2019高考数学压轴题命题全
全国卷Ⅱ2019年高考数学压轴卷理含解析20190514017
（全国卷Ⅱ）2019年高考数学压轴卷 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知{}lg 0A x x =>，{}12B x x =-<，则A B =U （ ） A ．{}11x x x <-≥或 B ．{}13x x << C ．{}3x x >D ．{}1x x >-2．下列命题中正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．若0x >，则sin x x >恒成立C ．命题“()00,x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是“()00,x ∀∉+∞，00ln 1x x ≠-”D ．命题“若22x =，则2x =或2x =-”的逆否命题是“若2x ≠或2x ≠-，则22x ≠”3．设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数e 4xy x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()sin y A x b ωϕ=++的最大值为3，最小值为1-．两条对称轴间最短距离为2π，直线6x π=是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式为（ ） A ．4sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．2sin 216y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭C ．2sin 3y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．2sin 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭6．设0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.2c =，0.21.1d =则（ ）A．a b d c>>>B．c a d b>>>C．d c a b>>>D．c d a b>>>7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．16π3B．3πC．29πD．169π8．已知向量(1,3=-a，()0,2=-b，则a与b的夹角为（）A．π6B．π3C．5π6D．2π39．在ABC△中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，()()3a b c a c b ac+++-=，则角B=（）A．2π3B．π3C．5π6D．π610．执行如图所示程序框图，输出的S=（）A．25 B．9 C．17 D．2011．已知过点(),0A a作曲线:e xC y x=⋅的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（）A．()(),40,-∞-+∞U B．()0,+∞C．()(),11,-∞-+∞U D．(),1-∞-12．已知函数()ln,0e,ex xf x exx⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若0a b c<<<且满足()()()f a f b f c==，则()af b()bf c+()cf a+的取值范围是（）A．()1,+∞B．()e,+∞C．11e1e⎛⎫++⎪⎝⎭,D．1e,2ee⎛⎫+⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知直线l、m与平面α、β，lα⊂，mβ⊂，则下列命题中正确的是_______（填写正确命题对应的序号）．S＝S＋8开始否T>S？结束是S＝1，T=0,n=0n=＝0n＝n+2输出ST＝T+2n①若l m ∥，则αβ∥；②若l m ⊥，则αβ⊥； ③若l β⊥，则αβ⊥；④若αβ⊥，则m α⊥，14．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最小值为__________．15．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均小于120︒时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒．根据以上性质，函数 ()f x______．16．已知ABC △中，AB AC =，点D 是AC 边的中点，线段BD x =，ABC △的面积2S =，则x 的取值范围是_________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，角A 、B、C 成等差数列，b =（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值． 18．（本小题满分12分）2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行．4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行．为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：（1（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动． （i ）问男、女学生各选取了多少人？ （ii ）若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X ． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，PD DC ⊥，底面ABCD 是梯形，AB DC ∥，1AB AD PD ===，2CD =．（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）设Q 为棱PC 上一点，PQ PC λ=u u u r u u u r，试确定λ的值使得二面角Q BD P --为60︒．20.（本小题满分12分）已知椭圆()222:90C x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ．（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求l 的斜率；若不能，说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数()ln 2a xf x x x =++．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()ln 1g x x x f x =+-，若1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为131x t y t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-．（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程;（2）已知与直线l 平行的直线l '过点()20M ,，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求MA MB ⋅． 23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()211f x x x =+--． （1）解不等式()2f x <；（2）若不等式()1123m f x x x -≥+-+-有解，求实数m 的取值范围．2019全国卷Ⅱ高考压轴卷数学理科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】{}{}lg 01A x x x x =>=>，{}{}1213B x x x x =-<=-<<，则{}1A B x x =>-U ．故选D ．2．【答案】B【解析】令()sin f x x x =-，()1cos 0f x x '=-≥恒成立，()sin f x x x =-在()0,+∞单调递增，∴()()00f x f >=，∴sin x x >，B 为真命题或者排除A 、C 、D ．故选B ． 3．