高等数学曲线积分与曲面积分PPT课件
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高等数学曲线积分和曲面积分课件
投影区域为Dxy , R(x, y, z)在S上连续，则
R(x, y, z)dxdy R(x, y,（ z x, y）)dxdy.
S
D xy
其中，当S取上侧时，取“+”号。
其余的类似积分。
11-6 高斯公式
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式
添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
11-1 对弧长的曲线积分
11-2 对坐标的曲线积分
习题11-3 格林公式及其应用
设闭区间D由分段光滑的曲线L围成，函数P x, y及 Qx, y在D上具有一阶连续的偏导数，则有
D
Q x
P y
dxdx
L
Pdx
Qdy成立，其中L取正向。
需要说明以下几点：
（1）格林公式说明了平面闭区域D上的二重积分可通过
沿闭区域D的边界曲线上的曲线积分来表达，即面积分
可以转化为线积分。
（2）格林公式的简单应用：设闭区域D由分段光滑的
曲线L围成，则D的面积A=
1 2
L
xdy
ydx.
（3）在应用格林公式时，首先检验格林公式的条件
是否满足，即P x, y,Q x, y在由分段光滑的闭曲线
所围成的闭区域额D上具有一阶连续偏导数，当条件
不满足时，公式不能用。例如考虑积分
xdy ydx L x2 y2 ,
其中L是区域D的边界曲线，如果D包含原点，那么
P 与 Q 在原点就不存在，就不可能连续，这时就不 y x
能运用格林公式将其转化为二重积分。
解：
解：
第十一章 曲线积分与曲面积分(正式)
f ( 0
( k , k , k )
记作
lim
n
k 1
k
, k , k ) s k
f ( x, y, z ) d s
Mk sk M k 1
都存在, 则称此极限为函数f(x,y,z)在曲线 上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分。 f(x,y,z)称为被积函数, 称为积分弧段。
o
1x
例2 计算 I
L
x d s , 其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2(x2 y2 ) (a 0)
解：在极坐标系下 L : r a cos 2 ,
2 2
y
它在第一象限部分为
L1 : r a cos 2
利用对称性，得
(0
4
)
o
x
I 4 x d s 4 4 r cos L
L
L
( 2) f ( x , y ) d s
L
f ( x , y ) ds f ( x , y ) ds
L1 L2
( L 由L1, L2组成) (3)设在L上f(x,y) ≤g(x,y)，则
L
f ( x , y ) d s g( x , y ) d s
L
特别地，有
| f ( x, y) d s | | f ( x, y) |d s
第十一章 曲线积分与曲面积分
教学内容
第一节 对弧长的曲线积分
第二节 对坐标的曲线积分
第三节 格林公式及其应用
第四节 对面积的曲面积分
第五节 对坐标的曲面积分 第六节 高斯公式 *通量与散度 *环流量与旋度
第七节 斯托克斯公式
( k , k , k )
记作
lim
n
k 1
k
, k , k ) s k
f ( x, y, z ) d s
Mk sk M k 1
都存在, 则称此极限为函数f(x,y,z)在曲线 上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分。 f(x,y,z)称为被积函数, 称为积分弧段。
o
1x
例2 计算 I
L
x d s , 其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2(x2 y2 ) (a 0)
解：在极坐标系下 L : r a cos 2 ,
2 2
y
它在第一象限部分为
L1 : r a cos 2
利用对称性，得
(0
4
)
o
x
I 4 x d s 4 4 r cos L
L
L
( 2) f ( x , y ) d s
L
f ( x , y ) ds f ( x , y ) ds
L1 L2
( L 由L1, L2组成) (3)设在L上f(x,y) ≤g(x,y)，则
L
f ( x , y ) d s g( x , y ) d s
L
特别地，有
| f ( x, y) d s | | f ( x, y) |d s
第十一章 曲线积分与曲面积分
教学内容
第一节 对弧长的曲线积分
第二节 对坐标的曲线积分
第三节 格林公式及其应用
第四节 对面积的曲面积分
第五节 对坐标的曲面积分 第六节 高斯公式 *通量与散度 *环流量与旋度
第七节 斯托克斯公式
高数课件11曲线积分曲面积分
L L1 L2
f (x, y ) ds.
