二重积分
第八节二重积分
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第八节 二重积分 导言: 导言:本节我们将一元函数定积分的概念 和思想扩展到二元函数的二重积分上, 和思想扩展到二元函数的二重积分上,由于二 重积分是一元函数定积分在二元函数中的进一 步推广.因此,二重积分概念, 步推广.因此,二重积分概念,性质与定积分 类似, 类似,二重积分的计算方法也是将其转化为定 积分.学习中要注意与定积分的对比, 积分.学习中要注意与定积分的对比,把握两 者之间的共性与区别. 者之间的共性与区别.
D D D
(2) ∫∫ kf (x, y)dσ = k ∫∫ f (x, y)dσ
D
D +D2 1 D 1
(k为常数 ).
D
D2
(3) ∫∫ f (x, y)dσ = ∫∫ f (x, y)dσ + ∫∫ f (x, y)dσ. (4) 若在D上处处有f (x,y)≤g(x,y),则有
∫∫ f (x, y)dσ ≤ ∫∫ g(x, y)dσ.
y1( x)
z = f (x, y)
y1
y2 y
故曲顶柱体的体积, 故曲顶柱体的体积 也就是二重积分为
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫
D
b b y2 ( x) S(x)dx = a[ y ( x) f (x, y)dy]dx. a 1
∫ ∫
上式将二重积分化成先对y 积分, 后对x 积分的 二 上式将二重积分化成先对 积分 后对 次积分或称为累次积分. 次积分或称为累次积分 需要指出, 需要指出 计算 ∫
z = f (x, y)
f (ξi ,ηi )σi . 以此作为小曲
二重积分
0
f (r cosθ , r sinθ )r d r.
2) 如果坐标原点不在积分域 D 内部， ) 内部， 则从原点作 两条射线 θ = α 和 θ = β (α ≤ β) (如图)夹紧域 D . α, β 如图) 积分(外积分)的下限和上限， 分别是对 θ 积分(外积分)的下限和上限， 在 α 与 β 之 的边界交两点， 间作任一条射线与积分域 D 的边界交两点，它们的极 径分别为 r = r1(θ)，r = r2(θ)， ， ， 假定 r1(θ ) ≤r2(θ )， 那么 ， r1(θ ) 与 r2(θ ) 分别是对 r 积分(内积分)下限与上限， 积分(内积分)下限与上限，
(2) 在D′上 雅可比行列式
y
∂(x, y) xu xv = ≠ 0; J (u, v) = 定积分换元法 , v) ∂(u yu yv
b
D
(3) 变换 f (x) d x = ∫ Df是一一对应的 ,( x = ϕ(t) ) ∫a T : D′ →α [ϕ(t)]ϕ′(t) d t
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sinθ
∴∫∫ f (x, y) d x d y = ∫∫
D
D′
− r cosθ f (r cosθ, r sinθ ) r d r dθ
其中 0 ≤ r < +∞,0 ≤ θ < 2π (或 − π ≤ θ ≤ π ).
