初中数学完全平方公式的五种常见应用举例

合集下载

《完全平方公式》

《完全平方公式》完全平方公式是数学中的一个重要公式，其实际应用非常广泛。

完全平方公式的概念比较简单，即对任意实数a和b，有(a+b)²=a²+2ab+b²。

完全平方公式的这个形式可以拆解开来，得到a²和b²，非常有用。

从几何角度看，完全平方公式可以简化两个线段相加的平方求和计算。

例如，将两根线段相加，然后求和再平方，即(a+b)²。

可以使用完全平方公式将这个式子简化为a²+2ab+b²。

这两者相等，可以通过数学推导证明。

完全平方公式在代数中的应用非常广泛。

例如，当我们需要展开一个含有两项的平方时，可以直接使用完全平方公式。

例如，将(a+b)²展开，得到的式子就是完全平方公式的形式。

可以通过这种方式将一个复杂的式子简化为更简单的形式。

完全平方公式还可以用于解一元二次方程，即形如ax²+bx+c=0的方程。

我们可以通过配方法（即二项式的平方）和完全平方公式来求解该方程。

首先，对方程两边进行配方法，即将方程左边看成一个完全平方，然后利用完全平方公式将其展开。

通过对比方程两边的系数，我们可以得到一个关于x的一元二次方程。

完全平方公式也广泛应用于数学推导中。

例如，我们如果需要证明一个式子具有一些性质，可以使用完全平方公式将式子进行展开，然后得到一个更加清晰、易于理解的形式。

这样，我们就可以更容易地证明该式子的性质。

完全平方公式在实际应用中也有一些具体的例子。

例如，我们可以用完全平方公式来计算矩形的对角线长。

假设一矩形的两边长分别为a和b，利用完全平方公式可以得到矩形对角线长为√(a²+b²)。

完全平方公式还可以用于计算两个数的平均数的平方。

例如，设两个数的平均数为a，差值为b，利用完全平方公式可以计算出这两个数。

我们知道两个数之差的一半为平均数，即(a+b/2)²=a²+b²/4、通过进一步整理，我们可以得到这两个数。

§15.2.2完全平方公式

提高练习题
总结词：综合运用
详细描述：综合思考题是更高层次的练习，要求学习者能够综合运用完全平方公式和其他数学知识来解决复杂的问题。这些问题通常涉及到多个数学概念和技巧，需要学习者具备较高的思维能力和综合素质。通过解决这类问题，可以提高学习者的数学思维能力和解决问题的能力。
综合思考题
感谢您的观看
THANKS
$ab = frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}$，$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
完全平方公式的变形
利用完全平方公式可以将一元二次方程转化为更简单的形式，从而求解。
解一元二次方程
在代数运算中，完全平方公式可以简化复杂的代数表达式，提高运算效率。
代数运算
在几何图形中，完全平方公式可以用于计算图形的面积和周长等。
完全平方公式是数学中一个重要的恒等式，它在代数、几何和三角学等领域有着广泛的应用。
完全平方公式的意义
02
完全平方公式的证明
总结词
数学归纳法是一种证明完全平方公式的方法，通过归纳推理，逐步推导证明结论。
详细描述
首先，我们假设$n=k$时，公式成立，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。然后，我们考虑$n=k+1$的情况，通过展开$(a+b)^{k+1}$并利用归纳假设，我们可以推导出$(a+b)^{k+1}=[a(a+b)^k+b(a+b)^k]=(a^2+ab+ba+b^2)(a+b)=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=(a+b)^2$。因此，我们证明了当$n=k+1$时，公式也成立。