(2) 若积分曲线 L 关于 y 轴对称, y 轴两侧的区域分别记为 L1 , L2 . i. 若 f (x, y ) 关于 x 为奇函数, 则 ˆ f (x, y ) ds = 0.
L
ii. 若 f (x, y ) 关于 x 为偶函数, 则 ˆ ˆ ˆ f (x, y ) ds = 2 f (x, y ) ds = 2
È
如果曲线方程为 x = φ(y ), y ∈ [a, b], 则曲线的参数方程为
8 > > < > > :
x = φ(y ),
a ≤ y ≤ b,
y = y, ˆ
b a
因此,
ˆ f (x, y ) ds =
L
8 > > > > > < > > > > &+ φ′2 (y ) dy.
ˆ 例 4 计算 分.
L
(x2 + y 2 ) ds, 其中 L 是以原点为圆心, 半径为 R 的圆周的左半部
y R
R
O
x
−R
6
解: 显然, 曲线的参数方程为
8 > > < > > :
x = R cos θ, y = R sin θ, ˆ
π 3π ≤θ≤ . 2 2
因此,
ˆ (x + y ) ds =
y
1
B
Mn−1
F (ξi , ηi ) Mi (ξi , ηi ) Mi−1 A M1 M2
O
x
#» 解: 首先, 如果力 F 是恒力, 且移动路线是从 A 沿直线到 B, 则所作的功为 #» # » W = F · AB. 其次, 在曲线 L 上依次插入 n−1 个分点 M1 (x1 , y1 ), M2 (x2 , y2 ), · · · , Mn−1 (xn−1 , yn−1 ), 将此曲线段分割为 n 个小段曲线, 以 AM1 , M1 M2 , · · · , Mn−1 B 9
f (x, y ) ds.
(2) 若积分曲线 L 关于 y 轴对称, y 轴两侧的区域分别记为 L1 , L2 . i. 若 f (x, y ) 关于 x 为奇函数, 则 ˆ f (x, y ) ds = 0.
L
ii. 若 f (x, y ) 关于 x 为偶函数, 则 ˆ ˆ ˆ f (x, y ) ds = 2 f (x, y ) ds = 2
È
如果曲线方程为 x = φ(y ), y ∈ [a, b], 则曲线的参数方程为
8 > > < > > :
x = φ(y ),
a ≤ y ≤ b,
y = y, ˆ
b a
因此,
ˆ f (x, y ) ds =
L
8 > > > > > < > > > > &+ φ′2 (y ) dy.
ˆ 例 4 计算 分.
L
(x2 + y 2 ) ds, 其中 L 是以原点为圆心, 半径为 R 的圆周的左半部
y R
R
O
x
−R
6
解: 显然, 曲线的参数方程为
8 > > < > > :
x = R cos θ, y = R sin θ, ˆ
π 3π ≤θ≤ . 2 2
因此,
ˆ (x + y ) ds =
y
1
B
Mn−1
F (ξi , ηi ) Mi (ξi , ηi ) Mi−1 A M1 M2
O
x
#» 解: 首先, 如果力 F 是恒力, 且移动路线是从 A 沿直线到 B, 则所作的功为 #» # » W = F · AB. 其次, 在曲线 L 上依次插入 n−1 个分点 M1 (x1 , y1 ), M2 (x2 , y2 ), · · · , Mn−1 (xn−1 , yn−1 ), 将此曲线段分割为 n 个小段曲线, 以 AM1 , M1 M2 , · · · , Mn−1 B 9
第10章-曲线积分与曲面积分 高等数学教学课件
f (x, y) d s
f (x, y) d s.
L( A,B)
L( B, A)
性质2 设, 为常数，则
L[ f (x, y) g(x, y)]d s L f (x, y)d s L g(x, y)d s.
性质3 若积分路径L可分成两段光滑曲线弧L1,L2, 则
f (x, y) d s f (x, y) d s f (x, y) d s.
把 L分成n个有向小弧段
¼ A0 A1, ¼ A1A2,L , ¼ Ai1Ai ,L , ¼ An1An, (A0(x0, y0) A, An (xn, yn) B).
