贵阳市高三元月调考数学试卷(理科)(I)卷
贵阳市普通高中2020届高三年级第一学期监测考试理科数学试题及答案word
贵阳市普通高中2020届高三年级第一学期监测考试试卷理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，M ＝{1，4}，N ＝{2，3}，则集合{5，6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∩(∁U N )D ．(∁U M )∪(∁U N ) 2．满足i 3·z ＝1－3i 的复数z 的共轭复数是( )A ．3－iB ．－3－iC ．3＋iD ．－3＋i3．若双曲线x 2－y 2m＝1的一个焦点为(－3，0)，则m ＝( )A ．2 2B ．8C ．9D ．64 4．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈。
”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天开始每天比前一天多织( )A.12尺布B.518尺布C.1631尺布D.1629尺布 5．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，x ∈(0，＋∞)的值域为D ，在区间(－1，2)上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是( )A.12B.13C.14D ．1 6．已知函数f (x )＝cos2x ＋3sin2x ，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥y ，x ≤2，y －1≥0，若z ＝x ＋ay (a >0)的最大值为10，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．48．在△ABC 中，| AB u u u r ＋AC u u u r ＝| AB u u u r －AC u u ur |，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点， 则AE u u u r ·AF u u u r＝( )A.109B.259C.269D.899．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，3B.⎝⎛⎦⎤32，3C.⎝⎛⎭⎫32，32 D.⎝⎛⎦⎤12，32 10．函数y ＝2|x|sin2x 的图像可能是( )11．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM u u u u r |＝1，且PM u u u u r ·AM u u u u r＝0，则|PM u u u u r|的最小值为( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．312．已知函数f (x )＝2e x ＋1e x ＋1＋1与g (x )＝mx ＋m ＋1(m 为常数)，若函数F (x )＝f (x )－g (x )恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＝( )A ．eB ．e －1 C ．1 D ．3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
贵州省贵阳市第一中学2020届高三数学上学期第一次适应性考试试题理(扫描版)(最新整理)
贵州省贵阳市第一中学2020届高三数学上学期第一次适应性考试试题理（扫描版）贵阳第一中学2020届高考适应性月考卷(一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BABDACBDCCAA【解析】1．，故选B ． 2．因为,所以，的共轭复数为，故选A.3．假真，故选B ．4．是奇函数,在区间上为减函数，故选D ． 5．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为，记第二次出现的点数为，基本事件总数有种，事件“”包含的基本事件有，共2个,所以事件“”的概率为，故选A ．6．双曲线的实轴长为8，得，又，所以双曲线的渐近线方程为，故选C ．7．由三视图知该几何体是四棱锥，如图1,则最小三角形面积为,故选B ．8．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，再向左平移个单位，所得函数，故选D ．9．以为邻边作菱形，投影为，故选C ．10．的展开式中的系数为25,即，，设，令,得{2345}M=，，，(1i )|3i |z+=+|13i |22(1i )1i1i (1i )(1i )z +-====-+-+z1i +pqsi n ()y x =-(01)，m n 6636⨯=3m n =(31)，(62)，3m n =213618P ==4a =1b =14y x=±AB C D E -2A B E S =△πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1πs in 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π61πs in 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a b ，A B C D 33c o s 120︒=-5(2)(1)a x x ++2x21552C C 25a +=1a =5234560123456(2)(1)x x a a x a x a x a x a x a x ++=++++++1x =512332a aa a =+++图，故选C ．11．设，由，则，当时，，解得;当时,恒成立,综上知，当时，不等式对成立，故选A ．12．根据题意，若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在区间上有解，，即,即方程在区间上有解，设函数，其导数，又,在有唯一的极值点，分析可得：当时，,为减函数，当时，，为增函数，故函数有最小值，又由,，比较得,故函数有最大值，故函数在区间上的值域为，若方程在区间上有解,必有，则有，即的取值范围是,故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分) 题号 13 141516答案，13．由线性约束条件画出可行域（如图2所示），由过点时，z 最小,最小值为5。
贵州省2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考)数学试题答案
数学参考答案·第1页（共9页）贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DCBCBCAA【解析】1．由题，{|13}A x x x =<->或，{1234}B =，，，，则{4}A B = ，故选D ．2．对于A 选项，1y x=-的定义域为(0)(0)-∞+∞，，，该函数在(0)-∞，和(0)+∞，上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，2ln y x =的定义域为(0)(0)-∞+∞ ，，，该函数在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增， 在定义域内不单调；对于C 选项，32y x ==[0)+∞，，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，e x y x =的定义域为R . (1)e x y x '=+∵，当(1)x ∈-∞-，时，0y '<；当(1)x ∈-+∞，时，0y '>，e x y x =∴在(1)-∞-，上单调递减，在(1)-+∞，上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C ．3．537232a a a =+=∵，516a =，6426d a a =-=，3d =，1544a a d =-=，故选B ．4．设点00()A x y ，，则20000252||4y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，整理得582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2p =或8p =，故选C ．5．(23)f x -∵的定义域为[23]，. 当23x ≤≤时，1233x -≤≤，()f x ∴的定义域为[13]，，即[13]A =，. 令1213x -≤≤，解得12x ≤≤，(21)x f -∴的定义域为[12]，， 即[12]B =，. B A ⊆∵，∴“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故选B ．6．由题，()()()e ()e ()()()5e ()5e x xx xg x g x f x fx hx h x f x f x --⎧=-+=-+⎧⎪⇒⎨⎨=---=--+⎩⎪⎩，，，解得()3e 2e x xf x -=+，所以()3e 2e x x f x -=+≥，当且仅当3e 2e x x -=，即12ln 23x =时，等号成立，min ()f x =∴C ．数学参考答案·第2页（共9页）7．设51x ⎫+⎪⎭的二项展开式的通项公式为53521551C C kkk k kk T xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，0k =，1，2，3，4，5，所以二项展开式共6项. 当0k =，2，4时的项为无理项；当1k =，3，5时的项为有理项. 两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为223326C C 25C +=，故选A ． 8．由题，1C ：22(1)(1)2x y -+-=，即圆心为1(11)C ，(20)M ，，(02)N ，，MN 为1C 的直径. 1C ∵与2C 相外切，12||C C =+=∴. 由中线关系，有222222121||||2(||||)2(182)40C M C N C C C M +=+=⨯+=，22||||C M C N ∴≤2222||||202C M C N +=，当且仅当22||||C M C N =时，等号成立，所以22||||C M C N 的最大值为20，故选A ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案 ACDBCBCD【解析】9．对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，()202420252024(1)20252024E X m n n n n =+=-+=+. 01n <<∵，2024()2025E X <<∴，正确；对于D 选项，令2024Y X =-，则Y 服从两点分布，()(1)D Y n n mn =-=，()(2024)()D X D Y D Y mn =+==∴，正确，故选ACD.10．令2()21g x ax ax =-+，244a a ∆=-，对于A 选项，()f x 的定义域为0a ⇔=R 或0010a a >⎧⇔<⎨∆<⎩，≤，故A 错误；对于B 选项，()f x 的值域为()g x ⇔R 在定义域内的值域为0(0)0a a >⎧+∞⇔⇔⎨∆⎩，，≥1≥，故B 正确；对于C 选项，()f x 的最大值为2()g x ⇔在定义域内的最小值为011511616(1)16a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩，，故C 正确；对于D 选项，()f x 有极值()g x ⇔在定义域内有极值01(1)0a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩，且0a ≠，故D 选项错误，故选BC.数学参考答案·第3页（共9页）11．对于A 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)(0)1g f -=，(0)1f =-，故A 错误；对于B 选项，由()(3)f x g x ''=+可得()(3)f x g x C =++，C 为常数，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)()1g x f x --=，则(1)(3)1g x g x C --+-=，令1x =-，得(2)(2)1g g C --=，所以1C =-，所以(1)(3)g x g x -=+，()g x 的图象关于直线2x =对称，故B 正确；对于C 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(3)(1)(1)g x g x g x +=-=-+，所以(2)()g x g x +=-，(4)(2)g x g x +=-+ ()g x =，所以()g x 是一个周期为4的周期函数，()(3)1f x g x =+-，(4)(7)f x g x +=+ 1(3)1()g x f x -=+-=，所以()f x 也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，(2)(0)(4)g g g =-=-，又(3)(1)0g g ==，又()g x 是周期为4的周期函数，所以20251()(1)0k g k g ===∑，故D 正确，故选BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号 12 13 14 答案 e14433e 6-【解析】12．设切点坐标为()t t a ，，ln x y a a '=∵，∴切线方程为ln x y a a x = . 将()t t a ，代入得ln t t a a t a = ，可得1log e ln a t a==，∴切点纵坐标为e log e t a a a ==. 13．先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有22A 种方法，再安排梵净山的位置共有13C 种方法，再排其余元素共有44A 种排法，故共有214234A C A 144= 种不同的方案.14．设123()()()f x f x f x t ===，由()f x 的函数图象知，23t <≤，又122x x +=-，3ln x t =∵，3e t x =，112233()()()2e t x f x x f x x f x t t ++=-+∴. 令()2e t t t t ϕ=-+，23t <≤，()t ϕ'= (1)e 20t t +->，()t ϕ∴在(23]，上单调递增，则3max ()(3)3e 6t ϕϕ==-，112233()()()x f x x f x x f x ++∴的最大值为33e 6-.四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）解：数列{n a }是首项为1，公比为3的等比数列，因此11133n n n a --=⨯=；…………………………………………………………………………………（3分）数学参考答案·第4页（共9页）数列{n b }是首项为1，公比为34的等比数列，因此，1133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.…………………………………………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）可得121121121333344n n n n n n n c a b a b a b a b ----⎛⎫⎛⎫=++++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭121333344n n --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12101111141111331444414n n n n n ----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 214314n n -⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， ………………………………………………………（10分）因为2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以413n n c a <≤，所以4.3n n n a c a <≤ …………………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接1A C ，设11A C C G O = ，连接1HO A G ，，三棱台111A B C ABC -，则11A C AC ∥，又122CG AC ==， ∴四边形11A C CG 为平行四边形，则1.CO OA = ………………………………………………………………（2分）∵点H 是BC 的中点，∴1BA OH ∥. …………………………………………………………………（4分）又OH ⊂平面1C HG ，1A B ⊄平面1C HG ，∴1A B ∥平面1C HG . …………………………………………………………………（6分）（2）解：因为平面1C GH 分三棱台111A B C ABC -所成两部分几何体的体积比为2∶5， 所以111127C GHC A B C ABC V V --=，即11111121()373GHC ABC A B C S CC S S CC =++ △△△， 化简得12GHC ABC S S =△△， 图1数学参考答案·第5页（共9页）此时点H 与点B 重合. ……………………………………………………………（8分）1190C CA BCC ∠=∠=︒，∵11C C BC CC AC BC AC C ⊥⊥= ∴，，且都在平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ， 又ABC △为等腰直角三角形，则BG AC ⊥. 又由（1）知11A G CC ∥，则1A G ⊥平面ABC ， 建立如图2所示的坐标系G xyz -，…………………………………………………（10分）则(200)(020)(000)(020)H A G C -，，，，，，，，，，，，11(02(122)1)C B --，，，，，.设平面1C HG 的法向量()n x y z =，，，1(022)(200)GC GH =-= ，，，，，， 则22020y z x -+=⎧⎨=⎩，，令1y =，解得(011)n =，，， 设平面1B GH 的法向量1()(112)m a b c GB ==-，，，，，，则2020a b c a -+=⎧⎨=⎩，，令2b =，解得(021)m = ，，. ……………………………………（12分） 设二面角11C GH B --的平面角为θ，|||cos |=|cos |||||m n m n m n θ〈〉==，=， ………………（14分）所以sin θ==所以二面角11C GH B --的正弦值为10. …………………………………………（15分）解得21m =，即双曲线N ：2212y x -=. ………………………………………………（3分） 因为双曲线M 与双曲线N 的离心率相同， 不妨设双曲线M 的方程为222y x λ-=， 因为双曲线M 经过点(22)，，所以42λ-=，解得2λ=，则双曲线M 的方程为221.24x y -= ………………………………………………（6分） 图2数学参考答案·第6页（共9页）（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为11223344()()()()y kx t A x y B x y C x y D x y =+，，，，，，，，，联立222y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，，消去y 并整理得222(2)220k x ktx t λ----=，此时222222Δ44(2)(2)0202k k t t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩，，可得22k <，…………………………………（8分）当2λ=时，由韦达定理得21222kt x x k +=-，221242t x x k --=-；当1λ=时，由韦达定理得23422kt x x k +=-，232422t x x k --=-，………………………（10分）则||||2AB CD ==== 化简可得222t k +=， …………………………………………………………………（13分） 由（1）可知圆O ：222x y +=，则圆心O 到直线l的距离d ==== 所以直线l 与圆O 相切或相交. …………………………………………………（15分） 18．（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为： 在[020)，内有0.00252020010⨯⨯=（只）； 在[2040)，内有0.006252020025⨯⨯=（只）； 在[4060)，内有0.008752020035⨯⨯=（只）； 在[6080)，内有0.025********⨯⨯=（只）； 在[80100]，内有0.00752020030⨯⨯=（只）.…………………………………………（1分） 由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10253570++=（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：数学参考答案·第7页（共9页）单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计70130200……………………………………………………………………………………………（3分） 零假设为0H ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.…………………………………………………………………………………………（4分） 根据列联表中数据，得220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯. ………………………………………………………………………………………（6分） 根据0.01α=的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.…………………………………………………………………………………（7分） （2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”. 记事件A ，B ，C 发生的概率分别为()P A ，()P B ，()P C ， 则160()0.8200P A ==，20()0.540P B ==， ……………………………………………（9分） 0.20.509()1()().1P C P A P B =-=-⨯=，所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9P =.……………………………（11分） （ii ）由题意，知随机变量(1000.9)X B ，，所以()1000.990.E X np ==⨯= ………………………………………………（13分）又()C 0.90.1()012k k n kn P k n X k -=⨯⋅⋅==⨯⋅，，，，，设0k k =时，()P X k =最大， 所以000000000000100119910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯⨯⨯⎪⎨⨯⨯⨯⨯⎪⎩≥，≥， ………………………………（15分） 解得089.990.9k ≤≤，因为0k 是整数，所以090k =.…………………………………（17分）数学参考答案·第8页（共9页）19．（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：22sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin cos (12sin )sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-2232sin (1sin )(12sin )sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-.………………………………（4分）若选②，证明如下：22cos3cos(2)cos 2cos sin 2sin (2cos 1)cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--3232cos cos 2(1cos )cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-. ………………………………（4分）（2）(i)解：2()33f x x a =-'， …………………………………………………………（5分） 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增，至多有一个零点；令()0fx '>，得x <x >，所以()f x 在(上单调递减，在(-∞，，)+∞上单调递增．0f <⎪⎩，220a -<⎪⎩，且3222(4)(4)3(4)(4)(516)0f a a a a aa aa a +=+-++=++++>，所以()f x 在4)a +上有唯一一个零点，同理-<2(22)0g a-=-+=<， 所以()f x 在(-上有唯一一个零点.又()f x 在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知a 的取值范围为(04).， …………………………………………………（10分） (ii)证明：设22133()()3())(x f x x x x x ax x a x ==----+， 则23211(0)f x x x a ==-=.又04a <<，所以1a =. ………………………………………………………………（11分） 此时(2)10(1)30(1)10(2)30f f f f -=-<-=>=-<=>，，，，方程3031x x -+=的三个根均在(22)-，内，…………………………………………（12分）数学参考答案·第9页（共9页）方程3031x x -+=变形为3143222x x =⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，令ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则由三倍角公式31sin 33sin 4sin .2θθθ=-= 因为3π3π322θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以7ππ5π3666θ=-，，，7ππ5π.181818θ=-，，…………………………………………………………………………………………（14分） 因为123x x x <<，所以12327ππ52sin2si π181n n 81si 8x x x =-==， ……………………………………………………………………………（15分）所以222221π7ππ7π21cos 21cos 18184sin4sin 99x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭- 137ππ5π7π2cos2cos 2sin 2sin .991818x x =-=--=- …………………………………（17分）。
