计量经济学计算分析题

4.（2000.10；2008.10） 现有X 和Y的样本观测值如下表：
X Y 2 4 5 7 10 4 4 5 10 9
假设Y 对X 的回归模型为Yi = α + β X i + ui，且 Var (ui ) = σ 2 X i2，试用适当的方法估计此回归 模型。
解：用加权最小二乘法。
在模型Yi = α + β X i + ui 两端同除以X i 得
1 Q Y = ∑ Yi = 30 n
1 X = ∑ Xi = 5 n
ˆ ˆ ∴ β 0 = Y − β1 X = 30 − 10 = 20 ∴ 样本回归直线为：ˆi = 20 + 2X i Y
(2)
r2 =
ˆ β12 ∑ ( X i − X )2
∑ (Y − Y )
i
2
=
ˆ β12 (∑ X i2 − nX 2 )
ˆ * = Y * − β X * = 9.08 − 1.44 × 2.74 ˆ β0 1 = 5.13
6.（07.10） 根据我国1978——2000年的财政收入Y与国内生 产总值X的统计资料，可建立如下的计量经济模 型：
Y = 556.6477 + 0.1196 X (2.5199) (22.7229) ˆ R 2 = 0.9609, F = 516.3338, DW = 0.3474, σ = 731.2086
ˆ α* = n∑ X i*Yi* − ∑ X i* ∑ Yi * n ∑ ( X ) − (∑ X )
* 2 i * 2 i
下面列表计算：
样本 1 2 3 4 5
Xi
Yi
X
* i
Yi
*
X Y
* * i i
( X i* ) 2
2 5 10 4 10
4 7 4 5 9
0.5 0.2 0.1 0.25 0.1 1.15
Y1* = Y1 1 − ρ 2 = 6.4, X 1* = X 1 1 − ρ 2 = 2
列表计算如下： t 1 2 3 4 5
Yt
Xt
Yt
*
X
* t
X Y
* * t t
( X t* ) 2
8 12 15 20 25
2.5 4 3 6 8
∑
6.4 7.2 7.8 11 13 45.4
2 2.5 0.6 4.2 4.4 13.7
计算各模型中每个变量的回归系数估计量的t检验值t j = ˆ βj ˆ ˆ Var ( β j ) ，
并与临界值t0.025 (5) = 2.57或t0.025 (6) = 2.45比较可知，除第二个模型 0.015 中解释变量X 3的回归系数估计量的t检验值t3 = = 0.3大大小于 0.05
临界值以外，其余t统计量值均大于或接近于临界值，这 表明X 3对Y的影响不显著，而其余解释变量对Y的影响均 显著，且X 3的系数符号也不合理。因此，X 3不应包含在 模型中，应选择使用模型1。
Xi
Yi
X i2
Yi 2
X iYi
ˆ Yi
ei
ei2
5 11 4 5 3 2 30
31 40 30 34 25 20 180
25 961 155 30 121 1600 440 42 16 900 120 28 25 1156 170 30 9 625 75 26 4 400 40 24 200 5642 1000 180
2. 现有某企业销售收入Y 与广告支出X 的12个月 的观测值（X i , Yi），根据这些观测值计算得到
样本均值：X = 12 Y = 200
2 样本方差：S X = 16 SY2 = 16
相关系数：r = 0.9
试根据这些计算结果估计该企业销售收入 对广告支出的回归直线，并在5%的显著性 水平下，对此线性回归模型进行检验。
）
设模型Yt = β 0 + β1 X t + ut，ut = 0.6ut −1 + vt，其中vt 满足普通最小二乘假定。
设变量的观测值为： t 1 8 2.5 2 12 4 3 15 3 4 20 6 5 25 8
Yt
Xt
试利用广义差分法估计模型的参数。
解：将原模型记为（1）式
Yt = β 0 + β1 X t + ut
1. （01.10；02.10；04.10；06.1；06.10；07.1； 08.1）下表是某公司从1992到1997年的科研支出 X与利润Y的统计资料。 年份 1992 1993 1994 1995 1996 1997 科研支出X 5 11 4 5 3 2 利润Y 31 40 30 34 25 20
12.8 18 4.68 46.2 57.2 138.9
4 6.25 0.36 17.64 19.36 47.61
ˆ β1* =
