几何三大变换(习题及答案)
初中数学学--几何三大变换含答案
平面直⻆坐标系中，原点 关O 于直线y = − 4 x + 对4 称点O1的坐标是 3
答案
， 96
(
72
)
25
25
解析
图 如 ，
线 对称点 ∵ 原点O关于直
4
y= − x+4
, O1
3
∴ OO1⊥AB
设 线 为 轴于 OO1 与直
的 交 点 4
x
4/9
(1)
答案
标为 ① k = −8； ② 存在，点P 的坐
或 或 或 ； (−4, 2) (−2, 4) (4, −2) (2, −4)
解析
过点 轴于点 ，过点 轴于点 图 ①
作 A AE⊥x
E
作 B BF ⊥x
F，如 1所示．
轴 轴 , , ∵BF ⊥x
AE⊥x
， ∘
∴∠BF O = ∠OEA = 90
2
2
4 【2016年江苏南京玄武区八年级下学期期末考试数学试卷】
如图，在平面直⻆坐标系中，点B是反比例函数y = k 的图象上任意一点，将点B绕原点 顺O 时针方向旋转
到点 ． ∘
90
A
x
(1) 若点A的坐标为(4, ，2) ①求k的值；②在反比例函数y=的图象上是否存在一点P，使得△AOP是等 腰三⻆形且∠AOP是顶⻆，若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (2) 当k = −1，点B在反比例函数y = k 的图象上运动时，判断点A在怎样的图象上运动？并写出表达式．
AC = √(2 + √3)
+
2
1
=
√6
初中几何三大变换平移、旋转、轴对称
初中几何三大变换平移、旋转、轴对称
姓名：__________
指导：__________
日期：__________
【答案解析】先将ABC 绕着B C 的中点旋转180，再将所得的三角形绕着B C的中点旋转180，即可得到△ A B C；先将ABC 沿着B C 的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着B C的垂直平分线翻折，即可得到△ A B C；故选：D.
典型易错题5（易错指数）
【答案解析】A ．等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴，正确；B ．线段和角都是轴对称图形，正确；C ．连接轴对称图形的对应点的线段必被对称轴垂直平分，正确；D ．ABC DEF ，则ABC 与DEF 不一定关于某条直线对称，错误；故选：D ．
典型易错题6（易错指数）
图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）【答案解析】轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，通过轴对称得到的是（1）．故选：A
典型易错题7（易错指数）
【答案解析】
典型易错题8（易错指数）
【答案解析】。
几何三大变换(习题及答案)
△DEC，使点 B 的对应点 E 恰好落在边 AC 上，点 A 的对应点为 D，延长 DE 交 AB
于点 F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AC=DE
B．BC=EF
C．∠AEF=∠D D．AB⊥DF
A
FE
BC
D
13. 如图，在△OAB 中，顶点 O(0，0)，A(-3，4)，B(3，4)，将△OAB 与正方形 ABCD
A
E
D
G
D1
D2
BHF
C
7. （2019 潍坊）如图，在矩形 ABCD 中，AD=2．将∠A 向内翻折，点 A 落在 BC 上，记为 A′，折痕为 DE．若将∠B 沿 EA′向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上，记为 B′，则 AB=__________．
A
D
B′ E
B
A′
C
8. （2020 宿迁）如图，在矩形 ABCD 中，AB=1，AD= 3 ，P 为 AD 上一个动点，连 接 BP，线段 BA 与线段 BQ 关于 BP 所在的直线对称，连接 PQ，当点 P 从点 A 运 动到点 D 时，线段 PQ 在平面内扫过的面积为_________．
B
A
4. （2020 上海）如图，在△ABC 中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点 D 在边 BC 上， CD=3，连接 AD．如果将△ACD 沿直线 AD 翻折后，点 C 的对应点为点 E，那么点 E 到直线 BD 的距离为__________． A
B
D
C
1
5. （2020 青岛）如图，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 和点 A 重合，折痕为 EF，EF 与 AC 交于点 O．若 AE=5，BF=3，则 AO 的长为（ ）
几何三大变换(习题及答案)
A' MA'MA12几何三大变换（习题）例题示范例1：如图，四边形A BCD 是边长为9的正方形纸片，将该纸片A'折叠，使点B落在C D 边上的点B′处，点A的对应点为A′，折痕 A M D 为M N．若B′C=3，则A M 的长为．【思路分析】要求A M 的长，设A M=x，则M D=9-x．B' 思路一：考虑利用折叠为全等变换转条件，得AM=A′M=x，A′B′=AB=9．观察图形，∠A′=∠D=90°，△MA′B′和△MDB′都是 B N C 直角三角形，MB′是其公共斜边，则MB′可分别在两个直角三角形中借助勾股定理表达，列方程．A D A DB' B'B NC B N C思路一思路二思路二：MN 是对称轴，考虑利用对称轴上的点到对应点的距离相等转条件，得M B=MB′．观察图形，∠A=∠D=90°，MB，MB′ A可分别放到Rt△ABM 和Rt△DB′M中借助勾股定理表达，列方程．D例 2：如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形A BCD 的面积为24，则A C 的长为． B CE 【思路分析】已知四边形ABCD 的面积，要求AC 的长，考虑借助AC 表达四边形ABCD 的面积．四边形ABCD 为不规则四边形，考虑割补法或转化法求面积．分析题目中条件AB=AD，存在等线段共端点的结构，且隐含∠B+∠D=180°，故考虑通过构造旋转解决问题，可 D把△ABC 绕点A 逆时针旋转 90°．B CPN Q M NPDME巩固练习1.如图，将边长为2的等边三角形A BC 沿B C 方向平移1个单位得到△DEF，则四边形A BFD 的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．12A DB B A A'C ( B' ) C'第1题图第2题图2.如图，已知△ABC 的面积为 8，将△ABC 沿BC 方向平移到△A′B′C′的位置，使点B′和点C 重合，连接AC′，交A′C 于点D，则△CAC′的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．163.如图，在6 ⨯4 的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（）A．格点M B．格点N C．格点P D．格点QA E DM甲乙B F C第3题图第4题图4.如图，在正方形纸片ABCD 中，E，F 分别是AD，BC 的中点，沿过点B 的直线折叠，使点C 落在EF 上，落点为N，折痕交CD 边于点M，BM 与EF 交于点P，再展开．则下列结论：①CM=DM；②∠ABN=30°；③A B2 = 3CM 2 ；④△PMN 是等边三角形．其中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个5.如图，已知O A⊥OB，等腰直角三角A形C DE 的腰C D 在O B 上，∠ECD= N45°，将△C DE绕点C 逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在O A 上，则OC的值为．CDO C D BEDA'6.如图，E 是正方形 A BCD 内一点，连接 A E ，BE ，CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°至△CBE ′的位置．若AE =1，BE =2，CE =3，则∠BE ′C = ．ADBCE' F B 第 6 题图 第 7 题图7. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠A =70°，将该平行四边形折叠，使点 C ，D 分别落在点 E ，F 处，折痕为 M N ．若点 E ，F 均在直线 A B 上，则∠AMF = ． 8. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =1，点 D 在AC 边上，将△ABD 沿直线 B D 翻折后，点 A 落在点 E 处．若AD ⊥DE ，则线段 D E 的长为 ．BAEDCAEB C 第 8 题图 第 9 题图9. 如图，矩形 A BCD 中，AB =15cm ，点 E 在 A D 上，且 A E =9cm ， 连接 E C ，将长方形 A BCD 沿直线 B E 翻折，点 A 恰好落在 E C 上的点 A'处，则 A 'C = cm ． 10. 如图，在矩形 ABCD 中，AB =3，AD =9，将此长方形折叠， 使点 D 与点 B 重合，点 C 的对应点为点 C ′，折痕为 EF ，则 EF 的长为 ．思考小结请结合本讲所学内容，回忆三大变换的思考层次平移旋转轴对称全等变换对应边平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．对应边相等，对应角相等．对应边相等，对应角相等．对应点对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等．对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；对应点连线的垂直平分线都经过旋转中心．对应点所连线段被对称轴垂直平分；对称轴上的点到对应点的距离相等．新关系平移会产生平行四边形．旋转会产生等腰三角形．折叠会产生垂直平分、等腰三角形．应用常应用在天桥问题、存在性问题．当题目中出现等线段共点的时候考虑旋转结构．常应用在折叠问题、最值问题．【参考答案】1. B2. C3. B4. C5.2 26. 135°7. 40°8. 3 19. 810. 10。
