华中师大一附中2017年自主招生考试数学试题(word版附答案)

合集下载

湖北省华中师范大学第一附属中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

华中师大附中2016—2017学年度上学期高二期末检测数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设{}{},x Z A B ∈==奇数偶数，若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则其否定为A. ,2x A x B ∃∈∉B. ,2x A x B ∀∉∉C. ,2x A x B ∃∉∈D. ,2x A x B ∃∈∉2.在华中师大一附中首届数学节的演讲比赛中，七位评委为某参赛教师打出的分数的茎叶图如图所示，去掉最高分和最低分后，这位老师得分的方差为A. 1.14B. 1.6C. 2.56D. 33.对于给定的样本点所建立的模型A 和模型B ，它们的残差平方和分别是212,,a a R 的值分别为12,b b ，下列说法正确的是A. 若12a a <，则12b b <，A 的拟合效果更好B.若12a a <，则12b b <，B 的拟合效果更好C. 若12a a <，则12b b >，A 的拟合效果更好D.若12a a <，则12b b >，B 的拟合效果更好4.圆229x y +=，以()2,1M 为中点的弦所在的直线方程为A. 240x y +-=B. 490x y +-=C. 230x y --=D. 250x y +-=5.如图，程序运行后输出的结果是 A. 16 B. 32 C. 64 D. 1286.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，给出以下命题：①H 是1A BD ∆的垂心;②AH 垂直于平面11CB D ；③AH 的延长线过点1C ；④直线AH 和1BB 所成角的大小为45 ，其中正确的命题个数为A. 1B. 2C. 3D. 47.甲乙丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，若开始时球在甲手中，则经过三次传球后，球传回甲手中的概率为 A. 14 B. 13 C. 38 D.128.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 2π+4π+23π+ D. 43π+9.如果程序框图中输入2,0.5x h =-=，那么输出的各个数的和等于A. 3B. 3.5C. 4D. 4.510.若[]0,5A ∈，则方程22320x ax a ++-=有两个负根的概率为 A. 14 B. 34 C. 13 D. 2311.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为A. 1B.12.已知ABC ∆的边长为,,a b c ，定义它的等腰判别式为{}{}max ,,min ,,D a b b c c a a b b c c a =---+---，则“0D =”是ABC ∆为等腰三角形的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.李明和李华同时到公交站等1路车和2路车回家，若李明的1路车8分钟一班，李华的2路车10分钟一班，则李明先李华上车的概率为 .14.在把()21111化为十进制数的程序框图（见第2页），判断框内应填入的内容为 .15.设()1,0,A B -是圆()22:116F x y -+=上的动点，AB 垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程是 .16.给出以下命题：①若方程220x x m ++=有实根，则2m ≤；②若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线斜率为2ABC ∆中，一定sin cos A B >成立；④秦九韶算法的特点在于把求一个n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值；⑤随机模拟方法的奠基人是蒙特卡罗.其中正确的命题序号为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）某城市100户居民的月平均用水量（单位：吨），按[)[)[)[)[)[)[)[)0.5,1,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,3,3,3.5,3.5,4,4,4.5分组的频率分布直方图如图.（1）求月平均用水量的众数和中位数；（2）在月平均用水量为[)[)[)1.5,2,2,2.5,2.5,3的三组用户中，用分层抽样的方法抽取12户居民参加用水价格听证会，则月平均用水量在[)2,2.5的用户中应抽取多少户？18.（本题满分10分）同时投掷两个骰子，记向上的点数分别为,a b ，设函数()()2 1.f x a b x bx =-++（1）求()f x 为偶函数的概率；（2）求()f x 在1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增的概率.19.（本题满分12分）设()()1,0,2,1,A B C 是抛物线24y x =上的动点.（1）求ABC ∆周长的最小值；（2）若C 位于直线AB 左上方，求ABC ∆面积的最大值.20.（本题满分12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2,,AB M N =分别是1,CC AB 的中点.（1）求证：//CN 平面1AMB ；（2）若二面角1A MB C --的大小为45 ，求三棱柱111ABC A B C -的高.21.（本题满分12分）设命题()()()11:,1212n n p n N a n +*-∀∈-⋅+<+，命题:q 当()()20,,sin cos 2x x a x a a π⎛⎫∃∈--= ⎪⎝⎭. （1）当1a =-时，分别判断命题p 和q 的真假；（2）如果p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数a 的取值范围.22.（本题满分12分）已知圆222:O x y r +=的任意一条切线l 与椭圆22:163x y M +=都有两个不同的交点A,B.（1）求圆O 半径r 的取值范围；（2）是否存在圆O ，满足OA OB ⊥恒成立？若存在，求出圆O 的方程及OA OB ⋅ 的最大值；若不存在，说明理由.。

华中师大一附中2017年自主招生考试数学试题(word版附答案)

华中师大一附中2017年高中招生考试数学试题考试时间：80分钟卷面满分：150分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题(本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)1．实数a，b，c在数轴上对应的点如右图所示，化简代数式√a2−2a＋1＋∣b−c∣－√a2−2ab＋b2的结果为( )A．2b－c－1 B．－1 C．2a－c－1 D．b－c＋12．已知点A，B分别是双曲线y=4x和直线y=－x上任意一点，则AB的最小值为( ) A．2 B．4√2C．4 D．2√23．如图，反比例函数y=kx(k为非零常数)的图象经过二次函数y=ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)的图象的顶点(－12，m) (m>0)则( )A．a=b＋2k B．a=b－2kC．k＜b＜0 D．a＜k＜04．若实数a，b满足a2＋b2=4，则√a(b−4)3＋√ab−3a+2b−6=( )A．－2 B．0 C．2 D．45．已知y=f(x)满足：(1)f(1)=1(f(1)表示x=1时对应的y的值，下同) ；(2)当0<x<1时f(x)>0；(3)对任意实数x，y有f(x＋y)－f(x－y)=2 f(1－x) f(y)，则f(13)=( )A．1 B．12C．√22D．√336．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF=2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH＋CH的最小值为( )A．4√5B．9C．√83D．√85二、填空题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)7．x=b−√b2−4122(b＞21)，则x2－bx＋103=__________．8．已知关于x的方程x−1x−2−xx+1=ax+1x2−x−2无解，则a的值为__________．9．已知√x2−1+√x2+6=7，则√x2−9+√x2−6=__________．10．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若折痕AE=5√5，且tan∠EFC=34，连接DF．则点A到DF的距离为__________．第10题图第11题图11．如图，PA，PB分别切⊙O于点A、点B，AC是⊙O的直径，AC，PB的延长线交于点E，F为AP的中点，AB分别交OP、EF于点T、点S．若BEBP =23，则ATSB=__________．12．定义：使函数y=f(x)的函数值为零的x的值叫函数y=f(x)的幸运点(如：y=x2－2x+1 的幸运点为x=1；y=x2－2x－3的幸运点为x=3，x=－1；y=x＋1的幸运点为x=－1)．设f(x) ={(x+1)2−3(x≤1)1x(x＞1)，若g(x) =f(x)－b恰好有两个幸运点，则实数b的取值范围为__________．三、解答题(本大题共4小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 13．(本小题满分16分)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连接AC交⊙O于点E，连接BC交⊙O于点D，AD、BE交于点F，连接DE．(1)求证：点F在△ABC的AB边的高上；(2)若AB=√2DE，求∠AFB的度数．14．(本小题满分16分)(1)设k，t为常数，解关于x的方程kx2＋(3－3k)x＋2k－6=0…①(2)在(1)的条件下，若方程①只有整数根，且关于y的一元二次方程(k＋3)y2－15y＋t=0…②有两个正整数根y1，y2，则t为何值时，y21+y22有最小值？15．(本小题满分16分)已知ABCD 的对角线AC 、BD 相交于E 点，∠CAD=a ，∠BAC=β． (1)如图1，若a =2β，BD=10，AD=8，求AC 的长；(2)如图2，若a =β=45°，点M 为线段AB 上一动点，连接DM ，将DM 绕D 点逆时针旋转60°得线段DN ，连接BN ．若点M 由A →E 匀速运动，点M 到达E 点后运动停止，在点M 运动的过程中，∠CBN 的度数是否变化？若变化，求其取值范围；若不变，求其值．16．（本小题满分18分）已知抛物线y ＝x 2的图象如图1所示，A （0，a ）（a ＞0），直线l ：y ＝−14，点B 为抛物线上的任意一点且恒满足点B 到A 点距离与点B 到l 的距离相等． (1)求a 的值；(2)如图2，若直线l 1：y ＝kx ＋14交抛物线于E ，D 两点，连接DO 、OE ． ①过点E 作EC ⊥x 轴于点C ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，求tan ∠OEC tan ∠DOF的值；②过点E 作EM ⊥l 于点M ，过点D 作DN ⊥l 于点N ，点G 为MN 的中点，若点G 到DE 的距离为√52，求k 值．ABCDE MA BDCEN 图1图2华中师大一附中2017年高中招生考试数学试题参考答案考试时间：80分钟卷面满分：150分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题(本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)7．08．1，2，49．310．4√511．7412．－3<b ≤0或b =1三、解答题(本大题共4小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 13．（1）∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∠AEB ＝90° ∴AD 、BE 是△ABC 的两条高， ∴F 是△ABC 的AB 边上的高．（2）∵∠CDE ＝∠CAB ，∠C ＝∠C ，∴△CDE ∽△CAB ， ∴CD AC=DE AB=√22=cosC ，∴∠C=45°，∵∠C ＋∠EFD ＝180°，∴∠AFB ＝∠EFD ＝135°． 14．（1）当k ＝0时，x ＝2符合题意；当k ≠0时，则(x －2)(kx ＋3－k )＝0，∴x 1＝2，x 2＝k−3k（2）由（1）得，k ＝0时，x ＝2∴y 1＋y 2＝5，y 1·y 2＝tk+3，∴(y 1，y 2，t )＝(4，1，12)或(3，2，18)或(1，4，12)或(2，3，8) ∴y 21+y 22＝17或13 当k ≠0时，x 1＝2，x 2＝k−3k∴k ＝31−x 2，则k ＋3＝6−3x 21−x 2，y 1＋y 2＝5(1−x 2)2−x 2＝5＋5x 2−2≥2，∴x 2－2＝－5，1，5，∴x 2＝－3，3，7 ∴k ＝34，−32，12，∴y 1＋y 2＝4，10，6当y 1＋y 2＝4时，(y 1，y 2)＝(3，1)或（2，2）或（1，3），y 21+y 22＝8或10 当y 1＋y 2＝6时，y 21+y 22＝(6－y 2)2＋y 22＝2(y 2－3)2＋18≥18 当y 1＋y 2＝10时，y 21+y 22＝(10－y 2)2＋y 22＝2(y 2－5)2＋50≥50∴(y 21+y 22)min ＝8，∴y 1＝y 2＝2，k ＝34，又y 1·y 2＝tk+3，∴t ＝(k ＋3)y 1·y 2＝15 综上，当t ＝15时，y 21+y 22有最小值．15．（1）以B 为圆心，BC 为半径画弧交AC 于C ，F 两点，连接BF ，作BS ⊥AC 于S ∵a =2β，∠BCA ＝∠DAC ＝∠BFC ，∴∠ABF ＝∠BAF ∴BC ＝AD ＝BF ＝AF ＝8∴ES ＝CE －CS ＝12AC －12CF=12AF ＝4∴BS ＝√52−42＝3，∴CS ＝√82−32＝√55，∴CE ＝4＋√55 ∴AC=8+2√55或延长EC 至T ，使CT ＝BC ，连接BT ，做法与上法类似．（2）法1：以AD 为边作等边△AFD ，以DE 为边作等边△DEG （如图所示），连NG ，FG ∵a =β=45°，易证四边形ABCD 为正方形，易证△MDE ≌△NDG ，△ADE ≌△FDG ， ∠FGD ＝∠AED ＝∠NGD ＝90°， ∴F ，N ，G 三点共线∠ABF ＝∠AFB ＝75°，∠DBF ＝30°延长BF 交直线DG 于G ′，∴∠BG ′D ＝90°， ∴BD ＝2DG ′＝2DG ，∴G 与G ′重合，∴B 、F 、N 、G 四点共线，∴∠NBD ＝30°，∠CBN ＝15°不变．法2：作等边△DEG ，连接NG ，易证△MDE ≌△NDG ，∴∠MED ＝∠NGD ＝90°，∠EDG ＝60°，延长GN 交直线BD 于B ′，则DB ′＝2DG ，又∵BD ＝2DG ，∴BD ＝DB ′，∴B 与B ′重合，∴∠DBG ＝30°，∴∠CBN ＝15°． 16．（1）设B(x ，y )，∴y ＝x 2，∴x 2＋(y －a )2＝(y ＋14)2，∴(12－2a )y ＋a 2－116＝0， ∴{12－2a =0a 2－116=0，∴a ＝14，或B 与O 重合，a ＝14，再证BA 与B 到直线l 的距离相等．（2）①作BC ⊥x 轴于C ，DF ⊥x 轴于F ，设ED 的解析式为y ＝kx ＋14，E(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，{y =x 2y ＝kx ＋14，∴x 2－kx －14＝0，∴x 1＋x 2＝k ，x 1·x 2＝－14，∴y 1＝x 21，y 2＝x 22 ∴tan ∠OEC ＝−x 1y 1，tan ∠DOF ＝y 2x 2，∴tan ∠OECtan ∠DOF＝−x 1y 1·y 2x 2＝4（3）∵EA ＝EM ，DN ＝DA ，∴∠EAM ＋∠DAN ＝12（180°－∠AEM ＋180°＋∠ADM ）＝90°，∴∠MAN ＝90°∴GA ＝GM ＝GN ，∴△GME ≌△GAE ，∴∠GAE ＝∠GMA ＝90°，∴GA ⊥DE ，MN ＝∣x 1－x 2∣＝√(x 1−x 2)2−4x 1x 2＝√k 2+1＝2GA ＝√5，∴k ＝±2．。

华中师大一附中2016年自主招生考试数学试题（word版附答案）

华中师大一附中2016年高中招生考试数学试题考试时间：80分钟卷面满分：150分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题 (本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)1.已知方程1x ax =+有一个负根，而且没有正根，则a 的取值范围是( ) A ．1a >- B ．1a ≥C ．1a =D ．1a >2.关于x 的方程21212x x ax x x x +-=+-+-的根为负数，则a 的值为( ) A ．3a ≠-B ．3a ≠C ．1a <-且3a ≠-D ．1a >-且3a ≠3.如图，抛物线21(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,3)A ，且与x 轴有一个交点为(4,0)B ，直线2y mx n =+与抛物线交于A 、B 两点，下列结论： ①20a b +=；②0abc >；③方程23ax bx c ++=有两个相等的实数根； ④抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(1,0)-，⑤当14x <<时，有21y y <．其中正确的是( ) A ．①②③B ．①③④C ．①③⑤D ．②④⑤4.已知,αβ是方程2260x ax a -++=的两实数根，那么22(1)(1)αβ+++的最小值为( ) A ．414-B ．2C ．10D ．325.设S =⋅⋅⋅+，则S 最接近的整数是( ) A ．2015B ．2016C ．2017D ．20186.如图，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，6AB =，⊙A 、⊙B 的半径分别为4和2，P 、E 、F 分别是线段CD 、⊙A 和⊙B 上的动点，则PE PF +的最大值是( ) A．12 B．16C ．18D ．6CBD二、填空题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)．7.如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，随机地向菱形ABCD 内掷一粒米，则米粒落在阴影区域内的概率是 . 8.已知222x y z x y z x y z z y x +--+-++==且0xyz ≠，则()()()x y y z z x xyz+++= . 9.满足 mn + m −n =1的整数对(,)m n 共有对.10.已知22(1)56p q p p q pq ++=⎧⎨+=⎩，则以p 、q 为实数根的一元二次方程为 . 11.函数3max{4,,}y t t t =-+表示对于给定的t 的值，代数式4t -+、t 、3t 的值中最大的数，例如当1t =-时，max{5,1,3}5y =--=，当1t =时，max{3,1,3}3y ==，则当t = 时函数y 的值最小.12.在平面直角坐标系中，同时满足下列两个条件的点的坐标为 . (1)直线23y x =-+通过这样的点；(2)不论m 取何非零实数值，抛物线2(21)3y mx m x m =+--都不通过这样的点. 三、解答题(本大题共4小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 13. (本小题满分16分)对于任意实数k ，方程2222(1)2()40k x k a x k k b +-++++=总有一个根是1. (1)求实数a 、b ； (2)求另一个根的范围.14. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－12x ＋4与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，以AB 为直径作⊙1O ，过B 作⊙1O 的切线交x 轴于点C . (1)求C 点的坐标；(2)设点D 为BC 延长线上一点，CD BC =，P 为线段BC 上的一个动点(异于B 、C )，过P 点作x 轴的平行线交AB 于M ，交DA 的延长线于N ，试判断PM PN +是否为定值，如果是，求出这个值，若不是，说明理由.15. (本小题满分16分)在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BAC D ∠=∠，点E 在边BC (点C 除外)上运动，点F 在边CD 上运动，且AEF ACD ∠=∠.(1)如图1，若AB kBC =(k 为常数)，则AE 与EF 之间是否存在某种确定的数量关系？若存在，请证明，若不存在，请说明理由； (2)如图2，若5AB AC ==，2425sin BAC ∠=，BAC ∠为锐角，设EF 的长度为m ，当E 、F 点运动时，求m 的变化范围.16. (本小题满分16分)已知抛物线2:24C y x x =-+，其顶点为E ，与y 轴交于点D . (1)直线2:(0)l y kx k =>与抛物线C 交于不同两点P 、Q ，并与直线1:28l y x =-+交于点R ，分别过P 、Q 、R 作x 轴的垂线，其垂足依次为1P 、1Q 、1R ，若11111u OP OQ OR +=，求u 的值；(2)若直线31:83l y x =-+与抛物线C 在第一象限交于点B ，交y 轴于点A ，求ABD DBE∠-∠的值； (3)若13(1,)4F 、(0,8)A ，请在抛物线C 上找一点K ，使得KFA ∆的周长最小，并求出周长的最小值.DBB华中师大一附中2016年高中招生考试数学试题参考答案及评分标准考试时间：80分钟卷面满分：150分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题(本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)7．１２8．－1或8(只填对一个只得3分) 9．610．x2－3x＋2=0 (填了x2－2x＋3=0给4分) 11．212．(－3，9)，(1，1)，(3，－3)[(正确答案个数－错误答案个数)×2。