【答案】A【解析】若C 的方程为2214y x -=，则1a =，2b =，渐近线方程为b y x a=±，即为2y x =±，充分性成立，若渐近线方程为2y x =±，则双曲线方程为()2204y x λλ-=≠，∴“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的充分而不必要条件，故选A ． 4．【答案】C【解析】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B ，当1x =时，e14y =<，排除A ； 当x →+∞时，e4xx→+∞，排除D ．故选C ．5．【答案】B【解析】由31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，∴21A b =⎧⎨=⎩，又22T π=，∴T =π，∴2ω=，∴()2sin 21y x ϕ=++，又262k ϕππ⋅+=+π，k ∈Z ，∴6k ϕπ=+π，k ∈Z ， ∴72sin 212sin 2166y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B ． 6．【答案】D【解析】01a <<，0b <，1c >，1d >，由0.2y x =在R 上为增函数，∴c d >，故选D ． 7．【答案】D【解析】形，高是4的圆锥体．容易算得底面面积，所以其体积D ．8．【答案】A【解析】设向量a 与向量b 的夹角为[]()0,πθθ∈，则3cos θ⋅==a b a b ，∴π6θ=．故选A ． 9．【答案】B【解析】由()()3a b c a c b ac +++-=，可得222a c b ac +-=，根据余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，∵()0,πB ∈，∴π3B =．故选B ． 10．【答案】C【解析】按照程序框图依次执行为1S =，0n =，0T =；9S =，2n =，044T =+=； 17S =，4n =，41620T S =+=>，退出循环，输出17S =．故选C ． 11．【答案】A【解析】设切点为()000,e x x x ，()1e xy x '=+，∴0001e x x x y x ='=+⋅，则切线方程为：()()00000e =1e x xy x x x x -+⋅-，切线过点(),0A a 代入得：()()000e =1ex x x x a x -+⋅-，∴2001x a x =+，即方程2000x ax a --=有两个解，则有2400a a a ∆=+>⇒>或4a <-．故选A ．12．【答案】D【解析】画出()f x 的图象，由0a b c <<<且()()()f a f b f c ==得：01a <<，1e b <<，e c >，ln ln a b -=，e ln b c=，∴1ab =，ln e c b =，()()()()1ln ln e af b bf c cf a a b c b b b b ⎛⎫++=++=++ ⎪⎝⎭，令()1ln e g b b b b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()1e b <<，则()21111ln g b b b b b b ⎛⎫⎛⎫'=-++⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()211ln 1ln g b b b b'=++-，∵1e b <<，∴1ln 0b ->，ln 0b >，∴()0g b '>，则函数()g b 在区间()1,e 上单调递增，∴()()()1e g g b g <<，即11e ln e 2e e b b b ⎛⎫<++<+ ⎪⎝⎭，∴()()()af b bf c cf a ++的取值范围是1e,2e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（以a 为变量时，注意a 的取值范围为11ea <<）．故选D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】③【解析】①如图所示，设c αβ=I ，l c ∥，m c ∥满足条件，但是α与β不平行，故①不正确；②假设αβ∥，l β'⊂，l l '∥，l m '⊥，则满足条件，但是α与β不垂直，故②不正确； ③由面面垂直的判定定理，若l β⊥，则αβ⊥，故③正确；④若αβ⊥，n αβ=I ，由面面垂直的性质定理知，m n ⊥时，m α⊥，故④不正确． 综上可知：只有③正确．故答案为③． 14．【答案】11-【解析】画出可行域如图所示，可知目标函数过点()4,3A --时取得最小值，()()min 24311z =⨯-+-=-． 15.【答案】23【解析】由两点间的距离公式得()()()222222112x y x y x y -++++-为点(),x y 到点()1,0、()1,0-、()0,2的距离之和，即求点(),x y 到点()1,0、()1,0-、()0,2的距离之和的最小值，取最小值时的这个点即为这三个点构成的三角形的费马点，容易求得最小值为2233322333=+．16．【答案】)3+⎡∞⎣,【解析】设BAC α∠=，BA c =，则21sin 22c α⋅=，∴2sin 4c α⋅=①在ABD △中，222cos 22c c BD c c α⎛⎫=+-⋅⋅ ⎪⎝⎭，2225cos 4BD c c α=-②由①得24sin c α=③，把③代入②得：254cos sin BD αα-=，2sin 4cos 5BD αα+=， 由辅助角公式得()224sin 5BD αϕ++=，∴4245BD +≥，即49BD ≥，23BD ≥，则3BD ≥（3sin 5α=，203c =时取等号）． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17（本小题满分12分） 【答案】（1）4；（2）213．【解析】（1）由角A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+，又A B C ++=π，得3B π=． 又由正弦定理，3sin 4sinC A =，得34c a =，即34a c =，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-， 即22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =． （2）由正弦定理得213sin sin sin 3a c b A C B ===， ∴2133a A ，2133c C =，)()213213sin sin sin sin 33a c A C A A B +=+=++⎤⎦213sin sin 213363A A A π⎤π⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，由23Aπ<<，知当62Aππ+=，即3Aπ=时，()max213a c+=．18．（本小题满分12分）【答案】（1）有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关；（2）见解析．【解析】（1）因为()22120602020207.5 6.63580408040K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关．（2）（i）根据分层抽样方法得，男生31294⨯=人，女生11234⨯=人，所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人．（ii）由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3．()3093312C C84220CP X===，()2193312C C1081220CP X===，()1293312C C272220CP X===，()0393312C C13220CP X===，∴XX0123P84220108220272201220∴()01232202202202204E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析；（2）36λ=-．