第二章 分岔与奇怪吸引子
非线性物理学概论
非线性科学概要为《非线性物理概论》一书写的序言汪秉宏上一世纪初量子力学和相对论的发现，因为提出了突破人们传统思维的新概念，将人类的世界观推进到超越经典的领域，而被公认为是物理学或更确切地说是科学的两次革命。
牛顿创立的经典力学被发现并不始终是正确的。
当深入到微观尺度（<10-8cm），应该取代为量子力学，当物体的速度接近于光速（～10 10cm/s），则相对论是正确的。
非线性科学作为科学的一个新分支，如同量子力学和相对论一样，也将我们引向全新的思想，给予我们惊人的结果。
非线性科学的诞生，进一步宣布了牛顿的经典决定论的局限性。
它指出，即使是通常的宏观尺度和一般物体的运动速度，经典决定论也不适用于非线性系统的混沌轨道的行为分析。
非线性科学涵盖各种各样尺度的系统，涉及以任意速率运动的对象，这一事实丝毫不降低这一新学科的创新性，恰恰相反，刚好说明它具有广泛的应用性。
从这一点来看，其实非线性科学的诞生和发展更有资格被称为科学的一场革命。
非线性科学，目前有六个主要研究领域，即：混沌、分形、模式形成、孤立子、元胞自动机，和复杂系统。
而构筑多种多样学科的共同主题乃是所研究系统的非线性。
一个系统，如果其输出不与其输入成正比，则它是非线性的。
例如一个介电晶体，当其输出光强不再与输入光强成正比，就成为非线性介电晶体。
例如弹簧，当其位移变得很大时，胡克定律就失效，弹簧变为非线性振子。
又例如单摆，仅当其角位移很小时，行为才是线性的。
实际上，自然科学或社会科学中的几乎所有已知系统，当输入足够大时，都是非线性的。
因此，非线性系统远比线性系统多得多，客观世界本来就是非线性的，线性只是一种近似。
任何系统在线性区和非线性区的行为之间存在显着的定性上的差别。
例如单摆的振荡周期在线性区不依赖于振幅，但在非线性区，单摆的振荡周期是随振幅而变的。
从数学上看，非线性系统的特征是迭加原理不再成立。
迭加原理是指描述系统的方程的两个解之和仍为其解。
分岔与奇怪吸引子
d2t
dt
对于平衡点 I1 邻域有:
I(t)I0exp (t)
引进参数作用 量I 与角度量q
x 2I cosq
d d It 2 Ico 2qs1 2Isi2qn
I0 是初始对 I1 的偏离小量。作用量I
随时间指数增长, I1是不稳定解, 为不 稳定焦点。
相位求平均
/ C2
dI dt
I2 C
1. 切分岔
数学模型
利用方程： 由
dx x2
dt
得d平x/d衡t 点0
x0
(a)当μ＜0时,解 x0 为虚数，因此不存在奇点， (b)当μ＞0时出现两个奇点, x0 ，
说明上述方程的解在 x0=0 处发生了分裂。 μ＞0 两个奇点的稳定性
在解 x0 附近取一点，计算它与平衡点距离随
时间变化。设距离：x x0
向不动点B
.
2 .平方映射的不动点
不动点的稳定性
非线性动力学核心问题之一就是研究系统的稳定性问题。
上述计算可见，当μ<3时迭代走向不动点，当μ>3迭代值出现持续振荡，
说明迭代在μ= 3附近发生了变化，稳定不动点变得不稳定了。
如一维映射 xn+1f具(有,x不n)动点，即有解
x f(,x)
设 n 为对不动点的偏离量，需继续迭代，有： xn + 1f(,xn)
.
2 .平方映射的不动点
平方映射的不动点
通过作图或数值计算表明，计算可以得到一个不变的终值，它被称为映 射的不动点。一个映射的不动点就是xi与xi+1相同时的数值，它不再因继续 迭代而发生变化。对平方映射，不动点为：
解此方程得：
xi xi(1xi)
大学物理实验习题及答案汇编精编版
大学物理实验习题汇编一、示波器的使用[预习题]1、简述示波器各个按纽的作用。
2、观察信号随时间的变化图形时必须加上锯齿波扫描信号，为什么？[作业题]1、如何在示波器屏幕上得到以下图形？（1）一个光点；（2）两条点线；（3）两个从左至右移动的亮点。
2、假定扫描信号是频率为f 的锯齿波，Y 轴输入信号为]2)(4sin[00ππ+-=t t f U V y ，试用作图法画出示波器屏幕上显示的图形。
二、电位差计的原理和使用[预习题]1、用电位差计测量电动势的原理、方法。
2、测量中，电流标准化后，强调变阻器R 1固定不变的原因和可变电阻R 2的作用？3、箱式电位差计的组成及各按纽的作用。
4、本实验要求及注意事项。
[作业题]1、按图4连接电路，接通K 1，将K 2倒向Es 或Ex 后，无论怎样调节活动端m 、n ，检流计指针总向一边偏转，试问有哪些可能的原因？三、全息照相[预习题]1、全息片的基本特点是什么？2、要想得到再现图像不重叠的全息片，在拍摄过程中应注意什么？3、物光与参考光的光程差一般为多少？为什么？4、冲洗全息底片时应注意什么？[作业题]1、为什么要求光路中物光与参考光的光程尽量相等？2、制作全息衍射光栅时，为什么到达感光片的两束光要接近于平行光？四、霍尔效应[预习题]1、什么是霍尔效应？霍尔电压是如何产生的？2、简述用霍尔效应测量磁场的原理。
3、如何消除副效应对实验的影响？[作业题]1、由V H-x 、V H-y 曲线讨论说明电磁铁缝隙中磁场的分布情况。
2、根据实验计算出载流子浓度n 及载流子迁移率μ。
五、等厚干涉[预习题]1、由于测微鼓轮中螺距间总有间隙存在，当测微鼓轮刚开始反向旋转时会发生空转，引起读数误差（称为空回误差），实验时应如何避免？2、在实验中，若叉丝中心没有通过牛顿环的中心，以叉丝中心对准暗环中央所测出的并不是牛顿环的直径，而是弦长，以弦长代替直径代入公式进行计算，仍能得到相同的结果，请从几何的角度证明之。
近代物理实验思考题答案