中考数学专题复习：三大几何变换
1平移一般是在需要同时移动两条线段或元素的时候，才考虑的方法．【例1】 已知：如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，FG DE ⊥于点H ．⑴ 求证：FG DE =．知识互联网思路导航典题精练题型一：平移变换三大几何变换2⑵求证：FD EG +．【解析】 延长GC 到点P ，使得GP DF =，连接EP 、DP ．⑴ ∵DF GP ∥，GP DF =∴四边形DFGP 为平行四边形 ∴FG DP =，FG DP ∥ 又∵FG DE ⊥，∴DP DE ⊥ ∴ADE CDP =∠∠ 在ADE △和CDP △中DAE DCP DA DCADE CDP =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴ADE CDP △≌△ ∴DE DP FG ==⑵ 由⑴知道DEP △为等腰直角三角形∴EP ==在EGP △中，EG DF EG GP PE +=+=≥当EG FD ∥时，取到等号．【例2】 在Rt △ABC 中，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 上的点．⑴ 如图1，CE =AB ，BD =AE ，过点C 作CF ∥EB ，且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G ，连接BF ，请你直接写出EBDC的值； ⑵ 如图2，CE =kAB ，BD =kAE ，12EB DC =，求k 的值．HGFEDCBA P A BCDEFG H图2B 图1FB3DCBA【解析】(1)EB DC =(2)过点C 作CF ∥EB 且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G , 连接BF . ∴四边形EBFC 是平行四边形. ∴CE ∥BF 且CE =BF . ∴∠ABF =∠A =90°.∵BF =CE =kAB .∴BFk AB=. ∵BD =kAE ，∴BDk AE=. ∴BF BDAB AE=. ∴DBF ∆∽EAB ∆. ∴DFk BE=,∠GDB=∠AEB . ∴∠DGB =∠A =90°. ∴∠GFC =∠BGF =90°.∵12CF EB DCDC ==. ∴DF DF EB CF==. ∴k .【例3】 ⑴如图，已知正方形纸片ABCD 的边长为8，O ⊙的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA ′恰好与O ⊙相切于点A ′（EFA △′与O ⊙除切点外无重叠部分），延长FA ′交CD 边于点G ，则A G ′的长是 ．⑵将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若45AD DB ==，，则BC 的长是______________．【解析】 ⑴ 过F 点作FH CD ⊥于H ．典题精练题型二：轴对称变换B421H EDCBAN C'F E B'D C B AABCD B'EFC'MN 则四边形AFHD 是矩形，∴8AF DH FH AD ===，， 设AF x =，则根据对称性可知DH CG A F GC x ====′′ ∴8242HG x FG x =-=+，， 在Rt FHG △中，90FHG ∠=︒，∴222FH HG FG +=，即()()22288242x x +-=+， 解得73x =，∴1943A G x =+=′． ⑵ 将半圆还原，点D 关于BC 的对称点为E ，作CH AB ⊥于H ．根据“翻折”的性质可知12∠=∠， 则CD CE AC == ∵CH AB ⊥，则27AH HD HB ===，，BC 2=BH ·AB∴BC ==【例4】 把正方形沿着EF 折叠使点B 落在AD 上，B C ''交CD 于点N ，已知正方形的边长为1，求DB N '△的周长．【解析】 在B C ''上取点M ，使B M AB ''=，连接BM ．∵AD BC ∥，∴CBB AB B ''=∠∠由翻折得对称性可知MB B CBB ''=∠∠ ∴AB B MB B ''=∠∠ 在ABB '△和MBB '△中AB MB AB B MB B BB BB ''=⎧⎪''=⎨⎪''=⎩∠∠ ∴ABB MBB ''△≌△5∴90B AB B MB ''==︒∠∠，AB MB = 在Rt BNM △和Rt BNC △中 BM BCBN BN =⎧⎨=⎩∴Rt Rt BNM BNC △≌△ ∴MN CN =∴DB N '△的周长为2DB AB DN CN ''+++=．【例5】 在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O 放在斜边AC上，将三角板绕点O 旋转． ⑴ 当点O 为AC 中点时，①如图1， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，连接EF ，猜想线段AE 、CF 与EF 之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 延长线于E 、F 两点，连接EF ，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；⑵ 当点O 不是AC 中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，若14AO AC=，求OE OF的值．【解析】（1）① 猜想：222AE CF EF +=. ② 成立.证明：连结OB.典题精练COB A OE图FBA OCEFA BCEF图图题型三：旋转变换CB AOEF6∵AB =BC , ∠ABC =90°,O 点为AC 的中点， ∴12OB AC OC ==,∠BOC =90°,∠ABO =∠BCO =45°. ∵∠EOF =90°，∴∠EOB =∠FOC . 又∵∠EBO =∠FCO ， ∴△OEB ≌△OFC （ASA ）.∴BE =CF. 又∵BA=BC , ∴AE =BF.在RtΔEBF 中，∵∠EBF =90°, 222BF BE EF ∴+=.222AE CF EF ∴+=. （2）解：如图，过点O 作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥BC 于N . ∵∠B =90°, ∴∠MON =90°. ∵∠EOF =90°,∴∠EOM =∠FON .∵∠EMO =∠FNO =90°，∴△OME ∽△ONF. ∴OM OE ONOF=∵△AOM 和△OCN 为等腰直角三角形， ∴△AOM ∽△OCN ∴OM AO ON OC =.∵14AO AC=， ∴13OE OF=.【例6】 ABC △和DBE △是绕点B 旋转的两个相似三角形，其中ABC ∠与DBE ∠、A ∠与D∠为对应角．⑴如图1，若ABC △和DBE △分别是以ABC ∠与DBE ∠为顶角的等腰直角三角形，且两三角形旋转到使点B 、C 、D 在同一条直线上的位置时，请直接写出线段AD 与线段EC 的关系；⑵若ABC △和DBE △为含有30°角的直角三角形，且两个三角形旋转到如图2的位置时，试确定线段AD 与线段EC 的关系，并说明理由；⑶若ABC △和DBE △为如图3的两个三角形，且ACB ∠=α，BDE β∠=，在绕点B 旋转的过程中，直线AD 与EC 夹角的度数是否改变？若不改变，直接用含α、β的式子表示夹角的度数；若改变，请说明理由．30︒30︒ABCDE图3AB CDE图2图1ED CB AA OBCEF M N7【解析】 ⑴ 线段AD 与线段CE 的关系是,AD EC AD EC ⊥=．⑵ 如图2，连接AD 、EC 并延长，设交点为点F ．∵ABC △∽DBE △ ，∴AB BC BD BE =，∴AB BDBC BE=． ∵90ABC DBE ∠=∠=°，∴1390∠+∠=°，2390∠+∠=°．∴12∠=∠ ． ∴ABD CBE △∽△ ．∴AD ABCE BC=． 在Rt ACB △中，30,tan ABACB ACB BC∠=∠=°，∵tan 30=°，∴AD CE =又∵90,30,DBE DEB ∠=∠=°°∴460∠=°， ∴56120∠+∠=°．∵ABD CBE △∽△，∴5307CEB ∠=∠=+∠°，∴7530,61205∠=∠-∠=-∠°°， ∴7690∠+∠=°，∴90DFE ∠=°．