断裂力学——3裂纹尖端应力场和位移场计算
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KI lim 2 ZI ( )
0
用解析函数求解III型裂纹尖端 应力强度因子的定义式
19
Ⅲ型裂纹求解
应力强度因子是在裂尖时 0 存在极限，若考虑裂尖附近 的一个微小区域，则有：
KI 2 ZΙΙI ( )
Z ΙI ( ) K I 2
若以极坐标表示复变量 则可得到
3 xy cos sin cos 2 2 2 2 r KⅠ
用张量标记可缩写成
KI ij fij 2 r
4
xz yz 0
Ⅰ型裂纹求解
u 1 [(1 ) Re ZⅠ (1 ) y Im ZⅠ] E
1 v [2 Im ZⅠ (1 ) y Re ZⅠ] E
平面应变
9
Ⅱ型裂纹求解
第二步：选II型裂纹的
边界条件：
Z ( z)
y xy 0
z y 0
选取
0 在 y ，
x a
处
xy 在 z 处
Z ( z )
能够满足全部边界条件。
z
z 2 a2
10
Ⅱ型裂纹求解
lim Z ( z ) lim
K I lim Z I 2 a
0
Z ( )
a
2a
K lim 2 Z ( ) a
0
l ( a) Z Ⅲ ( ) ( 2a)
KI lim 2 ZI ( ) l a
13
Ⅱ型裂纹求解
把上面两式代入前面应力表达式中，应力和位移场得表达式
3 x sin (2 cos cos ) 2 2 2 2 r KⅡ
3 y cos sin cos 2 2 2 2 r KⅡ
xy
KⅡ
3 cos (1 sin sin ) 2 2 2 2 r
II Re Z II z y Im Z II z y
因为
Im Z z Re Z z Re Z z Re Z z Im Z z Re Z z y y x 2 II 所以 z y Re Z II 2 x 2 II 2 II z z Re Z II z y Im Z II 2 Im Z II z y Re Z II 2 xy y
r
a
Ⅰ
来确定应力分量和位移分量。
6
Ⅱ型裂纹求解
设无限大板含长2a的中心裂纹，无穷远受剪应力作用
7
Ⅱ型裂纹求解
第一步：解II型Westergaard应力函数
求解方法与I型基本相同，主要差别是无穷远处边界上受力条件不 同。选取应力函数 ＝ yReZII
II y Re Z II z x
12
K lim 2 Z ( )
0
Ⅱ型裂纹求解
第三步：用 Z ( z) 求II型裂尖附近的应力场和位移场
应力强度因子是在裂尖时 0 存在极限，若考虑裂尖附近 的一个微小区域，则有：
K 2 Z ( )
Z ( ) K 2
若以极坐标表示复变量 则可得到
非零应力分量 边界条件:
w Im Z Ⅲ yz G Re Z Ⅲ y y
y 0, x a, yz 0
z , xz 0, yz
17
Ⅲ型裂纹求解
选取函数 Z ( z ) Ⅲ
l z
z 2 a2
处，
满足边界条件
在裂纹表面
y0 x a
Re Z III z K III
则可得到
2r
Im Z III z K III
cos 2 2r sin 2
K III w G
2r
sin
2
这就是III型裂纹问题在裂纹 尖端附近的位移场表达式
21
应力强度因子
（ +a） ZⅠ( ) ( 2a)
re i r (cos i sin )