【高三】贵州省贵阳市届高三2月适应性监测考试(一)数学理试题(WORD版
【高三】贵州省贵阳市届高三2月适应性监测考试（一）数学理试题（WORD版试卷说明：贵阳市高三适应性监测考试（一）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1．的定义域，则A∩B=A．B． C． D．2. 复数(为虚数单位)在复平面上对应的点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在等差数列中，则前7项的和S7等于A． B．C． D． 4. 阅读右图所示程序框图，运行相应的程序，输出S的值等于A. -3 B. -10 C. 0 D. -2 5. 右图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积等于A．2B． C．D．4 6. 若等于A．? B． C．? D．7. 如图，在矩形ABCD中，AB= , BC=2，点E为BC的中点，点F在CD上，若?= ,则?的值是A. B. 2 C. 0 D. 18. 下列命题中假命题的是A．((，(∈R，使sin((+()=sin(+sin( B. ((∈R，函数都不是偶函数 C. (，使D. (＞0, 函数有零点9. 已知，为的的图象是10. 在平面直角坐标系中，抛物线C:的焦点为F，M是抛物线C上的点，若(OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积9(，则p=A． B． C． D．,则0≤≤2的概率是A. B. C. D. 12．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2 ,过左焦点F1作圆的切线，切点为E，直线EF1交双曲线右支于点P. 若=()，则双曲线的离心率是 A. B. 2 C. D. 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．的展开式中常数项为96，则实数等于． 14．已知变量满足, 则的最大值为 15.已知四棱锥O?ABCD的顶点在球心O，底面正方形ABCD的四个顶点在球面上，且四棱锥O?ABCD的体积为 .16. 已知定义在R上的函数是奇函数，且满足 , 若数列中，且前n项和Sn满足 ,则 ____ .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17. （本小题满分分）=(sin x , -1) , =(cos x ,-) ,函数=(+)?-2. （Ⅰ）求的最小正周期T；分别为(ABC内角A、B、C 的对边，其中A为锐角，=2 ,c=4, 且求(ABC的面积．（I）求,p的值；（）从年龄在[，）“抢购商品”的人群中采用分层抽样法抽取人参，，[40，）．组数分组的人数占本组的频率第一组[25，30）1200.6第二组[30，35）195p第三组[35，40）1000.5第四组[40，45）0.4第五组[45，50）300.3第六组[50，55]150.3（Ⅱ）在线段AB上是否存在点E，使二面角的大小为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由.20.（本题满分分已知的长轴、短轴、焦距分别为A1A2、B1B2、F1F2，且是与等差中项（Ⅰ）求方程；（Ⅱ），过椭圆C1左顶点的直线与曲线C2相切，求直线被椭圆C1截得的线段长的最小值 .21. (本小题满分12分)已知函数.（Ⅰ）若函数在区间（，）(＞0)上存在极值，求实数的取值范围；＞恒成立.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何证明选讲】如图，AB是圆的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.（Ⅰ）求证：∠DEA=DFA；(Ⅱ) 求证：.23. (本小题满分10分)选修4―4：极坐标和参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度.已知直线的方程为，曲线的参数方程为，点M是曲线C上的一动点.（Ⅰ）求线段OM的中点P的轨迹方程；(Ⅱ)求曲线C上的点到直线的距离的最小值.24．(Ⅰ）当=1时，求函数；(Ⅱ）若≥+1对任意的实数恒成立，求实数的取值范围．贵阳市201年高三适应性监测考试（一）科数学2月．12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2020年1月贵州省贵阳市普通高中2020届高三上学期1月期末考试数学(理)试卷参考答案
贵阳市普通高中2020届高三年级第一学期期末监测考试高三数学（理科）参考答案与评分建议一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．725−14．280− 15．1[1,]2− 16三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本题满分12分） 解:（1）当1n =时，111233, 3a a a =−=当2n ≥时,233n n S a =−............(1) 11233n n S a −−=− (2)（2）-（1）得：1233nn n a a a −=−∴13nn a a −= ∴数列{}n a 是13,3a q ==的等比数列3n n a =…………………………6分（2）33log log 3n nn b a n ===，则12211=2()(1)1n n n c b b n n n n +==−++ 1231111111112()1223341n n n T c c c c c n n −=+++⋯+=−+−+−⋯⋯+−+1122()22111n T n n =−=−<++…………………………12分18.（本题满分12分）解：（1）的取值情况有，,.基本事件总数为10. 设“25302530m n ⎧⎨⎩≤≤≤≤”为事件，则事件包含的基本事件为所以，故事件“25302530m n ⎧⎨⎩≤≤≤≤”的概率为………………………4分 （2）将甲、乙所作拟合直线分别计算的值得到下表：用作为拟合直线时，所得到的值与的实际值的差的平方和为222221(2223)(24.225)(28.630)(26.426)(19.816)18.2S =−+−+−+−+−=用作为拟合直线时，所得到的值与的实际值的差的平方和为222222(2223)(24.525)(29.530)(2726)(19.516)14.75S =−+−+−+−+−=由于，故用直线的拟合效果好…………………………8分 （3）由列表得:11x =，24y =；521615ii x==∑；511351i ii x y==∑，设回归方程为a bx y+=ˆ, 则122211351511243.1615511ni ii ni i x y nx yb x nx==−−⨯⨯===−⨯−∑∑，24 3.11110.1a y bx =−=−⨯=−， 故所求方程为ˆ 3.110.1yx =−…………………………12分,m n (23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16)(30,26)(30,16),(26,16)A A (25,30),(25,26),(30,26)3()10P A =310y 2.2y x =y y 2.53y x =−y y 12S S > 2.53y x =−解: （1）连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ，因为底面ABCD 是菱形， ∴//AQ BC ，∴ANQ BCN ∆∆∽，12AQ AN BC NC ==, ∴3AC =,1AN =， (0,0,0)Q (1,0,0)A B 由(2,0,0)AC AD AB =+=−所以点(2,3,0)C −，设平面PQC 的一个法向量为00QP QC ⎧⋅=⎪⎨⋅=n n ，即0x ⎧+⎪⎨23,z =(3,23,0),|=设平面BMQ 的法向量为00QB MN ⋅=⋅=m m ，注意到PA ，00QB PA ⋅=⋅=m ，解得BMQ 的一个法向量，设二面角B MQ −θ⋅==m n m n解：（1）由题意知可设过点(1,0)−的直线方程为1x ty =−，由 ⎩⎨⎧=−=xy ty x 412消去x 整理得0442=+−ty y ， 又因为直线与抛物线相切，所以016162=−=∆t ，解得1±=t ．当1=t 时，直线方程为1+=x y ，可得点P 坐标为12（，）， 又因为焦点(1,0)F ，所以点P 在x 轴上的射影为焦点F ．……………………6分 （2）设直线l 的方程为2x my =+，由⎩⎨⎧=+=xy my x 422消去x 整理得0842=−−my y ， 其中032162>+=∆m 恒成立. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则m y y y y 4,82121=+−=所以2212121212()4,()44416y y x x x x m y y m ==+=++=+ 由于圆M 是以线段AB 为直径的圆过点P ，则0PA PB ⋅=， 所以04)(21)(21212121=++−+++−y y y y x x x x 所以03842=++m m 解得21−=m 或23−=m 当21−=m 时，直线l 的方程为24y x =−+，圆M 的方程为 445)1()25(22=++−y x ；当23−=m 时，直线l 的方程为3432+−=x y ，圆M 的方程4221)3()213(22=++−y x .……………………12分证明：（1）∵1()()2x xf x e e −=−， ∴1()()02x xf x e e −'=+>， ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数，又∵001(0)()02f e e =⨯−=∴当(0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f >=； 又∵0,0xx ee −>>，∴由均值不等式得11()()122x x f x e e −'=+⨯=≥……………………………6分 （2）设()()()(1)g x f x mxf x m x '=−−−11()()(1)22x x x xe e mx e e m x −−=−−+−−则1111()(()())(1)2222x x x x x xg x e e m e e mx e e m −−−'=+−++−−−111()()()(1)222x x x x x x e e m e e mx e e m −−−=+−+−−−− 11(1)()(1)()22x x x x m e e m mx e e −−=−⨯+−−−−11(1)(()1)()22x x x x m e e mx e e −−=−+−−−(1)(()1)()m f x mxf x '=−−−∵1m ≥且0x >，由（Ⅰ）知()10f x '−>，()0f x >， ∴()(1)(()1)()0g x m f x mxf x ''=−−−<， ∴()g x 在(0,)+∞上是单调减函数，又∵(0)0g = ∴()(0)0g x g <=，即()()(1)0f x mxf x m x '−−−<∴当1m ≥，0x >时，()()(1)f x mxf x m x '<+−．……………………………12分解：（1）将cos ,sin x y ρθρθ==，222xy ρ+=代入212cos 110ρρθ++=得2212110x y x +++=，即22(6)25x y ++=，所以圆C 的圆心坐标为(6,0)−；……………………………5分 （2）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈. 设,A B 所对应的极径分别为12,ρρ.将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=.于是121212cos ,11ρραρρ+=−=.12||||AB ρρ=−==由||AB =23cos ,tan 83αα==±，所以l的斜率为3或3−. ……………………………10分 23.（本题满分12分）解：（1）由已知2, 4(),2442, 4x x f x x x x ⎧−<−⎪=−<−⎪⎪⎪⎪⎩≤≥，由()f x <解得x <<，即{|Mx x =<<；……………………………5分（2）由（1）知，当,a b M ∈时，a b <<<<，从而222222)||2|22444a b ab a b ab a b ab +−+=++−−−222222242(2)(2)0a a b b a b =−−+=−−<所以|)||2|a b ab +<+……………………………10分。
贵州省贵阳第一中学2022届高三上学期适应性月考卷(一)理科数学试卷
秘密★启用前贵州省贵阳第一中学2022届高考适应性月考卷（一）理科数学试卷注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}24230,12A x x xB xx =−−≤=>+，则A B= A. [-1, 2) B. [-1, 3] C. (-2, 3] D. (-2, 2) 2.设复数z 满足(1)3z i i +=−, 则z 的共轭复数为A.1-2iB.1+2iC. -1-2iD. -1+2i 3.已知向量(1,2),(1,3)a b ==−，且()ma nb +⊥b , 则m n= A. 12−B. 12C.2D.-24.已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且231722n S n n =−,则n a 的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.45.函数2()ln(231)f x x x =−+的单调递减区间为A. 3(,)4−∞B. 1(,)2−∞C. 3(,)4+∞ D. (1,)+∞6. 5(1)(2)x x +−的展开式中，x 5的系数为A.11B. -40C.30D. -9 7.某产品的零售价x (元)与销售量y (个)的统计表如下:据上表可得回归直线方程为8.1y x a ∧=−+,则商品零售价为10元时，预计销售量为 A.56个 B.58个 C.60个. D.62个8.2021年暑假，贵阳一中继续组织学生开展“ 百行体验”社会实践活动.现高三年级某班有6名学生需要去敬老院、社区医院、儿童福利院三个机构开展活动，要求每个机构去2名学生，且学生甲不去敬老院，则不同的安排共有A. 60种B. 360种C.15种D.100 种 9. 若直线mx -ny +3=0(m >0, n >0)截圆C: x 2+y 2 +6x -4y +5=0所得的弦长为42,则21m n+的最小值为 A.8433− B. 8433+ C. 843− D. 843+ 10. 国际数学教育大会( ICME)是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议.第十四届大会于2021年7月11日~18日在上海市华东师范大学成功举办，其会标如图1, 包含着许多数学元素.主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744,也可以读出其二进制码(0)11111100100,受疫情影响，第十四届大会在原定的举办时间上有所推迟,已知上述二进制和八进制数转换为十进制即是第十四届大会原定的举办时间，则第十四届数学教育大会原定于( ) 年举行. A.2018 B.2019 C.2020 D.202111.已知双曲线C: 22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为F 1, F 2,曲线C 上一点P 到x3a ,且∠PF 2F 1= 120°，则双曲线C 的离心率为A.13+1 B. 131 C.13+12 D. 131212.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，1()ln f x x x e=+,若关于x 的函数2()[()]()F x f x af x =+恰有5个零点，则实数a 的取值范围为A. 11[,0)(0,]e e− B. 11[,]e e − C. 11(,0)(0,)e e − D. 11(,)e e −二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分) 13.已知tan 1,tan 2αβ==,则tan(2)_______αβ−=14.若x , y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪−≤⎨⎪−≥−⎩，则3429z x y =+−的最小值为______15.某几何体的三视图如图2所示，则该三视图的外接球表面积为_____。
贵州省贵阳市四校2020届高三数学1月月考试题理(扫描版)
贵州省贵阳市四校2020届高三数学1月月考试题理（扫描版）贵阳市四校2020届高三年级联合考试（四）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．A 集合为点集，B 集合为数集，两集合没有公共元素，故选D ． 2．复数i (i)(1i)(1)(1)i 1i (1i)(1i)2a a a a z +++-++===--+，复数z 为纯虚数，则110022a a +-≠=，，解得1a =，故选C ．3．本题考查等差数列通项公式的应用. 根据题意，甲乙分的钱数相当于等差数列的第1项和第2项，戊己庚分的钱数相当于等差数列的第5，6，7项，丙丁分的钱数相当于等差数列的第3，4项，7人分得的钱数成等差数列.根据题意得125677775a aa a a +=⎧⎨++=⎩，，即111117745675a a d a d a d a d ++=⎧⎨+++++=⎩，，解得1403a d =⎧⎨=-⎩，，所以3141234331a a d a a d =+==+=，，即丙分得34文钱，丁分得31文钱，故选A.4．①正确；②在ABC △中，若sin2sin2A B =，则角A 与角B 相等或角A 与角B 互余，②错误；③命题：“若tan x =，则π3x =”是假命题，根据原命题与逆否命题的等价性知其逆否命题也是假命题，③正确，故选C ． 5．由三视图知，该几何体是四棱锥，故13163V ==g g 或221=443332V V =g g g g 三棱柱 16=，故选C ．6．由程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出π2πsin sin sin π33S =++4πsin 3+ 5πsin3+的值，由于π2π4π5πsin sinsin πsin sin 03333S =++++=，故选B ． 7．311200882|33S x x ===⎰，故选C ． 8．根据题意，函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，又0.312222log 5<=<，则a b c >>，故选B ．9．∵11()ln||ln||()f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，∴()f x 是奇函数，关于(00)，对称，排除A ，B ；当2x =时，5(2)ln 202f =>，故选D ．10．2a b +=，即13a b ++=，所以1111111(1)213131b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=+++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭11422313b a a b ⎛++= +⎝g ≥，故选C ． 11．由题意得2b y =与椭圆22221x y a b +=的交点的坐标分别为3±2b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，因为(0)F c ，，且90BFC ∠=︒，所以0FB FC =u u u r u u u r g ，即23304b c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2232c a =，所以6e =，故选A ． 12．∵函数(2)y f x =+的图象关于直线2x =-对称，∴函数()y f x =图象的对称轴为0x =，故()y f x =是偶函数，即()()f x f x -=．又函数(1)f x +是偶函数，∴(1)(1)f x f x +=-+，故(2)()()f x f x f x +=-=，∴函数()f x 是周期为2的偶函数．又当[01]x ∈，时，π()sin 2f x x =，画出()y f x =与||1e x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图1所示，由图象可知在每个周期内两函数的图象有两个交点，所以函数||()()e x g x f x -=-在区间[20162016]-，上的零点个数为201624032⨯=，故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 1314 1516答案 51055π6171322n n a -=-g 【解析】13．a r 在b r 方向上的投影为5||a b b =r rg r 251m =+m 为211-（舍去）或2-，图1∴(12)b =-r ，，∴|| 5.b =r14．4x 的系数为432666C C C 10.-+=15．如图2，三棱锥P ABC -即为长方体的实线部分，则长方体的体对角线PB 即为外接球直径，5PB ，即可求出体积34π55π3R V =. 16．因为点*1()()n n n P a a n +∈N ，在直线310x y -+=上，所以1310n n a a +-+=，所以111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为13a =，所以11722a +=，故数列12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为72，公比为3的等比数列．所以117322n n a -+=g ，故数列{}n a 的通项公式为1713.22n n a -=-g 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）众数：9.8；中位数：9.55. …………………………………………………（4分）（2）在16人的样本数据中共有12人“极度不满”，故依题意可知，从该网站论坛中任 选1人，抽到“极度不满”的人的概率34P =， ……………………………………（6分）ξ的可能取值为0123，，，， 311(0)464P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1213319(1)C 4464P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21233127(2)C 4464P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3327(3)464P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ………………………………………………………………（8分）所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P164 964 2764 2764…………………………………………………………………………………………（10图2分）192727()0123 2.2564646464E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 另解：由题可知334B ξ⎛⎫⎪⎝⎭～，，所以3()3 2.25.4E ξ=⨯= …………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）∵cos sin 0a b c A C +-=，由正弦定理得，sin sin sin cos sin 0A B C A A C +-=. ………………………（1分）∵π()B A C =-+，∴sin sin[π()]sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C =-+=+=+，∴sin sin cos cos sin sin cos sin 0A A C A C C A A C ++-=，∴sin sin cos sin 0.A A C A C += ……………………………………………（3分）∵(0π)A ∈，，∴sin 0A ≠，∴1cos 0C C +=，cos 1C C -=，12cos 12C C ⎫-=⎪⎪⎝⎭，即π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ………………………………………（5分）∵0πC <<，∴ππ5π666C -<-<， ∴ππ66C -=，∴π.3C = ………………………………………………………………（6分）（2）∵π3C c ==，∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得222π2cos 3a b ab =+-， 即2212.a b ab =+- ……………………………………………………………………（8分）∵2b a =，∴221242a a a a =+-⨯， ∴2312a =，即24a =.∵0a >，∴2a =， …………………………………………………………………（10分）∴24b a ==，ABC △的面积113sin 242 3.22S ab C ==⨯⨯= ………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：在题图甲中，因为22AB BC CD ==，且D 为AB 的中点. 由平面几何知识，得90ACB ∠=︒. 又因为E 为AC 的中点，所以//DE BC .在题图乙中，CE DE PE DE ⊥⊥，，且CE PE E =I ， 所以DE ⊥平面CEP ， 所以BC ⊥平面CEP ， 又因为BC ⊂平面BCP ，所以平面BCP ⊥平面CEP . ……………………………………………………………（6分）（2）解：因为平面DEP ⊥平面BCED ，平面DEP I 平面BCED DE EP =⊂，平面DEP ，EP DE ⊥，所以EP ⊥平面BCED . 