即AD CE ⊥．⑶ 在绕点B 旋转的过程中，直线AD 与EC 夹角度数不改变，()180AFE αβ∠=--度．7654321F 30︒30︒AB CD E图28题型一 平移变换 巩固练习【练习1】 如图，已知ABC △，AD BE ∥，若480CBE DAC ==︒∠∠，则C ∠的度数为______．【解析】 60︒. 通过作平行线平移角，使角与角之间联系起来．【练习2】 如下图，两条长度为1的线段AB 和CD 相交于O 点，且60AOC ∠=︒，求证：1AC BD +>．【解析】 考虑将AC 、BD 和AB 集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系．作CB AB '∥且CB AB '=，则四边形ABB C '是平行四边形，从而AC BB '=． （教师可告诉学生：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 在BB D '△中可得BB BD B D ''+>， 即AC BD B D '+>．由于1CD AB CB '===，60B CD AOC '∠=∠=︒，所以B CD '△是等边三角形，故1B D '=，所以1AC BD +>．题型二 轴对称变换 巩固练习【练习3】 如图矩形纸片ABCD ，5cm AB =，10cm BC =，CD 上有一CDEBA FA BEDCNCDEBAODCBAB'OBDC复习巩固F Q EPDCBAA9DEC B AF 2F 1DEC B A点E ，2cm ED =，AD 上有一点P ，3cm PD =，过P 作PF AD ⊥交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折 痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是________cm ．【解析】 134. 解法：过Q 作QM ⊥DC ，设QP =x ，∴QE =x ，∵DE =2，∴2ME x =-∴在Rt △QME 中，22(2)9x x =-+，∴134PQ x ==题型三 旋转变换 巩固练习【练习4】 已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，2DE =，1EC =（如图所示） 把线段AE绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为．【解析】 1或5．题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC 上的点”，所以有两种情况如图所示：顺时针旋转得到1F 点，则11F C =，逆时针旋转得到2F 点，则22F B DE ==，225F C F B BC =+=．【练习5】 在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为()80-，和()06，．将矩形 OABC 绕点O 顺时针旋转α度，得到四边形OA B C '''，使得边A B ''与y 轴交于点D ，此时边OA '、B C ''分别与BC 边所在的直线相交于点P 、Q ． ⑴ 如图1，当点D 与点B '重合时，求点D 的坐标； ⑵ 在⑴的条件下，求PQOD的值； ⑶ 如图2，若点D 与点B '不重合，则PQOD的值是否发生变化？若不变，试证明你的结论；若有变化，请说明理由． （北京东城期末）（图1）（图2）10【解析】 ⑴ ∵将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转α度，得到四边形OA B C '''，且A 、C 的坐标分别为()80-，和()06，， ∴8OA OA '==，6A B AB OC ''===．∴10OB '==． ∴点D 的坐标为()010，． ⑵ ∵10OB '=，6CO =，∴4B C '=． ∵3tan 4CP A B POC CO A O ''=∠=='，且6CO =， ∴92CP =．同理3CQ =． ∴152PQ =，∴34PQ OD =． （或：∵3tan 4CQ CP POC CD CO ==∠=．∴34PQ CQ CP OD CD CO +==+．） ⑶ 如图2所示，作C E '∥OA 交OP 于点E ，∵C E '∥OA ，且PE ∥CQ ， ∴四边形PEC Q '是平行四边形． ∴PQ C E '=．∵C E OD A B A O ''''⊥⊥，，∴9090C EO EOD ODA EOD ''∠+∠=∠+∠=°，°． ∴C EO ODA ''∠=∠．又∵90EOC DA O ''∠=∠=°， ∴C EO ODA ''△∽△． ∴34PQ C E C O OD OD OA ''==='． ∴PQOD的值不会发生改变． （图1）（图2）11【测试1】在四边形ABCD 中，AB CD ∥，2D B =∠∠，AD 和CD 的长度分别为a 和b ，那么AB 的长为________．【解析】自C 点作CE AD ∥交AB 于E ，则四边形AECD 是平行四边形，AE CD b ==，EC AD a ==．又2AEC D B B ECB ===+∠∠∠∠∠． 所以ECB B =∠∠，ECB △是等腰三角形．EB EC a ==，所以AB AE EB a b =+=+．【测试2】如图，已知ABC △中，30CAB B ∠=∠=︒，2AB =，点D 在BC 边上，把ABC △沿AD 翻折使AB 与AC 重合，得AB D '△，则ABC △与AB D '△重叠部分的面积为（ ） ABC．3- D【解析】A【测试3】如图，正方形ABCD 与正三角形AEF 的顶点A 重合，将△AEF 绕顶点A 旋转，在旋转过程中，当=BE DF 时，∠BAE 的大小可以是________．【解析】15︒或165︒ 课后测图4b a D C B A E A B C D a b 图12D CB'B A AB C DEF。
第7讲 几何三大变换问题及答案
1.如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN的值．类比归纳：在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于；若14CE CD =，则AM BN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AM BN的值等于．（用含n 的式子表示）联系拓展：如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AM BN的值等于__．（用含m n ，的式子表示）2. 2.如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F，然后再展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”.图一图二图三（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个_________三角形；（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．当它的“折痕△BEF”的顶点E位于边AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存在，为什么？3.课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题．实验与论证设旋转角∠A1A0B1＝α（α＜∠A1A0A2），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如图所示．（1）用含α的式子表示：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________；（2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想设正n边形A0A1A2…A n-1与正n边形A0B1B2…B n-1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…B n-1绕顶点A0逆时针旋转α（n1800<< ）．（3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；（4）试猜想在n边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．4.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）5.刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，90°，B ∠=306cm °，；A BC ∠==图②中，90D ∠=°，45E ∠=°，4cm DE =.图③是刘卫同学所做的一个实验：他将DEF △的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将DEF △沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上（移动开始时点D 与点A 重合）．（1）在DEF △沿AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F C 、两点间的距离逐渐_________．（填“不变”、“变大”或“变小”）（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当DEF △移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F C 、的连线与AB 平行？问题②：当DEF △移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD FC BC 、、的长度为三边长的三角形是直角三角形？问题③：在DEF △的移动过程中，是否存在某个位置，使得15FCD ∠=°？如果存在，求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．1.如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．图1图2图3。
