无界函数广义积分的数值计算[开题报告]
无穷限的广义积分.
cos
x 0
.
极限不存在
sin xdx
是发散的
若认为积分区间关于原点对称，被积函数为
奇函数，按定积分公式③计算就错了.
例3 计算广义积分 ex sin xdx . 0
解 先计算定积分 Aex sin xdx 0
A
0
e
x
sin
xdx
A 0
sin
xd
ex
ex
sin
x
A 0
A ex cos xdx
a
f xdx
lim Ft Fa F Fa； t
b
f xdx
Fb lim Ft Fb F ； t
f
xdx
lim
t
F
t
lim
t
F
t
F F .
（2）当
f x为奇函数时,
f
x
dx
不能按积
分区间关于原点对称的定积分处理为零。因为
f
xdx
lim
A
B
A
f
xdx,
B
这里A与B是相互独立的.
3.例题
例1
计算广义积分
0 e
x
dx
.
解
0exdx
ex
0
1.
y
这个广义积分值的几
何意义是,当t
时，图5－7中阴影部
1
y ex
分向左无限延伸，但 其面积却有极限值1 .
t
ox
图5－7
例2 计算广义积分 sin xdx .
解
sin
xdx
0 sin
xdx
0
sin
xdx
广义积分的概念与计算
1
1 x12 x x12
2
0
d x 0
1
d( x 1 ) x
2 (x 1 ) 2 x
dt 2 t 2 (2) 当一题同时含两类广义积分时, 应划分积分区间,
0
分别讨论每一区间上的广义积分.
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(3) 有时需考虑主值意义下的广义积分. 其定义为
0 dx 下述解法是否正确 : 1 dx
的收敛性 .
1 1 解: 2 2 x x 1 x 0x 1 1 dx 0 1 1 2 1 1 2 , ∴积分收敛 1 x x 所以广义积分 1 发散 .
边梯形的面积 可记作
y
1 y 2 x A
x 其含义可理解为 A lim
A
dx 2
b
1
b 1
b
1 dx lim 2 b x 1 x
O 1
b
x
1 lim 1 1 b b
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4
若 f ( x) C ( , ) , 则定义
f ( x) dx lim f ( x) dx a a b c lim
( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 .
c b
无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该广义积分发散 .
2018/11/21
宁波大学教师教育学院
5
引入记号
F () lim F ( x) ;
无界函数的广义积分
b
a f (x)dx 收敛，并定义
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
否则，就称广义积分ab f ( x)dx 发散.
a dx
例1 计算广义积分 0
a2 x2
解
lim 1 , xa0 a2 x2
(a 0).
x a 为被积函数的无穷间断点.
a dx lim a dx
c
b
lim{ f (x)dx f (x)dx}
0 a
c
称此极限为广义积分的柯西主值,记为
b
c
b
P.V. f (x)dx lim{ f (x)dx f (x)dx}
a
0 a
c
2.无穷积分的柯西主值
设函数 f ( x) 在区间(,)上连续,如果
极限
A
lim
f ( x)dx
A A
c
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
0 a
0 c
否则，就称广义积分ab f ( x)dx 发散.
定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.
设函数 f ( x)在区间 (a,b) 上连续，而在点
a, b 的邻域内无界.a<c<b,如果两个广义积分
c
a
f
(
x)dx
和
b
c
f
(
x)dx都收敛，则称广义积分
一、无界函数广义积分的概念
定义 2 设函数 f ( x) 在区间(a, b]上连续，而在
点a 的右邻域内无界．取 0 ，如果极限
b
lim
f ( x)dx 存在，则称此极限为函数 f ( x)
(整理)第06章02节无界函数的广义积分
第2节 无界函数的反常积分我们知道，在[,]a b 上可积的函数都在[,]a b 上有界。
下面我们考虑如果()f x 在某点[,]c a b ∈的附近无界，该怎么积分()ba f x dx ⎰？如果()f x 在c 的任意邻域内都无界，则c 称为()f x 的瑕点（反常点）。
分别如下3种情况。
（1）设()f x 在[,]a b 上只有唯一的瑕点b ；又设[,)t a b ∀∈，()f x 在[,]a t 上都可积。
考虑极限0()lim ()()[]bb a af x dx f x dx A A f x a b εε+-→⎧⎪⎨=⎪⎩⎰⎰不存在，则称反常积分发散（不存在）；存在，则称为在,上的反常积分，记为()lim ()bb aaf x dx A f x dx εε+-→==⎰⎰此时称()b af x dx ⎰收敛。
（先把积分区间缩小一点点。
） 如果在[,)a b 上()F x 是()f x 的随便一个原函数，则()lim ()()()bba abf x dx F F a F x ττ-→=-=⎰（记住：b 是怎样代进去的？）（2）设()f x 在[,]a b 上只有唯一的瑕点a ；又设(,]t a b ∀∈，()f x 在[,]t b 上都可积。
考虑极限0()lim ()()[]bba a f x dx f x dx A A f x ab εε++→⎧⎪⎨=⎪⎩⎰⎰不存在，则称反常积分发散（不存在）；存在，则称为在,上的反常积分，记为()lim ()bbaa f x dx A f x dx εε++→==⎰⎰此时称()b af x dx ⎰收敛。
（先把积分区间缩小一点点。
） 如果在(,]a b 上()F x 是()f x 的随便一个原函数，则()()lim ()()bba aaf x dx F a F F x ττ+→=-=⎰（记住：a 是怎样代进去的？）（3）设()f x 在[,]a b 上只有全部的瑕点是12m x x x <<<。
无穷限的广义积分
b
c
b
f ( x )dx
16
思考题
积分 ∫0
1
ln x dx 的瑕点是哪几点？ x −1
2010-1-4
广义积分(22)
17
思考题解答 积分 ∫0
1
ln x dx 可能的瑕点是 x = 0, x −1
x =1
ln x 1 = lim = 1, ∵ lim x →1 x x →1 x − 1
ln x ∵ lim =∞ x →0 x − 1
∴ x = 1 不是瑕点,
是瑕点,
∴ x=0
∴ ∫0
2010-1-4
1
ln x dx x −1
的瑕点是 x = 0.