又因为CE ⊂平面BCED ， 所以EP CE ⊥.以E 为坐标原点，分别以ED EC EP u u u r u u u r u u u r，，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图3所示的空间直角坐标系. 在题图甲中，设2BC a =，则4AB a =，.AC AE CE DE a ====，，则(00)P ，，(00)D a ，，，(00)C ，，(20)B a ，. …………………………………………………………………………（8分）所以(0)(200)(0).DP a BC a CP =-=-=-u u u r u u u r u u u r，，，，，， 设()x y z =，，n 为平面BCP 的法向量， 则00BC CP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rg u u u rg ，，n n即200ax -=⎧⎪⎨=⎪⎩，， 令1y =，则1z =，所以(011).=，，n …………………………………………………（10分）设DP 与平面BCP 所成的角为θ，则||sin cos ||||DP DP DP θ====u u u r u u u r g u u u r |<，>|n n n 所以直线DP 与平面BCP……………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）解：设()P x y ，，则(12)(10)(1).PQ x y OF PF x y =---==--u u u r u u u r u u u r，，，，， 由||||PQ OF PF =u u u r u u u r u u u rg知，|1|x --24y x =，即动点P 的轨迹E 的方程为24y x =. …………………………………………………（5分）（2）证明：设过点(10)F ，的直线为11221()()x my A x y B x y =+，，，，，由214x my y x =+⎧⎨=⎩，，得2121244044y my y y m y y --=+==-，，， ………………………（7图3分）∵1212112212221111y y k k x my x my x x --+=+=+=+++，，， ∴12122112121222(2)(2)(2)(2)22(2)(2)y y y my y my k k my my my my ---++-++=+=++++ 1212212122(22)()82()4my y m y y m y y m y y +-+-=+++， ……………………………………………………（10分）将121244y y m y y +==-，代入，得212288244m k k m --+==-+， 故12k k +为定值2-. …………………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分） 解：（1）()(1)e kx f x kx +'=， 得(0)0f =，且(0)1f '=，所以曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线方程为y x =. ……………………………（4分）（2）令()(1)e 0kx f x kx '=+>，所以10kx +>，当0k >时，1x k >-，此时()f x 在1k ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递减，在1k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增；当0k <时，1x k <-，此时()f x 在1k ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递增，在1k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减．…………………………………………………………………………………………（8分）（3）当1k =时，()f x 在(1)-∞-，上单调递减，在(1)-+∞，上单调递增， 所以对任意1x ∈R ，有11()(1)ef x f -=-≥，又已知存在2[12]x ∈，，使12()()f x g x ≥，所以221()[12]e g x x -∈≥，，， 即存在[12]x ∈，，使21()24e g x x bx =-+-≤，即14e 2b x x-++≥，即因为当14e 11[12]452e e x x x -+⎡⎤∈+∈++⎢⎥⎣⎦，，，， 所以1242e b +≥，即实数b 的取值范围是124eb +≥，所以实数b 的取值范围是124e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭，． …………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 解：（1）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=， 曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=，联立2222200x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，，解得00x y =⎧⎨=⎩，或32x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以曲线2C 与3C 的交点的直角坐标为3(00).2⎫⎪⎪⎝⎭，和， …………………………（5分）（2）曲线1C 的极坐标方程为(0)θαρρ=∈≠R ，，其中0πα≤≤，因此A 的极坐标为(2sin )αα，，B的极坐标为)αα，，所以π|||2sin |4sin 3AB ααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当5π6α=时，||AB 取到最大值，最大值为4. ………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）当1m =时，()|1||21|f x x x =-+-，∴12321()12321x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=⎨⎪->⎪⎪⎩，，，≤≤，，，()2f x <，即求不同区间对应的解集， ∴()2f x <的解集为403x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． ……………………………………………………（5分）（2）由题意，()3f x x <-对任意的[01]x ∈，恒成立. 即||3|21|x m x x -<---对任意的[01]x ∈，恒成立. 令1202()3|21|14312x x g x x x x x ⎧+<⎪⎪=---=⎨⎪-⎪⎩，≤，，≤≤，∴函数||y x m =-的图象应该恒在()g x 的下方，数形结合可得02m <<．…………………………………………………………………………………………（10分）。
贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学 (解析版)
数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.下列函数在其定义域内单调递增的是（ ）A. B.C. D.3.已知等差数列满足，则（ ）A.2B.4C.6D.84.已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（ ）A.1或2B.2或4C.2或8D.4或85.已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）A.B.C.D.7.从的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（ ）{}{}2230,1,2,3,4A xx x B =-->=∣A B ⋂={}1,2{}1,2,3{}3,4{}41y x=-2ln y x =32y x =e xy x ={}n a 376432,6a a a a +=-=1a =A ()2:20C y px p =>A A x p =()23f x -[]2,3()f x (),21xA f -B x A ∈x B ∈()f x R ()()e xg x f x -=+()()5e xh x f x =-()g x ()h x ()f x e 2e51x ⎫⎪⎭A.B. C. D.8.已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（ ）A.20B.C.10D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（ ）20242025A.B.服从两点分布C.D.10.已知函数，下列说法正确的是（ ）A.的定义域为，当且仅当B.的值域为，当且仅当C.的最大值为2，当且仅当D.有极值，当且仅当11.设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A.B.的图象关于直线对称C.的一个周期是4D.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点作曲线且的切线，则切点的纵坐标为__________.13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安25351323221:220C x y x y +--=x y M N 2C 1C 22C M C N ⋅X ,m n X Pm n1m n +=X ()20242025E X <<()D X mn=()()214log 21f x ax ax =-+()f x R 01a <<()f x R 1a …()f x 1516a =()f x 1a <R ()f x ()g x ()f x '()g x '()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+()1g x +()00f =()g x 2x =()f x 20251()0k g k ==∑()0,0(0x y a a =>1)a ≠顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答）14.已知函数若存在实数且，使得，则的最大值为__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为，第n 个图形中实心区域的面积为.（1）写出数列和的通项公式；（2）设，证明.16.（本小题满分15分）如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，为线段的中点，为线段上的点.（1）若点为线段的中点，求证：平面；（2）若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，求二面角的正弦值.()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧++=⎨>⎩…123,,x x x 123x x x <<()()()123f x f x f x ==()()()112233x f x x f x x f x ++n n n a n b {}n a {}n b 121121n n n n n c a b a b a b a b --=++++ 43n n n a c a <…111A B C ABC -111A B C V ABC V 111112,4,90,CC C A CA ACC BCC CBA G ∠∠∠====== AC H BC H BC 1A B ∥1C GH 1C GH 111A B C ABC -2:511C GH B --17.（本小题满分15分）已知双曲线与双曲线的离心率相同，且经过点的焦距为.（1）分别求和的方程；（2）已知直线与的左､右两支相交于点，与的左､右两支相交于点，D，，判断直线与圆的位置关系.18.（本小题满分17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；（ii ）以（i ）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值.()2222:10,0x y M a b a b -=>>2222:12x y N m m-=M ()2,2,N M N l M ,A B N C AB CD=l 222:O x y a +=[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,10022⨯0.01α=P P X ()E X ()P X k =k参考公式：（其中为样本容量）参考数据：0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87919.（本小题满分17分）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②.根据以上研究结论，回答：（1）在①和②中任选一个进行证明；（2）已知函数有三个零点且.（i ）求的取值范围；（ii ）若，证明：.()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++αx α3sin33sin 4sin θθθ=-3cos34cos 3cos θθθ=-()323f x x ax a =-+123,,x x x 123x x x <<a 1231x x x =-222113x x x x -=-贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DCBCBCAA【解析】1.由题，或，则，故选D.2.对于A 选项，的定义域为，该函数在和上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，的定义域为，该函数在上单调递减，在上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，的定义域为，当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C.3.，故选B.4.设点，则整理得，解得或，故选C.5.的定义域为.当时，的定义域为，即.令，解得的定义域为，即.“”是“”的必要不充分条件，故选B.{1A xx =<-∣{}3},1,2,3,4x B >={}4A B ⋂=1y x=-()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+2ln y x =()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+32y x ==[)0,∞+e x y x =().1e xy x =+'R (),1x ∞∈--0y '<()1,x ∞∈-+0y '>x e y x ∴=(),1∞--()1,∞-+53756415232,16,26,3,44a a a a d a a d a a d =+===-===-= ()00,A x y 200002,5,24,y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2p =8p =()23f x - []2,323x ……()1233,x f x -∴……[]1,3[]1,3A =1213x -……()12,21xx f ∴-……[]1,2[]1,2B =,B A ⊆∴ x A ∈x B ∈6.由题，解得，所以，即时，等号成立，C.7.设的二项展开式的通项公式为，，所以二项展开式共6项.当时的项为无理项；当时的项为有理项.两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为，故选A.8.由题，，即圆心为，且，为的直径.与相外切，.由中线关系，有，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为20，故选A.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDBCBCD【解析】9.对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，，正确；对于D 选项，令，则服从两点分布，，，正确，故选ACD.10.令，对于A 选项，的定义域为或，故A 错误；对于B 选项，的值域为在定义域内的值域为()()()()()()()(),e e ,5e 5e ,x xx xg x g x f x f x h x h x f x f x --⎧⎧=-+=-+⎪⎪⇒⎨⎨=---=--+⎪⎪⎩⎩()3e 2e x xf x -=+()3e 2e xxf x -=+…3e 2e x x -=12ln 23x =min ()f x ∴=51x ⎫⎪⎭53521551C C ,0,1,2kkk k kk T x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭3,4,50,2,4k =1,3,5k =223326C C 2C 5+=221:(1)(1)2C x y -+-=()11,1C ()()2,0,0,2M N MN 1C 1C 2C 12C C ∴=+=()()2222222222121222218240,202C M C NC M C N C C C MC M C N ++=+=⨯+=∴⋅=…22C M C N =22C M C N ⋅()()()202420252024120252024.01,20242025E X m n n n n n E X =+=-+=+<<∴<< 2024Y X =-Y ()()1D Y n n mn =-=()()()2024D X D Y D Y mn ∴=+==()2221,Δ44g x ax ax a a =-+=-()f x 0a ⇔=R 0,01Δ0a a >⎧⇔<⎨<⎩…()f x ()g x ⇔R，故B 正确；对于C 选项，的最大值为在定义域内的最小值为，故C 正确；对于D 选项，有极值在定义域内有极值且，故D 选项错误，故选BC.11.对于A 选项，因为为奇函数，所以，又由，可得，故A 错误；对于B 选项，由可得为常数，又由，可得，则，令，得，所以，所以的图象关于直线对称，故B 正确；对于C 选项，因为为奇函数，所以，所以，所以是一个周期为4的周期函数，，所以也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为为奇函数，所以，又，又是周期为4的周期函数，所以，故D 正确，故选BCD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案144【解析】12.设切点坐标为切线方程为.将代入得，可得切点纵坐标为.13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有种方法，再安排梵净山的位置共有种方法，再排其()0,0,1Δ0a a ∞>⎧+⇔⇔⎨⎩……()f x ()2g x ⇔()0,11511616116a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩()f x ()g x ⇔()0,110a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩0a ≠()1g x +()10g =()()11g x f x --=()()()101,01g f f -==-()()3f x g x '=+'()()3,f x g x C C =++()()11g x f x --=()()11g x f x --=()()131g x g x C --+-=1x =-()()221g g C --=1C =-()()()13,g x g x g x -=+2x =()1g x +()()()311g x g x g x +=-=-+()()()()()2,42g x g x g x g x g x +=-+=-+=()g x ()()()()()()31,47131f x g x f x g x g x f x =+-+=+-=+-=()f x ()1g x +()()()()10,204g g g g ==-=-()()310g g ==()g x 20251()(1)0k g k g ===∑e33e 6-(),,ln ,txt a y a a ='∴ ln x y a a x =⋅(),tt aln tta a t a ⋅=1log e,ln a t a==∴e log e t a a a ==22A 13C余元素共有种排法，故共有种不同的方案.14.设，由的函数图象知，，又，.令在上单调递增，则，的最大值为.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）（1）解：数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此；数列是首项为1，公比为的等比数列，因此，.（2）证明：由（1）可得因为，所以，所以.16.（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接，设，连接，44A 214234A C A 144⋅⋅=()()()123f x f x f x t ===()f x 23t <…1232,ln x x x t +=-= ()()()3112233e ,2e t t x x f x x f x x f x t t =∴++=-+()()()()2e ,23,1e 20,t t t t t t t t t ϕϕϕ'=-+<=+->∴…(]2,3()3max ()33e 6t ϕϕ==-()()()112233x f x x f x x f x ∴++33e 6-{}n a 11133n n n a --=⨯={}n b 341133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1210121121121333333334444n n n n n n n n n c a b a b a b a b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12101111134444n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦121114134311414n nn n --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=⋅⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-2114314411334n n nnn nc a --⎡⎤⎛⎫⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦413n n c a <…43n n n a c a <…1AC 11AC C G O ⋂=1,HO A G三棱台，则，又，四边形为平行四边形，则.点是的中点，.又平面平面，平面.（2）解：因为平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，所以，即，化简得，此时点与点重合.，且都在平面，则平面，111A B C ABC -11AC ∥AC 122CG AC ==∴11AC CG 1CO OA = H BC 1BA ∴∥OH OH ⊂11,C HG A B ⊄1C HG 1A B ∴∥1C HG 1C GH 111A B C ABC -2:511127C GHC AB V V B C ABC -=-()1111121373GHC ABC AB C S CC S S CC ⋅⋅=⋅⋅+⋅V V V 12GHC ABC S S =V V H B 1190C CA BCC ∠∠== 11,,C C BC CC AC BC AC C ∴⊥⊥⋂=ABC 1CC ⊥ABC又为等腰直角三角形，则.又由（1）知，则平面，建立如图2所示的坐标系则，设平面的法向量，则令，解得，设平面的法向量，则令，解得.设二面角的平面角为，，所以，所以二面角.17.（本小题满分15分）解：（1）由题意可知双曲线的焦距为，解得，即双曲线.因为双曲线与双曲线的离心率相同，不妨设双曲线的方程为，因为双曲线经过点，所以，解得，则双曲线的方程为.ABC V BG AC ⊥1A G ∥1CC 1A G ⊥ABC ,G xyz -()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0H A G C -()()110,2,2,1,1,2C B --1C HG ()()()1,,,0,2,2,2,0,0n x y z GC GH ==-= 220,20,y z x -+=⎧⎨=⎩1y =()0,1,1n = 1B GH ()()1,,,1,1,2m a b c GB ==- 20,20,a b c a -+=⎧⎨=⎩2b =()0,2,1m = 11C GH B --θcos cos ,m n m n m n θ⋅=<>=== sin θ==11C GH B --N =21m =22:12y N x -=M N M 222y x λ-=M ()2,242λ-=2λ=M 22124x y -=（2）易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，联立消去并整理得此时可得，当时，由韦达定理得；当时，由韦达定理得，则，化简可得，由（1）可知圆，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相切或相交.18.（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在内有（只）；在）内有（只）；在）内有（只）；在）内有（只）；在内有（只）由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只l l ()()()()11223344,,,,,,,,y kx t A x y B x y C x y D x y =+22,,2y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2222220,k x ktx t λ----=()()222222Δ44220,20,2k t k tt k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩22k <2λ=212122224,22kt t x x x x k k--+==--1λ=234342222,22kt t x x x x k k--+==--ABCD ====222t k +=22:2O x y +=O l d ====l O [)0,200.00252020010⨯⨯=[20,400.006252020025⨯⨯=[40,600.008752020035⨯⨯=[60,800.025********⨯⨯=[]80,1000.00752020030⨯⨯=10253570++=指标值抗体小于60不小于60合计有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.