完全平方公式的五种变式

完全平方公式的五种变式《完全平方公式的五种变式》完全平方公式可以让我们更轻松地解算出方程，它的表达形式是a^2+2ab+b^2=c^2，在几何学中被广泛应用。

它是研究直角三角形内比例数学关系、特别是勾股定理和其他定理的基础。

完全平方公式有五种不同的变式，这些变式拥有不同的应用。

首先，原式完全平方形式。

它的正式表达是a^2+2ab+b^2，它展示了两个乘积的累加，这也就是它的名字。

它被用于错角比方程中，由错角定理可知，一个错角必有三个对边，这三个对边可由它推出。

其次，一元二次函数形式。

它是最常用的变式，表达式如下：y=ax^2+2bx+c，其中a、b、c为实数。

它常被用于物理领域，特别是电磁领域，比如连接变压器、引力等等。

下一个变式是极坐标变形。

它的表达式是r=a(cosθ+sinθ)，其中r是极坐标原点，θ是极角，a是椭圆的长半轴。

它可以用来表示二维坐标系内的椭圆，因为椭圆是由它来表达的。

第四种变式是矩阵形式。

它可以用矩阵表达式来构造。

举例来说，可以表示为A^2+2AB+B^2=C^2，这里A、B、C是一组矩阵。

它常用于矩阵的运算，用于求解方程组。

最后，齐次二次方程变形。

它的表达式是ax^2+2bx+c=0，其中a、b、c是常数。

由此可知，这种变形主要用于求解二元齐次方程，可以非常有效的解决二元的齐次方程。

总之，完全平方公式的五种变式是非常重要的，它们可以用于不同的应用领域，比如研究三角形内比例数学关系、一元二次函数、极轴变形、矩阵运算和齐次二次方程求解等。

七年级下完全平方公式

完全平方公式讲义一．知识点拨1.完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2.此公式等号的左边是两项和或差的平方，等号右边是前一项的平方，加上或减去两项乘积的2倍，再加上后一项的平方，学习中，往往易出现（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2的错误，为了避免这种错误，记准记牢这个公式，可以将公式编成如下顺口溜：a平方，b平方，2倍ab夹中央，中间符号看前方。

2.公式的变形：①a2+b2=（a+b）2-2ab，a2+b2=(a-b)2+2ab例如，已知a+b=3、ab=-12求下式的值：a2+b2②（a+b）2-（a-b）2=4ab，（a+b）2+（a-b）2=2(a2+b2)例如：已知（a+b）2=7 （a-b）2=4，求ab，a2+b2的值3.二项式乘法公式：（x+a）(x+b)=x²+（a+b）x+ab例如：计算①（x+7）(x-9) ②（-2y-3）(-2y+6)二．完全平方公式的应用类型：1：直接运用公式(-x+3y)22.灵活变形运用公式已知：a+b=3，ab=-12,求a2+b2和(a-b)2的值。

3整体思想运用已知(a+b)2=7,(a-b)2=13,求a2+b2,ab的值4.非负性的运用已知：a 2+b 2+4a-2b+5=0,求a 、b 的值。

5．与几何有关的运用（科内交叉）已知：三角形a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=0，试判断三角形的形状6.与倒数有关的变形应用①已知： x+x 1=3,求x 2+21x的值。

②已知：x 2-5x+1=0,求x 2+21x的值。

7. 运用公式使计算简便，计算：22219991998.19991997199919992+-三．课堂训练1、判断，如有错误，请改正。

（1）（a-b ）2=a 2-b 2 （）（2）（-a-b ）2=（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 （）（3）（a-b ）2=（b-a ）2=b 2-2ab+a 2 （）（4）（x+21）2=x 2+21x+41 ( ) 2、计算： (1)(51x+101y)2 (2)(-cd+21)23.选择（1）代数式2xy-x 2-y 2=( )A 、（x-y ）2B 、（-x-y ）2C 、（y-x ）2D 、-（x-y ）2（2）（2y x +）2-（2y x -）2等于（） A 、xy B 、2xy C 、2xy D 、04、计算（1）（a-2b ）2（a+2b ）2 （2）（a-2b+c ）（a+2b+c ）（3）（x-6）(x+8) （4） (2x-5)(2x+7)5.解答。

