AP′ ∠PAD＝∠P′AD∵△PAE 是等边三角形∴AE ＝AP∴AE ＝AP′∵∠CAD ＝∠CAP+∠PAD ＝30°∴2∠CAP+2∠PAD ＝60°∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD ＝60°﹣∠PAC60EAC PAC ∴∠=︒-∠，∴∠P′AC ＝∠EAC∵AC ＝AC∴△P′AC ≌△∠EAC （SAS ）∴CP′＝CE∴CE ＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD ∴2CE CP PD -= . 故③错误；过点A 作AF ⊥BC 在BC 上截取CG ＝CP∵CG ＝CP ∠BCD ＝60°∴△CPG 是等边三角形∴∠CGP ＝∠PCG ＝60°∴∠ECP ＝∠PGB ＝120° 且EP ＝PB ∠PEB ＝∠PBE∴△PCE ≌△PGB （AAS ）∴CE ＝GB∴AC ＝BC ＝BG+CG ＝EC+CP∵∠ABC ＝30° AF ⊥BE∴AF ＝12AB ＝AD ∵S △ACB ＝ 12 CB×AF ＝ 12 （EC+CP ）×AF ＝ 12 EC×AF+ 12 CP×AD ＝S 四边形AECP ∴S 四边形AECP ＝S △ABC .故④正确.所以其中正确的结论是①②④.故答案为：C.【思路引导】连接BP 根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CAB ＝∠ABC ＝30° AD ＝BD CD ⊥AB ∠ACD ＝∠BCD ＝60° 进而推出AP ＝BP ＝PE 由等腰三角形的性质可得∠PAB ＝∠PBA ∠PEB ＝∠PBE 然后根据角的和差关系可判断①；易得∠PAE+∠PEA ＝120° ∠APE=60° 据此判断②；延长PD 至P′ 使PD=P′D 则点P 关于AB 的对称点为P′ 连接P′A 由等边三角形的性质可得AE ＝AP 则AE ＝AP′ 推出∠P′AC ＝∠EAC 证明△P′AC ≌△∠EAC 得到CP′＝CE=CP+2PD 据此判断③；过点A 作AF ⊥BC 在BC 上截取CG ＝CP 则△CPG 是等边三角形则∠CGP ＝∠PCG ＝60° 证明△PCE ≌△PGB 得到CE ＝GB 推出AC ＝BC ＝EC+CP 根据含30°角的直角三角形的性质可得AF ＝12AB ＝AD 据此不难判断④.7．（2分）（2021八上·如皋月考）如图四边形ABCD 中 AB=AD 点B 关于AC 的对称点B′恰好落在CD 上若αBAD ∠= 则ACB ∠的度数为（）A ．45︒B ．α45-︒C ．1α2D ．190α2︒- 【答案】D 【完整解答】解：如图连接AB′ BB′ 过A 作AE ⊥CD 于E∵点B 关于AC 的对称点B′恰好落在CD 上∴AC 垂直平分BB′∴AB ＝AB′∴∠BAC ＝∠B′AC∵AB ＝AD∴AD ＝AB′又∵AE ⊥CD∴∠DAE ＝∠B'AE∴∠CAE ＝12∠BAD ＝12α 又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°∴四边形AOB′E 中 ∠EB′O ＝180°−12α ∴∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′＝180°−12α−90°＝90°−12α ∴∠ACB ＝∠ACB′＝90°−12α 故答案为：D.【思路引导】连接AB′ BB′ 过A 作AE ⊥CD 于E 利用轴对称的性质可证得AC 垂直平分BB′ ∠BAC ＝∠B′AC 利用垂直平分线的性质可推出AB ＝AB′ 由此可推出AD=AB′；利用等腰三角形的性质可得到∠DAE=∠BAE 由此可表示出∠CAE 及∠EB′O ；然后根据∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′ 代入计算可表示出∠ACB 的度数.8．（2分）（2021八上·江津期中）如图等腰三角形ABC 的底边BC 长为3 面积是18 腰AC 的垂直平分线EF分别交AC AB边于E F点.若点D为BC边的中点点M为线段EF上一动点则△CDM周长的最小值为（）A．7.5B．8.5C．10.5D．13.5【答案】D【完整解答】解：如图连接AM、AD∵EF垂直平分线段AC∴CM=AM∴CM+MD=AM+MD≥AD即当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时CM+MD取得最小值且最小值为线段AD的长∵△CMD的周长=CM+MD+CD=AM+MD+AD∴△CMD的周长的最小值为AD+CD∵D为BC的中点AB=AC∴11.52CD BC==AD⊥BC∴13182ABCS AD=⨯⨯=∴AD=12∴AD+CD=12+1.5=13.5即△CDM周长的最小值为13.5故答案为：D.【思路引导】连接AM、AD 由线段垂直平分线的性质可得CM=AM 当A、M、D三点在一直线上且与AD重合时CM+MD取得最小值且最小值为线段AD的长；根据等腰三角形三线合一的性质可得1 1.52CD BC == AD ⊥BC 利用△ABC 的面积可求出AD 的长从而求出此时△CDM 的周长即可. 9．（2分）（2021八上·江阴期中）如图在△ABC 中 AB ＝AC ∠BAC ＝46° ∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线OD 交于点O 点E 在BC 上点F 在AC 上连接EF.将∠C 沿EF 折叠点C 与点O 恰好重合时则∠OEC 的度数（）A ．90°B ．92°C ．95°D ．98° 【答案】B【完整解答】解：连接BO CO∵∠BAC=46° ∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O∴∠OAB=∠OAC=23°∵OD 是AB 的垂直平分线∴OA=OB∵OA=OB ∠OAB=23°∴∠OAB=∠ABO=23°∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB=67°∴∠OBC=∠ABC -∠ABO=67°-23°=44°∵AB=AC ∠OAB=∠OAC AO=AO∴△ABO ≌△ACO （SAS ）∴BO=CO∴∠OBC=∠OCB=44°∵点C 沿EF 折叠后与点O 重合∴EO=EC∴∠EOC=∠OCE=44°∴∠OEC=180°-∠EOC -∠OCE=180°-2×44°=92°.故答案为：B.【思路引导】连接BO CO 由角平分线的概念可得∠OAB=∠OAC=23° 根据垂直平分线的性质可得OA=OB 结合等腰三角形的性质可得∠OAB=∠ABO=23° ∠ABC=∠ACB=67° 然后求出∠OBC 的度数证明△ABO ≌△ACO 得到BO=CO 则∠OBC=∠OCB=44° 根据折叠的性质可得EO=EC 则∠EOC=∠OCE=44° 然后在△OEC 中应用内角和定理进行求解.10．（2分）（2021八上·广安期末）如图在 ABC 中 ABC ACB ∠∠，的平分线相交于点E AB BC ，边的垂直平分线相交于点D.若 120BEC ∠=︒ 则 BDC ∠ 的度数为（）A ．150︒B ．130︒C ．127︒D ．120︒【答案】D 【完整解答】解：∵120BEC ∠=︒∴∠EBC+∠ECB=180°- 18012060BEC ∠=︒-︒=︒∵BE CE 分别 ABC ACB ∠∠，∴22ABC EBC ACB ECB ∠=∠∠=∠，()2260120ABC ACB EBC ECB ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒∴()18060BAC ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒∵AB BC ，边的垂直平分线相交于点D.∴AD=BD=CD∴ABD BAD DAC DCA ∠=∠∠=∠，∴1801802ADB ABD BAD DAB ∠=︒-∠-∠=︒-∠1801802ADC DAC ACD DAC ∠=︒-∠-∠=︒-∠∴()180218023602360120240ADB ADC DAB DAC DAB DAC ∠+∠=︒-∠+︒-∠=︒-∠+=︒-︒=︒ ∴()360360240120BDC ADB ADC ∠=-∠+∠=︒-︒=︒故答案为：D.【思路引导】由内角和定理可得∠EBC+∠ECB=60° 由角平分线的概念可得∠ABC=2∠EBC ∠ACB=2∠ECB 则∠ABC+∠ACB=120° 由内角和定理可得∠BAC=60° 根据垂直平分线的性质可得∴AD=BD=CD 由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠BAD ∠DAC=∠DCA 则∠ADB=180°-2∠DAB ∠ADC=180°-2∠DAC 进而求出∠ADB+∠ADC=240° 接下来根据周角的概念进行计算即可.二．填空题（共10小题满分22分每小题2分）11．（2分）（2021八上·永定期末）在ABC 中 AD ⊥BC 于点D BD ＝CD 若BC ＝6 AD ＝4 则图中阴影部分的面积为 .【答案】6【完整解答】解：如图先标注字母∵在△ABC 中 AD ⊥BC BD ＝CD∴AB ＝AC ∠ADB ＝∠ADC ＝90° S △ABD ＝S △ACD∴∠BAD ＝∠CAD在△ABE 和△ACE 中AB ＝AC ∠BAE ＝∠CAE AE ＝AE∴△ABE ≌△ACE （SAS ）∴S △ABE ＝S △ACE在△BDF 和△CDF 中BD ＝CD ∠BDF ＝∠CDF DF ＝DF∴△BDF ≌△CDF （SAS ）∴S △BDF ＝S △CDF∴S △BEF ＝S △CEF∵S △ABC ＝12BC•AD ＝12×4×6＝12 ∴S 阴影＝12S △ABC ＝6．故答案为：6.【思路引导】由AD ⊥BC 于D 点 BD ＝CD 得△ABC 是等腰三角形易证△ABE ≌△ACE △BDF ≌△CDF 继而可得S 阴影＝12S △ABC 则可求得答案． 12．（2分）（2021八上·句容期末）如图 35MON ∠=︒ 点P 在 MON ∠ 的边 ON 上以点P 为圆心 PO 为半径画弧交 OM 于点A 连接 AP 则 APN ∠= ︒ .【答案】70【完整解答】解：由作图可知 PO=PA∴∠PAO=∠O=35°∴∠APN=∠O+∠PAO=70°.故答案为：70.【思路引导】由作图可知：PO=PA 根据等边对等角得∠PAO=∠O=35° 由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠APN=∠O+∠PAO 据此计算.13．（2分）（2021八上·句容期末）如图 AOB ∠ 是一角度为 α 的锐角木架要使木架更加牢固需在其内部添加一些连接支撑木件 EF 、FG 、 GH … 且 OE EF FG GH === … 在 OA 、 OB 足够长的情况下如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根则锐角 α 的范围为 .【答案】0°＜α＜90 7⎛⎫︒ ⎪⎝⎭【完整解答】解：∵OE=EF∴∠EOF=∠EFO=α∴∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α同理可得∠GFH=3α ∠HGB=4α ∵最多能添加这样的钢管6根∴7α＜90°∴0°＜α＜90 7⎛⎫︒ ⎪⎝⎭故答案为：0°＜α＜907⎛⎫︒ ⎪⎝⎭.【思路引导】根据等腰三角形的性质得∠EOF=∠EFO=α 由外角的性质可得∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α 同理可得∠GFH=3α ∠HGB=4α 由题意可得7α＜90° 求解即可.14．（2分）如图已知△ABC中∠B=∠ACB ∠BAC和∠ACB的角平分线交于D点．∠ADC=100° 那么∠CAB是．【答案】140°【完整解答】解：设∠CAB=x∵在△ABC中∠B=∠ACB= 12（180°﹣x）∵CD是∠ACB的角平分线AD是∠BAC的角平分线∴∠ACD= 14（180°﹣x）∠DAC=12x∵∠ACD+∠DAC+∠ADC=180°∴14（180°﹣x）+12x+100°=180°∴x=140°故答案是：140°．【思路引导】设∠CAB=x 根据已知可以分别表示出∠ACD 和∠DAC 再根据三角形内角和定理即可求得∠CAB 的度数．15．（2分）（2022八上·新昌期末）如图一块木板把ABC 遮去了一部分过点A 的木板边沿恰好把ABC 分成两个等腰三角形已知10B ∠=︒ 且∠B 是其中一个等腰三角形的底角则ABC 中最大内角的度数为 .【答案】90°或140°或150°【完整解答】解：根据题意分三种情况进行讨论：如图所示：①ABD 与ACD 为等腰三角形 10B ∠=︒ 且B ∠为底角∴10B BAD ∠=∠=︒∴160ADB ∠=︒∴20ADC ∠=︒ 20ADC C ∠=∠=︒∴140CAD ∠=︒150BAC BAD CAD ∠=∠+∠=︒在ABC 中 150BAC ∠=︒ 10B ∠=︒ 20C ∠=︒∴最大内角为150︒；②∵20ADC ∠=︒ 20ADC CAD ∠=∠=︒ ADC 为等腰三角形C ∠为顶角 ∴140C ∠=︒30BAC BAD CAD ∠=∠+∠=︒在ABC 中 140C ∠=︒ 30BAC ∠=︒ 10B ∠=︒∴最大内角为140︒；③∵20ADC ∠=︒ 80ACD CAD ∠=∠=︒ ADC 为等腰三角形ADC ∠为顶角在ABC 中 10B ∠=︒ 80C ∠=︒ 90BAC ∠=︒∴最大内角为90︒；综上可得：最大内角为150︒或140︒或90︒.故答案为：150︒或140︒或90︒.【思路引导】①△ABD 和△ACD 为等腰三角形 ∠B=10° 且∠B 为底角根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ADB=160° 根据邻补角的性质求出∠ADC 的度数利用内角和定理求出∠CAD 的度数根据∠BAC=∠BAD+∠CAD 求出∠BAC 的度数进而可得最大内角；②∠ADC=20° △ADC 为等腰三角形 ∠C 为顶角易得∠ABC=∠BAD+∠CAD=30° 据此得最大内角；③∠ADC=20° △ADC 为等腰三角形 ∠ADC 为顶角求出∠B 、∠C 、∠BAC 的度数进而可得最大内角.16．（2分）（2021八上·芜湖期末）一个等腰三角形的一边长为2 另一边长为9 则它的周长是．【答案】20【完整解答】解：分两种情况：当腰为2时 2＋2＜9 所以不能构成三角形；当腰为9时 2＋9＞9 所以能构成三角形周长是：2＋9＋9＝20．故答案为：20．【思路引导】利用三角形的三边关系根据等腰三角形的性质求解即可。