近代物理实验思考题答案一、夫兰克—赫兹实验1解释曲线I p －V G2形成的原因答；充汞的夫兰克-赫兹管，其阴极K 被灯丝H 加热，发射电子。
电子在K 和栅极G 之间被加速电压KG U 加速而获得能量，并与汞原子碰撞，栅极与板极A 之间加反向拒斥电压GA U ，只有穿过栅极后仍有较大动能的电子，才能克服拒斥电场作用，到达板极形成板流A I 。
2实验中，取不同的减速电压V p 时，曲线I p －V G2应有何变化？为什么？答；减速电压增大时，在相同的条件下到达极板的电子所需的动能就越大，一些在较小的拒斥电压下能到达极板的电子在拒斥电压升高后就不能到达极板了。
总的来说到达极板的电子数减小，因此极板电流减小。
3实验中，取不同的灯丝电压V f 时，曲线I p －V G2应有何变化？为什么？答；灯丝电压变大导致灯丝实际功率变大，灯丝的温度升高，从而在其他参数不变得情况下，单位时间到达极板的电子数增加，从而极板电流增大。
灯丝电压不能过高或过低。
因为灯丝电压的高低，确定了阴极的工作温度，按照热电子发射的规律，影响阴极热电子的发射能力。
灯丝电位低，阴极的发射电子的能力减小，使得在碰撞区与汞原子相碰撞的电子减少，从而使板极A 所检测到的电流减小，给检测带来困难，从而致使A GK I U 曲线的分辨率下降；灯丝电压高，按照上面的分析，灯丝电压的提高能提高电流的分辨率。
但灯丝电压高, 致使阴极的热电子发射能力增加，同时电子的初速增大，引起逃逸电子增多，相邻峰、谷值的差值却减小了。
二、塞曼效应1、什么叫塞曼效应，磁场为何可使谱线分裂？答；若光源放在足够强的磁场中时，原来的一条光谱线分裂成几条光谱线，分裂的谱线成分是偏振的，分裂的条数随能级的类别而不同。
后人称此现象为塞曼效应。
原子中电子的轨道磁矩和自旋磁矩合成为原子的总磁矩。
总磁矩在磁场中受到力矩的作用而绕磁场方向旋进从而可以使谱线分离2、叙述各光学器件在实验中各起什么作用?答；略3、如何判断F-P 标准具已调好？答；实验时当眼睛上下左右移动时候，圆环无吞吐现象时说明F-P 标准具的两反射面平行了。
第三篇走向混沌的道路
第三章 走向混沌的道路咱们明白，一个动力学系统运动的充分进展是进入混沌状态。
进入混沌状态有哪些方式呢？这是非线性动力学研究中的一个重要问题。
本章将讨论通向混沌的倍周期分岔道路、阵发性混沌、同步与混沌、湍流道路、保守系统中的不规那么运动、电子电路中的混沌和操纵混沌与同步混沌等内容。
第一节 第一节 由倍周期分岔走向混沌前面已经见到，在平方映射等的数学模型中，在液氦对流实验等的动力学体系中普遍存在着倍周期分岔现象，说明倍周期分岔是许多非线性动力学进程中的常见的现象，也是进入混沌的一种重要方式。
本节先以平方映射为例，说明一个由单峰映射描述的动力学系统能够通过倍周期分岔，以费根鲍姆常数的收敛速度从周期运动走向混沌，接着以杜芬方程为例说明一个物理系统也可从倍周期分岔进入混沌的道路。
1. 平方映射的倍周期分岔道路上一章对平方映射的计算说明，随着参数μ的增加，平方映射发生一系列的倍周期分岔。
但是倍周期分岔将在一临界点c μ=…时终止，从c μ开始的大部份区域，每次迭代取得的值是随机地显现的。
图3-1是μ值为时的迭代情形。
由图可见每次迭代计算取得的n x 值既不趋向于零或稳固值，也不是重复，而变成随机地显现了，因此迭代计算能够无止境的延续下去，偶然地某个迭代值会出此刻先前取得过的某点周围但并无准确相同，于是在继续迭代计算中又专门快地分离开来了。
说明系统已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。
事实上上一章对平方映射的计算仅取了少数几个特殊的μ值，因此对平方映射通过倍周期分岔进入混沌尚未一个完整的印象，此刻利用运算机编写的程序，能够由小到大逐个对μ值进行计算。
图3-2的上部确实是平方映射通过倍周期分岔进入混沌的分岔图。
图3-2是从8.2=μ开始计算的，平方映射的分岔现象实际是在1=μ处开始的，从那个地址迭代由零值进入到单周期运动即显现了一次霍夫分岔；随后在＝3处开始了倍周期分岔，从那个地址先由单周期分岔为二周期，然后在＝处由二周期分岔为周围期，接着在处从周围期分岔为八周期，如此一直分岔下去，每次分岔运动周期增加一倍，一直到c μμ=为止。
分岔ppt课件
2 .平方映射的不动点
<1时走向不动点 A
当参数<1时，抛物线高度较低，与迭代线只有一个交点A。这时不管
初值如何，迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。图b是随迭代次 数 n 的变化曲线，这是最终衰变到零的指数衰变曲线。在生态上，虽 然初始有一定的种群数量，但受到环境的制约最终走向了灭绝。
2 .平方映射的不动点
准备:
1. 建立坐标系 x n1 ~ x n
2. 作条抛物线：
x n1 x n (1 x n )
3. 作对角线，称恒等线
x n1 x n
通过它做投影。
1.平方映射
作图计算
平方映射 x n1 x n (1 x n ) 在 x n1 ~ x n 平面上是一条抛物线， 抛物线高度由 值决定。
d 2x dt 2
k x
x3
0
由势能曲线知：
a. 在 k 时0仅有一个平衡点：
x 0
b.在 k时存0 在三个平衡点：
x0 x k
可见在参数 k = 0 处发生了一次从单解
转为三解的叉式分岔。
c.在这三个平衡点中， x ， 处k
在势能极小点，是稳定的； x 处0 在势
能极大点，是不稳定的平衡点。
4 霍夫型分岔
一、从横坐标 x0 处作竖直线 与抛物线相交，这点的纵坐标 高度即为 x1;