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四、极系下的二重积分化为二次积分 将直系下的二重积分化为极系后， 将直系下的二重积分化为极系后，极系下的 二重积分仍然需要化为二次积分来计算。 二重积分仍然需要化为二次积分来计算
1
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二重积分的概念及性质
积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
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积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用
第五章二重积分
第五章 二 重 积 分1.定义:∑⎰⎰=→∆=nk k k k Df y x f 10d ),(lim d ),(σηξσ2.几何意义:3.性质:1) 比较定理: 若),(),(y x g y x f ≤,则⎰⎰⎰⎰≤DDy x g y x f .d ),(d ),(σσ2) 估值定理: 若),(y x f 在D 上连续,则.d ),(MS y x f mS D⎰⎰≤≤σ3) 中值定理: 若),(y x f 在D 上连续,则S f y x f D),(d ),(ηξσ⎰⎰=.4.计算1) 直角坐标: 2) 极坐标:i) 适合用极坐标计算的被积函数:);(),(),(22yxf x y f y x f +ii)适合用极坐标的积分域:3) 利用奇偶性.①若积分域D 关于y 轴对称,则:⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=≥DD x x y x f y x f y x f d y x f x .),(0.),(d ),(2),(0为奇函数关于为偶函数关于σσ②若积分域关于x 轴对称,则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=≥DD y y y x f y x f y x f d y x f y .),(0.),(d ),(2),(0为奇函数关于为偶函数关于σσ4) 利用对称性:若D 关于x y =对称,则`.d ),(d ),(⎰⎰⎰⎰=DDx y f y x f σσ特别的： ⎰⎰⎰⎰=DDd y f d x f σσ)()(题型一 计算二重积分例5.1计算⎰⎰+Dx ye x σd )|(|2，其中D 由曲线1||||=+y x 所围成.解 由奇偶性知原式=⎰⎰⎰⎰=14D Dxd d x σσ （其中1D 为D 在第一象限的部分）.3241010==⎰⎰-x xdy dx例5.2设区域D 为222R y x ≤+,则⎰⎰+D b y a x σd )(2222=.解法1)11(4)sin cos ()(224320022222222b a R d b a d d b y a x R D+=+=+⎰⎰⎰⎰πρρθθθσπ. 解法2 由于积分域222:R y x D ≤+关于直线x y =对称，则σσd b x ay d b y a x D D ⎰⎰⎰⎰+=+)()(22222222. 从而有 21)(2222=+⎰⎰σd b y ax D [左端 + 右端] σd y x b a D ⎰⎰++=)()11(212222)11(4)11(21222004322ba R d db a R +=+=⎰⎰ππρρθ 例 5.3设区域{}0,0,4|),(22≥≥≤+y x y x y x D ,)(x f 为D 上正值连续函数,b a ,为常数,则⎰⎰=++Dy f x f y f b x f a σd )()()()(.A)πab , B)π2ab , C)π)(b a +, D)π2b a +. 解法1直接法 由于积分域D 关于直线x y =对称，则⎰⎰⎰⎰++=++DDd x f y f x f b y f a d y f x f y f b x f a σσ)()()()()()()()(.原式])()()()()()()()([21⎰⎰⎰⎰+++++=D D d x f y f x f b y f a d y f y f y f b x f a σσπσ2)(21ba db a D+=+=⎰⎰.故应选（D ）. 解法2 排除法取,1)(≡x f 显然符合题设条件，而⎰⎰++Dy f x f y f b x f a σd )()()()(πσ2)(21ba db a D+=+=⎰⎰. 显然（A ），（B ），（C ）均不正确，故应选（D ）。