等腰锐角三角形的概念与性质经典练习题分类汇编

等腰锐角三角形的概念与性质经典练习题
分类汇编
等腰锐角三角形是指一个三角形的两条边长度相等，并且两条边夹角小于90度。

本文将对等腰锐角三角形的概念和性质进行汇编，并提供一些经典练题。

一、概念
等腰锐角三角形是一种特殊的三角形，其定义如下：
- 定义：一个三角形的两条边长度相等，并且两条边夹角小于90度，则称之为等腰锐角三角形。

二、性质
等腰锐角三角形具有以下性质：
1. 两边相等：等腰锐角三角形的两条边长度相等。

2. 夹角小于90度：等腰锐角三角形的两条边夹角小于90度。

3. 顶角：等腰锐角三角形的顶角大于0度，小于90度。

4. 对称性：等腰锐角三角形具有对称性，即通过等腰锐角三角
形的顶点可以画一条垂直于底边的中线，并且中线将顶角平分。

三、经典练题
以下是一些经典的练题，涵盖了等腰锐角三角形的概念和性质：
1. 在一个等腰锐角三角形ABC中，AB = AC，∠BAC = 60度，求∠ABC和∠ACB的大小。

2. 若一个等腰锐角三角形的顶角为30度，边长为5 cm，求底
边的长度。

3. 若一个等腰锐角三角形的底边长为8 cm，顶角为45度，求
斜边的长度。

4. 在一个等腰锐角三角形中，已知底边长度为10 cm，夹角为
45度，求另外两边的长度。

以上是等腰锐角三角形的概念与性质经典练题的分类汇编，这些练题可以帮助加深对等腰锐角三角形的理解和应用。

中考数学总复习——几何证明分类试题汇编

C ABD中考数学总复习——几何证明分类试题汇编三角形总复习题1、求证等腰三角形两腰上的高线相等（先画出图，再写出已知、求证和证明）。

2．求证：有两条高相等的三角形是等腰三角形（先画出图，再写出已知、求证和证明）1.如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。

(1)求DC 的长。

(2)求AB 的长。

2.如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。

ADEBC3．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？18．如图６，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD=BF ,AE =BC , 且 AE ∥BC ．E求证：（1）△AEF≌△BCD；(2)EF∥CD．4.如图，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，有下面四个论断：(1)AD=CB；(2)AE=CF；(3)∠B=∠D；(4)AD∥BC。

请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程.18．如图10，在△AFD 和△CEB 中，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上，有下面四个结断：①AD =CB ；②AE =CF ；③∠B =∠D ；④AD ∥BC ．请用其中三个作为条件，余下的一个作为结论编一道数学题，并证明结论成立．5.如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求AD 、CD 的长.CABEF D图6. 已知，如图，⊿ABC 中，∠A = 900，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE = AF ，求证：ED ⊥FD7.已知：如图，AB ＝AC ，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于D ，求证：BD ＝CE .DBCEF8.已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．9．如图：已知在ABC，D为BC边的中点，过点D作△中，AB AC，.⊥，⊥，垂足分别为E FDE AB DF AC（1）求证：BED CFD △≌△；（2）若90A ∠=°，求证：四边形DFAE 是正方形.10.如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线，BE ⊥AE ．（1）求证：DA ⊥AE ；（2）试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论．DCBE AFA BCD EF11. 已知，如图，O 是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的角平分线的交点，OD∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若12. 已知，如图⊿ABC 中，∠ACB 的平分线交AB 于E ，∠ACB 的补角∠ACD 的平分线为CG ，EG ∥BC 交AC 于F ，EF 会与FG 相等吗？为什么？C13.（2012临沂）如图，点A．F、C．D在同一直线上，点B和点E 分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．ADEF 14.（2012•恩施州）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，点D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 的中点．求证：四边形AEDF 是菱形．15．（2012•南通）（本小题满分10分）如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60º，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上．(1)如图1，若E 是BC 的中点，∠AEF ＝60º，求证：BE ＝DF ； (2)如图2，若∠EAF ＝60º，求证：△AEF 是等边三角形．16.（2011广东）如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE 。

各种等腰三角形难题(汇编)

