2019高考数学压轴题命题全

压轴题命题区间(一)⎪⎪

函数与方程 增分点

抽象问题有形化，破解抽象函数难题

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征式子的一类函数．由于抽象函数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，使多数学生感觉无从下手，望而生畏．事实上，解决此类问题时，只要准确掌握函数的性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题，问题就迎刃而解了．

[典例] (2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1

x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m

(x i ＋y i )＝( )

A ．0

B ．m

C ．2m

D ．4m

[思路点拨]

(1)由于题目条件中的f (x )没有具体的解析式，仅给出了它满足的性质f (－x )＝2－f (x )，即f (x )(x ∈R)为抽象函数，显然我们不可能求出这些点的坐标，这说明这些交点坐标应满足某种规律，而这种规律必然和这两个函数的性质有关．

(2)易知函数y ＝x ＋1

x 关于点(0,1)成中心对称，自然而然的让我们有这样的想法：函数f (x )(x ∈R)的图象是否也关于点(0,1)成中心对称？基于这个想法及选择题的特点，那么解题方向不外乎两个：一是判断f (x )的对称性，利用两个函数的对称性求解；二是构造一个具体的函数f (x )来求解．

[方法演示]

法一：利用函数的对称性

由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )＝2，所以点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))连线的中点是(0,1)，故函数f (x )的图象关于点(0,1)成中心对称．(此处也可以这样考虑：由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )－2＝0，即[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0，令F (x )＝f (x )－1，则F (x )＋F (－x )＝0，即F (x )＝f (x )－1为奇函数，图象关于点(0,0)对称，而F (x )的图象可看成是f (x )的图象向下平移一个单位得到的，故f (x )的图象关于点(0,1)对称)．又y ＝x ＋1x ＝1＋1x 的图象也关于点(0,1)对称，所以两者图象的交点也关于点(0,1)对称，所以对于每一组对称点x i ＋x i ′＝0，y i ＋y i ′＝2，所以∑i ＝1m

(x i ＋y i )＝∑i ＝1m

x i ＋∑i ＝1

m

y i ＝0＋2×m

2＝m ，故选B.

法二：构造特殊函数

由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )－2＝0， 即[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0.

令F (x )＝f (x )－1，则F (x )为奇函数， 即f (x )－1为奇函数，从而可令f (x )－1＝x ， 即f (x )＝x ＋1，显然该函数满足此条件． 此时y ＝f (x )与y ＝

x ＋1

x

的交点分别为(1,2)和(－1,0)， 所以m ＝2，∑i ＝1

m

(x i ＋y i )＝1＋2＋(－1)＋0＝2，

结合选项可知选B. 答案：B [解题师说]

1．解决抽象函数问题的2个常用方法

2．解决抽象函数问题常用的结论

(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b

2对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )．

特例：函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )； 函数y ＝f (x )关于x ＝0对称⇔f (x )＝f (－x )(即为偶函数)．

(2)函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝2b . 特例：函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝0⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝0； 函数y ＝f (x )关于点(0,0)对称⇔f (x )＋f (－x )＝0(即为奇函数)．

(3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；y ＝f (x ＋a )是奇函数⇔函数y ＝f (x )关于(a,0)对称．

(4)对于函数f (x )定义域内任一自变量的值x ： ①若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； ②若f (x ＋a )＝

1

f (x )

，则T ＝2a ；

③若f(x＋a)＝－

1

f(x)，则T＝2a；(a>0)

④若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则T＝|a－b|；

⑤若f(2a－x)＝f(x)且f(2b－x)＝f(x)(a≠b)，则T＝2|b－a|.

[应用体验]

1．已知函数f(x)在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f(f(x)－2x)＝3，则f(3)的值是()

A．3B．7

C．9 D．12

解析：选C由题意，知对任意x∈R，都有f(f(x)－2x)＝3，不妨令f(x)－2x＝c，其中c是常数，则f(c)＝3，所以f(x)＝2x＋c.再令x＝c，则f(c)＝2c＋c＝3，即2c＋c－3＝0.易得2c与3－c至多只有1个交点，即c＝1.所以f(x)＝2x＋1，所以f(3)＝23＋1＝9.

2．已知奇函数f(x)(x∈D)，当x>0时，f(x)≤f(1)＝2.给出下列命题：

①D＝[－1,1]；

②对∀x∈D，|f(x)|≤2；

③∃x0∈D，使得f(x0)＝0；

④∃x1∈D，使得f(x1)＝1.

其中所有正确命题的个数是()

A．0B．1C．2D．3

解析：选A由奇函数f(x)(x∈D)，当x>0时，f(x)≤f(1)＝2，只说明函数有最值，与定义域无关，故①错误；对于②，可能f(3)＝－3，|f(3)|＝3>2，故②错误；对于③，当0不在D中，且x轴为渐近线时，则不满足③；当y＝1为渐近线时，不满足④，因此选A.

3．已知定义域为R的函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，若x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值()

A．恒大于0 B．恒小于0

C．可能等于0 D．可正可负

解析：选B法一：由f(－x)＝－f(x＋4)，

得f(－x＋2)＝－f(x－2＋4)＝－f(x＋2)，

即f(x＋2)＝－f(－x＋2)，

故函数f(x)的对称中心为M(2,0)．

令x＝－2，得f(2)＝－f(2)，解得f(2)＝0.