初中数学中的数形结合思想修订稿
谈新课标下的初中数学“数形结合”思想
在解题时 ， 通过运用“ 数形结合” 思想 ， 能够形象 地为学 生展现清晰 、 有序的解题过程 ， 而且直接或间 接地训 练学生 的思维。把抽象 的问题转化成直观具 体的问题 ， 提高学生对 问题的理解 能力 ， ｝ 肖 除学生因 题 目复 杂难 懂 而 形 成 的 恐 瞑心 理 ，从 而激 发 学 生 对 数学学习的兴趣 。 随着科学技术的发展 ， 数学在各个 领域都将产生重要的作用 ， 越来越抽象化 的数学 ， 更 需 要 由“ 形” 来引 黧 赫 赫 蜡 蠢 糍 豢
■ 石 丽 娟
摘 要： 《 初 中数学新课标》要求学生了解数形 结合 的思想 、 分类 的思想 、 化归 的思想 、 类 比的思想 和 函数的思想 等。“ 数形结合” 思想是初中数学研究 的一个重要内容 ， 是一种常用的解题方法 ， 能够充分 地发挥代数和几何 的专业优势 ，使问题变得更加简 单、 具体 ， 培养学生创新能力 ， 提高学生的思维能力。 新课程要求学生能够 自主探究性学 习，在课堂教学 中渗透 “ 数形结合 ” 思想 ， 培养学生的“ 数形结 合” 的 思维方式。 本文主要对新课标下的初中数学 “ 数形结 合” 思想和应用进行解析 。 关键词 ： 初 中数学 ； 数形结合 ； 课堂教学 ； 应用 在教学中 ，初 中是学生在数学学 习中的一个非 常重 要 的阶 段 ， 在 小 学数 学 知 识 的 基 础上 ， 增 加 了难 度 和范 围 ，初 中数 学 学 习的 水平 也 在 一 定 程 度 上影 响高 中数学的基础 。好 的学习方法能够提升学生的 数学学 习能力 ， 数学的学习决定于数学思维 ， 数形结 合 就是一种很好的数学思维 。初中数学教师在课 堂 中渗透数学学习思想 ， 除了能够完成其教学 目标 ， 最 重 要 的是 能 够 提 升学 生 的数 学 思 维 ，让 学 生 得 到全 面 的发 展 。
以形助数-以数解形——浅谈数形结合思想在初中数学中的应用
以形助数，以数解形—-浅谈数形结合思想在初中数学中的应用摘要:在初中数学中，数形结合思想无处不在，利用好它可以帮助解决较难问题，并提高解题速度。
笔者结合教学实际,对数形结合思想进行浅议，探讨其在数学教学中的应用.关键词：数形结合初中数学数学应用数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想.在近几年武汉中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性。
因此,笔者结合数学教学实际，探讨数形结合思想在初中数学中的应用.在《初中数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等。
”［1]所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂。
数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时,我们要把它们有机的结合起来,并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论，或者把数量关系问题转化为图形问题，借助几何知识加以解决，使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”,最终达到优化解题途径的目的.著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体，永远联系莫分离" [2].初一我们就学习了数轴，它建立起了实数与数轴上的点的一一对应关系.进而，又引入了直角坐标系，它扩大成了有序实数对与坐标平面上的点的一一对应.到了初二、初三又陆续学习了一次函数、二次函数，我们知道它们跟直线、抛物线也是一一对应的关系，以至于后来的“用函数的观点看方程”，实质上就是曲线和方程的对应关系。
正是这些数与形的对应，才促使我们要利用它们之间的联系，相互结合，相互转化，最终达到解决数学问题的目的。
数形结合思想在初中数学教学中的应用优秀获奖科研论文-2
数形结合思想在初中数学教学中的应用优秀获奖科研论文数形结合是一种非常重要的数学思想方法，也是数学解题中要求掌握的重要思想方法之一，在数学学习中有着重要的地位.数形结合，有利于学生对数学知识的理解，落实新课标的要求，即通过“以形助数，以数解形”，能够将复杂问题简单化，抽象问题具体化.很多数学问题利用数形结合思想来解决，能够达到化难为易的目的.在初中数学教学中，教师应重视数形结合思想，从而提高学生分析问题和解决问题的能力.下面结合自己的教学实践就数形结合思想在初中数学教学中的应用谈点体会.一、数形结合思想在集合问题中的应用在教学中，教师单一地讲解集合问题，很难使学生想象出各数集之间的关联性，而利用图示法，能够解决抽象的集合问题，让学生对集合问题一目了然.在图形中，一般利用圆来表示集合，两集合有公共的元素则两圆相交，两圆相离则表示没有公共的元素.例如，在学校开展兴趣班时，初中某班共有28个学生，其中有15人参加音乐兴趣班，有8人参加舞蹈兴趣班，有14人参加书法兴趣班，同时参加音乐和舞蹈兴趣班的有3人，同时参加音乐和书法兴趣班的有3人，没有人同时参加三个兴趣班，问：同时参加舞蹈班和书法兴趣班的有多少人？只参加音乐兴趣班的有多少人？