【解析】（1）证明∵AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，DC⊂平面PDC，∴AD PD⊥，AD DC⊥，在梯形ABCD中，过点作B作BH CD⊥于H，在BCH△中，145BH CH BCH==⇒∠=︒，又在DAB△中，145AD AB ADB==⇒∠=︒，∴4590BDC DBC BC BD∠=︒⇒∠=︒⇒⊥，①∵PD AD⊥，PD DC⊥，AD DC D=I，AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PD BC⊥，由①②，∵BD PD D=I，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；（2）以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图)则()0,0,1P ，()0,2,0C ，()1,0,0A ，()1,1,0B ， 令()000,,Q x y z ，()000,,1PQ x y z =-u u u r ，()0,2,1PC =-u u u r，∵PQ PC λ=u u u r u u u r，∴()()000,,10,2,1x y z λ-=-，∴()0,2,1Q λλ=-，∵BC ⊥平面PBD ，∴()1,1,0=-n 是平面PBD 的一个法向量， 设平面QBD 的法向量为(),,x y z =m ，则00DB DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m ，即()0210x y y z λλ+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，即()21x y z y λλ=-⎧⎪⎨=⎪-⎩，不妨令1y =，得21,1,1λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭m ，∵二面角Q BD P --为60︒，∴21cos ,22221λλ⋅===⋅⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭m n m n m n，解得36λ=±，∵Q 在棱PC 上，∴01λ<<，故36λ=-为所求．20.（本小题满分12分）【答案】（1）见解析；（2）四边形OAPB 能为平行四边形，当l 的斜率为4747四边形OAPB 为平行四边形．【解析】（1）设直线()0,0y kx b k b =+≠≠，()11,A x y ，()22,B x y ，(),M M M x y ，将y kx b =+代入2229x y m +=，得()2222920k x kbx b m +++-=，故12229M x x kb x k +==-+，299M M by kx b k =+=+，于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-， 即9OM k k ⋅=-，所是命题得证． （2）四边形OAPB 能为平行四边形．∵直线l 过点,3m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >且3k ≠． 由（1）得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． 由22299y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得2222981P k m x k =+，即P x =． 将点,3m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入直线l 的方程得()33m k b -=， 因此()()2339M mk k x k -=+，四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =()()23239mk k k -=⨯+．解得14k =-24k =∵0i k >，3i k ≠，1i =，2，∴当l的斜率为4或4OAPB 为平行四边形．21．（本小题满分12分）【答案】（1）当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞；当0a >时，()f x 的减区间为(0,1-，增区间为()1-+∞；（2）12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,． 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222112222a x x a f x x x x +-'=-+=， 令()0f x '=，则2220x x a +-=，480a ∆=+>时， 即12a >-，方程两根为11x ==-，2x =-，122x x +=-，122x x a =-， ①当12a ≤-时，0∆≤，()0f x '≥恒成立，()f x 的增区间为()0,+∞； ②当102a -<≤时，1220x x a =-≥，10x <，20x ≤， ()0,x ∈+∞时，()0f x '≥，()f x 的增区间为()0,+∞；③当0a >时，10x <，20x >，当()20,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()2+x x ∈∞,时，()0f x '>，单调递增；综上，当0a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞；当0a >时，()f x 的减区间为()0,112a -++，增区间为()112,a -+++∞．（2）1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >恒成立，即ln ln 102a x x x x x ---+>，∴22ln ln 2x a x x x x x <--+， 令()221ln ln 22x h x x x x x x x ⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，()2ln ln 11h x x x x x x '=+---+，()()21ln h x x x '=-，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1+x ∈∞,时，()0h x '>，()h x 单调递减； ∴()()min 112h x h ==，∴12a <，则实数a 的取值范围时12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）【答案】（1）()311y x =-+，22y x =；（2）163． 【解析】（1）把直线l 的参数方程化为普通方程为()311y x =-+．由22cos 1cos θρθ=-，可得()221cos 2cos ρθρθ-=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =．（2）直线l 的倾斜角为3π，∴直线l '的倾斜角也为3π， 又直线l '过点()20M ,， ∴直线l '的参数方程为1223x t y ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩(t '为参数)， 将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=，设点A ，B 对应的参数分别为1t '，2t '． 由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t ''=-，1243t t ''+=． ∴163MA MB ⋅=． 23．（本小题满分10分）【答案】（1）243x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3m ≤-或5m ≥． 【解析】（1）()12,21211=3,122,1x x f x x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=+---≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩， ∴1222x x ⎧<-⎪⎨⎪--<⎩或11232x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪<⎩或122x x >⎧⎨+<⎩，解得142x -<<-或1223x -≤<或无解， 综上，不等式()2f x <的解集是243x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． （2）()1232111232123f x x x x x x x x x +-+-=+--+-+-=++-()21234x x ≥+--=， 当1322x -≤≤时等号成立不等式()1123m f x x x -≥+-+-有解， ∴()min 1123m f x x x -≥⎡+-+-⎤⎣⎦， ∴14m -≥，∴14m -≤-或14m -≥，即3m ≤-或5m ≥，∴实数m 的取值范围是3m ≤-或5m ≥．。
