计量经济学计算分析题

ˆ * = Y * − β X * = 9.08 − 1.44 × 2.74 ˆ β0 1 = 5.13
6.（07.10） 根据我国1978——2000年的财政收入Y与国内生 产总值X的统计资料，可建立如下的计量经济模 型：
Y = 556.6477 + 0.1196 X (2.5199) (22.7229) ˆ R 2 = 0.9609, F = 516.3338, DW = 0.3474, σ = 731.2086
令
Yt* = Yt − ρYt −1 * X t = X t − ρ X t −1 A = β (1 − ρ ) 0
则（3）式可表示为：
Yt* = A + β1 X t* + vt
变换后的模型的随机误差项满足基本假定，所以 可以对变换后的模型用OLS估计参数。 差分之后样本容量会减少1个，为了不损失样本观 测信息，可将t=1时的样本观测值定义为：
R 2 /(k − 1) 解：由R 2和F 统计量的关系式F = ，可计算出 2 (1 − R ) /(n − k ) 两个模型的总体显著性检验F 统计量值分别为F1 = 664.67 > F0.05 (3, 6) = 4.76和F2 = 623.75 > F0.05 (4,5) = 5.19，所以两模型 总体上都显著。
（括号中数字为相应的t 统计量值）
试分析： （1）该模型是否存在一阶序列相关，为什么？ （2）序列相关对计算计量经济模型的估计会产 生哪些影响？
（临界值d L = 1.24，dU = 1.43）
解：（ ）因为DW = 0.3474 < d L = 1.24，所以模型存在 1 一阶正的序列相关。
（2）当线性回归模型中随机误差项存在一阶自 相关时，将会产生以下影响：
2. 现有某企业销售收入Y 与广告支出X 的12个月 的观测值（X i , Yi），根据这些观测值计算得到
样本均值：X = 12 Y = 200
2 样本方差：S X = 16 SY2 = 16
相关系数：r = 0.9
试根据这些计算结果估计该企业销售收入 对广告支出的回归直线，并在5%的显著性 水平下，对此线性回归模型进行检验。
1 -1 2 4 -1 -4 0
1 4 4 16 1 16 42
(1)
ˆ = n∑ X iYi − ∑ X i ∑ Yi = 6 ×1000 − 30 ×180 β1 2 2 6 × 200 − 302 n ∑ X i − (∑ X i )
6000 − 5400 = =2 1200 − 900
ˆ ˆ β 0 = Y − β1 X
ˆ 解：（ ）利用r与β1的关系 1
Qr =
2
ˆ2 β
1
∑(X − X ) ∑ (Y − Y )
i 2 i
2
SY2 ˆ ∴ β1 = r =r 2 2 SX ∑ (Xi − X ) 6400 = 0.9 × = 0.9 × 20 = 18 16 ˆ ˆ β = Y − β X = 200 − 16 ×12 = 8
Xi
Yi
X i2
Yi 2
X iYi
ˆ Yi
ei
ei2
5 11 4 5 3 2 30
31 40 30 34 25 20 180
25 961 155 30 121 1600 440 42 16 900 120 28 25 1156 170 30 9 625 75 26 4 400 40 24 200 5642 1000 180
计算各模型中每个变量的回归系数估计量的t检验值t j = ˆ βj ˆ ˆ Var ( β j ) ，
并与临界值t0.025 (5) = 2.57或t0.025 (6) = 2.45比较可知，除第二个模型 0.015 中解释变量X 3的回归系数估计量的t检验值t3 = = 0.3大大小于 0.05
临界值以外，其余t统计量值均大于或接近于临界值，这 表明X 3对Y的影响不显著，而其余解释变量对Y的影响均 显著，且X 3的系数符号也不合理。因此，X 3不应包含在 模型中，应选择使用模型1。
ˆ σ2
用t检验对β1进行显著性检验：
提出假设：H 0 : β1 = 0,
ˆ β1
H1 : β1 ≠ 0