图1解析：如图1，设A={参加音乐兴趣班的学生}，B={参加舞蹈兴趣班的学生}，C={参加书法兴趣班的学生}，同时参加舞蹈和书法兴趣班的学生有x人.由题意可知，card（A交B）=3.card（A交C）=3，card（B交C）=x，则15+8+14-3-3-x=28，得x=3.因此，同时参加舞蹈和书法班的有3人，只参加音乐兴趣班的有15-3-3=9人.这样，利用图示法，可以使复杂的数学问题变得简单化和具体化，降低做题难度，有助于激发学生的学习兴趣.二、数形结合思想在函数问题中的应用函数是整个数学的重点，关于函数类型的题也数不胜数.利用函数求极值的问题是常见的题型，以数辅形，需要将图象中的数量关系整理清楚，以函数的形式表达出来，把握函数与图形之间的关系，达到快速解决数学问题的目的，体现数形结合在解题中的重要性.初中生对一次函数和二次函数的图象有着很深的了解，因此在面对这类函数问题时，往往可以根据函数图象来解答.这样，不但可以加深学生对基本概念的理解，还可以加强学生对这些基本知识的灵活运用.例如，当0 解析：方程中含有两个未知数，无法直接求解，可以转化成两个函数问题，图2求解的个数就是求函数图象的交点个数.由|1-x2|=kx+k，可构造y=|1-x2|和y=kx+k，如图2.所以原方程解的个数为3个.这样，复杂的函数问题，利用图形进行展示，能够直接得出问题的答案，强化了学生的认知，深化了学生的思维训练，提升了教学效率.三、数形结合思想在概率问题中的应用概率作为初中数学教学中的重点内容，一直是教学的难点.许多概率问题在思考中都存在着抽象，如果借助于坐标平面或数学模型的问题，以形助数，运用数形结合思想，就能够帮助学生迅速找到问题的切入点，优化解题过程，提高解题速度.总之，在初中数学教学中，数形结合思想既是一种教学手段，又是一种解题方法.运用数形结合思想，能够拓宽学生的思维；运用数形之间的关联性，以图形助数学解题，能够强化学生对数学本质的认知和了解，提高学生数学思维的灵活性、根基性等.教师应适当运用数形结合思想开展教学活动，从学生的角度出发，培养学生的综合技能和素质，提升初中数学教学质量，确保学生全面发展.。
初中代数教学中的数形结合思想
初中代数教学中的数形结合思想在初中数学教学中，代数与几何一直被认为是两个分立的领域，代数是研究数与数字运算规律的一门数学学科，几何是研究图形与空间的一门数学学科。
在很长一段时间里，代数与几何被看作是毫无关联的两个领域，两种思维方式也被认为是与两种不同的学科有关。
数学教育的实践表明，代数与几何是有着密切联系的。
代数与几何之间的联系不仅仅表现在表面上的相似之处，而是在实践中发现代数与几何相互渗透、相互借鉴、相互促进。
在初中数学教学中，有必要将代数与几何融合在一起，采用“数形结合”的教学思想，让学生更好地掌握数学知识，提高数学素养。
一、代数与几何之间的联系1. 代数与几何的相似性代数与几何在某些方面有很多相似之处，比如二者的符号与图形形式都是抽象的，它们都是用来研究自然界中存在的问题。
代数与几何具有相似的逻辑思维方式，都需要进行分析、推理、证明等过程。
在实际问题中，代数与几何也有诸多相似之处，比如可以用代数方程和几何图形分析解决某些问题。
代数与几何之间也存在着许多相辅相成之处。
代数可以帮助几何问题化为代数问题，几何图形的性质可以通过代数分析得到更深入的认识。
比如用代数方法解决几何问题，可以通过设定代数变量表示几何问题中的长度或面积等量，通过代数方程组计算得到问题的解，从而借助代数的思维方式解决几何问题。
而几何知识也可以帮助方程的解题。
比如从图形上解释一元一次方程的意义，可以帮助学生理解方程的解的实际意义。
代数与几何之间的相互促进是指代数和几何在相互学习中不断发展和完善。
比如代数的引入可以帮助学生更好地理解几何知识，代数的知识和方法也可以应用到几何中去。
同样，几何知识也可以帮助学生更好地理解代数知识，几何的思维方式也可以用到代数中去。
在相互学习中，代数和几何不断促进和完善。
1. 数形结合的基本内涵“数形结合”是指代数知识与几何知识相互渗透、相互借鉴、相互促进。
数形结合是以代数为主线，以几何为辅助，结合实际问题，充分体现数学的应用性和实用性。
在初中数学教学中渗透与应用数形结合的思想方法
数 轴 的 引 入 是 有 理 数 内 容 体 现 数 形 结 合 思 想 的力 角 为 ４ 。 。 ５
量 源 泉 。 由于 对 每 一个 有 理 数 ，数 轴 上 都有 唯 一确 定 的 ４ 重视实践经验在应用题 中的作用 ，变课堂教学 点 与它 对 应 ， 因此 ，两 个 有 理 数大 小 的 比较 ，是通 过 这 为 实 践 活 动 两 个 有 理 数在 数 轴 上 的对 应 点 的位 置 关系 进 行 的 （ 实数
相 映生辉 。 在 教 学 中渗 透 数 形 结 合 思想 时 ，应 让 学 生 了解 ，
所 谓 数 形结 合 就 是找 准 数 与形 的契 合 点 ，根 据对 象 的属