北京市2019年高考数学压轴卷理(含解析)
状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。
答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。
先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。
2. 先小后大。
先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。
3. 先局部后整体。
把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。
立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。
确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。
不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。
试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。
要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。
考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。
检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。
如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。
有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。
考试期间遇到这些事，莫慌乱！北京市2019年高考数学压轴卷 理（含解析）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知(1i)i 1i(b b +=-+∈R)，则b 的值为（） A.1 B.1- C. i D.i - 2．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ） A ．y=x 2+1B ．y=e x ﹣e ﹣xC ．y=lg|x|D ．2x y =3．若变量y x ,满足约束条件2,1,0x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则y x z +=2的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．44. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为1，则输出的a 值为（）输出输入开始结束A.1B.2C.3D.55.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（） A ．27 B ．30 C ．32D ．366. “4ab =”是直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知点(22,0)Q 及抛物线24x y =上一动点(,)P x y ，则||y PQ +的最小值是（） A ．12B ．1C ．2D ． 3 8.设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”，已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--（a R ∈）．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是（）A ．0a >B ．5a <C ．10a <D ．20a <二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.把答案填在题中的横线上．） 9.函数2sin(2)16y x π=++的最小正周期是 ，最小值是 ．10．已知，且114=+yx ，若恒成立，则实数的取值范围是__________．11. 如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的方程为 ．12.51⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中x 项的系数为_________．（用数字作答）13.若01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则x ，y ，z 有小到大排列为 ．14.数列{}n a 满足：*112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈，给出下述命题：①若数列{}n a 满足：21a a >，则*1(1,)n n a a n n N ->>∈成立；②存在常数c ，使得*()n a c n N >∈成立；③若*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中，则p q m n a a a a +>+； ④存在常数d ，使得*1(1)()n a a n d n N >+-∈都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分） 在ABC △中，已知312,cos 413A C π==，13.BC = （Ⅰ）求AB 的长；（Ⅱ）求BC 边上的中线AD 的长. 16.（本小题满分13分）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下 [)20,30 [)30,40 [)40,50 [)50,60 []60,7070以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人数314363（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率； （2）从被抽取的年龄在[]50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在[)50,60的人数，求随机变量的分布列及数学期望；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB ⊥底面ABCD ，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，点M 在线段PD 上．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：ME ∥平面PAB ；（Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求的值．18. （本小题满分14分） 已知函数2()e (1)(0)2xmf x x x m =-+≥. （Ⅰ）当0m =时，求函数()f x 的极小值； （Ⅱ）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点，求m 的取值范围. 19.（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的离心率； （2）求证：OA OB ⊥； （3）求OAB ∆面积的最大值. 20.（本小题共13分）已知曲线n C 的方程为：*1()n nx y n N +=∈.（1）分别求出1,2n n ==时，曲线n C 所围成的图形的面积;（2）若()n S n N *∈表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n N *∈关于n 是递增的;（3）若方程(2,)n n nx y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解，求证：曲线(2,)n C n n N *>∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数.1.