二重积分
2.2.极坐标系极坐标系下二重积分的计算下二重积分的计算181.直角坐标系下二重积分的计算设非负连续函数z=f(x, y)定义在由连续曲线与直线x=a, x=b围成的有界闭区域D上(图6.2.1)二重积分的几何意义是以D为底以曲面z=f (x, y)为顶的曲顶柱体的体积V现在应用计算“平行截面面积为已知的立体体积”的方法来计算体积V用平行于yOz面的平面截曲顶柱体得截面的面积A(x)
n
i
ii
Df
dyxf
)
,(lim),(1
0(6.1.1)由二重积分定义可知二重积分的值是与区域D的分法无关的.在直角坐标系下可以用分别平行于坐标轴的直线网来分割D此时除了包含边界点的一些小子区域外其余的都是边界分别为的矩形闭区域其面积为iixy
1
2
1)
,(),(x
x
b
a
x
x
b
adx
dyyxfdyyxfdx
并称它为先对y再对x的二次积分(或累次积分)因此
)(
)(2
1)
,(),(x
x
b
a
Ddy
yxfdxdxdyyxf
(6.2.2)22除上述常用的区域D外还有另外一类常用的区
趋于零时, 若上述和式的极限存在就定义此极限值为曲顶柱体的体积即曲顶柱体的体积8(2) 平面薄片的质量
设有一平面薄片占据xOy平面上的有界闭区域D如果薄片的面密度是D上的正值连续函数要计算此平面薄片的质量)
,(yx可以采取类似于上面求曲顶柱体的体积的方法先将D分成n个子区… (如图6.1.2),12n返回返回图6.1.2 9和式是整个薄片质量M的一个近似值于是i
二重积分
s 1 ds ds
D D
这个性质的几何意义是:高为1的平顶柱体的体积在数 值上就等于柱体的底面积．
9
性质5
如果在 D 上，f ( x , y ) ( x , y ) ，则有不等式
f ( x , y )ds ( x , y )ds
D D
特殊的，由于
f ( x, y)ds
D
b
a
b
2 ( x ) f ( x, y )dydx . 1 ( x )
dx
2 ( x ) 1 ( x )
f ( x, y )ds
D
a
f ( x , y )dy
计算时，先把x看作常量,把 f(x,y) 只看作y的函数,并对y计 算从 1 ( x ) 到 2 ( x ) 的定积分,然后把算得的结果再对x计算在区 间[a,b]上的定积分.这种连续的积分计算称为：累次积分
y (x, 1) 1 y=x
1 1 2 (1 x y ) dx 3 1 x 3 1 1 ( x 1)dx 1 3 1 2 1 3 ( x 1)dx 3 0 1 2
3 2 2
1
O ( x, x) 1
1
x
25
解法(2) 画出区域D， 可把D看成是Y型区域：
16
d
d y
c
d
x2 ( y )
x1 ( y )
f ( x , y )dx
3. 计算公式及方法：
当 D 为X型区域时： y
y=2(x)
y=1(x)
y
y=2(x) y=1(x)
O a
b
x
O a
b
二重积分基本公式表
二重积分基本公式表
以下是二重积分的基本公式表：
1. 矩形区域上的常数函数:
∬_R c dA = c ×面积(R)
2. F(x, y) = 1 的情况:
∬_R dA = 面积(R)
3. F(x, y) = x 的情况:
∬_R x dA = x ×面积(R)
4. F(x, y) = y 的情况:
∬_R y dA = y ×面积(R)
5. 直角坐标系下一般函数 F(x, y) 的情况:
∬_R F(x, y) dA
6. 在极坐标系下的基本公式:
∬_D F(r, θ) r dr dθ
7. 边界为曲线的情况:
∬_D F(x, y) dA = ∫[a, b] ∫[c(x), d(x)] F(x, y) dy dx
8. 极坐标系下边界为曲线的情况:
∬_D F(r, θ) r dr dθ = ∫[α, β] ∫[r1(θ), r2(θ)] F(r, θ) r dr dθ
这些基本公式涵盖了二重积分的一些常见情况。
根据具体的函数和区域形状，可以使用这些公式进行二重积分的计算。
需要注意的是，具体的计算过程可能需要根据问题的具体要求进行适当的变量变换或分解，以便于求解。
二重积分
二重积分一．二重积分定义：设D 为xy 平面上的有界闭区域，(,)f x y 为定义在D 上的函数。
用任意的曲线把D 分成n 个小区域12,,.n σσσ 以i σ∆表示小区域的面积，这些小区域构成D 的一个分割T , 以i d 表示小区域i σ的直径，称1max i i nT d ≤≤=为分割T 的细度。