几何三大变换(轴对称)(北师版)(含答案)
几何三大变换（轴对称）（北师版）一、单选题(共7道，每道14分)1.如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则∠AHB的度数是( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题2.如图，将正方形对折后展开（图4是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，则下图中阴影直角三角形满足一条直角边等于斜边的一半的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形3.如图，把长方形ABCD对折，折痕为MN（图1），展开后再折叠，使点B落在折痕MN上的处，得到（图2），延长交AD于点F，则∠EFA等于( )A.45°B.60°C.75°D.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为一边在△ABC外侧作等边三角形ACD，过点D 作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．AB＝10cm，BC＝6cm，P是直线DE上的一点，连接PC，PB，则△PBC周长的最小值为( )A.16cmB.cmC.24cmD.26cm答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题5.如图，将边长为8的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，折痕为MN，则折痕MN的长是( )A.1B.C. D.10答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题6.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④．其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题7.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E，BD⊥AE交AE的延长线于点D，连接CD．下列结论：①AC+CE=AB；②；③∠CDA=45°．其中正确的结论序号( )A.①②B.①③C.②③D.①②③答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
三大变换的应用(人教版)(含答案) (1)
三大变换的应用（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，把正方形ABCD沿对角线AC的方向移动到正方形的位置，它们重叠部分的面积是正方形ABCD面积的一半，若AD=2，则正方形移动的距离的长是( )A.1B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：正方形的性质和判定2.已知两个全等的直角三角形纸片ABC，DEF如图1放置，点B，D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G，∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，AB=DE=4．若纸片DEF不动，纸片ABC绕点F逆时针旋转30°，如图2，则点C到DE的距离为( )A.4B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α角，得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD．当旋转角α的度数为( )时，△ADF是等腰三角形．A.30°或60°B.20°或40°C.25°或50°D.20°或40°或60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质4.如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为( )A.3B.4C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称路径最短问题5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称路径最短问题6.如图，在一条公路CD的同一侧有A，B两个村庄，A，B与公路的距离AC，BD分别为500m，700m，且C，D两地相距500m，若要在公路旁（在CD上）建一个超市（看作一个点），则A，B两村庄到超市的距离之和最短是( )A.900mB.1000mC.1200mD.1300m答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称路径最短问题7.如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D，E是AB边上的两点，且AD=6，BE=8，∠DCE=45°，则DE的长为( )A.14B.9C.10D.11答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转思想8.如图，把Rt△ABC放入平面直角坐标系内，其中∠CBA=90°，AC=5，点A，B的坐标分别为（1，0），（4，0），将△ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线上时，线段AC扫过的面积为( )A.6B.12C.8D.24答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质。
中考复习几何三大变换
几何综合——三大变换【例1】已知△ABC ，AD ∥BE ，若∠CBE ＝4∠DAC ＝80°，求∠C 的度数。
CDEBA【例2】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，且BD ＝BC ，AC ⊥BD 。
求证：AD ＋BC ＝2CM 。
MDCB A【例3】已知：如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，FG ⊥DE 于点H 。
⑴求证：FG ＝DE 。
⑵求证：FD EG 。
HGFEDC BA【例4】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是AB 、AC 上的点且AD ＝CE 。
求证：2DE ≥BC 。
EDCB A【例5】(2007北京)如图，已知△ABC 。
⑴请你在BC 边上分别取两点D 、E (BC 的中点除外)，连结AD 、AE ，写出使此 图中只存在．．．两对．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB ＋AC ＞AD ＋AE 。
板块二 轴对称变换【例6】把正方形沿着EF 折叠使点B 落在AD 上， B 'C '交CD 于点N ，已知正方形的边长为1，求△DB'N的周长。
NC'FEB'D C BA【例7】（2009山西太原）问题解决：如图1，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D 、重合），压平后得到折痕MN 。
当12CE CD 时，求AMBN的值。
图1N MF ED CBA【例8】⑴(2009浙江温州)如图，已知正方形纸片ABCD 的边长为8，⊙O 的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA '恰好与⊙O 相切于点A '(△EF A '与⊙O 除切点外无重叠部分)，延长F A '交CD 边于点G ，则A 'G 的长是________。
G FC⑵将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD ＝4，DB ＝5，则BC 的长是________。
中考几何三大变换(含答案17页)