二、从此点作水平线与对角线 相交，此交点横坐标即为x1；
三、再由此点作竖直线，得到 与抛物线相交时的高度x2，再 将x2移植到对角线上，找到横 坐标x2。从这里作竖直线与抛 物线相交得x3，如此反复······
1.平方映射
对于稳定的不动点，应有 e n+1 e n , 即： m 1
fx2-1
y = f ( , x) 这里 为系统参数。设系统状态作等间隔 t，t+1，t+2，t+3，…变化，则时 间演化方程改写为： x (t + 1) = f ( , x (t ))
当时间间隔不取整数，各时刻写成 t1 = t0 + t , t2 = t0 + 2t ,L, tn = t0 + nt 相应的状态为：
d 2x dx + ε x2 1 +ω2x = 0 dt dt 2
(
)
第二节 平方映射与倍周期分岔
1. 平方映射 2. 平方映射的不动点及其稳定性 3. 平方映射的周期解及其稳定性 4. 倍周期分岔的功率谱
1．平方映射 ．
映射方程
物理学上一个动力学系统可以用连续变量表示，也可以用离散数表示。 一个以为连续变量的单参数的动力学系统：
x 0 = 0.1
x 1 = x 0 (1 x 0 ) = 2.4 0.1(1 0.1) = 0.216
x2 = x1 (1 x1 ) = 0.40642L
x3 = 0.578985L x4 = 0.5859465L
x5 = 0.58227L
x6 = 0.583755L
L
在此参数下，计算结果趋向一个终值： x∞ = 0.583335L
忽略高 阶量
dξ dx = = (ξ + x 0 )2 + dt dt dξ = 2ξx 0 dt
1. 切分岔
解的稳定性与相流
解 dξ ξ (t ) = ξ 0 exp( 2x 0t ) = 2ξx 0 dt ，当 t → ∞ 时， → 0 ，此解是稳定的，是稳定的结点 ξ 结点。 结点 ξ ，当 t → ∞ 时， → ∞ ，解是不稳定的，它是鞍点 鞍点。 鞍点
分岔ppt
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4 霍夫型分岔
数学模型
dx
dt dy
y x[ (x2 x y[ (x2
y 2 )] y 2 )]
dt
引入极坐标
x2 y2
x cos
y
sin
求导
d
dt
(
2 )
d 1
dt
代入原方程
令正弦余弦系数 相等
dx ddyt
d
dt
d
cos cos
sin cos
2 转换键型分岔
相流
由分岔图可见，μ＜0或μ＞0都是一对鞍–结点： μ＜0时，x0=0 轴线是结点，x0= 是不稳定的； μ＞0时，x0=0 的轴线是不稳定的，x0= 是稳定结点。 由鞍点与稳定结点附近的相轨线流向，转换键型分岔的相流形 状如下图。
3 叉式分岔
数学模型
利用方程： dx x x3
二、从此点作水平线与对角线 相交，此交点横坐标即为x1；
三、再由此点作竖直线，得到 与抛物线相交时的高度x2，再 将x2移植到对角线上，找到横 坐标x2。从这里作竖直线与抛 物线相交得x3，如此反复······
1.平方映射
作图计算
平方映射 x n1 x n (1 x n ) 在 x n1 ~ x n 平面上是一条
洛伦兹方程课件
洛伦兹方程
13
2.洛伦兹方程
原点的稳定性
r <1 时坐标原点 xy 是z稳定0的不动点， 它是洛伦兹方程唯一吸引子，所有轨线吸引
到坐标的原点。
如 r > 1 ，于是分支出两个新的 平衡点 C1与 C2 。 说明在 r = 1 时 系统将发生一次分岔，跨越 r = 1 意 味着原点的吸引子丧失了稳定性， 出现了局部的不稳定性。
这时在坐标原点出现一维不稳定 的流形。这是一次叉式分岔。相应 于在贝纳德实验中流体从静态走向
理想装置：两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热。 现象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板间 的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。 发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差进一步增加时， 规则的对流图形将受到破坏，进入到了湍流状态。 分析：随温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔过程。
洛伦兹方程
11
2.洛伦兹方程
洛伦兹方程的耗散性质
证明：
在x,y,z的三维相空间，取一个闭合曲面。曲面所包围的体积V 随时间的变
化与其中代表点的运动有如下关系：
ddV tV dV ddxxddyyddzz
应用于洛伦兹方程，得：
dx-,dy-1,dz-b dx dy dz
于是有：
V (t) V 0ex - (p 1 [b )t]
为初始相空间的体积。参数 b与0 ， 可0见洛伦兹方程的相空间体积是
V随0 时间收缩的。初始时的有限相体积 随V 时0 间收缩到一点，这点应是坐标
的原点 xy。z0
耗散系统意味着系统存在吸引子洛。伦兹方程
12
思考题——精选推荐
思考题《⾮线性物理》2010-2011年度第⼆学期复习纲要简答题1、什么是⾮线性科学答：研究那些除符合线性规律以外的所有复杂的数学系统和⾃然现象的学科。
2、什么是“蝴蝶效应”1963年，美国⽓象学家洛仑兹在计算机上⽤他建⽴的微分⽅程模拟⽓象变化的时候，偶然发现输⼊的初始条件的极细微的差别，可以引起模拟结果的巨⼤变化。