K y r sin 2 r sin cos Z ( ) (cos i sin ) 2 2 2 2 2 r 3 K II K II 3 K 3 3 II 2 2 Z II r cos i sin 2 2 2 2 2 2 r
Z ( z )
x
x a
2 2
Re Z ( z) 0
y xy 0
满足裂纹表面处的边界条件
x 2 ImZ y Re Z '
y y Re Z '
‘ xy Re Z y Im Z
11
Ⅱ型裂纹求解
将坐标原点移到右裂尖，采用新坐标
za a Z ( ) 2a
f ( ) 趋于常数,设: 当 0 ，
f ( )
K lim f ( ) lim Z ( ) 0 0 2 右裂尖附近, 在很小范围内时
用解析函数求解II型裂纹尖端 应力强度因子的定义式
z
z 2 a2 a 2
2
z
z
z
0
只有实部且为一常数
z 0 Z II
lim Z ' ( z ) lim
z
z
z
a
2 3/2
x y 0
xy
在裂纹表面
y0
z
z a
2
x a 处
2
满足平板周围的边界条件 虚数
14
Ⅲ型裂纹求解
对于I型和II型裂纹来说，是属于平面问题。但对于III型裂纹， 由于裂纹面是沿z方向错开，因此平行于xy平面的位移为零， 只有z方向的位移不等于零 对于此类反平面问题，前面给出的平面问题的基本方程已不 适用，因此不能沿用Airy应力函数求解，需要从弹性力学的 一般（空间）问题出发，推导公式。弹性力学一般问题的基 本方程，可以仿照平面问题的方法导出
8
Ⅱ型裂纹求解
得到II型裂纹问题各应力分量表达式为
x 2 ImZ y Re Z ' y y Re Z '
‘ xy Re Z y Im Z
进而可得到位移分量
(1 ) u＝ 2(1 ) Im Z yReZ E (1 ) (1 2 )ReZ y Im Z v＝ E
2
3
Ⅰ型裂纹求解
x Re ZⅠ y Im ZⅠ y Re ZⅠ y Im ZⅠ
xy y Re ZⅠ
z 0
(平面应力)
z ( x y ) 2 Re ZⅠ (平面应变)
3 x cos (1 sin sin ) 2 2 2 2 r KⅠ 3 y cos (1 sin sin ) 2 2 2 2 r KⅠ
18
满足平板周围的边界条件。
Ⅲ型裂纹求解
同样，为计算方便，将坐标原点从裂纹的中心 移到裂纹的右尖端
取新坐标
za ( a) 1 Z Ⅲ ( ) f III ( 2a)
KI f ( ) 趋于常数,设: lim f ( ) lim Z I ( ) 当 0 ， 0 0 2 右裂尖附近, 在很小范围内时
Z III z 只有实部而无虚部，有 yz 0
当 y 或 x ，都有 Z
满足裂纹表面处 的边界条件 ，即 Re Z III z l
IIT z l
Im ZIII z 0
yz 由非零应力分量公式知，
l , xz 0
16
Ⅲ型裂纹求解
单元体的平衡方程:
xz yz 0 x y
w w 2 2 w0 2 x y
2 2
位移函数满足Laplace方程,所以为调和函数. 解析函数性质:任意解析函数的实部和虚部都是解析的.
w Im Z Ⅲ 1 w( x, y ) Im Z Ⅲ ( z ) xz G x x Im ZⅢ G
15
Ⅲ型裂纹求解
问题描述:无限大板,中心裂纹
(穿透) 2 a ,无限远处受与 方向平行Hale Waihona Puke Baidu 作用.
