2020年浙江高三数学总复习：集合

第一节集合复习目标学法指导1.集合的含义与表示.2.集合间的基本关系.(1)子集、真子集的概念.(2)空集的概念.3.集合的基本运算.(1)并集的含义.(2)交集的含义.(3)全集与补集.能利用集合的关系和运算及Venn图来求有限集合中元素的个数. 1.能根据代表元素、元素性质识别集合.2.求解集合关系、运算问题时,能熟练应用Venn图或数轴,利用数形结合思想解题.3.能熟练地转化集合关系或运算符号表示的函数、方程不等式问题.一、集合的基本概念1.元素的特性(1)确定性;(2)互异性;(3)无序性.2.集合与元素的关系(1)a属于A,记为a∈A;(2)a不属于A,记为a∉A.3.常见集合的符号自然数集正整数集整数集有理数集实数集N N*或N+Z Q R 4.集合的表示方法(1)列举法;(2)描述法;(3)Venn图法.1.概念理解(1)元素特性之确定性的含义:元素a与集合A之间有且只有两种关系,a∈A或a∉A.(2)集合是由元素构成的,元素可以是数、字母、点等,明确集合中的元素是解题的关键.(3)集合的三种表示方法之间可以相互转化.2.与集合知识相关联的结论集合的分类:按集合中元素个数划分,可分为有限集、无限集、空集;按所含元素的属性分类,可分为点集、数集或其他集合.3.与集合应用相关联的结论(知识)(1)集合的运算求解中,对于所求字母的值一定要检验集合中元素的互异性.(2)对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等,分几种情况列出方程组进行求解,或利用和与积相等列方程组求解.二、集合间的基本关系表示文字语言符号表示关系集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素A⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于AA B或B A相等集合A的每一个元素都是集合B的元素,集合B的每一个元素也都是集合A的元素A⊆B且B⊆A⇔A=B空集空集是任何集合的子集⌀⊆A 空集是任何非空集合的真子集⌀⊆B且B≠⌀1.概念理解(1)子集与真子集的区别与联系:集合A的真子集一定是其子集,而A 的子集不一定是其真子集.(2)元素与集合之间的关系是从属关系,集合与集合之间的关系是包含关系.2.与子集知识相关联的结论(1)包含关系具备传递性,即A⊆B,B⊆C,则A⊆C.(2)若有限集A中有n个元素,则A的子集个数为2n,非空子集个数为2n-1,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.3.与子集应用相关联的结论(1)在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.例如:A⊆B,则需考虑A=∅和A≠∅两种可能的情况.(2)判断集合关系的三种方法①一一列举观察;②集合元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用其特征判断集合关系;③数形结合法:利用数轴或Venn图.三、集合的基本运算并集交集补集图形表示意义{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}∁U A={x|x∈U且x∉A}符号表示A∪B A∩B若全集为U,则集合A(A⊆U)的补集为∁U A1.概念理解并集定义中联结词为“或”,不能理解为“和”,否则会与元素的互异性冲突.2.与集合的运算相关的结论(1)A∪∅=A,A∪A=A,A∪B=A⇔B⊆A;(2)A∩∅=∅,A∩A=A,A∩B=B⇔B⊆A;(3)A∪(U A)=U,A∩(U A)= ∅,U(U A)=A;(4)数形结合思想:数轴和Venn图是进行集合运算的有力工具,解题时要先把集合中说明元素特征的各种代数式化简,使之明确,尽可能借助数轴、坐标系或Venn图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解题.1.(2018·浙江卷)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A等于( C )(A)⌀(B){1,3}(C){2,4,5} (D){1,2,3,4,5}解析:因为U={1,2,3,4,5},A={1,3},所以U A={2,4,5}.故选C.2.设全集U是实数集R,M={x|(x+2)(x-2)>0},N={x|-1<x≤5},则图中阴影部分表示的集合是( D )(A){x|-2≤x<-1} (B){x|x<-2或x>5}(C){x|-1<x≤2} (D){x|x<-2或x>-1}解析:从Venn图可知阴影部分是M∪N,又M={x|x<-2或x>2},所以M ∪N={x|x<-2或x>-1}.3.(2018·浙江诸暨期末)已知集合A={x||x-1|≤2},B={x|0<x≤4},则(∁R A)∩B等于( C )(A){x|0<x≤3} (B){x|-3≤x≤4}(C){x|3<x≤4} (D){x|-3<x≤0}解析:A={x|-2≤x-1≤2}={x|-1≤x≤3},或x>3};R A={x|x<-1所以(R A)∩B={x|3<x≤4},故选C.4.定义A-B={x|x∈A且x∉B},若M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},则M-N= .解析:由定义A-B={x|x∈A且x B}可得M-N为M中去掉N的元素, 所以M-N={1,4,5}.答案:{1,4,5}5.已知集合M={1,m},N={n,log2n},若M=N,则(m-n)2 018= . 解析:若n=1,则m=log2 n=log2 1=0,所以(m-n)2 018=1;若log2n=1,即n=2,m=n=2,所以(m-n)2 018=0.答案:0或1考点一集合的基本概念【例1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A={(x,y)|x 2+y 2≤3,x ∈Z,y ∈Z},则A 中元素的个数为( ) (A)9 (B)8 (C)5 (D)4(2)已知a ∈R,若{a,b a,1}={a 2,a+b,0},则a+b= .解析:(1)将满足x 2+y 2≤3的整数x,y 全部列举出来, 即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个.故选A.