完全平方公式的经典例题

完全平方公式的经典例题
完全平方公式是一种有着悠久历史的经典数学概念。

形式上，它是一个单变量多项式，可
以用来求解多项式中等式的根。

它可以被写成这样一个形式：ax2+bx+c=0。

这里，x是单
独变量，而a、b、c是三个定值。

完全平方公式的使用场景覆盖了几乎所有的学科，从初等数学到物理，甚至到最新的量子
物理学也都用它来解决一些问题。

在各种学科中，它都被用来解决一些多项式方程。

它也
可以用来求解广义上的椭圆方程。

简单实例：我们来分析一下这个问题： 2x2 + 7x - 5 = 0。

根据完全平方公式，我们可以得到：2x2+7x-5 = (2x+5)(x-1)=0。

因此，当 x= -5/2 或 x=1 时，方程有解。

从上述例子可以看出，完全平方公式可以被用来解决各类多项式方程，是十分有用的定理。

以前，它的应用一直都是限于求解多项式方程，但随着量子物理学的发展，它也可以被用
于许多其它的研究领域，如量子力学的模拟等。

完全平方公式是一种有着悠久历史的非常有用的数学概念，它可以用来解决多项式方程，
也可以用来解决一些特定类型的方程，如椭圆方程等。

它也被广泛用于各种学科，从数学
到物理，乃至于量子物理学也在利用它来解决一些问题。

当它被用于求解多项式方程、椭圆方程等等，它能为解决各种具体问题提供有力的帮助。

完全平方公式的几种用法

完全平方公式的几种用法
完全平方公式可以为我们提供许多极其实用的计算能力，而它的用法也是多种
多样的。

首先，完全平方公式可以帮助我们解决一元二次方程组的求解问题，这是完全
平方公式最常用的一种用法。

一元二次方程可以分解为两个完全平方式，再使用完全平方公式即可将其解决。

其次，完全平方公式可以用来计算几何图形的面积和体积，尤其是一些较为复
杂的几何图形。

它可以通过把此形状分解成几个独立的部分，然后再用完全平方公式计算出其面积和体积。

再者，完全平方公式也可以用来解决数学问题，例如它可以处理一些最大数值
问题，比如求得多个数中的最大或最小值，这当中也可以使用完全平方公式来解决。

最后，完全平方公式也可以实现数字预测，这是最近非常流行的一种数学算法，它通过收集历史数据并拟合出模型，然后使用完全平方公式对未来的变化趋势进行预测。

总的来说，完全平方公式拥有无限的可能，它可以被用于许多众多的数学算法中，从求解一元二次方程到预测数字，它每一种用法都可以帮助我们提高效率，提供有力的支持。

完全平方公式及各种典型问题ok课件

01
总结：完全平方公式的基本形式和变形
02
通过简单的例题，让同学们熟悉完全平方公式的各种形式，包括基本的、变形的、和其他与完全平方公式相关的内容。
提高练习题
总结：完全平方公式的应用和扩展
通过一些稍有难度的例题，让同学们了解完全平方公式的应用和扩展，包括与其他数学知识的结合、变形后的应用等。
公式结构
这是一个基本的数学公式，用于计算一个数的平方。公式中的“$a$”和“$b$”是变量， “$\pm$”表示正负两种情况。
公式的重要性
该公式是代数、几何等领域中广泛应用的工具，可以帮助我们解决很多数学问题。
完全平方公式的性质
01
02
03
互逆性
$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$，这个公式可以正向使用，也可以逆向使用。
法需要一定的观察和思考能力，但可以简化复杂的计算。
完全平方公式在实际问题中的应用
总结词
广泛应用于实际问题中，如几何、代数等领域
详细描述
完全平方公式不仅在代数领域有广泛的应用，在几何、三角等领域也有广泛的应用。例如，在解决几何问题时，完全平方公式可以用于计算面积、周长等；在解决代数问题时，完全平方公式可以用于因式分解、化简等。此外，完全平方公式还可以用于解决一些
因式分解
完全平方公式可以用于因式分解，将一个多项式分解为若干个因式的乘积。
完全平方公式的实际应用案例
物理应用
在物理学中，完全平方公式可以用于计算各种量，如速度、加速度等。
数学应用
在数学中，完全平方公式可以用于解决各种问题，如代数方程、不等式等。
05 完全平方公式的练习与巩固