各类等腰三角形难题例1. 在⊿ABC中,AB=AC,且∠A=20°,在为AB上一点,AD=BC,连接CD.试求:∠BDC的度数.分析:题中出现相等的线段,以此为突破口,构造全等三角形.解:作∠DAE=∠B=80°,使AE=BA,(点D,E在AC两侧)连接DE,CE.∵AE=BA;AD=BC;∠DAE=∠B.∴⊿DAE≌⊿CBA(SAS),DE=AE;∠DEA=∠BAC=20°.∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°,又AE=AB=AC.∴⊿AEC为等边三角形,DE=CE;∠DEC=∠AEC-∠DEA=40°. 则:∠CDE=70°;又∠ADE=80°.故∠ADC=150°,∠BDC=30°.例2.已知,如图:⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°.点D和E分别在AB,AC上,且∠BCD=50°,∠CBE=60°.试求∠DEB的度数.本题貌似简单,其实不然.解:过点E作BC的平行线,交AB于F,连接CF交BE于点G,连接DG.易知⊿GEF,⊿GBC均为等边三角形.∴∠FEG=∠EFG=60°;∠AFG=140°,∠DFG=40°;∵∠BCG=50°;∠CBD=60°.∴∠BDC=50°=∠BCD,则BD=BC=BG;又∠ABE=20°.故∠BGD=80°,∠DGF=180°-∠BGD-∠FGE=40°.即∠DGF=∠DFG,DF=DG;又EG=EF;DE=DE.∴⊿DGE≌⊿DFE(SSS),得:∠DEG=∠DEF=30°.所以,∠DEB=30°.例3.已知,等腰⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°,D和E分别为AB和AC上的点,且∠ABE=10°,∠ACD=20°.试求:∠DEB的度数.本题相对于上面两道来说,难度又增加了许多.且看我下面的解答.解:在CA上截取CM=CB,连接BM,DM,则∠CMB=∠CBM=50°.作DG∥BC,交AC于G,连接BG,交CD于F,连接FM.易知⊿BCF和⊿DGF为等边三角形,CM=CB=CF.∴∠CMF=∠CFM=80°,∠GMF=100°.∠GFM=∠GFC-∠CFM=40°;∠FGM=∠A+∠ABG=40°.即∠GFM=∠FGM;FM=GM;又∠DF=DG,DM=DM.则⊿DMF≌⊿DMG,∠DMG=∠DMF=50°.故∠DMC=130°=∠EMB;又∠DCM=∠EBM=20°.∴⊿DMC∽⊿EMB,DM/MC=EM/MB;又∠DME=∠BMC=50°.∴⊿DME∽⊿CMB,∠DEM=∠CBM=50°.又∠BEC=∠ABE+∠A=30°.所以,∠DEB=∠DEG-∠BEC=50°-30°=20°.例4.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。

2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题：38等腰(边)三角形

2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题：38等腰（边）三角形一、选择题1. （2012宁夏区3分）一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是【】A．13 B．17 C．22 D．17或22【答案】C。

【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。

【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形：①若4为腰长，9为底边长，由于4+4＜9，则三角形不存在；②9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边。

∴这个三角形的周长为9+9+4=22。

故选C。

2. （2012广东肇庆3分）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为【】A．16 B．18 C．20 D．16或20【答案】C。

【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。

【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；②当8为腰时，8-4＜8＜8+4，符合题意。

∴此三角形的周长=8+8+4=20。

故选C。

3. （2012江苏常州2分）已知三角形三边的长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为【】A.13B.17C.22D.17或22【答案】C。

【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。

【分析】由三角形三边的长分别为4，9，知三角形三边的长分别为4，4，9或4，9，9，但由于4，4，9与三角形的构成条件“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”不符，因此，三角形三边的长只能分别为4，9，9 ，周长为22。

故选C。

4. （2012江苏徐州3分）如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为【】A．9 B．7 C．12D．9或12【答案】C。

【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。

【分析】根据等腰三角形的性质，如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则另一边可能是2或5。

(全国120套)中考数学试卷分类汇编等腰三角形

等腰三角形2、(2013年临沂)如图，在平面直角坐标系中,点A 1 ， A 2在x 轴上，点B 1，B 2在y 轴上，其坐标分别为A 1(1，0),A 2(2,0),B 1(0,1)，B 2（0,2），分别以A 1A 2B 1B 2其中的任意两点与点．．O ．为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（A ） 3 4. (B) 1 3. (C) 23. (D) 12.答案：D解析：以A 1A 2B 1B 2其中的任意两点与点．．O ．为顶点作三角形，能作4个，其中A 1B 1O ，A 2B 2O 为等腰三角形，共2个，故概率为： 1 23、(2013年武汉)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是AC 边上的高，则∠DBC 的度数是（）A ．18°B ．24°C ．30°D ．36°第6题图DCBA答案：A解析：因为AB＝AC，所以，∠C＝∠ABC＝12（180°－36°）＝72°，又BD为高，所以，∠DBC＝90°72°＝18°4、（2013四川南充，3，3分）如图，△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是（）A.70°B. 55°C. 50°D. 40°答案：D解析：因为AB=AC，所以∠C＝∠B=70°，∠A=180°－70°－70°＝40°5、（2013•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为（）6、（2013•攀枝花）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）8、（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2 B．4 C．4 D．8考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC 中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF 的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．解答：解：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F为DC的中点，∴DF=CF，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，则AF=2AG=2，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF=EF，则AE=2AF=4．故选B点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．9、（2013•莱芜）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标10、（2013•德州）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（）13、（2013•淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）14、（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）=，，=，CD=，．15、（2013成都市）如图，在△ＡＢＣ中，B C∠=∠，AB=5,则AC的长为（）A.2B.3C.4D.5答案：D解析：由∠B＝∠C，得AC＝AB＝5（等角对等边），故选D16、（2013•宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（）17、（2013哈尔滨）如图，在ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为( )．(A)4 (B)3 (C) 52(D)2考点：平行四边形的性质及等腰三角形判定．分析：本题主要考查了平行四边形的性质：平边四边形的对边平行且相等；等腰三角形判定，两直线平行内错角相等；综合运用这三个性质是解题的关键解答：根据CECE 平分∠BCD 得∠BCE=∠ECD,AD ∥BC 得∠BCE=∠DEC 从而△DCE 为等腰三角形，ED=DC=AB,2AB=AD=AE+ED=3+AB,解得AB=3 故选B 18、（2013•毕节地区）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的20、（2013年广州市）如图5，四边形ABCD 是梯形，AD∥BC ，CA 是BCD ∠的平分线，且,4,6,AB AC AB AD ⊥==则tan B =（）A 114 D 4分析：先判断DA=DC，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，由等腰三角形的性质，可得点F是AC中点，继而可得EF是△CAB的中位线，继而得出EF、DF的长度，在Rt△ADF中求出AF，然后得出AC，tanB的值即可计算．解：∵CA是∠BCD的平分线，∴∠DCA=∠ACB，又∵AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，∵AB⊥AC，∴DE⊥AC（等腰三角形三线合一的性质），∴点F是AC中点，∴AF=CF，∴EF是△CAB的中位线，∴EF=AB=2，∵==1，∴EF=DF=2，在Rt△ADF中，AF==4，则AC=2AF=8，tanB===2．故选B．点评：本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，判断点F是AC中点，难度较大．21、（2013台湾、31）如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE 为平行四边形，其作法如下：（甲）连接BD、CE，两线段相交于P点，则P即为所求（乙）先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确考点：平行四边形的判定．分析：求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE的度数，根据平行四边形的判定判断即可．解答：解：甲正确，乙错误，理由是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是=108°，AB=BC=CD=DE=AE，∴∠DEC=∠DCE=×（180°﹣108°）=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°﹣36°=72°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣72°﹣72°=108°=∠A，∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确；∵∠BAE=108°，∴∠BAM=∠EAM=54°，∵AB=AE=AP，∴∠ABP=∠APB=×（180°﹣54°）=63°，∠AEP=∠APE=63°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣63°﹣63°≠108°，即∠ABP=∠AEP，∠BAE≠∠BPE，∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误；故选C．点评：本题考查了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．22、（2013台湾、20）如图，长方形ABCD中，M为CD中点，今以B、M为圆心，分别以BC 长、MC长为半径画弧，两弧相交于P点．若∠PBC=70°，则∠MPC的度数为何？（）A．20 B．35 C．40 D．55考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠BCP，然后求出∠MCP，再根据等边对等角求解即可．解答：解：∵以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点，∴BP=PC，MP=MC，∵∠PBC=70°，∴∠BCP=（180°﹣∠PBC）=（180°﹣70°）=55°，在长方形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠MCP=90°﹣∠BCP=90°﹣55°=35°，∴∠MPC=∠MCP=35°．故选B．点评：本题考查了矩形的四个角都是直角的性质，等腰三角形两底角相等的性质以及等边对等角，是基础题．23、（2013•滨州）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B=65°．为边长的等腰三角形的周长为 5 ．25、（2013•黄冈）已知反比例函数在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B 为x轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AO=AB，则S△AOB= 6 ．AC×CO=3，AC×BC=3，AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是12°．27、（2013•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．∴∠DBC=BD==DE=BD=故答案为：△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有8 个．29、（2013•荆门）若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为80°或50°．30、（2013凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．解答：解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．点评：本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．31、（2013•白银）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为6，4或5，5 ．32、（2013凉山州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：动点型．分析：当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论．解答：解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，∴OE=OD﹣DE=5﹣3=2，∴此时点P坐标为（2，4）；（2）如答图②所示，OP=OD=5．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE===3，∴此时点P坐标为（3，4）；（3）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，∴OE=OD+DE=5+3=8，∴此时点P坐标为（8，4）．综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．点评：本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用，符合题意的等腰三角形有三种情形，注意不要遗漏．33、（2013•牡丹江）劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为 2.4cm或cm ．==x=cm∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的有（）个．35、（2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=15 度．36、（2013•玉林）如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有 6 个，写出其中一个点P的坐标是（5，0）．37、（2013•宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为2a ．沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为．考点：平行四边形的性质；等腰直角三角形；翻折变换（折叠问题）．分析：如图，连接BB′．根据折叠的性质知△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=BE．又B′E是BD的中垂线，则DB′=BB′．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD=2，∴BE=BD=1．如图2，连接BB′．根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E．∴∠BEB′=90°，∴△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=BE=．又∵BE=DE，B′E⊥BD，∴DB′=BB′=．故答案是：．点评：本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质以及翻折变换（折叠的性质）．推知DB′=BB′是解题的关键．39、（2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= 12 ．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．40、(2013年江西省)如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为．【答案】25°.【考点解剖】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质．【解题思路】已知两个平行四边形的周长相等，且有公共边CD,则有AD=DE,即△ADE为等腰三角形，顶角∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°,∴∠DAE=25°．【解答过程】∵□ABCD与□DCFE的周长相等，且有公共边CD，∴AD=DE, ∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°.∴∠DAE=11(180)5025 22ADE︒-∠=⨯︒=︒.【方法规律】先要明确∠DAE的身份（为等腰三角形的底角），要求底角必须知道另一角的度数，分别将∠BAD=130°转化为∠BCD=130°,∠F=110°转化为∠DCF=70°,从而求得∠ADE=∠BCF=130°.【关键词】平行四边形等腰三角形周长求角度41、（2013•十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．，即，﹣；的长为43、（2013杭州）（1）先求解下列两题：①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，求k的值．（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．考点：等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：（1）①根据等边对等角可得∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，计算即可求解；②先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点B的坐标，再表示出点C的坐标，然后根据AC∥x轴可得点C、D的纵坐标相同，从而表示出点D的坐标，再代入反比例函数解析式进行计算即可得解．（2）从数学思想上考虑解答．解答：解：（1）①∵AB=BC=CD=DE，∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CB D，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，又∵∠EDM=84°，∴∠A+3∠A=84°，解得，∠A=21°；②∵点B在反比例函数y=图象上，点B，C的横坐标都是3，∴点B（3，），∵BC=3，∴点C（3， +2），∵AC∥x轴，点D在AC上，且横坐标为1，∴A（1， +2），∵点A也在反比例函数图象上，∴+2=k，解得，k=3；（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（开放题）点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，是基础题．44、（13年安徽省4分、14）已知矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2，将该纸片叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点（E、F是该矩形边界上的点），折叠后点A落在A，处，给出以下判断：（1）当四边形A，CDF为正方形时，EF=2（2）当EF=2时，四边形A，CDF为正方形（3）当EF=5时，四边形BA，CD为等腰梯形；（4）当四边形BA，CD为等腰梯形时，EF=5。