【答案】A【解析】试题分析：因为（1+bi ）i=i+bi2=-b+i=-1+i ，所以1b -=-，1b =． 2．【答案】C【解析】试题分析：y=x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y=ex ﹣e ﹣x 是奇函数．y=lg|x|是偶函数，值域为：R ．2x y =的值域：[0，+∞）．故选：C 3．【答案】D【解析】作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，z 是直线2x y z +=的纵截距，向上平移直线l ，z 增大，当直线l 过点(2,0)B 时，24z x y =+=为最大值．故选D ．4.【答案】C【解析】由题知：a=1，i=1，a=2-1=1，i=2，否；a=3，i=3，否；a=6-3=3，i=4，是， 则输出的a 为3． 5.【答案】A.【解析】四棱锥的底面是边长为3的正方形，侧面是两个直角边长为3，4的直角三角形，两个直角边长为3，5的直角三角形，∴该四棱锥的侧面积是272532124321=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，故选A.6．【答案】B【解析】0=a 时，直线012=-+ay x 与直线022=-+y bx 不平行，所以直线012=-+ay x 与直线022=-+y bx 平行的充要条件是1222--≠=a b ，即4=ab 且)4(1≠≠b a ，所以“4=ab ”是直线012=-+ay x 与直线022=-+y bx 平行的必要不充分条件．故选B ．7.【答案】C.【解析】由抛物线的定义知：(0,1)F ，∴||1PF y =+，∴22||||1||||1(220)(01)1312y PQ PF PQ FQ +=-+≥-=-+-=-=，即当P ，Q ，F 三点共线时，值最小，故选C.8.【答案】B.【解析】若0a ≤：当0x >时，()||||f x x a a x x =--==，又∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()f x x =，符合题意；若0a >：当0x >时，, 0()||2, x x af x x a a x a x a -<<⎧=--=⎨-≥⎩，又∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()f x 大致的函数图象如下图所示，根据题意可知(20)()f x f x +>对于任意x R ∈恒成立，∴问题等价于将()f x 的图象向左平移20个单位后得到的新的函数(20)f x +图象恒在()f x 图象上方，根据图象可知420a <，即05a <<，综上实数a 的取值范围是(,5)-∞，故选B.9.【答案】1-，π. 【解析】ππωπ===222T ，最小值是211-+=-，故填：1-，π. 10．【答案】[]2,3- 【解析】，，恒成立，且，=因为恒成立，．11.【答案】01=+-y x 【解析】直线AB 斜率为111-=---+aa aa ，所以l 斜率为1，设直线方程为b x y +=，由已知直线过点),1(a a -，所以b a a +-=1，即1=b 所以直线方程为01=+-y x12.【答案】5-【解析】展开式通项为53521551()()(1)rr rr r rr T C x C x x --+=-=-，令5312r -=，1r =，所以x 项的系数为115(1)5C -=-．13.【答案】x y z << 【解析】取特殊值，令14a =，12b =，则121142b x a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，141122a y b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，121log log 24b z a ===，则1411222⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即x y z << 14.【答案】①④.【解析】试题分析：对①；因为21a a >，所以210a a ->，由已知11n n n n a a a a +-->-，所以11210n n n n a a a a a a +-->->⋅⋅⋅>->，即1n n a a ->，正确对②；假设存在在常数c ，使得n a c>，则有12n n n a a c a ++<<，所以11n n a a -++应有最大值，错，对③，因为p q m n +>+，22p q m n++>，所以假设 p q m na a a a +>+，则应有22p q m na a ++>，即原数列应为递增数列，错，对④，不妨设11a =，1n n a a n+-=，则(1)12n n n a -=+，若存在常数d ，使得1(1)n a a n d>+-，应有112n a a nd n -<=-，显然成立，正确，所以正确命题的序号为①④．15. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由12cos 13C =，02C π<<，所以5sin 13C =.由正弦定理得，sin sin AB BC C A =，即5sin =13sin CAB BC A =⋅=……… 6分（Ⅱ）在ABD △中，3cos cos()cos 42226B C C C π=π--=+=. 由余弦定理得，222+2cos AD AB BD AB BD B =-⋅,所以2AD 21691329+242264=-⨯⨯=.所以AD =. 【答案】（1）17100；（2）详见解析；（3）2200．【解析】（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[)30,50且未使用自由购的共有31417+=人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率为17100P =． （2）X 所有的可能取值为1，2，3， ()124236C C 115C P X ===；()214236C C 325C P X ===；()304236C C 135C P X ===． 所以X 的分布列为所以X的数学期望为1311232555EX =⨯+⨯+⨯=．（3）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3121764244+++++=人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100⨯=． 17．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）32-【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥AC．EF⊥AC．推出PA⊥底面ABCD ，即可说明PA⊥EF， 然后证明EF⊥平面PAC ．（Ⅱ）证明MF∥PA，然后证明MF∥平面PAB ，EF ∥平面PAB ．即可证明平面MEF∥平面PAB ，从而证明ME∥平面PAB ．（Ⅲ）以AB ，AC ，AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面ABCD 的法向量，平面PBC 的法向量，利用直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，列出方程求解即可试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB=AC ，∠BCD=135°，∠ABC=45°． 所以AB⊥AC．由E ，F 分别为BC ，AD 的中点，得EF∥AB， 所以EF⊥AC．因为侧面PAB⊥底面ABCD ，且∠BAP=90°， 所以PA⊥底面ABCD ．又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA⊥EF．又因为PA∩AC=A，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF⊥平面PAC ．（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以MF∥PA，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以MF∥平面PAB ．同理，得EF∥平面PAB ． 又因为MF∩EF=F，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ， 所以平面MEF∥平面PAB ．