洛仑兹打了个⽐喻说，在南半球某地⼀只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微⼩⽓流⼏星期后可能变成席卷北半球某地的⼀场龙卷风，这就是天⽓的“蝴蝶效应”。
它的本质仍然是⾮现性耦合。
洛仑兹的发现意味着混沌理论的诞⽣。
主要⽤来描述⾮线性系统对其初始条件极为敏感，初始条件的细微差别可导致其解值的巨⼤偏差。
蝴蝶效应是指：在⼀个⾮线性动⼒系统中，初始条件下微⼩的变化能带动整个系统的长期的巨⼤的连锁反应。
其主要特征是对初始条件具有极为敏感的依赖性。
该现象最初是由美国⽓象学家洛仑兹发现的，它的发现意味着混沌理论的诞⽣。
（此效应说明，事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极⼩偏差，将会引起结果的极⼤差异。
）2、⾮线性科学⽬前有哪些主要研究领域答：⽬前有六个主要研究领域，即：混沌、分形、模式形成、孤⽴⼦、元胞⾃动机，和复杂系统。
⽽构筑多种多样学科的共同主题乃是所研究系统的⾮线性。
3、简述混沌的两个重要应⽤答：⽬前⼈们对于⾮线性复杂体系动⼒学混沌⾏为的研究，发展了两种重要的应⽤，其⼀是⾮线性体系动⼒学⾏为的短期预测，如⽓象预报和股票市场的⾏为的预测；其⼆是，将混沌的相关规律应⽤到具体的⼯农业等社会实践当中的混沌控制，并提出了许多相关的控制⽅法。
4、简述线性与⾮线性的区别与联系答：“线性”与“⾮线性”是两个数学名词。
所谓“线性”是指两个量之间所存在的正⽐关系。
若在直⾓坐标系上画出来，则是⼀条直线。
由线性函数关系描述的系统叫线性系统。
在线性系统中，部分之和等于整体。
描述线性系统的⽅程遵从叠加原理。
“⾮线性”是指两个量之间的关系不是“直线”关系，在直⾓坐标系中呈⼀条曲线。
混沌效应非线性混沌电路（精）
混沌效应一、实验名称 非线性电路振荡周期的分岔与混沌二、实验原理⒈分岔与混沌 ⑴ 逻辑斯蒂映射考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数x 表示。
逻辑斯蒂映射是)1(x kx x -→其中k 是0和4之间的常数。
迭代这映射，我们得离散动力学系统 )1(1n n n x kx x -=+ ，0=n ，1，2…我们发现：①当k 小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k 大于3时，随着k 的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周期2循环；k 继续增大会出现4，8，16，32…周期倍化级联；③很快k 在58.3左右就结束了周期倍增，迭代结果出现混沌,从而无周期可言。
④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。
⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。
以上这些特点可用图示法直观形象地给出。
逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先画一条)1(x kx y -=的抛物线，再画一条x y =的辅助线，迭代过程如箭头线所示（图1）。
图 1—A 不动点 图1—B 分岔周期2 图1—C 混沌 图1—D 蝴蝶效应图1⑵逻辑斯蒂映射的分岔图 以k 为横坐标，迭代200次以后的x 值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔图。
X 0X A X B图2逻辑斯蒂映射的分岔图。
k 从2.8增大到4。
⒉ 非线性负阻电路振荡周期的分岔与混沌 ⑴非线性电路与非线性动力学实验电路如图3所示。
它由有源非线性负阻器件R ；LC 振荡器和移相器三部分构成。
图中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件；电感器L 和电容器C2组成一个损耗可以忽略的振荡回路；可变电阻Rv1+Rv2和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
较理想的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。
图4所示的是该电阻的伏安特性曲线，从特性曲线显示加在此非线性元件上的电压与通过它的电流极性是相反的。
洛伦兹方程
2.洛伦兹方程
洛伦兹方程
洛伦兹利用流体力学中的纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程、热传导方程 和连续性方程，处理贝耐特对流，推导出描述大气对流的微分方程，即著名 的洛伦兹方程。
dx
d dy
d
- (x - y) rx - y - xz
dz d
- bz
xy
x -对流的翻动速率， y -比例于上流与下流液体之间的温差， z-是垂直方向的温度梯度，
开始时功率谱中只有对流翻动频率为 f 的基波峰，相应两个对流圈翻动。 随着瑞利数增大，在功率谱出现基波频率一半的倍周期(f/2)谐波，接着又出 现 f/4、f/8…等次谐波。实验结果显然是倍周期分岔现象。
1.流体中的不稳定性
倍周期分岔普遍性
实验结果证明,倍周期分岔不仅在平方映射中存在，而且在真实的物理学系 统中也会出现。受利布沙伯成功检测到倍周期分岔的启发，许多学者在不同 类型的动力系统中去寻找倍周期分岔现象。
当上下温差加大时，为什么 对流不积微渐著，而是突然从 无到有地产生?