中考几何变换专题复习（针对几何大题的讲解）几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形之间的关系(平行、全等、相似等）.基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关系（包括中心对称）.这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地从图形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用.下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究.解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基本图形及基本的图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别和构造的能力.1．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质。
专题：压轴题。
分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG．解答：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=FD，同理，在Rt△DEF中，EG=FD，∴CG=EG．（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG，∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG；在矩形AENM中，AM=EN，在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC，在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB．∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=MC，∴EG=CG．（3）解：（1）中的结论仍然成立．即EG=CG．其他的结论还有：EG⊥CG．点评：本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质．2．（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E 是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质。
八年级数学综合复习——几何三大变换(轴对称)(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：折叠是__________，变换前后______、______都相等，从而实现条件的转移．折叠前后的图形关于_________________对称．综合复习——几何三大变换（轴对称）（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，长方形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，2）．点D，E 分别在AB，BC边上，BD=BE=1．沿直线将△BDE翻折，点B落在点B′处．则点B′的坐标为( )A.（1，2）B.（2，1）C.（2，2）D.（3，1）答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题2.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，BF=4cm，CF=8cm，则折痕EF的长是（）A.4cmB.6cmC.8cmD.12cm答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题3.有一条长方形纸带，按如图方式折叠，纸带重叠部分中的∠α的度数为( )A.60°B.70°C.75°D.80°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题4.如图是一张足够长的长方形纸条ABCD，以点A所在直线为折痕，折叠纸条，使点B落在边AD上，折痕与边BC交于点E；然后将其展平，再以点E所在直线为折痕，使点A落在边BC上，折痕EF交边AD于点F．则∠AFE的大小是( )A.22.5°B.45°C.60°D.67.5°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题5.如图，先把长方形ABCD对折，折痕为MN，展开后再折叠，使点B落在MN上，此时折痕为AE，点B在MN上的对应点为，则=( )A.15°B.30°C.45°D.60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题6.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点的位置，连接．如果DC=2，那么=( )A. B.2C. D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题7.如图，在图1所示的长方形ABCD中，点E在AD上，且BE=2AE．分别以BE，CE为折痕，将A，D向BC的方向折过去，折叠后的图形如图2所示．若，则∠BCE的度数为( )A.30°B.32.5°C.35°D.37.5°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题8.图1为一张三角形纸片ABC，点P在BC上．将A折至P时，出现折痕BD，点D在AC上，如图2所示．若△ABC的面积为80，△DBC的面积为50，则BP与PC的长度比为( )A.3:2B.5:3C.3:5D.13:8答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题。
八年级数学几何三大变换(平移、旋转)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：平移、旋转、轴对称统称为几何三大变换.几何三大变换都是_________，只改变图形的_________，不改变图形的_____________.问题2：平移的思考层次分别是什么？问题3：旋转的思考层次分别是什么？几何三大变换（平移、旋转）一、单选题(共9道，每道8分)1.如图，将边长为3cm的等边三角形ABC沿BC方向向右平移2cm得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为( )cm．A.10B.11C.12D.13答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=10cm，高为7cm，若将梯形ABCD向右平移4cm得到梯形A′B′C′D′，则平移前后两梯形重叠部分的面积为( )cm2．A.28B.35C.42D.56答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质3.如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，，点A，B的坐标分别为（2，0）（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=3x-3上时，线段BC扫过的面积为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质4.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数是90°，则∠B的度数是( )A.70°B.60°C.50°D.40°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质5.如图，E是正方形ABCD内一点，将△CDE绕点D按顺时针方向旋转90°后得到△ADF．若DE=3，则EF的长是( )A. B.C.3D.6答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α角，得到△DEC，CD与AB交于点F，连接AD．当旋转角α的度数为( )时，△ADF是等腰三角形．A.30°或60°B.20°或40°C.25°或50°D.20°或40°或60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质7.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为( )A. B.C. D.1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质8.如图所示直角三角板ABC，斜边AB=6，∠A=30°，现将其绕点C沿顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角板ABC的斜边AB上．则三角板向左平移的距离为( )A.1B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质9.如图，已知，将△AOB绕点O旋转150°后，得到，则此时点A的对应点的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：作图二、填空题(共3道，每道9分)10.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着BC平移得到△A′B′C′，若重叠部分的面积为1cm2，则平移的距离AA′=____cm．答案：1解题思路：试题难度：知识点：平移的性质11.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，如果cm，则四边形ABCD的面积为____cm2.答案：6解题思路：试题难度：知识点：作图—旋转变换12.如图，在等边三角形ABC中，点O是AC边上，且OA=3,OC=6,点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是____.答案：6解题思路：试题难度：知识点：作图。