数 形 结合 的思 想 方法 ，不 像 一般 数 学 知识 那 样 ，通 性 ，将数 与 形 巧 妙地 结 合 起来 ，有 效 地相 互 转 化 ，就 成 过 几节 课 的教 学就 可 掌握 。它 根 据 学生 的年龄 特 征 ， 学 为 解 决 问题 的关 键所 在 。数形 结 合 的 结合 思想 主 要体 现 生 在 学 习 的各 阶段 的认 识水 平 和 知 识特 点 ，逐 步 渗 透 ， 在：１ ）用 方 程 、不等 式或 函数解 决有 关 几何 量 的 问题 ； 螺 旋上 升 ，不 断地 丰 富 自身 的 内涵 。教 师 要通 过 对 于 典 ２ ）用几 何 图形或 函数 图象解 决有 关方 程 或 函数 的 问题 ； 型 例题 的选 取 ，有 针 对性 地 进 行 教学 ，使 学生 在 学 习 中 ３ ）解 决一 些 与 函数 有 关 的代 数 、几 何综 合 性 问题 ；４ ） 慢 慢感 受 和体 会 数 形 结合 思 想 对 于解 题 的 帮助 。数 是数 以图象形 式 呈现 信息 的应 用性 问题 。
初中数学教学中数形结合思想的运用浅析
初中数学教学中数形结合思想的运用浅析数学是一门抽象的学科，而数形结合则是数学教学中的一种重要思想。
数形结合思想是指通过图形来展示数学问题，使抽象的数学概念得到直观的展示，从而加深学生对数学知识的理解和记忆。
在初中数学教学中，数形结合思想的运用能够激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性，帮助他们更好地理解和掌握数学知识。
本文将从数形结合的定义、作用和具体运用三个方面对初中数学教学中数形结合思想进行浅析。
一、数形结合的定义1.激发学生的学习兴趣数学是一门理论性强、抽象性强的学科，对很多学生来说比较枯燥。
而数形结合思想的运用能够通过图形展示数学问题，使学生能够在观察、比较和分析图形的过程中感受到数学的趣味性，从而激发他们的学习兴趣，提高他们的学习积极性。
2.帮助学生理解抽象概念数学中的很多概念比较抽象，例如函数、方程等，对学生来说很难理解和掌握。
通过数形结合的方法，将抽象的数学概念与具体的图形相结合，可以使学生在观察、比较和分析图形的过程中直观地理解抽象概念，从而加深他们对数学知识的理解和记忆。
3.培养学生的空间想象力数形结合思想的运用能够培养学生的空间想象力，使他们通过图形的展示来感受和理解数学知识，从而提高他们的空间想象力和思维能力。
这对于学生的综合素质提高和将来的学习能力都具有积极的作用。
1.数学概念的引入在初中数学教学中，可以通过引入图形来展示数学概念，使学生在观察和比较图形的过程中感受和理解数学概念。
在引入平行线和垂直线的概念时，可以通过图形来展示两条平行线或垂直线的形状，让学生通过观察图形来理解和掌握这些概念。
2.数学问题的解决在解决数学问题时，可以通过图形展示问题，让学生通过观察和分析图形来解决问题，从而激发他们的求解兴趣和能力。
在解决一个与角度相关的问题时，可以通过图形展示问题，让学生在观察图形的基础上求解问题，以加深他们对于角度概念的理解。
3.数学知识的巩固和延伸通过图形展示数学知识，并结合具体的例子进行讲解，可以帮助学生巩固和延伸数学知识。
数形结合思想在初中数学教学中的运用研究
数形结合思想在初中数学教学中的运用研
究
对于初中数学来说，函数和几何结合思想有着重要的作用。
它能
够将几何图形与数学关系统一起，更好地研究几何与函数之间的关系，由此延伸出更加杂乱的数学问题，扩大学生的思维空间。
首先，使用函数与几何结合思想来解决初中数学问题，将有助于
提高学生对数学思想的理解和掌握。
例如，学生可以从几何图形上更
清楚地体验到函数的相关概念，理解函数的表示方法，从而做出正确
的完善的数学分析和抽象思维。
其次，结合函数和几何思想，可以探
索一些比较复杂的问题，进一步拓宽学生的思维空间。
例如，如何将
几何图形表示为函数形式？如何从函数形式绘出几何图形？这些问题
不仅能拓展学生的数学思维，而且也能激发学生的求知欲望，促进更
深入的数学思考。
最后，结合函数和几何的思想，可以有更多的方法解决实际应用
中的问题。
把数学思想和生活中的问题联系起来，可以让学生更真实
地体验到不同的数学知识，而且可以思考出更多的数学方法来解决问题。
总之，函数与几何结合思想在初中数学教学中是很有帮助的，它不仅可以构建函数与几何两者之间的联系，而且还可以让学生更加深入系统地学习数学，强化实践能力，增强学生分析数学素养，有助于提高初中数学水平。
初中数学教学中的数形结合思想
（ ２）建立几何模 型 （ 或函数图象 ）解决有关方程 和函数的何综合性问题 ； （ ４） 以 图象形式 呈现 信息的应用性 问题 。采用数形结 合思想 解决 问题 的关键是找准数与形的契合点。如果 能将 数与形巧妙地 结 合起 来 ，有效 地相互转 化 ，一些看 似无法人手 的 问题 就会迎 刃而 解 ，产生事半功倍 的效果。 数形 结合 的思想方法 ，不象一般数学 知识那样 ，通过几节课 的 教学就可 掌握 。它根据 学生的年 龄特征，学生在学 习的各 阶段的认 识水 平 和知识特 点 ，逐 步渗透 ，螺旋上升 ，不断 的丰 富 自身 的内 涵。 教学 中可 以从 以下几个方面 ，让学生在数学学 习过程中 ，通过 类 比、观察 、分析 、综合 、抽象 和概 括，形成对数形结合思想 的的 主动 应 用 。 渗透数形结合 的思想 。养成用数形结合分析问题的意识 每个学生在 日常生活中都具 有一定 的图形知识 ， 如 绳子 和绳子 上的结 、刻度 尺与 它上 面的刻度 ，温度计与其上面 的温度 ，我们每 天走过 的路线可 以看作是一 条直线 ，教室里每个学生 的坐位等等 ， 我们利用学生 的这一认识基 础，把生 活中的形与数相结合迁移到数 学中来 ，在教学 中进行数学数形结合思想 的渗透 ，挖掘教材提供 的 机会 ，把握渗透的契机 。如数与数轴 ，一对有序实数与平面直角坐 标系 ，一元一次不等式 的解集与一次 函数 的图象 ，二元一次方程组 的解与一次 函数图象之 间的关系等 ，都是渗透数形结合思想 的很好 机会。 例１ ：绝对值大于２ 小于６ 的整数有 哪些？