2 计算t统计量t = = = 4.40 2.1 ˆ ˆ Var ( β1 )
给定显著性水平α = 0.05，查t分布表，得临界值 t0.025 (4) = 2.78
故认为科研支出对利润的影响是显著的。
ˆ Y = 8.133 + 1.059W + 0.452 P + 0.121A (8.92) (0.17) R 2 = 0.95 (0.66) F=107.37 (1.09)
(7.5)
(0.01)
(0.03)
(0.07)
(0.09)
(0.12)
(0.15)
ˆ 模型2：Y = −13.53 + 0.097 X 1 − 0.199 X 2 + 0.015 X 3 + 0.34 X 4 R 2 = 0.998 (0.05)
模型式下括号中的数字为相应回归系数估计量的标准误。 又由t分布表和F 分布表得知：t0.025 (5) = 2.57，t0.025 (6) = 2.45； F0.05 (3, 6) = 4.76, F0.05 (4,5) = 5.19，试根据上述资料，对所给 出的两个模型进行检验，并选择一个合适的模型。
0 1
(Yi − Y ) 2 ∑
ˆ 样本回归方程为：Yi = 8 + 16X i
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（2）提出假设：H 0 : ρ = 0,
计算t统计量：t = r n−2 1− r
2
H1 : ρ ≠ 0
0.9 12 − 2 1 − 0.9
2
=
= 6.53
在5%的显著性水平下，查t分布表，得 t0.025 (10) = 2.23，由于 t > t0.025 (10)，故拒绝 原假设H 0，认为所建立的模型是合适的。
）
设模型Yt = β 0 + β1 X t + ut，ut = 0.6ut −1 + vt，其中vt 满足普通最小二乘假定。
设变量的观测值为： t 1 8 2.5 2 12 4 3 15 3 4 20 6 5 25 8
Yt
Xt
试利用广义差分法估计模型的参数。
解：将原模型记为（1）式
Yt = β 0 + β1 X t + ut
12.8 18 4.68 46.2 57.2 138.9
4 6.25 0.36 17.64 19.36 47.61
ˆ β1* =
n∑ X i*Yi* − ∑ X i* ∑ Yi* n∑ ( X ) − (∑ X )
* 2 i * 2 i
5 ×138.9 − 45.4 ×13.7 = 5 × 47.61 − 13.7 2 = 1.44
1 Q Y = ∑ Yi = 30 n
1 X = ∑ Xi = 5 n
ˆ ˆ ∴ β 0 = Y − β1 X = 30 − 10 = 20 ∴ 样本回归直线为：ˆi = 20 + 2X i Y
(2)
r2 =
ˆ β12 ∑ ( X i − X )2
∑ (Y − Y )
i
2
=
ˆ β12 (∑ X i2 − nX 2 )
（1）
将原模型滞后一期得：Yt −1 = β 0 + β1 X t −1 + ut −1
在上式两端同乘以ρ 得
ρYt −1 = ρβ 0 + ρβ1 X t −1 + ρ ut −1
（1）式减去（2）式得：
（2）
Yt − ρYt −1 = β 0 (1 − ρ ) + β1 ( X t − ρ X t −1 ) + (ut − ρ ut −1 ) （3）
提出假设：H 0 : ρ = 0,
H1 : ρ ≠ 0
计算t统计量：t =
r n−2 1− r
2
0.826 6 − 2 = = 4.4 1 − 0.826
在5%的显著性水平下，查t分布表，得 t0.025 (4) = 2.78，由于 t > t0.025 (4)，故拒绝 原假设H 0，认为科研支出对利润的影响 是显著的，即回归模型是显著的。
4.（2000.10；2008.10） 现有X 和Y的样本观测值如下表：
X Y 2 4 5 7 10 4 4 5 10 9
假设Y 对X 的回归模型为Yi = α + β X i + ui，且 Var (ui ) = σ 2 X i2，试用适当的方法估计此回归 模型。
解：用加权最小二乘法。
