“长方形和正方形的面积与周长”教学指导研究报告

第23卷第3期 数 学 教 育 学 报Vol.23, No.32014年6月JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATIONJun., 2014收稿日期：2014–01–08“长方形和正方形的面积与周长”教学指导研究报告俞宏毓（绍兴文理学院 数理信息学院，浙江 绍兴 312000）摘要：2012年下半年，为研究教师发展指导者的工作和解决中小学数学教学中存在的问题，顾泠沅教授以“长方形、正方形的面积与周长”为教学主题，组织一支研究团队，采用行动教育模式，在青浦实验小学进行了教学指导研究实验．根据儿童认知规律及知识的逻辑顺序，顾泠沅教授对教材内容进行了重组和删减．执教教师是一名年轻教师和一名经验教师．改进前后，新教师的3次执教差异显著，验证了实验构想的正确性．而经验教师拘泥于教材、囿于原有经验，3次课改进效果不明显．关键词：面积与周长；认知规律；数形结合；类比迁移中图分类号：G420 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2014）03–0071–05 小学数学中，“面积与周长问题”是受中西方数学教育界普遍关注的教学主题之一．2012年下半年，为研究教师发展指导者的工作、解决目前中小学数学教学中存在的问题，在顾泠沅教授的主持下，青浦教师进修学院的科研员和教研员、华东师范大学的博士研究生俞宏毓、青浦实验小学的数学教师梅丽娜等人以“长方形、正方形的面积与周长”为教学主题，采用行动教育模式，进行了教学指导研究活动，并获得了一些有效的结论[1~2]．这里介绍此次研究活动的设计思路、研究概况，并对研究所得数据进行分析，阐述有关 结论．1 研究思路青浦实验小学用的是上海教育出版社的教材．“长方形、正方形的面积”安排在三年级上册的第四章“几何小实践”的第三节，基础是“面积”（是通过数格子比较各种图形大小得出面积概念）．而“长方形、正方形的周长”安排在三年级下册的第五章“几何小实践”的第二节，基础是“周长的认识”．此次实验的出发点是“为学生的理解而教”，根据儿童认知从简单到复杂、从一维到二维的逻辑顺序，先教“长方形、正方形的周长”，在这个基础上进行“长方形、正方形的面积”的教学．由认识发展从简单到复杂、从规则到不规则的原理，此次研究对周长和面积的教学都是从最简单的图形长方形和正方形开始的，组合图形作为在这个基础上的延伸．另外根据顾泠沅教授强调的抓教学主干和增加教学效率的思想，在学情分析的基础上，去掉了“周长的认识”的教学，直接进行“长方形、正方形的周长”教学；淡化了“通过数格子比较图形大小”，将面积的概念放在“长方形、正方形的面积”一节课中教学．周长和面积的教学各有3个要素：概念、法则与单位．根据知识和方法的类比迁移原理，此次实验试图通过周长概念、运算法则及单位的教学迁移到面积概念、运算法则及单位的教学．实验的效果主要从“长方形、正方形的面积”的教学来验证．此次实验采用的是顾泠沅教授的“三个关注，两次反思”的行动教育模式．2 研究概况2.1 研究对象此次活动的执教教师有两位，一位是有17年教龄的经验教师C 老师，一位是只有两年教龄的新教师L 老师．参与指导活动的3位教师发展指导者中有两位是上海青浦教师进修学院的教研员，一位是校级专家教师．青浦教师进修学院的科研员和俞宏毓等人以研究者身份参与了此次活动．参与教学活动的是青浦实验小学三年级6个平行班的学生，基础相当．2.2 研究过程2012年10月15日，在青浦教师进修学院召开了研究准备会．教师发展指导者、执教教师和研究人员都参与了会议．会上顾泠沅教授向全体成员介绍了研究的主体思路．11月9日，在进行“长方形、正方形的周长”执教前，梅丽娜、俞宏毓等人对6个执教班级做了前测，前测数据提供给执教教师和教师发展指导者，作为教学和指导教学的依据之一．按照行动教育模式，11月16日、11月23日和12月3日，两位教师分别上了3次课，课后及时进行后测和学生访谈，每次课后开展研讨会议．所有的课堂录像和研讨会议都拍摄了全程录像，访谈全部做了记录并录音． 2.3 分析方法运用录像带分析法，将课堂教学和研讨会议录像全部转录为文字，并结合录像进行分析．3次执教的前后测试卷，首先做了量的统计，然后进行质的分析．对学生和教师的访谈做了质的分析．数据统计工具使用的是Excel2007．