完全平方公式的运用

完全平方公式的运用完全平方公式是指一个二次方程中，如果其形式为ax^2 + bx + c = 0，那么其解可表示为 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a。

这个公式被广泛应用于解决与二次方程相关的问题。

下面将详细讨论完全平方公式的运用。

1.求解根最常见的运用完全平方公式是求解一个二次方程的根。

给定一个二次方程 ax^2 + bx + c = 0，我们可以直接将其参数代入公式，求出 x 的值。

需要注意的是，根的个数可以通过判别式来确定。

判别式 D = b^2 - 4ac 表示方程的解的性质，可以有以下三种情况：-当D>0时，方程有两个不同实数根。

-当D=0时，方程有两个相等的实数根。

-当D<0时，方程没有实数根，解为复数。

例如，对于方程3x^2+4x-2=0，我们可以使用完全平方公式来求解。

根据公式，我们可以得到：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)=(-4±√(4^2-4*3*(-2)))/(2*3)=(-4±√(16+24))/(6)=(-4±√(40))/6=(-4±2√10)/6所以，该方程的解为x=(-2±√10)/32.求解其中一边长根据矩形的面积公式A=a*b，我们可以得到二次方程a*b-A=0。

将其转化为解a的二次方程，则有a=(A/b)。

将此代入原方程，我们得到：b^2-A=0这是一个关于b的二次方程。

可以使用完全平方公式求解，得到b=±√A。

因为b作为一个长度，所以b的值应该是正数，因此b=√A。

这就解出了原问题，即给定矩形的面积，求解另一边长。

3.求解最值f(x)=a(x-h)^2+k其中h和k分别代表顶点的横坐标和纵坐标。

通过完全平方公式，我们可以得到：f(x) = a(x^2 - 2hx + h^2) + k= ax^2 - 2ahx + ah^2 + k通过比较系数，我们可以得到顶点的坐标为(h,k)=(-b/2a,f(-b/2a))。

完全平方公式的综合举例

完全平方公式的综合举例为了更好地理解和运用完全平方公式，下面将为您举例说明。

首先，我们来看一些求解平方差的例子：例子1：计算49^2-21^2根据完全平方公式，我们有(49-21)(49+21)=(49-21)(70)。

简化得(28)(70)=1960。

因此，49^2-21^2=1960。

例子2：计算144^2-100^2根据完全平方公式，我们有(144-100)(144+100)=(144-100)(244)。

接下来，我们来看一些求解平方和的例子：例子3：计算25^2+30^2根据完全平方公式，我们有(25+30)^2=(25+30)(25+30)。

简化得(55)(55)=3025因此，25^2+30^2=3025例子4：计算16^2+12^2根据完全平方公式，我们有(16+12)^2=(16+12)(16+12)。

简化得(28)(28)=784因此，16^2+12^2=784除了求解平方差和平方和之外，完全平方公式还可以用于因式分解。

例子5：将x^2+8x+16分解为完全平方。

根据完全平方公式，我们知道16是4的平方，即4^2因此，x^2+8x+16=(x+4)(x+4)=(x+4)^2例子6：将9y^2-12y+4分解为完全平方。

根据完全平方公式，我们知道4是2的平方，即2^2因此，9y^2-12y+4=(3y-2)(3y-2)=(3y-2)^2除了上述的求解平方差、平方和和因式分解，完全平方公式还可以用于其他类型的问题，例如求解最值问题。