令xi xi xi1, yi yi yi1，在¼ Ai1Ai上任取点Mi (i ,i )， i 1, 2,L , n，若当小弧段的长度的最大值 0时，和
若L是闭曲线,即L的两个端点重合,那么f (x, y)
在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为
ÑL f (x, y) d s.
函数f (x, y, z)在曲线弧上对弧长的曲线积分为
n
f (x, y, z) d s lim 0
i 1
f (xi , yi , zi )si.
性质1 对弧长的曲线积分与曲线L的方向无关，即
方程为x =a cos t, y =a sin t, z = kt, 0 t 2p, k>0.
解 Q x' t asint, y' t a cost, z' t k,
[x '(t)]2 [( y '(t)]2 [z '(t)]2 a2 k2 ,
(x2 y2 z2 ds 2p (a2 k 2t2 ) a2 k 2 dt
d r d xi d yj d zk，即有
曲线积分与曲面积分课件 (1)
第十一章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分 积分域 区 间 平面域 曲线积分 曲面积分 空间域 曲线弧 曲面域
对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分
第十一章
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
sk
则
tk
t k 1
2 (t ) 2 (t ) d t
L
) 2 ( k ) t k , k 2 ( k [ t k 1 , t k ] f ( x, y ) d s
lim f [ ( k ) , ( k ) ] 2 ( k ) 2 ( k ) t k
被平面 x y z 0 所截的圆周. 解: 由对称性可知
1 x d s ( x 2 y 2 z 2 ) ds 3 1 2 1 2 a d s a 2 π a 3 3 2 3 πa 3
2
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结束
( x 1) 2 ( y 1) 2 z 2 a 2 思考: 例5中 改为 , 如何 x yz 0 2 计算 x ds ? X x 1 X 2 Y 2 Z 2 a2 解: 令 Y y 1 , 则 : X Y Z 0 Z z
ds
( 2 sin ) 2 ( 2 cos ) 2 ( 2 sin ) 2 d 2d 9 2π I 2 d 18 π 2 0
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例7. 有一半圆弧 y R sin , x R cos (0 π), 其线密度 2 , 求它对原点处单位质量质点的引力. y 2k ds 解: d Fx k cos d cos ( x, y ) 2 R R 2k ds sin d R O R x d Fy k sin R R2 π 2k 4k 2k π sin cos Fx cos d R R R 0 0 π 2k π 2k 2k π cos sin Fy sin d R R R 0 0 故所求引力为 F 4k , 2k π R R
积分学 定积分二重积分三重积分 曲线积分 曲面积分 积分域 区 间 平面域 曲线积分 曲面积分 空间域 曲线弧 曲面域
对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分
第十一章
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
sk
则
tk
t k 1
2 (t ) 2 (t ) d t
L
) 2 ( k ) t k , k 2 ( k [ t k 1 , t k ] f ( x, y ) d s
lim f [ ( k ) , ( k ) ] 2 ( k ) 2 ( k ) t k
被平面 x y z 0 所截的圆周. 解: 由对称性可知
1 x d s ( x 2 y 2 z 2 ) ds 3 1 2 1 2 a d s a 2 π a 3 3 2 3 πa 3
2
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( x 1) 2 ( y 1) 2 z 2 a 2 思考: 例5中 改为 , 如何 x yz 0 2 计算 x ds ? X x 1 X 2 Y 2 Z 2 a2 解: 令 Y y 1 , 则 : X Y Z 0 Z z
ds
( 2 sin ) 2 ( 2 cos ) 2 ( 2 sin ) 2 d 2d 9 2π I 2 d 18 π 2 0
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例7. 有一半圆弧 y R sin , x R cos (0 π), 其线密度 2 , 求它对原点处单位质量质点的引力. y 2k ds 解: d Fx k cos d cos ( x, y ) 2 R R 2k ds sin d R O R x d Fy k sin R R2 π 2k 4k 2k π sin cos Fx cos d R R R 0 0 π 2k π 2k 2k π cos sin Fy sin d R R R 0 0 故所求引力为 F 4k , 2k π R R
数学分析第二十一章课件曲线积分与曲面积分
k f(x ,y ,z )d s k f(x ,y ,z )d s
» A B
» A B
(4) f( x ,y ,z ) d s f( x ,y ,z ) d s f( x ,y ,z ) d s
» A B
» A C
C » B
2020/6/1
例1
设L 是椭圆
x2 a2
y b
2
在2 第1 一象限部分，
f( x ,y ,z ) d s f( x ,y ,z x ,y )1 z x 2 x ,y z 2 y x ,y d x d y
S
D x y
2020/6/1
当 S : x x ( u , v ) ,y y ( u , v ) , z z ( u , v ) , ( u , v ) D 时
第二十一章 曲线积分与曲面积分
2020/6/1
i §1. 第一型曲线积分与曲面积分
背景：前面，求几何体的质量 1.第一型曲线曲、面积分
我们的问题是,设有空间的曲线段L，其上每点有线性密度, 如何
求其质量为简单起见,设空间曲线段L是可以求长的,其端点为A,B又设
密度函数f (x, y, z) 在曲线L上连续,我们来求这曲线段L的质量.