z
反平面(纵向剪切)问题, 其位移
w w( x, y), u v 0
根据几何方程和物理方程:
w 1 rxz xz x G
ryz w 1 yz y G
x y xy z 0
0
注意：以上三种类型求解方法，仅适用于含贯穿裂纹的无限大板在 载荷或位移对裂纹中点的坐标轴对称或反对称的情况。
22
值得指出的是，上述三种裂纹问题的应力场表达式，虽然是根 据无限大半具有中心穿透裂纹且在均匀外加应力作用下获得的。 进一步的分析表明，这些解具有普遍的意义，也就是说，对于 其他有限尺寸板的穿透裂纹（包括中心裂纹和边裂纹），在非 均匀受力条件下，裂纹尖端附近的应力场（更确切地说是应力 场的奇异项）表达式也是相同的，其不同之处仅仅是应力强度 因子的不同，因此，对于特定的含裂纹结构只需要确定相应的 应力强度因子就可以了。
u
平面应力
1 [(1 2 ) Re ZⅠ y Im ZⅠ] E
v
1 [2(1 ) Im ZⅠ y Re ZⅠ] E
平面应变
KⅠ r 3 u [(2k 1) cos cos ] 4G 2 2 2
KⅠ r 3 v [(2k 1)sin sin ] 4G 2 2 2
xz
cos i sin 2 2
re i r (cos i sin )
K III Z III 2 r
K III sin 2 2 r K III yz cos 2 2 r
K III cos 2 2 r K III Im Z III sin 2 2 r Re Z III
断裂力学第三讲
Shanghai University
断裂力学 Fracture Mechanics
郭战胜 davidzsguo@shu.edu.cn 办公地点：延长校区力学所317室 平时答疑：每周一：5-6节 晚修答疑:每周一：18：00-20：30 地点：HE108或HE104b
1
裂纹尖端附近的应力场和位移计算
3 4 k 3 1
平面应变 平面应力
w0
平面应变
w
E
( x y )dz
平面应力
5
Ⅰ型裂纹求解
需要注意的是，推导过程中，使用了
0 这个条件，所以
前面得到的应力场和位移场公式只适用于裂纹尖端附近区域，即要 求 （ +a） f ( ) 。对于稍远处，应该用 Z ( ) 所示的 ZI ( 2a)
这就是III型裂纹问题在裂纹 尖端附近的应力场表达式
20
Ⅲ型裂纹求解
Z III K III 2 r
cos i sin 2 2
Z III
1 K III K III 2r 2 d 2 K III cos i sin 2 2 2 2
xz yz 0
z 0
平面应力
z ( x y )
u
平面应变
KⅡ r 3 [(2k 3)sin sin ] 4G 2 2 2
v
KⅡ r 3 [(2k 2) cos cos ] 4G 2 2 2
3 平面应力 k 1 3 4 平面应变
0
用解析函数求解III型裂纹尖端 应力强度因子的定义式
19
Ⅲ型裂纹求解
应力强度因子是在裂尖时 0 存在极限，若考虑裂尖附近 的一个微小区域，则有：
KI 2 ZΙΙI ( )
Z ΙI ( ) K I 2
若以极坐标表示复变量 则可得到
3 xy cos sin cos 2 2 2 2 r KⅠ
用张量标记可缩写成
KI ij fij 2 r
4
xz yz 0
Ⅰ型裂纹求解
u 1 [(1 ) Re ZⅠ (1 ) y Im ZⅠ] E
1 v [2 Im ZⅠ (1 ) y Re ZⅠ] E
平面应变
9
Ⅱ型裂纹求解
第二步：选II型裂纹的
边界条件：
Z ( z)
y xy 0
z y 0
选取
0 在 y ，
x a
处
xy 在 z 处
Z ( z )
能够满足全部边界条件。
z
z 2 a2
10
Ⅱ型裂纹求解
lim Z ( z ) lim
K I lim Z I 2 a
0
Z ( )
a
2a
K lim 2 Z ( ) a
0
l ( a) Z Ⅲ ( ) ( 2a)
KI lim 2 ZI ( ) l a
13
Ⅱ型裂纹求解
把上面两式代入前面应力表达式中，应力和位移场得表达式
3 x sin (2 cos cos ) 2 2 2 2 r KⅡ
3 y cos sin cos 2 2 2 2 r KⅡ
xy
KⅡ
3 cos (1 sin sin ) 2 2 2 2 r
II Re Z II z y Im Z II z y
因为
Im Z z Re Z z Re Z z Re Z z Im Z z Re Z z y y x 2 II 所以 z y Re Z II 2 x 2 II 2 II z z Re Z II z y Im Z II 2 Im Z II z y Re Z II 2 xy y