例子7：求函数f(x)=x^2-6x+9的最小值。

将f(x)用完全平方公式进行变换，可以得到f(x)=(x-3)^2由于平方的结果是非负的，所以最小值为0，当且仅当(x-3)^2=0时，即x=3通过以上的例子，我们可以看到完全平方公式的广泛应用。

它不仅仅用于求解平方差和平方和，还可以用于因式分解和解决最值问题。

对于数学问题的解答和推导，完全平方公式是一个非常有用的工具。

完全平方公式范文

完全平方公式范文一、分解二次多项式：例如，我们有一个二次多项式x²+7x+12、我们可以使用完全平方公式将其分解为两个一次多项式的乘积。

首先，我们找到x²的平方根，即x。

然后，我们找到两个数b和c，使得它们的和为x的系数，乘积为常数项。

在本例中，x的系数是7，常数项是12、因此，我们需要找到两个数，它们的和为7，乘积为12我们可以列出所有可能满足这些条件的组合。

这里有几个可能的组合：1+6=7，1×6=62+5=7，2×5=103+4=7，3×4=12我们可以看到，3和4是唯一满足我们的条件的数。

因此，我们可以将二次多项式x²+7x+12分解为(x+3)(x+4)。

这种分解形式也被称为二次多项式的因式分解形式。

二、解二次方程：1. 将常数项移到方程的右边，得到ax² + bx = -c。

2.将方程两边除以a，得到x²+(b/a)x=-c/a。

现在，我们需要找到一个数k，使得这个数的平方与(b/a)x的乘积的两倍相等。

那么，我们可以将方程重新写为：x²+(b/a)x+(b/2a)²=(-c/a)+(b/2a)²。

我们可以将等式的右边合并，得到：x²+(b/a)x+(b/2a)²=(-c/a)+(b/2a)²然后，我们将等式的左边重新整理成完全平方的形式，得到(x+b/2a)²=(-c/a)+(b/2a)²。