2021年中考数学二轮专题汇编：等腰三角形(含答案)

2021中考数学二轮专题汇编：等腰三角形一、选择题 1. 如图，等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD 上，∠EBC=45°，则∠ACE 等于 ( )A .15°B .30°C .45°D .60°2. 如K19-6，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为F .若∠ABC=35°，∠C=50°，则∠CDE 的度数为 ( )A .35°B .40°C .45°D .50°3. 如图，∠AOB ＝50°，OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA于点A ，MB ⊥OB 于点B ，则∠MAB 等于( )A ．50°B ．40°C ．25°4. (2019•广西)如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为A．40︒B．45︒C．50︒D．60︒5. （2020·玉林）如图，A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（）A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形6. （2020·绍兴）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC 绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠P AH的度数（）A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A. x－y2＝3B. 2x－y2＝9C. 3x－y2＝15D. 4x－y2＝218. （2020·烟台）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题9. 若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm ，则它的底边长为________ cm .10. （2020·襄阳）如图，在△ABC 中，AB ＝AD ＝DC ，∠BAD ＝20°，则∠C ＝__________°．DCB A11. 如图，AD 是△ABC 的边BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上) ①∠BAD ＝∠ACD ②∠BAD ＝∠CAD③ AB ＋BD ＝AC ＋CD ④ AB －BD ＝AC －CD12. （2020·营口）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 和点F 分别是线段AD 和AB 上的两个动点，连接CE ，EF ，则CE +EF 的最小值为．EFA13. 如图，BO 平分∠CBA ，CO 平分∠ACB ，MN 过点O 且MN ∥BC ，设AB ＝12，AC ＝18，则△AMN 的周长为________．14. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．15. (2019•哈尔滨)在ABC△中，50A∠=︒，30B∠=︒，点D在AB边上，连接CD，若ACD△为直角三角形，则BCD∠的度数为__________．16. （2020·聊城）如图，在直角坐标系中，点A(1，1)，B(3，3)是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为．三、解答题17. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.(1)若∠C=42°，求∠BAD的度数;(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.18. 已知：如图，B，E，F，C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B ＝∠C.求证：OA＝OD.ODABCxy19. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.20. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD=CE.求证:(1)点D在BE的垂直平分线上;(2)∠BEC=3∠ABE.21. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，连接AC交DE于点M.(1)求证：AD＝BE；(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；(3)△DBC是等腰三角形吗？说明理由．22. 如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．(1)求证：△APE是等腰直角三角形；(2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值．23. (1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是BC的中点，若AE是∠BAD 的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系.解决此问题可以用如下方法:延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断.AB，AD，DC之间的等量关系为;(2)问题探究:如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论.①②24. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5 cm，BC＝6 cm，AD是BC边上的高．点P由C出发沿CA方向匀速运动．速度为1 cm/s.同时，直线EF由BC出发沿DA方向匀速运动，速度为1 cm/s，EF//BC，并且EF分别交AB、AD、AC于点E，Q，F，连接PQ.若设运动时间为t(s)(0＜t ＜4)，解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形BDFE是平行四边形？(2)设四边形QDCP的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使点Q在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出此时点F到直线PQ的距离h；若不存在，请说明理由．2021中考数学二轮专题汇编：等腰三角形-答案一、选择题1. 【答案】A[解析]∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD，AD是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴∠ECA=60°-45°=15°.2. 【答案】C[解析]因为BD平分∠ABC，AE⊥BD，BF=BF，所以△ABF≌△EBF，易得BD是线段AE的垂直平分线，∠BAF=∠BEF，所以AD=ED，所以∠DEA=∠DAE，所以∠BAD=∠BED=180°-35°-50°=95°，所以∠CDE=∠BED-∠C=95°-50°=45°，故选C.3. 【答案】C[解析] ∵OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，∴∠AOM＝∠BOM＝25°，MA＝MB.∴∠OMA＝∠OMB＝65°.∴∠AMB＝130°.∴∠MAB＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.4. 【答案】C【解析】由作法得CG AB ⊥，∵AB AC =，∴CG 平分ACB ∠，A B ∠=∠，∵1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒，∴1502BCG ACB ∠=∠=︒．故选C ．5. 【答案】A【解析】如图所示：∵C 岛在A 岛的北偏东35°方向，∴∠CAD ＝35°， ∵B 岛在A 岛的北偏东80°方向，∴∠BAD ＝80°，∴∠CAB ＝∠BAD －∠CAD ＝45°，∵C 岛在B 岛北偏西55°方向，∴∠CBE ＝55°，又∵DA ∥EB ，∴∠ABE ＋∠BAD ＝180°，∴∠ABE ＝100°， ∵∠CBE ＝55°，∴∠CBA ＝100°－55°＝45°，∴∠CBA ＝∠CAB ，∴CA ＝CB ，在△ABC 中，∴∠C ＝180°－∠ABC －∠CAB ＝180°－45°－45°＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形，故选：C ． 6. 【答案】C【解析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，旋转的性质．由旋转得BC=BP=BA ，∴△BCP 和△ABP 均是等腰三角形.在△BCP 中，∠CBP=θ，BC=BP ，∴∠BPC=90°-12θ.在△ABP 中，∠ABP=90°-θ，同理得∠APB=45°+12θ，∴∠APC=∠BPC +∠APB =135°，又∵∠AHC=90°，∴∠PAH=45°，即其度数是个定值，不变．因此本题选C ．7. 【答案】B 【解析】连接DE ，过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，过E 作EG ⊥BC ，垂足为G .∵AB ＝AC ，AF ⊥BC ，BC ＝12，∴BF ＝FC ＝6，又∵E 是AC 的中点，EG ⊥BC ，∴EG ∥AF ，∴CG ＝FG ＝12CF ＝3，∵在Rt △CEG 中，tan C ＝EGCG ，∴EG ＝CG×tan C ＝3y ；∴DG ＝BF ＋FG －BD ＝6＋3－x ＝9－x ，∵HD 是BE 的垂直平分线，∴BD ＝DE ＝x ，∵在Rt △EGD 中，由勾股定理得，ED 2＝DG 2＋EG 2，∴x 2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x －y 2＝9.8. 【答案】最小的等腰直角三角形的面积42＝1（cm 2），平行四边形面积为2cm 2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm 2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，则A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2），不符合题意；B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2），不符合题意；C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），不符合题意；D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2），符合题意．