在每个i σ上任取一点(,)i i ξη，作和式1(,)ni i i i f ξησ=∆∑，称它为函数(,)f x y 在D 上属于分割T 的一个积分和。
如果1lim(,)niiiT i f ξησ→=∆∑存在，则称(,)f x y 在D 上可积，此极限值就称为(,)f x y 在D 上的积分，记为(,)Df x y d σ⎰⎰，即1(,)lim (,)ni i i DT i f x y d f σξησ→==∆∑⎰⎰。
定理：有界闭区域上的连续函数必可积。
性质：1. 若(,)f x y 在区域D 上可积，k 为常数，则(,)kf x y 在D 上也可积，且(,)(,).DDkf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰2. 若(,),(,)f x y g x y 在D 上都可积，则(,)(,)f x y g x y ±在D 上也可积，且[(,)(,)](,)(,).DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰3. 若(,)f x y 在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则(,)f x y 在12D D ⋃上也可积，且1212(,)(,)(,).D D D D f x y d f x y d g x y d σσσ⋃=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 若(,),(,)f x y g x y 在D 上都可积，且(,)(,)f x y g x y ≤，(,),x y D ∈ 则(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰5. 若(,)f x y 在区域D 上可积，则函数(,)f x y 在区域D 上也可积，且(,)(,).DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰6. 若(,)f x y 在区域D 上可积，且(,),(,),m f x y M x y D ≤≤∈ 则 (,),D D DmS f x y d MS σ≤≤⎰⎰这里D S 是积分区域D 的面积。
第九讲 二重积分的概念与计算
D
2.二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１
D
当k为常数时，
k f ( x , y )d .
D
kf ( x , y )d
性质２
D
[ f ( x, y ) g( x, y )]d
f ( x , y )d g( x , y )d .
D D
1
1 1
8
例2
ex y dxdy ,其中区域 D 为矩形： 计算二重积分
D : 0 x 1, 1 y 2
解
x y e x e y,所以 因为 e
D
e
D
x y
dxdy ( e dx)( e dy ) e
x y 0 1
1
2
x 1 0
e
y 2 1
y 1 ( x)
o a
x
b
x
o a
x
b
x
o a x
b
x
由二重积分的几何意义知:
z
A( x)
f ( x, y)d 是区域 D 上以曲面
z f ( x, y) 为顶的曲顶柱体的
D
y
体积.
为确定曲顶柱体的体积,可在
x 处用垂直 x 轴的平面去截曲
顶柱体,设其截面面积为 A( x)
o
a
x
例3
计算二重积分 xydxdy .其中积分区域 D 分
D
别如下图所示： ⑴ 三角形；⑵ 四分之一椭圆。 解 ⑴因为下图所示的三角形 区域的斜边方程是 x y 1 所以 D 可表示为
a b
y
b
x o a D : 0 x a, 0 y b(1 ) a 2 x x b (1 ) a b (1 ) a xy xydxdy dx a xydy ( ) 0 a dx 0 0 0 2 D 2 ab x 2 1 2 a 2 x 2 x3 (1 ) xdx b ( x 2 )dx 0 2 0 a 2 a a 1 2 x 2 2 x3 x 4 a 1 2 2 b ( 2) 0 a b 2 2 3 a 4a 24
二重积分概念
D
积分中值定理的几何意义: 在 D 上, 以 z f ( x , y)
( f ( x , y) 0) 为顶的曲顶柱体体积,等于一个同底 的平顶柱体的体积, 这个平顶柱体的高等于 f ( x , y)
在 D 中某点 ( , ) 处的函数值 f ( , ).