初中数学中的数形结合思想
初中数学中的数形结合思想摘要：数形结合思想是初中数学中很重要的一种思想方法，它主要是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面。
本文从以形助数方面论述了数形结合思想在解题中的具体应用：构造几何图形解决代数问题，从而使复杂问题简单化、抽象问题具体化。
关键词：初中数学数形结合思想以形助数数与形是数学的两大支柱，它们是对立的，也是统一的。
数形结合思想，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面。
利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是一种基本的数学思想。
下面结合具体实例谈谈数形结合思想在解题中的应用：一、求最值问题例1：已知x＞0、y＞0，且x+y=10,求x2+4+y2+9的最小值。
解：如图1，作线段AB=10，在AB上截取AE=x，EB=y，过A作AC⊥AB，且AC=3，过B作BD⊥AB，且BD=2。
由勾股定理得：CE=x2+9，BE=y2+4，那么求x2+4+y2+9的最小值即求CE+ED的最小值。
如图1，延长CA至G，使AG=AC，连接GE，由三角形两边之和大于第三边知，G、E、D 三点共线时，GE+ED=DG最短。
作出图形，延长DB至F，使BF=AG，连接GF。
则在Rt△DGF中，DF=2+3=5，GF=AB=10，∴DG=DF2+GF2=102+52=55，∴CE+DE的最小值是55，即x2+4+y2+9的最小值是55。
二、判断方程根的个数问题例2：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示，当0＜k＜3时，方程|ax2+bx+c|=k的根有____个。
解：作函数y=|ax2+bx+c|的图象如图3所示，当0＜k＜3时，直线y=k与函数图象有四个交点。
所以，方程y=|ax2+bx+c|=k的根有4个。
三、二次函数中三角形的面积问题例3：如图4，已知二次函数y=-x2+x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，点P为x轴上方的抛物线的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？解：当x=0时y=4,所以A(0,4)；当y=0即-x2+x+4=0时，x1=-2，x2=8，所以B(-2，0)、C(8，0)，设P(a,-a2+a+4)①当0＜a＜8时，如图5所示，过点P作PD⊥x轴于点D。
初中数学教学中数形结合思想的应用分析
初中数学教学中数形结合思想的应用分析
一、数形结合思想的内涵
数形结合思想是数学教学中一种重要的思想，它指的是将数学中的数字和图形结合起来进行分析和推理，以求解数学问题。
它要求学生不仅要掌握数学的计算方法，而且要能够把数学的概念、定理和方法应用于实际问题中。
二、初中数学教学中数形结合思想的应用
1. 利用数学图形来进行数学解决问题。
在数学教学中，学生可以利用数学图形来解决问题，如通过图形可以更容易地确定函数的性质，求解几何问题，分析数学模型等。
2. 利用图形来解释数学概念。
利用图形来解释数学概念，可以更好地让学生理解数学概念，如可以利用图形来解释比例、比率、比值、百分比等概念，以及比例的性质等。
3. 利用图形来求解数学问题。
学生可以利用图形来求解数学问题，如通过图形可以更容易地求解几何问题，比较数学模型的优劣等。
4. 利用图形来理解数学模型。
学生可以利用图形来理解数学模型，如可以利用图形来理解线性函数、指数函数、双曲线等数学模型，以及它们的特性等。
三、结论
数形结合思想是初中数学教学中一种重要的思想，它要求学生不仅要掌握数学的计算方法，而且要能够把数学的概念、定理和方法应用于实际问题中。
新课标理念下初中数学教学中数形结合思想应用思考
·199·初中阶段是学生培养思维能力的关键阶段，相比于小学阶段来说，初中阶段的学习内容要更难一些，知识点也更为复杂。
针对于这一阶段的学习知识的掌握存在很高的难度，抽象化的内容和知识比较多。
因此，数形结合思想是非常适合于这一阶段的教学活动。
在初中阶段数学教学的过程中，采用数形结合的方法开展相关的教学活动，可以帮助学生更好地理解比较难和比较抽象化的教学内容，进而提升学生的数学学习效果。
由此可见，探讨在初中数学教学过程中应用数形结合思想的方法和措施的重要意义。
一、数形结合的概念所谓的树形结合主要指的是将抽象的数字与具体的几何图形相结合，将抽象化的数学内容变得更加直观和具体，主要有以“数”化“形”、以“形”變“数”和“数”“形”结合三种类型。
二、在初中数学教学过程中应用数形结合思想的意义（一）化抽象为具体数学学科本身就是一门比较抽象化的学科，也正是因为其自身具备抽象化的特点，因此在学习时具备很高的难度。
如今，教师在课堂教学的过程中应用数形结合思想，将抽象的数学学习与图形相结合，达到了化抽象为具体的目的地，让学生能够更加直观准确的了解所要学习的内容。
同时也能够应用一系列更为简单的方法来解决数学问题，进而降低了数学的学习难度，提升了学生的学习兴趣。