湖北省武汉华中师范大学第一附属中学自主招生考试数学试题-word版含解析知识讲解

华师一附中2015年高中招生考试数学测试题详解考试时间:80分钟卷面满分:150分一.选择题（6分×6=36分）1,如果实数,,a b c 在数轴上的位置如图所示,2222a a b c ac a +-+可以化简为....A a b c B a b cC a b cD a b c--+-----+-【解析】由图知0b c a <<<,()222,2a a a a b a b c ac a c a a c ==-+=-+-+=-=-2222a a b c ac a +-+()()a a b a c a b c =-+++-=+-,选D .2.反比例函数4y x =-的图象与直线y kx b =-+交于()()1,,,1A m B n -两点,则△OAB 的面积为111513..4..222A B C D 【解析】（补形）()4.1,:-4,4;xy A m m m =--=-∴=Q 代入(),1:4B n n =-代入.故有A （－1,4）,B （－4,1）.作AE ⊥y 轴于E ,BD ⊥x 轴于D .可知： △AOE ≌△BOD .且11422AOE BOD S S ∆∆==⨯⨯=. 延长EA ,DB 交于C ,则四边形CDOE 是边长为4的正方形,且2416,CDOE S ==W △ABC 是腰长为3的等腰直角三角形,且219322ABC S ∆=⨯=.于是△OAB 的面积为915162222ABC S ∆=-⨯-= 3.设12,x x 是一元二次方程230x x +-=的两根,则3212415x x -+等于A.－4B.8C.6D.0【解析】（降次）由韦达定理:221212112211.3,3x x x x x x x x +=-⇒=--+=+=Q()()()2322212111111141534115341215x x x x x x x x x ∴-+=----+=--+++()2115344x x =-+--=-,故选A .4.已知,,ABC a b c ∆分别是的三边长,且满足44422222222a b c a c b c ++-+,则△ABC 是A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形注:原题条件不完整（是代数式而不是条件等式）,故无法解出.为试卷完整起见,将原题条件调整为:已知,,ABC a b c ∆分别是的三边长,且满足444222222220a b c a c b c ++--=,则△ABC 是⋯.【解析】由条件得: 4442222442440,a b c a c b c ++--=()()222222222222220,22,a cbcc a b a b a b c -+-=∴===+=即或且.故△ABC 是等腰直角三角形,选B .5.在一节3数学实践活动课上,老师拿出三个边长都为40mm 的正方形硬纸板,他向同学们提出了这样一个问题:若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上,用一个圆形硬纸板将其盖住,这样的圆形硬纸板的最小直径为（单位：mm ）210.2517.100A B C D【解析】当3个正方形按如图排列时,其外接圆直径最小.显然,这个圆是等腰梯形ABCD 的外接圆O ,这里AB ∥CD 且CD =40,AB =80.设此等腰梯形的对称轴交AB 于M ,交CD 于N ,则MN =80. ∵AB >CD ,∴OM <ON .设OM =40－x ,ON =40+x ,圆半径为r . △AOM 中,()()22240401r x =+- △DON 中,()()22220402r x =++（1）－（2）：1512001600,2x x -=∴=,代入（2）29025106256251725400,17.4442r r ⨯=+==∴= 故所求最小圆的直径为2257r =故选C .6.如图,△ABC 内接于圆O ,BC =36,∠A =60°,点D 为»BC 上一动点,BE ⊥直线OD 于E ,当点D 由B 点沿»BC运动到点C 时,点E 经过的路线长为 3.83.273.54A B C D ππ【解析】（轨迹法）如解图,连结OB ,分别在»BC 上取123,,,,,B D D D C 其中2OD BC ⊥,则相应的动点依次为123,,,,.B E E E N12390BE O BE O BE O BNO ∠=∠=∠=∠=︒Q .故点E 的轨迹是OB为直径的优弧¼2BE N . 已知BC =36,∴2218.BE BOE =∆是含30°角的直角三角形,∴123OB =.设M 为OB 的中点（优弧圆心）,连MN .则圆M 的半径MB =63注意到∠BOC =120°,∴∠BON =60°,∠BMN =120°, 优弧¼2BE N 之长为圆M 周长的¼222,26383.33BE Nl ππ∴=⨯⋅=,故选B . 二.填空题（7×7=49分）7.方程()31641x x x +=+的所有根的和为【解析1】3244160x x x --+=.根据广义韦达定理,此方程3根之和为4. 即123,1,4b x x x a b a ⎛⎫++=-==- ⎪⎝⎭这里【解析2】由原方程得:()()()124220,4,2,x x x x x -+-=∴==-31232.4x x x x =++=.8.在5瓶饮料中,有2瓶已过了保质期,随机地从这5瓶饮料中取2瓶,取到至少有1瓶过保质期饮料的概率为【解析】（正繁则反）由于从这5瓶饮料中任取2瓶,没有过期饮料的概率为3,5故取2瓶,取到至少有1瓶过保质期饮料的概率为32155-= 9.关于x 的方程211aa x =--无解,则a 的值是【解析】由原方程得:()()()2111a a x =--关于x 的方程（1）只有唯一解1x =,代入（1）得0a =,此时原方程无解; 又在方程（1）中令1,a =得0a =.矛盾.此时方程（1）无解,从而原方程无解. 故若原方程无解,则必01a =或.10.一辆快车从甲地开往乙地,一辆慢车从乙地开往甲地,两车同时出发,分别以各自的速度在甲乙两地间匀速行驶,1小时后,快车司机发现有重要文件遗忘在出发地,便立即返回拿上文件（取文件时间不计）后再从甲地开往乙地,结果快车先到达乙地.慢车继续行驶到甲地.设慢车行驶速度为x （h ）,两车之间的距离为y （km ）,y 与x 的函数图象如图所示,则a =【解析】慢车12.5小时走完全程,()12.5100080x x km =⇒=设快车速度为t （h ） ∵1小时后两车相距800km ,即 1小时两车共行200km ,∴t =120km （h ）∵a 小时后两车相遇,此时慢车走80akm ,快车走120（a －1）km ,故有:()()80120110002001120, 5.6a a a a h +-=⇒=∴=11.已知24,13,234a x y x ax ≥≤≤=-+当时函数的最小值为－23,则a =【解析】原式配方得:2392448y x a a ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,抛物线开口向上且对称轴为34x a =.当34,34a a ≥≥时,故当13x ≤≤时,y 随x 增大而减小.故当x =3时有:22333423945, 5.a a a ⨯-⋅+=-⇒=∴=12.如图,在单位为1的正方形的网格纸上,123345567A A A ,A A A ,A A A ,,∆∆∆L 都是斜边在x 轴上,且斜边长分别为2,4,6,⋯的等腰直角三角形.若123A A A ∆的顶点分别为()()()123A 2,0,A 1,-1,A 0,0,则依图中的规律,2015A 的坐标为【解析】注意到点13521,,,,n A A A A +L 全在x 轴上,设其横坐标依次为1352015,,,,x x x x L ..继续分析.点41A n +都在原点右边,其横坐标取正值,点41A n -都在原点左边（其中3A 为原点）,其横坐标取0或负值（其中仅3A 横坐标为0）.∵2015=4×504－1,故2015A 必在原点左边,其横坐标必为负值.易求()()34117421114310,021,0224,x x x x x x ⨯-⨯-⨯-====+-⨯==+-⨯=-L()201545041025031006x x ⨯-==+-⨯=-,故所求点A 的坐标为:()20151006,0A -.13.有一张矩形风景画,长为90cm ,宽为60cm ,现对该风景画进行装裱,得到一个新的矩形,要求其长,宽之比与原风景画的长,宽之比相同,且面积比原风景画的面积大44%.若装裱后的上,下边衬的宽都为a cm ,左,右边衬都为b cm ,那么ab =【解析】依题意有:9029032360260222a ab b +==⇒=+（据等比定理）故()231a b=又:()()1449026029060100a b ++=⨯⨯()120180454442a b ab ⇒++=⨯（1）代入（2）：2260318065444603960.b b b b b ⋅++=⨯⇒+-=解得：()666b b ==-或舍,从而9,54a ab =∴=.三.解答题14.（14分）已知m ,n 是方程2310x x ++=的两根, （1）求162102553m m m m m-⎛⎫+-⋅- ⎪--⎝⎭的值; （233m n n m的值【解析】（1）∵2310,m m ++=故()()()()551625162102255353m m m m m m m m m m m +-+--⎛⎫+-⋅-=⋅- ⎪-----⎝⎭ ()()2229223123203m m m m m m m m-++=--=-+-=-⋅=-. （2）m ,n 是方程2310x x ++=的两根,31m n mn +=-⎧∴⎨=⎩设33m n x n m =则33334422222m n m n m n x m n n m n m mn +=++⋅=+()()()2222222221,2229249mn x m nm n m n mn ⎡⎤=∴=+-+=+-=-=⎣⎦Q7,x ∴=即33m n n m15.（15分）如图,△ABC 中,AC =BC ,I 为△ABC 的内心,O 为BC 上一点,过B ,I 两点的圆O 交BC 于D 点,1tan ,6,3CBI AB ∠== （1）求线段BD 的长; （2）求线段BC 的长【解析】（1）如解图,I 为△ABC 内心,故BI 平分 ∠ABC .设∠ABI =∠CBI =α.连CI ,并延长交AB 于E ,∵CA =CB ,∴CE ⊥AB ,且 AE =BE =3.于是221IE=BE tan 31,31103BI α⋅=⨯==+=连DI ,∵BD 为圆O 的直径,∴∠BID =90°.于是101010tan 10393DI BI BD α=⋅==+=. （2）连OI ,∵OI =OB =53,∴∠DOI =2α,故OI ∥AB , △COI ∽△CBE ,5533,539353OI CO CO COBE CB CO CO =⇒=⇒=++2525515,121234CO BC ∴==+=.16.（18分）如图,四边形ABCD中,AD ∥BC ,∠BCD =90°,AD =6,BC =3,DE ⊥AB 于E ,AC 交DE 于F ,（1）求AE ·AB 的值; （2）若CD =4,求AFFC的值; （3）若CD =6,过A 点作 AM ∥CD ,交CE 的延长线于M , 求MEEC的值. 【解析】（1）如解图1,作AG ∥BC ,交 CB 延长线于G ,则四边形AGCD 为矩形. ∴GC =AD =6,但BC =3,∴GB =3.已知DE ⊥AB 于E ,∴△AGB ∽△DEA . 于是18.AB BGAB AE AD BG AD AE=⇒⋅=⋅= （2）延长AB ,DC 交于H .∵AD ∥BC ,且AD =2BC ,∴BC 为△AHD 的中位线,故 CH =DC =4.由勾股定理知AH =10,AB =BH =5.沿DE ,CB 交于T ,有△AED ∽△BTE .Rt △ADH 中,DE ⊥AH ,23618,105AD AE AH ∴=== 187555BE AB AE =-=-=.于是 775,186185BT BE BT AD AE =⇒==7716,3333BT CT ∴==+=由△AFD ∽△CFT ,知69168AF AD FC CT ===. （3）如解图3有35,AB BH ==6565555AE EH ==∴== ∵△AEM ∽△HEC ,651.2445ME AE EC EH ∴=== 17.（18分）二次函数242y x mx n =-+的图象与x 轴交于()()()1212,0,,A x B x o x x <两点,与y 轴交于c 点.（1）若AB =2,且抛物线的顶点在直线y =－x －2上,试确定m ,n 的值;（2）在（1）中,若点P 为直线BC 下方抛物线上一点,当△PBC 的面积最大时,求P 点坐标;（3）是否存在整数m ,n ,使得1212,12,x x <<<<同时成立?请证明你的结论. 【解析】（1）()2212121AB=2244x x x x x x ⇒-=⇒+-=.由韦达定理:121224m x x n x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故有:()2414m n -=抛物线的顶点为24,44m n m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,代入y =－x －2:()2242224444n m m m mn -=--⇒=--代入（1）： 20,8,4mm -=∴=从而12n =. （2）在（1）的条件下,有：241612y x x =-+此抛物线的顶点为（2,－4）,交x 轴于A （1,0）,B （3,0）,交y 轴于C (0,12）易求直线BC 的解析式为412y x =-+.为使△PBC 面积最大,只需点P 与直线BC 距离最远.设过P 且平行于BC 的直线解析式为4y x b =-+,代入抛物线解析式;22416124412120.x x x b x x b -+=-+⇒-+-=()14416120912,3b b b ∆=--=⇒=-∴=令.此时有33,43 3.22x y ==-⨯+=-即所求点的坐标为3,32P ⎛⎫-⎪⎝⎭. （3）（反证法）假如存在这样的整数m ,n ,使得方程2420x mx n -+=之2根满足121,2x x <<.那么:()122<<4,4<8,,5,6,7;12mx x m m m +=∴<∴=为整数()121<<4,416,,5,6,7,,15;24nx x n n n =∴<<∴=L 为整数()224160,34m m n n ∆=->∴<方程之2根为:x ==由()221481642444m m m m m n n m >⇒->-+>-⇒>-由()2228464164165m m n m m n m <⇒<-⇒-<-+⇒>-当m =5时,2m －4=6>4m －16=4,根据（3）,（4）,取2m －4<24m n <,即1664n <<,无整数解,舍去;当m =6时, 2m －4=8=4m －16, 根据（3）,（4）,取2m －4<24m n <,即89,n <<无整数解,舍去;当m =7时, 2m －4=10<4m －16=12. 根据（5）,（4）,取2416,4m m n -<<即112124n <<无整数解,舍去.据上分析,不存在整数m ,n ,使得1212,12,x x <<<<同时成立.。

华师一附中2020年自主招生(分配生)数学试题(word版附答案)

华中师大一附中2020年自主招生(分配生)数学试题考试时间：90分钟卷面满分：100分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效，其中，将所有选择题答案用2B铅笔也相应位置涂黑。