广义积分(22) 18
2010-1-4 广义积分(22) 12
a −ε
1 例 6 证明广义积分 ∫0 q dx 当q < 1时收敛，当 x q ≥ 1时发散.
1
11 1 dx = ∫0 dx = [ln x ]1 = +∞ , 证 (1) q = 1, ∫0 q 0 x x ⎧+ ∞, q > 1 1− q 1 1 1 ⎡x ⎤ ⎪ ( 2) q ≠ 1, ∫ q dx = ⎢ ⎥ = ⎨ 1 ,q<1 0 x ⎣1 − q ⎦ 0 ⎪ ⎩1 − q 1 因此当q < 1时广义积分收敛，其值为 ； 1− q 当q ≥ 1时广义积分发散.
广义积分(22)
10
设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上除点 c (a < c < b ) 外连 续，而在点 c 的邻域内无界.如果两个广义积分
∫a f ( x )dx 和 ∫c
b
c
b
f ( x )dx 都收敛，则定义
无穷区间上的广义积分.
b
a
f
(
x
)dx
.
或 b f ( x)dx F ( x) b F (b) lim F (a) F(b) F(a)
a
a
xa
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散.
例1 计算广义积分
例题
41
41
1) 0
x dx , 2) 0 x2 dx
解 1） 因为 lim 1 , 所以 1 在x 0的右邻域无界.
x2
1 x
2
dx
1 3
2
1 x 1
1 x
1
dx
1 3
ln
x
1
ln
x
1 2
1 3
lim
b
ln
b1 b2
ln 4
1 3
ln 4.
例题
例6
证明广义积分
1
1 xp
dx
当
p
1时收敛，
当 p 1时发散.
证
(1)
p
1,1
1 xp
dx
1
1 x
dx
ln
x
1
,
(2)
p
1,
1
1 xp
dx
x1 p 1 p1
b
f ( x)dx
a
0 a
或
b f ( x)dx F ( x) b lim F ( x) F (a)
a
a xb
3）设 f ( x)在[a,b]上除点c (a c b)外连续，
lim
xc
f
(x)
.则
b
a
f
( x)dx
无穷限广义积分的数值计算[文献综述]
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文献综述信息与计算科学无穷限广义积分的数值计算一．前言部分定积分的数值近似称为数值求积.[1]它起源于古代用铺贴小方块近似计算不规则图形或曲边形的面积．在近似积分中，主要从定义积分的黎曼和出发，用被积函数在积分区间上有限个点上值的加权和来近似计算积分．我们一般使用牛顿-科茨求积公式，梯形公式及其复合公式，辛普森公式及其复合公式，Gauss 求积公式，切比雪夫求积法，三次样条函数求积法，自适应积分法等方法来进行数值求积．在讨论积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性．但在很多实际问题中往往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分”．根据函数的变化率，利用定积分我们可以计算函数在指定区间上的增量，利用变限定积分可以把握函数变化区间上增量的变化，为了把握函数在无穷区间上增量的变化，我们还需要引进并讨论无穷限积分[2]．比如现在人类要发射人造地球卫星或发射完成星际航行的飞行器，就要摆脱地球强大的引力，那如何离开地球呢?地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度是第二宇宙速度．第二宇宙速度为11．2公里/秒，是第一宇宙速度的2倍．地面物体获得这样的速度即能沿一条抛物线轨道脱离地球．我们可以运用无穷限广义积分解决第二宇宙速度问题．在黎曼积分的定义中，被积函数和积分区间都是有界的．若被积函数或积分区间无界，则称为广义积分．对无界区间，如[)∞，a ，如果对任何有限的b ，f 在区间[]b a ,上可积，并且下列极限存在且为有限数，则广义积分的定义为()()⎰⎰∞∞→=alim bab dx x f dx x f ．对无界的积分区间，可以使用有限区间上的标准求积程序计算广义积分，具体方法如下：•用有限的积分区间代替无限的积分区间．选择积分范围时要注意所截掉的部分应是极小的，另外应对这一部分在整个积分中所占的份额作出估计．同时这个有限区间也不应太大，以免在利用自适应求积程序时，陷入无休止的积分函数调用之中．•通过适当的变换将无界区间变成有界区间．典型的变换包括，t x ln -=或者()t tx -=1．但是在变换的时候一定要注意不要引入新的奇异点或产生其它问题． 还有一种方法就是采用专门计算无界区间积分的求积公式，比如说高斯-拉盖尔（Gauss-laguerre ）或者高斯-艾尔米特求积公式．一般采用变量替换，无穷区间的截断，无穷区间上的高斯求积公式，极限过程等方法去解决无穷限广义积分的数值计算．二．主题部分2．1数值积分的一般方法许多定积分都无法用解析方法求出．对于那些并不知道函数()f x 的表达式只能通过实验得到()f x 在一系列点上的值的积分问题也只能用数值方法．[3]2．1．1梯形法则[4]把以曲线()f x 为曲边的曲边梯形分解成小曲边梯形以后，估计小曲边梯形面积的一个方法是用左矩形或右矩形面积代替小曲边梯形面积；但是这时误差会比较大．事实上，这种方法相当于用一系列的水平线逼近曲线()f x ．我们可以把这些水平线看成是函数的零次插值多项式．一个更好的方法就是用一条折线逼近曲线()f x ；事实上，我们让小矩形的上边连续倾斜直到最好地拟合曲线．得到相应的求积公式是()()()2bab af x dx f a f b -≈+⎡⎤⎣⎦⎰, ()2.1.1 对所有1f ∈∏（即次数最多是1次的全体多项式）公式精确成立．