（二）提高学生的数学分析能力在数学教学的过程中应用数形结合思想，可以让学生掌握正确分析数学问题和解决数学问题的方法和技巧，进而提高学生的数学分析能力和问题解决能力。
相比于传统的教学环境下的死记硬背的教学方式以及固化的教学方式，这种数形结合的新型的教学方式的应用更能够激发学生的数学学习兴趣。
三、新课标理念下在初中数学教学过程中应用数形结合思想的方法和措施（一）转变教学观念，创新教学模式若想在初中数学教学过程中更好的应用数形结合思想，首先应该做的就是转变教师传统的教学观念。
受中国大环境应试教育的影响，很多教师在开展数学课堂教学活动的过程中，都会存在教学思想过于陈旧的问题。
数形结合思想在初中数学解题中的应用
22教育版内容摘要：本文介绍了初中数学解题中的一种重要的思想方法——数形结合. 数形结合思想主要是利用了数的结构特征，绘制出同其相对应的数学图形，同时通过对图形特点及规律的运用，使数学问题得到解决，或是将图形转化为代数，无需进行推理，便将要解答的问题转变为数量关系.在数学教学中合理结合数形结合思想能够有效调动学生的积极性，让学生通过直观的视觉观察来理解数学的概念和知识，为学生解题提供一定的帮助.关键词：数形结合 初中数学 应用一、数形结合的本质和内涵：数形结合思想就是通过对数与形间关系的运用，对数学习题中的知识点及问题进行研究，从而使问题得到解决的一种方法.分析及研究数与形间的关系，学生会清晰地看到数与形之间在一定的状况之下是能实现转换的.它们之间具有一定的等量关联，能让学生更加深入地对知识进行理解，并解决相关问题.在初中数学中，数指的是方程、函数、指数等，形指的是函数图形与几何图形.学生若能把它们结合起来运用，就能使问题的解答更加容易，从而提升学生解题的能力。
二、数与形之间的转化：中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合.作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
三、数形结合思想在初中数学解题中的应用：（一）数形结合思想在数与式问题中的应用。
数形结合的教学思想可以把有理数和数轴紧密联系起来.所有的有理数都可以在数轴.上找到相对应的唯一的点，如果想要对比两个有理数的大小，就可以通过比较分析在数轴上两个有理数的位置关系来得出结果.同时，依据数轴上原点与点的位a 、b ．（图略）【分析】 由上a ，b 的位置可以得到a <b．∴a =−，ab b a −=−【解】 ()a b a +−除此以外，数形结合思想还运用于一些图形类的规律题中，比如下面这个题目.【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴______根。
初中数学思想方法篇——数形结合
解题思想之数形结合一、注解：数形结合思想指将数量与图形结合起来，对题目中的给定的题设和结论既进行代数方面的分析，又从几何含义方面进行分析，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，也可以使图形的性质通过数量之间的计算与分析，达到更加完整、严密和准确。
在解决数学问题的过程时要善于由形思数，由数思形，数形结合，通过数量与图形的转化，把数的问题利用图形直观的表示出来，力图找到解题思路。
数形结合是数学学习的一个重要方法，通常与平面直角坐标系，数轴及其他数学概念同时使用。
二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】如图，在所给数轴上表示出实数—3，—1，2-的点，并把这组数从小到大用“＜”连接。
【例2】已知a＜0，b＜0，且a＜b，则（）A —b＞—aB —b＞aC —a ＞bD b＞a2.在不等式中的运用【例3】不等式组2030xx-⎧⎨-≥⎩的正整数解的个数为（）A 1个B 2个C 3个D 4个【例4】关于x的不等式组521xx a-≥-⎧⎨-⎩无解，则a的取值范围是。
3.在方程（组）中的运用【例5】利用图像法解方程组24212x yx y-=⎧⎨+=⎩4.在函数中的运用【例6】某水电站的蓄水池有2个进水口和1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。
已知某天0点到6点进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示。
给出三个判断：（1）0点到3点，只进水不出水；（2）3点到4点，不进水只出水；（3）4点到6点，不进水不出水。
则以上判断正确的是（）A （1）B （2）C （2）（3）D （1）（2）（3）【例7】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在（1）a＜0,（2）b＞0（3）c＜0（4）b2-4ac＞0中，正确的判断是（）A （1）（2）（3）（4）B （4）C（1）（2）（3）D（1）（4）5.在统计与概率中的运用【例8】近年来，某市旅游业蓬勃发展，吸引了大批海内外游客前来观光，下面两图分别反映了该市2001—2004年旅客总人数和旅游业总收入的情况。
数形结合思想在初中数学教学中的运用研究
数形结合思想在初中数学教学中的运用研究一、数形结合思想是数学中一个重要的思维方式和方法论，在初中数学教学中，将这一思想运用到教学实践中，可以促进学生对数学知识的理解和掌握，提高数学思维能力和解决问题的能力。
