专题五 函数的周期性

专题五 函数的周期性

一、定义

二、结论：

1． 若对f(x)定义域内的任意x ，恒有下列条件之一成立：

①f(x+a)=－f(x) ②f(x+a)=)x (f 1 ③f(x+a)= －)

x (f 1 ④f(x+a)= f(x －a) ⑤f(x+a)=11+－)x (f )x (f ⑥f(x+a)=)x (f )x (f +11－ 则f(x)是周期函数，____________是它的一个周期。

2．若f(x)同时关于直线x=a 与直线x=b 对称（a ＜b ）,则f(x)是周期函数，____________是它的一个周期，若f(x)关于直线x=a 对称同时关于点（b ，0）对称（b ≠a ），则f(x)是周期函数，____________是它的一个周期，若f(x)关于点（a ，0）对称同时关于点（b ，0）对称（b ≠a ），则f(x)是周期函数，____________是它的一个周期。

三、应用

例1．设函数f(x)(x ∈R)是以3为周期的奇函数，且f(1)＞1,f(2)=a ，则（ ） Ａ．a ＞2 Ｂ．a ＜－2 Ｃ．a ＞1 Ｄ．a ＜－1

例2．设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x+2)= －f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=x ，则 f(7.5)等于（ ）

Ａ．0.5 Ｂ．－0.5 Ｃ．1.5 Ｄ．－1.5

例3．已知函数ｆ(x)满足：f(1)=

4

1，4f(x) .f(y)=f(x+y)+f(x －y) (x ，y ∈R)，则f （2014）=________。

例4．在数列{n a }中，1a =2

1，1+n a =1－n a 1，则2014a =________。

例5．设f(x)是定义域在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意1x ，2x ∈［0，2

1］都有f(1x +2x )=f(1x ).f(2x )。 （1） 设f(1)=2,求f(21)、f （4

1）的值。 （2） 证明：函数f(x)是周期函数。

例6．已知函数f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，且f(x)图象关于直线x=1对称，当x ∈[0,1]

时，f(x)=－x 2 1.

(1) 求证：f(x)是周期函数。

(2) 当x ∈[1,2]时，求f(x)的解析式。

(3) 计算f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+ …+f(2014)的值。

四、作业

1．f(x)(x ∈R)是以5为周期的奇函数，且满足f(1)=1,f(2)=2，则f(3)－f(4)=__________。

２．已知定义在Ｒ上的奇函数ｆ(x)满足f(x+2)= －f(x)，则f(6)的值为（ ）

Ａ．－1 Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2

3．已知f(x)是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f(x)=x x －3，则函数y=f(x)的图象在区间[ 0,6 ]上与x 轴的交点个数为（ ）

Ａ．6 Ｂ．7 Ｃ．8 Ｄ．9

4．在数列{n a }中，1a =1，2a =5，2+n a =1+n a －n a （n ∈+N ），则2014a =__________。

5．f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足f(x+2)= f(x)，又当x ∈（0,1）时，f(x)=－x 21，求 )(log f 62

1的值。