3 结果与分析这次教学研究活动的成效主要从“长方形、正方形的面积”的课堂教学及其效果来反映，因此分析的主要是两位教师关于该主题的课堂教学及效果．根据行动教育模式，此次活动的第一次课是不受任何指导和干预的原生态课，两位教师按照教材和教参自主备课．根据本实验的要求，虽然都在执教“面积”之前，先执72 数 学 教 育 学 报 第23卷教了“周长”内容．但是根据教材，在“长方形、正方形的周长”之前先用一节课执教了“周长的认识”，在“长方形、正方形的面积”之前也先用一节课执教了“数格子比面积大小”的内容．经过指导以后，L 教师第二、三次课无论是课堂教学还是测试结果改进都非常明显．而经验教师C 教师拘泥于教材、囿于原有经验，3次课教学效果没有显著差异．下面对L 教师的3次执教情况进行分析，并对两位教师的后测结果进行比较分析． 3.1 L 教师3次执教比较分析对课堂教学进行录像带分析发现，L 教师的3次课都包括复习周长、面积概念教学、数格子比较大小、面积单位介绍、面积公式探究、巩固练习和课堂小结7个教学环节．3次课7个环节的时间分布情况如表1和图1所示．可以看出，3次课各教学环节用时有很大差别．第一次课巩固练习耗时最多，占整节课的50.95%，复习时间也比第二、三次课长，占7%．相应地面积概念教学、通过数格子比较面积大小以及探究面积公式的时间就少了．第二、三次课数格子比面积大小时间比第一次课要多得多，各占课堂时间的29.88%和27.52%．面积概念教学时间也比第一次长．第三次课面积公式探究时间比前两次课都要长，巩固练习时间只有13.93%[3~4]．表1 3次课主要教学环节及用时比较第一次课 （总时间：42’10”） 第二次课 （总时间：40’6”） 第三次课 （总时间：40’56”） 用时 百分比 用时 百分比 用时 百分比复习周长 2’57” 7.00% 2’ 4.99% 1’22” 3.34%面积概念 2’7” 5.02% 3’26” 8.56% 2’45” 6.72%数格子 2’58” 7.04% 11’59”29.88% 11’16” 27.52%面积单位 2’17” 5.42% 4’21” 10.85% 2’45’’ 6.72%面积公式 9’24” 22.29% 8’27” 21.07% 15’1’’ 36.69%巩固练习 21’29” 50.95% 8’38” 21.53% 5’42’’ 13.93%课堂小结58” 2.29% 1’07” 2.78% 2’2’’ 4.97%图1 L 教师3次课主要教学环节时间分布 根据此次实验的设计思路，是要在学习长方形、正方形周长的基础上学习面积，目的是要将学习周长的方法迁移到面积的学习．第一次课的复习引入，L 教师很强调周长运算的简便形式，而不是周长的3个要素．改进后的复习L 教师引导学生回答“长方形一周的长度就是长方形的周长”、“一段一段测量加起来是周长”、“周长的单位是厘米”，为面积三要素的学习打下了基础．面积概念的教学，第一次课L 教师是直接给出“表示图形的大小叫做面积”，经改进后L 教师用一个长方形和正方形纸板让学生来比较大小引入面积概念，并让学生通过周围的事物来感知面及其大小，使学生对面积概念有了更深刻的体会．长方形、正方形面积的教学，面积概念、运算法则和面积单位3个要素中较难的是运算法则的得出，而数格子是探究面积公式的铺垫．前测结果能够通过数格子得出长和宽相乘的学生不到15%．但从第一次课的教学用时来看，数格子和探究面积公式时间之和只占29.33%，远少于处理练习的时间．第一次的课堂教学中，L 教师不是引导学生探索长方形、正方形的面积公式，而是纠缠于长方形、正方形的面积和周长的关系．经过指导者改进后的第二次课，L 教师把重心放到了面积公式的教学，但是在数格子比面积大小上用了11’59”的时间，比面积公式探究多用了3’32”．而前测结果显示，58.6%以上的学生都会通过数格子比较图形的大小．因此第三次课，指导者又对此进行了进一步的指导和改进，L 教师缩短了让学生数格子的时间．并充分利用了学生数格子时出现的只数部分格子就得出面积大小的课堂生成，引导学生进行脑中数格子，从而将学生的认识从具象引导到表象，为面积公式的得出做了更好的铺垫．本教学主题有长方形、正方形两个面积公式．指导者指出，长方形和正方形是一般和特殊的关系，教学中从长方形突破，而正方形作为一个特殊情况点明即可．课堂观察和测试结果说明，这样处理并不影响正方形面积公式的理解和掌握．