故选：D．二、填空题9. 【答案】23【解析】如解图，由已知得，∠B＝∠C＝12(180°－120°)＝30°，AB＝2，∴底边长为：BC＝2BD＝2AB·cos30°＝23(cm)．10. 【答案】40．【解析】∵AB＝AD＝DC，∴∠ABD＝∠ADB，∠DAC＝∠C．∵∠BAD＝20°，∴∠ADB＝180202︒-︒＝80°．又∵∠ADB＝∠DAC＋∠C，∴∠C＝12∠ADB＝40°．故答案为40．序号正误逐项分析①×△BAD与△ACD中，虽有两角和一边相等，但不是对应关系的角和边，所以不能判定两三角形全等，因而也就不能得出AB＝AC②√∠BAD＝∠CAD结合AD是△ABC的边BC上的高，可得∠B＝∠C，所以AB＝AC，因而△ABC是等腰三角形③√由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB＋BD＝AC＋CD ，得AB－BD＝AC－CD ，两式相加得2AB＝2AC，所以，AB＝AC，得△ABC是等腰三角形④√由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB－BD＝AC－CD ，得AB＋BD＝AC＋CD ，两式相加得2AB＝2AC，所以AB＝AC，得△ABC是等腰三角形12. 【答案】33【解析】如图1，根据两点之间线段最短，可得CE+EF≥CF，又根据垂线段最短可得，当CF⊥AB时，CF有最小值，此时CF与AD的交点即为点E（如图2），在R t △AFC 中，AC=6，∠AFC=90°，∠FAC=60°，∴FC=AC·sin 60°=6×32=33．13. 【答案】30[解析] ∵MN ∥BC ，∴∠MOB ＝∠OBC.∵∠OBM ＝∠OBC ， ∴∠MOB ＝∠OBM. ∴MO ＝MB.同理NO ＝NC. ∴△AMN 的周长＝AM ＋MO ＋AN ＋NO ＝AM ＋MB ＋AN ＋NC＝AB ＋AC＝30.14. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.15. 【答案】60︒或10︒【解析】分两种情况： ①如图1，当90ADC ∠=︒时，∵30B ∠=︒，∴903060BCD ∠=︒-︒=︒； ②如图2，当90ACD ∠=︒时，DEFAFE D图1图2∵50A ∠=︒，30B ∠=︒，∴1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒，∴1009010BCD ∠=︒-︒=︒，综上，则BCD ∠的度数为60︒或10︒．故答案为：60︒或10︒．16. 【答案】4＋25【解析】先求点C 的坐标，再利用最短路径知识确定D 点位置，最后求四边形ACBD 的最小周长即可．由点A 与点C 的纵坐标均为1，可知AC ∥x 轴，又点A ，B 是第一象限角平分线上的两点，∴∠BAC ＝45°，又∵CA ＝CB ，∴∠CBA ＝45°，∴AC ⊥BC ，∴C(3，1)，则AC ＝BC ＝2．如图，作点A 关于y 轴的对称点E ，连接BE 交y 轴于点D ，此时AD ＋BD 的值最小，为线段BE 的长．由轴对称性可知AE=2，则EC=4．在R t △BCE 中，根据勾股定理，得BE ＝22EC BC +＝2242+＝25．∴四边形ACBD 的最小周长为2＋2＋25＝4＋25．三、解答题17. 【答案】解:(1)(方法一):∵AB=AC ，∠C=42°，∴∠B=∠C=42°，∴∠BAC=180°-∠B -∠C=180°-42°-42°=96°.∵AD ⊥BC ，OD A BC xyE∴∠BAD=∠BAC=×96°=48°.(方法二):∵AB=AC ，∠C=42°，∴∠B=∠C=42°.∵AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°-90°-42°=48°.(2)证明:∵EF ∥AC ，∴∠CAF=∠F ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴∠CAF=∠BAF ，∴∠F=∠BAF ，∴AE=FE.18. 【答案】证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE.在△ABF 和△DCE 中，⎩⎨⎧AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，BF ＝CE ，∴△ABF ≌△DCE.∴AF ＝DE ，∠AFB ＝∠DEC.∴OF ＝OE.∴AF －OF ＝DE －OE ，即OA ＝OD.19. 【答案】解:(1)证明:∵CF ∥AB ，∴∠B=∠FCD ，∠BED=∠F .∵AD 是BC 边上的中线，∴BD=CD ，∴△BDE ≌△CDF .(2)∵△BDE ≌△CDF ，∴BE=CF=2，∴AB=AE +BE=1+2=3.∵AD ⊥BC ，BD=CD ， ∴AC=AB=3.20. 【答案】证明:(1)如图，连接DE.∵CD 是AB 边上的高，∴CD ⊥AB.∴∠ADC=90°.∵AE=CE ，∴DE=AC=CE=AE.∵BD=CE ，∴DE=BD.∴点D 在线段BE 的垂直平分线上.(2)∵BD=DE ，∴∠ADE=2∠ABE.∵DE=AE ，∴∠A=∠ADE=2∠ABE.∴∠BEC=∠ABE +∠A=3∠ABE.21. 【答案】解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠ABD ＋∠DBC ＝90°.∵CE ⊥BD ，∴∠BCE ＋∠DBC ＝90°.∴∠ABD ＝∠BCE.在△DAB 和△EBC 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠BCE ，AB ＝BC ，∠DAB ＝∠EBC ＝90°，∴△DAB ≌△EBC(ASA)．∴AD ＝BE.(2)证明：∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE.∵BE ＝AD ，∴AE ＝AD.∴点A 在线段ED 的垂直平分线上．∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＝∠BCA ＝45°.∵∠BAD ＝90°，∴∠BAC ＝∠DAC ＝45°.在△EAC 和△DAC 中，⎩⎨⎧AE ＝AD ，∠EAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△EAC ≌△DAC(SAS)．∴CE ＝CD.∴点C 在线段ED 的垂直平分线上．∴AC 是线段ED 的垂直平分线．(3)△DBC 是等腰三角形．理由：由(1)知△DAB ≌△EBC ，∴BD ＝CE.由(2)知CE ＝CD.∴BD ＝CD.∴△DBC 是等腰三角形．22. 【答案】【思路分析】(1)因为PE 是直径，所以∠PAE ＝90°，要证△PAE 是等腰直角三角形，只要证PA ＝EA ，由已知得∠PBA ＝45°，而∠PEA 与∠PBA 是同弧所对的圆周角，所以∠PEA ＝∠PBA ，问题得证；(2)由(1)得△PAC ≌△EAB ，所以PC ＝BE ，因为PE 是直径，所以∠PBE ＝90°，所以PC 2＋PB 2＝BE 2＋PB 2＝PE 2＝4.解图(1)证明：如解图，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC ＝AB ，∠CAB ＝90°，∠PBA ＝45°，∵在⊙O 中，∠PEA 与∠PBA 都是AP ︵所对的圆周角，∴∠PEA ＝∠PBA ＝45°，∵PE 为⊙O 的直径，∴∠PAE ＝90°，(4分)∴△PAE 为等腰直角三角形且AP ＝AE ；(5分)(2)∵∠PAE ＝∠CAB ＝90°，∴∠CAB －∠PAB ＝∠PAE －∠PAB ，∴∠CAP ＝∠BAE ，∴△CAP ≌△BAE(SAS )，(8分)∠C ＝∠ABE ＝45°，∠PBE ＝∠PBA ＋∠ABE ＝90°(10分)在Rt △PBE 中，PC 2＋PB 2＝PE 2＝4.(12分)23. 【答案】解:(1)AD=AB +DC[解析]延长AE 交DC 的延长线于点F ，∵AB ∥DC ，∴∠BAF=∠F .∵E 是BC 的中点，∴CE=BE.在△AEB 和△FEC 中，∴△AEB ≌△FEC ，∴AB=FC.∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠DAF=∠BAF ，∴∠DAF=∠F ，∴DF=AD ，∴AD=DC +CF=DC +AB.故答案为:AD=AB +DC.(2)AB=AF +CF .证明:如图，延长AE 交DF 的延长线于点G ，∵E 是BC 的中点，∴CE=BE ，∵AB ∥DC ，∴∠BAE=∠G .在△AEB 和△GEC 中， ∴△AEB ≌△GEC ，∴AB=GC.∵AE 是∠BAF 的平分线，∴∠BAG=∠F AG ，∴∠F AG=∠G ，∴F A=FG ，∴AB=CG=AF +CF .24. 【答案】(1)如解图①，连接DF ，解图①∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝3，在Rt △ABD 中AD ＝52－32＝4，∵EF //BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF BC ＝AQ AD ，∴EF 6＝4－t 4，∴EF ＝32(4－t )，∵EF //BD ，∴当EF ＝BD 时，四边形EFDB 是平行四边形， ∴32(4－t )＝3， ∴t ＝2，∴当t ＝2s 时，四边形EFDB 是平行四边形；(2)如解图②，作PN ⊥AD 于N ，解图②∵PN //DC ，∴PN DC ＝AP AC ，∴PN 3＝5－t 5，∴PN ＝35(5－t )，∴y ＝12DC ·AD －12AQ ·PN＝6－12(4－t ) ·35(5－t )＝6－(310t 2－2710t ＋6)＝－310t 2＋2710t (0＜t ＜4)；(3)存在．理由如下：如解图③，作QN ⊥AC 于N ，作FH ⊥PQ 于H .解图③∵当QN 为AP 的垂直平分线时QA ＝QP ，QN ⊥AP ，∴AN ＝NP ＝12AP ＝12(5－t )，由题意cos ∠CAD ＝AD AC ＝AN AQ ，∴12（5－t ）4－t＝45，∴t ＝73， ∴当t ＝73s 时，点Q 在线段AP 的垂直平分线上．∵sin ∠FPH ＝FH PF ＝sin ∠CAD ＝35，∵P A ＝5－73＝83，AF ＝AQ ÷45＝2512， ∴PF ＝712，∴FH ＝720.∴点F 到直线PQ 的距离h ＝720(cm)．。

等腰三角形与等边三角形(优选真题60道)三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编(全国通用)