r
a
Ⅰ
来确定应力分量和位移分量。
6
Ⅱ型裂纹求解
设无限大板含长2a的中心裂纹，无穷远受剪应力作用
7
Ⅱ型裂纹求解
第一步：解II型Westergaard应力函数
求解方法与I型基本相同，主要差别是无穷远处边界上受力条件不 同。选取应力函数 ＝ yReZII
II y Re Z II z x
12
K lim 2 Z ( )
0
Ⅱ型裂纹求解
第三步：用 Z ( z) 求II型裂尖附近的应力场和位移场
应力强度因子是在裂尖时 0 存在极限，若考虑裂尖附近 的一个微小区域，则有：
K 2 Z ( )
Z ( ) K 2
若以极坐标表示复变量 则可得到
非零应力分量 边界条件:
w Im Z Ⅲ yz G Re Z Ⅲ y y
y 0, x a, yz 0
z , xz 0, yz
17
Ⅲ型裂纹求解
选取函数 Z ( z ) Ⅲ
l z
z 2 a2
处，
满足边界条件
在裂纹表面
y0 x a
Re Z III z K III
则可得到
2r
Im Z III z K III
cos 2 2r sin 2
K III w G
2r
sin
2
这就是III型裂纹问题在裂纹 尖端附近的位移场表达式
21
应力强度因子
（ +a） ZⅠ( ) ( 2a)
re i r (cos i sin )
K y r sin 2 r sin cos Z ( ) (cos i sin ) 2 2 2 2 2 r 3 K II K II 3 K 3 3 II 2 2 Z II r cos i sin 2 2 2 2 2 2 r
Z ( z )
x
x a
2 2
Re Z ( z) 0
y xy 0
满足裂纹表面处的边界条件
x 2 ImZ y Re Z '
y y Re Z '
‘ xy Re Z y Im Z
11
Ⅱ型裂纹求解
将坐标原点移到右裂尖，采用新坐标
za a Z ( ) 2a
f ( ) 趋于常数,设: 当 0 ，
f ( )
K lim f ( ) lim Z ( ) 0 0 2 右裂尖附近, 在很小范围内时
用解析函数求解II型裂纹尖端 应力强度因子的定义式
z
z 2 a2 a 2
2
z
z
z
0
只有实部且为一常数
z 0 Z II
lim Z ' ( z ) lim
z
z
z
a
2 3/2
x y 0
xy
在裂纹表面
y0
z
z a
2
x a 处
2
满足平板周围的边界条件 虚数
14
Ⅲ型裂纹求解
对于I型和II型裂纹来说，是属于平面问题。但对于III型裂纹， 由于裂纹面是沿z方向错开，因此平行于xy平面的位移为零， 只有z方向的位移不等于零 对于此类反平面问题，前面给出的平面问题的基本方程已不 适用，因此不能沿用Airy应力函数求解，需要从弹性力学的 一般（空间）问题出发，推导公式。弹性力学一般问题的基 本方程，可以仿照平面问题的方法导出
8
Ⅱ型裂纹求解
得到II型裂纹问题各应力分量表达式为
x 2 ImZ y Re Z ' y y Re Z '
‘ xy Re Z y Im Z
进而可得到位移分量
(1 ) u＝ 2(1 ) Im Z yReZ E (1 ) (1 2 )ReZ y Im Z v＝ E
2
3
Ⅰ型裂纹求解
x Re ZⅠ y Im ZⅠ y Re ZⅠ y Im ZⅠ
xy y Re ZⅠ
z 0
(平面应力)
z ( x y ) 2 Re ZⅠ (平面应变)
3 x cos (1 sin sin ) 2 2 2 2 r KⅠ 3 y cos (1 sin sin ) 2 2 2 2 r KⅠ
18
满足平板周围的边界条件。
Ⅲ型裂纹求解
同样，为计算方便，将坐标原点从裂纹的中心 移到裂纹的右尖端
取新坐标
za ( a) 1 Z Ⅲ ( ) f III ( 2a)
KI f ( ) 趋于常数,设: lim f ( ) lim Z I ( ) 当 0 ， 0 0 2 右裂尖附近, 在很小范围内时
Z III z 只有实部而无虚部，有 yz 0
当 y 或 x ，都有 Z
满足裂纹表面处 的边界条件 ，即 Re Z III z l
IIT z l
Im ZIII z 0
yz 由非零应力分量公式知，
l , xz 0
16
Ⅲ型裂纹求解
单元体的平衡方程:
xz yz 0 x y
w w 2 2 w0 2 x y
2 2
位移函数满足Laplace方程,所以为调和函数. 解析函数性质:任意解析函数的实部和虚部都是解析的.