本文将结合实例，论述数形结合思想在初中数学教学中的运用。
二、数形结合思想概述数形结合思想是指在解决数学问题时，将数学知识和几何图形结合起来，通过图形的特征和性质对问题进行分析和解答的思维方式。
数形结合思想可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念和定理，增强数学思维的感性认识和几何直觉。
三、数形结合思想在初中数学教学中的运用（一）代数和几何的结合初中数学中许多知识点都是代数和几何相互联系的，如平面图形的性质与面积公式的推导、速度、时间、距离等量的换算等。
这时，我们可以采用数形结合的方法，通过几何图形的形式引入代数式，让抽象的代数符号通过图形形象化。
例如，面积公式的推导就是典型的数形结合思想的应用，通过画出一个高为h、底为b的梯形，再将它划分成小矩形，用已经知道的面积公式求得所有小矩形的面积，然后将这些小矩形面积加起来，就得到了梯形的面积公式S=(a+b)h/2。
（二）解决几何问题初中数学中，学生需要掌握许多的几何定理，例如，勾股定理、相似的判定法等几何问题。
这些几何定理和知识对于学生来说可能会感到较抽象，难以理解。
但在实际操作时，我们可以通过数形结合思想的方式，将几何图形与代数运算结合起来，用更加直观的方式解决问题。
例如，在教学勾股定理时，可以将其对应于一个单位圆内一条斜率为k的直线与与x轴垂直的直线所围成的三角形，更加具体地理解未知边长所代表的具体数值，帮助学生直接用数值求解勾股数。
（三）提高解题能力通过数形结合思想，可以更加直观地帮助学生理解和掌握数学知识和技能，从而有助于提高学生解决数学问题的能力。
例如，在解决数列求和问题中，可以引入图形表示数列中每个数的大小和位置，从而帮助学生理解数列求和的规律和方法；在解决方程组问题中，也可以通过图形来表示方程组的解，从而帮助学生直观地理解方程组的解法。
数形结合思想在初中数学教学中的应用——以“函数”教学为例
教学·策略数形结合思想在初中数学教学中的应用———以“函数”教学为例文|林欣为了促进教学活动的顺利、高效开展，明确落实教学目标，教师需要重视对教学理念的创新与变革，以便为学生创造良好的学习环境，进一步挖掘学生的潜能，为学生高效开展数学学习奠定基础。
数形结合思想作为重要的数学思想，对提升学生的数学学习能力有着重要意义。
教师应将数形结合思想融入日常教学中，以助力学生更高效地解决数学问题，促使学生形成良好的数学思维。
同时函数作为初中数学的重要内容，对学生数学素养与能力的提升有着重要影响。
因此，在“函数”教学中，教师应重视对数形结合思想的有效应用，直观、生动地展现抽象的函数知识，充分发挥学生的形象思维能力，帮助学生掌握问题的本质，使其能够快速、高效地解决问题，从而为初中数学教学的高质、高效开展提供助力。
一、创设教学情境在初中数学教学活动中，教师可以结合教学知识创设生动、有趣的教学情境，以吸引学生的注意力，使学生能够真正关注到问题，并运用图形对问题中所包含的内容进行直观呈现，让学生亲身感受到数形结合所创造的便利，进而激发学生运用数形结合方法解决数学问题的热情，并深刻认识到数形结合思想的价值与意义。
例如，教师可以结合生活实际设置例题，通过创设良好的教学情境，激发学生的解题兴趣。
问题：25路公交车往返于A、B两地，两地的发车时刻表相同。
假设公交车均速直线向前行驶，从A 地到B地，从B地到A地所用时间都是60分钟，每间隔10分钟发一趟车。
提问：一辆25路公交车从A 地出发，途中能遇到几辆由B地出发的25路公交车？在分析问题后：学生1：能够遇到4辆。
学生2：能够遇到5辆。
学生3：能够遇到6辆。
学生4：能够遇到7辆。
教师：针对这一问题，大家的答案各不相同，以前也有数学家针对类似问题进行了激烈争论。
虽然这道题十分简单，却隐藏着重要信息，需要我们运用合理的方法解题。
学生一听数学家都没有解出这道题都感到十分的疑惑，非常想知道最后数学家是怎样解出问题的。
浅议数形结合思想在初中数学教学中的运用
浅议数形结合思想在初中数学教学中的运用数学作为基础性的应用学科，在长期的实践和探究问题过程，逐步形成了较为全面的解题策略和思想。
数形结合思想作为数学学科问题解答的四种最常用的思想方法之一，在实际问题有着广泛的应用。
教育学认为，数形结合，就是抓住“数”与“形”的特点，进行有效融合，互为补充，也就是将抽象的数学语言与直观的几何图形进行有效融合，通过“数”与“形”的有效转化进行问题解答的方法策略。
我国著名的数学家华罗庚先生曾经用“数与形是两依椅，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微”的经典语言，深刻阐述了数形结合思想的内涵真谛。
一、利用数形结合思想解答函数方程问题
这是一道关于平行四边形的数学问题案例。
学生解答“bd与ef 互相平分”的过程中，如果直接借助于平行四边形的性质，很难求出“bd与ef互相平分”的结论。
因此，在解答中学生需要运用数形结合思想，借助数学问题所给予的条件，再通过对图形的分析，从出采用“构建法”，通过添加“连接de、bf”的辅助线，然后借助平行四边形性质，采用等量代换的形式，求得ae＝cf，eb＝df，从而证得四边形debf是平行四边形，求得“bd与ef互相平分”这一结论。
三、利用数形结合思想解决不等式问题
以上所述，是本人在教学实践中对运用数形结合思想的一点心得和体会，在此抛砖引玉，希望同仁共同探究，为提升学生解题能
