上海高二数学矩阵及其运算有详细答案精品

上海高二数学矩阵及其

运算有详细答案精品 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

上海版高二上数学

矩阵及其运算

一．初识矩阵 （一）引入：

引例1：已知向量()1,3OP =，如果把OP 的坐标排成一列，可简记为13⎛⎫

⎪⎝⎭；

引例2：2008年北京奥运会奖牌榜前三位成绩如下表：

记为：512128363836232128⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

；

我们可将上表奖牌数简

231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪

-+=⎨⎪+-=⎩

中未引例3：将方程组

知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，可简记为2332441m n ⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪-⎝⎭；若将常数项增加进去，

则可简记为：2313242414m n ⎛⎫

⎪

- ⎪ ⎪-⎝⎭

。

（二）矩阵的概念

1、上述形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪

-⎝⎭

这样的矩形数表叫做矩

阵。

2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列的数

组成的向量12n b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭

称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，

m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13⎛⎫ ⎪⎝⎭为21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵512128363836232128⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭

为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）行第j

（j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

第3行第2个数为3221a =。

4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000⎛⎫

⎪⎝⎭为一个23

⨯阶零矩阵。

5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行

（列），可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫

⎪

- ⎪ ⎪-⎝⎭

均为三阶方阵。

在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为

1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001⎛⎫

⎪⎝⎭

为2阶单位矩阵，矩阵

100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

为3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。

7、对于方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪

-+=⎨⎪+-=⎩

中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵

2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭

叫做方程组的增广矩阵。

（三）、应用举例：

例1、下表是我国第一位奥运会射箭比赛金牌得主张娟娟与对手韩国选手朴成贤在决赛中的各阶段成绩表：

（1）将两人的成绩各阶段成绩用矩阵表示； （2）写出行向量、列向量，并指出其实际意义。

例2、已知矩阵222,22x x y b a A B x a b y x y ---⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭且A B =，求a 、b 的值及矩阵A 。 例3、写出下列线性方程组的增广矩阵：

（1）23146x y x y +=⎧⎨-=⎩；（2）2320

3250230

x y z x y z x y z +-+=⎧⎪-++-=⎨⎪-++=⎩

例4、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：

（1）235124-⎛⎫ ⎪-⎝⎭（2）210203213023-⎛⎫

⎪

- ⎪

⎪

-⎝⎭

例5、已知矩阵sin cos 0sin cos 1αα

ββ+⎛⎫

⎪+⎝⎭为单位矩阵，且,,2παβπ⎡⎫

∈⎪⎢⎣⎭

，求()sin αβ-的值。 （四）、课堂练习：

1、请根据游戏“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个3阶方阵（胜用1表示，输用1

-表示，相同则为0）。

2、奥运会足球比赛中国队所在C组小组赛单循环比赛结果如下：

中国平新西兰1∶1巴西胜比利时1∶0中国负比利时0∶2

巴西胜新西兰5∶0中国负巴西0∶3比利时胜新西兰0∶1

（1）试用一个4阶方阵表示这4个队之间的净胜球数；（以中国、巴西、比利时、新西兰为顺序排列）

（2）若胜一场可得3分，平一场得1分，负一场得0分，试写出一个4阶方阵表示各队的得分情况；（排列顺序与（1）相同）

（3）若最后的名次的排定按如下规则：先看积分，同积分看净胜球，试根据（1）、（2）两个矩阵确定各队名次。

二、矩阵的三种基本变换

（一）、复习引入：

引例、根据下列增广矩阵，写出其对应的线性方程组，并分析这些增广矩阵所对应线性方程组解的关系，从中你能得到哪些启发？

（1）

213

322

-

⎛⎫

⎪

-

⎝⎭

（2）

322

213

-

⎛⎫

⎪

-

⎝⎭

（3）

13

1

22

22

1

33

⎛⎫

-

⎪

⎪

⎪

- ⎪

⎝⎭

（4）

13

1

22

113

66

⎛⎫

-

⎪

⎪

⎪

⎪

⎝⎭

（5）

108

113

66

⎛⎫

⎪

⎪

⎪

⎝⎭

（6）

108

0113

⎛⎫

⎪

⎝⎭

（二）、矩阵的三种基本变换新课讲解：

通过上面练习，我们可以发现以下三个有关线性方程组的增广矩阵的基本变换：（1）互换矩阵的两行；