三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）等腰三角形与等边三角形（优选真题60道）一．选择题（共30小题）1．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m【分析】作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B＝∠C=12（180°﹣∠BAC）＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C=12（180°﹣∠BAC30°，又∵AD⊥BC，∴AD=12AB=12×12＝6（m），故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题关键是掌握30度角所对的直角边是斜边的一半．2．（2023•内蒙古）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（）A．32°B．58°C．74°D．75°【分析】由CA ＝CB 可得△ABC 是等腰三角形，从而可求∠CBA 的大小，再结合平行线的性质即可解答．【解答】解：∵CA ＝CB ，∴△ABC 是等腰三角形，∴∠CBA ＝∠CAB ＝（180°﹣32°）÷2＝74°，∵a ∥b ，∴∠2＝∠CBA ＝74°．故选：C ．【点评】本题考查等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练掌握性质是解题关键．3．（2023•菏泽）△ABC 的三边长a ，b ，c 满足（a ﹣b ）2+√2a −b −3+|c ﹣3√2|＝0，则△ABC 是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形【分析】由等式可分别得到关于a 、b 、c 的等式，从而分别计算得到a 、b 、c 的值，再由 a 2+b 2＝c 2 的关系，可推导得到△ABC 为直角三角形．【解答】解：由题意得{a −b =02a −b −3=0c −3√2=0，解得{a =3b =3c =3√2，∵a 2+b 2＝c 2，且a ＝b ，∴△ABC 为等腰直角三角形，故选：D ．【点评】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理．4．（2023•河北）在△ABC 和△A 'B 'C ′中，∠B ＝∠B '＝30°，AB ＝A 'B '＝6，AC ＝A 'C ′＝4，已知∠C ＝n °，则∠C ′＝（）A ．30°B ．n °C ．n °或180°﹣n °D ．30°或150°【分析】分两种情况讨论，当BC ＝B ′C ′时，则△ABC ≌△A ′B ′C ′，得出∠C ′＝∠C ＝n °，当BC ≠B ′C ′时，如图，利用等腰三角形的性质求得∠A ′C ″C ′＝∠C ′＝n °，从而求得∠A ′C ″B ′＝180°﹣n °．【解答】解：当BC ＝B ′C ′时，△ABC ≌△A ′B ′C ′（SSS ），∴∠C ′＝∠C ＝n °，当BC≠B′C′时，如图，∵A′C′＝A′C″，∴∠A′C″C′＝∠C′＝n°，∴∠A′C″B′＝180°﹣n°，∴∠C′＝n°或180°﹣n°，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键．5．（2023•滨州）已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP 为边的三角形中，最小内角的大小为（）A．14°B．16°C．24°D．26°【分析】过点P作PD∥AB交AC于点D，过点PE∥AC交AB于点E，四边形AEPD为平行四边形，根据平行线的性质易得△CDP为等边三角形，△BEP为等边三角形，则CP＝DP＝AE，BP＝EP，因此△AEP 就是以线段AP，BP，CP AEP的三个内角即可求解．【解答】解：如图，过点P作PD∥AB交AC于点D，过点PE∥AC交AB于点E，则四边形AEPD为平行四边形，∴DP＝AE，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，∵PD∥AB，∴∠CPD＝∠B＝60°，∠CDP＝∠BAC＝60°，∴△CDP为等边三角形，∴CP＝DP＝CD，∴CP＝DP＝AE，∵PE∥AC，∴∠BEP＝∠BAC＝60°，∠BPE＝∠C＝60°，∴△BEP为等边三角形，∴BP＝EP＝BE，∴△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形，∵∠APC＝104°，∴∠APB＝180°﹣∠APC＝76°，∴∠APE＝∠APB﹣∠BPE＝16°，∠P AE＝∠APC﹣∠B＝44°，∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，∴以线段AP，BP，CP为边的三角形的三个内角分别为16°、44°、120°，∴最小内角的大小为16°．故选：B．角性质，根据题意正确画出图形，推理论证得到△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形是解题关键．6．（2023•河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC 为等腰三角形时，对角线AC的长为（）A．2B．3C．4D．5【分析】分两种情况，由三角形的三边关系定理：三角形两边的和大于第三边，即可解决问题．【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，∴AB＝AC或AC＝BC，当AC＝BC＝4时，AD+CD＝AC＝4，此时不满足三角形三边关系定理，当AC＝AB＝3时．满足三角形三边关系定理，∴AC＝3．故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，关键是掌握三角形的三边关系定理．7．（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，根据等边三角形三线合一可得∠CBD＝30°，再根据作图可知BD＝ED，进一步可得∠DEC的度数．【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，∵BD是AC边上的高，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD=12∠ABC＝30°，∵BD＝ED，∴∠DEC＝∠CBD＝30°，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．8．（2023•眉山）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（）A．70°B．100°C．110°D．140°【分析】根据等边对等角得到∠B＝∠ACB，利用三角形内角和定理求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠ACB=180°−∠A2=180°−40°2=70°，∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，故选：C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质：等边对等角．9．（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：如图，∵AB＝BC，∠C＝25°，∴∠C＝∠BAC＝25°，∵l1∥l2，∠1＝60°，∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，∵∠BEA＝∠C+∠2，∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形外角的性质，解决问题的关键是注意运用两直线平行，同旁内角互补．10．（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．23°B．25°C．27°D．30°【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C ＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C=12∠DFE=12×50°＝25°，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟记等腰三角形的性质、平行线的性质是解题的关键．11．（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3B．∠1＝∠2，∠1＞∠3C．∠1≠∠2，∠1＜∠3D．∠1≠∠2，∠1＞∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE为AB的中垂线，∴∠BDE＝∠ADE，BE＝AE，∴∠B＝∠BAE，∴∠1＝∠2，∵∠EAC＞90°，∴∠3+∠C＜90°，∵∠B+∠1＝90°，∠B＝∠C，∴∠1＞∠3，∴∠1＝∠2，∠1＞∠3，故选：B．本题的关键．12．（2022•荆州）如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．90°【分析】过点C作CD∥l1，利用平行线的性质可得∠1+∠2＝∠ACB，再由等腰三角形的性质可得∠ACB ＝∠ABC，从而可求解．【解答】解：过点C作CD∥l1，如图，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥CD，∴∠1＝∠BCD，∠2＝∠ACD，∴∠1+∠2＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠BAC＝40°，∴∠ACB=12（180°﹣∠BAC）＝70°，∴∠1+∠2＝70°．故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，解答的关键是由平行线的性质得∠1+∠2＝∠ACB．13．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当3cm，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．14．（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB ＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（）A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解答】解：设AB与x轴交于点C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC=12AB＝3，由勾股定理得：OC=√OA2−AC2=√52−32=4，∴点A的坐标为（4，3），故选：D．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．15．（2022•海南）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．140°【分析】先根据等边三角形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由三角形外角的性质可得∠AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°．对于△AEF，∵∠1＝∠A+∠AEF＝140°，∴∠AEF＝140°﹣60°＝80°，∴∠DEB＝∠AEF＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：B．【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．16．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39°B．40°C．49°D．51°【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD=12∠ACB＝39°．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大．17．（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【分析】设底角的度数是x °，则顶角的度数为（2x +20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设底角的度数是x °，则顶角的度数为（2x +20）°，根据题意得：x +x +2x +20＝180，解得：x ＝40，故选：B ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，考查了方程思想，掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键．18．（2021•青海）已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b 满足√2a −3b +5+（2a +3b ﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（）A ．8B ．6或8C ．7D ．7或8【分析】首先根据√2a −3b +5+（2a +3b ﹣13）2＝0，并根据非负数的性质列方程组求得a 、b 的值，然后求得等腰三角形的周长即可．【解答】解：∵√2a −3b +5+（2a +3b ﹣13）2＝0，∴{2a −3b +5=02a +3b −13=0，解得：{a =2b =3，当b ，2，3，周长为7；当a 为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8，∴等腰三角形的周长为7或8．故选：D ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理、二元一次方程方程组，关键是根据2，3分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．19．（2021•赤峰）如图，AB ∥CD ，点E 在线段BC 上，CD ＝CE ．若∠ABC ＝30°，则∠D 的度数为（）A ．85°B ．75°C ．65°D ．30°【分析】先由AB∥CD，得∠C＝∠ABC＝30°，CD＝CE，得∠D＝∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，从而求出∠D．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝30°，又∵CD＝CE，∴∠D＝∠CED，∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，∴∠D＝75°．故选：B．【点评】此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD＝CE得出∠D＝∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．20．（2021•广西）如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC＝30°，则OD的长是（）A．√2B．√3C．2D．3【分析】连接OA，证明△【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠ACO＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC为等边三角形，∵OC⊥AB，∴OD=12OC＝2，故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．21．（2021•辽宁）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（）A．√3+1B．√5+3C．√5+1D．4【分析】由题意得BE是∠ABC的平分线，再由等腰三角形的性质得BE⊥AC，AE＝CE=12AC＝1，由勾股定理得BC=√5，然后由直角三角形斜边上的中线性质得EF=12BC＝BF＝CF，求解即可．【解答】解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE=12AC＝1，∴∠BEC＝90°，∴BC=√BE2+CE2=√22+12=√5，∵点F为BC的中点，∴EF=12BC＝BF＝CF，∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE=√5+1，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、尺规作图等知识；熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质，证出EF=12BC＝BF＝CF是解题的关键．22．（2021•益阳）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（）A．40°B．30°C．20°D．15°【分析】根据平行线的性质可得∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，由△ACE为等边三角形得∠ECA＝∠EAC＝60°，即可得出∠EAB的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，∵△ACE为等边三角形，∴∠ECA＝∠EAC＝60°，∴∠EAB＝180°﹣40°﹣60°﹣60°＝20°．故选：C．【点评】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，根据等边三角形的性质得出∠ECA＝∠EAC＝60°是解题的关键．23．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠A+∠3+∠2＝180°，∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°．故选：A．【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质．24．（2022•绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（）A．是轴对称图形B．对称轴的交点是其重心C．是中心对称图形D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合【分析】根据等边三角形的性质，轴对称图形的定义，中心对称图形的定义进行判断即可．【解答】解：等边三角形是轴对称图形，每条边的高线所在的直线是其对称轴，故A选项不符合题意；三条高线的交点为等边三角形的重心，∴对称轴的交点是其重心，故B选项不符合题意；等边三角形不是中心对称图形，故C选项符合题意；等边三角形绕重心顺时针旋转120°能与自身重合，故D选项不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的性质，轴对称图形，中心对称图形等，熟练掌握这些知识是解题的关键．25．（2023•台湾）如图，△ABC 中，D 点在BC 上，且BD 的中垂线与AB 相交于E 点，CD 的中垂线与AC 相交于F 点，已知△ABC 的三个内角皆不相等，根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确（）A ．∠1＝∠3，∠2＝∠4B ．∠1＝∠3，∠2≠∠4C ．∠1≠∠3，∠2＝∠4D ．∠1≠∠3，∠2≠∠4【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝ED ，FD ＝FC ，得到∠B ＝∠EDB ，∠FDC ＝∠C ，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵BD 的中垂线与AB 相交于E 点，CD 的中垂线与AC 相交于F 点，∴EB ＝ED ，FD ＝FC ，∴∠B ＝∠EDB ，∠FDC ＝∠C ，∵∠1＝∠B +∠EDB ，∠3＝∠FDC +∠C ，∠B ≠∠C ，∴∠1≠∠3，∵∠4＝180°﹣∠B ﹣∠C ，∠2＝180°﹣∠EDB +∠FDC ，∴∠2＝∠4，综上所述：∠1≠∠3，∠2＝∠故选：C ．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．26．