幂函数_PPT

Δ＝k2－8m>0， ∵f(0)＝2，故需满足0<2km<1，
m>0， f1>0
k2>8m m>0， ⇒0m<－k<k2＋m2，>0，
将 k 看做函数值，m 看做自变量，画出可行域如图阴影部分所示，
因为 m，k 均为整数，结合可行域可知 k＝7，m＝6 时，m＋k 最小，最
小值为 13.
答案：D
幂函数
幂函数与性质
+ 二、二次函数的表示形式 + 1．一般式：y＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ． + 2．顶点式：y＝ a(x－h)2＋k(a≠0) ，其中 (h，k) 为抛物线的顶
点坐标． + 3．零点式：y＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ，其中x1、x2是抛物线与x轴交
[答案] －21
+ 2．(2013年济南质检)如图是一个二次函数y＝f(x)的图象． + (1)写出这个二次函数的零点； + (2)写出这个二次函数的解析式及x∈[－2,1]时函数的值域．
+ 解析：(1)由图可知这个二次函数的零点为x1＝－3，x2＝1. + (2)可设两点式f(x)＝a(x＋3)(x－1)，又图象过(－1,4)点，代入得a＝
+ (2)f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x2＋x＋1>k在[－3， －1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3， －1]上递减．∴g(x)min＝g(－1)＝1.
+ ∴k<1，即k的取值范围为(－∞，1)．
+ 在本例(1)的条件下，若存在x∈[－3，－1]使f(x)>x＋k在[－3，－1] 上成立，试求k的取值范围．
A．(－∞，－2]∪－1，23 C.－1，41∪14，＋∞
B．(－∞，－2]∪－1，－43 D.－1，－43∪14，＋∞
+ 【思路导析】 由新定义化简得出f(x)，再由条件f(x)＝c转化为y＝ f(x)与y＝c两图的象交点问题，作图分析求出即可．
【解析】
由已知得 f(x)＝xx2－－x22x－<－1≤1或x≤x>3232，，
A．2a>12a>(0.2)a
B．(0.2)a>12a>2a
C.12a>(0.2)a>2a
D．2a>(0.2)a>12a
解析：若 a<0，则幂函数 y＝xa 在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a>12
a>0.所以(0.2)a>12a>2a.
答案：B
+ 考向二 二次函数的图象与性质 + [例2] (2013年苏州四市模拟)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，
考向一 幂函数的图象与性质 [例 1] (2013 年济南调研)下面给出 4 个幂函数的图象，则图象与函 数大致对应的是( )
A．①y＝x31，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x21，④y＝x－1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x21，④y＝x－1 D．①y＝x31，②y＝x21，③y＝x2，④y＝x－1
+ 解析：由f(x)>x＋k⇔k<x2＋x＋1. + 令h(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]， + 由已知条件知在x∈[－3，－1]上， + 如使得k<x2＋x＋1，成立， + 只需k<h(x)max. + 又h(x)在[－3，－1]上递减， + ∴h(x)max＝h(－3)＝7， + ∴k<7. + 即k的取值范围为(－∞，7)．
【思想方法】 数形结合思想在二次函数中的应用
【典例】 (2011 年高考天津卷)对实数 a 和 b，定义运算“⊗”：a⊗
a，a－b≤1， b＝b，a－b>1. 设函数 f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R.若函数 y＝f(x)－
c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是( )
b ， c 为 实 数 ， a≠0) 的 图 象 过 点 C(t,2) ， 且 与 x 轴 交 于 A 、 B 两 点 ， 若 AC⊥BC，则a的值为________．
[解析] 设 A，B 两点的坐标分别为(x1,0)，(x2,0)，
即方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根分别是 x1，x2.
因此 x1＋x2＝－ab，x1x2＝ca.
答案：B
3．(课本习题改编)设 α∈－1，1，－12，12，3，则使 y＝xα 的定义
域为 R 且为奇函数的所有 α 的值为( )
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
+ 解析：由α的取值知α＝1,3时，x∈R，且 为奇函数，故选A.