n∑ X i*Yi* − ∑ X i* ∑ Yi* n∑ ( X ) − (∑ X )
* 2 i * 2 i
5 ×138.9 − 45.4 ×13.7 = 5 × 47.61 − 13.7 2 = 1.44
ˆ Y = 8.133 + 1.059W + 0.452 P + 0.121A (8.92) (0.17) R 2 = 0.95 (0.66) F=107.37 (1.09)
试根据表中数据
（1）用普通最小二乘法利润与科研支出之间的回归直线 ˆ ˆ ˆ Y =β +β X
i 0 1 i
（2）计算判定系数r 2，说明回归方程的拟合优度。
（3）在5%的显著性水平下，对回归方程进行显著性检验。
解：为了计算方便，作计算表
年份 1992 1993 1994 1995 1996 1997 合计
提出假设：H 0 : ρ = 0,
H1 : ρ ≠ 0
计算t统计量：t =
r n−2 1− r
2
0.826 6 − 2 = = 4.4 1 − 0.826
在5%的显著性水平下，查t分布表，得 t0.025 (4) = 2.78，由于 t > t0.025 (4)，故拒绝 原假设H 0，认为科研支出对利润的影响 是显著的，即回归模型是显著的。
2 1.4 0.4 1.25 0.9 5.95
1 0.25 0.28 0.04 0.04 0.01 0.3125 0.0625 0.09 0.01 1.7225 0.3725
∑
ˆ α* =
n∑ X i*Yi * − ∑ X i* ∑ Yi * n∑ ( X ) − (∑ X )
* 2 i * 2 i
1 -1 2 4 -1 -4 0
1 4 4 16 1 16 42
(1)
ˆ = n∑ X iYi − ∑ X i ∑ Yi = 6 ×1000 − 30 ×180 β1 2 2 6 × 200 − 302 n ∑ X i − (∑ X i )
6000 − 5400 = =2 1200 − 900
ˆ ˆ β 0 = Y − β1 X
ˆ 解：（ ）利用r与β1的关系 1
Qr =
2
ˆ2 β
1
∑(X − X ) ∑ (Y − Y )
i 2 i
2
SY2 ˆ ∴ β1 = r =r 2 2 SX ∑ (Xi − X ) 6400 = 0.9 × = 0.9 × 20 = 18 16 ˆ ˆ β = Y − β X = 200 − 16 ×12 = 8
5 ×1.7225 − 1.15 × 5.95 = 5 × 0.3725 − 1.152 = 3.2778
ˆ * = Y * − β X * = 1.19 − 3.2778 × 0.23 ˆ β = 0.4361
ˆ 所以估计的回归模型为：Yi = 3.2778 + 0.4361Xi
5.（2005年1
①回归系数的估计仍是无偏的； ②估计量的方差可能大于也可能小于经典假设之
下估计量的方差，从而使对回归系数的假设检 验失效。
7.（07.1）克莱因与戈德伯格曾用1921——1941 年与1945——1950年（1942——1944年战争期 间略去）美国国内消费Y和工资收入W、非工 资——非农业收入P、农业收入A的时间序列资料， 利用普通最小二乘法估计得出了下列回归方程：
3.现有某地近期10个年份的某种商品销售量Y、居民 可支配收入X 1、该种商品的价格指数X 2、社会拥有量 X 3和其它商品价格指数X 4的资料。根据这些资料估计 得出了两个样本回归模型为：
ˆ 模型1：Y = −12.76 + 0.104 X 1 − 0.188 X 2 + 0.319 X 4 R 2 = 0.997 (6.52)
Yi ui 1 =α +β + Xi Xi Xi
令 Yi 1 * ui * Yi = , Xi = , ui = Xi Xi Xi
*
则模型可变为
Yi* = α X i* + β + ui*
此时模型中随机误差项ui*的方差为
1 Var (u ) = 2 Var (ui ) = σ 2 Xi
* i
变换之后的模型随机误差项是同方差的，从而 可以对变换之后的模型用OLS法估计参数。
（括号中数字为相应的t 统计量值）
试分析： （1）该模型是否存在一阶序列相关，为什么？ （2）序列相关对计算计量经济模型的估计会产 生哪些影响？
（临界值d L = 1.24，dU = 1.43）
解：（ ）因为DW = 0.3474 < d L = 1.24，所以模型存在 1 一阶正的序列相关。
（2）当线性回归模型中随机误差项存在一阶自 相关时，将会产生以下影响：
0 1
(Yi − Y ) 2 ∑