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1．在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2﹣a﹣2＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；④|a|＜1﹣bc．其中正确的结论有（）个A．4 B．3 C．2 D．12．已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（）A．2B．24 C．2D．123．5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：根据该统计图，下列说法错误的是（）A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量4．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2 B．0≤m≤C．﹣2≤m≤﹣D．m≤﹣5．如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为（）A．3B．C．D．第5题图第6题图6．如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（）A．24 B．20 C．12 D．10二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7．2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为________．8．在△ABC中，AB＝AC，若cosA＝，则＝________．9．如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度是________．(结果用m，n表示)10．如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边三角形BDG，若四边形BCDG(图中阴影部分)的面积为6，则五边形ABDEF的面积为________．第10题图第11题图第12题图11．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，点E、F分别是边AB、BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B′始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为________．12．如图，点A 是反比例函数y =kx 的图象上位于第一象限的点，点B 在x 轴的正半轴上，过点B 作BC ⊥x 轴，与线段OA 的延长线交于点C ，与反比例函数的图象交于点D ，若直线AD 垂直OC ，且使得AC=2OA ，则sinC ＝________．三、解答题(本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程) 13．(本小题满分12分)(1)已知关于x 的方程x 2﹣(2k ﹣1)x+k 2＝0有两个实根x 1，x 2，且满足x 1x 2﹣|x 1|﹣|x 2|＝2，求实数k 的值；（2）已知a ＜b ＜0，且+＝6，求()3的值．14.(本小题满分14分)如图，在ABC ∆中，BA BC =，90ABC ∠=︒，以AB 为直径的半圆O 交AC 于点D ，点E 是弧BD 上不与点B ，D 重合的任意一点，连接AE 交BD 于点F ，连接BE 并延长交AC 于点G ．（1）求证：ADF BDG ∆≅∆；（2）取弧AE 的中点H ，若四边形OBEH 为菱形，求EAB ∠的大小；（3）若4AB =，且点E 是弧BD 上靠近点B 的一个三等分点，求线段DG 的长．15．(本小题满分12分)习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：类型占地面积可供使用幢数造价(万元)A 15 18 1.5B 20 30 2.1(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：y＝，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？(精确到0.1)16．(本小题满分14分)如图①，已知抛物线y＝ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A坐标为(﹣1，0)，点C坐标为(0，)，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．(1)求a，c的值；(2)求线段DE的长度；(3)如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？华中师大一附中2020年自主招生(分配生)数学试题参考答案与试题解析一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的)1．解：根据题意得：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，则①a2﹣a﹣2＝(a﹣2)(a+1)＞0；②∵|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣a+b﹣b+c＝﹣a+c，|a﹣c|＝﹣a+c，∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0，∴(a+b)(b+c)(c+a)＞0；④∵|a|＞1，1﹣bc＜1，∴|a|＞1﹣bc；故正确的结论有②③，一共2个．故选：C．2．解：∵点P(﹣1，)在“勾股一次函数”y＝x+的图象上，∴＝﹣+的一次函数，即a﹣b＝﹣c，又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条变长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4，∴ab＝4，即ab＝8，又∵a2+b2＝c2，∴(a﹣b)2+2ab＝c2，∴(﹣c)2+2×8＝c2，解得c＝2，故选：A．3．解：对于A，由柱状图可得5月份出货量最高，故A正确；对于B，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B正确；对于C，根据曲线上数据可得仅仅4月5月比同比高，其余各月均低于2018，且明显总出货量低于2018年，故C正确；对于D，可计算得2018年12月出货量为：3044.4÷(1﹣14.7%)＝3569.05，8月出货量为：3087.5÷(1﹣5.3%)＝3260.3，因为3260.3＜3569.05，故12月更高，故D错误．故选：D．4．解：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，∴m≤﹣；∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，∴当x＝﹣﹣[1﹣(﹣)]＝﹣2时，y＝1，∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；∴﹣2≤m≤﹣．故选：C．5．解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，∴AB ＝＝＝4，∵△AOB 绕顶点O 逆时针旋转到△A ′OB ′处， ∴AO ＝A ′O ＝4，A ′B ′＝AB ＝4， ∵点E 为BO 的中点，∴OE ＝BO ＝×8＝4，∴OE ＝A ′O ＝4，过点O 作OF ⊥A ′B ′于F ， S △A ′OB ′＝×4•OF ＝×4×8，解得OF ＝，在Rt △EOF 中，EF ＝＝＝， ∵OE ＝A ′O ，OF ⊥A ′B ′，∴A ′E ＝2EF ＝2×＝，∴B ′E ＝A ′B ′﹣A ′E ＝4﹣＝；故选：B ．6．解：由图2知：AB+BC ＝10，设AB ＝m ，则BC ＝10﹣m ，如图所示，当点M 在BC 上时，则AB ＝m ，BM ＝x ﹣m ，MC ＝10﹣x ，NC ＝y ， ∵MN ⊥AM ，则∠MAB ＝∠NMC ，tan ∠MAB ＝tan ∠NMC ，即，即，化简得：y ＝﹣x 2+x ﹣10，当x ＝﹣＝时，y ＝﹣(10+m 2)2+·﹣10＝23，解得：m ＝6，则AM ＝6，BC ＝4，故ABCD 的面积＝24，故选：A ．二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 7．解：根据题意画图如下：共有20种等可能的情况数，其中最后确定的主持人是一男一女的有12种，则最后确定的主持人是一男一女的概率为＝．故答案为：．8．解：过B 点作BD ⊥AC 于点D ， ∵cosA ＝，∴，设AD ＝4x ，则AB ＝5x ，∴， ∵AB ＝AC ，∴AC ＝5x ，∴CD ＝5x ﹣4x ＝x ， ∴BC ＝，∴，故答案为：．9．解：由图可得，2个这样的图形(图1)拼出来的图形中，重叠部分的长度为m ﹣n ， ∴用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度＝2020m ﹣2019(m ﹣n)＝m+2019n ，故答案为：m+2019n ． 10．解：如图，连接GC 并延长交BD 于点H ，连接AE ， ∵ABCDEF 正六边形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝AF ，∠F ＝∠FAB ＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEF ＝120°，∴∠CBD ＝∠CDB ＝30° ∵△BDG 是等边三角形，∴BG ＝DG ＝BD ，∠GBD ＝∠GDB ＝60°，又CG ＝CG ，∴△BCG ≌△DCG （SSS ）， ∵∠GBC ＝∠DBC ＝60°﹣30°＝30°，∴△GBC ≌△DBC （SAS ），∴S △BCG ＝S △DCG ＝S △BCD ＝3，∴S △AEF ＝3，设CH ＝x ，则BC ＝CG ＝2x ，BH =√3x ，∴BD ＝2√3x ，∴12CG •BH ＝3，即12×2x ·√3x ＝3，∴√3x 2＝3，∴S 四边形ABDE ＝AB •BD ＝2x •2√3x ＝4√3x 2＝12， ∴五边形ABDEF 的面积为：3+12＝15． 11．解：如图，作AH ⊥CD 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴AB ∥CD ， ∴∠D+∠BAD ＝180°，∴∠D ＝60°， ∵AD ＝AB ＝4，∴AH ＝AD •sin60°=2√3， ∵B ，B ′关于EF 对称，∴BE ＝EB ′，当BE 的值最小时，AE 的值最大，根据垂线段最短可知，当EB ′=AH =2√3时，BE 的值最小， ∴AE 的最大值＝4−2√3，故答案为4−2√3． 12．解：如图，作AE ⊥BC 于点E ，设A （a ，b ），则C （3a ，3b ），∴OB ＝3a ，BC ＝3b ， ∴D （3a ，13b ），∴AE =2a ，CE =2b ，DE =23b ，又∵AD ⊥AC ，∴AE 2=CE ·DE ，∴(2a)2＝2b ·23b ，∴b 2＝3a 2，又∵Rt △BOC 中，OC =√OB 2+BC 2=3√a 2+b 2， ∴sinC =OBOC =3a 3√a 2+3a 2=3a 3×2a =12．故答案为：12．三、解答题(本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程) 13．解：（1）根据题意得△＝(2k ﹣1)2﹣4k 2≥0，解得k ≤；（2）x 1+x 2＝2k ﹣1，x 1x 2＝k 2， ∵k ≤，∴x 1+x 2＝2k ﹣1≤0，而x 1x 2＝k 2≥0，∴x 1≤0，x 2≤0，∵x 1x 2﹣|x 1|﹣|x 2|＝2，∴x 1•x 2+x 1+x 2＝2，即k 2+(2k ﹣1)＝2，整理得k 2+2k ﹣3＝0，解得k 1＝﹣3，k 2＝1，而k ≤，∴k ＝﹣3；（3）∵+＝6，∴a 2+b 2＝6ab ，∴(a+b)2＝8ab ，∴(b ﹣a)2＝(a+b)2﹣4ab ＝4ab ，∴()2＝＝2，∴＝±， ∵a ＜b ＜0，∴a+b ＜0，b ﹣a ＞0，∴＜0，∴＝﹣，∴()3＝﹣2．答：()3的值为﹣2．14．解：（1）证明：如图1，BA BC =，90ABC ∠=︒，45BAC ∴∠=︒ ∵AB 是⊙O 的直径，90ADB AEB ∴∠=∠=︒，90ADF BDG ∴∠=∠=︒， 90DAF BGD DBG BGD ∴∠+∠=∠+∠=︒，DAF DBG ∴∠=∠，90ABD BAC ∠+∠=︒，45ABD BAC ∴∠=∠=︒，AD BD ∴=，()ADF BDG ASA ∴∆≅∆；（2）连接OH ，EH ，点H 是弧AE 的中点，OH AE ∴⊥，90AEB ∠=︒，BE AE ∴⊥， //BE OH ∴，四边形OBEH 为菱形，12BE OH OB AB ∴===， 1sin 2BE EAB AB ∴∠==，30EAB ∴∠=︒．（3）如图2，连接OD 、OE ，点E 是弧BD 上靠近点B 的三等分点，∴∠DOE ＝23∠DOB ，由(1)知△ADB 是等腰直角三角形，∴∠DOB ＝2∠DAB ＝90°，∴∠DOE ＝60°，∴∠DBE ＝30°，∴DG ＝BD ·tan30°，又∵AB ＝4，∴BD ＝2√2，∴DG ＝2√2×√33＝23√6．15．解：（1）设建造A 型处理点x 个，则建造B 型处理点（20﹣x ）个．依题意得：，解得6≤x ≤9.17，∵x 为整数，∴x ＝6，7，8，9有四种方案；设建造A 型处理点x 个时，总费用为y 万元．则：y ＝1.5x+2.1（20﹣x ）＝﹣0.6x+42， ∵﹣0.6＜0，∴y 随x 增大而减小，当x ＝9时，y 的值最小，此时y ＝36.6（万元）， ∴当建造A 型处理点9个，建造B 型处理点11个时最省钱；（2）由题意得：每吨垃圾的处理成本为（元/吨），当0≤x ＜144时，＝（x 3﹣80x 2+5040x ）＝x 2﹣80x+5040，∵0，故有最小值，当x ＝﹣＝﹣＝120（吨）时，的最小值为240（元/吨），当144≤x ＜300时，＝（10x+72000）＝10+，当x ＝300（吨）时，＝250，即＞250（元/吨），∵240＜250，故当x ＝120吨时，的最小值为240元/吨，∵每个B 型处理点的垃圾月处理量是A 型处理点的1.2倍且A 型处理点9个，建造B 型处理点11个，∴每个A 型处理点每月处理量＝×120×≈5.4（吨），故每个A 型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低． 16．解：（1）将A(﹣1，0)，C(0，)代入抛物线y ＝ax 2+x+c(a ≠0)，，∴a ＝﹣，c ＝（2）由(1)得抛物线解析式：y ＝﹣x 2+x+， ∵点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，C(0，)，∴D(2，)，∴DH ＝，令y ＝0，即﹣x 2+x+＝0，得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A(﹣1，0)，B(3，0)，∵AE ⊥AC ，EH ⊥AH ，∴△ACO ∽△EAH ，∴，即，解得：EH＝2，则DE＝2；（3）找点C关于DE的对称点N(4，)，找点C关于AE的对称点G(﹣2，﹣)，连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP＝GF+PF+PN最小，∴直线GN的解析式：y＝x﹣，由(2)得E(2，﹣)，A(﹣1，0)，∴直线AE的解析式：y＝﹣x﹣，联立解得，∴F(0，﹣)，∵DH⊥x轴，∴将x＝2代入直线GN的解析式：y＝x﹣，∴P(2，)∴F(0，﹣)与P(2，)的水平距离为2过点M作y轴的平行线交FP于点Q，设点M(m，﹣m2+m+)，则Q(m，m﹣)(＜m＜)；∴S△MFP＝S△MQF+S△MQP＝MQ×2＝MQ＝(﹣m2+m+)﹣(m﹣)，S△MFP＝＝∵对称轴为：直线m＝，又∵开口向下，＜m＜，∴m＝时，△MPF面积有最大值为.。

湖北省华中师范大学第一附属中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题 (word版含答案)