说明 1）公式的记忆：“代进去”
2）S的方程为xxy,z,y,zDyz或 y yz,x, z,xDzx 时公式如何
3）当 f(x,y,z)1时，为曲面S的面积公式
4)当光滑曲面S由参数方程：x x u ,v ,y y (u ,v ),z (u ,v ),u,vD
时面积元素 ds EGF2dudv 这时
f( x ,y ,z ) d s f( x ( u ,v ) ,y u ,v ,z u ,v )E G F 2 d u d v
高数下第十一章曲线积分与曲面积分ppt课件
2、 x 2 yzds,其中 L为折线 ABCD,这里 A , B , C , D 依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)；
3、 ( x 2 y 2 )ds,其中 L为曲线 L
x a(cos t t sin t)
y
a(sin
t
t
cos
2
2
例3 求I xyzds, 其中 : x a cos , y a sin ,
z k的一段. (0 2)
解
I
2
a2 cos sin k
a2 k 2d
0
1 ka2 a2 k2 . 2
8
例3 求I x2ds, 其中为圆周 x2 y2 z2 a2 , x y z 0.
t
)
(0 t 2 )；
10
练习题答案 1、ea (2 a) 2；
4
2、9；
3. 22a3 (1 22 )；
11
二、对坐标的曲线积分的概念
1. 定义:
函数 P(x,y)在有向曲线弧L上对坐标 x 的曲线积分
n
L
P( x,
y)dx
lim
0
i 1
P(i ,i
6
例1
求I
L xyds,L来自:椭圆 x y
a cos t, bsin t,
(第象限).
解 I 2 a cos t b sin t (a sin t)2 (b cos t)2dt 0
ab 2 sin t cos t a2 sin2 t b2 cos2 tdt 0
数学分析 第二十一章 课件 曲线积分与曲面积分
L
f ( x, y, z )ds lim f (i ,i , i )Si
0
i 1
n
特别的,当 L为平面曲线时.
L
f ( x, y)ds lim f (i ,i )Di
0
i 1
n
2.定理
设L 为光滑曲线 x x(t ) , y y(t ) , z z (t ) ,
t
f ( x, y, z) 在L上连续.则
L
f ( x, y, z)ds f z t , y t , z (t ) x2 t y 2 t z 2 (t )dt
特别 当L 为平面光滑曲线 x (t ) , y (t ) ,
S
0 2 , 0
2
0 a sin sin a cos sin a cos cos a sin cos a sin E a2 sin 2 , G a2 , F 0
( x y z )ds
S
a(cos sin sin sin cos ) a 4 sin2 d d a3
dS EG F 2 dudv
其中
E x y z ,G x y z ,
2 u 2 u 2 u 2 v 2 v 2 v
F xu xv yu yv zu zv
S
f ( x, y, z )ds f ( x(u, v), y (u , v), z (u , v)) EG F 2 dudv
L
0
i 1
定理21.1
设L 为光滑曲线 x x(t ) y y(t ) z z (t )
高等数学专题讲座曲线积分与曲面积分课件
Dxy （上侧取“+”, 下侧取“”)
• 若 : x x( y, z) , ( y, z) Dyz ,则有
P(x,
y,
z)
d
ydz
Dyz
P(x(
y,
z)
,
y, z) d y d z
(前正后负)
• 若 : y y(z, x), (z, x) Dzx , 则有
Q(x, y, z) d z d x Dzx Q (x, y(z, x), z ) d z d x (右正左负)
2 a2 d s 4 π a3
3
3
例5. 求 I (z y) d x (x z) dy (x y) dz, 其中
:
x2 x
y
y
2
z
1 2
,
从 z 轴正向看为顺时针方向.
