江苏省丹徒高级中学、句容实验高中、扬中二中2019_2020学年高一数学下学期期中试题

江苏省丹徒高级中学、句容实验高中、扬中二中2019-2020学年高一数学下学期期中试题 考试时间：120分钟 试卷总分150分 一．单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共计40分）. 1. 若直线经过(1,0),(4,3)A B -两点，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 2. 复数1i -的虚部为( ) A ．1 B ． -1 C ．i D ．i - 3. 已知向量()()1,2,3,1a b ==-,则2a b -等于( ) A.(5,3) B.(5,1) C.(-1,3) D.(-5,-3) 4. 如图，已知向量,,a b c ，那么下列结论正确的是（ ） A ．a b c += B ．a b c -=- C ．a b c +=- D ．b c a += 5. 在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，B ＝6π，则角A 为( ) A ．4π B ．3π C ．34π D ．4π或34π 6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 7. 在边长为2的正方形ABCD 中，E,F 分别为BC 和DC 的中点，则（ ） A ．52 B ． 52- C ．4 D ．4 8. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，3,ABC S ∆= 求2sin 2sin sin a b c

A B C ++++=( )

A ．3

B ． 43

C ．2

D ．239

二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.漏选得3分，错选不得分）.

9. 在下列四个命题中，错误的有（ ） h

5 0 ．

A ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率[]

B ．直线的倾斜角的取值范围是[0，]π

C ．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率

D ．直线y ＝3x ﹣2 在y 轴上的截距为2

10. 已知复数12i z i

=-，则以下说法正确的是（ ） A ．复数z 的虚部为5i B ．z 的共轭复数255

i z =-

C ．||z =

D ．在复平面内与z 对应的点在第二象限

11. 对于ABC ∆，有如下判断，其中正确的判断是（ ）

A ．若A

B >，则sin sin A B >

B ．若sin 2sin 2A B =，则AB

C ∆为等腰三角形

C ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆是钝角三角形

D ． 若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC ∆有两个

12. 在△ABC 中，下列结论正确的是( )

A.AB AC CB -=;

B.0AB BC CA ++=;

C. 若0AB AC •>,则△ABC 是锐角三角形

D. 若()()

0AB AC AB AC +•-=,则△ABC 是等腰三角形;

三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.

13. 直线l 过点M (1，－2)，倾斜角为60°.则直线l 的斜截式方程为______________

14. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得

15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，CD =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB =

15. 已知向量()1,3a =，()2,1b λ=+，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是

________.

16. 在△ABC 中，D 为边BC 的中点，4AB =,2AC =, 30BAD ∠=，则

AD = ．

四．解答题（本大题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17. 已知复数1z 2ai =+（其中a R ∈且a 0,i >为虚数单位），且21z 为纯虚数．

（1）求实数a 的值；

（2）若1z z 1i

=

-，求复数z 的模z ．

18. 已知平面向量a ＝(1，x)，b ＝(2x ＋3，－x)，x ∈R.

(1)若a ⊥b ，求x 的值；

(2)若a ∥b ，求|a －b |的值．

19. 已知a ，b ，c 分别是ABC ∆中角A ，B ，C 的对边，且sin 3cos c B b C =.

（1）求角C 的大小；

（2）若3c =，sin 2sin A B =，求ABC ∆的面积ABC S ∆.

20. 如图，已知正三角形ABC 的边长为1，设AB a =，AC b =.

（1）若D 是AB 的中点，用,a b 分别表示向量CB ，CD ；

（2）求2a b +；

（3）求2a b +与32a b -+的夹角.

21. 已知直线l 过点P （3，4）

(1)它在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍，求直线l 的方程.

(2)若直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于点,A B ，求△AOB 的面积的最小值.

22. 如图，在ABC ∆中，2ABC π

∠=，3ACB π

∠=，1BC =.P 是ABC ∆内一点，且

2BPC π

∠=.

（1）若6

ABP π

∠=，求线段AP 的长度；

（2）若23

APB ∠=π，求ABP ∆的面积.

高一下学期数学期中试卷参考答案

1.D

2.B

3.A

4.C

5.D

6.B

7. C

8.D

9.BCD 10.CD 11.AC 12.ABD

13. 2y =- 14.20 15.

555,,33⎛

⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17. （1）

()2

221244z ai a ai =+=-+, ……………………………………………………………2分

因为21z 为纯虚数，所以24000a a a ⎧-=⎪≠⎨⎪>⎩，解得：

2a =． …………………………………………………5分

（2）122z i =+，()()()()22122421112

i i i i z i i i i +++====--+，………………………………………8分

2z =．…………………………………………………10分

18. (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，………………… 3分

整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. …………………………………5分

(2)若a ∥b ，则有1×(－x)－x(2x ＋3)＝0，

即x(2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. ……………………………7分

当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)，a －

b ＝(－2，0)，

∴|a －b |2；………………………………………… 9分

当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)，

a －

b ＝(2，－4)，

∴|a －b |

11分

综上，可知|a －b |＝2或12分