面积单位的教学，第一次课L 教师直接给出了面积单位1平方厘米，改进后教师通过两个格子大小不一样的图形的比较引出了面积单位，让学生切实体会到面积单位的必要性．在介绍面积单位时，教师适时指出“面积是一块一块来测量的”，和周长的“一段一段相加”呼应．第一次的课堂练习L 教师除了安排了分别计算长方形、正方形的周长与面积外，还设计了一道要求学生“在方格纸上画出给定面积的长方形和正方形并计算它们的周长”的题目．这样的练习安排和本节课的重点相背离．在处理练习时L 教师又一再纠缠于长方形、正方形的面积和周长的关系．改进后的课堂练习只有长方形、正方形的周长、面积运算．所以二、三两次课课堂练习时间较短，但是测试结果发现并没有影响学生正确掌握长、正方形的面积运算及其灵活应用．第三次课的课堂小结用了两分钟左右，比第一、二次课小结的时间都要长．只有第三次课，教师让学生总结收获，学生很完整地答出了本节课的主要内容．3.2 3次测试结果比较分析后测试卷除了设置了计算长方形和正方形的周长和面积的基本题外，还设置了一个实际应用题和一个组合图形的周长和面积问题．从3次课后测的结果来看，L 教师3次课的教学效果差异显著，3次课的测试成绩总体上是逐次上升的．C 教师后两次课测试成绩明显不如L 教师的．（1）周长运算正确率比较．第3期 俞宏毓：“长方形和正方形的面积与周长”教学指导研究报告 73如图2、3所示，长方形、正方形的周长运算后测成绩都比较高，第一次课C 教师正确率比L 教师高．但是L 教师经改进后，成绩变化较大，第三次课长方形、正方形的周长运算正确率都达到了100%，但C 教师3次课成绩没什么长进．第一次课两位教师都强调了长方形周长运算的形式2×(长+宽)．经改进后L 教师把教学重心放在周长三要素的教学上，而从C 教师的第二、三次课看来，强调的还是周长运算的形式．图2 长方形周长运算正确率比较图3 正方形周长运算正确率比较（2）面积运算正确率比较．图4 长方形面积运算正确率比较图5 正方形面积运算正确率比较根据知道者的建议，第二、三次课，面积公式的教学两位教师都以长方形的面积公式为重点，而正方形面积公式则由一般和特殊关系得出．第三次课，L 教师执教班级长方形、正方形面积运算率分别提高到98%和96.1%．而C 教师第二、三次课，长方形面积运算正确率变化不大，正方形面积运算正确率却降低到了22.90%．周长如何教、学生有没有真正理解，对面积教学影响确实很大．（3）实际应用正确率比较．实际应用题设置的是一个算镜框的周长和镜框玻璃面大小的问题．如图6、7所示，第一次后测结果，L 教师执教班级算出周长和面积的学生都是50%左右，略高于C 教师班级．第二、三次课，C 教师在课堂上处理了和镜框问题一模一样的问题，后测成绩也提高到了80%以上．但是L 教师改进后的课，学生在深入理解了周长的“一段一段”和面积的“一块一块”以后，课堂上虽然没有出现这样类似的题目，但该题正确率还是提高到了98%和82%．由此也可以看出，教会学生理解的效果远胜“应试教育”．图6 周长公式实际应用正确率统计图7 面积公式实际应用正确率统计（4）组合图形运算正确率比较．为了测试这次课的教学对学生后续学习的影响，后测最后设置了一道求组合图形的周长和面积问题．测试结果如图8、9所示，改进前的课，正确率都很低．受“数格子比较图形大小”的影响，部分学生试图用画格子的方法来求出组合图形的面积而未果．画格子仅是引入面积公式的“引子”还是处理复杂图形面积问题的一个有效方法？显然应该是前者．根据布鲁姆的认知从具象到表象再到抽象的原理，简单图形的面积大小最终是抽象到公式运算，而复杂图形则可以转化为简单图形来求．第三次课，L 教师执教班级正确运算组合图形周长的学生比率高达98%，比C 教师执教班级高出41.7%．正确运算面积的学生比率，L 教师执教班级提高到了15.7%（8个学74 数 学 教 育 学 报 第23卷生），而C 教师班级3次课都没有人能正确算出．课堂教学，L 教师强调图形的周长是图形一周的长度相加，面积是铺满图形面的各块相加．学生在理解周长和面积概念的这个实质以后，遇到复杂的组合图形就有路可循，而不是手足无措了．而执教之前的前测，学生是连周长和面积概念都不知 道的．图8 组合图形周长运算正确率统计图9 组合图形面积运算正确率统计（5）单位出错情况比较．3次后测单位出错的情况统计如图10所示，3次课出错的人数是逐次递减的，但L 教师每次课出错率都低于C 教师．