+ 答案：A
+ 4．(2013年淮南模拟)当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－m＋1为减 函数，则实数m＝________.
如图，要使 y＝f(x)－c 与 x 轴恰有两个公共点，
则－1<c<－34或 c≤－2，应选 B.
+ 【答案】 B
+ 【思维升华】 与二次函数有关的最值问题，对称性问题，函数的 零点、方程的根等在解决时常借助等价转化思想与数形结合思想去 解决．
1．(2011 年高考陕西卷)函数 y＝x31的图象是(
m2－m－1＝1，
+ 答解案析：：2由题意知－m＋1<0，
解得 m＝2.
+ 5．已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是
________．
解析：∵f(x)＝4x2－mx＋5 在[2，＋∞)上是增函数，
∴x＝－2ba＝－2－×m4≤2，解得 m≤16.
答案：(－∞，16]
)
解析：因为当 x>1 时，x>x13，当 x＝1 时，x＝x31，所以 A、C、D 错 误．选 B.
答案：B
+ 2．(2011年高考重庆卷)设m，k为整数，方程mx2－kx＋2＝0在区间 (0,1)内有两个不同的根，则m＋k的最小值为( )
+ A．－8
B．8
+ C．12
D．13
+ 解析：方程mx2－kx＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的根可转化为 二次函数f(x)＝mx2－kx＋2在区间(0,1)上有两个不同的零点．
[解析] 因为函数 y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于 y 轴 对称，结合选项知，该函数图象应与②对应；y＝x12＝ x的定义域、值域 都是[0，＋∞)，结合选项知，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝1x，结合 选项知，其图象应与④对应．综上所述，选 B.
[答案] B
1．(2013 年淄博模拟)若 a<0，则下列不等式成立的是( )
又 C(t,2)，则 C→A ＝(x1－t，－2)，C→B ＝(x2－t，－2)， 由于 AC⊥BC，所以 C→A ·C→B ＝(x1－t)(x2－t)＋4＝0，
即 x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋4＝0， 于是ca＋tab＋t2＋4＝0，at2＋abt＋c＋4＝0， 由于图象过点 C(t,2)， 所以 at2＋bt＋c＝2，于是2a＋4＝0，解得 a＝－21.
x∈R. + (1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区
间； + (2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的
范围．
[解析] (1)由题意知 f(－1)＝a－b＋1＝0， 且－2ba＝－1，∴a＝1，b＝2. ∴f(x)＝x2＋2x＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1， ＋∞)．
－1， + ∴f(x)＝－x2－2x＋3.
+ 又x∈[－2,1]中，x∈[－2，－1]时递增，x∈[－1,1]时递减，∴最大 值为f(－1)＝4.
+ 又f(－2)＝3，f(1)＝0，∴最小值为0， + ∴x∈[－2,1]时函数的值域为0≤y≤4.
+ 考向三 二次函数的综合应用 + [例3] (2013年洛阳月考)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，
1．(课本习题改编)下列函数是幂函数的是( )
A．y＝2x
B．y＝2x－1
C．y＝(x＋2)2
D．y＝3 x2
+ 解析：由幂函数的定义可知D正确．
+ 答案：D
2．(2013 年烟台调研)幂函数 y＝f(x)的图象经过点4，21则 f14的值
为( ) A．1
B．2
C．3
D．4
解析：设 f(x)＝xn，∵f(4)＝12，∴4n＝12，f14＝14n＝4－n＝2，故选
点的横坐标．
+ 三、二次函数的图象及其性质
[疑难关注] 1．幂函数图象的特点 (1)幂函数的图象最多出现在两个象限内； (2)幂函数的图象若与坐标轴相交，则交点一定是原点； (3)所有的幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第 四象限，其余象限由其奇偶性决定． 2．与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ab>2－0，4ac<0. (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ab<2－0，4ac<0.