04,27三大变换答案
典型例题参考答案例题1：【答案】解：(1)5。
由折叠（轴对称）性质知A ′D=AD=5，∠A=∠EA ′D=900。
在Rt △A ′DC 中，DC=AB=2，∴ 22A C 534'=-=。
∴A ′B=BC －A ′C=5－4=1。
∵∠EA ′B ＋∠BEA ′=∠EA ′B ＋∠FA ′C=900， ∴∠BEA ′=∠FA ′C 。
又 ∵∠B=∠C=900，∴Rt △EBA ′∽Rt △A ′CF 。
∴A E A B A F FC ''='，即A E 153'=∴ 5A E 3'=。
在Rt △A ′EF 中，2225510EF A E A D 2593='+'=+=。
（2）①3x 5≤≤。
②证明：由折叠（轴对称）性质知∠AEF=∠FEA ′，AE=A ′E ，AF=A ′F 。
又 ∵AD ∥BC ，∴∠AFE=∠FEA ′ 。
∴∠AEF=∠AFE 。
∴AE=AF 。
∴AE=A ′E=AF=A ′F 。
∴四边形AEA ′F 是菱形。
【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定。
【分析】(1)根据折叠和矩形的性质，当A ′与B 重合时（如图1），EF= AD=5。
根据折叠和矩形的性质，以及勾股定理求出A ′B 、A ′F 和FC 的长，由Rt △EBA ′∽Rt △A ′CF 求得5A E 3'=，在Rt △A ′EF 中，由勾股定理求得EF 的长。
（2）①由图3和图4可得，当3x 5≤≤时，四边形AEA ′F 是菱形。
②由折叠和矩形的性质，可得AE=A ′E ，AF=A ′F 。
由平行和等腰三角形的性质可得AE=AF 。
从而AE=A ′E=AF=A ′F 。
根据菱形的判定得四边形AEA ′F 是菱形。
例题2：【答案】解：（1）如图1。
①BD=CE ，理由如下：∵AD=AE ，∠ADE=α，∴∠AED=∠ADE=α，。
三大变换(人教版)(含答案)
三大变换（人教版）试卷简介:三大变换综合训练一、单选题(共14道，每道7分)1.下面的四个图案中,既可用旋转来分析整个图案的形成过程,又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案：A解题思路：题干的意思是要求图案既是中心对称图形又是轴对称图形试题难度：三颗星知识点：利用轴对称设计图案2.如图,在4×4的正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1.则其旋转中心一定是( )A.点EB.点FC.点GD.点H答案：C解题思路：由旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，我们知道旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，则旋转中心是线段PP1，NN1的垂直平分线的交点，易知是点G试题难度：三颗星知识点：旋转的性质3.如图,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到△A'B'C,设点A的坐标为(a,b),则点A′的坐标为( )A.(-a,-b)B.(-a.-b-1)C.(-a,-b+1)D.(-a,-b-2)答案：D解题思路：方法一：由旋转可知点C是线段AA′的中点，则由中点坐标公式可以求得点A′的坐标；方法二：如图，过点A，A′分别作y轴的垂线，垂足为E，F．由题意可得，点A，A′的横坐标互为相反数，CE=CF=-1-b，∴点A′的横坐标为-a，OF=CF-1=-b-2，∴点A′的坐标为（-a，-b-2）．试题难度：三颗星知识点：坐标与图形变化—旋转4.如图是跷跷板示意图,横板AB绕其中点O上下转动,立柱OC与地面垂直,设B点的最大高度为h1.若将横板AB换成横板A′B′,且A′B′=2AB,O仍为A′B′的中点,设B′点的最大高度为h2,则下列结论正确的是( )A.h2=2h1B.h2=h1C.h2=h1D.h2=h1答案：C解题思路：过点B作BM⊥地面，在横板绕其中点O旋转的过程中，我们知道线段OC是△ABM 的中位线，则BM=2OC，即BM的值一直不变，则h2=h1一直成立试题难度：三颗星知识点：旋转的性质5.如图,已知梯形ABCD,AD∥BC,AD=DC=4,BC=8,点N在BC上,CN=2,E是AB中点,在AC上找一点M使EM+MN的值最小,此时其最小值一定等于( )A.6B.8C.4D.答案：A解题思路：如图作N点关于AC的对称点N’，连接N’E交AC于M，连接MN∵AD∥BC，AD=DC=4∴∠DAC=∠ACB，∠DAC=∠DCA，∴∠ACB=∠DCA，∴点N关于AC对称点N′在CD上，CN=CN′=2，又∵DC=4，∴N′为CD中点∴EN’为梯形的中位线，∴EN′=6，∴EM+MN最小值为EN′=6．试题难度：三颗星知识点：轴对称-最短路线问题6.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,把△ABC绕点A逆时针旋转20°得到△ADE(点D与点B 是对应点,点E与点C是对应点),连接CE,则∠CED的度数为( )A.40°B.35°C.30D.25°答案：A解题思路：∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠ACB=40°，∵△ABC绕点A逆时针旋转20°得到△ADE，∴∠AED=∠ACB，AC=AE，∠CAE=20°，∴∠AEC=80°，∴∠CED=∠AEC-∠AED=80°-40°=40°．试题难度：三颗星知识点：旋转的性质7.把一副三角板如图甲放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6,DC=7,把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图乙),此时AB与CD1交于点O,则线段AD1的长为( )A. B.5C.4D.答案：B解题思路：∵∠ACB=∠DEC=90°，∠D=30°，∴∠DCE=60°，∠ACD=30°，∵旋转角为15°，∴∠=30°+15°=45°，又∵∠A=45°，∴△ACO是等腰直角三角形，∴AO=CO=AB=3，AB⊥CO，∵=DC=7，∴=4，在Rt△中，．试题难度：三颗星知识点：旋转的性质8.如图,点A,B,C的坐标分别为(0,-1),(0,2),(3,0).从下面四个点M(3,3),N(3,-3),P(-3,0),Q(-3,1)中选择一个点,使得以A,B,C与该点为顶点的四边形不是中心对称图形,则该点是( )A.MB.NC.PD.Q答案：C解题思路：由图形可知点M，N，Q三个点都分别能与三点A，B，C构成平行四边形，而我们知道平行四边形是中心对称图形，则不符合题意的点是点P试题难度：三颗星知识点：中心对称图形9.如图,将边长为12cm的正方形ABCD折叠,使得A点落在边CD上的E点,然后压平得折痕FG,若GF的长为13cm,则线段CE的长为( )cmA.6B.7C.8D.5答案：B解题思路：如图，过点G作GH⊥AD于点H，连接AE交GF于点N；在Rt△GHF中，GF=13，GH=AB=12，则HF=5，∵∠HGF+∠HFG=90°，∠HFG+∠EAD=90°，则∠HGF=∠DAE，又∵∠D=∠GHF=90°，AD=GH，则△HGF≌DAE，∴DE=HF=5，∴CE=7试题难度：三颗星知识点：翻折变换(折叠问题)10.如图,OA⊥OB,等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上,∠ECD=45°,将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°,点E的对应点N恰好落在OA上,则的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：由旋转可知∠ECN=75°，∵∠ECD=45°，∴∠NCO=60°，∴∠ONC=30°，在Rt△NOC中，设OC=a，则CN=2a，∵CE=CN=2a，则CD=∴，试题难度：三颗星知识点：旋转的性质11.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AD=5,BC=9,以A为中心将腰AB顺时针旋转90°至AE,连接DE,则△ADE的面积等于( )A.8B.10C.12D.6答案：B解题思路：如图，过A作AG⊥BC于G，过E作EF⊥AD，交DA延长线于F，则四边形AGCD是矩形，∴AD=GC=5，∴BG=9-5=4，∵∠EAF+∠FAB=90°，∠FAB+∠BAG=90°∴∠EAF=∠BAG∴Rt△EAF≌Rt△BAG∴EF=BG=4，则S△EAD==10试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质与判定12.