而且每次课C 教师用于面积单位认识的时间都比L 教师长，其中第三次课C 教师用了6’50”的时间，而L 教师只用了2’45”，但是出错率却比C 教师低4个百分点．从课堂观察来看，C 教师特别强调让学生感受1平方厘米的大小，而L 教师改进后的课重在引导学生体会面积单位的意义．图10 单位出错人数百分比图11 对面积和周长关系的了解（6）对长方形、正方形周长和面积关系的了解情况． 后测题中有一问是要求学生通过周长和面积的运算，回答发现了什么．L 教师3次后测能够正确回答的学生比率都要高于C 教师．第一次课，在课堂上两位教师在这个问题上耗时都很多，所以第一次课后能够指出这个关系的学生最多．第一次课的课堂小结，L 教师让学生总结收获，学生首先回答“今天发现了一个正方形和一个长方形，如果它的周长是相等的，那它的面积就不相等，如果面积相等的话，它的周长就不相等”，而不是长方形、正方形的面积概念及运算公式等．第二、三次课，两位教师没有很纠缠这个问题．关于长方形的周长和面积关系问题，现阶段学生只要知道二者不是一回事、不混淆即可．所以在这里，教师不用过分纠结于这个问题，只需点到为止．从第二、三次课的数据来看，L 教师执教班级了解周长和面积关系的学生比率远高于C 教师班级．3.3 访谈的结果（1）教师的体会．新教师L 只有一年的教学经验，原本对教材都不是很熟悉的，经过指导者的指导和3轮课的历练后，自己也觉得收获很大，下面是她在第三次课后研讨上的发言．新教师L ：通过这3轮课，使我感受到自己成长了不少．原本只会按教材教，而这节“长方形、正方形的面积与周长”让我认清了教材主线，也明确了一定的方向．在这短短的3周里，我在大家的帮助、指点和经验传授下，从第一轮课以教师传授面积概念、1平方厘米量感和方法为主，到第二轮课让学生主动探索研究面积大小和面积计算方法，直到今天我能够成功的展示这一节课．在这个不断尝试反复修改的过程中，我对教学设计、教材的理解、教学目标，以及如何引导学生运用恰当的学习方法等有了许多新的认识和理解．第三次课后研讨会议，教研组的其他数学教师对本次活动进行了点评，也谈了一些自己的感受和收获，都觉得本次活动重组教材进行教学尝试是个最大的亮点，认为“在今后的教学中也要有这种处理教材的意识，设计合适的教学内容，帮助学生更好地理解知识”．大家对本次活动L 教师的进步也是非常肯定的．经验教师陈老师谈到：我觉得这样的课例研究活动，为青年教师的成长提供了一个很好的舞台，让他们能尽快地成长起来．我们的L 老师上数学课才第二个年头，可是我们在今天看到了她在课堂上已然像模像样了．在专家的指导和同伴的帮助下，我们看到了她在这个过程中正一步一步成长起来．在三轮课堂实践中，她动足了脑筋，逐步转变了自己的教学观念，优化了自己的课堂教学．从第一轮最初运用传统以老师教授为主，转变为今天我们看到的“为理解而教”，真正做到了少教多学．从课堂实效来看，今天这节课的效果是3轮课堂中最好的，新课结束时学生对于面积已经有了非常深刻的印象，绝大多数的学生已经不会跟周长的概念混 淆了．没有十全十美的教材，指导者和教师都要有清醒的头脑，要从学生的学情出发，会用教材教，而不是照着教材去第3期俞宏毓：“长方形和正方形的面积与周长”教学指导研究报告75教．课例研究不仅是对该节课本身的打造，更是对教师的教学设计能力、教学方式方法等方面的修正．（2）学生的收获．活动结束后，梅丽娜老师对第三次课后测组合图形面积求对的8名学生做了访谈，学生都能够根据自己原来的算式讲清楚计算过程，而且他们对周长和面积概念的理解非常透彻．如学生回答说“计算周长是要把一圈的长度都加起来，所以要算出每一段的长度，然后全部加起来．计算面积要把组合图形分割一下，每一块都算出来再加起来”．教学的前后，学生完全实现了从没有概念到对概念的深刻理解，所以遇到课堂上没有出现过的提高性问题也能够顺利解决．4讨论与建议（1）教学应遵从儿童认知的发展规律．有专家指出现在的小学教学有太多的浪费，原因是花样太多、枝节太多．教学应该是简单的，应遵从儿童认知的从简单到复杂、从规则到不规则这样一个发展规律．儿童在感知的时候，确实是从体到面再到线．但是就数学概念和方法的学习来说，应该是从一维到二维再到三维，应该是先有周长再有面积和体积，运算也应该是先加法再乘法．这次课例研究的成功也说明了这个问题．（2）数学教学中应注重数与形的结合．数学教学是有主线的．小学数学的主线，一个是数的概念，一个是运算，还有一个是数与形的结合．从前测的结果以及访谈看出，小学教学中数与形结合得不够好，学生在学数和运算的时候和形是脱离的．