（2022•宜昌）如图，在△ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若AB ＝7，AC ＝12，BC ＝6，则△ABD 的周长为（）A ．25B ．22C ．19D ．18【分析】根据题意可知MN 垂直平分BC ，即可得到DB ＝DC ，然后即可得到AB +BD +AD ＝AB +DC +AD ＝AB +AC ，从而可以求得△ABD 的周长．【解答】解：由题意可得，MN 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ，∵△ABD 的周长是AB +BD +AD ，∴AB +BD +AD ＝AB +DC +AD ＝AB +AC ，∵AB ＝7，AC ＝12，∴AB +AC ＝19，∴△ABD 的周长是19，故选：C ．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．27．（2022•湖北）如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，连接AC ，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于点M ，N ，直线MN 分别交AD ，BC 于点E ，F ．下列结论：①四边形AECF 是菱形；②∠AFB ＝2∠ACB ；③AC •EF ＝CF •CD ；④若AF 平分∠BAC ，则CF ＝2BF ．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF 垂直平分AC ，在△AOE 和△COF 中，{∠EAO =∠FCOAO =CO ∠AOE =∠COF =90°，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴OE ＝OF ，∴AE ＝AF ＝CF ＝CE ，即四边形AECF 是菱形，故①结论正确；∵∠AFB ＝∠F AO +∠ACB ，AF ＝FC ，∴∠F AO ＝∠ACB ，∴∠AFB ＝2∠ACB ，故②结论正确；∵S 四边形AECF ＝CF •CD =12AC •OE ×2=12AC •EF ，故③结论不正确；若AF 平分∠BAC ，则∠BAF ＝∠F AC ＝∠CAD =13×90°＝30°，∴AF ＝2BF ，∵CF ＝AF ，∴CF ＝2BF ，故④结论正确；故选：B ．【点评】本题主要考查长方形的综合题，熟练掌握长方形的性质，基本作图，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．28．（2021•梧州）如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（）A．10.5B．12C．15D．18【分析】由DE是△ABC的边BC的垂直平分线，可得DB＝DC，则所求△ACD的周长＝AB+AC，再将已知代入即可．【解答】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴△ACD的周长＝AD+AC+CD＝AD+BD+AC＝AB+AC，∵AB＝9，AC＝6，∴△ACD的周长＝9+6＝15，故选：C．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．29．（2021•河北）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m 的对称点分别是点P1，P2，则1，P2之间的距离可能是（）A．0B．5C．6D．7【分析】由对称得OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，OP1+OP2＞P1P2，0＜P 1P 2＜5.6，故选：B ．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，解本题的关键熟练掌握对称性和三角形边长的关系．30．（2021•淮安）如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，连接AE ，若AE ＝4，EC ＝2，则BC 的长是（）A ．2B ．4C ．6D ．8【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝EA ＝4，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵DE 是AB 的垂直平分线，AE ＝4，∴EB ＝EA ＝4，∴BC ＝EB +EC ＝4+2＝6，故选：C ．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．二．填空题（共23小题）31．（2023•吉林）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ．分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，作直线AD 交BC 于点E ．若∠BAC ＝110°，则∠BAE 的大小为度．【分析】根据尺规作图可得AE 是BC 的垂直平分线，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AE 是∠BAC 的角平分线，从而可求∠BAE 得大小．【解答】解：∵AB ＝AC ．∴△ABC 是等腰三角形，∵分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，作直线AD 交BC 于点E ． ∴AE 垂直平分BC ，∴AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE =12∠BAC ＝55°．故答案为：55°．【点评】本题考查等腰三角形的性质和尺规作图，熟练掌握垂直平分线的作法是解题关键．32．（2023•江西）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B ，C 表示的刻度分别为1cm ，3cm ，则线段AB 的长为 cm ．【分析】先由平行线的性质可得∠ACB 的度数，根据等边三角形的判定和性质定理可得AB ＝BC ，则可得出AB 的长．【解答】解：∵直尺的两对边相互平行，∴∠ACB ＝∠α＝60°，∵∠A ＝60°，∴∠ABC ＝180°﹣∠ACB ﹣∠A ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠A ＝∠ABC ＝∠ACB ，∴△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝3﹣1＝2（cm ）．故答案为：2．【点评】此题主要是考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，能够得出AB＝BC是解答此题的关键．33．（2023•新疆）如图，在△ABC中，若AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，则∠C＝°．【分析】由等腰三角形的性质可知∠C＝∠B＝∠BAD，利用三角形内角和定理得出180°﹣2∠C＝24°+∠C，解得∠C＝52°．【解答】解：∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠BAD，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝∠CAD+∠BAD，∴180°﹣2∠C＝24°+∠C，∴∠C＝52°，故答案为：52．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．34．（2023•重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为．【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，在Rt△ABD中，根据勾股定理即可求出AD的长．【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AB＝5，BC＝6，∴BD＝CD＝3，在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD=√AB2−BD2=√52−32=4，故答案为：4．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，涉及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．35．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是．【分析】取AB的中点D，连接OD及DC，根据三角形的三边关系得到OC小于等于OD+DC，只有当O、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD，由等边三角形的边长为2，根据D为AB中点，得到BD为1，根据三线合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD 等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC+OD，即为OC的最大值．【解答】解：取AB中点D，连OD，DC，∴OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，∵△ABC为等边三角形，D为AB中点，∴BD＝1，BC＝2，∴CD=√BC2−BD2=√3，∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD=12AB＝1，∴OD +CD ＝1+√3，即OC 的最大值为1+√3．故答案为：1+√3．【点评】本题考查了等边三角形的性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，其中找出OC 最大时的长为CD +OD 是解本题的关键．36．（2023•沙依巴克区模拟）已知：一等腰三角形的两边长x 、y 满足方程组{2x −y =33x +2y =8，则此等腰三角形的周长为．【分析】先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案．【解答】解：解方程组 {2x −y =33x +2y =8得 {x =2y =1. 所以，等腰三角形的两边长为2，1．若腰长为1，底边长为2，由1+1＝2知，这样的三角形不存在．若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5．所以这个等腰三角形的周长为5．故答案为：5．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．37．（2022•云南）已知△ABC 是等腰三角形．若∠A ＝40°，则△ABC 的顶角度数是．【分析】分∠A 是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【解答】解：当∠A 是顶角时，△ABC 的顶角度数是40°；当∠A 是底角时，则△ABC 的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；综上，△ABC 的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．38．（2022•广安）若（a ﹣3）2+√b −5=0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为．【分析】先求a ，b ．再求第三边c 即可．【解答】解：∵（a ﹣3）2+√b −5=0，（a ﹣3）2≥0，√b −5≥0，∴a ﹣3＝0，b ﹣5＝0，∴a ＝3，b ＝5，设三角形的第三边为c ，当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，故答案为：11或13．【点评】本题考查等腰三角形周长计算，求出a，b后确定腰和底是求解本题的关键．39．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：6．的和大于第三边．40．（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解答】解：∵AB＝AC且∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C=12（180°﹣∠BAC）=12×60°＝30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等的性质是解题的关键．41．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD ＝CE ＝2，则△ABP 的周长为．【分析】根据SAS 证△ABD ≌△BCE ，得出∠APB ＝120°，在CB 上取一点F 使CF ＝CE ＝2，则BF ＝BC ﹣CF ＝4，证△APB ∽△BFE ，根据比例关系设BP ＝x ，则AP ＝2x ，作BH ⊥AD 延长线于H ，利用勾股定理列方程求解即可得出BP 和AP 的长．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠C ＝60°，在△ABD 和△BCE 中，{AB =BC∠ABD =∠C BD =CE∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠BAD ＝∠CBE ，∴∠APE ＝∠ABP +∠BAD ＝∠ABP +∠CBE ＝∠ABD ＝60°，∴∠APB ＝120°，在CB 上取一点F 使CF ＝CE ＝2，则BF ＝BC ﹣CF ＝4，∴∠C ＝60°，∴△CEF 是等边三角形，∴∠BFE ＝120°，即∠APB ＝∠BFE ，∴△APB ∽△BFE ，∴AP BP =BF EF =42=2，设BP ＝x ，则AP ＝2x ，作BH ⊥AD 延长线于H ，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH=x2，BH=√32x，∴AH＝AP+PH＝2x+x2=52x，在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，即（52x）2+（√32x）2＝62，解得x=6√77或−6√77（舍去），∴AP=12√77，BP=6√77，∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6+12√77+6√77=6+18√77=42+18√77，故答案为：42+18√77．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．42．（2021•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF．若∠CFE＝72°，则∠B＝°．【分析】根据等边对等角可得∠A＝∠AEF，再根据∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，求出∠A的度数，最后根据在Rt△ABC中，∠C＝90°，即可求出∠B的度数．【解答】解：∵AF＝EF，∴∠A＝∠AEF，∵∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，∴∠A=12×72°＝36°，在Rt△ABC中，∠A＝36°，∴∠B＝90°﹣36°＝54°．故答案为：54．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质．解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，即：等边对等角．43．（2021•绍兴）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是．【分析】根据等腰三角形的性质可以得到△ABC各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出∠BAP的度数即可．【解答】解：如右图所示，当点P在点B的左侧时，∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵CA＝CP1，∴∠CAP1＝∠CP1A=180°−∠ACP12=180°−70°2=55°，∴∠BAP1＝∠CAP1﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°；当点P在点C的右侧时，∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵CA＝CP2，∴∠CAP2＝∠CP2A=∠ACB2=70°2=35°，∴∠BAP2＝∠CAP2+∠CAB＝35°+40°＝75°；由上可得，∠BAP的度数是15°或75°，故答案为：15°或75°．【点评】本题考查等腰三角形的性质、圆的性质，解答本题的关键是画出合适的辅助线，利用分类讨论的方法解答．44．（2021•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），过点M作MN∥x轴，点P在射线MN MAP为等腰三角形，则点P的坐标为．【分析】分三种情况：①PM＝P A，②MP＝MA，③AM＝AP，分别画图，根据等腰三角形的性质和两点的距离公式，即可求解．【解答】解：设点P的坐标为（x，4），分三种情况：①PM＝P A，∵点A 的坐标为（5，0），点M 的坐标为（0，4），∴PM ＝x ，P A =√42+(5−x)2，∵PM ＝P A ，∴x =√42+(5−x)2，解得：x =4110， ∴点P 的坐标为（4110，4）； ②MP ＝MA ，∵点A 的坐标为（5，0），点M 的坐标为（0，4），∴MP ＝x ，MA =√42+52=√41，∵MP ＝MA ，∴x =√41，∴点P 的坐标为（√41，4）；③AM ＝AP ，∵点A 的坐标为（5，0），点M 的坐标为（0，4），∴AP =√42+(x −5)2，MA =√42+52=√41，∵AM ＝AP ，∴√42+(x −5)2=√41，解得：x 1＝10，x 2＝0（舍去），∴点P 的坐标为（10，4）；综上，点P 的坐标为（4110，4）或（√41，4）或（10，4）．故答案为：（4110，4）或（√41，4）或（10，4）．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，熟练掌握坐标与图形特征，利用坐标特征和勾股定理求线段的长是解题的关键．45．（2021•陕西）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8．若E 、F 是BC 边上的两个动点，以EF 为边的等边△EFP 的顶点P 在△ABC 内部或边上，则等边△EFP 的周长的最大值为．【分析】当点F 与C 重合时，△EFP 的边长最长，周长也最长，根据30°角所对的直角边是斜边的一半可得AC ＝4，AP ＝2，再由勾股定理可得答案．【解答】解：如图，当点F 与C 重合时，△EFP 的边长最长，周长也最长，∵∠ACB ＝90°，∠PFE ＝60°，∴∠PCA ＝30°，∵∠A ＝60°，∴∠APC ＝90°，△ABC 中，AC =12AB ＝4，△ACP 中，AP =12AC ＝2，∴PC =√AC 2−AP 2=√42−22=2√3，∴周长为2√3×3＝6√3．故答案为：6√3．【点评】本题考查含30°角的直角三角形的性质，运用勾股定理是解题关键．46．（2021•牡丹江）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为．【分析】首先根据题意画出符合题意的所有图形，然后利用等腰三角形求解即可求得答案．【解答】解：（1）如图．∵AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，∴∠ABC＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD，∵∠CDA＝2∠ABC，∴∠CAB＝3∠ABC，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴5∠ABC＝180°，∴∠ABC＝36°，（2）如图．∵AB＝AC，AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB∴∠BAC＝2∠ABC，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴4∠ABC＝180°，∴∠ABC＝45°，故答案为：36°或45°．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．。