此外，它的误差项是()()31''12b a f ξ--, 其中(),a b ξ∈．通过多项式逼近中的误差()()()()()1''x f x p x f x a x b ξ-=--积分，再利用积分中值定理，可以确定梯形法则的误差项． 2．1．2复合梯形法则如果划分区间[],a b 为：01n a x x x b =<<⋅⋅⋅<=.那么在每个子区间上可应用梯形法则．这时结点未必是等距的．这样，我们得到复合梯形法则()()()()()1111112ii nnbx i i i i ax i i f x dx f x dx x x f x f x ---==-=≈-+⎡⎤⎣⎦∑∑⎰⎰.()2.1.2 对等间距()h b a n =-及结点i x a ih =+，复合梯形法则具有形式()()0''nbai f x dx h f a ih =≈+∑⎰， ()2.1.3其中求和符号上的两撇表示求和式中的第一项和最后一项都被减半.复合梯形法则的误差项是()()21''12b a h f ξ--, 其中(),a b ξ∈．对于每个子区间上的误差项求和并利用以下事实：在[],a b 内存在一点ξ使得()()()1''1''nii f n f ξξ==∑，其中()1,i i i xx ξ-∈以及()1n b a h =-，即平均值，这样便得到总误差项． 2．1．3辛普森法则[5]对任意区间[],a b 的类似计算可得到熟悉的辛普森法则：()()()462bab a a b f x dx f a f f b -⎡+⎤⎛⎫≈++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰. ()2.1.4 从它的推导过程可知，对于所有次数2≤的多项式辛普森法则是精确成立的．出乎意料的是， 对于所有次数3≤的多项式它也精确成立．与辛普森法则联系在一起的误差项是： ()()()541290b a f ξ--⎡⎤⎣⎦, 其中(),a b ξ∈． 2．1．4 Gauss 公式[6]设有计算()()baI f f x dx =⎰ ()2.1.5的求积公式()()0nn kkk I f A f x ==∑， ()2.1.6其中求积节点()0,1,k x k n =，求积系数()0,1,k A k n =.如果其代数精度为()21n +，则称为求积公式为Gauss-Legendre 公式（简称Gauss 公式），称相应的求积节点为Gauss 点．由代数精度的定义知，式()2.1.6为Gauss 公式的充分必要条件是求积节点{}0nk k x =和求积系数{}0nk k A =满足下列方程组：0220212101n b k a k n b k k a k nb k k ak nbn n k k ak A dx x A xdxx A x dx x A x dx===++=⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎩∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰. ()2.1.7 Gauss 积分不但具有高精度，而且是稳定的，其原因是由于它的求积系数具有非负性．Gauss 公式()()0nbkkak f x dx A f x =≈∑⎰的求积系数()0,1,kA k n =全是正的．高斯求积公式,[7]它不但具有最高的代数精度，而且收敛性和稳定性都有保证．因此是高精度的求积公式，高斯公式的主要缺点是节点和系数无规律，所以不便编程实现，在实际应用中，可以把低阶高斯公式进行复化． 2．2 无穷积分的敛散性判别[8]无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题，是求解无穷积分近似值的一个先决条件．由定义知道，无穷积分()af x dx +∞⎰收敛与否，取决于函数()()uaF u f x dx=⎰在u →+∞时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分的柯西准则．无穷积分()af x dx +∞⎰收敛的充要条件是：任给0ε>，存在G a ≥，只要1u 、2u G >，便有()()()2121u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰．()2.2.1 我们知道，[9]无穷限反常积分和数项级数两者之间有很多结论是相似的．在数项级数里面，当数项级数收敛时，其通项是收敛于零的．那么在无穷限反常积分里是不是也有相似的结论呢．首先我们看看无穷限反常积分在收敛时的几何意义：()af x dx +∞⎰收敛时的几何意义：若()f x 是[),a +∞上的非负连续函数，则()af x dx +∞⎰是介于曲线()y f x =，直线x a =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域的面积J ．从而可知：()af x dx +∞⎰实际上是表示曲线()y f x =与坐标轴所围成的面积的代数和．而当()af x dx +∞⎰收敛时，是否()f x 在无穷远处的极限一定为零时，图形的面积才可以计算呢?如果回答否定，那么在哪些情况下，被积函数在无穷远处的极限才等于零呢?经过对若干例子的研究，我们得出结论：上述第一个问题的回答是否定的，并且有这样的事实：()af x dx +∞⎰收敛时()f x 在无穷远处的极限并不一定为零．被积函数在无穷远处极限为零的充分条件： 当()af x dx +∞⎰收敛时，在无穷远处的极限为零．以下就是经过对()f x 作某些限制而得出的几个结论，而这些结论就是对引言中的问题的回答．定理1． 若()a f x dx +∞⎰收敛且()lim x f x →+∞存在，则有()lim 0x f x →+∞=；定理2． 