最后，我们可以将方程两边开根号，得到解为：x+b/2a=±√((-c/a)+(b/2a)²)。

我们可以继续化简这个方程，得到两个解：x=-b/2a±√(b²/4a²-c/a)这个解也被称为二次方程的根。

总结：。

完全平方公式的几种常见用法

完全平方公式的几种常见用法作者：刁一建来源：《新高考·升学考试》2018年第02期我们熟悉的完全平方公式是：（a±b）2=a2±2ab+b2.它在乘法运算和因式分解中起到重要的作用，是初中数学中一个常用公式，也是中考的必备计算工具.下面就完全平方公式的运用归纳几种常见用法.一、超过两项的多项式的平方展开例1. 计算：（x-2y-3z）2.分析：完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2的展开式本质上是：多项式每一项分别平方+每两项积的2倍，由此可以引申出：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.解：（x-2y-3z）2=x2+（-2y）2+（-3z）2+2x（-2y）+2x（-3z）+2（-2y）（-3z）=x2+4y2+9z2-4xy-6xz+12yz.小结：在（x-2y-3z）2中，多项式x-2y-3z三项分别为x、-2y、-3z，展开（x-2y-3z）2时，先将三项分别平方，然后每两项相乘再乘2倍.类似地，当遇到诸如：（a-2b-c+d）2的展开时，也可以使用此方法.二、利用完全平方公式的变形公式求值例2. （1）若a+b=-3，ab=2，則a2+b2= ，a-b2= .（2）已知x2-3x+1=0，求：① x2+1x2，②（x-1x）2.分析：完全平方公式常见变形为： a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab；（a-b）2 =（a+b）2-4ab；（a+b）2 =（a-b）2+4ab.第（1）题可以直接利用变形公式求解；第（2）题由条件同除以x可得：x+1x=3.解：（1）a2+b2=（a+b）2-2ab= 9-4=5，（a-b）2 =（a+b）2-4ab=9-8=1.（2）由x2-3x+1=0，得x+1x=3.① x2+1x2=x+1x2-2=7；② x-1x2=x+1x2-4=5.小结：变形公式要求同学们理解完全平方公式的结构，具备整体意识，同时不能忽视互为倒数的两数之积为1的性质.三、确定完全平方式中的系数例3.如果多项式x2+（m-1）x+16是一个完全平方式，则m的值是多少？分析：多项式中首末两项是x和4的平方，那么中间项就为加上或减去x和4的乘积的2倍.解：∵x2+（m-1）x+16是一个完全平方式，∴（m-1）x=2×4x或（m-1）x=-2×4x，∴m=9或m=-7.小结：有些同学解决本题时可能会只求出一个答案9，缺少-7.在完全平方式中，平方项系数恒为正数，而中间项的系数可以为正负两种情况，不可漏解.例如：若4x2-mxy+25y2 是一个完全平方式，求m的值.此时可以运用同样的方法求解.四、利用因式分解求值例4.已知a+b=1，求12a2+ab+12b2的值.分析：由于只有一个已知条件要具体求出a，b的值是不可能的，而运用完全平方公式，将结论因式分解为12（a+b）2，就可以轻松求出结果.解：∵12a2+ab+12b2=12（a2+2ab+b2）=12（a+b）2，∴原式=12×12=12.小结：因式分解本质上就是将公式进行逆用.本题还可以对条件变形求解：∵a+b=1，∴a=1-b，再代入12a2+ab+12b2，就可以得到12（1-b）2+b（1-b）+12b2，展开即可求出结果，但是这样做相对比较复杂.五、利用配方法进行求值例5.若4m2+n2-6n+4m+10=0，求m2-n2的值.分析：计算代数式的值，求出m，n的值是关键.当一个等式有两个未知数时，可以联想构造完全平方公式再利用非负性求解.解：∵4m2+n2-6n+4m+10=0，∴ 4m2+4m+1+n2-6n+9=0，∴（2m+1）2+（n-3）2=0，∴ 2m+1=0， n-3=0，∴ m=-12，n=3.原式=（-12）2-32=-354.小结：本题考查了非负性的运用和拆项法构造完全平方公式，解答时将常数10拆成9和1是难点.六、利用配方法进行证明例6. 已知a，b，c为三角形的三边，且a2+b2+c2-ab-bc-ac=0.求证：△ABC为等边三角形.分析：可将题目所给的关于a，b，c的等量关系进行适当变形，转换为几个完全平方式，然后根据非负数的性质求出a，b，c三边的数量关系，进而就可以判断△ABC的形状.解：∵a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，∴（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2ac+a2）=0，∴（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形.小结：本题运用配方法构造完全平方公式，将已知转化为平方和，再由非负性求解.【结束语】完全平方公式的运用需要对公式本身深入理解，其应用范围相当广泛，是学习的一个难点，特别是配方法对能力要求比较高，它是我们后续学习一元二次方程和二次函数的基础，只有通过理解、分析并不断熟悉几种变形，完全平方的使用才能得心应手.。

洋葱数学初中完全平方公式

洋葱数学初中完全平方公式在初中数学中，完全平方公式是一个非常重要的知识点。

掌握完全平方公式可以帮助我们快速求解一些问题，提高解题的效率。

在洋葱数学中，我们将为大家介绍初中完全平方公式的相关知识。

1. 完全平方公式的定义完全平方公式是指一个二次多项式的平方可以被分解为两个一次多项式的平方之和的形式。

具体地说，对于一个二次多项式 ax^2 + bx + c，其完全平方公式可表示为：(ax + b/2)^2 - (b^2/4a) + c其中，a、b、c分别为二次多项式的系数。