根据列联表中数据，得.根据的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.（2）（i ）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.记事件发生的概率分别为，则，.所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.（ii ）由题意，知随机变量，所以.又，设时，最大，所以解得，因为是整数，所以.19.（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：若选②，证明如下：.0H 220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯0.01α=A =B =C =,,A B C ()()(),,P A P B P C ()()160200.8,0.520040P A P B ====()1P C =-()()10.20.50.9P A P B =-⨯=0.9P =()100,0.9X B ~()1000.990E X np ==⨯=()()C 0.90.10,1,2,,k k n k n P X k k n -==⨯⨯= 0k k =()P X k =00000000000010011910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1,C 0.90.1C 0.90.1,k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎪⎨⨯⨯≥⨯⨯⎪⎩089.990.9k ……0k 090k =()()22sin3sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 12sin sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-()()2232sin 1sin 12sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-()()22cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-（2）（i ）解：，当时，恒成立，所以在上单调递增，至多有一个零点；当时，令，得；令，得令，得或所以在上单调递减，在上单调递增.有三个零点，则即解得，当时，，且，所以在上有唯一一个零点，同理所以在上有唯一一个零点.又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，综上可知的取值范围为.（ii ）证明：设，则.又，所以.此时，方程的三个根均在内，方程变形为，令，则由三倍角公式.因为，所以.()233f x x a =-'0a …()0f x '…()f x (),∞∞-+0a >()0f x '=x =()0f x '<x <<()0f x '>x <x >()f x ((),,∞∞-+()f x (0,0,f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩2220,20,a a ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩04a <<04a <<4a +>()()()()32224(4)3445160f a a a a a a a a a +=+-++=++++>()f x )4a +()2220,g a -<-=-=-<()f x (-()f x (()f x a ()0,4()()()()321233f x x ax a x x x x x x =-+=---()212301f a x x x ==-=04a <<1a =()()()()210,130,110,230f f f f -=-<-=>=-<=>3310x x -+=()2,2-3310x x -+=3134222x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭31sin33sin 4sin 2θθθ=-=3π3π3,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭7ππ5π7ππ5π3,,,,,666181818θθ=-=-因为，所以，所以.123x x x <<1237ππ5π2sin ,2sin ,2sin 181818x x x =-==222221π7ππ7π4sin 4sin 21cos 21cos 181899x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭137ππ5π7π2cos 2cos 2sin 2sin 991818x x =-=--=-。
贵州省贵阳第一中学2023届高三上学期高考适应性月考卷(二)数学(理)试题(解析版)
秘密★启用前理科数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数z 满足()13i 5z -=，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算法则化简复数得13i 22z =+，进而得其共轭，即可根据复数的几何意义得对应点的象限.【详解】由()13i 5z -=，得()513i 513i13i 1022z +===+-，13i 22z =-，故z 在复平面内所对应的点为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限，故选:D ．2.设集合11A x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，{21x B x =≥，则A B = （）A.[)0,∞+ B.[]0,1 C.(]0,1 D.[)0,1【答案】C 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义即可得出答案.【详解】{}111001x A xx x x x x ⎧⎫⎧⎫-=≥=≤=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，{}{}{}021220x x B x x x x =≥=≥=≥，所以A B ⋂{}(]010,1x x =<≤=，故选：C ．3.设a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若//a b ，//b α，则//a αB.若//a b ，//a α，b β//，则//a βC.若a b ⊥r r，a α⊥，b β//，则αβ⊥ D.若a α⊥，//b α，则a b⊥r r【答案】D 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可．【详解】解：对于A ：若//a b ，//b α则//a α或a α⊂，故A 错误；对于B ：若//a b ，//a α，b β//，则//a β或a β⊂，故B 错误；对于C ：若a b ⊥r r，a α⊥，b β//，则αβ⊥或//αβ或α与β相交（不垂直），故C 错误；对于D ：由线面垂直的性质定理可知，若a α⊥，//b α，则a b ⊥r r，故D 正确；故选：D ．4.在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知立夏的晷长为4.5尺，处暑的晷长为5.5尺，则夏至所对的晷长为（）A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的定义即可求解.【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为()0d d >，则夏至到处暑增加4d ，立夏到夏至减少3d ，夏至的晷长为x ，则4 5.54.53x d d x +=⎧⎨-=⎩，解得11.5d x =⎧⎨=⎩，故选:A ．5.若实数x ，y 满足约束条件020220x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最小值为（）A.6-B.1- C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据约束条件得可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最值.【详解】根据约束条件画出可行域如图所示，作出直线2y x z =-+，可知z 要取最小值，即直线经过点A ，解方程组20220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得()0,2A ，所以min 2022z =⨯+=，故选：C ．6.如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，2AD =，3BC =，P 是线段AB 上的动点，则2PC PD +的最小值为（）A.5B.5C.35D.7【答案】D 【解析】【分析】如图，以B 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，所以()0,P x ，()3,0C ，()2,D a ，分别表示出()3,PC x =- ，()2,PD a x =-，再由向量的模长公式代入即可得出答案.【详解】如图，以B 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设AB a =，()0BP x x a =≤≤，因为2AD =，3BC =，所以()0,P x ，()3,0C ，()2,D a ，所以()3,PC x =- ，()2,PD a x =-，()24,22PD a x =- ，所以()27,23PC PD a x +=-，所以()2249237PC PD a x +=+- ，所以当230a x -=，即23x a =时，2PC PD +的最小值为7，故选：D．7.已知π2sin 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 1tan αα-的值为（）A.34-B.34C.316-D.316【答案】A 【解析】【分析】根据正弦的和差角公式可得1sin cos 2αα-=，平方可得3sin cos 8αα=，进而化切为弦即可求解.【详解】由πsin 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得()22sin cos 24αα-=，∴1sin cos 2αα-=，所以112sin c 4os αα-=，∴3sin cos 8αα=，所以sin sin sin cos 3sin 1tan cos sin 41cos ααααααααα===----，故选：A ．8.开学典礼上甲、乙、丙、丁、戊这5名同学从左至右排成一排上台领奖，要求甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有1名同学的排法有（）种．A.12B.16C.20D.24【答案】C 【解析】【分析】甲乙丙是三个特殊元素，分类讨论甲与丙之间为乙与甲与丙之间不是乙的两种情况，利用捆绑法即可求得所求排法总数.【详解】若甲与丙之间为乙，即乙在甲、丙中间且三人相邻，共有22A 2=种情况，将三人看成一个整体，与丁戊两人全排列，共有33A 6=种情况，则此时有2612⨯=种排法；若甲与丙之间不是乙，先从丁、戊中选取1人，安排在甲、丙之间，有12C 2=种选法，此时乙在甲的另一侧，将四人看成一个整体，考虑之前的顺序，有22A 2=种情况，将这个整体与剩下的1人全排列，有22A 2=种情况，此时有2228⨯⨯=种排法，所以总共有12820+=种情况符合题意.故选：C ．9.已知随机变量()2~2,N ξσ，且()()11P P a ξξ=-≤≥，则()190x a x a x+<<-的最小值为（）A.9B.6C.4D.2【答案】C 【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可求解4a =，进而根据基本不等式乘“1”法即可求解.【详解】由随机变量()2~2,N ξσ，则正态分布的曲线的对称轴为2ξ=，又因为()()11P P a ξξ=-≤≥，所以()114a +-=，所以4a =．当04x <<时，190,04x x>>-,所以有()41919491102104444444x x x x x x x x x x +--+⎛⎫⎛⎫+=+⨯=++⨯ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当494x xx x-=-，即1x =时等号成立，故最小值为4，故选:C ．10.设函数()e ,0πsin ,0π3x x x f x x x ω⎧+<⎪=⎨⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，有4个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（）A.710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.7,3⎛⎤+∞⎥⎝⎦C.10,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.710,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】根据函数的单调性及零点存在定理可得当0x <时函数有一个零点，然后根据三角函数的图象和性质即得.【详解】当0x <时，()e xf x x =+单调递增，且()1011e f --=<-，()010f =>，故0x <有一个零点，所以当0πx ≤≤时，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭有3个零点，令()0f x =，即ππ3x k ω-=，Z k ∈，解得3ππk x ω+=，由题可得区间[]0,π内的3个零点分别是0k =，1，2取得，所以π即在2k =和3k =之间，即ππ2π3π33πωω++<≤，解得71033ω≤<.故选：A ．11.已知1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，E 上存在两点A ，B使得梯形12AF F B 的高为c （其中c 为半焦距），且123AF BF =，则E 的离心率为（）A.3B.3C.2D.13【答案】A 【解析】【分析】根据123AF BF =，可得12AF BF ∥，则1AF ，2BF 为梯形12AF F B 的两条底边，作21F P AF ⊥于点P ，所以2PF c =，则可求得1230PF F ∠=︒，再结合123AF BF =，建立,,a b c 的关系即可得出答案.【详解】如图，因为123AF BF =，所以12AF BF ∥，则1AF ，2BF 为梯形12AF F B 的两条底边，作21F P AF ⊥于点P ，则21F P AF ⊥，因为梯形12AF F B 的高为c ，所以2PF c =，在12Rt F PF 中，122F F c =，则即1230PF F ∠=︒．设1AF x =，则22AF a x =-，在22221121122cos30AF AF F F AF F F =+-︒，即()22224a x x c -=+-，解得21AF x ==，同理22BF x ==，又123AF BF =32332a c +=，即2a =，所以3c e a ==.故选：A．12.在给出的①eln 33<；②129e ln 32<；③0.2e ln 3<三个不等式中，正确的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】构造函数()ln xf x x=，根据导数判断单调性，可判断①；由32e 3=>，根据函数()f x 的单调性，可得()()23e f f <，进而判断②；由函数()f x 的单调性可得1ln 3e 3>，进而ln 30.43>，即1.2ln 3>，再构造()e 1xg x x =--，根据函数的单调性可得0.2e 1.2>，进而判断③.【详解】令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，所以0e x <<时，()0f x ¢>，即()f x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，即()f x 在()e,+∞上单调递减；可得()()e 3f f >，即ln e ln 3eln 33e 3>⇒<，故①正确；因为32e 3=>，所以()32e 3f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即3232ln e ln 33e <，所以33223ln e e ln 3<，即329e ln 32>，故②错误；再令()e 1xg x x =--，则()e 1xg x '=-，所以当0x >时，()0g x '>，即()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g >=，则()0.20.2e0.210g =-->，即0.2e 1.2>．又10.4e>，e 3<，所以()()e 3f f >，即ln e ln 3e 3>，即1ln 3e 3>，所以ln 30.43>，即1.2ln 3>，所以0.2e 1.2ln 3>>，即0.2e ln 3>，故③错误；故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n a S +=+，则6S =___________．【答案】94【解析】【分析】由12n n a S +=+，可得当2n ≥时，12n n a S -=+，两式相减可证得数列{}n a 是以23a =为首项，公比为2的等比数列，可求出{}n a 的通项公式，即可求出6S .【详解】由已知，11a =，12n n a S +=+①，当1n =时，211223a S a =+=+=，当2n ≥时，12n n a S -=+②，①－②得：1n n n a a a +-=，整理得：12n n a a +=，即()122n na n a +=≥，所以数列{}n a 是以23a =为首项，公比为2的等比数列，所以()22*22322,n n n a a n n --=⋅=⋅∈N ≥，所以21,132,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，*n ∈N ，所以6S =()234131222294+⨯++++=．故答案为：94.14.已知向量()1,1a = ，()1,b m =- ，若a b + 与b的夹角为60°，则m =___________．【答案】33【解析】【分析】根据向量数量积的坐标运算，根据夹角公式即可求解.【详解】由题意得()0,1a b m +=+，故()1cos ,02a b b a b b a b b +⋅+<+>==>+⋅，解得33m =±，由于()100m m m +>Þ>或1m <-，故33m =-不合题意，舍去，故33m =．故答案为：3315.如图，经过坐标原点O 且互相垂直的两条直线AC 和BD 与圆2242200x y x y +-+-=相交于A ，C ，B ，D 四点，则四边形ABCD 面积的最大值为___________．【答案】45【解析】【分析】根据圆中的弦长公式可得AC=,BD =，结合222125d d OM +==以及二次函数的性质即可求解最值.【详解】由题设()()222125x y -++=，则圆心()2,1M -，半径=5r，OM ==,若圆心()2,1M -到直线AC ，BD 的距离12,,dd 则1d ，2d ⎡∈⎣且222125d d OM +==，则AC=,BD =而12ABCD S AC BD =，所以ABCD S =令[]222150,5t dd ==-∈，则ABCDS ==，当52t =，即122d d ==时，四边形ABCD 面积的最大值45．故答案为：4516.如图,在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D 中,已知点P 为棱1AA 上靠近于点1A 的四等分点,点Q 为棱CD 上一动点．若M 为平面1D PQ 与平面11ABB A 的公共点,N 为平面1D PQ 与平面ABCD 的公共点,且点M ,N 都在正方体的表面上,则由所有满足条件的点M ,N构成的区域的面积之和为___________．【答案】372【解析】【分析】把平面1D PQ 与平面11ABB A 和平面ABCD 的交线画出，从运动的观点观察即可获解.【详解】过点P 作1//PK D Q 交AB 于点K则平面1D PQ 平面11ABB A PK =,平面1D PQ 平面ABCD QK =所以M 构成的区域为Q 运动到C 点时的PAKN 构成的区域为Q 运动到C 点时的梯形AKQD此时193322PAK S =⨯⨯= (43)4142AKQD S +⨯==梯形所以M ,N 构成的区域的面积之和为9371422+=故答案为：372三、解答题（共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知△ABC 中的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角B 为钝角，且3sin 2cos 6sin 2A a B B π⎛⎫+=⎪⎝⎭．（1）求角B 的大小；（2）若点D 在AC 边上，满足AC 3AD =，且3AB =，2BD =，求BC 边的长．【答案】（1）23B π=（2）6【解析】【分析】（1）由正弦定理边角关系得22sin cos 2sin sin cos sin A B B A B B B A -=，根据三角形内角的性质求得tan 2B =，即可确定B 的大小；（2）由23BD BC CA =+ 1233BC BA =+ ，根据已知及向量数量积的运算律，列方程求BC的模长即可.【小问1详解】cos sin()63B B ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭由已知，得：2sin 2sin sin 3a B B A π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则314sin cos cos sin sin 22a B B B B A ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭．由正弦定理，22sin cos 2sin sin cos sin A B B A B B B A -=，∵A ，()0,B π∈，故sin sin 0A B ≠，∴22sin cos B B B -=2sin 2B B =，即tan 2B =∵,2B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2,2B ππ∈，∴423B π=，即23B π=．【小问2详解】由题意，得BD BC CD =+．∵AC 3AD =，∴()22123333BD BC CA BC BA BC BC BA =+=+-=+，∴222212144339BD BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．∵23B π=，3AB =，2BD =，∴212434cos4993BC BC π⎛⎫=+⨯⋅+⨯ ⎪⎝⎭ ，∴260BC BC -=，0BC ≠ ，则6BC = ，∴6BC =．18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，1AA tAB =，点D ，E 分别为棱BC ，11B C上的中点．（1）求证：AD //平面1A EB ；（2）若二面角1C AD C --的大小为3π，求实数t 的值．【答案】（1）证明见解析（2）62t =【解析】【分析】（1）根据平行四边形可得线线平行，根据线面平行的判定定理即可求证，（2）根据面面垂直得线面垂直，进而根据几何法可得二面角的平面角，进而根据直角三角形的边角关系即可求解，或者建立空间直角坐标系，根据空间向求解二面角.【小问1详解】点D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA BB ∥，11AA BB =，所以四边形11BB A A 为平行四边形，连接DE ，则1DE BB ∥，1DE BB =，所以1DE AA ∥，1DE AA =，所以四边形1DEA A 是平行四边形，所以1AD A E ∥．又因为AD ⊄平面1A EB ，1A E ⊂平面1A EB ，所以AD ∥平面1A EB ．【小问2详解】方法一：在平面ABC 内，过点C 作AD 的垂线，由ABC 为等腰直角三角形知垂足为D ，由于平面11BB C C ⊥平面ABC ,且交线为BC ,由于AD BC,AD ^Ì平面ABC ,所以AD ⊥平面11BB C C ,1DC ⊂平面11BB C C ,故1AD DC ⊥,又CD AD ⊥,则1C DC ∠为二面角1C AD C --的平面角，即1π3C DC ∠=，在等腰直角三角形ABC 中，不妨设2AB =，1AA h =，则CD =，在1Rt C DC 中，11tan CC C DC CD∠==，∴1CC =，∴2t =．方法二：1AA ⊥平面ABC ，又90BAC ∠=︒，以{}1,,AB AC AA为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz，设2AB =，1AA h =，则CD =，则()0,0,0A ，()1,1,0D ，()10,2,C h ，所以()1,1,0AD = ，()10,2,AC h =．设平面1AC D 的一个法向量为()1,,n x y z =，由11100200n AC x y y hz n AD ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩，取x h =，得()1,,2n h h =- ，又平面ADC 的一个法向量为()20,0,1n =，因为二面角1C AD C --的大小为π3，所以1212π1cos 32n n n n⋅==．12=，0h >，∴h =，∴2t =．19.某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱贵阳，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了n 名学生的分数（得分取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间[]50,100中）作为样本进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，的分组作出如图甲所示的频率分布直方图，并作出如图乙的样本分数茎叶图（图中仅列出了得分在[)50,60，[)60,70的数据）．