设 P 是一平面有界图形, 用平行于坐标轴的某一
组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T
的网眼 (小闭矩形) i 可分为三类: y
(i) i 上的点都是 P 的内点;
P
(ii) i 上的点都是 P 的外点, 即
i P ;
O
x
图 21 1
(iii) i 上含有 P 的边界点. 将所有属于第(i) 类小矩形 y
D
例如 ？ R2 x2 y2d
x2 y2 R2
n
D
f ( x, y)d lim 0 i1
f (i , i ) i
o xD
y
(i ,i )
i
z
o D x
(i ,i ) y
i
z f (x, y)
例如 ？ R2 x2 y2d x2 y2 R2
定义2 设 f ( x , y) 是定义在可求面积的有界闭域 D
上的函数. J 是一个确定的实数, 若对任给的正数 ,
总存在某个正数 , 使对于 D 的任何分割 T, 当它的
细度 || T || 时, 属于 T 的所有积分和都有
n
f (i , i ) i J ,
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、 取极限”的方法，如下动画演示．
二重积分的概念
I1 = 4 I 2
例2 利用二重积分的几何意义确定二重积分
∫∫
D
的值，其中 D : x 2 + y 2 ≤ 9 （3 − x + y )dσ 的值，
2 2
解：
曲顶柱体的底部为圆盘 其顶 是下半圆锥面
x + y ≤9
2 2
2 2
z = 3− x + y
故曲顶柱体为一圆锥体， 故曲顶柱体为一圆锥体，它的 底面半径及高均为3， 底面半径及高均为 ，所以
V = lim ∑ f (ξk , ηk )∆ k σ
λ→0 k =1
n
n
平面薄片的质量: 平面薄片的质量
M = lim ∑µ (ξk , ηk )∆σ k
λ→0 k =1
2.定义（二重积分）： 2.定义（二重积分）： 定义
设z=f(x,y)在区域 上有界，则 z=f(x,y)在区域D上有界 在区域 上有界， 分割：用平面曲线网将D分成 分成n个小区域 ①分割：用平面曲线网将 分成 个小区域 △ σ 1 , △ σ 2, … , △ σ n 各个小区域的面积是 △σ1 ,△σ2 ,…,△σn , …,d 各个小区域的直径是 d1,d2 ,…,dn 近似： ②近似：在各个小区域上任取一点 (ξi,ηi)∈△σi ， 作乘积 f(ξ f(ξi,ηi)△σi (i=1,2, … ,n) n 求和： ③求和：
∫∫
D
⑹
∫∫ f (x, y)dσ ≤ ∫∫ f (x, y) dσ
D D
的面积， ⑺ 在D上若m≤f(x,y)≤M ，σ为D的面积，则 上若m≤f(x,y)≤M
mσ ≤ ∫∫ f ( x, y)dσ ≤ M σ
D
二重积分中值定理： ⑻ 二重积分中值定理：
二重积分概念
二重积分概念
二重积分是多元函数微积分学应用的一个主要内容，是在解决实际问题的实践中不断抽象出来的，是一元函数定积分、多元函数曲线积分的推广。
二重积分指的是一种特殊的积分形式，它分为两个次积分，把原来的一维函数转换成为二维函数，即把一维的积分转换成为二维的积分。
二重积分可以解决许多有关实际问题的求解，比如说，用它求解空间面积、体积、重力场的积分、电磁场的积分、动力学方程的积分等。
其概念与性质在物理学、力学、工程以及金融等学科领域都有广泛应用。
二重积分
2 1
8
y x2
x
(1,1)
20
例5 计 算 xy d , 其 中D是 由 抛 物 线y2 x及
D
y x 2所 围 成 的 闭 区 域 。y
解 两曲线的交点 (4,2) (1,1)
y2 x
(4, 2)
若选择先 y 后 x ,
xy d
1
dx
x
xy dy
o
0
x
D
4
dx
x
xy dy ,
x
y 1( x)
12
一般地，积分区域为：
1( x) y 2( x)，a x b .
y
y 2(x)
D
f (x, y)d
D
y 1(x)
b a
2 ( x) 1( x)
f
(
x
,
y
)
dy
dx
ao
bx
记为
b
dx
2 ( x) f ( x, y) dy .
a
1( x)
—— 先对 y 积分，后对 x 积分的二次积分
D2
y
1
0 y 2 x,
D2 :
1
x2
.
D1 D2
o
1
2x
y2 x
24
设 D D1 D2
将 D 向 y 轴投影,
D:
1
1 y2 x 2 y,
0 y 1.
y
1
D1 D2
o
1
2x
y2 x
原式 f ( x, y) d
D
1 2 y
dy
f ( x, y)dx .