2. 完全平方公式的应用完全平方公式的应用非常广泛，特别是在求解二次方程的根时，非常实用。

我们可以利用完全平方公式将一个二次多项式表示为一个平方项与一个常数项的和的形式，然后再利用求解一元二次方程的方法，求出该二次方程的根。

此外，完全平方公式还可以用于求解一些几何问题，如平面图形的面积、周长等。

3. 完全平方公式的例题例1：求解二次方程 2x^2 + 4x + 1 = 0 的根。

解：首先，我们可以将该二次方程表示为一个二次多项式的形式： 2x^2 + 4x + 1 = (x + 1)^2 - 1然后，我们再将其化简为完全平方公式的形式：2x^2 + 4x + 1 = (x + 1)^2 - 1/2由此可得，该二次方程的根为：x1 = (-4 + √6)/4，x2 = (-4 - √6)/4例2：一个正方形的对角线长为12cm，求该正方形的面积。

解：设该正方形的边长为x，则该正方形的对角线长为√2x。

由于√2x = 12，可得：x = 72/√2因此，该正方形的面积为：x^2 = (72/√2)^2 = 2592cm^2以上就是洋葱数学初中完全平方公式的相关知识点。

希望大家掌握完全平方公式的基本原理和应用方法，提高解题效率，取得更好的成绩。

完全平方公式的变形及运用

教学实践新课程NEW CURRICULUM完全平方公式经过变形或重组可以衍生出新的公式，灵活运用这些公式，可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

完全平方公式（a+b ）2=a 2+2a b +b 2①（a-b ）2=a 2-2a b +b2②{思想方法：1.a 和b 可以是数，可以是式子；2.要有整体观念，即把某个数或式子看成a 或b ，再运用公式；3.注意运用变形公式。

变形一：将公式①变形为a 2+b 2=（a+b ）2-2a b或ab =（a +b ）2-（a 2+b 2）2，将公式②变形为a 2+b 2=（a-b ）2+2a b或ab =（a 2+b 2）-（a -b ）22。

将（a +b ）2（或a +b ），a 2+b 2，ab 分别看成三个整体，知道任何两个整体的值，通过公式①及其变形公式可以直接求得第三个整体的值；同理，将（a-b ）2（或a-b ），a 2+b 2，ab 分别看成三个整体，知道任何两个整体的值，通过公式②及其变形公式可以直接求得第三个整体的值。

例1.已知a +b =3，ab =2，求a 2+b 2的值。

解：∵a +b =3，ab =2∴a 2+b 2=（a+b ）2-2ab =32-2×2=5变形二：由①+②得（a+b ）2+（a-b ）2=2（a 2+b 2），可变形为a 2+b 2=（a 2+b 2）+（a -b ）22。

将a+b ，a 2+b 2，a-b 分别看成三个整体，知道任何两个整体的值，通过公式①+②及其变形公式可以直接求得第三个整体的值。

例2.已知a+b=3，a-b=2，求a 2+b 2的值。

解：∵a+b=3，a-b=2∴a 2+b 2=（a +b ）2+（a -b ）22=32+222=132变形三：由①-②得（a+b ）2-（a-b ）2=4ab ，可变形为（a+b ）2=（a-b ）2+4ab 。