（1）求样本容量n 和频率分布直方图中x ，y 的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩不低于80分的2组学生中按分层抽样抽取了5名学生，再从抽取的这5名学生中随机抽取2名学生到观山湖公园参加环保知识宣传活动，设抽到的学生成绩在[)80,90的人数为X ，将样本频率视为概率，求X 的概率分布列及期望．【答案】（1）40n =，0.0025x =，0.0400y =（2）分布列见解析；65【解析】【分析】（1）结合频率分布直方图与茎叶图分数在同区间中的频率与频数，可求得所求；（2）利用频率分布直方图分别求出分数在[)80,90与[]90,100的学生人数，从而求得在两区间抽取出的学生人数，再利用古典概型与组合数求得X 的分布列与期望.【小问1详解】由直方图可知，分数在[)60,70中的频率为0.0075100.075⨯=，根据茎叶图可知，分数在[)60,70中的频数为3，所以样本容量3400.075n ==，根据茎叶图可知，分数在[)50,60中的频数为1，所以分数在[)50,60中的频率为10.02540=，所以由100.025x =得0.0025x =，再由()0.00250.00750.03000.0200101y ++++⨯=，得0.0400y =，所以40n =，0.0025x =，0.0400y =．【小问2详解】由题意，本次竞赛成绩样本中分别在[)80,90中的学生有400.031012⨯⨯=名，分数在[]90,100中的学生有400.02108⨯⨯=名，抽取分数在[)80,90中的学生有1253128⨯=+名，抽取分数在[]90,100中的学生有852128⨯=+名，由题可知，X 的所有取值有0，1，2，()023225C C 10C 10P X ===，()113225C C 631C 105P X ====，()203225C C 32C 10P X ===，所以，X 的分布列为：X 012P11035310∴()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=．20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，F 为椭圆C 的右焦点，M 为椭圆上的点，若|MF |的最小值为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若圆E ：()2211x y -+=的切线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△FAB 面积的最大值．【答案】（1）22184x y +=;（2）4.【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率及|MF |的最小值列方程求解即可；（2）分直线斜率存在不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设出直线方程与椭圆联立，由韦达定理结合弦长公式、点到直线距离求出三角形面积，再换元求最值即可，当斜率不存在时直接求解.【小问1详解】椭圆的离心率2c e a ==，又|MF|的最小值为2，即：2a c -=-，得a =2c =，∴2b =，故椭圆C 的方程为22184x y +=．【小问2详解】由（1）点()2,0F ，若直线l 的斜率不存在，l 不能过点()2,0F ，则l 的方程只能为0x =，∴AB 4=，4FAB S = ．若直线l 的斜率存在，设l 的方程为：()0y kx t t =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，由直线l 与圆E1=，化简得221t kt +=，则112k t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0t ≠．由22184x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222214280k x ktx t +++-=，()()()222222222116442128648321683280kt k t k t t t t t t ⎛⎫∆=-+-=-+=--+=+> ⎪⎝⎭，则122421kt x x k -+=+，21222821t x x k -=+．12AB x =-=．又()2,0F 到直线l的距离d =．11222FAB S AB d k t ==+△4221124211111122t t t t t t t ==⋅+⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设41s t =+，则1s >，441FABS t s ===+△．综上，△FAB 面积的最大值为4．21.已知函数()e 1ln x a f x x x x=--，a ∈R ．（1）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（2）当1x >时，不等式()11f x x x--≤恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）2e a -≤-【解析】【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负，即可求解单调性，（2）将不等式等价变形为()ln 1e xx x x a -+≤，构造函数()()ln 1e xx x x h x -+=，利用导数求解()h x 的最小值即可.【小问1详解】()()()()()2221e 1e 1110x xx a a x f x x x x x x---'=+-=>，当0a >时，由()0f x '=，得出1x =，ln x a =-．当10ea <<，由()0f x ¢>，得01x <<或ln x a >-，由()0f x '<，得1ln x a <<-，∴()f x 在()0,1和()ln ,a -+∞上单调递增，在()1,ln a -上单调递减；当11ea <<时，0ln 1a <-<，由()0f x ¢>，得0ln x a <<-或1x >，由()0f x '<，得ln 1a x -<<，所以()f x 在()0,ln a -和()1,+∞上单调递增，在()ln ,1a -上单调递减；当1a ≥时，ln 0a -£，由()0f x ¢>，得1x >，由()0f x '<，得01x <<，此时()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；当1ea =时，()0f x '≥，则()f x 在()0,∞+上单调递增．【小问2详解】由()11f x x x --≤可转化为()ln 1e xx x x a -+≤，令()()ln 1e xx x x h x -+=，()()()1ln 2e xx x x h x --+'=，令()ln 2x x x ϕ=-+，()1xx xϕ'-=，当1x >时，()10xx xϕ-'=<，故()x ϕ在()1,+∞上单调递减，又()()22e =3e 0,e=4e0,ϕϕ->-<所以1x >时，()x ϕ在()2e,e内存在唯一零点0x ，当()01,x x ∈时，()0x ϕ>，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ<，()0h x '>，()h x 单调递境，故()()()00000minln 1e x x x x h x h x -+==．因为()000ln 20x x x ϕ=-+=，所以020ex x -=，所以()0002200e e e e x x x x h x --==-=-，所以()()20min e h x h x -==-，即2e a -≤-．【点睛】本题考查了导数的综合应用，利用导数求解函数的单调性，当含参数时，需要根据参数的大小进行分类讨论.利用导数求解恒成立问题时，常采用两种方式：①对含参函数的参数进行讨论，确定函数的最值，②进行参数分离，构造无参数的函数，利用导数求解最值.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡，上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4；坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1sin 3cos 2cos 3sin x y αααα=++⎧⎨=+-⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的方程是1cos 32πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点A 的坐标为（1，0），直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求11AP AQ +的值．【答案】（1）()()221210x y -+-=，10x --=（2）73【解析】【分析】（1）移项再平方相加即得曲线C 的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式即可得直线l 的直角坐标方程；（2）由直线参数方程中t 的几何意义，结合韦达定理即可求得11AP AQ +.【小问1详解】由1sin 3cos 2cos 3sin x y αααα=++⎧⎨=+-⎩，可得1sin 3cos 2cos 3sin x y αααα-=+⎧⎨-=-⎩，将上式分别平方，然后相加可得()()221210x y -+-=，由1cos 32πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得1cos cos sin sin 332ππρθθ⎛⎫-= ⎝⎭，即11cos sin 222ρθρθ-=，即10x -=．【小问2详解】由（1）可知直线l 的斜率为33，则其倾斜角为6π，且点()1,0A 在直线l 上，所以直线l 的参数方程为：1cos 6sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），即1212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，整理得2260t t --=．设点P ，Q 对应的参数分别为1t ，2t ，则122t t +=，126t t =-，则1212121212111163t t t t AP AQ t t t t t t +-+=+===．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()12f x x x =+++的最小值为m ．（1）求m ；（2）已知,,a b c 为正数，且4abc m =，求()22a b c ++的最小值．【答案】（1）1m =（2）12【解析】【分析】（1）方法一：由题知()23,21,2123,1x x f x x x x --≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪+≥-⎩，进而分类讨论求解即可；方法二：根据绝对值三角不等式求解即可；（2）结合（1）得4abc =，进根据基本不等式求解即可.【小问1详解】解：方法一：依题意得：()23,2121,2123,1x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩，当2x ≤-时，()1f x ≥，当2<<1x --时，()1f x =，当1x ≥-时，()1f x ≥，综上，当[]2,1x ∈--时，()f x 取得最小值1，即()f x 的最小值1m =．方法二：根据绝对值三角不等式可得：()()()12121f x x x x x =+++≥+-+=，当且仅当()()120x x ++≤，即21x -≤≤-时等号成立，所以，()f x 的最小值1m =．【小问2详解】解：由（1）知，44abc m ==，()2224a b c ab c +++≥（当且仅当a b =时等号成立），∴2242212ab c ab ab c +=++≥===，当且仅当22ab c =，即a b ==2c =时等号成立，∴()22a b c ++的最小值为12．。
贵州省贵阳第一中学2020届高三适应性月考卷(一)数学试题(理)(解析版)
贵州省贵阳第一中学2020届高三适应性月考卷（一）数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2|760,M x x x x =-+<∈Z ，(1,5)N =，则M N =（ ）A. (1,5)B. {2,3,4}C. (1,6)D. {}5『答案』B『解析』由()()276610x x x x -+=--<解得16x <<，由于x ∈Z ，所以{}2,3,4,5M =，所以{}2,3,4M N =.故选：B.2.在复平面内，复数z 满足(1)|1|z i +=+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A. 1 B. i -C. iD.1-『答案』A『解析』由(1)|1|2z i +=+=得()()()()2121211112i i z i i i i ⋅-⋅-====-++-，所以1z i =+，虚部为1. 故选：A.3.已知命题p ：“2,10x R x ∀∈+”的否定是“2,10x R x ∀∈+<”；命题q ：函数22()x f x x =-有三个零点，则下列命题为真命题的是（ ）A. p q ∧B. p q ∨C. q ⌝D. ()p q ∧⌝『答案』B『解析』对于命题p ，“2,10x R x ∀∈+”的否定是“2,10∃∈+<x R x ”，所以p 为假命题.对于命题q ，令()0f x =得22x x =，画出2,2xy x y ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有3个交点，所以()f x 有三个零点，即q 为真命题. 所以p q ∨为真命题.B 选项正确，其它选项均为假命题.4.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上为减函数的是（ ） A. cos()y x =- B. sin y x x =+C. 2yx D. sin()y x =-『答案』D『解析』对于AC 选项()cos cos y x x =-=为偶函数，2y x 也是偶函数，所以AC 两个选项不符合题意.对于B 选项，'1cos 0y x =+≥，所以函数在(0,1)上递增，不符合题意.对于D 选项，'cos y x =-在区间(0,1)上满足'cos 0y x =-<，所以函数在区间(0,1)上为减函数符合题意. 故选：D5.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，则3m n =的概率为（ ） A.118B.112C.19D.16『答案』A『解析』将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，基本事件总数为6636⨯=种，满足第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，且3m n =的有：()()3,1,6,2共两种，所以概率为213618=.6.若双曲线2221(0)x y a a-=>的实轴长为8，则其渐近线方程为（ ）A. 18y x =±B. 12y x =±C. 14y x =±D. 4y x =±『答案』C『解析』依题意28a =，4a =，所以双曲线方程为22116x y -=，则其渐近线方程为14y x =±.故选：C7.某四棱锥的三视图如图所示，则侧面四个三角形中，最小三角形面积为（ ）A. 2B.C.D. 1『答案』B『解析』由三视图可知该几何体是四棱锥A DCBE -是正方体的一部分， 正方体的棱长为2，E 为所在棱中点，如图，则最小三角形面积是ABE ∆,∴112222ABES.故选B .8.将函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴为（ ） A. x π= B. 8x π=C. 6x π=D. 2x π=『答案』D『解析』将函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到1sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向左平移6π个单位得到11sin sin 26624y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ .由1242x k πππ+=+解得()22x k k Z ππ=+∈，令0k =，求得函数的一条对称轴为2x π=.故选：D9.若向量,a b 满足||||3a b ==，a 与b 的夹角为60°，则a 在向量b a -上的投影等于（ ）A.B.C.D.『答案』C『解析』a 在向量b a -上的投影为()a b ab a⋅--，()(22333cos603322a b a a b a ⋅-=⋅-=⨯-=-=-.()222232b a b aa ab b -=-=-⋅+=-==所以()3223a b a b a-⋅-==--.故选：C10.已知5(2)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为25，则展开式中所有项的系数和为（ ） A. 99- B. 97 C. 96D. 98-『答案』C『解析』解法1：因为()52345(2)(1)(2)1510105ax x ax x x x x x ++=++++++，所以2x 的系数为205a +，所以20525a +=，解得1a =， 所以5260126(2)(1)x x a a x a x a x ++=++++，令1x =，得01696a a a +++=.解法2：由乘法分配律知5(2)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为21552205C aC a ⋅+=+所以20525a +=，解得1a =，所以5260126(2)(1)x x a a x a x a x ++=+++⋯+ 令1x =，得01696a a a +++=.故选：C11.若不等式1ln x m m e x +-≤+（e 为自然对数的底数）对21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. 22,2e e ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭ B. 2221,22e e e ⎡⎫---⎪⎢⎣⎭C. 2221,22e e e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦D. [1,)+∞ 『答案』A『解析』解法1：设211()ln ,,1f x x x x e ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则22111()0x f x x x x -'=-=<，所以()f x 在21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以2()1,2f x e ⎡⎤∈-⎣⎦，所以21ln 1,2x m m e m x ⎡⎤+-∈---⎣⎦，为使不等式1ln x m m e x +-≤+对21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，则max1ln x m m e x +-≤+ 而{}2max1ln max |1|,2x m m e m x +-=---， 所以21|2|m m e e m m e -≤+⎧⎨--≤+⎩，解得21222e m e e m -⎧≥⎪⎪⎨--⎪≥⎪⎩ 所以22,2e e m ⎡⎫--∈+∞⎪⎢⎣⎭，故选A. 解法2：设211()ln ,,1f x x x x e ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则22111()0x f x x x x -'=-=< 所以()f x 在21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以2()1,2f x e ⎡⎤∈-⎣⎦ 为使不等式1ln x m m e x +-≤+对21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立 即()m e m f x m e --≤-≤+对21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立 所以()2f x e m -≥对21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，即2max ()222f x e e e m ---≥=所以22,2e e m ⎡⎫--∈+∞⎪⎢⎣⎭，故选A. 解法3：设211()ln ,,1f x x x x e ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则22111()0x f x x x x -'=-=< 所以()f x 在21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以2()1,2f x e ⎡⎤∈-⎣⎦ 为使不等式1ln x m m e x +-≤+对21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立 即不等式||m t m e -≤+对21,2t e ⎡⎤∈-⎣⎦成立当1m 时，t m m e -≤+对21,2t e ⎡⎤∈-⎣⎦成立，即2max222t e e e m ---⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，不符 当22m e ≥-时，m t m e -≤+对21,2t e ⎡⎤∈-⎣⎦成立，显然恒成立当212m e <<-时，2,1(),2m t t mg t t m t m m t e -≤<⎧=-=⎨-<≤-⎩只需{}2max 1,2m e m e --≤+，即212m m e e m m e-≤+⎧⎨--≤+⎩ 所以22,2e e m ⎡⎫--∈+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：A .12.已知函数2()1f x x a =-++（1,x e e e≤≤是自然对数的底数）与()2ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 20,3e ⎡⎤-⎣⎦B. 21,3e ⎡⎤-⎣⎦C. 21,2e ⎡⎤-⎣⎦D. 2,2e e ⎡⎤-⎣⎦『答案』A『解析』根据题意，若函数2()1f x x a =-++（1,x e e e≤≤是自然对数的底数）与()2ln g x x =的图像上存在关于x 轴对称的点，则方程212ln x a x -++=-在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解.212ln x a x -++=-，即212ln a x x +=-∴方程212ln a x x +=-在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，设函数2()2ln h x x x =-（1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）其导数()2212()2x h x x x x-'=-=，又1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴()0h x '=在1x =有唯一的极值点易知：当1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0h x '≤，()h x 为减函数，当[1,e]x ∈时，()0h x '≥，()h x 为增函数∴函数2()2ln h x x x =-有最小值(1)1h =.又22112,()2h h e e e e ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，比较得(1)h e h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭∴函数2()2ln h x x x =-有最大值2()2h e e =-∴函数2()2ln h x x x =-在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为21,2e ⎡⎤-⎣⎦，若方程212ln a x x +=-在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，必有2112a e ≤+≤-，即203a e ≤≤-，∴实数a 的取值范围是20,3e ⎡⎤-⎣⎦.故选：A二、填空题13.设a ∈R ，函数()x x a f x e e=+的导数是()f x '，且()f x '是偶函数，若曲线()y f x =的一条切线的斜率是52，则切点的横坐标为________. 『答案』0ln 2x =或0ln 2x =-. 『解析』∵()xxa f x e e'=-且()f x '是偶函数，∴1a =- .设切点为()00,x y ，则()000152x x f x e e '=+= 解得0ln 2x =或0ln 2x =-. 故答案为：0ln 2x =或0ln 2x =-14.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则||QF =________..『答案』83.『解析』设Q 到抛物线准线的垂线段为MQ ，则MQ QF =.抛物线焦点到准线的距离为4，如图，由抛物线定义及3FP FQ =得||243MQ =，83MQ =.∴8||||3QF MQ ==.故答案为：83三、解答题15.已知函数22()cos 212sin ,()3f x x x x R π⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1()2f A =，,,b a c 成等差列，且9AB AC ⋅=，求边a 的值.解：（1）1()2cos2sin 226f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 令222,()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈.∴()f x 的单调增区间为,,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）由1()2f A =，得1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵22666A πππ<+<π+，∴5266A ππ+=，∴3A π=.由b ，a ，c 成等差数列得2a b c =+，∵9AB AC ⋅=，∴cos 9bc A =，∴18=bc ，由余弦定理得22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，∴22454a a =-，∴a =.16.