若()a f x dx +∞⎰收敛且()f x 单调，则()lim 0x f x →+∞=；定理3． 若()a f x dx +∞⎰收敛且()f x 一致连续，则有()lim 0x f x →+∞=；定理4． 若()af x dx +∞⎰收敛且导函数()f x 有界，()lim 0x f x →+∞=．2．3无穷区间上的积分的计算方法考虑无穷区间上的积分 ()()aI f f x dx ∞=⎰, ()2.3.1其中a 为有限值或-∞．常用的无穷区间上的积分的求解方法:[10]2．3．1变量替换对于式()2.3.1，作变量替换xt e -=，可将区间[)0,+∞变为区间()0,1．因此有()()()110001ln g t f x dx f t dt dt t t∞=-=⎰⎰⎰. ()2.3.2这样就把无穷区间上的一个积分化成为了有限区间上的积分．若()g t t在0t =的邻域内有界，那么式()2.3.2的右边是一个正常积分，反之，积分是一个反常积分，上述变换只是把一种困难装换成另一个困难．变量替换还有很多不同类型． 例 计算积分22111sin dx x x∞⎰． 解 令1y x=，那么有12221011sin sin dx y dy x x∞=⎰⎰， 对2sin y 泰勒级数展开，有122210111111sin sin 342132075600dx y dy x x ∞==-+-+⎰⎰0.310268≈．2．3．2无穷区间的截断将被积函数的“尾巴”略去，可使无穷区间化为一个有限区间，此方法要求事先用某种简单的解析方法估算出尾部的量值．选取R a >，使()0f x dx ε∞<⎰, ()2.3.3其中ε为允许误差，那么无穷区间上的积分()2.3.3可以用()Raf x dx ⎰来近似．例 计算2x e dx ∞-⎰．解：当x R ≥时有2x Rx ≥，所以有估计式221x Rx R RRedx e dx e R∞∞---≤=⎰⎰． 对于4R =，则28110R e R--≈．因此对于允许误差为710-来说，只要计算240x e dx -⎰就可以了．2．3．3无穷区间上的高斯求积公式无穷区间上的积分．高斯-拉盖尔求积公式和高斯-艾尔米特求积公式是最广泛实用的．下面作些补充．将插值型求积公式()()()()()()00,,nbk k a k n bi k a i k i i k x f x dx A f x x x A x dx x x ρρ==≠⎧≈⎪⎪⎨-⎪=∏⎪-⎩∑⎰⎰ ()2.3.4 中的[],a b 换为半无穷区间[)0,+∞，权函数()xx e ρ-=，并取节点()0,1,,k x k n =为1n +次拉盖尔多项式()()1111n xn xn n d L x e x e dx ++-++=的零点，称这样的高斯求积公式为高斯-拉盖尔求积公式，其表示形式为()()0,nxk k k e f x dx A f x +∞-=≈∑⎰()2.3.5系数k A 为()()122'1!n k k k n A x L x ++⎡⎤⎣⎦=⎡⎤⎣⎦()0,1,2,,k n =，()2.3.6 截断误差为[]()()()()2221!22!n n R f f n ζ++⎡⎤⎣⎦=+， ()0,ζ∈+∞. ()2.3.7 高斯-艾尔米特求积公式是全无穷区间上的高斯型求积公式()()2nx k k k ef x dx A f x +∞--∞=≈∑⎰， ()2.3.8其中节点()0,1,,k x k n =为(),-∞+∞上带权()x x e ρ-=正交的1n +次艾尔米特多项式()()()2211111n n x x n n d H x e e dx++-++=-的零点，系数k A 为 ()()22'121n k n k n A Hx +++=⎡⎤⎣⎦， ()2.3.9截断误差为[]()()()()2211222!n n n R f f n ζ+++=+，(),ζ∈-∞+∞. ()2.3.10 在实际应用中有时希望一个或几个节点预先固定，然后确定其他节点和系数以使求积公式具有尽可能高的代数精度，这种固定部分节点的高斯型求积公式理论上总是可以按代数精度的等价定义[11]．2．3．4极限过程()()0lim r f x dx f x dx ∞∞→∞=⎰⎰,提供了极限过程．令010r r <<<是趋向于∞的数列．记()()()()0121r r r r r f x dx f x dx f x dx f x dx ∞=+++⎰⎰⎰⎰,右端每个积分都是正常积分，当()1n nr r f x dx ε+<⎰时，计算终止．2．4无穷限广义积分的新方法最近提出了一种基于进化策略算法的广义积分计算新方法，[12-15]该方法根据被积函数的变量区间任意选取分割点，作为进化策略的初始的群体，通过进化策略算法来优化这些分割点，最终可得到一些最优的分割点，然后再求和，再根据和函数定义适应度函数，在给定的终止条件下，可获得精度较高的积分值．最后，以广义积分(无穷限广义积分)为例，仿真结果表明，该算法相比传统的一些方法，具有计算精度高，自适应性强等特点．三、总结部分定积分的积分区间是有限的，但在实际问题中，往往需要突破这个限制，把积分区间从有限的推广到无限区间，形成了无穷限广义积分，因此，无穷限广义积分的基本性质、计算方法与定积分相类似[16]．在工程计算中也会遇到广义积分的数值计算问题，尤其是在近代物理等领域中会经常遇到广义积分(无穷限广义积分)的数值计算问题，不同的理论和方法的难易程度不同，我们应该注意观察总结，举一反三、巧妙地应用这些方法．同时也应该积极探索更新更有效的理论和方法去解决这些问题．四、参考文献[1]Michael T．Health．Scientific Computing: An Introductory Survey[M]．第2版影印版．北京 :清华大学出版社,2001．