将a+b ，ab ，a-b 分别看成三个整体，知道任何两个整体的值，通过公式①-②及其变形公式可以直接求得第三个整体的值。

完全平方公式20道例题

完全平方公式20道例题完全平方公式是一种数学公式，可以用来解决相关的一元多项式方程。

它是一种比较容易理解的数学概念，可以帮助学生更好地理解一元多项式的概念。

为了帮助学生更好地理解完全平方公式，我们将给出20个典型的实例题例。

1.：设ax2+bx+c=0解得x1=(-b+√(b2-4ac))/2a, x2=(-b-√(b2-4ac))/2a2.：设ax2+bx+c=0解得x1=(-b+√(b2-4ac))/2a, x2=(-b-√(b2-4ac))/2a3.：设ax2+bx+c=0解得x1=(-b+√(b2-4ac))/2a, x2=(-b-√(b2-4ac))/2a4.：设ax2+bx+c=0解得x1=(-b+√(b2-4ac))/2a, x2=(-b-√(b2-4ac))/2a5.：设ax2+bx+c=0解得x1=(-b+√(b2-4ac))/2a, x2=(-b-√(b2-4ac))/2a6.：设ax2+bx+c=0解得x1=(-b+√(b2-4ac))/2a, x2=(-b-√(b2-4ac))/2a7.：设ax2+bx+c=0解得x1=(-b+√(b2-4ac))/2a, x2=(-b-√(b2-4ac))/2a8.：设ax2+bx+c=0解得x1=(-b+√(b2-4ac))/2a, x2=(-b-√(b2-4ac))/2a9.：设ax2+bx+c=0解得x1=(-b+√(b2-4ac))/2a, x2=(-b-√(b2-4ac))/2a10.：设ax2+bx+c=0解得x1=(-b+√(b2-4ac))/2a, x2=(-b-√(b2-4ac))/2a11.：当a=2, b=3, c=1时，x1= -0.5，x2= -212.：当a=1, b=4, c=4时，x1= -2，x2= -213.：当a=2, b=-5, c=-3时，x1= 0.5，x2= -314.：当a=5, b=-14, c=21时，x1= 3，x2= -715.：当a=2, b=-2, c=12时，x1= 3，x2= -216.：当a=3, b=8, c=-15时，x1= -3，x2= 517.：当a=4, b=-22, c=24时，x1= 3，x2= -318.：当a=4, b=4, c=-4时，x1= -1，x2= 119.：当a=2, b=-4, c=2时，x1= 1，x2= -120.：当a=3, b=3, c=-6时，x1= -2，x2= 1以上就是本文涉及的20个例子，希望能够帮助同学们更好地理解完全平方公式，掌握此公式的应用。

完全平方式有哪些常见应用场景

完全平方式有哪些常见应用场景完全平方式在数学学习中那可是相当重要的哟！它的身影在好多地方都能看到。

先来说说完全平方式到底是啥。

其实呀，完全平方式就是形如(a ±b)²＝ a² ± 2ab ＋ b²这样的式子。

那它都在哪些地方大显身手呢？在代数运算里，完全平方式可好用啦！比如说，我们要化简一个式子，像(x ＋ 3)²，用完全平方式一展开，马上就变成 x²＋ 6x ＋ 9 ，是不是一下子就简单清晰了？还有解决方程的时候，假如有个方程 x²＋ 6x ＋ 5 ＝ 0 ，我们可以通过配方法，把它变成（x ＋ 3)² 4 ＝ 0 ，这样求解就容易多啦。

在几何图形中，完全平方式也有它的用武之地。

还记得求正方形的面积吗？如果正方形的边长是（a ＋ b) ，那它的面积就是（a ＋ b)²，用完全平方式展开就能算出具体的面积数值。

我给你讲个我曾经遇到的事儿。

有一次我给学生们出了一道题：一个长方形的长增加 3 厘米，宽增加 2 厘米，面积增加了多少？好多同学一开始都懵了，不知道从哪儿下手。

我就提醒他们可以用完全平方式来思考呀。

假设原来长方形的长是 a 厘米，宽是 b 厘米，原来的面积就是 ab 平方厘米。

长增加 3 厘米，宽增加 2 厘米后，长变成了（a＋ 3) 厘米，宽变成了（b ＋ 2) 厘米，新的面积就是（a ＋ 3)（b ＋ 2) ，展开就是 ab ＋ 2a ＋ 3b ＋ 6 。

那么增加的面积就是（ab ＋ 2a ＋ 3b ＋6) ab ＝ 2a ＋ 3b ＋ 6 平方厘米。

当同学们用完全平方式算出答案的时候，那脸上的表情，别提多有成就感啦！在实际生活中，完全平方式也能帮我们解决不少问题呢。

比如装修房子的时候，要计算房间地面的面积。

假如房间是个正方形，边长需要增加一定的长度来铺设新的地板，这时候就可以用完全平方式算出增加后的面积，从而确定需要购买多少地板材料。