某大学生自主创业，经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润800元，未售出的产品，每1t 亏损200元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该大学生为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X （单位：,100150t X ≤≤）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于94000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若[100,110)X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[100110)，的频率），求T 的均值.解：（1）由题意得，当[100,130)X ∈时，800200(130)100026000T X X X =--=-，当[130,150)x ∈时，800130104000T =⨯=， ∴100026000,[100,130)104000,[130,150]X x T X -∈⎧=⎨∈⎩.（2）由（1）知，利润T 不少于94000元，当且仅当120150X .由直方图知需求量[120,150]X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T 不少于94000元的概率的估计值为0.7.（3）依题意可得T 的分布列，所以790000.1890000.2990000.31040000.497000ET =⨯+⨯+⨯+⨯=.17.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是ADC ∠为钝角的平行四边形，四边形AFED 为直角梯形，//,AF DE AF AD ⊥且2,4,2,2AF DE BF AB BC =====.（1）求证：AC BE ⊥；（2）若点F 到平面DCE ，求直线EC 与平面BDE 所成角的正弦值.（1）证明：在ABF 中，2,AF AB BF ===AB AF ⊥ 又因为AF AD ⊥，所以AF⊥平面ABCD ，因为//AF DE所以DE ⊥平面ABCD ，所以DE AC ⊥，在平行四边形ABCD 中，且2AB BC ==，所以平行四边形ABCD 为菱形 于是,AC BD BD DE D ⊥⋂=所以AC ⊥平面BDE ，而BE ⊂平面BDE ，所以AC BE ⊥.（2）解：因为AC ⊥平面BDE 且垂足为O ，所以CEO ∠为直线EC 与平面BDE 所成角. 因为//,AF DE AF ∉平面CDE ，DE ∈平面CDE ，所//AF CDE ， 所以F 到平面DCE 的距离为A 到平面DCE 的距离.,ED AD ED AB ⊥⊥ 所以ED ⊥平面,ABCD ED ∈平面ECD 所以平面ABCD ⊥平面ECD 且交线为CD过A 作AH CD ⊥，则AH ECD ⊥，所以2AH AD ==所以3ADH π∠=，所以1,32BDC OC CD π∠===在DEC中，EC ==所以sin OC OEC EC ∠==.所以直线EC 与平面BDE18.已知函数21()ln 2f x ax x =+. （1）若1a =-，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(0,1]上的最大值是3-，求a 的值；（3）记()2()(1)ln 1g x f x a x =+-+，当2a ≤-时，若对任意式12,(0,)x x ∈+∞，总有()()1212g x g x k x x -≥-成立，试求k 的最大值.解：（1）()f x 的定义域是(0,)+∞，211()x f x x x x-+'=-+=，令()0f x '=，则121,1x x ==-（舍去），当(0,1)x ∈时，()0f x '>，故()f x 在(0,1)上是增函数； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在(1,)+∞上是减函数.（2）∵21()ln 2f x ax x =+，则211()(01)ax f x ax x x x+'=+=<≤，①当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上是增函数， 故在(0,1]上的最大值为1(1)32f a ==-，显然不合题意：②若0,1,a <⎧≥即10a -≤<时，(0,1]⎛⊆ ⎝，则()f x 在(0,1]上是增函数，故在(0,1]上的最大值为1(1)32f a ==-，不合超意，舍去；③若0,1,a <⎧<即1a <-时，则()f x在⎛ ⎝上是增函数，在⎫⎪⎭上是减函数，故在在(0,1]上的最大值为132f =-+=-，解得5a e =-，符合， 综合①②③得5a e =-.（3）()2()(1)ln 1g x f x a x =+-+，则2121()2a ax a g x ax x x+++'=+=， 当2a ≤-时，()0g x '<，故2a ≤-时，()g x 在(0,)+∞上是减函数， 不妨设120x x <≤，则()()21g x g x ≤，故()()1212g x g x k x x -≥-等价于()()()1221g x g x k x x -≥-，即()()1122g x kx g x kx +≥+，记()()x g x kx ϕ=+，从而()x ϕ在(0,)+∞上为减函数，由2()(1)ln 1x a x ax kx ϕ=++++，得221()0ax kx a x xϕ+++'=≤，故(1)2a k ax x-+≤-+恒成立，∵(1)2a ax x-+-+≥()2(1)h a a a =+在(,2]-∞-上单调递减 ∴()(2)4h a h ≥-=，∴(1)24a ax x-+-+≥≥，∴4k ≤. 故2a ≤-时，k 的最大值为4.19.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆上动点M 到点F 的最远距离和最11. （1）求椭圆的方程；（2）设, A B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，若10AC DB AD CB ⋅+⋅=，O 为坐标原点，求OCD 的面积. 解：（1）设(,0)F c -，由已知，1,1a c a c +=-=-.∴1a c ==.∴2222b a c =-=.则椭圆的方程为22132x y +=. （2）解法1：设:(1)(0)l y k x k =+≠.与椭圆联立得222(1)132x k x ++=.化简得()()2222326320kx k x k +++-=.设()()1122,,,C x y D x y ，由韦达定理，有()212221226323232k x x k k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪⋅=⎪+⎩.又()()111AC x k x =+，()()221DB x k x =-+-+. ()()()()22113,1,1AD x k x CB x k x =++=-+-+.∴()2121212262110AC DB AD CB x x kx x x x ⋅+⋅=-+-+++=.则()()22212122262210k x x k k x x -++--+=.联立得225k =. 则21612240555x x +-=即24360x x +-=.∴1212||4y y k x x -=-==. ∴121||2OCDSOF y y =-=. 解法2：设:(1)(0)l y k x k =+≠.()()1122,,,C x y D x y ，与椭圆联立得222(1)132x k x ++=.化简得()()2222326320k x k x k +++-=.其两个分别为12,x x ，∴()()()()()22222123263232k x k x k k x x x x +++-=+--.①又()()11223,,AC x y DB x y =+=--..()()22113,,AD x y CB x y =+=-+-.∵10AC DB AD CB ⋅+⋅=.化简得到12122x x y y +=-.② 在①中，令0x =，得()21223232k x x k -=+.③令1x =-，()()()21243211k x x -=+++.∴()2212432k k y y -=+，2122432k y y k -=+.④ 将③、④代入②得()222232423232k k k k --+=-++.解得225k =. 则21612240555x x +-=.即24360x x +-=.∴1212||544y y k x x-=-=⨯=∴121||28OCDSOF y y =-=. 20.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-（1）求圆C 的圆心到直线l 的距离；（2）己知(1,0)P ，若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求11||||PA PB +的值. 解：（1）由直线l 的参数方程为1x y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，可得10x -=.圆C极坐标方程为4cos ρθ=-，即4cos ρθ=-，∴圆C 的普通坐标方程为2240x y x ++=，则圆心(2,0)C - ∴圆心(2,0)C -，到直线l 的距离|21|322d --==（2）已知(1,0)P ，点P 在直线l 上，直线l 与圆C 交于,A B两点，将112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入圆C 的普通坐标方程2240x y x ++=，得250t ++= 设A ，B 对应参数为1t ，2t，则12t t +=-125t t ⋅= ∵120t t ⋅>，120t t +<，∴12,t t 是同为负号.∴()12121212121111||||t t t t PA PB t t t t t t +-++=+=== 21.已知函数()|3|3,()||()f x x g x m x m R =-+=∈. （1）解关于x 的不等式()5f x >；（2）若不等式()()f x g x ≥对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围. 解：（1）由题；()|3|35f x x =-+>，所以|3|2x -> 故32x -<-或32x ->，即1x <或5x >. 所以原不等式的解集为{|15}x x x <>或. （2）解法1：分离参数由题()()f x g x ≥对任意x 均成立，故|3|3||x m x -+≥ ①当0x =时，不等式|3|3||x m x -+≥恒成立； ②当0x ≠时，|3|3||x m x -+≤对任意非零实数恒成立，而|3|3|33|1||||x x x x -+-+≥=，故1m 综上：1m 解法2：分类讨论由题|3|3||x m x -+≥恒成立；①当0x =时，不等式|3|3||x m x -+≥恒成立； ②当3x =时，1m ；③当3x >时，33x mx -+≥，故1m ；④当03x <<时，33x mx -+≥，故(1)6m x +≤，故3(1)6m +≤，即1m ； ⑤当0x <时，33x mx -+≥-，故(1)6m x -≤恒成立. 即：线性函数在0x <时恒小于6，故(1)0m -≥，解得：1m 综上：1m 解法三：由题()()f x g x ≥对任意x 均成立，故|3|3||x m x -+≥ 即为|||3|3(1)||0x x m x ---+-≤而|||3|3(1)||33(1)||(1)||x x m x m x m x ---+-≤-+-=- 转化为(1)||0101m x m m -≤⇒-≤⇒≤。
贵州省贵阳市第一中学2020届高三上学期第一次适应性考试数学(理)试题 扫描版含答案
贵阳第一中学2020届高考适应性月考卷（一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{2345}M=，，，，故选B．2．因为(1i)|1|z+=+，所以22(1i)1i1i(1i)(1i)z-====-+-+，z的共轭复数为1i+，故选A.3．p假q真，故选B．4．sin()y x=-是奇函数，在区间(01)，上为减函数，故选D．5．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具)先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m，记第二次出现的点数为n，基本事件总数有6636⨯=种，事件“3m n=”包含的基本事件有(31)，，(62)，共2个，所以事件“3m n=”的概率为213618P==，故选A．6．双曲线的实轴长为8，得4a=，又1b=，所以双曲线的渐近线方程为14y x=±，故选C．7．由三视图知该几何体是四棱锥A BCDE-，如图1，则最小三角形面积为ABES=△B．8．将函数πsin6y x⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得1πsin26y x⎛⎫=+⎪⎝⎭，再向左平移π6个单位，所得函数1πsin24y x⎛⎫=+⎪⎝⎭，故选D．9．以a b，为邻边作菱形ABCD︒=C．10．5(2)(1)ax x++的展开式中2x的系数为25，即21552C C25a+=，1a=，设523450123456(2)(1)x x a a x a x a x a x a x a x++=++++++，令1x=，得5012332a a a a=+++ 45696a a a+++=，故选C．图111．设1ln t x x =+，由211e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则2[1e 2]t ∈-，，当2e 12m -≤时，2max ||e 2t m m -=-- e m +≤，解得2e e 22m --≥；当2e 12m ->时，max ||1e t m m m -=-+≤恒成立，综上知，当2e e 22m --≥时，不等式1ln e x m m x +-+≤对211e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，成立，故选A ． 12．根据题意，若函数2()1f x x a =-++1e e e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤，是自然对数的底数与()2ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则方程212ln x a x -++=-在区间1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有解，212ln x a x -++=-，即212ln a x x +=-，即方程212ln a x x +=-在区间1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有解，设函数2()2ln h x x x =-，其导数222(1)()2x h x x x x -'=-=，又1e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，()0h x '=在1x =有唯一的极值点，分析可得：当11ex ≤≤时，()0h x '≤，()h x 为减函数，当1e x ≤≤时，()0h x '≥，()h x 为增函数，故函数2()2ln h x x x =-有最小值(1)1h =，又由221e e1h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2(e)e 2h =-，比较得)1e (e h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故函数2()2ln h x x x =-有最大值2(e)e 2h =-，故函数2()2ln h x x x =-在区间1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域为2[1e 2]-，，若方程212ln a x x +=-在区间1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有解，必有211e 2a +-≤≤，则有20e 3a -≤≤，即a 的取值范围是2[0e 3]-，，故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由线性约束条件画出可行域（如图2所示），由23z x y =+，过点(11)A ，时，z 最小，最小值为5.14．圆的方程为22(1)(2)16x y ++-=，故直线过圆心，22201a b a b --+=+=，，1111()=a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 2 4.b a a b++≥ 15．()e e x x f x a -'=-且()f x '是偶函数，1a =-.设切点为00()x y ，，图2则0005()e e 2x x f x -'=+=，解得0ln 2x =或0ln 2x =-. 16．如图3，由抛物线定义和3FP FQ =，得||243MQ =，8||||3FQ MQ ==. 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）1()2cos 2sin 226f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 令222()6k x k k ππππ-+π+∈22Z ≤≤， ()f x 的单调递增区间为()6k k k ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥3⎣⎦Z ，. ………………………………（6分） （2）由1()2f A =，得1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 522266666A A A ππππππ<+<π++==3∵，∴，∴. 由b a c ，，成等差数列，得2a b c =+，9AB AC =∵，cos 9bc A =∴，18bc =∴，由余弦定理，得22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，224318a a =-⨯∴，a =∴. ………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）解：（1）当[100130)X ∈，时，800200(130)100026000T X X X =--=-；当[130150]X ∈，时，800130104000T =⨯=，所以100026000100130104000130150.X X T X -<⎧=⎨⎩，≤，，≤≤ ………………………………（4分） （2）由（1）知利润T 不少于94000元，当且仅当120150X ≤≤.由直方图知需求量[120150]X ∈，的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于94000元的概率的估计值为0.7. …………（8分）（3）依题意可得T 的分布列为图3所以()790000.1890000.2990000.31040000.497000E T =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：2AF AB ==∵，BF =222AF AB BF +=∴，90FAB ∠=︒∴，即AF AB ⊥.//AF DE ∵，//AB CD ，∴DE DC ⊥.∵四边形AFED 为直角梯形，AF AD ⊥，DE AD ⊥∴，DE ⊥∴平面ABCD ，DE AC ⊥∴，①由已知得，四边形ABCD 为菱形，AC BD ⊥∴，②由①②，且DE BD D =，AC ⊥∴平面BDE ，AC BE ⊥∴. ………………………………………（6分） （2）解：设AC BD O =，如图4，连接OE .由（1）AC ⊥平面BDE ，OE ∴是EC 在平面BDE 内的射影， EC ∴与平面BDE 所成的角为CEO ∠.//AF DE ∵，AF ⊄平面DCE ，DE ⊂平面DCE ， //AF ∴平面DCE ，∴点F 到平面DCE 的距离等于点A 到平面DCE 的距离.在平面ABCD 内作AH CD ⊥，交CD 延长线于H ，∵平面ABCD ⊥平面DCE ，AH ⊥∴平面DCE ，AH =∴（或转化为点B 到平面DCE 的距离）图42AD =∵，60ADH ∠=︒∴，∴在菱形ABCD 中，60BDC ∠=︒，OC ==∴在Rt DEC △中，EC =sin OC OEC CE ∠===∴， EC ∴与平面BDE. ……………………………………（12分） 20．（本小题满分12分） 解：（1）()f x 的定义域是(0)+∞，，211()x f x x x x-+'=-+=，令()0f x '=， 则1211x x ==-，（舍去），当(01)x ∈，时，()0f x '>，故()f x 在(01)，上是增函数； 当(1)x ∈+∞，时，()0f x '<，故()f x 在(1)+∞，上是减函数. ……………………（4分）（2）①当0a ≥时，()f x 在(0)+∞，上是增函数，故在(01]，上的最大值是1(1)32f a ==-，显然不合题意；②若01a <⎧，， 即10a -<≤时，(01]0⎛⊆ ⎝，，则()f x 在(01]，上是增函数， 故在(01]，上的最大值是1(1)32f a ==-，不合题意，舍去；③若01a <⎧<，， 即1a <-时，()f x在0⎛ ⎝上是增函数，在1⎫⎪⎪⎭上是减函数，故在(01]，上的最大值是132f =-+=-，解得5e a =-，符合， 综合①，②，③，得5e a =-. ………………………………………………（8分）（3）2()(1)ln 1g x a x ax =+++，则2121()2a ax a g x ax x x +++'=+=， 当2a -≤时，()0g x '<，故2a -≤时，()g x 在(0)+∞，上是减函数， 不妨设210x x >≥，则21()()g x g x ≤，故1212|()()|||g x g x k x x --≥等价于1221()()()g x g x k x x --≥， 即1122()()g x kx g x kx ++≥，记()()x g x kx ϕ=+，从而()x ϕ在(0)+∞，上为减函数，由2()(1)ln 1x a x ax kx ϕ=++++，得221()0ax kx a x xϕ+++'=≤， 故(1)2a k ax x -+-+≤恒成立，(1)2a ax x-+-+∵≥()2(1)h a a a =+在(2]-∞-，上单调递减，(1)()(2)424a h a h ax x -+-=-+∴≥，∴≥，4k ∴≤. 故当2a -≤时，k 的最大值为4. ………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）由题意知11a c a c +=-=和， 又222a b c =+，可解得b =，1c =，a = 所以椭圆的方程为22132x y +=. ………………………………………………（4分） （2）由（1）可知(10)F -，，则直线CD 的方程为(1)y k x =+， 联立22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 消去y 得2222(23)6360k x k x k +++-=.设1122()()C x y D x y ，，，， 所以221212226362323k k x x x x k k -+=-=++，.又(0)0)A B ，，所以AC DB AD CB +11222211()(3)(3)(3)x y x y x y x y =+--++--，，， 1212622x x y y =--21212622(1)(1)x x k x x =--++22212126(22)2()2k x x k x x k =-+-+-2221261023k k +=+=+，解得k = 从而1234x x +=-，1232x x =-，所以12||x x -=1212|||()|y y k x x -=-=， 所以OCD △的面积为121211|||||()|22S OF y y k x x =-=-=. …………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由直线l的参数方程为1()x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，，消去参数t ，可得10x -=． 圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-，即24cos ρρθ=-． ∴圆C 的普通坐标方程为2240x y x ++=．则圆心(20)C -，．∴圆心(20)C -，到直线l 的距离|21|322d --==. ………………………………（5分） （2）已知(10)P ，，点P 在直线l 上，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，将1()x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，，代入圆C 的普通坐标方程2240x y x ++=，得2450t ++=． 设A ，B 对应参数为1t ，2t，则121254t t t t +==g ，12120t t t t >∵，，是同号．121111||||2||2||PA PB t t +=+=∴ …………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）由()5f x >，得|3|2x ->，即32x -<-或32x ->，1x <∴或5x >，故原不等式的解集为{|15}x x x <>或． …………………………………（5分）（2）由()()f x g x ≥，得|3|||3x m x --≥对任意x ∈R 恒成立， 当0x =时，不等式|3|||3x m x --≥成立， 当0x ≠时，问题等价于|3|3||x m x -+≤对任意非零实数恒成立， |3|3|33|1||||x x x x -+-+=∵≥， 1m ∴≤，即m 的取值范围是(1]-∞，． …………………………………………（10分）。
贵州省贵阳市第一中学23届高三上学期高考适应性月考卷(三)数学理科答案