解: 取 的参数方程 x cos t, y sin t, z 2 cost sin t
y x
四、对面积的曲面积分
n
1. 定义: f (x, y, z) dS lim
0
f (i ,i , i ) Si
i 1
2. 计算:
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算二重积分
设 :z z(x, y),(x, y) Dxy , 则
f (x, y, z) dS
f (x, y, z(x, y) )
n
1. 定义
L
f
(x,
y) ds
lim
0 k 1
f (k ,k )sk
n
2. 性质
f (x, y, z) ds lim f
0 k 1
(k ,k , k )sk
(1) f (x, y, z) g(x, y, z) ds
高数课件第十章 曲线积分与曲面积分
Σ: x−y+z = 在第四卦限部分的上侧 1 在第四卦限部分的上侧.
解： (c sα,c sβ,c sγ) = 1 ( ,− ,1 o o o 1 1) 3 1 I =∫∫ [f (x y z)+x−2f (x y z)−y+f (x y z)+z]dS , , , , , , ∑ 3 1 =∫∫ [x−y+z]dS ∑ 3 1 1 3 1 =∫∫ dS= . = ∑ 3 3 2 2
+∫ ( x y−3 y2 +y2) d 32 x y u(x y =∫ 5x d , ) x 0
4 0
x
y
32 2 3 1 3 =x + x y −xy + y 3 2 因此方程的通解为 5 3 2 2 3 1 3 x + x y −xy + y =C 2 3
5
y
(x y , )
o (x0 x ,)
2π R 2 2 2
π
+ ∫ dθ ∫π dϕ ∫
2 0 3
2π
π
2 R cos ϕ
0
r cos ϕ ⋅ r sin ϕ dr
2 2 2
第十章 曲线积分与曲面积分
1. 第一类曲线积分 物质曲线质量） （物质曲线质量） 2. 第二类曲线积分 变力作功） （变力作功） 3. 第一类曲面积分 曲面薄板质量） （曲面薄板质量） 4. 第二类曲面积分 通量） （通量）
曲线积分
曲面积分
1. 第一类曲线积分的计算
(1)利用参数方程化为定积分 利用参数方程化为定积分 • 对光滑曲线弧
f (x y d =∫ f[ ( )ψ( ) φ 2( )+ ′2( )dt ∫ , ) s α φt , t ] ′ t ψ t L
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n
并作和 f (i ,i , i ) Si , 如果当各小块曲面
i1
的直径的最大值 0 时, 这和式的极限存在,
则称此极限为函数 f ( x, y, z)在曲面 上对面积
的曲面积分或第一类曲面积分.
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记为
f ( x, y, z)dS .
n
即
f ( x, y, z)dS
n
L
f ( x, y)ds lim 0 i1
f (i ,i ) si .
积分弧段
积分和式
曲线形构件的质量 M L ( x, y)ds.
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2.存在条件：
当 f ( x, y)在光滑曲线弧L上连续时,
对弧长的曲线积分L f ( x, y)ds 存在.
3.推广
函数 f ( x, y, z)在空间曲线弧上对弧i 1
L Mn1
(i ,i ) Mi M2
A M1 Mi1
o
x
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如果当各小弧段的长度的最大值 0时,
这和的极限存在, 则称此极限为函数 f ( x, y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲
线积分, 记作 f ( x, y)ds, 即 被积函数 L
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n
P(i ,i )xi的极限存在, 则称此极限为函
i 1
数 P( x, y)在有向曲线弧L上对坐标 x的曲线
积分(或称第二类曲线积分）, 记作
n
L
P(
x,
y)dx
lim
0
i 1
P ( i
,i
)xi
.
n
类似地定义
Q(
L
x,
y)dy
lim
0
i 1
Q(i
,i
)yi
.
其中P( x, y), Q( x, y)叫做被积函数, L叫积分弧段.
曲线积分记为L f ( x, y)ds.
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二、对弧长的曲线积分的性质
(1) L[ f ( x, y) g( x, y)]ds L f ( x, y)ds L g( x, y)ds. (2) L kf ( x, y)ds k L f ( x, y)ds (k为常数).
