高三数学数列复习题1

第三章第一讲

时间：60分钟 满分：100分

一、选择题(8×5＝40分)

1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于

( )

A ．4

B ．2

C ．1

D ．－2

答案：A

解析：当n ＝1时，a 1＝2(a 1－1)，a 1＝2；

当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 2－2，a 2＝a 1＋2＝4.

2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于

( )

A ．－165

B ．－33

C ．－30

D ．－21

答案：C

解析：方法一：赋值法：令q ＝2，则a p ＋2＝a p ＋a 2，a 2＝－6，故数列{a n }的所有偶数项、所有奇数项分别成等差数列．

∴a 10＝a 2＋4×(－6)＝－30，故选C.

方法二：a 10＝a 8＋2＝a 8＋a 2＝a 6＋2＋a 2＝a 6＋2a 2＝…＝5a 2＝－30.

3．数列53，108，17a ＋b ，a －b 24，…中，有序实数对(a ，b )可以是 ( )

A ．(21，－5)

B ．(16，－1)

C ．(－412，112)

D ．(412，－112)

答案：D

解析：由数列中的项可观察规律，5－3＝10－8＝17－(a ＋b )＝(a －b )－24＝2， ⎩⎨⎧ a ＋b ＝15，a －b ＝26，解得a ＝412，b ＝－112，故选D.

4．(·山东日照2月模拟)已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，

41，…，则5

6是此数列中的

( )

A ．第48项

B ．第49项

C ．第50项

D ．第51项

答案：C 解析：将数列分为第1组1个，第2组2个，…，第n 组n 个，(11)，(12，21)，(13，22，31)，…，(1n ，2n －1

，…，n 1)，则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1，则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3

＋…＋9)＋5＝50.

5．(·山东聊城三模)已知a n ＝n －2007n －2008

(n ∈N *)，则在数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别是

( )

A ．a 1，a 50

B ．a 1，a 44

C ．a 45，a 50

D ．a 44，a 45 答案：D

解析：a n ＝

n －2007n －2008＝n －2008＋2008－2007n －2008＝1＋

2008－2007n －2008

， ∵2008－2007为一定值，要使a n 最大，则需n －2008最小且n －2008>0，则n ＝45；

同理当n －2008<0时，则n ＝44时为最小值．

6．(·北京石景山)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 3＋a 6的值为 ( )

A ．91

B ．152

C ．218

D ．279

答案：B

解析：a 5＋a 6＝S 6－S 4＝63－43＝152.

7．(·江西景德镇)如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n a n －1a n －1－a n

＝a n a n ＋1a n －a n ＋1

，则a ＝ (

)

A.12009

B.22009

C.20092 D ．1005

答案：B

解析：由a n a n －1a n －1－a n ＝a n a n ＋1

a n －a n ＋1可得，2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1

，数列{1a n }(n ＝2,3,4，…)为等差数列，首项为12，公差为12，

∴1a 2009

＝12＋×12＝20092， ∴a ＝22009.

8．(·湖北，10)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：

他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是

( ) A ．289 B ．1024 C ．1225 D ．1378

答案：C

解析：根据图形的规律可知第n 个三角形数为a n ＝n (n ＋1)2，第n

个正方形数为b n ＝n 2，因此可排除D(1378不是平方数)．将A 、B 、C 选项代入到三角形数表达式中检验可知，符合题意的是C 选项，故选C.

二、填空题(4×5＝20分)

9．(·北京海淀期末统考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，其中n ＝1,2,3，…，那么a 5＝________.

答案：9

解析：∵S n ＝n 2－1，

∴n ＝5时，a 5＝S 5－S 4＝52－1－42＋1＝9.

10．已知数列{a n }中，a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2n －1，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.

答案：n 2－2n ＋21

解析：∵a n ＋1－a n ＝2n －1，

∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…

a n －a n －1＝2n －3(n ≥2)．

∴a n －a 1＝1＋3＋…＋(2n －3)．

∴a n ＝20＋(2n －2)(n －1)2

＝n 2－2n ＋21. 当n ＝1时，a 1＝20＝12－2×1＋21，

∴a n ＝n 2－2n ＋21.

11．图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运吉祥物“福建迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含f (n )个“福建迎迎”，则f (5)＝__________；f (n )－f (n －

1)＝________.(答案用数字或n 的解析式表示)

答案：41 4n －4 解析：由图易知f (1)＝1，f (2)＝2(1＋3)－3，f (3)＝2×(1＋3＋5)－5，f (4)＝2(1＋3＋5＋7)－7，…，f (n )＝2×[1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)]－(2n －1)，

即f (n )＝2n 2－2n ＋1，

∴f (5)＝2×52－2×5＋1＝41，

f (n )－f (n －1)＝2n 2－2n ＋1－[2(n －1)2－2(n －1)＋1]＝4n －4.

12．(·山东泰安2月模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，当n ≥2时，a 2n －(n ＋2)a n －1·a n ＋2na 2n －1＝0，

则a n ＝________.(写出你认为正确的一个答案即可)

答案：2n －1

解析：a 2n －(n ＋2)a n －1·a n ＋2na 2n －1＝0，