小学数学教学应该尝试数和形的有机结合．如在一年级下学期学习度量和线段时，就可以结合线段的测量和计算几条线段相加的和；在二年级上学期学习乘法的初步认识时相同加数连加用乘法来计算时，用实物（或格子图）摆成几排几列，让学生来计算．这样可以让学生感受到数与形之间的联系，也为周长和面积的学习打下了基础．（3）学习方法是可以迁移的，教学中应利用这种迁移．数学学习中的一些概念及其性质以及一些运算、处理问题的方法等，都是可以类比着去学习，是可以迁移的．这次活动，年轻教师L教师的执教可以说是成功地实现了这种迁移．教会了学生周长的三要素的本质，在相对复杂的面积的三要素的教学上就可以少费工夫了．教学中要多动这样的脑筋．致谢：本研究在顾泠沅教授的指导下进行，测试题由青浦实验小学梅丽娜老师提供，研究得到青浦教师进修学院和青浦实验小学的大力支持，特此致谢．［参考文献］[1] 顾泠沅，朱连云．教师发展指导者工作的预研究报告[J]．全球教育展望，2012，（8）：31-37．[2] 俞宏毓，顾泠沅．教师发展指导者工作的研究报告——义乌实验案例分析[J]．教师教育研究，2013，（1）：70-76．[3] 俞宏毓，顾非石．关于“扇形的面积”的教学指导研究报告[J]．数学教育学报，2013，22（2）：44-48．[4] 李士锜，杨玉东．教学发展进程中的进化与继承——对两节录像课的比较研究[J]．数学教育学报，2003，12（3）：5-9．Research Paper of Area and Circumference of Rectangle and Square’s Teaching GuidanceYU Hong-yu(Department of Mathematics, Shaoxing College of Arts and Sciences, Zhejiang Shaoxing 312000, China) Abstract: At the second half of 2012, in order to research the work of staff developers and solve the problems of teaching of mathematics in elementary and secondary school, professor Gu Ling-yuan has selected area and circumference of rectangle and square as teaching topic, organized a research team, adopted the action instruction mode, and carried on teaching and research activities in Qingpu experimental primary school. On the basis of children’s law of cognition and consecution of knowledge, Prof Gu Ling-yuan have recombined and pruned the teaching material. One of the two teachers is a novice teacher, and the another one is an experienced teacher. Before and after the improvement, the teaching of the novice teacher is very different, and this fact validates the validity of the concept. But the experienced teacher rigidly adhered to the teaching material and original experiences, so his three classes have little improvement.Key words: area and circumference; law of cognition; the combination of number and shape;analogical transfer[责任编校：周学智]。