力作出更大贡献。
浅谈初中函数教学中的 “数形结合”思想方法
（追问）T: ⑸你能从解析式出发给出证明吗？
在上面的教学设计中，教师借助几何画板课件，帮助学生形象直观的理解了反比例函数图象的变化规律，发现变化过程中的特殊点的，自然的归纳出反比例函数增减性的性质及自变量的取值范围，并且通过结合符号语言和解析式全方位诠释增减性的意义。学生不但理解而且记忆，而且途径全面，更好的感受到函数的三种表示方法的整体一致性。
浅谈初中函数教学中的“数形结合”思想方法
函数是初中数学教学中的重要内容，学生初次接触函数，感觉难度大，不容易理解。那么怎样进行函数教学，学生会学的轻松一点呢？我在函数的教学过程中，针对学生的知识结构与年龄特点，结合自己的一点教学经验，谈谈函数教学中的“数形结合”思想方法。
一、数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。
（2）切莫急于呈现画函数图象的简单画法。首先，在探索具体函数形状时，不能取得点太少，否则学生无法发现点分布的规律，从而猜想出图象的形状；其次，教师过早强调图象的简单画法，追求方法的“最优化”，缩短了学生知识探索的经历过程。所以，在教新知识时，教师要允许学生从最简单甚至最笨拙的方法做起，渐渐过渡到最佳方法的掌握，达到认识上的最佳状态。
（1）让学生经历绘制函数图象的具体过程。首先，对于函数图象的意义，只有学生在亲身经历了列表、描点、连线等绘制函数图象的具体过程，才能知道函数图象的由来，才能了解图象上点的横、纵坐标与自变量值、函数值的对应关系，为学生利用函数图象数形结合研究函数性质打好基础。其次，对于具体的一次函数、反比例函数、二次函数的图象的认识，学生通过亲身画图，自己发现函数图象的形状、变化趋势，感悟不同函数图象之间的关系，为发现函数图象间的规律，探索函数的性质做好准备。
谈初中数学中的数形结合思想
借助形 的生动和直观性来 阐明数之间的联 系，即以形作为 手段 ， 数为 目的．
例１ 当ｎ 为正整数时 ， 求和 ： １１ ３ ５ ７ ． ＋ ｎ １ （ ）＋ ＋ ＋ ＋． ２ 一 ； ・
来 刻划．２ 学生经历操作 与思考 “ （） 用笔尖 在数轴上 两次连续运
动中 ， 点的运动方向与移动 的距离对实际移动效果产生 的影响”
为 １分 别 取 Ａ Ｂ 两 边 的 中 点 ， Ｃ、 Ｃ 』， ， ４ 、 ，则 四 边 形 Ａ ＢＡ 的 面 积 Ｂ Ｂ Ｉ
例２ 中的第（ ） ３ 问与例３ 中的第 （ ） ２ 问用常规思维会出现关 于
分 式 的不 等 式 ， 在初 中是 无 法 解 决 的问 题 ， 借 助 函 数 的 图像 这 但
２ 图形 中本 身 蕴 涵 的 数 量 关 系是 数 形 结 合 的 基 础 ．
口 日匪
图１ 图２ 图３
图４
如果将平面 图形 中的形状 、 位置关 系称 为“ ， 形” 那么对应 的
简 解 ：１如 图 １ １ １； （） ，＝ 如 图２ １３ ２； ，＋ ＝
大小关 系便 是“ ” 数 ． （） 例如 １ 平行 线的判定 就是从 角的数 量关 系
质和特点 ， 这为数学 的研究 与应用提供 了很大 的帮 助． 因此 ， 函
包括实数 、 代数式 、 方程 、 不等式 、 函数关系式等 ，形 ” “ 包括几何 图形 、 函数 图像和统计 图表等． 数形结合思想就是从 “ 的直 观 形”
角度 、 形 ” “ 的性质研 究数量关 系 ， 寻求 “ 的问题 的解决方 法 数”
数及其 图像 内容凸显 了数形结合的思想方法．在初 中一 次函数 （ 比例函数 ） 正 对应一条直线 ， 比例函数对物线．
浅谈初中数学中的数形结合思想
“ 明的 理 论 不仅 是 现 在 用 以理 解现 象的 工 具 。而且 也 高 是 明天 用 以 回 ・ 那 个现 象 的 工 具 。” 数 形 结 合 ” 为数 学思 ｝ 乙 “ 作
法 ， 养 思 维 能 力 ， 成 良好 的 数 学 思 维 习惯 ， 符 合 新 的 培 形 既
课 程 标 准 ． 是 进 行 数 学素 质教 育 的 一个 切 入 点 。“ 缺 形 ， 也 数 少 直 观 ； 缺 数 ， 入 微 ” 数 形 结合 的 思 想 ， 是 研 究数 学 形 难 ， 就
念层 次上 的数 学教 育 。数 学 学 习 离 不 开思 维 ， 学探 索需要 数 通 过 思 维 来 实 现 。在初 中数 学 教 学 中逐 步 渗 透 数 学 思 想 方
地 结 合 在 一起 ， 生 正是 在 这 样 的 学 习过 程 中 。 会 “ 形 结 学 体 数
合 ” 思 想 达 到 了一 次从 “ 法 ” “ 想 ” 的 方 到 思 的飞 跃 。 数 轴 上 找倒 数 ． 化 对 “ 数 ” 深 倒 的认 识 。乘 积 是 ｌ的 两个 数 互 为倒 数— — 倒 数 的 概 念 对 于 学 生 来说 并 不 难 理 解 。 从
程 改 革 的 深入 ． 应 试教 育 ” 素 质教 育 ” 变 的 过 程 中 。 “ 向“ 转 对 学 生 的 考 察 ， 仅 考 查 基 础 知 识 ， 本 技 能 ， 为 重 视 考 查 不 基 更
在 分 析 问题 的过 程 中 注意 把 数 和形 结合 起 来 考察 。 根 据 问题 的 具 体 情 形 ， 图形 的 问题 转 化 为 数 量 关 系的 问题 ， 把
的 形 象 直 观相 统 一 ，将 抽 象 思 维 与 形 象直 观 相 结合 的 一 种
