无界函数广义积分的数值计算[开题报告]

毕业论文开题报告

信息与计算科学

无界函数广义积分的数值计算

一、选题的背景、意义

微积分从20世纪初开始进入中学，他作为人类文化的宝贵财富，正在武装一代又一代的新人，终将成为世人皆知的常识[1].通常谈到积分，最先想到的往往是定积分.研究函数的定积分，常常有两个比较重要的约束条件，即积分区间的有界性和被积函数的有界性[2].但在很多实际问题中往往需要突破这两个条件，考虑无穷区间上的积分或是无界函数的积分，通常也称他们为广义积分.通过以往对定积分学习，发现它可以使很多复杂的问题简单化，但是实际生活广义积分的应用更加具有实际意义.因此关于它的计算自然而然地成了很重要的研究课题，这也是本论文的研究中心.

广义积分的敛散性的判定是分析学的重要内容，有不少人对其研究，已得出了许多判定方法.有学者认为，由于积分与级数在理论上是统一的，因此有关正项级数的根式判别法可被推广以判别无穷限积分和

[3]

.也有学者认为，将无穷积分及无界函数积分的被积函数运用

无穷小和无穷大比较的方法进行比较，得到了相应的反常积分敛散性极限审敛法的等价定理

[4]

，从而可运用等价定理灵活的判断反常积分的敛散性.总之，广义积分目前已有多种判别

收敛性的方法，但每个判别法都有其应用的局限性[5]

，随着广义积分理论的逐渐发展，相

信这些局限性会日趋减弱。

广义积分的敛散性的判别方法固然是很重要的问题，对于广义积分的计算的研究具有很重要的现实意义.在解析方法中，收敛的广义积分是通过用非奇异点（或有限点）代替奇异点（无穷点）并对其取极限的方法处理的

[6]

.通常的积分计算直接利用公式

()()()b

a

f x dx F b F a =-⎰

进行，但是，在实际问题中，这样往往是有困难的，有些被积函

数()f x 的原函数不能用初等函数表示成有限的形式；有些被积函数表达式很复杂；有些没有具体的解析表达式.而且，广义积分是指把积分扩展为函数在积分区间上无界或积分区间

具有一个或多个无穷端点的情况，无论哪种情况，正常的积分逼近规则必须进行修改[7].因此引进数值计算的方法进行计算.

近些年，国内外学者总结出许多处理广义积分的方法，用于计算时，针对具体情况选择具体方法.由于无穷限的反常积分可以通过变量替换化为无界函数的反常积分，也可以直接仿无界函数的反常枳分作类似地处理.本论文以无界函数广义积分为研究重点.用于无界函数广义积分计算的方法有很多，本论文主要讨论：变量替换法、极限过程法、区间截取法、分部积分法、削减奇异性方法、乘积积分法.用到的数值积分计算公式有：梯形公式、抛物线公式、复合公式梯形公式、复合抛物线公式、Romberg 求积公式、Guass 型求积公式。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题

2.1广义积分的数值计算 2.1.1变量替换法[8]

对于形如

1

()p q

x g x dx -

⎰

（其中p ，q 互为质数，且q p >，()g x 通常为多项式），令

q

x t =，则1

1

10

()()p q p q q

x g x dx q g t t dt -

-+-=⎰⎰.

2.1.2极限过程法

设()f x 在0x =的邻域内无界，反常积分可以定义为

1

1

0()lim (),r

r f x dx f x dx →=⎰

⎰

由此可得到一个计算方案，令121r r >>>

是收敛于0的数列，例如2n

n r -=，记

12

1

2

3

1

1

()()()()r r r r r f x dx f x dx f x dx f x dx =+++

⎰

⎰⎰⎰

右边的每个积分都是正常积分，一般地，当1

|()|n

n r r f x dx ε+<⎰

时，计算停止.

2.1.3区间截取法

区间截取通常称奇异性的解析处理，就是把积分区间分成两部分，使一部分有奇点而

另不部分没有奇点.如果

()b

a

I f x dx =⎰

中被积函数f 在x a =处有奇异点，则适当地选取小数0δ>，可使在小区间[,]a a δ+上的积分值处在允许的误差范围之内，即

|()|a a

f x dx δ

ε+<⎰

而对于积分

()b

a f x dx δ

+⎰

，

则可以按标准的数值积分进行. 2.1.4分部积分法[9]

有时运用分部积分法，也可使某些反常积分化为正常积分，公式如下:

''

lim ()()lim[()()]|()()b

b

b a a

a

b b u x v x dx u x v x u x v x dx →∞→∞

=-⎰⎰. 2.1.5削减奇异性方法

削减奇异性方法也称分项法，就是把()()b

a

I f f x dx =

⎰

分解为奇异和非奇异两部分，

奇异部分可用解析方法求解，非奇异部分可应用标准数值方法求解.即找一个函数()x ϕ，使它包含()f x 的奇点，即使()()()f x x x ϕφ-=在[,]a b 上不再具有奇点，从而()b

a

x dx φ⎰

属

正常积分.

削减奇异性方法有种特殊方法叫康托洛维奇方法，介绍如下： 设积分

()()b

a

I f f x dx =⎰

的被积函数f 存在一个奇异点，康托洛维奇不是直接对()I f 进行求积，而是选取一个函数

g ，使其与f 有相同的奇异点，并在给定的积分区间[,]a b 上可解析求积，而且f g -有一