w Im Z Ⅲ 1 w( x, y ) Im Z Ⅲ ( z ) xz G x x Im ZⅢ G
15
Ⅲ型裂纹求解
问题描述:无限大板,中心裂纹
(穿透) 2 a ,无限远处受与 方向平行Hale Waihona Puke Baidu 作用.
z
反平面(纵向剪切)问题, 其位移
w w( x, y), u v 0
根据几何方程和物理方程:
w 1 rxz xz x G
ryz w 1 yz y G
x y xy z 0
0
注意：以上三种类型求解方法，仅适用于含贯穿裂纹的无限大板在 载荷或位移对裂纹中点的坐标轴对称或反对称的情况。
22
值得指出的是，上述三种裂纹问题的应力场表达式，虽然是根 据无限大半具有中心穿透裂纹且在均匀外加应力作用下获得的。 进一步的分析表明，这些解具有普遍的意义，也就是说，对于 其他有限尺寸板的穿透裂纹（包括中心裂纹和边裂纹），在非 均匀受力条件下，裂纹尖端附近的应力场（更确切地说是应力 场的奇异项）表达式也是相同的，其不同之处仅仅是应力强度 因子的不同，因此，对于特定的含裂纹结构只需要确定相应的 应力强度因子就可以了。
u
平面应力
1 [(1 2 ) Re ZⅠ y Im ZⅠ] E
v
1 [2(1 ) Im ZⅠ y Re ZⅠ] E
平面应变
KⅠ r 3 u [(2k 1) cos cos ] 4G 2 2 2
KⅠ r 3 v [(2k 1)sin sin ] 4G 2 2 2
xz
cos i sin 2 2
re i r (cos i sin )
K III Z III 2 r
K III sin 2 2 r K III yz cos 2 2 r
K III cos 2 2 r K III Im Z III sin 2 2 r Re Z III
断裂力学第三讲
Shanghai University
断裂力学 Fracture Mechanics
郭战胜 davidzsguo@shu.edu.cn 办公地点：延长校区力学所317室 平时答疑：每周一：5-6节 晚修答疑:每周一：18：00-20：30 地点：HE108或HE104b
1
裂纹尖端附近的应力场和位移计算
3 4 k 3 1
平面应变 平面应力
w0
平面应变
w
E
( x y )dz
平面应力
5
Ⅰ型裂纹求解
需要注意的是，推导过程中，使用了
0 这个条件，所以
前面得到的应力场和位移场公式只适用于裂纹尖端附近区域，即要 求 （ +a） f ( ) 。对于稍远处，应该用 Z ( ) 所示的 ZI ( 2a)
这就是III型裂纹问题在裂纹 尖端附近的应力场表达式
20
Ⅲ型裂纹求解
Z III K III 2 r
cos i sin 2 2
Z III
1 K III K III 2r 2 d 2 K III cos i sin 2 2 2 2
xz yz 0
z 0
平面应力
z ( x y )
u
平面应变
KⅡ r 3 [(2k 3)sin sin ] 4G 2 2 2
v
KⅡ r 3 [(2k 2) cos cos ] 4G 2 2 2
3 平面应力 k 1 3 4 平面应变