1.流体中的不稳定性
贝耐特对流实验
理想装置：两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热。 现象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板间 的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。 发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差进一步增加时， 规则的对流图形将受到破坏，进入到了湍流状态。 分析：随温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔过程。
-无量纲因子, /DT ,称为 Prandtl 数;
b-速度阻尼常数：b4/(1k2) ;
r -相对瑞利数 r = R/RC。
其中xz与 xy 是非线性项，求导对无量纲时间 进行的:
近代物理实验内容及思考题
近代物理实验内容及思考题近代物理实验内容及思考题第一轮实验项目：一、夫兰克—赫兹实验实验内容：1、仪器的安装调试。
2、逐点手动测量激发电位：在同一张坐标纸上作出I p ～V G2曲线，由曲线确定出各极值电位值。
求出氩原子第一激发态电位和测量误差。
3、自动测量激发电位：在示波器上调出I p ～V G2曲线，直接读出氩原子第一激发态电位值。
4、示波器观察分别改变减速电压V p 和灯丝电压V f 曲线I p －V G2应有何变化。
课后思考题：1、解释曲线I p －V G2形成的原因。
2、实验中，取不同的减速电压V p 时，曲线I p －V G2应有何变化？为什么？3、实验中，取不同的灯丝电压V f 时，曲线I p －V G2应有何变化？为什么？二、塞曼效应实验内容：1、调整光路，从测量望远镜中可观察到清晰明亮的一组同心干涉圆环。
2、接通电磁铁稳流电源，缓慢地增大磁场B ，从测量望远镜中可观察到细锐的干涉圆环逐渐变粗，然后发生分裂。
旋转偏振片为00、450、900各不同位置时，观察偏振性质不同的π成分和σ成分。
3、选定干涉级K 和K-1的位置，测量干涉圆环直径，用特斯拉计测出磁场B ，根据下式求出电子的比荷（e/m ）值。
（标准值m e /=1.76?1011C/kg ） dB c D D D D m e K K a b π422122?--=-（式中d=5mm ）4、观察沿磁场方向的塞曼分裂，将电磁铁旋转900，并抽出铁芯，放上1/4波片与偏振片，以区分左旋和右旋偏振光。
课后思考题：1、什么叫塞曼效应，磁场为何可使谱线分裂？2、叙述各光学器件在实验中各起什么作用?3、如何判断F-P 标准具已调好？4、实验中如何观察和鉴别塞曼分裂谱线中的π成分和σ成分？如何观察和分辨σ成分中的左旋和右旋偏振光？三、核磁共振实验内容：1、观察氢核1H 的NMR 现象（1）分别改变不同实验条件（射频场强度、扫场电压、样品在磁极间的位置）观察吸收信号的变化；（2）比较掺入顺磁物质浓度不同的水样品，观察吸收信号的差别。
2洛伦兹方程省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
1.流体中旳不稳定性
瑞利数
1923年，英国学者瑞利对贝纳德试验作了解释。以为是浮力和粘滞力间 旳关系决定液体向上运动。由此定义了一种无量纲参数R (瑞利数) ：
R g a T d 3 h DT
g-为重力加速度，a-为热胀系数，d-两块板间距，h-粘滞系数，DT-扩散系数。
瑞利数R与温度差成正比，温度差加大时R值增 长，有一临界值RC，当R 超出RC时，流体出现翻 动与对流，称为贝纳德不稳定性。临界值RC为：
1.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数公式
可见，两个系统对初始扰动旳敏感度由导数 df / 决dx定x0 ，它与初始值 x0 有关。 映射整体对初值敏感性需对全部初始条件平均，要进行 n 次迭代：
xn - yn
n-1 df (xn, )
n=0
dx
xn
x0 - y0
1/ n
每次迭代平
n-1
df
均分离值为： n=0 dx xn
1.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数公式
两个系统：
xn1 f ( xn ),
yn1 f ( yn )
设其初始值微小误差 x0 -，y0经过一次迭代后来有：
x1 - y1
f (x0 ) - f (y0 )
f (x0 ) - f (y0 ) x0 - y0
x0 - y0
df
dx x0
x0 - y0
容器中旳液氦对温度非常敏感，上 下液面千分之一旳温差出现对流。对 流发生时液氦在中心升起，往分流沿 腔壁下降形成两个对流圈。对流引起 温度变化，从温度计输出信号变化中 分析出对流产生过程与变化规律。
1.流体中旳不稳定性
倍周期分岔旳试验检验
因为检测到旳信号受噪声干扰很大，极难从中分析出有用旳信息。利布沙 伯便随时间变化信号进行傅立叶变换，再从频谱图来分析液氦对流信息。
非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验