如图,在△ABC中,∠CAB=75°,在同一平面内,将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,则∠BAB′=( )A.30°B.35°C.40°D.50°答案：A解题思路：由旋转可知∴AC=AC′，∠BA B′=∠CAC′，∵CC′∥AB，∠CAB=75°，∴∠ACC′=∠CAB=75°，∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=30°，∴∠BAB′=30°．试题难度：三颗星知识点：旋转的性质13.如图,两个全等的直角三角形重叠在一起,将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置,AB=10,DO=4,平移距离为6,则阴影部分面积为( )A.48B.96C.84D.42答案：A解题思路：由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10，∴OE=DE-DO=10-4=6，又∵S四边形OEBA+S△OEC=S△OEC+S阴∴S四边形OEBA=S阴∵S四边形OEBA==48，∴S阴=48试题难度：三颗星知识点：平移的性质14.在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=8,∠B是锐角,将△ACD沿对角线折叠,点D落在△ABC所在平面内的点E处,如果AE恰好经过BC的中点,则平行四边形ABCD的面积是( )A. B.C.48D.24答案：B解题思路：（画出符合题意的图形分析）如图所示，设AE、BC的交点为O，已知BO=OC．由折叠可知，∠1=∠2，又∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴A0=OC∴BO=AO=OC，则△ABC是直角三角形在Rt△BAC中，AB=6，AD=8，则∴平行四边形ABCD的面积=AB•CA=．试题难度：三颗星知识点：平行四边形的性质。
几何三大变换(旋转)(人教版)(含答案)
几何三大变换（旋转）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，将△ABC绕顶点A逆时针旋转一角度，使点D落在BC边上，得到△ADE，此时恰好AB∥DE，若∠E=35°，则∠DAC的度数为( )A.15°B.20°C.25°D.30°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．在同一平面内，将△ABC绕点C逆时针旋转70°与△EDC 重合，恰好使点D在AB上，则∠E=( )A.20°B.25°C.30°D.35°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，A=30°，BC=2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n 度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和DF的长分别为( )A.30，2B.60，2C.60，1D.30，1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形4.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AEF≌△AED；②∠AED=45°；③BE+DC=DE，其中正确的是( )A.①B.②C.②③D.①③答案：A解题思路：1．思路分析本题主要考查旋转的性质，解决此类问题需要清楚：①旋转是全等变换，旋转前后对应边、对应角相等；②几何问题处理注意读题标注，多条件进行整合．2．解题过程试题难度：三颗星知识点：旋转的性质5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），连接CC′，则∠CC′B′度数是( )A.10°B.15°C.20°D.30°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质6.如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到，△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则等于( )A.30°B.35°C.40°D.45°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转角7.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC＝90°，AD=CD，DP⊥AB于点P．若四边形ABCD的面积是16，则DP的长为( )A.2B.4C.6D.8答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质8.如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后得到，若为BC的中点，则=( )A.1:2B.1:C.1:D.1:3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转会出现等腰三角形9.如图，凸四边形ABCD满足条件：AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，则AC与BC+CD的数量关系为( )A. B.C. D.不确定答案：C解题思路：1.思路分析本题主要考查在特殊条件下如何使用旋转思想解决问题．解决此类问题需要清楚：①旋转是全等变换，旋转前后对应边、对应角相等；②满足旋转三要素的情形下(如有等边、等腰直角)，可以考虑旋转思想．本题中有AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，可考虑将△ACD顺时针旋转，使得AD与AB重合，此时可证为等边三角形，进而可知AC=BC+CD.2.解题过程试题难度：三颗星知识点：旋转思想(辨识特征旋转图形)10.如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=9，点O在AC上，且AO=2，点P是AB上一动点，连接OP将线段OP绕O逆时针旋转90°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP 的长等于( )A.2B.C.5D.7答案：C解题思路：1．思路分析本题主要考查旋转的性质，以及借助特殊的角度表达线段长求解等．解决此类问题需要注意：②读题标注，根据题意画图．本题需画出示意图，便于理解题意．②梳理条件，挖掘特征，合理转化．本题中根据旋转的特征，可借助线段相等找全等三角形，表达线段长．③借助旋转、全等性质建等式求解．通过全等的性质，借助特殊角度表达线段长求解．2．解题过程试题难度：三颗星知识点：构造弦图第11页共11页。
几何三大变换(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：折叠特征是什么？答：折叠是_____________，_______________是对称轴．对称轴两侧___________________，对称轴____________对应点的连线．问题2：旋转特征是什么？答：____________、____________和____________称为旋转三要素．旋转是____________，不改变图形的____________，旋转会出现_______________．问题3：折叠与旋转都是______，变换前后__________、_________都相等，从而实现条件的转移．折叠和旋转都会出现_______．问题4：折叠变换是轴对称变换，总结一下轴对称思考层次有哪些？几何三大变换一、单选题(共7道，每道14分)1.已知一张矩形纸片ABCD，按如图所示方式折叠，使得顶点C落在AB边上的点E处．若AD=6，∠CDF=30°，则折痕DF的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形2.如图1，等边△ABD和等边△BCD的边长均为2，将△ABD沿AC方向向右平移到的位置（如图2），则图2中阴影部分的周长为( )A.2B.4C.5D.6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质3.已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长为( )A. B.2C.4D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转变换4.如图，已知，将△AOB绕点O旋转150°后，得到，则旋转后点A的对应点的坐标为( )A. B.(-2，0)C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标与图形变化—旋转5.如图，在矩形纸片ABCD中，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，若顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则的值为( )A. B.2C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题）6.（请用相似的方法做题）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△，则点的坐标是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：翻折变换7.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E在CD边上，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点落在∠ABC的平分线上时，DE的长为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题）第11页共11页。