0
1 1 y2
二重积分公式
二重积分公式1. 二重积分的定义二重积分是对二维平面上的某个区域进行积分的概念。
它是将一个函数在该区域内进行“求和”的过程。
设函数 f(x, y) 在平面区域 D 上有界，划分 D 为 m 行 n 列的小矩形，其中每个小矩形的面积为∆S。
取 D 中的一组任意点（ξi,j，ηi,j），构造函数值与面积的乘积f(ξi,j, ηi,j)⋅ ∆S，然后对所有小矩形内的乘积进行求和，即可得到二重积分的近似值。
当 m 和 n 均趋于无穷大，且∆S 趋于零时，如果此极限存在，则称此极限值为函数 f(x, y) 在区域 D 上的二重积分，记为∬Df(x, y)dS。
2. 二重积分的计算方法2.1 通过极坐标变换计算二重积分对于某些特殊的平面区域，在直角坐标系下求解二重积分可能会比较困难。
这时可以利用极坐标变换来简化计算。
设平面区域 D 在极坐标下的表示是 R（r，θ），且区域 D 内的任意一点（x, y）与极坐标下的点（r，θ）存在一一对应关系。
则二重积分∬Df(x, y)dS 可以改写为∬Rf(r cosθ, r sinθ)r dr dθ。
在极坐标下，面积微元dS = r dr dθ。
因此，对于函数 f(r cosθ, r sinθ)，可以进行类似于直角坐标系下的计算方法，将其转化为对 r 和θ 的积分来求得二重积分的值。
2.2 通过直角坐标系计算二重积分除了利用极坐标变换来计算二重积分外，直角坐标系下的计算方法也是常用的。
对于平面区域 D，利用直角坐标系划分为 m 行 n 列的小矩形，每个小矩形的面积为∆S。
取每个小矩形的中点（ξi,j，ηi,j），构造函数值与面积的乘积f(ξi,j, ηi,j)⋅ ∆S，然后对所有小矩形内的乘积进行求和，即可得到二重积分的近似值。
将 m 和 n 均趋于无穷大，且∆S 趋于零时可以得到二重积分的精确值。
2.3 利用重积分的性质简化计算在实际计算二重积分时，有时可以根据重积分的性质进行简化。
二重积分四则运算公式
二重积分四则运算公式二重积分的定义是求某一域内的函数的积分，概念是由一重积分到二重积分扩展而来的，而二重积分的计算一般是采用一些公式进行运算。
这里，我们介绍一下二重积分中四则运算的公式，以便读者能够更准确、更方便地积分并得到想要的计算结果。
1.法二重积分加法的公式是：∫∫f(x,y)dxdy+∫∫g(x,y)dxdy=∫∫[f(x,y)+g(x,y)]dxdy其中，f(x,y)代表积分中的函数一，g(x,y)代表函数二，dxdy 代表积分求和，也就是把函数同时积分在一个面积域内，[f(x,y)+g(x,y)]不过是把两个函数相加而已。
2.法二重积分减法的公式是：∫∫f(x,y)dxdy-∫∫g(x,y)dxdy=∫∫[f(x,y)-g(x,y)]dxdy 其中，f(x,y)代表函数一，g(x,y)代表函数二，dxdy代表积分求和，也就是把函数同时积分在一个面积域内，[f(x,y)-g(x,y)]不过是把两个函数相减而已。
3. 乘法二重积分乘法的公式是：∫∫f(x,y)dxdy×∫∫g(x,y)dxdy=∫∫[f(x,y)g(x,y)]dxdy其中，f(x,y)代表函数一，g(x,y)代表函数二，dxdy代表积分求和，也就是把函数同时积分在一个面积域内，[f(x,y)g(x,y)]不过是把两个函数相乘而已。
4.法二重积分除法的公式是：∫∫f(x,y)dxdy÷∫∫g(x,y)dxdy=∫∫[f(x,y)÷g(x,y)]dxdy 其中，f(x,y)代表函数一，g(x,y)代表函数二，dxdy代表积分求和，也就是把函数同时积分在一个面积域内，[f(x,y)÷g(x,y)]不过是把两个函数相除而已。
以上就是二重积分四则运算的公式，它们都能够帮助人们快速、准确地算出二重积分。
在现实应用中，这些公式是实现计算机自动求积分的重要基础，对于域内的函数积分及数值求解有极大的帮助，值得大家反复研习、积极运用。
第11讲二重积分及其计算
性质 6 (中值定理)
