二重积分

积， 即
n
V
lim 0 i 1
f (i ,i ) i ,
其中 是这 n 个子域的最大直径 (有界闭区域的直径
是指区域中任意两点间距离的最大值).
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例 2 平面薄片的质量.
设有一平面薄片占有 xy 平面上的区域 D，如图，
它的面密度(单位面积上的质量)为 D 上的连续函数
( x , y ). 求该平面薄片的质量.
D
表示该柱体体积的相反值，即 f (x , y)的绝对值在 D上
的二重积分 f ( x, y) d 才是该曲顶柱体
D
的体积；当 f (x , y)在 定义区域 D 上有正有负时, 则
二重积分 f ( x, y)d 的值为 xy 平面上方柱体体
积之和减去D 下方柱体体积之差.
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小曲顶柱体的体积，即
Vi f (i ,i ) i .
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(3) 求和. 将这 n 个小平顶柱体的体积相加，得
到原曲顶柱体体积的近似值，即
n
n
V Vi f (i ,i ) i .
i 1
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i 1
(4) 取极限. 将区域 D 无限细分且每一个子域趋
向于缩成一点， 这个近似值就趋向于曲顶柱体的体
第一节：二重积分的概念与性质 第二节：二重积分的计算 第三节：二重积分的应用 第四节：三重积分
第十章 重 积 分
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念 二、二重积分的性质
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一、二重积分的概念
1. 引例
例 1 曲顶柱体的体积.
z
设有一立体的底是 xy 面
上的有界闭区域 D，侧面是
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如果在 D 上， f(x, y) = 1，且 D 的面积为
d .
D
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性质 5 如果在 D 上， f (x, y)≤ g(x, y), 则
f (x, y)d ≤ g(x, y)d .
D
D
推论 函数在 D 上的二重积分的绝对值 不大于
函数的绝对值在 D 上的二重积分. 即
f (x, y)d ≤ f (x, y) d .
D
D
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性质 6 如果 M、m 分别是函数 f( x, y) 在 D 上
的最大值与最小值， 为区域 D 的面积，则
m ≤ f ( x, y)d ≤ M .
D
性质 7(二重积分中值定理) 设函数 f( x,y) 在有
界闭区域 D 上连续，记 是 D 的面积，则在 D 上至
函数，f ( x, y)d 称为被积表达式，d 称为面积元
素， D 称为积分域， 称为二重积分号.
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3. 二重积分的几何意义
当 f(x, y)≥ 0 时， 二重积分 f ( x, y)d 的
几何意义 就是曲顶柱体的体积；
D
当
f (x, y) 0
时，柱体在 xy 平面的下方， 二重积分 f ( x, y)d
mi μ (i ,i ) i .
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(3) 求和. 将这 n 个看成质量均匀分布的小块的 质量相加得到整个平面薄片质量的近似值，即
n
n
m mi (i ,i ) i .
i 1
i 1
(4) 取极限. 当 n 个子域的最大直径 0 时，
上述和式的极限就是所求薄片的质量，即
i 1
直径中的最大值 趋于零时，此和式的极限存在，则
称此极限为函数 f (x, y)在闭区域 D 上的二重积分，
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记为 f ( x, y)d , 即
D
n
D
f ( x, y)d lim 0 i 1
f (i ,i ) i .
这时，称 f (x, y)在 D 上可积， 其中 f (x, y)称为被积
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解 (1) 分割. 将薄片(即区域 D)任意分成 n
个子域 1 , 2 , ···, n ，并以 i ( i = 1,2,···,n)
表示第 i 个子域的面积 .
(2)近似．由于(x , y) 在 D 上连续，因此当 i
的直径很小时，这个子域上的面密度的变化也很小，
即其质量可近似看成是均匀分布的. 于是在 i 上任 取一点 (i , i )，第 i 块薄片的质量的近似值为
以 D 的边界曲线为准线、母
线平行于 z 轴的柱面，顶是由
二元非负连续函数 z = f (x, y)
O
y
所表示的曲面. 这个立体称为
D
D 上的曲顶柱体.
x
试求该曲顶柱体的体积 .
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解 (1) 分割. 将区域 D 任意分成 n 个小区域，
称为子域：1, 2 , ···, n , 并以 i (i = 1,
D
D
D
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性质 3 如果区域 D 被分成两个子区域 D1 与 D2， 则在 D 上的二重积分 等于各子区域 D1、D2 上的二重 积分之和，即
f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d .
D
D1
D2
这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性 .
性质4
，则
二、二重积分的性质
性质 1 被积函数中的常数因子 可以提到二重积 分号的外面， 即
kf (x, y)d k f (x, y)d (k为常数).
D
D
性质 2 函数的和(或差)的二重积分 等于各个函
数的二重积分的和(或差)， 即
[ f (x, y) g (x, y)] d f (x, y) d g (x, y) d .
n
m
lim
0 i1
( i
,i
) i
.
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2. 二重积分的定义 定义 设二元函数 z = f (x, y)定义在有界闭区域
D 上.将区域 D 任意分成 n 个子域 i (i = 1, 2, ···, n),
并以 i 表示第 i 个子域的面积. 在 i 上任取一点 n
(i ,i )，作和 f ( i ,i ) i . 如果当各个子域的
2, ···, n)表示第 i 个子域的面然积后，对每个子域作以它的 边界曲线为准线、母线平行 z 轴的柱面. 这些柱面就 把原来的曲顶柱体分成 n 个小曲顶柱体.
曲顶柱体的体积
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(2) 近似. 在每个小曲顶柱体的底 i 上任取一 点 (i , i) (i = 1, 2, ···, n)，用以 f (i , i) 为高、i 为 底的平顶柱体的体积 f (i , i) i ， 近似替代第 i 个