高中数学PPT课件

第5课时 数列的综合应用
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第五章 数列
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第五章 数列
1．数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用 图表示如下：
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第五章 数列
2．数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等 差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时， 该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定， 随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与 Sn＋1之间的递推关系．
解析： ∵2B＝A＋C，∴A－2B＋C＝0， ∴直线Ax＋By＋C必过点(1，－2)． 答案： (1，－2)
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第五章 数列
5．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项 的和，若Sn取得最大值，则n＝________.
解析： 设公差 d，由题设 3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，
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第五章 数列
某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算， 若不进行改革，入世后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得入世第 一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投 入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训，则测算 得自入世后第一个月起累计收入Tn与时间n(以月为单位)的关系为Tn＝an ＋b，且入世第一个月时收入为90万元，第二个月时累计收入为170万元， 问入世后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计 纯收入．
2．等差、等比数列的基本知识既有不同点，也有相同点，注意运 用类比思想加以比较，从而加深对知识的理解与把握．
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第五章 数列
数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，an＋1＝2Sn＋1(n∈N＋)． (1)当t为何值时，数列{an}是等比数列？ (2)在(1)的条件下，若等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，且T3＝ 15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.
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第五章 数列
2．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b， c)，则ad等于( )
A．3
B．2
C．1
D．－2
解析： ∵曲线的顶点是(1,2)，
∴b＝1，c＝2，又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.故选B.
答案： B
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第五章 数列
3．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病 毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒， 问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
所以 d＝－343a1<0. 解不等式 an>0，即 a1＋(n－1)－343a1>0， 所以 n<347，则 n≤9， 当 n≤9 时，an>0，同理可得 n≥10 时，an<0. 故当 n＝9 时，Sn 取得最大值．
答案： 9
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第五章 数列
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第五章 数列
1．解决等差、等比数列综合问题的关键是将已知转化成基本量， 求出首项与公差(公比)后，再进行其他运算．
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第五章 数列
1．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48， 则它的首项是( )
A．1
B．2
C．4
D．6
解析： 设前三项依次为 a－d、a、a＋d(d>0)，依题意，有
a－d＋a＋a＋d＝12， a－d·a·a＋d＝48，
a＝4， 解得d＝2， 故首项为 a－d＝2. 答案： B
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第五章 数列
解析： 改革后经过 n 个月的累计纯收入为(Tn－300－n)万元，
不改革时的累计纯收入为 70n－3n＋nn2－1·2，
90＝a＋b
a＝80
又170＝2a＋b ，∴b＝10 .
由题意建立不等式 80n＋10－300－n＞70n－3n－n(n－1)，
即 n2＋11n－290＞0，得 n＞12.4.
A．6秒钟
B．7秒钟
C．8秒钟
D．9秒钟
解析： 依题意 1＋21＋22＋…＋2n－1≥100， ∴11－－22n≥100，∴2n≥101，∴n≥7， 则所求为 7 秒钟． 答案： B
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第五章 数列
4 ． 若 A 、 B 、 C 成 等 差 数 列 ， 则 直 线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 必 过 点 ________．
解析： (1)由 an＋1＝2Sn＋1，∴当 n≥2 时，an＝2Sn－1＋1，两式相 减得 an＋1－an＝2an，即 an＋1＝3an，
∴当 n≥2 时，{an}是等比数列， 要使 n≥1 时，{an}是等比数列，则只需aa21＝2t＋t 1＝3n}的公差为d， 由T3＝15得，b2＝5， 故可设b1＝5－d，b3＝5＋d， 又a1＝1，a2＝3，a3＝9， 由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2， 解得d＝2或－10. 又等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值， ∴d＝－10，从而Tn＝20n－5n2.
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第五章 数列
(2)由(1)知 an＝2n－1，∴Sn＝2n－1， ∴2aSn＋n 1＝22nn＋ －11＝1＋2n－2 1. ∵n≥1，∴2n－1≥1，∴1＋2n－2 1≤3， ∴当 n＝1 时，2aSn＋n 1的最大值为 3.
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第五章 数列
解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景， 理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问 题，使关系明朗化、标准化．然后用等差数列知识求解，这其中体现了 把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力．
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第五章 数列
【变式训练】 1.已知在公比为实数的等比数列{an}中，a3＝4，且 a4，a5＋4，a6 成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，求2aSn＋n 1的最大值．
解析： (1)设数列{an}的公比为 q(q∈R)， 依题意可得 2(a5＋4)＝a4＋a6，即 2(4q2＋4)＝4q＋4q3， 整理得，(q2＋1)(q－2)＝0. ∵q∈R，∴q＝2，a1＝1. ∴数列{an}的通项公式为 an＝2n－1.