10:297-311．[2]李国莹,姜诗章,杨平,王国清．应用数学基础[M]．第2版．上海:复旦大学出版社,2003．2:97-97．[3]Leader J．J．Numerical Analysis and Scientific Computation[M]．影印版．北京:清华大学出版社,2008．5:314-314．[4]Curtis F．Gerald Partrick O．Wheatley著,吕淑娟译．应用数值分析[M]．第7版．北京:机械工业出版社,2006．9:22-223．[5]David Kincaid,Ward Cheneny著,王国荣,俞耀明,徐兆亮译．数值分析[M]．第3版．北京:机械工业出版社,2005．9:385-386．[6]孙志忠,袁慰平,闻震初．数值分析[M]．第2版．南京:东南大学出版社,2002．1:203-211．[7]李桂成．计算方法[M]．北京:电子工业出版社,2005．10:186-186．[8]华东师范大学数学系．数学分析上册[M]．第3版．北京:高等教育出版社,2001．6:264-270．[9]戴培亮．无穷限积分的被积函数在无穷远处的极限[J]．常熟理工学院学报．2006．11,20(6) :1-4．[10]《代应用数学手册》编委会．现代应用数学手册-计算与数值分析卷[M]．北京:清华大学出版社,2005．1:227-230．[11]封建湖,车刚明,聂玉峰．数值分析原理[M]．北京:科学出版社,2001．9:118-118．[12]郭德龙,周永权．基于进化策略的广义积分计算方法研究[J]．计算机工程与设计． 2008．10,29(19):5026-5028．[13]张艳红．一种工程实用的数值积分方法[J]．工程力学报．2005．6,22(3):39-45．[14]陈泽文,朱玉灿．高阶奇异积分的小波逼近及数值计算[J]．数学物理学报．2002．6,22(2):281-288．[15]张新育,杨松华．矩形域上非正常积分的一种数值算法[J]．郑州工业大学报． 1999．3,12(4):101-102．[16]李承家,胡晓敏．数学分析导教．导学．导考[M]．第3版．陕西:西北工业大学出版社,2003．6:234-234．。
高等数学(第三版)课件：广义积分
b
a
f
(x)dx
lim
0
b
a
f
(x)dx
如果极限
( 0).
lim b
0 a
f (x)dx
( 0)，
存在，则称广义积分
b
a
f
(
x)dx
收敛.如果上述极限不
存在，就称广义积分
b
a
f
(
x)dx
发散.
函数f(x)在[a,b]上除点x=c∈(a,b)外都连续，且
lim f (x) ，则广义积分定义为
(x)dx，
此时，如果上式右端的两个广义积分a f (x)dx和
a
f
( x)dx都收敛，则称广义积分＋
f
( x)dx收敛，
否则称广义积分＋ f (x)dx发散.
上述三种方法统称为无穷区间上的广义积分.
例1
求
0
e
3x
dx.
解
0 e3xdx
lim
b
0be
3
xdx
1 3
lim
b
0be
3x
d(3x)
极限 lim b f (x)dx 0 a
，称为无界函数 f (x)在(a,b]
上的积分,记为 ab f (x)dx
即
b
f (x)dx lim
b
f (x)dx，
a
0 a
若上式右端极限存在，则称广义积分
b
a
f
(x)dx
收敛.如
果上述极限不存在，就称广义积分发散.
类似地，函数f(x)在[a,b)上连续，且 lim f (x) xb
ln
6-6微积分
lim[arcsin
0
x a
]a 0
a
lim arcsin
0
a
.
2
例8 讨论
1 1
1 x2
dx的收敛性.
解
1 dx 1 x 2
0 1
dx x2
1 dx 0 x2
其中
11
0
x2 dx
lim
0
1 dx x2
lim[
0
1 x
]1
lim(1
0
1)
故广义积分发散.
例9
计算 a
当 0 s 1时,
Qex
x s1
1 x 1 s
1 ex
1 x 1 s
,
而 1 s 1, 根据比较审敛法2, I1 收敛.
(2)Q lim x
x2
(e x xs1 )
lim
x
x s1 ex
0,
根据极限审敛法1, I2 也收敛. (s) 由 (1), (2) 知
e x x s1dx 对 s 0 均收敛. 0
记作
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx( 0)
a
0 a
b
此时也称广义积分 f ( x )dx收敛， a
若上述极限不存在，就称广义积分发散．
定义6
设函数 f ( x) 在除 x c(a c b) 外
连续，且 lim f ( x) ，如果两个广义积分 xa
c
f ( x)dx 与
lim
b
b1
2
x2
dx x2
1 3
lim
b
b 1 dx 2 x1
b 2
x
高等数学课件：广义积分
若极限
存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的广义积分, 记作
这时称广义积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
©
而在点 c 的
邻域内无界 , 则定义
c
b
a f (x) dx c f (x) dx
4
d
x
1 2
1 x2 0 1 x4 d x
©
1 2
0
1 x2
1
1 x2
x2
dx
1
1
1
2
0
(x
1 x
)2
2
d
(x
) x
1
arctan
x
1 x
22
2 0
©
2.
求
解：
积分.
I
0
11
f
( x) f 2(x)
d
x
的无穷间断点, 故 I 为广义
3
21
f
( x) f 2 (x)
d
x
f 1
设0
x
,
则
x dt 0 1 t2
1 x
dt
0 1 t2
(
C
).