贵阳第一中学2023届高考适应性月考卷（三）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BACDACDABDBA【解析】1．(){1246}(15]{124}A B C =-= ，，，，，，，故选B ．2．∵22i 2i(1i)1i 1i 1i z -===++-，∵1i z =-，∴z ，故选A ．3．222389777711a a a a q a q a q q <⇒<⇒<⇒< ．显然由2897a a a <不一定能推出01q <<，但由01q <<一定能推出2897a a a <，因此“2897a a a <”是“01q <<”的必要不充分条件，故选C ．4．1cos ||||2a c a c a c 〈〉==，，所以π3a c 〈〉=，，故选D ．5．∵2120()n n n a a a n *+++-=∈N ，∴122n n n a a a ++=+，∴{}n a 为等差数列，∴1119129a a a a +=+152a =，∵11151912a a a ++=，∴154a =，∴129291529292941162a a S a +=⨯==⨯=，故选A ．6．由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，三个人中恰有2个合格，包括三种情况，这三种情况是互斥的，∴三人中恰有两人合格的概率为123113121234234234⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯1124=，故选C ．7．由20x y xy +-=，有2x y xy +=，所以112y x +=，则111()1()2x y x y y x ⎛⎫+=++=⎪⎝⎭1122222x yy x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ≥，当且仅当20x yy x x y xy ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，，即11y x =⎧⎨=⎩，时，等号成立，故选D ．8．由28y x =可得抛物线的焦点(20)F ，，准线方程为2x =-，由抛物线焦半径公式知2862M M M pMF x x x =+=+=⇒=，将6x =代入28y x =，可得3y =±，所以MOF △的面积为11||32322y OF =⨯= A ．9．五个元素的全排列数为55A ，由于要求甲、乙、丙在排列中顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”2种排法，所以满足条件的排法有5533A 240A ⨯=，故选B ．10．∵对任意不等1x ，2(0)x ∈-∞，，均有1212))((0f x f x x x -<-成立，∴此时函数在区间(0)-∞，上为减函数，∵()f x 是偶函数，∴当(0)x ∈+∞，时，()f x 为增函数．因为ln 5ln 2ln 3523<<，所以ln 3ln 2ln 5325f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即c a b <<，故选D ．11．连接1IF ，2IF ，I 是12MF F △的内心，可得1IF ，2IF 分别是12MF F ∠和21MF F ∠的角平分线，由于经过点M 与12MF F △的内切圆圆心I 的直线交x 轴于点N ，则MN 为12F MF ∠的角平分线，则N 到直线1MF ，2MF 的距离相等，所以121122||||||||MF I MF IS MF NF S MF NF ==△△，同理可得11||||||||MF MI IN F N =，22||||||||MF MI IN F N =，由比例关系性质可得12121212||||||||||||||||||MF MF MF MF MI IN F N F N F F ++==+22a ac c==．又因为35MI IN = ，所以椭圆的离心率||||35c IN e a MI ===，故选B ．12．如图1，当0x >时，1()ln ef x x x =+，n 1())l (f x f x x '=+⇒在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =，()F x 的零点，即()])[0(x x f f a +=的根．又()0f x =有3个根，所以()f x a =-有1个根，即满足条件1e a --≤或1ea -≥，解得11e e a ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）图1题号13141516答案0.74802220π【解析】13．(6)(10)(610)0.5(1014)0.5(0.50.26)0.74P X P X P X P X >=>+<=+<<=+-=≤．14．令1x =，可得5112a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为5(1)(21)2a +-= ，1a =∴．551111212a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5335111113280804010x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，故该展开式中一次项为80x ，故答案为80．15．直线10kx y k --+=过定点(11)M ，，因为点(11)M ，在圆的内部，且112OM =+=，由圆中弦的性质知当直线与OM 垂直时，弦长最短，此时结合垂径定理可得22||22(2)2AB =-16．如图2所示，在ABC △中，因为2AB AC ==，2π3BAC ∠=，可得222212cos 222222BC AB AC AB AC BAC ⎛⎫=+-∠+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭ 23=．又因为2BD DC =，所以43BD =．由π6ABC ∠=，2AB =，可得23AD =，可得222BD AB AD =+，所以AB AD ⊥．又由AD PB ⊥，PB AB B = 且PB ，AB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ．又由PA ⊂平面PAB ，所以PA AD ⊥．又由π2PAB ∠=，即PA AB ⊥，且AB AD A = ，可得PA ⊥平面ABC ．设ABC △外接圆的半径为r ，则24sin BCr A==，可得2r =，即12AO =．设三棱锥P ABC -的外接球的半径为R ，可得22222221112152PA R AO OO AO ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭，即5R =O 5，故表面积为24π(5)20πS =⨯=．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）由已知及正弦定理可得22(2)(2)a b c b c b c =-+-，图2整理得222b c a bc +-=，所以1cos 2A =．又(0π)A ∈，，故π3A =．…………………………………………（6分）（2）由正弦定理可知sin sin a bA B=，又23a =，2b =，π3A =，所以13sin sin 22B A =<=．故π6B =，故ABC △为直角三角形，于是1232ABC S ab ==△……………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（1）证明：在△ABC 中，因为E ，F 分别是AC ，BC 的中点，所以EF AB ∥．又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，所以AB ∥平面DEF ．…………………………………………………（4分）（2）解：如图3，以点D 为坐标原点，以直线DB ，DC ，DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．则(001)A ，，，(030)C ，，，3102E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，13022F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，31022DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，，，13022DF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，，(031)AC =- ，，．设平面DEF 的一个法向量为()n x y z =，，，则00DF n DE n =⎧⎪⎨⎪=⎩ ，，即3030x y z +=+=⎧⎪，，取(333)n =- ，，，21cos 7||||AC n AC n AC n ==-<，>，所以所求角正弦值为217．………………………………………（12分）图319．（本小题满分12分）解：（1）列联表如下：愿意接种不愿意接种合计男48250女401050合计88121002K 的观测值2100(4810240) 6.0606 3.84150508812k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关．…………………………………………………（6分）（2）记3份女性问卷为A ，B ，C ，2份男性问卷分别为a ，b ，则5份问卷任取2份的方法为：AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10种．其中是1份男性和1份女性的有：Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb 共6种，∴这2份问卷分别是1份男性问卷和1份女性问卷的概率63105P ==．…………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）据题意，得2223b b a⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得24a =，23b =，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．……………………………………（4分）（2）据题设知点2(10)F ，，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-．由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2222(43)84120k x k x k +-+-=．设11()E x y ，，22()D x y ，，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．设(0)M m ，，则22MD y k x m =-，11ME y k x m=-．又因为直线MD ，ME 的斜率互为相反数，所以122112121212()0()()ME MD y y x y x y m y y k k x m x m x m x m +-++=+==----，所以211212()0x y x y m y y +-+=，则211212(1)(1)[(1)(1)]0x k x x k x m k x k x ---+--+=，所以1212122()[()2]0kx x k x x m k x x k +-+-=-，所以22222241288220434343k k k k k m k k k k k ⎛⎫----= ⎪+++⎝⎭，所以(4)0k m -=．若(4)0k m -=对任意k ∈R 恒成立，则4m =，当直线l 的斜率k 不存在时，若4m =，则(40)M ，满足直线MD ，ME 的斜率互为相反数．综上，在x 轴上存在一个定点(40)M ，，使得直线MD ，ME 的斜率互为相反数．…………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）解：由题可知2()ln ()1ln 1f x x a x a x ax a =-++=--+的定义域是(0)+∞，，11()axf x a x x-=-='．当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0)+∞，上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，解得1x a=，当10x a <<时，()0f x '>，所以()f x 在10a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，当1x a >时，()0f x '<，所以()f x 在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．综上：当0a ≤时，()f x 在(0)+∞，上单调递增；当0a >时，()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．……………（6分）（2）证明：因为2()10f x a +-=有两个不同实数解1x ，2x ，即ln 0x ax -=有两个不同实数解1x ，2x ，又由于0x >，故不妨设令120x x >>，且有11ln x ax =，22ln x ax =，∴1212ln ln ()x x a x x +=+，1212ln ln ()x x a x x -=-，要证221e x x >，只需证2121212e ln()2ln ln 2x x x x x x >⇔>⇔+>121212121212ln ln ln ln 2()2x x x x x x x x x x x x --⇔+>⇔>--+121211211222212()ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⇔->⇔>++．令12x t x =，则1t >，所以只要证明2(1)ln 1t t t ->+，1t >时恒成立，令2(1)()ln 1t g t t t -=-+，1t >，22214(1)g ()(1)(1)t t t t t t -=-=+'+，由于已知1t >，∴()0g t '>恒成立，所以()g t 在(1)+∞，上递增，∴()(1)0g t g >=，所以1t >时，()0g t >恒成立，即2(1)ln 1t t t ->+恒成立，从而证明221e x x >．………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αααα=-⎧⎨=+⎩，，(α为参数)，则有22222(sin cos )2x y αα+=+=，即曲线C 的普通方程为222x y +=.直线lπsin 14θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππsin cos cos sin 144ρθρθ⎫-=⎪⎭，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入，可得122y x⎫-=⎪⎪⎭，即1y x-=，即10x y-+=．……………………………………（5分）（2）由（1）知，点(01)P，在直线l：10x y-+=上，则直线l的参数方程为2212xy⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，(t为参数).将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得22221222⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：210t+-=，设点A，B对应的参数分别为1t，2t，则12t t+=，121t t=-．所以1212||||||||||PA PB t t t t+=+=-=……………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）不等式()40f x-<，即|1||1|4x x-++<，当1x-≤时，不等式化为24x-<，解得2x>-，故21x-<-≤；当11x-<≤时，不等式化为24<成立，故11x-<≤；当1x>时，不等式化为24x<，解得2x<，故12x<<，不等式()40f x-<解集为{|22}x x-<<．………………………………（5分）（2）因为()|1||1||(1)(1)|2f x x x x x=-++-++=≥，所以min()2f x=．要使方程()0f x m+=有实数解，函数()f x的图象与函数()g x的图象有交点，需min()f x m-≤，故m的取值范围是(2]，．…………………………………………（10分）-∞-。
贵州省贵阳市2022届高三适应性考试(一)数学(理)试题 (1)
贵阳市2022年高三适应性考试（一）理科数学2022年2月第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若全集U 和集合A ，B 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．()U AB ⋂B ．()UA B ⋃C ．()UA B ⋂D ．()U A B ⋂2．已知复数z 满足22i 0z z z ⋅-+=，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线为3y x =，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．54．右图是某几何体的三视图，每个小正方形的边长均为1，则该几何体的体积为（ ）A ．56πB ．πC ．43πD ．2π5．已知向量a ，b ，c 满足()3,0a =，()0,4b =，()()1c a b R λλλ=+-∈，则c 的最小值为（ ） A ．56B ．125C ．365D ．4856．2021年10月16日，航天员翟志刚、王亚平、叶光富进驻天和核心舱，中国空间站开启有人长期驻留时代，而中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式1lne m v v m =△，其中v △为火箭的速度增量，e v 为喷流相对于火箭的速度，0m 和1m 分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量．在未来，假设人类设计的某火箭e v 达到5公里/秒，01m m 从100提高到200，则速度增量v △增加的百分比约为（参考数据：ln 20.7≈，ln5 1.6≈）（ ） A ．13%B ．15%C ．17%D ．19%7．函数()2sin 2log y x x =⋅的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．斐波那契数列{}n a 满足121a a ==，()123n n n a a a n --=+≥，其每一项称为“斐波那契数”．如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出2221220212021a a a a ++⋅⋅⋅是斐波那契数列的第（ ）项．A ．2020B ．2021C ．2022D ．20239．2021年7月24日，中共中央办公厅国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，要求学校做好课后服务，结合学生的兴趣爱好，开设体育、美术、音乐、书法等特色课程．某初级中学在课后延时一小时开设相关课程，为了解学生选课情况，在该校全体学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，得到如下数据：（附：计算得到2K 的观测值为8.333k ≈．）喜欢音乐 不喜欢音乐喜欢体育 20 10 不喜欢体育 515()20P K k ≥0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k3.8415.0246.6357.87910.828根据以上数据，对该校学生情况判断不正确的是（ ） A ．估计该校既喜欢体育又喜欢音乐的学生约占25B ．从这30名喜欢体育的学生中采用随机数表法抽取6人做访谈，则他们每个个体被抽到的概率为15C ．从不喜欢体育的20名学生中任选4人做访谈，则事件“至少有2人喜欢音乐”与“至多有1人不喜欢音乐”为对立事件D ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育”与“喜欢音乐”有关系10．已知252524a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，501.02b =，1001.01c =，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<11．设矩形ABCD （AB BC >）的周长为20，把ABC △沿AC 向ADC △折叠，AB 折叠后交DC 于点P ，则线段AP 的长度最小值为（ ） A ．1042- B ．10518- C ．10313-D ．10210-12．已知定义在R 上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足①()()2f x f x x =--，②当0x ≥时，()210f x x '++≥．若不等式()()221331f x x x f x +++>+有实数解，则其解集为（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．()2,0,3⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．()2,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，且11a =，1a ，2a ，5a 成等比数列，则9S =______． 14．在2022年北京冬奥会和冬残奥会城市志愿者的招募项目中，有一个“国际服务”项目截止到2022年1月25日还有8个名额空缺，需要分配给3个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数是______．15．已知点()2,1A ，()2,1B -，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为1，过M 作圆()22:41C x y +-=的切线MP ，P 为切点．则MP 的最小值为______．16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在BD 上，点F 在1B C 上，且BE CF =．则下列四个命题中所有真命题的序号是______．①当点E 是BD 中点时，直线EF ∥平面11DCC D ； ②当2DE EB =时，EF BD ⊥；③直线EF 分别与直线BD ，1B C 所成的角相等； ④直线EF 与平面ABCD 所成的角最大为6π． 三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 3sin cos 3a C c A c +=，A 为锐角． （1）求A ；（2）在①ABC △的面积为2312AB AC ⋅=，③BA BC AC +=这三个条件中任选一个补充在下面问题的横线上．问题：若2a =，b c >，______，求b ，c 的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本题满分12分）某省在新高考改革中，拟采取“312++”的考试模式，其中“2”是指考生从政治、化学、生物、地理中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：考生原始成绩（满分100分）从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，30%，35%，15%，5%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[]86,100，[]71,85，[]56,70，[]41,55，[]26,40五个分数区间，得到考生的等级分，等级分满分为100分．具体如下表：等级 A B C D E 比例 15%30%35%15%5%赋分区间[]86,100 []71,85 []56,70 []41,55 []26,40转换公式：2211Y Y T TY Y T T --=--，其中1Y ，2Y 分别表示某个等级所对应原始分区间的下限和上限，1T ，2T 分别表示相应等级的等级分区间的下限和上限，Y 表示某等级内某考生的原始分，T 表示相应等级内该考生的等级分（需四舍五入取整）．例如某学生的政治考试原始成绩为60分，成绩等级为C 级，原始分区间为[]50,65，等级分区间为[]56,70，设该学生的等级分为T ，根据公式得：656070605056TT --=--，所以65T ≈．已知某学校高二年级学生有200人选了政治，以政治期末考试成绩为原始分参照上述等级赋分规则转换本年级的政治等级分，其中所有获得A 等级的学生原始分区间[]82,94，其成绩统计如下表： 原始分 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 人数1112312322345（1）已知某同学政治原始成绩为91分，求其转换后的等级分；（2）从政治的等级分不小于95分的学生中任取3名，设这3名学生中等级分不小于97分人数为X ，求X 的分布列和期望． 19．（本题满分12分） 如图，AC ，BD 为圆柱OO '底面O 的两条直径，P A 为圆柱OO '的一条母线，且AP AC =．（1）证明：AB PD ⊥； （2）若3AOB π∠=，求二面角B PC D --的正弦值．20．（本题满分12分）已知椭圆22:1164x y C +=与直线l （不平行于坐标轴）相切于点()00,M x y ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴，y 轴于(),0A m ，()0,B n 两点． （1）证明：直线001164x x y y+=与椭圆C 相切； （2）①当点M 运动时，点(),P m n 随之运动，求点P 的轨迹方程； ②若O ，M ，P 不共线，求三角形OMP 面积的最大值． 21．（本题满分12分） 已知函数()12xf x x e =+-（e 是自然对数的底）． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()()12f x f x a ==，求证：12022x x a ≤+≤+．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑．22．选修4—4：坐标系与参数方程（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求C 与l 的直角坐标方程；（2）设点M 是曲线C 上的一个动点，点P 满足2OP OM =⋅，点P 的轨迹记为1C ，求1C 与l 的交点极坐标(),ρθ，其中[)0,2θπ∈，0ρ>． 23．选修4—5：不等式选讲（本题满分10分） 已知函数()12f x x x =+--，x R ∈．（1）画出()f x 的图象，若()g x x m =+与()y f x =的图象有三个交点，求实数m 的取值范围； （2）已知函数()f x 的最大值为n ，正实数a ，b ，c 满足12n a c b c+=++，求证：233a b c ++≤．贵阳市2022年高三适应性考试（一）理科数学参考答案与评分建议一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案AACCBBACCBDD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．题号 13 14 1516 答案811211①②③三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解： （1）6A π=；（2）选①选②选③ 解得4b =，23c =18．解：（1）所以该同学政治原始成绩为91分，其转换后的等级分为97分； （2）X 的分布列为X 0123P1561556 3056 1056其期望为()012356565656568E X =⨯+⨯+⨯+⨯==19．解： （1）证明略 （2）042470sin 3535d d θ===． 20．解； （1）证明略（2）①点P 的轨迹方程()224360x y xy +=≠； ②三角形OMP 面积的最大值为是152． 21．解：（1）()f x 的单调增区间是[)0,+∞，单调减区间是(),0-∞ （建议：学生书写的最后结果，不去纠结单调区间是否取到0的问题．） （2）证明略22．解：（1）曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=， 直线l 的直角坐标方程为2220y x --=； （2）所以1C 与l 的交点极坐标为22,2π⎛⎫⎪⎝⎭和32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭23．解：（1）函数()f x 的图象，如图．由图知，()2,1m ∈-；（2）证明略。