华中师大一附中2016-2017学年度下学期高二期中检测数学（文）试题考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上） 1.i 为虚数单位，则21i i=+A.1i -B.1i --C.1i -+D.1i +2.若0a b <<，则下列不等式中错误的．．．是 A.11a b> B.11a ba>- C.a b > D.22a b >3.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷.取一把米，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约A.164石B.178石C.189石D.196石4.平面直角坐标系xOy 中，满足221,0,0x y x y +≤≥≥的点(,)P x y 的集合对应的平面图形的面积为4π；类似的，在空间直角坐标系Oxyz 中，满足2221,0,0,0x y z x y z ++≤≥≥≥的点(,,)P x y z 的集合对应的空间几何体的体积为A.8πB.6πC.4πD.3π5. 若a 是从区间[]0,3内任取的一个数，b 是从区间[]0,2内任取的一个数，则关于x 的一元二次方程2220x a x b ++=有实根的概率为A.13B.14C.23D.346.某长方体被一平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A.4C.D.8正视图11 1侧视图ADFCBE7.如图，已知一个八面体各棱长均为1，四边形ABCD 为正方形，则下列命题中不正确．．．的是 A.不平行的两条棱所在直线所成的角为60︒或90︒ B.四边形AECF 为正方形 C.点A 到平面BCE4D.该八面体的顶点在同一个球面上8.已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>，点M ，N ，F 分别为椭圆C 的左顶点，上顶点，左焦点.若90M F N N M F ∠=∠+︒，则椭圆C 的离心率为A.22C.229. 已知函数()f x ',()f x 的图象如图所示，则函数()()xf xg x e=的单调递减区间为A.()0,4B. ()4,1,,43⎛⎫-∞⎪⎝⎭C. 40,3⎛⎫⎪⎝⎭D. ()()0,1,4,+∞10.给出定义：()f x '是()f x 的导函数，()f x ''是()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()00,()x f x 为函数()f x 的“拐点”.已知函数()34sin co s f x x x x =+-的“拐点”是点()00,()M x f x ，则点M 在A.直线3y x =-上B. 直线3y x =上C. 直线4y x =-上D. 直线4y x =上11.已知函数2()4ln f x a x a x x =--，则()f x 在区间()1,3上不单调的一个充分不必要条件是A.1,6a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭B. 1,2a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭ C. 11,26a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭D. 434 x210 y1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭12. 设二次函数2()f x a x b x c =++的导函数为()f x '，则对x R ∀∈，不等式()()f x f x '≥恒成立，则2222ba c+的最大值为A.-22二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置上） 13.已知复数z 为纯虚数，且()21z i a i +=+，则实数a 的值为__________14.若关于x 的不等式13x x m +--≤的解集为空集，则m 的取值范围为_________ 15.已知F 是双曲线22:18yC x -=的右焦点，P为左支上任意一点，点(0,A ，当△PAF的周长最小时，点P 坐标为___________ 16.已知函数()f x e=，若关于x 的方程()10f x m -+=恰有三个不等实根，则实数m 的取值范围为____________三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卡相应位置上）17.(本题满分10分) 已知函数2()ln ,()()3f x x g x f x a x x ==+-，函数()g x 的图象在点()1,(1)g 处的切线平行于x 轴.（1）求a 的值；（2）求函数()g x 的极值.18. (本题满分10分) 已知命题p ：方程2220a x a x +-=在区间[]0,1上有解，命题q ：对于x R ∀∈，不等式sin cos x x a +>恒成立.若命题p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围.19. (本题满分12分)如图，在边长为3的菱形ABCD 中，∠ABC =60°，P A ⊥平面ABCD ，且3P A =，E为PD 中点，F 在棱PA 上，且1A F =.（1）求证：CE ∥平面BDF ；PDF EA（2）求点P 到平面BDF 的距离.20. (本题满分12分)为了传承经典，促进学生课外阅读，某校从高中年级和初中年级各随机抽取100名学生进行有关对中国四大名著常识了解的竞赛.图1和图2分别是高中年级和初中年级参加竞赛的学生成绩按照[)[)[)[)40,50,50,60,60,70,70,80分组，得到的频率分布直方图.（1）分别计算参加这次知识竞赛的两个学段的学生的平均成绩；（2）规定竞赛成绩达到[)75,80为优秀，经统计初中年级有3名男同学，2名女同学达到优秀，现从上述5人中任选两人参加复试，求选中的2人恰好都为女生的概率；（3）完成下列22⨯的列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个学段的学生对四大名著的了解有差异”？附：()()()()22()n a d b c Ka b c d a c b d -=++++临界值表：40 50 60 70 80 成绩0.010.02 0.030.04 图1（高中）图2（初中）21. (本题满分13分)如图，已知点12,F F 是椭圆221:12xC y+=的两个焦点，椭圆222:(0)2xC y λλ+=≠过点12,F F ，点P 是椭圆2C 上异于12,F F 的任意一点，直线12,P F P F 与椭圆1C 的交点分别为A,B 和C,D ，设直线AB ，CD 的斜率分别为12,k k .（1）求证：12k k ⋅为定值；（2）求A B C D ⋅的最大值.22. (本题满分13分)已知函数ln ()1x f x x=-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设0m >，求函数()f x 在区间[],2m m 上的最大值；（3）证明：对*n N ∀∈，不等式()111ln 1123en n n+<+++++恒成立.华中师大一附中2016-2017学年度高二下学期期中测试数学（文）试题参考答案考试时间：120分钟试卷满分：150分命题人：李继林审题人：王雪冰一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置上） 13. 2- 14. (),4-∞-15．(2,-16. 12e ⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卡相应位置上） 17. (本题满分10分)解：（1）2()ln 3g x x a x x =+-，1()23g x a x x'=+-，由题意知(1)12301g a a '=+-=⇒=………………………………………………4分（2）∵1a =，所以()()22111231()23x x x x g x x xxx---+'=+-==…………6分令()0g x '>，解不等式得：112x x <>或，又0x >，∴()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()1,+∞上单调递增 ………8分∴15()=ln 224g x g ⎛⎫=--⎪⎝⎭极大，()()=12g x g =-极小.…………………………10分 18. (本题满分10分)解：方程2220a x a x +-=的两根为21,aa-，………………………………………2分由题意知210101aa≤-≤≤≤或，解得21a a ≤-≥或，即命题p 为真命题时a 的取值集合为(][),21,A =-∞-+∞.……………………4分∵sin cos x x a +>恒成立，所以()m in sin co s a x x <+=即命题q 为真命题时a的取值集合为(,B =-∞.……………………………7分又∵命题p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以a 的取值范围为()()()()()[)2,21,RRA BBA =--+∞痧.………………………………10分19. (本题满分12分)解：（1）取PF 中点G ，连接AC 交BD 于O 点，连接FO ，GC ，EG 由题意易知G 为PF 中点，又E 为PD 中点，所以GE ∥FD ，故G E F D G E B D F G E B D FF D B D F⎧⎪⊄⇒⎨⎪⊂⎩面面面FO 为三角形AGC 的中位线，所以FO ∥GCG C F O G C B D F G C B D FF O B D F⎧⎪⊄⇒⎨⎪⊂⎩面面面所以面EGC ∥平面BDF ，E C E G C ⊂，∴CE ∥平面BDF ……………………6分（2）由题意知点P 到平面BDF 的距离等于A 到平面BDF 的距离的两倍，记A 到平面BDF 的距离为h ，则在四面体FABD 中，易求得4B D F S ∆=由体积自等得1113134322A B D F D A B F V V h --=⇒⋅=⋅⋅⋅， ∴13h =，∴P 到平面BDF 的距离等于213h =分（向量做法相应给分） 20. (本题满分12分)PDCFEBA G O解：（1）56,60x x ==高中初中……………………………………………………………3分（2）从5名同学中任选2人参加复试的所有基本事件数有10个，其中选中的2人恰好都是女生的基本事件只有1个，故选中的2人恰好都是女生的概率为110P =.…………7分（3）列联表如下22200(50305070)8.33 6.63510010012080K⋅-⋅=≈>⋅⋅⋅，故有99%的把握认为“两个学段的学生对四大名著的了解有差异” …………………12分 21. (本题满分13分) 解：（1）点12,F F 是椭圆221:12xC y+=的两个焦点，所以 ()()121,0,1,0F F -，将坐标代入得12λ=设点()00,P x y ，则2200122x y +=，整理得22012x y -=且直线AB ，CD 的斜率分别为001200,11y y k k x x ==+-∴212200011112y y y k k x x x =⋅==-+--…………………………………………………5分（2）直线1P F 的方程可表示为：(1),0y k x k =+≠，联立得22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222124220k x k x k +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理可知22121222422,1212kkx x x x kk-+=-+=++，……………………………7分∴弦AB 的长度)2122112kA B xk+=-==+，……………9分同理，将上式中的k换为12k-并整理求得)221412kC Dk+=+，…………………10分∴()()422222445111941411822144k kA B C Dk kk⎛⎫++ ⎪⎛⎫==+≤+=⎪ ⎪⎝⎭+ ⎪++⎝⎭…………12分当且仅当22142k kk==±即时等号成立故A B C D⋅的最大值为92.……………………………………………………………13分22. (本题满分13分)解：（1）由21ln()0xf xx-'=>解得0x e<<，∴()f x在()0,e上单调递增，(),e+∞上单调递减；………………………………3分（2）①当2m e≤即02em<≤时，函数()f x在区间[],2m m上单调递增，∴()m a xln2()212mf x f mm==-；…………………………………………………5分②当2m e m≤<即2em e<≤时，函数()f x在区间(),m e上单调递增，(),2e m上单调递减，∴()m a xln1()11ef x f ee e==-=-；……………………………………………7分③当m e>时，函数()f x在区间[],2m m上单调递减，∴()m a xln()1mf x f mm==-；…………………………………………………9分（3）由（1）知()1()1f x f ee≤=-即ln11lnxx xx e e≤⇒≤当且仅当x e=时等号成立取1nxn+=得11111ln1n nn e n e n++⎛⎫<⋅=⋅+⎪⎝⎭……………………………………11分∴231111ln ln ln1122nnn e n+⎛⎫+++<⋅++++⎪⎝⎭.即1111ln112nne n+⎛⎫<⋅++++⎪⎝⎭，∴()()1111ln 11ln 1122ee n n n n nn+<++++⇒+<++++……………13分（其他证明方法相应给分）。

湖北省华中师大学第一附属中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题

湖北省华中师大学第一附属中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题华中师大一附中2016—2017学年度上学期高一期中检测数学试题时限：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，有且只有一项符合题意．把正确答案选项的标号填涂在答题卡上．）1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A ＝{2，3，5，6}，集合B ＝{1，3，4，6，7}，则集合A ∩∁U B ＝( )A ．{2，5}B ．{3，6}C ．{2，5，6}D ．{2，3，5，6，8}2．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B =U 的集合B 的个数是（）.A ．1B ．3C ．4D ．83．设全集U=R ，A=(2){|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则右图中阴影部分表示的集合为( )A ．{|1}x x ≥ B ．{|12}x x ≤< C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤4．下列函数中与函数x y =相等的函数是（）A BA ．2()y x = B ．2y x C ．2log 2xy =D ．2log 2xy =5．已知函数2log (1)y ax =-在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是( ) A ．(0,1]B ．[1,2]C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()3xf x =，则9(log 4)f 的值为( )A ．2-B ．12-C ．12D ．27．设7log 3=a ，1.12=b ，1.38.0=c ，则( )A ．c a b <<B ．a b c << C．ba c <<D ．b c a <<8．下列函数中，与函数||x y e =-的奇偶性相同，且在(,0)-∞上单调性也相同的是（）A ．xy 1-= B ．||ln x y = C ．33-=xyD ．22+-=xy9．若实数,x y 满足1|1|ln 0x y--=，则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )10．设函数21(),[]122xxf x x =-+表示不超过x 的最大整数，则函数[()]y f x =的值域是( )A ．{0,1}B ．{1,1}C ．{1,1}-D ．{0,1}- 11．已知函数,0()ln ,0x a e x f x x x ⎧⋅≤=⎨->⎩，其中e 为自然对数的底数，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为（） A ．(,0)-∞ B ．(,0)(0,1)-∞U C ．(0,1) D ．(0,1)(1,)+∞U12．已知函数()(1)(2),()ln()f x x a x a g x x a =---=-，若当x a >时，()()0f xg x ⋅≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[0,)+∞B ．[2,0]-C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分） 13．函数)23(log )(221x x x f -=的定义域是 .14．已知函数(3)3(1)()log (1)aa x x f x x x --≤⎧=⎨>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为 .15．定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的)](0,(,2121x x x x ≠-∞∈，有0)()(1212<--xx x f x f ，且0)2(=f ，则不等式05)()(2<-+x x f x f 的解集是____________16．已知函数21,()log ,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x xx x <<<，则3122341()x x x x x++的取值范围是______________三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |6x ＋1≥1，集合B ＝{x |x 2－2x －m ＜0}.（1）当m ＝3时，求A ∩(∁U B )；（2）若A ∩B ＝{x |－1＜x ＜4}，求m 的值.18．（本小题满分12分）已知二次函数2()(,f x axbx a b=+为常数，且0)a ≠满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程()2f x x =有两个相等的根．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[0,]t 上的最大值()g t 的表达式．19．（本小题满分12分）设()f x 定义域为(0,)+∞且在(0,)+∞上是增函数，()()()xf f x f y y =-．（1）求证(1)0,()()()f f xy f x f y ==+；（2）若(2)1f =，解不等式1()()23f x f x -≤-． 20．（本小题满分12分）某上市股票在30天内每股的交易价格P （元）与时间t （天）组成有序数对(),t P ，点(),t P落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q （万股）与时间t （天）的部分数据如下表所示第t天 4 10 16 22Q（万36 30 24 18股）（1）根据提供的图像，写出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据，写出日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；（3）用y（万元）表示该股票日交易额（日交易额=交易价格×日交易量），写出y关于t的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？21．（本小题满分12分）定义1(0),sgn()0(0),1(0),x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩已知函数||sgn()()(01)xx x f x aa a a =+>≠且.（1）解不等式()2f x ≤；（2）若,25)1(=f 且不等式(2)()40f t mf t ++≥对于任意正实数t 恒成立，求实数m 的取值范围．22．本小题满分12分）函数3()log,()1log (1)(01)3aa x f x g x x a a x -==+->≠+且，设()()f x g x 和定义域的公共部分为D ．（1）求集合D ；（2）当1a >时，若不等式1()(2)26g x f x -->在D 内恒成立，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得[,]m n D 时，()f x 在[,]m n 上的值域是[(),()]g n g m ．若存在求a 的取值范围；若不存在说明理由．⊂ ≠高一年级数学期中试题参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A CB DC B CD B D B A二、填空题13．12[,0)(,1]33-U 14．36a <≤ 15．(0,2)(,2)-∞-U 16．(1,1]-三、解答题17．解：（1）651,0,{|15}11x A x x x x -≥∴≤∴=-<≤++Q 又3,{|13},{|13}Um B x x C B x x x =∴=-<<∴=≤-≥或(){|35}U A C B x x ∴=≤≤I ．（2）由{|15|{|14}A x x A B x x =-<≤=-<<I 及知 4为方程220xx m --=根，8m ∴=当8m =时，{|24}B x x =-<<，此时{|14}A B x x =-<<I 成立 8m ∴=． 18．解：（1）(1)(3),()f x f x f x -=-∴Q 关于1x =对称，12b a ∴-= 又()2f x x =有两个相等实根，2(2)0ax b x ∴+-=中0,2b ∆=∴=21,2,()2a b f x x x∴=-=∴=-+．（2）当01t <≤时，2max()()()2g t f x f t t t===-+当1t >时，max()()(1)1g t f x f ===22,01()1, 1t t t g t t ⎧-+<≤∴=⎨>⎩．19．解：（1）令x y =，则(1)()()0f f x f x =-= ()()()(),()()()xy f xy f x f f y f xy f x f y x -==∴=+．（2）(4)(2)(2)2(2),(4)2f f f f f =+=∴=Q 又1()()[(3)](4)3f x f f x x f x -=-≤-30,{|34}(3)4x x x x x x >⎧⎪∴->∴<≤⎨⎪-≤⎩．20．解：（1）当020t ≤≤时，设p at b =+，将（0，2）和（20，6）代入221,,21620255b b p t a a =⎧=⎧⎪∴∴=+⎨⎨=+=⎩⎪⎩同理：12030,810t p t <≤=-+12,020,518,2030,10t t t N p t t t N ⎧+≤≤∈⎪⎪∴=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩．（2）设Q ct d =+，把表中任意两组数据代入，1,40c d =-=40,030,Q t t t N∴=-+≤≤∈．（3）221(15)125,020,51(60)40,2030,10t t t N y t t t N ⎧--+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪--<≤∈⎪⎩当020t ≤≤时，15t =时，max125y =（万元）当2030t <≤时，y 随t 增大而减小，21(2060)4012010y <--=（万元）答：在第30天中第15天，日交易额最大为125万元．21．解：（1）当0x >时，1()2,1,0x x x f x aa x a =+≤∴=∴=舍去当0x <时，()02x x f x a a =-=≤恒成立当0x =时，()12f x =≤成立综上：不等式解集为(,0]-∞．（2）,25)1(=f 212或=∴a (2)()40f t mf t ++≥Q 恒成立，22112(2)4022t t t t m ∴++++≥ 令212(0),(2,),202tt u t u u mu =+>∴∈+∞∴++≥恒成立2()(2,)m u u u ∴≥-+∈+∞在上恒成立又2()(2,)u u-++∞在上单调递减 2()3,3u m u ∴-+<-∴≥-．22．解：（1）由30310x x x -⎧>⎪+⎨⎪->⎩，解得3,{|3}x D x x >∴=>．（2）不等式等价于7()(23)6log 123a x x x -+>-在(3,)+∞上恒成立 7()(23)623x x a x -+∴<-在(3,)+∞上恒成立令23x t -=，则32t x += 71()(23)()(6)1410623(),(3,)2323t x x t t t x t t -+++∴==++∈+∞-4(3,)t t ++∞Q 在上递增，41311,132t a t ∴+>∴<≤．（3）,()(),01m n g m g n a <>∴<<Q 6()log (1)3af x x ∴=-+在(3,)+∞上递减 [,]x m n ∴∈时，()[(),()]f x f n f m ∈()(),,()()f n g n m n f m g m =⎧∴∴⎨=⎩为方程()()f x g x =两个根 3(1)(3,)3x a x x -∴=-+∞+在上有两个不相等实根 1(3)(1)3x x a x +-∴=-，令3,0x t t -=> 112128,438t t a t t ∴=+++≥又，当且仅当23t =“=”号 123438,0a a -∴>∴<<。