又因为ME ⊂平面MEF ， 所以ME∥平面PAB ．（Ⅲ）解：因为PA⊥底面ABCD ，AB⊥AC，所以AP ，AB ，AC 两两垂直，故以AB ，AC ，AP分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，2），D （﹣2，2， 0），E （1，1，0），所以(2,0,2)PB =-u u u r ，(2,2,2)PD =--u u u r ，(2,2,0)BC =-u u u r，设([0,1])PM PD λλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--u u u u r ，所以M （﹣2λ，2λ，2﹣2λ），(12,12,22)ME λλλ=+--u u u r，易得平面ABCD 的法向量m u r=（0，0，1）．设平面PBC 的法向量为n r=（x ，y ，z ）， 由0n BC ⋅=r u u u r ，0n PB ⋅=r u u u r ，得220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩令x=1，得n r =（1，1，1）．因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以cos ,cos ,ME m ME n <>=<>u u u r u r u u u r r ，即ME m ME n ME m ME n⋅⋅=⋅⋅u u u r u r u u u r r u u u r u r u u u r r ，所以22λ-=，解得32λ=，或32λ+=（舍）．18.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)当0m =时：()(1)e x f x x '=+，令()0f x '=解得1x =-， 又因为当(),1x ∈-∞-，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当()1,x ∈-+∞，()0f x '>，函数()f x 为增函数. 所以，()f x 的极小值为1(1)ef -=-. （Ⅱ）()(1)(e )x f x x m '=+-.当0m >时，由()0f x '=，得1x =-或ln x m =. (ⅰ)若1em =，则1()(1)(e )0e xf x x '=+-≥.故()f x 在(),-∞+∞上单调递增；（ⅱ）若1em >，则ln 1m >-.故当()0f x '>时，1ln x x m <->或； 当()0f x '<时，1ln x m -<<.所以()f x 在(),1-∞-，()ln ,m +∞单调递增，在()1,ln m -单调递减. (ⅲ)若10em <<，则ln 1m <-.故当()0f x '>时，ln 1x m x <>-或； 当()0f x '<时，ln 1m x <<-.所以()f x 在(),ln m -∞，()1,-+∞单调递增，在()ln ,1m -单调递减.（Ⅲ）(1)当0m =时，()e xf x x =，令()0f x =，得0x =.因为当0x <时，()0f x <，当0x >时，()0f x >，所以此时()f x 在区间(),1-∞上只有一个零点. (2)当0m >时： （ⅰ）当1em =时，由（Ⅱ）可知()f x 在(),-∞+∞上单调递增，且1(1)0e f -=-<，2(1)e 0ef =->，此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点. （ⅱ）当1em >时，由（Ⅱ）的单调性结合(1)0f -<，又(ln )(1)0f m f <-<， 只需讨论(1)e 2f m =-的符号： 当1ee 2m <<时，(1)0f >，()f x 在区间()1-∞，上有且只有一个零点； 当e2m ≥时，(1)0f ≤，函数()f x 在区间()1-∞，上无零点. (ⅲ)当10em <<时，由（Ⅱ）的单调性结合(1)0f -<，(1)e 20f m =->，2(ln )ln 022m mf m m =--<，此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点. 综上所述，e02m ≤<. 19.（本小题满分14分）【答案】（1）3；（2）详见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）根据题意以及椭圆中a ，b ，c 满足的关系式即可求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示即可得证；（3）建立OABS ∆的函数关系式，将问题转化为求函数最值.试题解析：（1）由题意可知24a =，243b =，∴22283c a b =-=，∴3c e a ==，∴椭圆C的离心率为；（2）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±，在223144x y +=中令1x =得1y =±，不妨设(1,1)A ，(1,1)B -，则110OA OB ⋅=-=u u u r u u u r，∴OA OB ⊥，同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥，若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，1=，即221k m +=，由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631kmx x k +=-+，21223431m x x k -=+，∴2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++， ∴1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+22244431m k k --=+2224(1)44031k k k +--==+，∴OA OB ⊥，综上所述，总有OA OB ⊥成立；（3）∵直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高，当l 的斜率不存在时，由（2）可知2AB =，则1OAB S ∆=，当l 的斜率存在时，由（2）可知，AB ======∴2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++24222164164164419613396k k k k k =+⋅=+≤+=++++（当且仅当k =时，等号成立），∴3AB ≤，此时max (S )3OAB ∆=，综上所述，当且仅当3k =±时，OAB∆面积的最大值为23．20.（本小题共13分）【答案】（1）π；（2）详见解析；（3）详见解析． 【解析】试题分析：（1）画出对应n 的取值的图形，根据图形即可求解； （2）由于曲线nC 具有对称性，只需证明曲线nC 在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，再根据式子推导；（3）根据条件中给出的结论利用反证法推导．试题解析：（1）当1,2n =时，由图可知1141122C =⨯⨯⨯=，2C π=；（2）要证(*)n S n N ∈是关于n 递增的，只需证明：*1()n n S S n N +<∈，由于曲线nC 具有对称性，只需证明曲线nC 在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，现在考虑曲线nC 与1n C +，因为*||||1()n n x y n N +=∈（1）因为11*||||1()n n x y n N +++=∈，在(1)和(2)中令0x x =，0(0,1)x ∈，当0(0,1)x ∈，存在1y ，2(0,1)y ∈使得011n n x y +=，11011n n x y +++=成立，此时必有21y y >，因为当0(0,1)x ∈时100n n x x +>，所以121n ny y +>，两边同时开n 次方有，1221n ny y y +>>.（指数函数单调性）这就得到了21y y >，从而*()n S n N ∈是关于n 递增的；（3）由于(2,)n n n x y z n n N +=>∈可等价转化为()()1n n x yz z +=，反证：若曲线*(2,)n C n n N >∈上存在一点对应的坐标(,)x y ，x ，y 全是有理数，不妨设q x p =，ty s =，*,,,p q s t N ∈，且,p q 互质，,s t 互质，则由||||1n n x y +=可得，||||1n n q tp s +=，即||||||n n nqs pt ps +=，这时qs ，pt ，ps 就是(2,)n n n x y z n n N +=>∈的一组解，这与方程(2,)n n n x y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解矛盾， 所以曲线*(2,)n C n n N >∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数.。