( A)arctan x
(B)2arctan x
(C )
(D)0
2
解答
令f ( x)
x
01
dt t2
1 x
dt
(0 x ),
0 1 t2
f
( x)
1 1 x2
第七章第四节广义积分
t a 0 t
b
f ( x )dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
类似地，设函数 f ( x ) 在区间[a , b )上连续， 而在点b 的左邻域内无界.取 tb ，极限
t b 0 a
lim
t
f ( x )dx 称为函数
f ( x ) 在区间[a , b ) 上的广
二、无界函数的广义积分
设函数 f ( x ) 在区间 (a , b] 上连续，
则对任意a<t<b，f(x)在区 间[t,b]上连续。 所以积分下限函数
y
y f ( x)
b
t
f ( x )dx
O a t
t a 0 t
存在。 考虑它的极限
b x
lim
b
f ( x )dx
不妨记为
baf (Fra bibliotekx )dx lim arctan x a lim arctan x 0
0 b a b
lim arctan a lim arctan b . a b 2 2
例2 讨论广义积分 解
0
cos xdx 敛散性
由于 sin x是 cos x的一个原函数，
则 cos xdx sin a, 而 limsin a
0 a
a
极限不存在，所以广义积分发散
例3
解
计算广义积分
b
0
te
pt
dt （p是常数，且p>0）。
0
te
pt
4.4广义积分
0
6 、广义积分 ∫
x
−∞
1− x 的几何意义是______ ______________ f ( t )dt 的几何意义是______________
________ __； = ________；
________________________. ________________________.
b
+∞
∫−a f (x) dx a→+∞
a
v.p.∫ f (x) dx (c为瑕点, a < c < b)
a
c−ε f (x) dx + b f (x) dx = lim ∫ ∫c+ε + a ε →0
注意: 注意 主值意义下广义积分存在不等于一般意义下 广义积分收敛 .
例题 试证
注意到: Γ(1) = ∫
+∞ −x e dx 0
=1
= L= n!Γ(1)
(2) 当s → 0+时, Γ(s) → +∞. 证:
Γ(s +1) Q Γ(s) = , Γ(1) = 1 s 且可证明Γ(s) 在s > 0连续,
∴s → 0 时, Γ(s) → +∞
(3) 余元公式:
+
当s = 1 时, 有 2
4.4 广义积分 广义积分
积分限有限 被积函数有界
常义积分
推广
广义积分
一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分(瑕积分）
一、无穷限的广义积分 无穷限的广义积分 广义
引例. 引例 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
x2 其含义可理解为 b b dx −1 A = lim ∫ 2 = lim 1 x b→+∞ x 1 b→+∞
无界函数广义积分的数值计算[开题报告]
![无界函数广义积分的数值计算[开题报告]](https://img.taocdn.com/s3/m/d5d29926ddccda38366baf3d.png)
毕业论文开题报告信息与计算科学无界函数广义积分的数值计算一、选题的背景、意义微积分从20世纪初开始进入中学，他作为人类文化的宝贵财富，正在武装一代又一代的新人，终将成为世人皆知的常识[1].通常谈到积分，最先想到的往往是定积分.研究函数的定积分，常常有两个比较重要的约束条件，即积分区间的有界性和被积函数的有界性[2].但在很多实际问题中往往需要突破这两个条件，考虑无穷区间上的积分或是无界函数的积分，通常也称他们为广义积分.通过以往对定积分学习，发现它可以使很多复杂的问题简单化，但是实际生活广义积分的应用更加具有实际意义.因此关于它的计算自然而然地成了很重要的研究课题，这也是本论文的研究中心.广义积分的敛散性的判定是分析学的重要内容，有不少人对其研究，已得出了许多判定方法.有学者认为，由于积分与级数在理论上是统一的，因此有关正项级数的根式判别法可被推广以判别无穷限积分和[3].也有学者认为，将无穷积分及无界函数积分的被积函数运用无穷小和无穷大比较的方法进行比较，得到了相应的反常积分敛散性极限审敛法的等价定理[4]，从而可运用等价定理灵活的判断反常积分的敛散性.总之，广义积分目前已有多种判别收敛性的方法，但每个判别法都有其应用的局限性[5]，随着广义积分理论的逐渐发展，相信这些局限性会日趋减弱。
广义积分的敛散性的判别方法固然是很重要的问题，对于广义积分的计算的研究具有很重要的现实意义.在解析方法中，收敛的广义积分是通过用非奇异点（或有限点）代替奇异点（无穷点）并对其取极限的方法处理的[6].通常的积分计算直接利用公式()()()baf x dx F b F a =-⎰进行，但是，在实际问题中，这样往往是有困难的，有些被积函数()f x 的原函数不能用初等函数表示成有限的形式；有些被积函数表达式很复杂；有些没有具体的解析表达式.而且，广义积分是指把积分扩展为函数在积分区间上无界或积分区间具有一个或多个无穷端点的情况，无论哪种情况，正常的积分逼近规则必须进行修改[7].因此引进数值计算的方法进行计算.近些年，国内外学者总结出许多处理广义积分的方法，用于计算时，针对具体情况选择具体方法.由于无穷限的反常积分可以通过变量替换化为无界函数的反常积分，也可以直接仿无界函数的反常枳分作类似地处理.本论文以无界函数广义积分为研究重点.用于无界函数广义积分计算的方法有很多，本论文主要讨论：变量替换法、极限过程法、区间截取法、分部积分法、削减奇异性方法、乘积积分法.用到的数值积分计算公式有：梯形公式、抛物线公式、复合公式梯形公式、复合抛物线公式、Romberg 求积公式、Guass 型求积公式。
第四节 反常积分 无穷限广义积分 无界函数的广义积分
例 3 证明广义积分 当 p 1 时发散.