华师一自主招生考试数学试卷

自主招生考试数学试卷一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．飞形棋中有一正方体骰子，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记6的对面的数字为a，2的对面的数字为b，那么a+b的为（）A．11 B．7 C．8 D．32．如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（收支差额=车票收入﹣支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格．下面给出四个图象（如图所示）则（）A．①反映了建议（2），③反映了建议（1）B．①反映了建议（1），③反映了建议（2）C．②反映了建议（1），④反映了建议（2）D．④反映了建议（1），②反映了建议（2）3．已知函数y=3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程3﹣（x﹣m）（x﹣n）=0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n ＜b4．记S n=a1+a2+…+a n，令，称T n为a1，a2，…，a n这列数的“理想数”．已知a1，a2，…，a500的“理想数”为2004，那么8，a1，a2，…，a500的“理想数”为（）A．2004 B．2006 C．2008 D．20105．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB=10，则CB的长为（）A．B．C．D．46．某汽车维修公司的维修点环形分布如图．公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）A．15 B．16 C．17 D．18二、填空题（共7小题，每小题6分，满分42分）7．若[x]表示不超过x的最大整数（如等），则=_________．8．在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AE=2CE，BD=2CD，AD、BE交于点F，若S△ABC=3，则四边形DCEF的面积为_________．9．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各三面，在每种颜色的旗帜上分别标有号码1、2、3，现任意抽取3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是_________．10．已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为_________．11．三角形纸片内有100个点，连同三角形的顶点共103个点，其中任意三点都不共线．现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为_________．12．如图，已知点（1，3）在函数的图象上．正方形ABCD的边BC在x轴上，点E是对角线BD的中点，函数的图象又经过A、E两点，则点E的横坐标为_________．13．按下列程序进行运算（如图）规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若x=5，则运算进行_________次才停止；若运算进行了5次才停止，则x的取值范围是_________．三、解答题（共5小题，满分72分）14．如图，在Rt△ABC中，斜边AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b厘米，a＞b，且a、b是方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两根，（1）求a和b的值；（2）若△A′B′C′与△ABC开始时完全重合，然后让△ABC固定不动，将△A′B′C′沿BC所在的直线向左移动x厘米．①设△A′B′C′与△ABC有重叠部分，其面积为y平方厘米，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；②若重叠部分的面积等于平方厘米，求x的值．15．（2006•宁波）已知⊙O过点D（4，3），点H与点D关于y轴对称，过H作⊙O的切线交y轴于点A（如图1）．（1）求⊙O半径；（2）sin∠HAO的值；（3）如图2，设⊙O与y轴正半轴交点P，点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合），连接并延长DE，DF交⊙O于点B，C，直线BC交y轴于点G，若△DEF是以EF为底的等腰三角形，试探索sin∠CGO的大小怎样变化？请说明理由．16．青海玉树发生7.1级强震，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风．刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发前往距营地30千米的A镇，二分队因疲劳可在营地休息a（0≤a≤3）小时再往A镇参加救灾．一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路．已知一分队的行进速度为b千米/时，二分队的行进速度为（4+a）千米/时．（1）若二分队在营地不休息，问要使二分队在最短时间内赶到A镇，一分队的行进速度至少为多少千米/时？（2）若b=4千米/时，二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？17．如图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E，F，如图4．求证：AE2+BF2=EF2；（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图6，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．18．定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出8个不同的向量：、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）．（1）作两个相邻的正方形（如图一）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（2），试求f（2）的值；（2）作n个相邻的正方形（如图二）“一字型”排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（n），试求f（n）的值；（3）作2×3个相邻的正方形（如图三）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（2×3），试求f（2×3）的值；（4）作m×n个相邻的正方形（如图四）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（m×n），试求f（m×n）的值．参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）1．分析：由图一和图二可看出看出1的相对面是5；再由图二和图三可看出看出3的相对面是6，从而2的相对面是4．解答：解：从3个小立方体上的数可知，与写有数字1的面相邻的面上数字是2，3，4，6，所以数字1面对数字5，同理，立方体面上数字3对6．故立方体面上数字2对4．则a=3，b=4，那么a+b=3+4=7．故选B．2．分析：观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，根据题意得；（1）不改变车票价格，减少支出费用，则收支差额变大，解答：解：∵建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用；也就是y增大，车票价格不变，即平行于原图象，∴①反映了建议（1），∵建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格，也就是图形增大倾斜度，提高价格，∴③反映了建议（2）．故选B．3．分析：首先把方程化为一般形式，由于a，b是方程的解，根据根与系数的关系即可得到m，n，a，b之间的关系，然后对四者之间的大小关系进行讨论即可判断．解答：解：由3﹣（x﹣m）（x﹣n）=0变形得（x﹣m）（x﹣n）=3，∴x﹣m＞0 x﹣n＞0或x﹣m＜0 x﹣n＜0，∴x＞m x＞n或x＜m x＜n∵a b是方程的两个根，将a b代入，得：a＞m a＞n，b＜m b＜n或a＜m a＜n，b＞m b＞n，综合一下，只有D可能成立．故选D．4．分析：本题需先根据得出n×T n=（S1+S2+…+S n），再根据a1，a2，…，a500的“理想数”为2004，得出T500的值，再设出新的理想数为T x，列出式子，把得数代入，即可求出结果．解答：解：∵∴n×T n=（S1+S2+…+S n）T500=2004设新的理想数为T x501×T x=8×501+500×T500T x=（8×501+500×T500）÷501==8+500×4 =2008 故选C5．分析：作AB关于直线CB的对称线段A′B，交半圆于A′，连接AC、CA′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．解答：解：如图，若，且AB=10，∴AD=4，BD=6，作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，可得A、C、A′三点共线，AC=A′C，AD=A′D′=4，A′B=AB=10．而A′C•A′A=A′D′•A′B，即A′C•2A′C=4×10=40．则A′C2=20，又∵A′C2=A′B2﹣CB2，∴20=100﹣CB2，∴CB=4．故选A．6．分析：现根据题意设未知数，再根据公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点某种配件各50件，在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行列方程组求解．解答：解：设A到B调x1件，B到C调x2件，C到D调x3件，D到A调x4件，这里若x i（i=1，2，3，4）为负数，则表明调动方向改变．则由题意得：，解得：，则调动总件数为|x1|+|x2|+|x3|+|x4|=|x1|+|x1+5|+|x1+1|+|x1﹣10|，它的最小值为16．故选B．二、填空题（共7小题，每小题6分，满分42分）7．若[x]表示不超过x的最大整数（如等），则=2000．分析：根据[x]表示不超过x的最大整数，[]=[]=[1+]=1，[]=[]=1，…[]=[]=1，从而得出答案．解答：解：∵[x]表示不超过x的最大整数，∴=[]+[]+…+[]，=[1+]+[1+]+…+[1+]，=1+1+…+1，=2000．故答案为：2000．8．分析：连接DE，根据相似三角形的判定定理得出△DCE∽△ABC，进而判断出AB∥CD、△DEF∽△ABF，再根据相似三角形的性质即可进行解答．解答：解：连接DE，∵AE=2CE，BD=2CD，∴=，且夹角∠C为公共角，∴△DCE∽△ABC，∴∠CED=∠CAB，∴AB∥DE，则==，且∠EDA=∠BAD，∠BED=∠ABE，∴△DEF∽△ABF，∴==，∴设S△DEF=x，则S△AEF=S△BDF=3x，S△ABF=9x，∴x+3x+3x+9x=3﹣，解得：x=，∴S△DEF=，∴S△DEF+S△CDE=+=．故答案为：．9．分析：抽取3面旗，总共的情况计算思路为：第一面旗有9种，第二面有（9﹣1）即8种，第三面有（9﹣1﹣1）即7种，则总的情况有9乘以8乘以7等于504种；要求颜色和号码都不同的情况计算思路为：第一面旗还是有9种情况；第二面旗的情况为：除去第一面已选的颜色外，还剩另外2种颜色本来是6种情况，但是第一面旗肯定能确定一个号码，所以剩下的2种颜色中与第一面旗选的号码必须不一样，则选了第一面旗后，第二面旗的选择就只有4种情况了；而第一面旗和第二面旗选定后，第三面旗就已经确定唯一了，即轮到第三面旗的时候就没的选了，前面2面旗已经把颜色和号码都定死了．解答：解：根据乘法公式可知：任意抽取3面旗，一共有9×8×7=504种情况，三面旗颜色与号码都不一样的情况一共有9×4×1=36种情况∴它们的颜色与号码均不相同的概率是=．故答案为：．10．分析：首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程x=2，又由作点C关于x=2的对称点C′，直线AC′与x=2的交点即为D，求得直线AC′的解析式，即可求得答案．解答：解：∵抛物线经过点A（4，0），∴×42+4b=0，∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为x=2，∵点C（1，﹣3），∴作点C关于x=2的对称点C′（3，﹣3），直线AC′与x=2的交点即为D，因为任意取一点D都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD ﹣CD|＜AC．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；设直线AC′的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．故答案为：（2，﹣6）．11．分析：根据题意可以得到当三角形纸片内有1个点时，有3个小三角形；当有2个点时，有5个小三角形；当n=3时，有7个三角形，因而若有n个点时，一定是有2n+1个三角形．解答：解：根据题意有这样的三角形的个数为：2n+1=2×100+1=201，故答案为：201．12．分析：把已知点的坐标代入函数解析式即可求出k的值，把k的值代入得到函数的解析式，然后根据正方形的性质设出A和E的坐标，因为函数图象过这两点，把设出的两点坐标代入到函数解析式中得到①和②，联立即可求出a和b的值，得到E的坐标．解答：解：把（1，3）代入到y=得：k=3，所以函数解析式为y=，设A（a，b），根据图象和题意可知，点E（a+，），因为y=的图象经过A、E，所以分别把点A和E代入到函数解析式中得：ab=3①，（a+）=3②，由②得：+=3，把①代入得：+=3，即b2=6，解得b=±，因为A在第一象限，得到b＞0，所以b=，把b=代入①求得：a=，所以点E的横坐标为a+=．故答案为：．13．分析：把x=5代入代数式求值，与244比较，若大于244，就停止计算，若结果没有大于244，重新计算直至大于244为止，根据运算顺序得到第4次的运算结果和第5次的运算结果，让第4次的运算结果小于244，第5次的运算结果大于244列出不等式求解即可．解答：解：（1）x=5．第一次：5×3﹣2=13第二次：13×3﹣2=37第三次：37×3﹣2=109第四次：109×3﹣2=325＞244→→→停止（2）第1次，结果是3x﹣2；第2次，结果是3×（3x﹣2）﹣2=9x﹣8；第3次，结果是3×（9x﹣8）﹣2=27x﹣26；第4次，结果是3×（27x﹣26）﹣2=81x﹣80；第5次，结果是3×（81x﹣80）﹣2=243x﹣242；∴由（1）式子得：x＞2，由（2）式子得：x≤42＜x≤4．即：5次停止的取值范围是：2＜x≤4．故答案为：4；2＜x≤4．三、解答题（共5小题，满分72分）14．分析：（1）首先根据一元二次方程根与系数的关系，得出用含m的式子表示a+b与ab的式子，然后由勾股定理得出一个关于m的方程，求出m的值，进而得出a和b的值；（2）①由于S△BCM=×BC′×CM，即y=x×CM．所以首先用含x的代数式表示CM，然后代入，即可求出y与x之间的函数关系式，并根据题意求出x的取值范围；②把y=代入函数解析式，即可求出x的值．解答：解：（1）∵a、b是方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两根，∴a+b=m﹣1，ab=m+4，又∵a、b是直角△ABC的两直角边，∴a2+b2=c2=25，∴（m﹣1）2﹣2（m+4）=25，解得m1=8，m2=﹣4（舍去）．∴原方程为x2﹣7x+12=0，解得a=4，b=3．（2）①y与x之间的函数关系式为：y=（4﹣x）2，（0≤x≤4）．②代入=（4﹣x）2，得x1=3，x2=5（舍去）．∴x的值为3．15．分析：（1）因为点D在圆上，根据点D的坐标利用勾股定理即可求得OD的长，即半径；（2）连接HD交OA于Q，则HD⊥OA，连接OH，则OH⊥AH，根据同角的余角相等可得到∠HAO=∠OHQ，根据已知可求得sin∠OHQ的值，则sin∠HAO的值也就求得了；（3）设点D关于y轴的对称点为H，连接HD交OP于Q，则HD⊥OP，根据角平分线的性质及垂径定理可得到∠CGO=∠OHQ，则求得sin∠OHQ的值sin∠CGO也就求得了．解答：解：（1）点D（4，3）在⊙O上，∴⊙O的半径r=OD=5；（1分）（2）如图1，连接HD交OA于Q，则HD⊥OA，连接OH，则OH⊥AH，∴∠HAO=∠OHQ∴sin∠HAO=sin∠OHQ==；（3）连接DH交y轴于点Q，连接OH交BC于点T（如图2）．∵D与H关于y轴对称，∴DH⊥EF，又∵△DEF为等腰三角形，∴DH平分∠BDC，∴OT⊥BC，∴∠CGO=∠QHO，∴当E、F两点在OP上运动时，sin∠CGO的值不变．16．分析：（1）根据二分队的行进速度为（4+a）千米/时与路程为10，得出二分队到达塌方处（距离营地10KM）需要小时，又一分队用1小时打通道路，所以一分队需要至少（﹣1）小时（以前）到达塌方处，即可得出一分队的行进速度；（2）根据要使二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息a小时，得出等式方程，进而分析得出符合要求的答案．解答：解：（1）根据塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路一个小时后道路畅通，那么我们再看二分队，二分队到达塌方处（距离营地10KM）需要小时，那么在二分队经过小时后到达塌方处的时候，一分队必须清理好塌方，也就是说一分队至少提前一小时到达塌方处（距离营地10KM）而一分队只要保证比二分队提前一个小时到达塌方处再利用一个小时打通塌方，那么当二分队到达塌方处才不会影响时间，而后二分队按照（4+a）千米/时的速度前行与一分队无关，这样就很好算了，路程10KM，二分队速度：（a+4）KM每小时，那么二分队到达塌方处需要小时，所以一分队需要至少（﹣1）小时（以前）到达塌方处，这样路程10KM，一分队所用时间（﹣1）小时，一分队的行进速度至少为=千米/时；当a=0时，一分队的行进速度至少为千米/时；（2）要使二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息a小时．根据题意得：+1=+a，解得：a=（+9）/4或a=（不合题意舍去）这样a=（+9）/4大于3，不符合题意．∴当二队不休息，也就是=，解得：a=0，∴二分队应在营地休息0小时．17．分析：（1）连CD，由条件得到点D为AB的中点，则CD=AD，∠4=∠A=45°，易证△CDF ≌△ADE，△CED≌△BFD，得到CF=AE，CE=BF，而CE2+CF2=EF2，因此得到结论．（2）把△CFB绕点C顺时针旋转90°，得到△CGA，根据旋转的性质得到CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°，易证△CGE≌△CFE，得到GE=EF，即可得到结论AE2+BF2=EF2仍然成立；（3）把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABP，点N的对应点为Q，根据旋转的性质得到∠4=∠2，∠1+∠3+∠4=90°，BP=DF，BQ=CN，AF=AP，又△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，得到EF=BE+DF，则EF=EP，证得△AMQ≌△AMN，得到MN=QM，易证得∠QBN=90°，于是有BQ2+BM2=QM2，从而得到BM2+DN2=MN2．解答：证明：（1）连CD，如图4，∵两个等腰直角三角形的相似比为1：，而小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边，∴点D为AB的中点，∴CD=AD，∠4=∠A=45°，又∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠3=∠1，∴△CDF≌△ADE，∴CF=AE，同理可得△CED≌△BFD，∴CE=BF，而CE2+CF2=EF2，∴AE2+BF2=EF2；（2）结论AE2+BF2=EF2仍然成立．理由如下：把△CFB绕点C顺时针旋转90°，得到△CGA，如图5∴CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°，∴∠GAE=90°，而∠3=45°，∴∠2+∠4=90°﹣45°=45°，∴∠1+∠2=45°，∴△CGE≌△CFE，∴GE=EF，在Rt△AGE中，AE2+AG2=GE2，∴AE2+BF2=EF2；（3）线段BM、MN、DN能构成直角三角形的三边长．理由如下：把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABP，点N的对应点为Q，如图∴∠4=∠2，∠1+∠3+∠4=90°，BP=DF，BQ=DN，AF=AP，∵△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，∴EF=BE+DF，∴EF=EP，∴△AEF≌△AEP，∴∠1=∠3+∠4，而AQ=AN，∴△AMQ≌△AMN，∴MN=QM，而∠ADN=∠QBA=45°，∠ABD=45°，∴∠QBN=90°，∴BQ2+BM2=QM2，∴BM2+DN2=MN2．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角；也考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用．18．分析：（1）根据图形，即可求得f（2）的值；（2）首先求f（1），f（2），f（3），f（4），所以得到规律为：f（n）=6n+2；（3）根据图形，即可求得f（2×3）的值；（4）先分析特殊情况，再求得规律：f（m×n）=2（m+n）+4mn．解答：解：（1）作两个相邻的正方形，以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数f（2）=14；（2）分别求出作两个、三个、四个相邻的正方形（如图1）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同的向量个数，找出规律，∵f（1）=6×1+2=8，f（2）=6×2+2=14，f（3）=6×3+2=20，f（4）=6×4+2=26，∴f（n）=6n+2；（3）f（2×3）=34；（4）∵f（2×2）=24，f（2×3）=34，f（2×4）=44，f（3×2）=34，f（3×3）=48，f（3×4）=62∴f（m×n）=2（m+n）+4mn．。

湖北武汉华师一附中2017~2018学年度上学期九年级起点考数学试题(word版有答案)