非线性电路振荡周期的分岔与混沌1963年美国气象学家Lorenz 在分析天气预模型时，首先发现空气动力学中混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。
从此人们对事物运动认识不再只局限于线性范围。
非线性动力学及分岔与混沌现象的研究已成为热门课题，人们对此领域进行了深入研究，发现混沌现象涉及的领域极广，如：物理学，电子学，经济学，生物学，计算机科学等。
本实验通过对非线性电路混沌现象的观察，从而了解和理解非线性混沌现象的本质。
一． 实验目的⒈了解非线性系统混沌现象的形成过程；⒉通过非线性电路振荡周期的分岔与混沌现象的观察，加深对混沌现象的认识和理解 ⒊理解“蝴蝶效应”。
二． 实验原理 ⒈分岔与混沌理论 ⑴ 逻辑斯蒂映射 为了认识混沌（chaos ）现象，我们首先介绍逻辑斯蒂映射，即一维线段的非线性映射，因为非线性微分方程的解通常可转化为非线性映射。
考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数x 表示。
逻辑斯蒂映射是)1(x kx x -→其中k 是0和4之间的常数。
迭代这映射，我们得离散动力学系统 )1(1n n n x kx x -=+ ，0=n ，1，2…我们发现：①当k 小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k 大于3时，随着k 的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周期2循环；k 继续增大会出现4，8，16，32…周期倍化级联；③很快k 在58.3左右就结束了周期倍增，迭代结果出现混沌,从而无周期可言。
④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。
⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。
以上这些特点可用图示法直观形象地给出。
逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先画一条)1(x kx y -=的抛物线，再画一条x y =的辅助线，迭代过程如箭头线所示（图1）。
图 1—A 不动点 图1—B 分岔周期2 图1—C 混沌 图1—D 蝴蝶效应图1X 0X A X B⑵逻辑斯蒂映射的分岔图 以k 为横坐标，迭代200次以后的x 值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔图。
电力系统中多吸引子共存现象初步研究
电力 系统 中 多吸 引子 共存 现 象 初 步研 究
李 天云 ， 周 博
（ 东北 电力大 学 ， 吉林 吉林 １２ １ ） ３０ ２
摘 要 ：以一个典型的 电力 系统模 型为基础 ， 分析 了考虑励磁 限制所 导致的各种 分岔行 为． 究结果表 明 ： 研 励磁 限制 的
八八 人 ＾
图 １ 单 机 无 穷 大 系统
ｄ
［］ ３ 探讨 了单机无穷大 系统在各种 负荷模型下 的分岔
情况． 这里 在 已有研 究 的基础 上 ， 用 分岔分 析 方法 和 采
＾ ｚ’叫 兀， ０
数值仿真方法 ， 对给出的电力系统模型的吸引子 、 随参
数 演变 过程 进行 了详 细 的分 析 ， 以期 对 电力 系 统 的 非
第 ４卷第 ４ 期
２ ８ １ 月 ００ 年 ０
沈阳工程学院学报（ 自然科学版）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｈｎ ａ ｇＩｓｉ ｔ ｏ ｎ ｉｅｒ ｇ Ｎａｕａ Ｓ ｉ ｃ ） ｏ ｒａ ｏ ｅ ｙ ｎ ｎｔ ｕｅ ｆ ｇｎｅｉ （ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ Ｓ ｔ Ｅ ｎ ｅ
Ｖ０． １４ Ｎｏ． ４
生鞍 节点分 岔 ， 产生 了 １ ２周期 轨道 ， 中只画 出了 个 图 ２个 稳定 的分支 ． 个周 期 轨 道 经 过 连续 倍 周 期 分岔 这 进入 混沌 ． 由图 ４ 所 示 ， ｃ 同样的机 理 ， Ｐ 在 ≈ ０ ７ 处 ．５ 发生 鞍节点 分岔 ， 产生 了 ３周期 轨道 ， 并通过 连续倍周
外学 者相 继发 现 ， 电力 系统 中存 在 着 十 分 复杂 的分 在 岔 、 沌 现象 ． 混 混沌 是非 线性 系统 中各 参 数相 互作 用导 致 的一种 非 常复杂 的现 象 ， 它在 电力 系统 中出现 时 ， 将 导致 系统 运行参 数 持 续 无规 则 的振 荡 ， 重危 害系 统 严 的运 行安 全 ． 献 ［ 文 １—２ 探 讨 了考 虑励 磁 限制 的单 机 ］ 无 穷大 系 统 在 各 参 数 扰 动 下 的 分 岔 、 沌 情 况 ； 献 混 文
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第二章 分岔与奇怪吸引子第一节 第一节 简单数学分岔分岔的本义是一种力学状态在临界点处发生的转变、分开或一分为二。
分岔是一种非常普遍的自然现象。
一根受力作用的弹性压杆可以形象地演示出一类分岔现象。
常识告诉我们，在力P 的作用下，如图2-1a 所示，当压力超过弹性压杆的临界负荷P c 后，杆会出现弯曲，这时扰度s 为压力P 的函数。