设 D R2 为有界闭区域，f (x, y) C(D)，则至少存在
一点( ,) D，使得
f (x, y) d x d y f ( ,) | D | 。
D
性质 7
设 D1 与D2 关于 x 轴对称，D D1 D2 。 若函数 f (x, y) 关于变量 y 为偶函数：f (x, y) f (x, y)，则
二重积分记为：
n
D
f (x, y) d
lim 0 i1
f (i ,i ) i ,
式中： f (x, y) —— 被积函数；
—— 二重积分号；
D —— 积分区域；
d ——积分元素( 或平面面积元素) ;
x，y ——积分变量；
n
f (i ,i ) i —— 积分和( 黎曼和) 。
i 1
二重积分定义的几点说明：
(1) z f (x, y) 0,
曲
顶
n
柱
D
f (x, y) d
lim 0ຫໍສະໝຸດ i 1f (i ,i ) i
V.
体 的
体
(2) z f (x, y) 0,
积
n
D
f (x, y) d
lim 0 i1
f (i ,i ) i
V.
曲z
顶 柱 体 的 体 积
.a O
bx0
x
z f (x, y) 0
D
围成的区域。
D {(x, y) | 1 x 2，1 y x }
2
x
xy d xy d x d y 1 d x1 xy d y
D
D
y 2
2 yx
x[ ] d x
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表示该柱体体积的相反值，即 f (x , y)的绝对值在 D上
的二重积分 f ( x, y) d 才是该曲顶柱体
D
的体积；当 f (x , y)在 定义区域 D 上有正有负时, 则
二重积分 f ( x, y)d 的值为 xy 平面上方柱体体
积之和减去D 下方柱体体积之差.
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二、二重积分的性质
性质 1 被积函数中的常数因子 可以提到二重积 分号的外面， 即
kf (x, y)d k f (x, y)d (k为常数).
D
D
性质 2 函数的和(或差)的二重积分 等于各个函
数的二重积分的和(或差)， 即
[ f (x, y) g (x, y)] d f (x, y) d g (x, y) d .
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如果在 D 上， f(x, y) = 1，且 D 的面积为
d .
D
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性质 5 如果在 D 上， f (x, y)≤ g(x, y), 则
f (x, y)d ≤ g(x, y)d .
D
D
推论 函数在 D 上的二重积分的绝对值 不大于
函数的绝对值在 D 上的二重积分. 即
D
D
D
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性质 3 如果区域 D 被分成两个子区域 D1 与 D2， 则在 D 上的二重积分 等于各子区域 D1、D2 上的二重 积分之和，即
f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d .
D
D1
D2
这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性 .
性质4
，则
mi μ (i ,i ) i .
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(3) 求和. 将这 n 个看成质量均匀分布的小块的 质量相加得到整个平面薄片质量的近似值，即
n
n
m mi (i ,i ) i .
i 1
i 1
(4) 取极限. 当 n 个子域的最大直径 0 时，
上述和式的极限就是所求薄片的质量，即
小曲顶柱体的体积，即
Vi f (i ,i ) i .