几何综合测试(平移、旋转)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：平移、旋转、轴对称统称为几何三大变换．几何三大变换都是_________，只改变图形的_________，不改变图形的_____________．问题2：平移的思考层次分别是什么？问题3：旋转的思考层次分别是什么？几何综合测试（平移、旋转）一、单选题(共6道，每道12分)1.如图，把△ABC绕点B逆时针旋转26°得到，若正好经过点A，则∠BAC=( )A.52°B.64°C.77°D.82°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质2.如图，E是正方形ABCD内一点，将△CDE绕点D按顺时针方向旋转90°后得到△ADF．若DE=3，则EF的长是( )A. B.C.3D.6答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质3.如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，，点A，B的坐标分别为（2，0）（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=3x-3上时，线段BC扫过的面积为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质4.如图，已知，将△AOB绕点O旋转150°后，得到，则此时点A的对应点的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转三要素5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α角，得到△DEC，CD与AB交于点F，连接AD．当旋转角α的度数为( )时，△ADF是等腰三角形．A.30°或60°B.20°或40°C.25°或50°D.20°或40°或60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质6.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．若∠EAF=60°，则下列结论正确的是( )A.AF=ABB.BE+CF=EFC.∠EFC=∠BD.△AEF是等边三角形答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：菱形二、填空题(共2道，每道14分)7.如图，将边长为3cm的等边三角形ABC沿BC方向向右平移2cm得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为____cm．答案：13解题思路：试题难度：知识点：平移的性质8.如图，将面积为12的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是BC的2倍，则四边形ACED的面积为____．答案：36解题思路：试题难度：知识点：平移的性质。
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几何三大变换（习题）
➢例题示范
例1：如图，四边形ABCD 是边长为9 的正方形纸片，将该纸片折叠，使点B 落在CD 边上的点B′处，点A 的对应点为A′，折痕为MN．若B′C=3，则AM 的长为．
【思路分析】
要求AM 的长，设AM=x，则MD=9-x．
思路一：考虑利用折叠为全等变换转条件，得AM=A′M=x，
A′B′=AB=9．观察图形，∠A′=∠D=90°，△MA′B′和△MDB′都是
直角三角形，MB′是其公共斜边，则MB′可分别在两个直角三角形中借助勾股定理表达，列方程．
思路一思路二
思路二：MN 是对称轴，考虑利用对称轴上的点到对应点的距离相等转条件，得MB=MB′．观察图形，∠A=∠D=90°，MB，MB′ 可分别放到Rt△ABM 和Rt△DB′M 中借助勾股定理表达，列方程．
例2：如图，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD 的面积为24，则AC 的长为．
【思路分析】
已知四边形ABCD 的面积，要求AC 的长，考虑借助AC 表达四
边形ABCD 的面积．四边形ABCD 为不规则四边形，考虑割补法或转化法求面积．分析题目中条件AB=AD，存在等线段共端点的
结构，且隐含∠B+∠D=180°，故考虑通过构造旋转解决问题，可把△ABC 绕点A 逆时针旋转90°．
1
➢巩固练习
1.如图，将边长为2 的等边三角形ABC 沿BC 方向平移1 个单
位得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为．
第1 题图第2 题图
2.如图，已知△ABC 的面积为8，将△ABC 沿BC 方向平移到
△A′B′C′的位置，使点B′和点 C 重合，连接AC′，交A′C 于点D，则△CAC′的面积为．
3.如图，在6 4 的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点
三角形乙，则其旋转中心是（）
A．格点M B．格点N C．格点P D．格点Q
第3 题图第4 题图
4.如图，已知OA⊥OB，等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB
上，∠ECD=45°，将△CDE 绕点 C 逆时针旋转75°，点 E 的
对应点N 恰好落在OA 上，则OC
的值为．CD
5.如图，E 是正方形ABCD 内一点，连接
AE，BE，CE，将△ABE 绕点B 顺时针
旋转90°至△CBE′的位置．若AE=1，
BE=2，CE=3，则∠BE′C= ．
6.如图，在□ABCD 中，∠A=70°，将该
平行四边形折叠，使点C，D 分别落
在点E，F 处，折痕为MN．若点E，
F 均在直线AB 上，则∠AMF= ．
7.如图，在正方形纸片ABCD 中，E，F 分别是AD，BC 的中点，
沿过点B 的直线折叠，使点C 落在EF 上，落点为N，折痕交CD 边于点M，BM 与EF 交于点P，再展开．则下列结论：
①CM=DM；②∠ABN=30°；③AB2 3CM 2 ；④△PMN 是等
边三角形．其中正确的是．（填序号）
第7 题图第8 题图
8.已知一个矩形纸片OABC，OA=6，点P 为AB 边上一点，AP=2，
将△OAP 沿OP 折叠，点A 落在点A′处，延长PA′交边OC 于点D，经过点P 再次折叠纸片，点B 恰好落在点D 处，则AB 的长为．
9.如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，
使点D 与点B 重合，点C 的对应点为点C′，折痕为EF，则EF 的长为．
10.如图，矩形纸片ABCD，AB=5，BC=10，CD 上有一点E，ED=2，
AD 上有一点P，PD=3，过P 作PF⊥AD 交BC 于点F，将纸片折叠，使点P 与点E 重合，折痕与PF 交于点Q，与AD
交于点G，则PQ 的长为．
11.如图，在四边形ABCD 中，已知△ABC 是等边三角形，
∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则CD 的长为．
➢思考小结
请结合本讲所学内容，回忆三大变换的思考层次
、
；
平移旋转轴对称
①全等变换：①全等变换：①全等变换：
对应线段平行对应线段相等、对应角相对应线段相等
（或在一条直等；对应角相等；
线上）且相等、②对应点：②对应点：
性质
对应角相等；
②对应点：
对应点到旋转中心的距离
相等；
对应点所连线
段被对称轴垂对应点所连线对应点与旋转中心的连线直平分；
段平行（或在所成的角都等于旋转角；对称轴上的点
一条直线上）对应点所连线段的垂直平到对应点的距
且相等．分线都经过旋转中心．离相等．
平移会出现平旋转会出现等腰三角形，矩形背景下常
行四边形．特别地，旋转60°会出现等出现等腰三角组合
搭配
边三角形，旋转90°会出现
等腰直角三角形．
形；
两次折叠常出
现直角、60°角
折叠会出现圆
弧等．常应用在天桥当题目中出现等线段共端常应用在最值
问题、存在性问点时，会考虑构造旋转．问题等．
应用题等．（常见于图形中有正方
形、等边三角形、等腰三
角形等）
【参考答案】
1. 8
2. 8
3. B
2
4.
2
5. 135°
6. 40°
7. ②③④
8. 12
9. 10
13
10.
4
11. 4。