等腰三角形题型汇编(全)

题型一：等腰三角形有关角的计算1、锐角△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，DE⊥AB于E，延长ED交BC的延长线于点F．(1)当∠A=40°时，求∠F的度数；(2)设∠F为x度，∠FDC为y度，试确定y与x之间的函数关系式．2、在△ABC中，已知AB=AC,BD⊥AC于D,∠DBC=35°，求∠BAC的度数。

3、一个等腰三角形的一腰上的高于另一腰成35度角，则此等腰三角形的顶角是多少？题型二：等腰三角形有关边的计算1、已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，求这个等腰三角形的周长。

2 、一个等腰三角形的周长为20cm 。

从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm 。

求等腰三角形的腰长。

题型三：等腰三角形的性质与判定1、如图,已知AB=AC,BD=CD,AE 平分∠CAF,试判断AE 与AD 的位置关系,并说明理由。

2、在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，又BD 平分∠ABC 。

求证：AE=21BD3、如图，△BDA 、△HDC 都是等腰直角三角形，且D 在BC 上，BH 的延长线与 AC 交于点E ，请你判断线段AC 与BH 有什么关系？并说明理由.题型四：角平分线和线段垂直平分线的应用 1、如图，AD 是△ABC 的角平分线，EF 是AD 的垂直平分线．求证：(1)∠EAD=∠EDA ．(2)DF ∥AC ．(3)∠EAC=∠B ．2、如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=21BD ，AE 延长线与BC 的延长线相交于F (1)试说明AF=BD ；(2)请问BD 是∠ABC 的平分线吗？如果是，请说明理由；3、已知，如图∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB；（2）猜想AM与DM的位置关系如何，并证明你的结论．4、已知，如图∠B=∠C=90°，AM平分∠DAB，DM平分∠ADC．求证：BM=CM题型五：对称在一次函数中的应用1、求与一次函数y=2x-1的图像关于x轴对称的直线的函数解析式2、不作函数y=－2x＋1与y=2x＋1的图像，试判断它们的图像关于哪一个坐标轴对称。

全国各地中考数学试题分类汇编(第2期)专题22 等腰三角形(含解析)

等腰三角形选择题1. （2016·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（）A．4 B． C．3D．2【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠DAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ABC，∵∠C=∠C，∴△CAD∽△CBA，∴=，∴=，∴CD=，BD=BC﹣CD=，∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴=，即=，∴DM=，MB=BD﹣DM=，∵∠ABM=∠C=∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴=，∴BE===．故选B ．2.（2016·广西百色·3分）如图，正△ABC 的边长为2，过点B 的直线l ⊥AB ，且△ABC 与△A′BC′关于直线l 对称，D 为线段BC′上一动点，则AD+CD 的最小值是（）A ．4B ．32C ．23D ．2+3【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．【分析】连接CC′，连接A′C 交y 轴于点D ，连接AD ，此时AD+CD 的值最小，根据等边三角形的性质即可得出四边形CBA′C′为菱形，根据菱形的性质即可求出A′C 的长度，从而得出结论．【解答】解：连接CC′，连接A′C 交l 于点D ，连接AD ，此时AD+CD 的值最小，如图所示．∵△ABC 与△A′BC′为正三角形，且△ABC 与△A′BC′关于直线l 对称，∴四边形CBA′C′为边长为2的菱形，且∠BA′C′=60°， ∴A′C=2×23A′B=23．故选C ．3.（2016·广西桂林·3分）已知直线y=﹣3x+3与坐标轴分别交于点A ，B ，点P 在抛物线y=﹣ （x ﹣ 3 ）2+4上，能使△ABP 为等腰三角形的点P 的个数有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定．【分析】以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，由直线y=﹣x+3可求出点A、B的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形，再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标，发现该两点与M、N重合，结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形，由此即可得出结论．【解答】解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示．令一次函数y=﹣x+3中x=0，则y=3，∴点A的坐标为（0，3）；令一次函数y=﹣x+3中y=0，则﹣x+3，解得：x=，∴点B的坐标为（，0）．∴AB=2．∵抛物线的对称轴为x=，∴点C的坐标为（2，3），∴AC=2=AB=BC，∴△ABC为等边三角形．令y=﹣（x﹣）2+4中y=0，则﹣（x﹣）2+4=0，解得：x=﹣，或x=3．∴点E的坐标为（﹣，0），点F的坐标为（3，0）．△ABP为等腰三角形分三种情况：①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．故选A．4.（2016·贵州安顺·3分）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，解得，（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．5. （2016·湖北武汉·3分）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质【答案】A【解析】构造等腰三角形，①分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆；②作AB的中垂线．如图，一共有5个C点，注意，与B重合及与AB共线的点要排除。

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