1 x
p
1
dx 当 p 1 时收敛，
证 (1) p 1,1
1 x
dx p
1
1 x
dx ln x 1 ,
, p 1 1 x ( 2) p 1, dx p 1 , p1 1 x 1 p 1 p1 1 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 ； p1 当 p 1 时广义积分发散.
即当 p 0 时收敛，当 p 0 时发散.
二、无界函数的广义积分
定义 2 设函数 f ( x ) 在区间( a , b] 上连续，而在 点 a 的 右 邻 域 内 无 界 ． 取 0 ， 如 果 极 限
0 a
lim
b
f ( x )dx 存在，则称此极限为函数 f ( x )
2
sin
1 x
dx .
1 x
2
sin 2
b
1 x
dx 2 sin
1 1 d x x
b
lim
b
2
1 1 1 sin d lim cos b x2 x x
1 lim cos cos 1. b b 2
a
f ( x )dx .
a
f ( x )dx lim
a f ( x )dx b
b
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散.
类似地，设函数 f ( x ) 在区间( , b] 上连续，取
第五节 广义积分
cos
1 b
cos
2
1.
例3. 证明第一类 p 积分
当 p >1 时收敛 ; p≤1
时发散 . 证:当 p =1 时有
ln x
a
当 p ≠ 1 时有
x1 p 1 p
a
, a 1 p , p 1
p 1 p 1
因此, 当 p >1 时, 广义积分收敛 , 其值为 a 1 p ; p 1
b
a
f
( x) dx
F (b) F (c )
F(c )
F (a)
可相消吗?
例6. 计算广义积分
解: Q lim 1 , xa0 a2 x2
显然瑕点为 a , 所以
a
dx
a
lim
dx
0 a2 x2 0 0
a2 x2
lim
0
arcsin
当x
1时
,u 4
, 当x
时
, u
2
,
arctanx 1 x 2 dx
2
u
sec 2 u d u
4
tan 2 u
2 u csc 2udu
4
2
4
u
d cotu
[
u
cot
u
]
2
4
2 cot u d u
4
4
[ln
sinu
]
2
4
1 ln 2
1广义积分的概念与计算
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式
arcsin
x a
a 0
arcsin1
π 2
例5. 讨论广义积分
的收敛性 .
解所下:以述1广1解dx义x2法积是分0否1dx1x正x2 确11:0发1dxx散21.11x2 ,0∴1 积 分 1x收敛01
2020/9/26
宁波大学教师教育学院
14
例6. 证明广义积分
0
解
I0
exdx
0
e x
|0 1.
当n 1时，利用分部积分
In
ex xndx
0
ex xn
|0
n
ex xn1dx
0
n
0
e
x
xn1dx
nI
n1,
因此，当 n 0时， In n!
2020/9/26
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20
练习2
当为k何值时，广义积分
2
x
dx (ln x)k
F() F(a)
b
f (x) dx F(x)
f (x) dx F(x)
F(b) F() F() F()
2020/9/26
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6
例1. 计算广义积分
解:
[arctan x ]
π ( π) π 22
思考:
y
y
1 1 x2
O
x
分析:
原积分发散 !
注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误 .
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
证: 当 q = 1 时,
ln
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毕业论文开题报告信息与计算科学无界函数广义积分的数值计算一、选题的背景、意义微积分从20世纪初开始进入中学，他作为人类文化的宝贵财富，正在武装一代又一代的新人，终将成为世人皆知的常识[1].通常谈到积分，最先想到的往往是定积分.研究函数的定积分，常常有两个比较重要的约束条件，即积分区间的有界性和被积函数的有界性[2].但在很多实际问题中往往需要突破这两个条件，考虑无穷区间上的积分或是无界函数的积分，通常也称他们为广义积分.通过以往对定积分学习，发现它可以使很多复杂的问题简单化，但是实际生活广义积分的应用更加具有实际意义.因此关于它的计算自然而然地成了很重要的研究课题，这也是本论文的研究中心.广义积分的敛散性的判定是分析学的重要内容，有不少人对其研究，已得出了许多判定方法.有学者认为，由于积分与级数在理论上是统一的，因此有关正项级数的根式判别法可被推广以判别无穷限积分和[3].也有学者认为，将无穷积分及无界函数积分的被积函数运用无穷小和无穷大比较的方法进行比较，得到了相应的反常积分敛散性极限审敛法的等价定理[4]，从而可运用等价定理灵活的判断反常积分的敛散性.总之，广义积分目前已有多种判别收敛性的方法，但每个判别法都有其应用的局限性[5]，随着广义积分理论的逐渐发展，相信这些局限性会日趋减弱。