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初中数学中的数形结合
思想
集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
浅谈初中数学中的数形结合思想在解决初中数学问题过程中，运用数形结合的思想，根据问题的具体情形，把图形性质问题转化成数量关系来研究。
或者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以“数”助“形”或以“形”助“数”，使问题简单化、具体化，促进“数”与“形”的相互渗透，这种转换不但能提高教学质量，同时也能有效地培养学生思维素质，所以“数形结合”是初中数学的重要思想，也是学好初中数学的关键所在。
数形结合在数学教学中对学生能力的培养是非常重要的，而对一个学生数学能力的培养主要包括使学生形成运算能力和利用数学思想方法解题的能力。
数学思想是对数学知识的更高层次的概括和提炼，是培养学生数学能力的最重要的环节。
数形结合的思想是初中数学学习中一个重要的数学思想，它贯穿了数学教学的始终。
本文就数形结合的思想谈一点自己的认识。
数形结合的思想就是根据数（量）与形（图）的对应关系，把数与形结合起来进行分析研究把抽象的数学语言与直观的图形结合起来；使复杂的问题简单化抽象的问题具体化；通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题的一种思想方法。
数形结合的思想在初中数学中的应用主要体现在一下两个方面。
一、有数思形数形结合，用形来解决数的问题和解决一些运算公式；把代数关系（数量关系）与几何图形的直观形象有机的结合起来，使抽象的问题形象化复杂的问题简单化。
如1.利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加、减、乘、除运算等。
2.用几何图形来推导平方差、平方和、完全平方公式以及多边形外角和定理。
3.用函数的图像解决函数的最值问题、值域问题。
4.用图形比较不等式的大小问题。
解这种类型题的关键是根据数（量）结构特征构造出相应的几何图形，将概念形象化，复杂计算的问题简单化。
二、由形思数数形结合。
解决这类问题的关键是运用数的精确性来阐明形的某些属性；将图形信息转化为代数信息，利用数（量）特征将图形问题转化为代数问题来解决。
这类问题在初中数学中运用的也比较多，如：
1.用数（量）表示角的大小和线段的大小，用数（量）的大小比较角的大小和线段的大小。
2．用有序实数对描述点在平面直角坐标系内的位置。
3．用方程、不等式或者函数解决几何量的问题。
4．用数来描述点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直线与直线的位置关系。
其实在解有关的数形结合问题并不是单纯的由数思形或者有形思数的问题，一般都是综合运用题。
利用数形结合解有关的问题时要注意一下几个问题：
1. 注意数与形转化前后的一致性；
2. 要注意用数的精确性准确的去描述图形的特征；
3. 把数转化成形时要注意图形的全面形。
因为有的数学问题对应的问题不
唯一就必须根据不同的情况作出相应的图形，再进行讨论求解。
总之数形结合的思想是一种重要的数学思想，有助于把握数学问题的本质，它是数学规律性和灵活性的由机结合。
运用数形结合的思想解决数学题的关键是找准数与形的契合，与形巧妙的结合起来，根据不同的问题相互转化，使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化；利用数形结合的思想解决有关的问题不仅可以增强解决问题的灵活性，还可以提高分析问题和解决问题的效率，从而在解题中可以产生事半功倍的效果；同时也利于学生理解和接受。
数形结合的思想方法，不象一般的数学知识那样，学生易于理解和接受，通过几节课的讲解学生就可以掌握。
在初中数学教学中应该通过以下几个方面培养学生利用数形结合的思想方法解题的能力。
1．根据学生的年龄特点在学习的不同的阶段的认识水平和知识特点，采采取循序渐进，由易到难逐步深入不断提高学生的认识水平和解题能力。
2．选择典型的例题进行讲解并指导学生进行有真对性的练习。
让学生通过解题明白用数形结合解决有关的问题可以避免复杂的运算和推理大大的简化了解题的过程；使学生从感性认识到理性的认识在实践中得到锻炼。
使其在解决问题的同时感到自身的成就感，从而激发其学习的
兴趣。
使学生能够体会到用数形结合解决有关问题的简便性，从而使其养成自觉的用数形结合的思想解决有关的问题习惯。
3．结合生活中的实际问题和探索规律，反复讲解渗透，强化数学中的数形结合的思想，培养学生在数学学习中的数形结合的意思。
并使学生在运用数形思想解题时弄清楚是有数思形还是有形思数的问题，加深其对问题的理解。
在探索规律的过程中让学生明白应该遵循有特殊到一般的思路从而得出一般性的结论。
4．利用数形结合的思想解决问题时，使学生明白所谓数形结合就是找准对象的属性，根据问题特点，将数和形巧妙的结合起来，有效的相互转化，是解决问题的关键。
5．任何一种解题的思想方法都不是孤立的，在教学中还应根据具体的问题利用现有的教材注意几种思想方法的综合运用。
同时要充分发挥学生在学习中的主观能动性，因势利导会收到很好的教学效果。
浅谈初中数学中的数形结合思想
濉溪县四铺中心学校任飞。