(3) f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.
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2.存在条件： 当P( x, y), Q( x, y)在光滑曲线弧L 上连续时, 第二类曲线积分存在.
3.组合形式
L P( x, y)dx LQ( x, y)dy
L P( x, y)dx Q( x, y)dy LF ds.
其中
F
Pi
Qj ,
ds dxi dyj .
lim
0 i1
f (i ,i , i )Si
其中 f ( x, y, z)叫被积函数，叫积分曲面.
六、对面积的曲面积分的性质
若可分为分片光滑的曲面1及2 , 则
f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.
1
2
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基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
高等数学曲线积分与曲面积分
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一、对弧长的曲线积分的概念
1.定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧,函数f ( x, y)
在L上有界.用L上的点M1, M2 , , Mn1把L分成n
个小段.设第i个小段的长度为si ,又(i ,i )为第
i个小段上任意取定的一点, y
B
作乘积f (i ,i ) si ,
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
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曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
型
双 侧
n
曲
面
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典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
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曲面法向量的指向决定曲面的侧.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
曲面的投影问题: 在有向曲面Σ上取一小块
曲面 S, S在xoy面上的投影(S)xy为
( )xy 当cos 0 时
(S)xy ( )xy 当cos 0 时.
0
当cos 0 时
其中( )xy 表示投影区域的面积.
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七、对坐标的曲面积分的定义
L
L1
L2
(L L1 L2 ).
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三、对坐标的曲线积分的概念
1.定义 设L为 xoy面内从点A到点B的一条有 向光滑曲线弧, 函数 P( x, y), Q( x, y)在 L 上有界. 用L上的点M1( x1, y1 ), M2( x2 , y2 ), , Mn1( xn1, yn1 )把 L分成n个有向小弧段 Mi1Mi (i 1,2, , n; M0 A, Mn B). 设xi xi xi1, yi yi yi1, 点(i ,i )为 Mi1Mi 上任意取定的点. 如果当各小弧段 长度的最大值 0时,
n
f ( x, y, z)ds
lim 0
i 1
f (i ,i , i ) si .
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注意：
1. 若 L(或)是分段光滑的, (L L1 L2 )
f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.
L1 L2
L1
L2
2. 函数f ( x, y)在闭曲线L上对弧长的
四、对坐标的曲线积分的性质
(1) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
L Pdx Qdy L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy.
(2) 设 L是有向曲线弧,L是与L方向相反的 有向曲线弧, 则
L P( x, y)dx Q( x, y)dy L P( x, y)dx Q( x, y)dy
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4.推广
空间有向曲线弧 Pdx Qdy Rdz.
n
P( x,
y, z)dx
lim
0
i 1
P(i ,i
,
i
)xi
.
n
Q( x,
y,
z)dy
lim
0
i 1
Q(i
, i
,i
)yi
.
n
R(
x,
y,
z)dz
lim
0
i 1
R(i
, i
,i
)zi
.
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即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
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五、对面积的曲面积分的定义
1.定义 设曲面 是光滑的, 函数 f ( x, y, z) 在 上有界, 把 分成n 小块Si （Si 同时也表示 第i 小块曲面的面积）,设点(i ,i , i ) 为Si 上 任意取定的点,作乘积 f (i ,i , i ) Si ,
并作和 f (i ,i , i ) Si , 如果当各小块曲面
i1
的直径的最大值 0 时, 这和式的极限存在,
则称此极限为函数 f ( x, y, z)在曲面 上对面积
的曲面积分或第一类曲面积分.
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记为
f ( x, y, z)dS .
n
即
f ( x, y, z)dS
n
L
f ( x, y)ds lim 0 i1
f (i ,i ) si .
积分弧段
积分和式
曲线形构件的质量 M L ( x, y)ds.
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2.存在条件：
当 f ( x, y)在光滑曲线弧L上连续时,
对弧长的曲线积分L f ( x, y)ds 存在.