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(3) 求和. 将这 n 个小平顶柱体的体积相加，得
到原曲顶柱体体积的近似值，即
n
n
V Vi f (i ,i ) i .
i 1
i 1
(4) 取极限. 将区域 D 无限细分且每一个子域趋
向于缩成一点， 这个近似值就趋向于曲顶柱体的体
以 D 的边界曲线为准线、母
线平行于 z 轴的柱面，顶是由
二元非负连续函数 z = f (x, y)
O
y
所表示的曲面. 这个立体称为
D
D 上的曲顶柱体.
x
试求该曲顶柱体的体积 .
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解 (1) 分割. 将区域 D 任意分成 n 个小区域，
称为子域：1, 2 , ···, n , 并以 i (i = 1,
f (x, y)d ≤ f (x, y) d .
D
D
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性质 6 如果 M、m 分别是函数 f( x, y) 在 D 上
的最大值与最小值， 为区域 D 的面积，则
m ≤ f ( x, y)d ≤ M .
D
性质 7(二重积分中值定理) 设函数 f( x,y) 在有
界闭区域 D 上连续，记 是 D 的面积，则在 D 上至
积， 即
n
V
lim 0 i 1
f (i ,i ) i ,
其中 是这 n 个子域的最大直径 (有界闭区域的直径
是指区域中任意两点间距离的最大值).
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例 2 平面薄片的质量.
设有一平面薄片占有 xy 平面上的区域 D，如图，
它的面密度(单位面积上的质量)为 D 上的连续函数
( x , y ). 求该平面薄片的质量.
2, ···, n)表示第 i 个子域的面然积后，对每个子域作以它的 边界曲线为准线、母线平行 z 轴的柱面. 这些柱面就 把原来的曲顶柱体分成 n 个小曲顶柱体.
曲顶柱体的体积
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(2) 近似. 在每个小曲顶柱体的底 i 上任取一 点 (i , i) (i = 1, 2, ···, n)，用以 f (i , i) 为高、i 为 底的平顶柱体的体积 f (i , i) i ， 近似替代第 i 个
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解 (1) 分割. 将薄片(即区域 D)任意分成 n
个子域 1 , 2 , ···, n ，并以 i ( i = 1,2,···,n)
表示第 i 个子域的面积 .
(2)近似．由于(x , y) 在 D 上连续，因此当 i
的直径很小时，这个子域上的面密度的变化也很小，
即其质量可近似看成是均匀分布的. 于是在 i 上任 取一点 (i , i )，第 i 块薄片的质量的近似值为
n
m
lim
0 i1
( i
,i
) i
.
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2. 二重积分的定义 定义 设二元函数 z = f (x, y)定义在有界闭区域
D 上.将区域 D 任意分成 n 个子域 i (i = 1, 2, ···, n),
并以 i 表示第 i 个子域的面积. 在 i 上任取一点 n
(i ,i )，作和 f ( i ,i ) i . 如果当各个子域的
第一节：二重积分的概念与性质 第二节：二重积分的计算 第三节：二重积分的应用 第四节：三重积分
第十章 重 积 分
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念 二、二重积分的性质
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一、二重积分的概念
1. 引例
例 1 曲顶柱体的体积.
z
设有一立体的底是 xy 面
上的有界闭区域 D，侧面是
函数，f ( x, y)d 称为被积表达式，d 称为面积元
素， D 称为积分域， 称为二重积分号.
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3. 二重积分的几何意义
当 f(x, y)≥ 0 时， 二重积分 f ( x, y)d 的
几何意义 就是曲顶柱体的体；
D
当
f (x, y) 0
时，柱体在 xy 平面的下方， 二重积分 f ( x, y)d
i 1
直径中的最大值 趋于零时，此和式的极限存在，则
称此极限为函数 f (x, y)在闭区域 D 上的二重积分，
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记为 f ( x, y)d , 即
D
n
D
f ( x, y)d lim 0 i 1
f (i ,i ) i .
这时，称 f (x, y)在 D 上可积， 其中 f (x, y)称为被积