在以P —s 为坐标的平面上，如图2-1b 所示，当压力P ＜P c 时，杆的唯一平衡状态是保持直线；当压力P ＞P c 时，杆的平衡状态就转变成三种：保持直线（OC 方向）、偏向+s 或-s 方向，因此P c 是这个力学体系不同平衡状态的分岔点。
然而三种平衡状态有稳定的与不稳定的之分。
其中保持直线状态是不稳定的，稍有扰动，平衡状态便会偏向+s 或-s 状态。
另两种平衡状态是稳定的，在这两种状态中，扰度s 随压力P 的增加而沿曲线OA 或OB 增加。
图2-1 一根弹性压杆的分岔在数学上，分岔就是研究非线性微分方程当某一参数变化时，其解发生突变的临界点附近的行为。
当上述现象用数学方程来描述时，力学现象的分岔就成为数学分岔。
由于许多重要的物理现象在数学上都可以某类微分方程来描述，因此数学分岔在分析复杂的非线性动力学中具有重要意义。
上一章我们在展示单摆运动中看到，当驱动力F 增加到某—临界值后它由规则运动进入到随机运动状态。
它是通过怎样的路迳进入混沌的？显然仅对几个特殊参数采用数值计算还无法讲清这样的问题。
为了更具体地掌握一个非线性系统如何从规则运动进入混沌，必需对临界值附近所发生的现象作更细致更深入的研究。
上一章我们在分析杜芬方程的解时知道，方程的解在参数0=κ处发生了所谓叉式分岔，一个在0<κ时的稳定解在0>κ时分裂为两个稳定解与一个不稳定解。
不同的非线性方程应有不同的突变行为，它们有那些类型呢？本节就是从力学系统的几个简单数学模型讨论几种常见的典型数学分岔。
1 切分岔产生切分岔的微分方程形式：μ+-=2x dt dx (2-1-1)式中μ为控制参数。
由dx dt /=0得式(2-1-1)的平衡点为：μ±=0x (2-1-2)解(2-1-2)说明，当μ＜0时不存在奇点，而当μ＞0时出现两个奇点，如图2-2所示。
然而μ＞0时的两个奇点的稳定性是不同的，其中x 0=+μ是稳定的，而x 0=-μ是不稳定的。
图2-2 切分岔为了讨论切分岔的两个解的稳定性，我们在x 0的附近取一点，它与x 0的距离为0x x -=ξ，由式(2-1-1)得：μξξ++-=20)(x dt d将解式(2-1-2)代入并忽略高阶小量2ξ有： 02x dt d ξξ-=于是得解：ξξ()exp()t x t =-002 (2-1-3)因此，对于解x 0=+μ，当t →∞时有ξ()t →0，说明此解是稳定的，它是稳定的结点。
对于解x 0=-μ，当t →∞时有ξ()t →∞，因此它是不稳定的，它是鞍点。
由此可见切分岔是一个鞍–结分岔。
为了说明分岔点附近的分岔情况，如图2-3给出了μ＜0、μ= 0与μ＞0时与μ轴相垂直的x 平面中相轨线的走动方向，稳定的x 0=+μ解是图中的A 支，不稳定的x 0=-μ是图中的B 支。
A 与B 两支构成了μ＞0时鞍点与结点附近的相轨线。
图2-3 切分岔中的相轨线2 转换键型分岔这种分岔属于稳定性转变的分岔，它是由下式产生的。
dx dt x x =±μ2(2-1-4)由dx dt /=0给出方程(2-1-4)的奇点为：x x 000==±⎧⎨⎩μ (2-1-5)当式(2-1-4)的右边取负号时分岔图形如图2-4所示。
采用与分析切分岔解的稳定性同样的方法，经分析可知，如μ＜0它的平衡点x 00=是稳定的，而它的x 0=-μ平衡点是不稳定的；如μ＞0它的x 00=平衡点是不稳定的，而平衡点x 0=+μ( ? )是稳定的；其分岔点为(x 0,μ)＝(0,0)。
对式(2-1-4)右边取正号的情况只要将上述的讨论推广即可。
图2-5给出了与μ轴相垂直的x 平面中相轨线的流动方向。
由图可见，不管是μ＜0还是μ＞0，都是一对鞍–结点。
但在μ＜0时，x 00=的轴线是结点，不稳定的A 支是x 0=-μ；而在μ> 0( ? )时，x 00=的轴线是不稳定的A 支，结点为μ+=0x ( ? )支。
图2-4 转换键型分岔图2-5 转换键型x 平面中的的相轨线3 叉式分岔有一微分方程：3x x dt dx +-=μ (2-1-6)μ为控制参数。
由dx dt /=0得三个平衡点：⎪⎩⎪⎨⎧±==μ000x x (2-1-7)当μ＜0时，只有平衡点x 0＝0，采用切分岔解稳定性分析方法可知它是稳定的。
当μ＞0时则有三个平衡点，其中x 0＝0是不稳定的，而x 0=±μ的两个解都是稳定的。
因此其分岔图形象一把叉子，如图2-6所示。
在上一章的杜芬方程(1-2-9)（0=F ）求解中，在参数0<κ时，方程只有一个0=x 的平衡点；在参数0>κ时方程有三个的平衡点：0=x 与κ±=x ，其中κ±=x 两个平衡点是稳定的，0=x 是不稳定的平衡点。
可见杜芬方程具有叉式分岔。
图2-7给出了μ＜0、μ=0与μ＞0时与μ轴相垂直的x 平面中相点沿相轨线的走动方向。
图2-6 叉式分岔图2-7 叉式分岔的x 平面中的相轨线4 霍夫型分岔研究微分方程组：dx dt y x x y dy dt x y x y =-+-+=+-+⎧⎨⎪⎩⎪[()][()]μμ2222 (2-1-8)引入极坐标，(x-y )相平面上一点到坐标原点的距离为ρ=+x y 22，则：ϕρcos =x ， ϕρsin =y对它们微分后有：dx dt d dt dy dt d dt =-⋅=+⋅⎧⎨⎪⎩⎪ρϕϕρϕρϕϕρϕcos sin cos cos (2-1-9)代入式(2-1-8)的第一式，并分别令正弦与余弦分量的系数分别相等，得：d dtρρμρϕ=-=() 21 (2-1-10)对式(2-1-10)积分可得：0)2(1≤+=-μρC t (2-1-11a) ρμμμ=+>--()1021Ce t (2-1-11b)0t t -=ϕ式中，积分常数C 与t 0由初始条件决定。