贵州省贵阳市第一中学2020届高三数学上学期第四次月考试题理(扫描版)
贵州省贵阳市第一中学2020届高三数学上学期第四次月考试题理（扫描版）贵阳第一中学2020届高考适应性月考卷（四）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B D C D B A B D C B【解析】1．{11}{|13}{1}A B x x A B =-=-<<=I ，，，，故选B ．2．3cos152sin(1530)2︒+︒=︒+︒=原式，故选C ．3．121i 1i 1i 1111i 01i 222222z z z OP OQ OP OQ +-+⎛⎫⎛⎫======-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r g ，，∴，，，，，故选B ． 4．24111051244410910(4)3954832a a a d a S a a d d +=+==-⎧⎧⨯⇒=⨯-+⨯=⎨⎨=+==⎩⎩，，，，故选D ． 5．常数项333361C ()20201ax a a x ⎛⎫=-=-=-⇒= ⎪⎝⎭，故选C ． 6．(0)sin 21f =<，且()()f x f x -=，函数为偶函数，故选D ．7．25210C 2C 9P ==，故选B ． 8．通过作图，观察图象可知，1a =，所以ln 22ln 2221(ln 2)(2)e 2e e e 2e e 2e 2f f -+-+=+=⨯+=+，故选A ．9．由题，ππ1()2sin 223g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，图象如图1，由图可知，||PQ 取到的最小可能为12||||PQ PQ ，，因为1||5PQ =2||4PQ =，所以最小值为4，故选B ． 10．因为OA OB OC OD R ====，所以A 正确；当AC BD ⊥，A ，C 各在所在圆弧的中点，此时三棱锥的底面BCD 的面积和高均处于最大位置，此时体积为111211233⨯⨯⨯⨯=，所以B 正确；AB 与CD 显然异面，用反证法证明他们不垂直．若AB CD ⊥，过A 作BD 的垂线，垂足为E ，因为为直二面角，所以AE ⊥平面BCD ，所以AE CD ⊥，所以CD ABD ⊥平面，所以CD BD ⊥，这与CD BC ⊥矛盾，所以AB 与CD 不垂直，所以正确，故选D ．11．有如下两种情况：（1）0b a >>； （2）0a b >>．图1图2 （1）如图2甲，可求出A ，B 的坐标分别为222222a ab a c abc A B c c a b b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，，，，所以221110222AOB BOF AOF abc ab S S S c c ab e b a c =-=⨯-⨯=⇒=-△△△；同理可得当0a b >>时，满足条件的离心率6e ，故选C ． 12．设B D βα∠=∠=，，则在2916234cos 2524cos ABC AC ββ=+-⨯⨯=-中，△，在22536256cos 6160cos ACD AC αα=+-⨯⨯=-中，△，5cos 2cos 3αβ-=∴，ABCD ABC S S =+△1134sin 56sin 3(5sin 2sin )22ACD S βααβ=⨯⨯+⨯⨯=+△，令5cos 2cos M N αβ=-=， 5sin 2sin αβ+，22222920cos()92020cos()M N N N αβαβ+=-+=+⇒=-+，所以当παβ+=，即33cos cos 77αβ==-，时，N 40610故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号13 14 15 16 答案 答案不唯一，满足条件即可．例如：(2123)--，，， 34或35 26y x = 8【解析】13．答案不唯一，满足条件即可．例如：(2123).--，，，14．(|120)1(2)0.0228P X X P X μσ>=-<+=，则成绩在120分以上的人数有15000.0228⨯34.2=，所以34或35均可．15．过抛物线的焦点且平行于y 轴的直线与抛物线交于22p p A p B p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，所围成的面积为3322222200022222d 22d 2222633323p pp p px x p x x p x p p p ⎫⎛⎫===⨯==⇒=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭⎰，所以抛物线的方程为26y x =．16．2222222221221log 4200log 4log 1000log 23log 10log 3320320n ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，因为2log 10= 211210log 1lg 20.320=<<，，所以22218log 320n n +⇒≤的最大值为8． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）40{}n n a a =，为常数列；1110{}n n n n b b b ->-=，，是首项为10，公差为10的等差数列；11120.4n n n c c c ->==，，，所以{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列．………………………………………（4分）所以1100.42n n n b n c -==⨯，．……………………………………………………………（6分）（2）设投资10天三种投资方案的总收益为101010A B C ，，，由（1）知：101010101090.4(12)400101010550409.2212A B C ⨯-==⨯+⨯===-；；， 因为101010B C A >>，所以应该选择方案二．…………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由表格可知2013，2014，2015，2016，2017，2018年的增长率分别如下： 826592821109213311013813326%12%20%21%4%658292110133-----=====；；；；； 15413812%138-=， 所以2013年的增长率最高，达到了26%．……………………………………………（6分）（2）由表格可计算出：7721177443516()287i i i i i t y t y t t =====-=∑∑，，，， $77435167477471515450.57287b a -⨯⨯===-⨯=$，，…………………………………（8分） y 关于t 的回归直线方程为$1550.57y t =+．…………………………………………（10分） 令149.431550.572009.9615t t +>⇒>=． 所以根据回归方程可预测，我国发明专利申请量将在2021年突破200万件．………………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：设BF 的中点为H ，AC BD O =I ，连接HG ，HO ．因为G 是BE 的中点，所以12HG EF AO HG EF AO ==∥∥，， 所以四边形AGHO 是平行四边形，所以AG HO ∥，又因为HO ⊂平面BDF ，AG ⊄平面BDF ，所以AG ∥平面BDF ．……………………………………………………………………（6分）（2）解：因为菱形ABCD 和矩形ACFE 所在平面互相垂直，所以可建立如图3的空间直角坐标系，设OA a OB b ==，，则(00)(00)(0)(00)A a B b E a a D b -，，，，，，，，，，，，()(00)(200)BE b a a AE a BD b ===u u u r u u u r u u u r ，，，，，，，，．设平面ABE 与平面BDE 的法向量分别为11112222()()n x y z n x y z ==u u r u u r ，，，，，， 则11112112000000n BE bx ay az n BE az n AE n BD ⎧⎧=++==⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎨===⎩⎪⎪⎩⎩u u r u u u r u u r u u u r g g u u r u u u r u u r u u u r g g ，，，，2222020bx ay az bx ++=⎧⇒⎨=⎩，， 令12121(0)(011)x a y n a b n ==⇒=-=-u u r u u r ，，，，，，，……………………………………（9分）1222cos 2n n a b =+u u r u u r 〈，〉．……………………………………………………………（10分） 令222233tan 442a ABO b a b ==⇒∠=+，……………………………………（11分） 所以32244tan tan 297116ABC ABO ⨯∠=∠==-．…………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）证明：（1）因为00()P x y ，在椭圆上，所以2200221x y a b+=，所以P 也在直线上．……（1分） 联立直线和椭圆方程图3222220222222222224420000000222222221()201x y a b b x x y a b a y a y b x x a b x x b a a y x x y y b x a y a b ab ⎧⎧-+=⎪=⎪⎪⇒⇒+-+-=⎨⎨⎪⎪+=+=⎩⎪⎩，，， ………………………………………………………………………………………（3分）因为P 在椭圆上，所以222222222222220000200a y b x a b a b x a b x x a b x +=⇒-+=⇒∆= ⇒所以直线l 与椭圆相切，又因为l C P =I ，所以直线l 是椭圆在点P 处的切线．……………………………………………………（6分）（2）设2F 关于直线l 的对称点为211()F x y '，，则22F F '，的中点在直线l 上，直线22F F '与l 垂直， 即22210120201210221x c a b b x y a y b x y x c a y +⎧-⎪=⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪-⎪⎩， ……………………………………………………………（8分）244242000142420022200142420022()a b x a y c b x c x a y b x a b y a x c y a y b x ⎧+-=⎪+⎪⇒⎨-⎪=⎪+⎩，， ……………………………………………………（10分） 212222200000014224222222221000000()()()()F F b y a x c b y a x c y a x c y k x c b x a y c b x a b c b x c a c x a c x c'---====+++--+- 120002000()()()PF y a x c y k a x c x c x c-===-++， 所以21F P F '，，三点共线，所以从2F 发出的光线2F P 经直线l 反射后经过1F ．…………………………………（12分）（注：此题证明方法较多，请酌情给分）21．（本小题满分12分）（1）证明：令1()ln ()h x x h x x '=-==， 所以()h x 在(04)，上单调递增，在(4)+∞，上单调递减，所以()h x 的最大值为(4)ln 422(ln 21)0h =-=-<，即()0h x <，所以(0)x ∀∈+∞，，都有ln x <……………………………………………………（4分） （2）解：()(01)x a f x a x x a =->>，，ln ln ()0ln ln x a a x f x a x x a a x a x =⇔=⇔=⇔=， 所以()f x 的零点个数等于方程ln ln x a x a =解的个数． 令2ln 1ln ln ()()()x x a g x g x g a x x a-'=⇒==，， 所以()g x 在(0e)，上单调递增，在(e )+∞，上单调递减，又因为(1)0g =，且由（1）知，ln ()0x x g xx <=→+∞→当时，， 所以e a =时，()()g x g a =有且只有一个解，所以若函数e ()e ()e x f x a f x x ==-有且只有一个零点，则，此时，…………………（8分）e e 11e 1()e ()e e e(e )x x xf x x f x x x ---'=-⇒=-=-， 令e 1(e 1)()1(e 1)ln ()1x x x x x x xϕϕ---'=---=-=，则， 所以()x ϕ在(0e 1)-，上单调递减，在(e 1)-+∞，上单调递增， (1)(e)0ϕϕ==，所以(01)()0(1e)()0(e )()0x x x x x x ϕϕϕ∈>∈<∈+∞>，，；，时，；，，，即1e 1(01)1(e 1)ln e ()0x x x x x f x --'∈->-⇔>>，，，即， 同理可得：当(1e)()0(e )()0x f x x f x ''∈<∈+∞>，时，；当，时，，所以1x =和e x =分别是函数()f x 的极大值点和极小值点．所以e a =时，()f x 的极大值为e −1，极小值为0．…………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）因为直线的倾斜角为30°，经过时间t 后，小虫爬行的距离为2t ，其所在位置为(1)t -+，所以该射线的参数方程为1(0)x t t y t ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩为参数，≥，． ………………………………………………………………………………………（5分）（2）曲线C 1的直角坐标方程为22100x y x +-=；将射线的参数方程带入曲线C 1的方程，得24123110t t -+=，设t 1，t 2分别为小虫爬入和爬出的时间，则121211334t t t t =+=，， 逗留时间2211212()44(min)t t t t t t -+-，所以小虫在圆内逗留的时间为4min ．…………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：如图4，（1）22x y x y OD OC +-==，， 2222222x y x y x y CD +-+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5分） （2）由（1）知，22()22a b a b CD OD a b ++=≥，即≥时取等号， 所以2221224a b a b ++⎛⎫= ⎪⎝⎭≥， 44224411122482a b a b a b a b ++⎛⎫⇒+== ⎪⎝⎭≥≥≥当时取到等号， 所以44a b +的最小值为18．……………………………………………………………（10分）图4。
贵州省七校联盟2020届高三数学第一次联考(1月)试题 理
理科数学本试卷分为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必在答题卡上相应的位置准确填写自己的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置。
2．选择题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号按要求涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
非选择题用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
第I 卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1. 已知集合{}{}A=0,1,2,3,4,B x x n n A ==∈，则A B I 的真子集个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82. 复数m-2iZ=1+2i（,m R i ∈为虚数单位）在复平面上对应的点不可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m 的值是（ ）A ．4B ．1-4C ．14D ．-44. 如图所示，四面体ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD 的三视图是（用①②③④⑤⑥代表图形）（ ）A ．①②⑥B ．①②③C ．④⑤⑥D ．③④⑤ 5. 已知函数()f x 的图像如右图所示，则()f x 的解析式可以是（ ）A ．()ln xf x x=B ．()xe f x x=C ．()211f x x =- D ．()1f x x x=-6. 在ABC ∆中，04,30,AB ABC D =∠=是边BC 上的一点，且AD AB AD AC •=•u u u r u u u r u u u r u u u r则AD AB •u u u r u u u r的值为（ ）A ．0B ． -4C ．8D ．47. 以下四个命题中，真命题的个数是（ ）①“若2a b +≥则,a b 中至少有一个不小于1”的逆命题。
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贵阳市高三元月调考数学试卷（理科）（I）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题： (共12题；共24分)
1. （2分）已知集合A＝，集合B＝{(x ， y)|x2＋(y－a)2≤1}，若A∩B＝B，则a 的取值范围是（）
A . [2，＋∞)
B . (－∞，－2]
C . [－2,2]
D . (－∞，－2]∪[2，＋∞)
2. （2分）已知复数z满足（z+3i）（3+i）=7﹣i，则复数z在复平面内对应的点在（）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
3. （2分）(2017·湖南模拟) 执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（）
A . s≤
B . s≤
C . s≤
D . s≤
4. （2分）设函数，若实数满足，则（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2017高二下·赤峰期末) 将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数都不同”，“至少出先一个6点”，则条件概率，分别等于（）
A . ，
B . ，
C . ，
D . ，
6. （2分）一空间几何体的三视图如图所示，其中正视图与俯视图均为边长为2的正方形，侧视图为腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）
A . 8
B . 4
C .
D .
7. （2分）(2018·株洲模拟) 展开式中的系数为（）
A . 14
B . -14
C . 56
D . -56
8. （2分）(2017·贵阳模拟) 富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同．三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘老师猜了三句话：“①张博源研究的是莎士比亚；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；③高家铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句，据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是（）
A . 曹雪芹、莎士比亚、雨果
B . 雨果、莎士比亚、曹雪芹
C . 莎士比亚、雨果、曹雪芹
D . 曹雪芹、雨果、莎士比亚
9. （2分）若函数f（x）=x2+ex﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是（）
A . （﹣）
B . （）
C . （）
D . （）
10. （2分） (2015高三上·贵阳期末) 若点A（a，b）在第一象限且在x+2y=4上移动，则log2a+log2b（）
A . 最大值为2
B . 最小值为1
C . 最大值为1
D . 没有最大值和最小值
11. （2分） (2018高三上·丰台期末) 过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线，垂足为为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（）
A .
B .
C . 2
D .
12. （2分） (2017高二上·驻马店期末) 在△ABC中，S为△ABC的面积，且，则tanB+tanC ﹣2tanBtanC=（）
A . 1
B . ﹣1
C . 2
D . ﹣2
二、填空题： (共4题；共4分)
13. （1分）设抛物线y2=8x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若点M满足 =
（ + ），过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若|PF|=4，则M点的横坐标为________．
14. （1分）已知a，b是常数，ab≠0，若函数f（x）=ax3+barcsinx+3的最大值为10，则f（x）的最小值为________
15. （1分）(2017·深圳模拟) 已知平面向量 =（1，2）， =（2，﹣m），且，则 =________．
16. （1分） (2018高一下·齐齐哈尔期末) 已知三棱锥中，顶点在底面的射影为 .给出下列命题：
①若、、两两互相垂直，则为的垂心；
②若、、两两互相垂直，则有可能为钝角三角形；
③若，且与重合，则三棱锥的各个面都是直角三角形；
④若，且为边的中点，则 .
其中正确命题的序号是________．（把你认为正确的序号都填上）
三、解答题： (共7题；共55分)
17. （10分）已知数列满足，， .
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和 .
18. （5分）(2017·黑龙江模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA=AB=BC=CD=2，PD=2 ，PA⊥PD，Q为PD的中点．
（Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PD与平面AQC所成角的正弦值．
19. （5分）为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得的数据整理后，画频率分布直方图．已知图中横轴从左向右的分组为[50，75）、[75，100）、[100，125）、[125，150]，纵轴前3个对应值分别为0.004、0.01、0.02，因失误第4个对应值丢失．
（Ⅰ）已知第1小组频数为10，求参加这次测试的人数？
（Ⅱ）求第4小组在y轴上的对应值；
（Ⅲ）若次数在75次以上（含75次）为达标，试估计该年级跳绳测试达标率是多少？
（Ⅳ）试估计这些数据的中位数．
20. （10分） (2019高二下·仙桃期末) 已知椭圆的离心率为，一个焦点在直线上，直线与椭圆交于两点，其中直线的斜率为，直线的斜率为。
（1）求椭圆方程；
（2）若，试问⊿ 的面积是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由。
21. （10分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x+d在x=±1处取得极值．
（1）判断f（1）和f（﹣1）是函数y=f（x）的极大值还是极小值，并说明理由；
（2）若函数y=f（x）有三个零点，求d的取值范围．
22. （10分） (2016高三上·太原期中) 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；
（2）已知点P，Q分别是线C1，C2的动点，求|PQ|的最小值．
23. （5分） (2017高一上·湖州期末) 已知函数．
（Ⅰ）当m=8时，求f（﹣4）的值；
（Ⅱ）当m=8且x∈[﹣8，8]时，求|f（x）|的最大值；
（Ⅲ）对任意的实数m∈[0，2]，都存在一个最大的正数K（m），使得当x∈[0，K（m）]时，不等式|f（x）|≤2恒成立，求K（m）的最大值以及此时相应的m的值．
参考答案一、选择题： (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题： (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题： (共7题；共55分) 17-1、
17-2、
19-1、20-1、
20-2、
21-1、21-2、
22-1、
22-2、。