3.推广
函数 f ( x, y, z)在空间曲线弧上对弧i 1
L Mn1
(i ,i ) Mi M2
A M1 Mi1
o
x
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如果当各小弧段的长度的最大值 0时,
这和的极限存在, 则称此极限为函数 f ( x, y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲
线积分, 记作 f ( x, y)ds, 即 被积函数 L
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n
P(i ,i )xi的极限存在, 则称此极限为函
i 1
数 P( x, y)在有向曲线弧L上对坐标 x的曲线
积分(或称第二类曲线积分）, 记作
n
L
P(
x,
y)dx
lim
0
i 1
P ( i
,i
)xi
.
n
类似地定义
Q(
L
x,
y)dy
lim
0
i 1
Q(i
,i
)yi
.
其中P( x, y), Q( x, y)叫做被积函数, L叫积分弧段.
曲线积分记为L f ( x, y)ds.
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二、对弧长的曲线积分的性质
(1) L[ f ( x, y) g( x, y)]ds L f ( x, y)ds L g( x, y)ds. (2) L kf ( x, y)ds k L f ( x, y)ds (k为常数).
(3) f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.
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2.存在条件： 当P( x, y), Q( x, y)在光滑曲线弧L 上连续时, 第二类曲线积分存在.
3.组合形式
L P( x, y)dx LQ( x, y)dy
L P( x, y)dx Q( x, y)dy LF ds.
其中
F
Pi
Qj ,
ds dxi dyj .
lim
0 i1
f (i ,i , i )Si
其中 f ( x, y, z)叫被积函数，叫积分曲面.
六、对面积的曲面积分的性质
若可分为分片光滑的曲面1及2 , 则
f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.
1
2
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基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
高等数学曲线积分与曲面积分
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一、对弧长的曲线积分的概念
1.定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧,函数f ( x, y)
在L上有界.用L上的点M1, M2 , , Mn1把L分成n
个小段.设第i个小段的长度为si ,又(i ,i )为第
i个小段上任意取定的一点, y
B
作乘积f (i ,i ) si ,
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
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曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
型
双 侧
n
曲
面
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典型单侧曲面: 莫比乌斯带
播放
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曲面法向量的指向决定曲面的侧.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
曲面的投影问题: 在有向曲面Σ上取一小块
曲面 S, S在xoy面上的投影(S)xy为
( )xy 当cos 0 时
(S)xy ( )xy 当cos 0 时.
0
当cos 0 时
其中( )xy 表示投影区域的面积.
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七、对坐标的曲面积分的定义
L
L1
L2
(L L1 L2 ).
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三、对坐标的曲线积分的概念
1.定义 设L为 xoy面内从点A到点B的一条有 向光滑曲线弧, 函数 P( x, y), Q( x, y)在 L 上有界. 用L上的点M1( x1, y1 ), M2( x2 , y2 ), , Mn1( xn1, yn1 )把 L分成n个有向小弧段 Mi1Mi (i 1,2, , n; M0 A, Mn B). 设xi xi xi1, yi yi yi1, 点(i ,i )为 Mi1Mi 上任意取定的点. 如果当各小弧段 长度的最大值 0时,
n
f ( x, y, z)ds
lim 0
i 1
f (i ,i , i ) si .
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注意：
1. 若 L(或)是分段光滑的, (L L1 L2 )
f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.
L1 L2
L1
L2
2. 函数f ( x, y)在闭曲线L上对弧长的
四、对坐标的曲线积分的性质
(1) 如果把 L分成 L1和 L2 , 则
L Pdx Qdy L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy.
(2) 设 L是有向曲线弧,L是与L方向相反的 有向曲线弧, 则
L P( x, y)dx Q( x, y)dy L P( x, y)dx Q( x, y)dy
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4.推广
空间有向曲线弧 Pdx Qdy Rdz.
n
P( x,
y, z)dx
lim
0
i 1
P(i ,i
,
i
)xi
.
n
Q( x,
y,
z)dy
lim
0
i 1
Q(i
, i
,i
)yi
.
n
R(
x,
y,
z)dz
lim
0
i 1
R(i
, i
,i
)zi
.
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即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
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五、对面积的曲面积分的定义
1.定义 设曲面 是光滑的, 函数 f ( x, y, z) 在 上有界, 把 分成n 小块Si （Si 同时也表示 第i 小块曲面的面积）,设点(i ,i , i ) 为Si 上 任意取定的点,作乘积 f (i ,i , i ) Si ,