华师一附中2017~2018学年度上学期九年级起点考数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程2x 2－6x ＝4的二次项系数、一次项系数和常数项之比正确的是（） A ．2、－6、4B ．1、－3、－2C ．1、3、2D ．1、3、－2 2．方程x 2＝5x 的解是（） A ．x 1＝0，x 2＝－5B ．x ＝5C ．x 1＝0，x 2＝5D ．x ＝03．配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，则方程可变形为（） A ．(x －3)2＝31 B ．3(x －1)2＝31 C ．(3x －1)2＝1 D ．(x －1)2＝32 4．已知方程x 2＋bx ＋a ＝0有一根是－a （a ≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（） A ．abB ．ba C ．a ＋b D ．a －b5．已知一元二次方程2x 2－3x －6＝0有两个实数根x 1、x 2，直线l 经过点A (x 1＋x 2，0)、B (0，x 1x 2)，则直线l 的解析式为（） A ．y ＝2x －3B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋36．某区为践行“人人享受教育”的理念，加强了对教师队伍的建设的投入，2012年投入1000万元，预计2013年、2014年共投入2310元．设投入经费的年平均增长率为x ，根据题意，下列所列方程正确的是（） A ．1000(1＋x )2＝2310B ．1000(1＋x 2)＝2310C ．1000＋1000(1＋x )＋1000(1＋x )2＝2310D ．1000(1＋x )＋1000(1＋x )2＝23107．已知二次函数y ＝ax －2ax ＋1（a ＜0）图象上三点A (－1，y 1)、B (2，y 2)、C (4，y 3)，则的大小关系为（） A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 1＜y 3＜yD ．y 3＜y 1＜y 28．函数y ＝ax ＋1与y ＝ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（）9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：① 4ac －b 2＜0；② 4a ＋c ＜2b ；③ 3b ＋2c ＜0；④ m (am ＋b )＋b ＜a （m ≠－1），其中正确结论的个数是（） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．如图，抛物线m ：y ＝ax 2＋b （a ＜0，b ＞0）与x 轴于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．将抛物线m 绕点B 旋转180°，得到新的抛物线n ，它的顶点为C 1，与x 轴的另一个交点为A 1．若四边形AC 1A 1C 为矩形，则a 、b 应满足的关系式为（） A ．ab ＝－2B ．ab ＝－3C ．ab ＝－4D ．ab ＝－5二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．方程2(x －1)2＝8的解是___________12．抛物线y ＝－2x 2＋3x ＋1的对称轴是________，x ＝________时，有最大值为________ 13．将抛物线y ＝2x 2－8x ＋5先向左平移________单位，再向上平移________个单位，即可得到抛物线y ＝2(x ＋3)2－114．如果关于x 的一元二次方程01122=++-x k kx 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范是 15．如图，平行于y 轴的直线l 被抛物线1212+=x y 、1212-=x y 所截，当直线l 向右平移3个单位时，直线l 被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为___________平方单位 16．方程(x 2＋x －1)x ＋3＝1的所有整数解是___________ 三、解答题（共8题，共72分）17．（本题8分）解方程：(1) 2x 2＋4x ＋1＝0(2) x (2x －1)＝3(2x －1)18．（本题8分）方程x 2－9x ＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，求这个等腰三角形的周长19．（本题8分）设x 1、x 2是方程3x 2－2x －2＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) (3x 1－4)(3x 2－4)；(2) x 1－x 220．（本题8分）已知抛物线bx x y +=221与直线y ＝2x 交于点O (0，0)、A (a ，12) (1) 求抛物线的解析式(2) 将射线OA 绕原点逆时针旋转45°后与抛物线交于点P ，求P 点的坐标21．（本题8分）一块长方形木板长40 cm 、宽30 cm ，在木板中间挖去一个底边长为20 cm ，高为15 cm 的U 形孔．已知剩下的木板面积是原来面积的65，求挖去的U 形孔的宽度22．（本题10分）关于x 的方程04)2(2=+++kx k kx 有两个不相等的实数根 (1) 求k 的取值范围(2) 是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由23．（本题10分）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征．其中流量q （辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v （千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度；密度k （辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q 与速度v 之间关系的部分数据如下表：速度v （千米/小时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量q （辆/小时） …55010001600179216001152…(1) 根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q 、v 关系最准确的是__________（只填上正确答案的序号） ① q ＝90v ＋100；② vq 32000=；③ q ＝－2v 2＋120v (2) 请利用(1)中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？(3) 已知q 、v 、k 满足q ＝vk ，请结合(1)中选取的函数关系式继续解决下列问题① 市交通运行监控平台显示，当12≤v ＜18时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k 在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵；② 在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d （米）均相等，求流量q 最大时d 的值24．（本题12分）如图1，在平面直角坐标系中，A 、B 的坐标分别为(4，0)、(0，3)，抛物线c bx x y ++=243经过点B ，且对称轴是直线25-=x (1) 求抛物线对应的函数解析式(2) 将图甲中△ABO 沿x 轴向左平移到△DCE ，当四边形ABCD 是菱形时，请说明点C 和点D 都在该抛物线上(3) 在(2)中，若点M 是抛物线上的一个动点（点M 不与点C 、D 重合），经过点M 作MN ∥y 轴交直线CD 于N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ，求l 与t 之间的函数解析式，并求当t 为何值时，以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形华师一附中2017~2018学年度上学期九年级起点考数学试题参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）9．提示：③ 令x ＝1 10．提示：只需要BA ＝BC二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．x 1＝－1，x 2＝3 12．8354343，，=x 13．5、2 14．k ＜21且k ≠015．616．－3、－2、－1、116．提示：① 当x ＋3＝0，x 2＋x －1≠0时，解得x ＝－3② 当x 2＋x －1＝1时，解得x ＝－2或1③ 当x 2＋x －1＝－1，x ＋3为偶数时，解得x ＝－1 三、解答题（共8题，共72分） 17．解：(1) 221±-=x ；(2) x 1＝3，x 2＝2118．解：1519．解：(1) 18；(2) 372± 20．解：(1) x x y -=221 (2) (－4，12)21．解：设挖去的U 形孔的宽度为x20x ＋2x (15－x )＝(1－65)×40×30，解得x 1＝5，x 2＝20 ∵15－x ＜0 ∴x ＜15 ∴x ＝522．解：(1) 由⎪⎩⎪⎨⎧>•+=∆≠044-)2(02k k k k ，解得k ＞－1且k ≠0 (2) 设x 1、x 2为方程的两个实数根 ∴x 1＋x 2＝kk 2+-，x 1x 2＝41∵01121=+x x ∴x 1＋x 2＝02=+-kk ，k ＝－2 ∵k ＞－1 ∴不存在23．解：(1) ③(2) q ＝－2(v －30)2＋1800 当v ＝30时，q 有最大值为1800 (3) ① 1202+-==v vqk ∵12≤v ＜18∴84＜－2v ＋120≤96② 当v ＝30时，q ＝1800，此时k ＝60 d 的最大值为350601000=m 24．解：(1) 3315432++=x x y (2) 若四边形ABCD 是菱形，则BC ＝AD ＝AB ＝5 ∴C (－5，3)、D (－1，0) 可以发现C 、D 均在抛物线上 (3) 直线4343--=x y 设M (t ，3415432++t t )、N (t ，4343--t )① t ＜－5或t ＞－1时，l ＝41529432++t t② －5＜t ＜－1时，l ＝41529432---t t若以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形，则MN ＝CE ＝3 当341529432=++t t 时，解得223±-=t 当341529432=---t t 时，解得3-=t。

湖北省华中师范大学第一附属中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题 Word版

华中师大一附中2016—2017学年度上学期高一期末检测数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设集合{}{}2||lg 0M x x x N x x ===≤，则M N = A. []0,1 B. (]0,1 C. [)0,1 D.(],1-∞2.已知函数()21f x x =+，那么()1f a += A.22a a +- B. 21a + C. 222a a ++ D. 221a a ++ 3.454sin cos tan 363πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. 4.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象 A.向右平移6π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移3π个单位长度 D. 向左平移6π个单位长度 5.设0.13592,lg ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A. b c a >> B. a c b >> C. b a c >> D. a b c >>6.函数cos 2sin 2cos 2sin 2x x y x x+=-的最小正周期为 A. 2π B. π C.2π D.4π 7.已知函数()1lg12ax f x x+=-是定义在(),b b -上的奇函数，（,a b R ∈且2a ≠-），则b a 的取值范围是A. (B. (C. (D.(8.若()sin 3πα-=-，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于A. 3-B. 6-C. 639.函数()f x 的零点与()ln 28g x x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.5，则()f x 可以是A. ()36f x x =-B. ()24x -C.21x e --D.5ln 2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 10.定义在R 上的函数()f x 对任意210x x <<都有()()12121f x f x x x -<-，且函数()f x 的图象关于原点对称，若()22f =，则不等式()0f x x ->的解集是A.()()2,00,2-B.()(),22,-∞-+∞C.()(),20,2-∞-D.()()2,02,-+∞11.()()()sin 0,0f x A x A ωωπω=+>>在33,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调，则ω的最大值为 A. 12 B.34 C. 1 D.4312.已知函数()()2102x f x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴的对称点，则a 的取值范围是A.⎛-∞ ⎝ B. (-∞ C. ⎛ ⎝ D.⎛ ⎝第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()f x =的定义域为[]0,2，则函数()()21f xg x x =-的定义域为 .14.计算：lg 4lg9++= .15.已知11,,2sin cos πθπθθ⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭，则cos 23πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 . 16.已知集合()()(){}|sin 2cos 2log 1a f x x x ϕϕπϕπϕ=-+-<⎡⎤⎣⎦为奇函数，且的子集个数为4，则a 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）已知幂函数()()()2m m f x x m N +*=∈的图象经过点(. （1）试求m 的值并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足()(13f a f +>的实数a 的取值范围.18.（本题满分12分）已知()()()()3sin cos 2sin 2.sin sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+-- ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且3cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f α的值.19.（本题满分12分）已知函数()12.2x x f x =- （1）若()2f x =，求x 的值；（2）若()()220tf t mf t +≥对于[]1,2t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.20.（本题满分12分）已知函数()()()cos 0,02f x x x πωωωωϕω⎛⎫=+-+-<<> ⎪⎝⎭为偶函数，且函数的()y f x =图象相邻的两条对称轴间的距离为2π. （1）求24f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将所得的图象上个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =的单调区间，并求其在5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值.21.（本题满分12分）现有一圆心角为2π，半径为12cm 的扇形铁皮（如图）.,P Q 是弧AB 上的动点且劣弧 PQ的长为2cm π，过,P Q 分别作与,OA OB 平行或垂直的线，从扇形上裁剪出多边形OHPRQT ，将该多边形面积表示为角α的函数，并求出其最大面积是多少？22.（本题满分12分）函数()(),,.nn f x x bx c n Z b c R =++∈∈ （1）若1n =-，且()111142f f --⎛⎫== ⎪⎝⎭，试求实数,b c 的值；（2）设2n =，若对任意[]12,1,1x x ∈-有()()21224f x f x -≤恒成立，求b 的取值范围；（3）当1n =时，已知20bx cx a +-=，设()g x =，是否存在正数a ，使得对于区间⎡⎢⎣⎦上的任意三个实数,,m n p ，都存在以()()()()()()111,,f g m f g n f g p 为边长的三角形？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.。

华中师大一附中2018年自主招生考试数学试题(word版附答案)

华中师大一附中2018年高中招生考试数学试题考试时间：70分钟卷面满分:120分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题（本大题共5小题,每小题7分，共35分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．二次函数y =x 2＋2x ＋c 的图象与x 轴的两个交点为A(x 1，0)，B(x 2,0),且x 1＜x 2,点P （m ，n )是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ) A ．当n ＞0时，m ＜x 1 B ．当n ＞0时，m ＞x 2 C ．当n ＜0时，m ＜0D ．当n ＜0时，x 1＜m ＜x 22．已知实数a 、b 、c 满足a ＜b ＜c ，并目k =，则直线y =－kx ＋k 一定经过( ）A ．第一、三、四象限B ．第一、二、四象限C ．第一、二、三象限D ．第二、三、四象限3．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为16、22,则输出的a =（a ←a －b 的含义：将a －b 的结果赋给a ）（） A ．0 B ．2 C ．4D ．144．直线l:kx －y －2k －1=0被以A （1，0)为圆心，2为半径的⊙A 所截得的最短弦长为( ) A ． B ．2 C ．2D ．45．如图，△ABC 中，AB=AC=8，BC=4,BF ⊥AC 于F,D 是AB 的中点,E 为AC 上一点,且2EF=AC ，则tan ∠DEF=( ) A ．B ．C ．D ．二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，共35分)． 6．若a ＋b －2=3c 5，则（b c )a 的值为__________．BA CDEF7．已知△ABC的一边长为4，另外两边长恰是方程2x212x＋m＋1=0的两实根,则实数m 的取值范围是__________．8．如图，D是△ABC的边AB上的一点，且AB=3AD,P是△ABC外接圆上一点,使得∠ADP=∠ACB，则=__________．9．有十张正面分别标有数字1,2,3，4，5，6，7，8,9，10的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，以卡片上的数字作为关于x的不等式5x a≤5中的系数a，使得该不等式的正整数解只有1和2的概率为__________．10．若四个互不相等的正实数a,b,c,d满足（a2018c2018）（a2018d2018）=2018,(b 2018c2018）（b2018d2018)=2018，则（ab）2018（cd)2018的值为__________．三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 11．（本小题满分16分）如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．(1）求证：CE=CF;（2)在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE、BE、GD有什么数量关系？说明理由；（3)运用（1）（2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC＞AD）,∠B=90°,AB=BC=6，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=2，求DE的长．12．(本小题满分16分）如图1,在平面直角坐标系xOy内，已知点A（1，0)，B(1,1)，C（1，0)，D(1，1)，记线段AB为L1，线段CD为L2，点P是坐标系内一点．给出如下定义：若存在过点P的直线l与L1，L2都有公共点，则称点P是L1L2相关点，例如，点P （0，1)是L1－L2相关点．（1)以下各点中，__________是L1－L2相关点(填出所有正确的序号）;①(1，2)；②(5，2）；③（4，2）．(2）直接在图1中画出所有L1－L2相关点所组成的区域，用阴影部分表示；（3)已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，若⊙M上有且只有一个点为L1L2相关点．①当r=1时，求点M的纵坐标；②求r的取值范围．13．(本小题满分18分)定义：点P(x，y）为平面直角坐标系中的点，若满足x=y时，则称该点为“平衡点”，例如点(－1，－1)，(0，0），(,）都是“平衡点"．①当－1≤x≤3时，直线y=2x＋m上存在“平衡点”，则实数m的取值范围是__________．（2）直线y=3mx＋n－1上存在“平衡点"吗？若存在,请求出“平衡点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线y=ax2＋bx＋1（a＞0）上存在两个不同的“平衡点”A(x1，x1），B(x2，x2），且满足0＜x1＜2，=2，令t=b2－2b＋，试求实数t的取值范围．华中师大一附中2018年高中招生考试数学试题参考答案考试时间：70分钟卷面满分：120分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，共35分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）题号 1 2 3 4 5答案 D A B C A二、填空题(本大题共5小题，每小题7分,共35分)．6．36 7．9<m≤17 8．9．10．－2018 三、解答题（本大题共3小题,共50分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．）11．(1)证明：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF,BE=DF，∴△ACBE≌△CDF．∴CE=CF．……………………………4分（2)GE=BE＋GD．理由如下：∵△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF．∴∠ECD＋∠ECB=∠ECD＋∠FCD．即∠ECF=∠BCD=90°．又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC,∴△ECG≌△FCG．∴EG=EF．∴GE=DF＋GD=BE＋GC．……………………………10分（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G,在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°,又∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形ABCG为正方形．∴AG=BC=6．已知∠DCE=45°，根据（1)（2）可知，ED=BE＋DG，设DE=x，则DG=x－2，∴AD=AG－DG=8－x，AE=AB－BE=6－2=4．在Rt△AED中∵DE2=AD2＋AE2，即x2=(8－x）2＋42解得x=5．∴DE=5……………………………16分12．(1)②，③是L1－L2相关点。

湖北省华中师范大学第一附属中学2017届高三5月押题考试数学(文)试题+Word版含答案

华中师范大学第一附属中学2017届高三5月押题考试文科数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设集合{}{}|13,|1A x x B x x =-<<=≥，则A B =A. {}|13x x <<B. {}|13x x ≤<C. {}|13x x <≤D. {}|13x x ≤<2.复数z =的共轭复数为A. iB. i -C. iD.i -3.在区间[]0,π上随机取一个数x ，使得1sin 0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的概率为 A. 1π B. 2π C. 13 D.234.在锐角ABC ∆中，3,4,ABC AB AC S ∆===则BC =5.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，右顶点为A,上顶点为B ，若椭圆C 的中点到直线AB 12F ，则椭圆C 的离心率为6.将函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴方程为A. 12x π= B. 6x π= C. 3x π= D. 12x π=-7.一个如图放置的三棱柱的底面是正三角形，侧棱与底面垂直，它的A. 8πB.253π C. 9π D. 283π 8.若2232,,log 3x a b x c x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则当1x >时，,,a b c 的大小关系是 A. c a b << B. c b a << C. a b c << D. a c b <<9.函数ln x xy x =的图象可能是10.定义某种运算S a b =⊗，运算原理如图所示，则式子1512tan ln lg10043e π-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⊗-⊗⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦的值是 A. -8 B. -4 C. -3 D. 011.已知三棱锥D ABC -的底面ABC 是直角三角形，,4,AC AB AC AB DA ⊥==⊥平面ABC ，E 是BD 的中点，若此三棱锥的体积为323，则异面直线AE 与DC 所成角的大小为 A. B. C. D.12.已知定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()2ln 2f x x x f x '>，则A.()()()32623f e f e f e >>B. ()()()23632f e f e f e <<C. ()()()23632f e f e f e >>D. ()()()32623f e f e f e <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知θ为锐角，且sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2θ= . 14.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线:l y kx kc =-，若当k =直线l与双曲线的左右两支各有一个交点；且当k 时，直线l 与双曲线的右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为 .。