全国卷Ⅰ2019年高考数学压轴卷理含解析
（全国卷Ⅰ）2019年高考数学压轴卷 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A．B ．1-CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）ABCD5．若221m n >>，则（ ） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面向量a ，b，满足(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．20208．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()1f x x x =-+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线M A 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()31nx x ⎛++ ⎝的展开式中，各项系数之和为256，则x 项的系数是__________． 15.知变量x ，y 满足条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数z =的最大值为16．如图，在ABC △中，sin2ABC ∠，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==，24b a =， 且1a ，4a ，13a 成等比数列． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =，ABC △的面积为（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分）设函数()(ln f x x x =-+． （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA PB ⋅的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2AB =-，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1i a +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a=C ．5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>， 因为0m n >>，所以可排除选项A ，B ；32m =，1n =时，可排除选项C ， 由指数函数的性质可判断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2=a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面向量模的计算公式可得：3-=a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 第二次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2018，故选B ．8．【答案】A【解析】设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．， 由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()12sin 4π21f x x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确； 当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确； 当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确； 若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作M P 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，M AF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+， 所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++， 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+， 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()3111256n⎛+⨯= ⎝，据此可得：7n =，73x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx --+==， 令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()1,2cos x y zθ-⋅===，其中θ为向量)1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π，目标函数z =C ．16．【答案】【解析】由sin2ABC ∠=可得：cos 2ABC ∠=， 则sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==． 由sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=． 设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cos z x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+； 因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =． （2）由（1）可知213n nn c +=， 所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．，所以223n nn S +=-． 18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =． 【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=， 在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人， 分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人． （3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为：()20127777E X =⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分） 【答案】（1）见解析（2 （1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥． ∵BDDE D =，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直， ∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴EDDB=， 由3AD =，可知BD =DE =AF =则(3,0,0)A，F，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,BF =-，(3,0,EF =-． 设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,30,y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令z =(4,n =．