在模型Yi = α + β X i + ui 两端同除以X i 得
5 ×1.7225 − 1.15 × 5.95 = 5 × 0.3725 − 1.152 = 3.2778
ˆ * = Y * − β X * = 1.19 − 3.2778 × 0.23 ˆ β = 0.4361
ˆ 所以估计的回归模型为：Yi = 3.2778 + 0.4361Xi
5.（2005年1
∑Y
2
i
− nY
2
22 × (200 − 6 × 52 ) 4 × 50 = = 0.826 = 2 5642 − 6 × 30 242
说明回归直线的拟合优度比较好。
42 ˆ (3) S = σ = = = 10.5 n−2 4
2 2
ei2 ∑
ˆ ˆ Var ( β1 ) =
10.5 = = 2.1 2 ∑ ( X i − X ) 50
1. （01.10；02.10；04.10；06.1；06.10；07.1； 08.1）下表是某公司从1992到1997年的科研支出 X与利润Y的统计资料。 年份 1992 1993 1994 1995 1996 1997 科研支出X 5 11 4 5 3 2 利润Y 31 40 30 34 25 20
①回归系数的估计仍是无偏的； ②估计量的方差可能大于也可能小于经典假设之
下估计量的方差，从而使对回归系数的假设检 验失效。
7.（07.1）克莱因与戈德伯格曾用1921——1941 年与1945——1950年（1942——1944年战争期 间略去）美国国内消费Y和工资收入W、非工 资——非农业收入P、农业收入A的时间序列资料， 利用普通最小二乘法估计得出了下列回归方程：
Y1* = Y1 1 − ρ 2 = 6.4, X 1* = X 1 1 − ρ 2 = 2
列表计算如下： t 1 2 3 4 5
Yt
Xt
Yt
*
X
* t
X Y
* * t t
( X t* ) 2
8 12 15 20 25
2.5 4 3 6 8
∑
6.4 7.2 7.8 11 13 45.4
2 2.5 0.6 4.2 4.4 13.7
试根据表中数据
（1）用普通最小二乘法利润与科研支出之间的回归直线 ˆ ˆ ˆ Y =β +β X
i 0 1 i
（2）计算判定系数r 2，说明回归方程的拟合优度。
（3）在5%的显著性水平下，对回归方程进行显著性检验。
解：为了计算方便，作计算表
年份 1992 1993 1994 1995 1996 1997 合计
ˆ α* = n∑ X i*Yi* − ∑ X i* ∑ Yi * n ∑ ( X ) − (∑ X )
* 2 i * 2 i
下面列表计算：
样本 1 2 3 4 5
Xi
Yi
X
* i
Yi
*
X Y
* * i i
( X i* ) 2
2 5 10 4 10
4 7 4 5 9
0.5 0.2 0.1 0.25 0.1 1.15
2 1.4 0.4 1.25 0.9 5.95
1 0.25 0.28 0.04 0.04 0.01 0.3125 0.0625 0.09 0.01 1.7225 0.3725
∑
ˆ α* =
n∑ X i*Yi * − ∑ X i* ∑ Yi * n∑ ( X ) − (∑ X )
* 2 i * 2 i
3.现有某地近期10个年份的某种商品销售量Y、居民 可支配收入X 1、该种商品的价格指数X 2、社会拥有量 X 3和其它商品价格指数X 4的资料。根据这些资料估计 得出了两个样本回归模型为：
ˆ 模型1：Y = −12.76 + 0.104 X 1 − 0.188 X 2 + 0.319 X 4 R 2 = 0.997 (6.52)
Yi ui 1 =α +β + Xi Xi Xi
令 Yi 1 * ui * Yi = , Xi = , ui = Xi Xi Xi
*
则模型可变为
Yi* = α X i* + β + ui*
此时模型中随机误差项ui*的方差为
1 Var (u ) = 2 Var (ui ) = σ 2 Xi
* i
变换之后的模型随机误差项是同方差的，从而 可以对变换之后的模型用OLS法估计参数。