广义积分的敛散性的判别方法固然是很重要的问题，对于广义积分的计算的研究具有很重要的现实意义.在解析方法中，收敛的广义积分是通过用非奇异点（或有限点）代替奇异点（无穷点）并对其取极限的方法处理的[6].通常的积分计算直接利用公式()()()baf x dx F b F a =-⎰进行，但是，在实际问题中，这样往往是有困难的，有些被积函数()f x 的原函数不能用初等函数表示成有限的形式；有些被积函数表达式很复杂；有些没有具体的解析表达式.而且，广义积分是指把积分扩展为函数在积分区间上无界或积分区间具有一个或多个无穷端点的情况，无论哪种情况，正常的积分逼近规则必须进行修改[7].因此引进数值计算的方法进行计算.近些年，国内外学者总结出许多处理广义积分的方法，用于计算时，针对具体情况选择具体方法.由于无穷限的反常积分可以通过变量替换化为无界函数的反常积分，也可以直接仿无界函数的反常枳分作类似地处理.本论文以无界函数广义积分为研究重点.用于无界函数广义积分计算的方法有很多，本论文主要讨论：变量替换法、极限过程法、区间截取法、分部积分法、削减奇异性方法、乘积积分法.用到的数值积分计算公式有：梯形公式、抛物线公式、复合公式梯形公式、复合抛物线公式、Romberg 求积公式、Guass 型求积公式。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题2.1广义积分的数值计算 2.1.1变量替换法[8]对于形如1()p qx g x dx -⎰（其中p ，q 互为质数，且q p >，()g x 通常为多项式），令qx t =，则1110()()p q p q qx g x dx q g t t dt --+-=⎰⎰.2.1.2极限过程法设()f x 在0x =的邻域内无界，反常积分可以定义为110()lim (),rr f x dx f x dx →=⎰⎰由此可得到一个计算方案，令121r r >>>是收敛于0的数列，例如2nn r -=，记1212311()()()()r r r r r f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰右边的每个积分都是正常积分，一般地，当1|()|nn r r f x dx ε+<⎰时，计算停止.2.1.3区间截取法区间截取通常称奇异性的解析处理，就是把积分区间分成两部分，使一部分有奇点而另不部分没有奇点.如果()baI f x dx =⎰中被积函数f 在x a =处有奇异点，则适当地选取小数0δ>，可使在小区间[,]a a δ+上的积分值处在允许的误差范围之内，即|()|a af x dx δε+<⎰而对于积分()ba f x dx δ+⎰，则可以按标准的数值积分进行. 2.1.4分部积分法[9]有时运用分部积分法，也可使某些反常积分化为正常积分，公式如下:''lim ()()lim[()()]|()()bbb a aab b u x v x dx u x v x u x v x dx →∞→∞=-⎰⎰. 2.1.5削减奇异性方法削减奇异性方法也称分项法，就是把()()baI f f x dx =⎰分解为奇异和非奇异两部分，奇异部分可用解析方法求解，非奇异部分可应用标准数值方法求解.即找一个函数()x ϕ，使它包含()f x 的奇点，即使()()()f x x x ϕφ-=在[,]a b 上不再具有奇点，从而()bax dx φ⎰属正常积分.削减奇异性方法有种特殊方法叫康托洛维奇方法，介绍如下： 设积分()()baI f f x dx =⎰的被积函数f 存在一个奇异点，康托洛维奇不是直接对()I f 进行求积，而是选取一个函数g ，使其与f 有相同的奇异点，并在给定的积分区间[,]a b 上可解析求积，而且f g -有一定阶的导数，把积分写成()()[()()]bb baaaf x dxg x dx f x g x dx =+-⎰⎰⎰，右边第一个积分可直接求积，第二个积分可用标准的数值求积公式计算.函数g 的选取有很多方法，例如被积函数f 用公式()()(),,[,]f x x c x a c b x a b αϕ=-≤≤∈来表示，其中10α-<<，ϕ在[,]a b 上足够光滑，ϕ在x c =处展成泰勒级数，则可以得到()12()2'()''()()()[()()()()()]1!2!!'()''()()()[()()()()()]1!2!!k k k k c c c f x c x c x c x c x c k c c c x c x c x c x c x c k αααααϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+++=-+-+-++-+---------上式右边第一个方括号中是一个幂函数，可以逐项求其积分；而第二个方括号内已无奇点，且相当光滑，可以用标准的数值求积公式计算出来. 2.1.6乘积积分法[10]对于形如()baf x dx ⎰的反常积分，被积函数能被分解成()()()f x w x g x =的形式，其中()0p x >它包含()w x 是一个奇异的权函数，而()g x 在[,]a b 上光滑.2.2常用数值积分公式[11]2.2.1 Newton-Cotes 公式取等距节点(0,1,,,()/)k x a kh k n h b a n =+==-为求积节点，记x a th =+，则有求积系数公式()011011()()()()()()()()()bbn k k n k k aak k k k k k n x x x x x x x x w l x dx dx x x x x x x x x -+-+----==----⎰⎰，0,1,,k n =.称()0[]nn n k kk Q f wf ==∑为Newton-Cotes 公式.在上述求积系数公式中，当1n =时得梯形求积公式：1()[](()())2b a Q f f a f b -=+. 当2n =时得Simpson 公式：2()[](()4()())62b a a bQ f f a f f b -+=++. 2.2.2 复合公式和Romberg 求积公式记()/,,0,1,,k h b a m x a kh k m =-=+=.在每个小区间上使用梯形求积公式，便得到复合梯形求积公式1()101[](2)2m m m k k hQ f f f f -==++∑.将[,]a b 区间2m 等分，记()/(2),,0,1,,2k h b a m x a kh k m =-=+=，在每个小区间上使用抛物线求积公式，则得到复合抛物线求积公式11(2)20212211[](42)3m m m i i m i i hQf f f f f --+===+++∑∑.使用复合求积公式时，我们通常是将步长h 逐次分半，利用低次复合求积公式的结果来计算高一次复合求积公式的值，于是有Romberg 求积公式：1()101[](2)2m m m k k hQ f f f f -==++∑2(2)()(2)11222[][][]21m m m Q f Q f Qf -=-4(4)(2)(4)22442[][][]21m m m Q f Q f Qf -=-6(8)(4)(8)44862[][][]21m m m Q f Q f Qf -=-。