湖北省华中师大一附中2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题

华中师大一附中2016—2017学年度下学期高二期中检测数学（理科）试题考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上．） 1．已知X 的分布列为右表，且37)(3=+=Y E aX Y ，，则a 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4 2．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占%20，乙市占%18，两市同时下雨占%12．则某一天当甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率为 A ．6.0B ．7.0C ．8.0D ．66.03. P 是抛物线2y x =上的动点，Q 是直线240x y --=上的动点，则||PQ 的最小值为 A.553 B. 554 C. 2 D. 44. 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则上楼梯的方法有 A ．45种B ．36种C ．28种D ． 25种5．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种6．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为 A ．10 B ．20C ．30D ．607．三个好朋友同时考进同一所高中，该校高一有10个班级，则至少有2人分在同一个班级的概率为 A.257 B.1825C.13D.238.62)1()1(x ax +-的展开式中，3x 项的系数为16-，则实数a 的值为 A ．2B ．3C ．2-D ．2或39.设集合}420{，，=A ,}531{，，=B ，分别从B A ,中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中能被5整除的数共有 A ．24个B ．48个C ．64个D ． 116个10．已知某盒中有10个灯泡，其中有8个是正品，2个是次品．现需要从中取出2个正品.若每次只取出1个灯泡，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设ξ为摸取的次数，则==)4(ξP A.154 B. 151 C.2845D.144511．设()f x '为函数()f x 的导函数，e 为自然对数的底数，且()ln ()xf x x f x '>，则 A ．2(2)()ln 2,2()()f f e f e f e <> B ．2(2)()ln 2,2()()f f e f e f e << C ．2(2)()ln 2,2()()f f e f e f e >< D ．2(2)()ln 2,2()()f f e f e f e >> 12．定义在R 上的奇函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()1212()[]0x x f x f x --<，若正实数a 使得不等式()()2230a f a e af ba -+<恒成立，则b 的取值范围是A ．[1,)-+∞B ．[,)e -+∞C ．[1,]e -D ．(,1]-∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置上．） 13．设随机变量X ~2(2,)N σ，且(4)=0.84P X ≤，则(0)=P X <14．计算383321nnnn C C -++=15．函数()4xf x x a=-在(1,)+∞上单调递减．则实数a 的取值范围是16．已知3()3f x x x m =-+，在区间[02]，上任取三个数,,a b c ，均存在以)(),(),(c f b f a f 为边长的三角形，则m 的取值范围是三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把答案填在答题卡相应位置上．）17．(本小题满分10分)如图，从左到右有5个空格．（1）若向这5个格子填入43210，，，，五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？（2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3种颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？（3）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？ 18．(本小题满分12分) 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.19．(本小题满分12分)已知函数1()ln(1),01xf x ax x x-=++≥+，其中0a > （1）若()f x 在1=x 处取得极值，求a 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.20．(本小题满分12分) 某地农民种植A 种蔬菜，每亩每年生产成本为7000元，A 种蔬菜每亩产量及价格受天气、市场双重影响，预计明年雨水正常的概率为32，雨水偏少的概率为31，若雨水正常，A 种蔬菜每亩产量为2000公斤，单价为6元/公斤的概率为41，单价为3元/公斤的概率为43，若雨水偏少，A 种蔬菜每亩产量为1500公斤，单价为6元/公斤的概率为32，单价为3元/公斤的概率为31，（1）计算明年农民种植A 种蔬菜不亏本的概率；（2）在政府引导下，计划明年采取“公司加农户，订单农业”的生产模式，某公司未来不增加农民生产成本，给农民投资建立大棚，建立大棚后，产量不受天气影响，因此每亩产量为2500公斤，农民生产的A 种蔬菜全部由公司收购，为保证农民的每亩预期利润增加1000元，收购价格至少为多少？21．(本小题满分12分) 已知223(3)n xx +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求nx 2)21(-的展开式中各项系数的最大值和最小值；（2）已知nn n x a x a x a a x x 2222102)1(++++=++ ，求下列各式的值：①n a a a a 2321++++ ； ②n na a a a 2321232++++ ；③n n a a a a 2224232222-++++ .22.(本小题满分12分)已知函数,ln 1)(,12)(2x k xx g x k x e x f x +=--=(k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅)（1）记)()()(x g x f x h -=，若函数()h x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围；（2）若在区间],0(e 内至少存在一个数0x ，使得0)(0<x g 成立，求k 的取值范围.华中师大一附中2016—2017学年度下学期高二期中检测数学（理科）试题参考答案与评分标准考试时间：120分钟试卷满分：150分命题人：陈开懋审题人：吴巨龙一、选择题： BAACC CADCB BA二、填空题：13．16.0； 14．466； 15．]4,0(； 16．),6(+∞．三．解答题17．解：（1）96444=A ； ……………………3分（2）4822223=⨯⨯⨯⨯； ……………………6分（3）16800)(5537222527=+A C A C C . ……………………10分 18．解：（1）法1：454565710101010101010P =⨯+⨯+⨯=；法2：6571101010P =-⨯=；……………6分（2）顾客抽奖3次，相当于3次独立重复试验，顾客抽奖1次获一等奖的概率为51105104=⨯，所以)51,3(~B X ，于是0331464(0)()()55125P X C ===,11231448(1)()()55125P X C ===, 22131412(2)()()55125P X C ===, 3303141(3)()()55125P X C ===，故X 的分布列为所以X 的数学期望为553)(=⨯=X E . ……………12分 19．解：（1）22222'(),1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-=-=++++ ∵()f x 在x=1处取得极值，∴2'(1)0,120,f a a =+-=即解得 1.a = ………4分（2）222'(),(1)(1)ax a f x ax x +-=++ ∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +>①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 在),0[+∞上单调递增； ②当02a <<时，由'()0'()0f x x f x x >><<解得由解得 ∴()f x 在)2,0(a a -单调递减，在)2(∞+-，aa单调递增，综上，当2a ≥时，增区间为),0[+∞，无减区间；当02a <<时，减区间为)2,0(a a -，增区间为)2(∞+-，aa. ………8分（3）当2a ≥时，由（Ⅱ）①知，()(0)1;f x f =的最小值为当02a <<时，由（Ⅱ）②知，()f x在x =处取得最小值(0)1,f f <= 综上可知，若()f x 得最小值为1，则a 的取值范围是[2,).+∞ ………12分 20．解：（1）只有当价格为6元/公斤时，农民种植A 种蔬菜才不亏本，所以农民种植A 种蔬菜不亏本的概率是18732314132=⨯+⨯=p . ……………4分（2）按原来模式种植，设农民种植A 种蔬菜每亩利润为ξ元，则ξ可能取值为：2500,1000,2000,5000--． 614132)5000(=⨯==ξp ，923231)2000(=⨯==ξp ， 214332)1000(=⨯=-=ξp ，913131)2500(=⨯=-=ξp ，所以500912500211000922000615000)(=⨯-⨯-⨯+⨯=ξE ……………8分设收购价格为a 元/公斤，农民每亩预期利润增加1000元，则150070002500+≥a ，即4.3≥a ，所以收购价格至少为4.3元/公斤. ……………12分 21．解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2nn+=，又展开式中二项式系数和为2n ，∴222992n n -=，．0)312)(322(=+-nn，故322=n ，5n = ……………2分（1）当5n =时， 10)21(x-的展开式中，各项系数为10,,2,1,0)21(10 =-=k C a k kk，，设||k a 最大，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥--++111010111010)21()21()21()21(k k k k k k k k C C C C ，解得31138≤≤k ， Z k ∈ ,3=∴k ，故系数最小值为15)21(33103-=-=C a ， ……………4分又因为445)21(22102=-=C a ，8105)21(44104=-=C a ，42a a <，故系数最大值为81054=a ． ……………6分（2）当5n =时，1010221052)1(x a x a x a a x x ++++=++ ，① 令0=x 得，10=a ，令1=x 得，2433510210==++++a a a a ，所以24212431021=-=+++a a a ……………8分② 对 1010221052)1(x a x a x a a x x ++++=++ 两边求导得， 9102142102)21()1(5x a x a a x x x +++=+++ ，令1=x 得，1215103210321=++++a a a a ， ……………10分 ③ 在上式中，令0=x 得，51=a ，又在 1010221052)1(x a x a x a a x x ++++=++ 中，令2=x 得，5101022107222=++++a a a a ，所以167962722105101022=--=++a a a a ，两边同时除以4，得41992221084232=++++a a a a . ……………12分22.解：（1）解法1：)ln 2()()()(2x xk x e x g x f x h x +-=-=，323242))(2()2(2)12(2)(xkx e x x x k x e xe x x k x xe e x x h x x x x x --=---=+---=' 令)2,0(,)(∈-=x kx e x g x，原问题等价于)(x g 在)2,0(上有两个变号零点.又k e x g x-=')(， ①当1≤k 时，0)(>-='k e x g x，)(x g 递增，在)2,0(上不可能有两个变号零点. ②当21e k <<时，)2,0(ln 0)(∈=⇒=-='k x k e x g x. 当)ln ,0(k x ∈时， 0)(<'x g ，)(x g 递减，当),(ln +∞∈k x 时， 0)(>'x g ， )(x g 递增，所以)ln 1()(ln )(min k k k g x g -==，故)(x g 在)2,0(上有两个变号零点的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧><>0)2(0)(ln 0)0(g k g g ，解得22e k e <<.③当2e k ≥时，0)(<-='k e x g x ，)(x g 递减，在)2,0(上不可能有两个变号零点.综上所述，函数()h x 在(0,2)内存在两个极值点，k 的取值范围是)2,(2e e . ……………6分解法2：)ln 2()()()(2x xk x e x g x f x h x +-=-=，323242))(2()2(2)12(2)(xkx e x x x k x e xe x x k x xe e x x h x x x x x --=---=+---=' 若函数()h x 在(0,2)内存在两个极值点，则()h x '在(0,2)有两个变号零点，所以方程xe kx =，即x e k x =在(0,2)有两个不相等的实数根.记()x e x xϕ=，则2(1)()x e x x x ϕ-'=，所以()xe x xϕ=在(0,1)递减，在(1,2)递增，故min min ()(1)x e ϕϕ==，又因为()0x lim x ϕ+→=+∞，()222x e lim x ϕ→=，2(,)2e k e ∴∈ . ……………6分（2）解法1：在区间],0(e 内至少存在一个数0x ，使得0)(0<x g 成立，其充要条件是)(x g 在],0(e 上的最小值小于0.又21)(x kx x g -='，（ⅰ）当0<k 时，01)(2<-='x kx x g 对],0(e ∈∀恒成立，所以)(x g 在],0(e 上单调递减，故ek k e e g x g 101)()(min -<⇒<+==. （ⅱ）当0=k 时，,1)(xx g =在区间],0(e 内不存在0x ，使得0)(0<x g 成立. （ⅲ）当0>k 时， ①若e k 10≤<时，01)(2≤-='xkx x g ，所以)(x g 在],0(e 上单调递减，此时，ek k e e g x g 101)()(min -<⇒<+==不成立. ②若e k 1>时，令01)(2=-='x kx x g ，得),0(1e kx ∈=，所以)(x g 在]1,0(k上单调递减，在],1(e k上单调递增，此时，e k k k kk k k g x g >⇒<-=+==0)ln 1(1ln)1()(min .综上可知，),()1,(+∞--∞∈e ek . ……………12分解法2：若0)(≥x g 在区间],0(e 上恒成成立，即],0(0ln 1e x x k x∈∀≥+，，则 ①当1=x 时，原不等式即为01≥，恒成立； ②当)1,0(∈x 时，，0ln <x 原不等式等价于，xx k ln 1-≤ 记，xx x m ln 1)(-=则，2)ln (ln 1)(x x x x m +=' 令，0)(='x m 得e x 1=，所以)(x m 在)1,0(e 单调递减，在)1,1(e单调递增，所以，e em x m ==)1()(min 故e k ≤. ③当],1(e x ∈时，，0ln >x 原不等式等价于，xx k ln 1-≥ 此时，0)ln (ln 1)(2>+='x x xx m 所以)(x m 在],1(e 单调递增，所以，ee m x m 1)()(max -==故ek 1-≥. 综上可知，若0)(≥x g 在区间],0(e 上恒成成立，则e k e≤≤-1，所以，在区间],0(e 内至少存在一个数0x ，使得0)(0<x g 成立，则),()1,(+∞--∞∈e ek . ……………12分。

2016-2017年湖北省华中师大一附中高一(下)期中数学试卷和答案

10．（5 分）在△ABC 中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点，若 A．1 B．，则 λ+μ=（ C．） D．，记数列{an}的前 n 项之积为
11．（5 分）设数列{an}满足 a1=2，an+1=1﹣ Tn，则 T2018=（ A．1 ） B．2 C．
D．
12．（5 分）已知△ABC 周长为 6，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 a，b， c 成等比数列，则 A．[2，18） • B．（的取值范围为（）） D．（2，9﹣3 ）
，2] C．[2，
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．（5 分）已知向量，满足 =（1，向上的投影为．）， •（ ﹣ ）=﹣3，则向量在方
第 2 页（共 17 页）
+n
﹣3 且（t﹣an+1）（t﹣an）＜0 恒成立，则实数 t 的取值范围是
．
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10 分）设正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 S3=3a3+2a2，a4=8．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列 bn=log2an，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求使得 Tn 取最大值的正整数 n 的值． 18．（12 分）在△ABC 中， a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边，（1）求角 A 的度数；（2）若 19．（12 分）已知向量，求△ABC 的面积．满足，| |=1，|k + |= | ﹣k |，k＞0．．
2016-2017 学年湖北省华中师大一附中高一（下）期中数学试卷

华师一附中2019年自主招生数学试题(word版附答案)