由式(2-1-11a)可见，对于μ≤0，相平面中的相点到坐标原点距离ρ随时间缩短，当时间t →∞时ρ 趋于零，也就是说μ轴线上(,)(,)x y =00的各点是稳定的焦点，相空间中的各点都会趋近与它。
由式(2-1-11b)可见，当μ＞0时ρ 值随时间增长，不论初始ρ 值的大小如何，当时间t →∞时，最终ρ趋于μ，形成一闭合圈，即极限环。
这种因参数μ从负变化到正，从焦点产生出极限环的分岔称为霍夫分岔，分岔点位于μ=0。
图2-8给出了霍夫分岔中的极限环及轨线图形。
图2-8 霍夫分岔作为例子，我们讨论一下范德玻耳方程的分岔。
在第一章分析范德玻耳方程时知道，该方程有一个极限环，在极限环内是不稳定的不动点，其周围的轨线是向外发散的，说明存在霍夫分岔。
范德玻耳方程可以写成如下：()012222=+-+x dt dx x dt x d ωε (2-1-12) 为了给出范德玻耳方程的相图，引进参数参数：I 与θ，它们分别称为作用量与角度量。
在设ε= 0时，它们与变量x 有如下关系：θωcos 2Ix = (2-1-13)θω= (2-1-14) 由式(2-1-13)得：θωsin 2I dt dx = (2-1-15)由式(2-1-13)与(2-1-15)两式得：222121⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dt dx x I ωω (2-1-16)对方程(2-1-16)求导得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2221dt x d x dt dx dt dI ωω 利用方程(2-1-12)后上式为：()122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x dt dx dt dI ωε将式(2-1-13)与(2-1-15)代入式(2-1-16)得：θωθωωε22sin 21cos 2I I dt dI ⎪⎭⎫ ⎝⎛--= (2-1-17)并对式(2-1-17)的相位求平均，略去平均符号后得：)(C I C I dt dI --=γω (2-1-18)式中：ω2=C ωεγ/=由方程(2-1-8)，使0/=dt dI 可求该方程式的平衡点：0=1I ω22==C I现在分析两个解的稳定性。
将式(2-1-18)改写为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=I C I dt dI 2γω (2-1-19)对于平衡点1I 邻域有I I I I ∆=+∆=1，注意到/C I 2与IC 相比是个高阶小量，可以忽略。
代入方程(2-1-19)得：I dt dI γω≈于是得解：)ex p()(0t I t I ⋅=γω (2-1-20)0I 是初始对1I 的偏离小量。
解(2-1-20)说明作用量I 随时间指数增长，1I 是不稳定解，它是不稳定的焦点。
对于2I ，在其邻域有I C I I I ∆±=∆±=2，代入方程(2-1-19)得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆±-∆±-=∆±)()()(2I C C I C dt I C d γω化简得：()I dt I d ∆-≈∆γω于是得解：)ex p()(0t I t I ⋅-∆=∆γω (2-1-21)为0I ∆对2I 的初始偏离量。
解(2-1-20)说明作用量I 对2I 的偏离量随时间指数减小，当∞→t ，0→∆I ，即C I →。
这是霍夫分岔。
由此可见，在（x x, ）相平面上，范德玻耳方程的坐标原点是不稳定的焦点，而极限环是稳定的，当∞→t相空间的相点趋向于极限环，如图2-9所示。
然而，范德玻耳方程的这个性质与方程中参数ε的正负有关。
如果方程中参数ε为负值，则由解(2-1-20)与(2-1-21)将得到完全相反的结论。
这时坐标原点变为稳定的焦点，成为系统的不动点，而极限环则是不稳定的。
当∞→t 时，处于极限环内的相点趋向于不动点，处于极限环外的相点则远离而去。
图2-9 范德玻耳方程霍夫分岔的相图第二节 平方映射与倍周期分岔1．平方映射在物理上一个动力学系统可以用连续变量表示，也可以用离散数表示。
例如一个以x 为连续变量的单参数的动力学系统：y f x =(,)μ (2-2-1)这里μ为系统的参数。
如果我们考察在等时间间隔t ，t +1，t +2，t +3，…中系统状态的变化，则式(2-2-1)可以改写为时间演化方程：x t f x t ()(,())+=1μ (2-2-2)如果时间间隔∆t 不是整数，则可把各个时刻写成t 0，t 1，t 2，…，这里：t t t 10=+∆，t t t 202=+∆…，而把相应的状态记为：x 0，x 1，x 2，…其中)(n n t x x ≡ t t n t n =+0∆于是时间演化方程(2-2-2)变成了离散方程：),(1n n x f x μ=+ (2-2-3)这就是数学上称之为映射的方程。