(2)由集合元素的互异性知a ≠0且a ≠1,所以由20,1b a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩知0,1.b a =⎧⎨=-⎩ 答案:(1)A 答案:(2)-1(1)考查集合元素个数的判断,研究一个集合,首先要看清集合的代表元素,然后再分析元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表示的意义是什么.(2)考查集合内元素的特征,互异性与无序性,对于含有字母的集合求解要分类讨论,并在求出字母的值后,注意检验集合元素是否满足互异性.在整数集Z 中,被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”,记作[k]={5n+k|n ∈Z},k=0,1,2,3,4,给出如下四个结论: (1)2 017∈[2]; (2)-3∈[3];(3)Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];(4)“整数a,b属于同一类”的充要条件是“a-b∈[0]”.其中,正确结论的个数是( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:2 017=5×403+2,故(1)正确;-3=-5+2,故(2)错误;因为整数集中被5除的数可以分成五类,故(3)正确;因a,b属于同一类,所以整数a,b被5除的余数相同,从而a-b被5除的余数为0,反之成立,故(4)正确.故选C.考点二集合的基本关系【例2】 (1)已知集合A={x||x-2|<1},集合B={x|x<m},若A⊆B,则m 的取值范围是( )(A){m|m≥3} (B){m|m≤2}(C){m|m>3} (D){m|m<2}(2)设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若B⊆A,则实数a的取值组成的集合C= .解析:(1)根据题意,|x-2|<1,等价于-1<x-2<1,1<x<3,那么根据数轴法可知,要使得集合A是集合B的子集,则可知m≥3,故选A.(2)因为A={3,5},B⊆A,所以当B=∅时,方程ax-1=0无解,则a=0,此时有B⊆A;当B≠∅时,则a≠0,由ax-1=0,得x=1a ,即1a⎧⎫⎨⎬⎩⎭⊆{3,5},所以1a =3或1a=5,所以a=13或a=15,所以C={0,15,13}.答案:(1)A (2){0,15,13}(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解;(2)已知两集合关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图来直观解决这类问题.设M为非空的数集,M⊆{1,2,3},且M中至少含有一个奇数元素,则这样的集合M共有( A )(A)6个(B)5个(C)4个(D)3个解析:若M中只有一个奇数元素,则M={1},{3},{1,2},{2,3};若M中含有两个奇数元素,则M={1,3},{1,2,3},所以选A.考点三集合的基本运算【例3】 (1)(2018·诸暨高三5月适应性考试)已知集合P={1,2},Q={2,3},全集U={1,2,3},则∁U(P∩Q)等于( )(A){3} (B){2,3} (C){2} (D){1,3}(2)已知集合M,N I,若M∩N=N,则( )(A)∁I M⊇∁I N (B)M⊆∁1N(C)∁I M⊆∁I N (D)M⊇∁I N(3)已知集合A={x|x<a},B={x|1≤x<2},且A∪(∁R B)=R,则实数a的取值范围是( )(A){a|a≤1} (B){a|a<1} (C){a|a≥2} (D){a|a>2}解析:(1)P∩Q={2},U={1,2,3},U(P∩Q)={1,3},故选D.(2)根据条件作出Venn图如图所示.由Venn图得I M I N,故选C.(3)R B={x|x<1或x≥2},若A∪(R B)=R,由数轴可知,a≥2,选C.(1)有关集合的运算要注意以下两点:①要关注集合中的代表元素是什么.②要对集合的化简进行恒等变换,并且特别注意是否含端点.(2)有关集合的运算常有以下技巧:①离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解;②连续型数集的运算,常借助数轴求解;③已知集合的运算结果求集合,借助数轴或Venn图求解;④根据集合运算求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解.1.(2018·宁波镇海中学高三期中考试)若集合M={x|y=lg2xx-},N={x|x<1} ,则M∪N等于( C )(A)(0,1) (B)(0,2) (C)(-∞,2) (D)(0,+∞)解析:集合M={x|y=lg2xx-}={x|0<x<2},N={x|x<1}.M∪N={x|x<2}=(-∞,2),故选C.2.设A,B是非空集合,定义A*B={x|x∈A∪B,且x∉A∩B},已知A={x|0≤x≤3},B={y|y≥1},则A*B= .解析:由题意,A∪B=[0,+∞),A∩B=[1,3],所以A*B=[0,1)∪(3,+∞).答案:[0,1)∪(3,+∞)考点四易错辨析【例4】设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R},若A∩B=B,则实数a的取值范围是.解析:因为A∩B=B,所以B⊆A,分以下三种情况:①当B=A时,0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,得()()()22241410,214,10,a aaa⎧∆=+-->⎪⎪-+=-⎨⎪-=⎪⎩解得a=1;②当B≠∅且B A时,B={0}或B={-4}, 并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,此时B={0}满足题意;③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.综上所述,a ≤-1或a=1.答案:(-∞,-1]∪{1}由A ∩B=B,可知B ⊆A,所以B 可以为∅,解题时易忽视方程无解的情况,造成漏解,此外B 中只有一个元素时,即方程只有一个解时,若代入求参数,忽视Δ=0易导致增解.已知M={(x,y)|32y x --=3},N={(x,y)|ax+2y+a=0},且M ∩N=∅,则a 等于( A )(A)-6或-2 (B)-6(C)2或-6 (D)2解析:M={(x,y)|32y x --=3} ={(x,y)|y=3x-3,x ≠2},N={(x,y)|ax+2y+a=0} ={(x,y)|y=-2a x-2a }, 由M ∩N=∅,所以两直线平行或ax+2y+a=0过(2,3)点,得a 的值为-6或-2,故选A.。