华中师大一附中2019年高中招生考试数学试题2019．3．31考试时间：70分钟卷面满分：120分说明：所有答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)1．若关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋4x －1=0有实数根，则实数m 的取值范围是() A ．m ≥－2 B ．m>－2或m ≠2 C ．m ≥－2且m ≠2 D ．m ≠22．已知过点(2，3)的直线y=ax ＋b(a ≠0)不经过第四象限，设s=a ＋2b ，则s 的取值范围是() A ．32≤s ＜6B ．－6＜s ≤−32C ．－6≤s ≤32D ．32≤s ≤63．已知√(x ＋1)2＋|3－x|=4，则y=2x －1的最大值与最小值的和是() A ．1B ．2C ．3D ．44．古希腊数学家欧几里德的《几何原本》记载，形如x 2＋2bx=a 2的方程的图解法是：如图，画Rt △ACB ，∠ACB=90°，BC=a ，AC=b ，在斜边AB 上截取AD=b ，则该方程的一个正根是() A ．AC 的长B ．BC 的长C ．CD 的长D ．BD 的长5．如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 上的点，DE 交AC 于点M ，AF 交BD 于点N ；若AF 平分∠BAC ，DE ⊥AF ；记x=BNON，y=CFBF，z=BE OM，则有()A ．x ＞y ＞zB ．x=y=zC ．x=y ＜zD ．x=y ＞z6．设a ，b 为整数，关于x 的一元二次方程x 2＋(2a ＋b ＋3)x ＋(a 2＋ab ＋6)=0有两相等实根α，关于x 的一元二次方程2a x 2＋(4a －2b －2)x ＋(2a －2b －1)=0有两相等实根β；那么以α，β为实根的整系数一元二次方程是() A ．2x 2＋7x ＋6=0 B ．x 2＋x －6=0 C ．x 2＋4x ＋4=0D ．x 2＋(a ＋b)x ＋ab=0二、填空题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 7．ΔABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC=60°，劣弧BC 的长是4π3，则⊙O 的半径是．8．若m ，n 是方程x 2－x －2019=0的两实根，则m 2－2m －n 的值为．9．一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是．10．当a ，b 是正实数，且满足a ＋b=ab 时，就称点M(a ，ab )为“完美点”；已知点A 是“完美点”且在直线y=－x ＋5上，则点A 的坐标为．11．从－3，－2，－1，－12，0，12，1，2，3这9个数中随机抽取一个数，记为m ．若数m 使关于x 的不等式组{13(2x ＋7)≥3x −m ＜0无解，且使关于x 的分式方程x x ＋3＋m−2x ＋3＝－1有整数解，那么从这9个数中抽到满足条件的m 的概率是． 12．如图，ΔABC 中，∠ACB=90°，sinA=513，AC=12，将ΔABC 绕点C 顺时针旋转90°得到ΔA'B'C ，P 为线段A'B'上的动点，以点P 为圆心，PA'长为半径作⊙P ，当⊙P 与ΔABC 的边相切时，⊙P 的半径为．三、解答題(本大题共3小題，共48分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．) 13．(本小题满分16分)已知：如图，Rt ΔABC 的三边满足(AB －4)2＋|AB －BC|=0，∠ABC=90°． (1)若M 是边AB 上一点，N 是边BC 延长线上一点，且线段AM=CN=m ，mAB−m=ABBC ＋2，求m 的值；(2)若M 是边AB 上一动点，N 是边BC 延长线上一动点，且线段AM=CN ，判断线段DM 与DN 的大小关系，并说明你的理由；(3)若M 、N 分别是边AB 、BC 延长线上的动点，D 为线段MN 与边AC 延长线的交点，线段AM=CN ，判断线段DM 与DN 的大小关系，并说明你的理由．AMB C DNAM B CD N14．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“特别距离”，给出如下定义：若｜x1－x2|≥｜y1－y2|，则点P1与点P2的“特别距离”为｜x1－x2|；若｜x1－x2|＜｜y1－y2|，则点P1与点P2的“特别距离”为｜y1－y2|．例如：点P1(1，2)，点P2(3，5)，因为|1－3|<|2－5|，所以点P1与点P2的“特别距离”为|2−5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x 轴的直线P2Q交点)．，0)，B为y轴上的一个动点．(1)已知点A(－12①若点A与点B的“特别距离”为3，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“特别距离”的最小值．x＋4上的一个动点，如图2，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D (2)已知C是直线y=43的“特别距离”的最小值及相应的点C的坐标．15．(本小题满分16分)如图，已知抛物线y=x2＋2bx＋2c(b，c是常数，且c<0)与x轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)．(1)点B的坐标为＿＿＿＿(结果用含c的代数式表示)；(2)连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=x2＋2bx＋2c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为(2，0)．当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；(3)在(2)条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得ΔPBC 的面积为S．①S的取值范围；②若ΔPBC的面积S为整数，则这样的ΔPBC共有＿＿＿＿个.华中师大一附中2019年高中招生考试数学试题参考答案与试题解析一、选择题1．C ．由△≥0，且m －2≠0，得m ≥－2且m ≠2． 2．A ．由题意得a ＞0，b ≥0，且3=2a ＋b ，当b=0时，s=a=32；当b ＞0时，s=a ＋2(3－2a)=6－3a ＜6．3．B ．由题意得x ＋1≥0，3－x ≥0，∴－1≤x ≤3，当x=－1时，y=2x －1有最小值为－3，当x=3时，y=2x －1有最大值为5，∴和是2．法2：由题意得|x ＋1|＋|3−x |=4，即数轴上一点x 到点(－1，0)、(3，0)的距离之和为4，当x=－1时，y=2x －1有最小值为－3，当x=3时，y=2x －1有最大值为5，∴和是2． 4．D ．由勾股定理得AB=√b 2＋a 2，∴BD=√b 2＋a 2－b ，由求根公式得x=−2b±√(2b)2−4×1×(−a 2)2=±√b 2＋a 2－b ，∴该方程的一个正根是BD 的长． 5．C ．如图，由角平分线，2BN AB AC CFON AO AB BF====，即x=y=√2，又AME ∆的角分线与高重合，则AME ∆为等腰三角形，AM AE =，作OP ∥AB ，交ED 于P ，则OP 为DBE ∆的中位线，OMP AME ∆∆∽，z=BE OM =BE OP=2，∴x=y ＜z ．6．A ．由题意得，(2a ＋b ＋3)2－4(a 2＋ab ＋6)=0，即(b ＋3)2=12(2－a)①，又(4a －2b －2)2－4×2a(2a －2b －1)=0，即(b ＋1)2=2a ②，由①②得，7b 2＋18b −9=0，其整根为b=－3，∴a=2；两个方程分别是：x 2＋4x ＋4=0和4x 2＋12x ＋9=0，∴α=−2，β=−32， ∴以α，β为实根的整系数一元二次方程是2x 2＋7x ＋6=0．二、填空题7．解：连接OB 、OC ．，劣弧BC 的长是，，．故答案为2． 8．解：由题意得：m 2－m －2019=0，m ＋n=1，∴m 2－m=2019， ∴m 2－2m －n=m 2－m －(m ＋n)=2019－1=2018．2120BOC BAC ∠=∠=︒43π∴12041803r ππ⋅⋅=2r ∴=9．解：当3x －2=127时，x=43，当3x －2=43时，x=15，当3x －2=15时，x=173，不是整数；所以输入的最小正整数为15．故答案为15．10．解：∵a ，b 是正实数，且满足a ＋b=ab ，∴a b＋1=a ，即ab=a －1，∴M(a ，a －1)，即“完美点”A 在直线y=x －1上，又∵点A 是“完美点”且在直线y=－x ＋5上， ∴{y =x −1y =－x ＋5，∴{x =3y =2，∴点A 的坐标为(3，2)．11．解：整理不等式组得：{x ≥1x ＜m ，由不等式组无解，得m ≤1，即m 为－3，－2，－1，－12，0，12，1；分式方程去分母得：x ＋m －2=－x －3，∴x=−m ＋12，由分式方程有整数解，∴m 为－3，－1，1，3，∴满足条件的m 为－3，－1，1，∴m 的概率是13． 12．解：如图1中，当⊙P 与直线AC 相切于点Q 时，连接PQ ．设PQ=PA'=r ，∵PQ ∥CA'，∴，，．如图2中，当⊙P 与AB 相切于点T 时，易证A'、B'、T 三点共线， △，，，，．综上所述，⊙P 的半径为或．13．解：(1)∵(AB －4)2＋|AB －BC|=0，∴AB －4=0，且AB －BC=0，∴AB=BC=4，∵mAB−m= AB BC+2，∴m 4−m=3，∴m=3，经检验得，m=3．(注：未检验扣1分)(2)∵DM=DN ．理由如下：过M 作ME ⊥AB 交AC 于E ， ∴∠AME=∠B=90°，∴ME ∥BC ，∴∠EMD=∠N ， ∵AB=BC ，∠B ＝90°，∴∠A ＝∠ACB=45°， ∴∠AEM=∠ACB=45°，∴AM=ME ，∵AM=CN ， ∴ME=CN ，又∵∠MDE=∠NDC ， ∴△MED ≌△NCD(AAS)，∴DM=DN ．(3)∵DM=DN ．理由如下：过M 作MH ⊥AB 交AC 的延长线于H ，同(2)可证△MHD ≌△NCD(AAS)，∴DM=DN ．(注：其它解法酌情给分，(2)、(3)问只有结论而无证明过程各得1分)．PQ PB CA A B '='''∴131213r r -=15625r ∴=A BT ABC '∆∽∴A T AB AC AB''=∴171213A T '=20413A T ∴'=1102213r A T ∴='=1562510213 AM B CD NEAMB C D NH14．解：(1)①∵点B 为y 轴上的一个动点，∴设点B 的坐标为(0，y)．∵|−12−0|=12≠3，∴|0−y |=3，∴y=3或y=－3，∴点B 点的坐标为(0，3)或(0，－3)．②点A 与B 点的“特别距离”的最小值为12．故答案是：12．(2)设点C(x ，43x ＋4)，D(0，1)，则｜x 1－x 2|=x ，｜y 1－y 2|=|43x ＋3|，①当|x |≥|43x ＋3|时，(i)若x ≤－94，则－x ≥−43x −3，x ≥－9，∴－9≤x ≤－94，(ii)若－94＜x ≤0，则－x ≥43x ＋3，73≤x ≤－3，x ≤－94，∴－94＜x ≤－97，(iii)若x ＞0，则x ≥43x ＋3，x ≤－9(舍)，综上，－9≤x ≤－97，∴当x=－97时，|x|min =|－97|=97，②当|x |＜|43x ＋3|时，同理可得，x ＜－9或x ＞－97， (i)若x ＜－9，则|43x ＋3|=−43x −3，|43x ＋3|＞9， (ii)若x ＞－97，则|43x ＋3|=43x ＋3，|43x ＋3|＞97，综合①②得，点C 与点D 的“特别距离”的最小值为97．相应的点C(－97，167)．(注：其它解法酌情给分)15．（1）∵抛物线y=x 2＋2bx ＋2c 过点A(－1，0)，∴1－2b ＋2c=0，∴2b=1＋2c ， ∵抛物线y=x 2＋2bx ＋2c 与x 轴分别交于点A(－1，0)、B(x B ，0)，∴−1、x B 是一元二次方程x 2＋2bx ＋2c 的两个根，∴−1＋x B =－2b=－1－2c ， ∴x B =－2c ，∴点B 的坐标为(－2c ，0)；（2）∵抛物线y=x 2＋2bx ＋2c 与y 轴的负半轴交于点C ， ∴当x=0时，y=2c ，即点C 的坐标为(0，2c)．设直线BC 的解析式为y=kx ＋2c ，∵点B 的坐标为(－2c ，0)，∴－2ck ＋2c=0， ∵c ≠0，∴k=1，∴直线BC 的解析式为y=x ＋2c ， ∵AE ∥BC ，∴可设直线AE 的解析式为y=x ＋m ，∵点A 的坐标为(－1，0)，∴－1＋m=0，解得m=1，∴直线AE 的解析式为y=x ＋1． ∵抛物线y=x 2＋2bx ＋2c 过点A(－1，0)，∴1－2b ＋2c=0，∴2b=1＋2c ，∴y=x 2＋(1＋2c)x ＋2c ，与y=x ＋1联立，解得x=－1，y=0或x=1－2c ，y=2－2c ， ∴E(－1，0)(与点A 重合，舍去)，E(1－2c ，2－2c)．∵点C 的坐标为(0，2c)，点D 的坐标为(2，0)，∴直线CD 的解析式为y=－cx ＋2c ． ∵点C ，D ，E 三点在同一直线上，∴2－2c=－c(1－2c)＋2c ，∴2c 2＋3c －2=0， ∴c 1=12(与c ＜0矛盾，舍去)，c 2=－2，∴b=−32，∴抛物线的解析式为y=x 2－3x －4；（3）①∵A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)， ∴AB=5，OC=4，直线BC 的解析式为y=x －4，分两种情况： (i)当－1＜x ＜0时，0＜S ＜S △ACB ，∵S △ACB =12AB ·OC=10，∴0＜S ＜10；(ii)当0＜x ＜4时，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，交CB 于点F ，设PF=y F −y P =(x －4)－(x 2－3x －4)=−x 2＋4x ，∴S △PCB =S △PFC ＋S △PFB =12PF ·OB=12(−x 2＋4x)×4=−2x 2＋8x=−2(x −2)2＋8， ∴当x=2时，S 最大值=8，∴0＜S ≤8；综合(i)(ii)可知：S 的取值范围为0＜S ＜10．②∵S 的取值范围为0＜S ＜10，且S 为整数．∴S=1，2，3，4，5，6，7，8，9．分两种情况：(i)当－1＜x ＜0时，设△PBC 中BC 边上的高为h ．∵B(4，0)，C(0，－4)，∴BC ＝4√2，∴S=12BC ·h=2√2h ，∴h =√24S ，又∵0＜S ＜10，即0＜2√2h ＜10，∴0＜h ＜5√22， ∴当S=1，2，3，4，5，6，7，8，9时，√24≤h ≤9√24，此时，满足条件的ΔPBC 有9个；(ii)当0＜x ＜4时，∵S △PCB =−2x 2＋8x ，且0＜S ≤8；∴当S=1，2，3，4，5，6，7时，均有∆＞0，此时P 点共有7×2=14个，当S=8，有∆＝0，此时P 点只有1个；综上可知，满足条件的ΔPBC 共有9＋14＋1=24个．D A B Oyx ECPFG。

华中师大一附中2016年高中招生考试数学试题(word版附答案)

华中师大一附中2016年高中招生考试数学试题考试时间：80分钟卷面满分：150分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题 (本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)1.已知方程1x ax =+有一个负根，而且没有正根，则a 的取值范围是( ) A ．1a >- B ．1a ≥C ．1a =D ．1a >2.关于x 的方程21212x x ax x x x +-=+-+-的根为负数，则a 的值为( ) A ．3a ≠-B ．3a ≠C ．1a <-且3a ≠-D ．1a >-且3a ≠3.如图，抛物线21(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,3)A ，且与x 轴有一个交点为(4,0)B ，直线2y mx n =+与抛物线交于A 、B 两点，下列结论： ①20a b +=；②0abc >；③方程23ax bx c ++=有两个相等的实数根； ④抛物线与x 轴的另一个交点坐标是(1,0)-，⑤当14x <<时，有21y y <．其中正确的是( ) A ．①②③B ．①③④C ．①③⑤D ．②④⑤4.已知,αβ是方程2260x ax a -++=的两实数根，那么22(1)(1)αβ+++的最小值为( ) A ．414-B ．2C ．10D ．325.设S ⋅⋅⋅+S 最接近的整数是( ) A ．2015B ．2016C ．2017D ．20186.如图，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，6AB =，⊙A 、⊙B 的半径分别为4和2，P 、E 、F 分别是线段CD 、⊙A 和⊙B 上的动点，则PE PF +的最大值是( ) A．12 B．16 C ．18D ．6CBD二、填空题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)．7.如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，随机地向菱形ABCD 内掷一粒米，则米粒落在阴影区域内的概率是 . 8.已知222x y z x y z x y z z y x +--+-++==且0xyz ≠，则()()()x y y z z x xyz+++= .9.满足1mx m n +-=的整数对(,)m n 共有对.10.已知22(1)56p q p p q pq ++=⎧⎨+=⎩，则以p 、q 为实数根的一元二次方程为 . 11.函数3max{4,,}y t t t =-+表示对于给定的t 的值，代数式4t -+、t 、3t的值中最大的数，例如当1t =-时，max{5,1,3}5y =--=，当1t =时，max{3,1,3}3y ==，则当t = 时函数y 的值最小.12.在平面直角坐标系中，同时满足下列两个条件的点的坐标为 . (1)直线23y x =-+通过这样的点；(2)不论m 取何非零实数值，抛物线2(21)3y mx m x m =+--都不通过这样的点. 三、解答题(本大题共4小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 13. (本小题满分16分)对于任意实数k ，方程2222(1)2()40k x k a x k k b +-++++=总有一个根是1.(1)求实数a 、b ； (2)求另一个根的范围.14. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－12x ＋4与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，以AB 为直径作⊙1O ，过B 作⊙1O 的切线交x 轴于点C . (1)求C 点的坐标；(2)设点D 为BC 延长线上一点，CD BC =，P 为线段BC 上的一个动点(异于B 、C )，过P 点作x 轴的平行线交AB 于M ，交DA 的延长线于N ，试判断PM PN +是否为定值，如果是，求出这个值，若不是，说明理由.15. (本小题满分16分)在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BAC D ∠=∠，点E 在边BC (点C 除外)上运动，点F 在边CD 上运动，且AEF ACD ∠=∠.(1)如图1，若AB kBC =(k 为常数)，则AE 与EF 之间是否存在某种确定的数量关系？若存在，请证明，若不存在，请说明理由； (2)如图2，若5AB AC ==，2425sin BAC ∠=，BAC ∠为锐角，设EF 的长度为m ，当E 、F 点运动时，求m 的变化范围.16. (本小题满分16分)已知抛物线2:24C y x x =-+，其顶点为E ，与y 轴交于点D . (1)直线2:(0)l y kx k =>与抛物线C 交于不同两点P 、Q ，并与直线1:28l y x =-+交于点R ，分别过P 、Q 、R 作x 轴的垂线，其垂足依次为1P 、1Q 、1R ，若11111u OP OQ OR +=，求u 的值； (2)若直线31:83l y x =-+与抛物线C 在第一象限交于点B ，交y 轴于点A ，求ABD DBE∠-∠的值； (3)若13(1,)4F 、(0,8)A ，请在抛物线C 上找一点K ，使得KFA ∆的周长最小，并求出周长的最小值.EDBB华中师大一附中2016年高中招生考试数学试题参考答案及评分标准考试时间：80分钟卷面满分：150分说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．一、选择题(本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)7．１２8．－1或8(只填对一个只得3分) 9．6 10．x 2－3x ＋2 =0 (填了x 2－2x ＋3 =0给4分)11．212．(－3，9)，(1，1)，(3，－3)[(正确答案个数－错误答案个数)×2。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。