∵AC ⊥平面BDE ，∴CA 为平面BDE 的一个法向量， ∴(3,3,0)CA =-，∴||cos ,||||32n CA n CA n CA ⋅<>===⋅ ∵二面角F BE D --为锐角， ∴二面角F BE D --的余弦值为13． 20.（本小题满分12分）【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，根据抛物线的定义AC AF =，所以24AB AC p ==，BC =，122ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x yy kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=，()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---， 得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫⎪⎝⎭，12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥． 21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析．【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ． 由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=-+-，则()2131'ax g x --，令())2131h x ax =--， 则()23169'x a ax h x ⎡⎤--==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数， 注意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤． （ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >；（iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >， 综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）．直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ．设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++． 因为θ∈R ，所以． 23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<，当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-；当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立；当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<． 综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。
全国卷Ⅱ2019年高考数学压轴卷文含解析20190514018
（全国卷Ⅱ）2019年高考数学压轴卷 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足11i 12z z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}06M x x =≤≤， {}232x N x =≤，则M N ⋃=（ ） A. (],6-∞ B. (],5-∞ C. []0,6 D. []0,53.已知向量2=a ，1=b ，()22⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．150︒4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最小的一份为（ ）A.65 B.611 C. 35 D. 310 5.若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x n+=的离心率是（ ）A ．32 B ．5 C ．32或52 D ．32或5 【答案】D6． 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为( )A ．4B ．642+C ．442+D ．27.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 1sin 2B C =，()2213cos2a b B BA BC-=⋅u u u v u u u v，则角C=（）A.6πB.3πC.2πD.3π或2π8. 如图为函数()y f x=的图象，则该函数可能为()A．sin xyx=B．cos xyx=C．sin||xyx=D．|sin|xyx=9．执行如图所示程序框图，若输出的S值为20-，在条件框内应填写（）A．3?i>B．4?i<C．4?i>D．5?i< 10．已知抛物线()220y px p=>的焦点为F，准线l与x轴交于点A，点P在抛物线上，点P到准线l的距离为d，点O关于准线l的对称点为点B，BP交y轴于点M，若BP a BM=，23OM d=，则实数a的值是（）A.34B.12C.23D.3211．已知不等式组2024x yx yyx y m-≥+≤≥⎧⎪+⎨≤⎪⎪⎪⎩表示的平面区域为M，若m是整数，且平面区域M内的整点(),x y恰有3个（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则m的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 412．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()32123f x x ax bx =+++， ()()24f x f x +='-'，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为（ ）A. [)64ln3,++∞B. [)5ln5,++∞C. [)66ln6,++∞D. [)4ln2,++∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为_______．14．设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，则点P 横坐标的取值范围为 ． 15．已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为94的球O 中（且球心O 在该棱锥内部），底面ABCD 的边长为2，则点A 到平面PBC 的距离是__________．16．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上存在一点P 满足以OP 为边长的正三角形的内切圆的面积等于236c π（其中O 为坐标原点， c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小满分题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1110,910n n a a S +==+. （1）求证：{lg }n a 是等差数列； （2）设n T 是数列13{}(lg )(lg )n n a a +的前n 项和，求使21(5)4n T m m >-对所有的*n N ∈都成立的最大正整数m 的值.18.（本小题满分12分）进入11月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前6名同学中，推荐3人参加自主招生考试，若已知6名同学中有4名理科生，2名文科生，试求这2人中含文科生的概率．19.（本题满分12分）如图，在三棱锥P ADE -中， 4AD =， 22AP =， AP ⊥底面ADE ，以AD 为直径的圆经过点E .（1）求证： DE ⊥平面PAE ；（2）若60DAE ∠=︒，过直线AD 作三棱锥P ADE -的截面ADF 交PE 于点F ，且45FAE ∠=︒，求截面ADF 分三棱锥P ADE -所成的两部分的体积之比.20. （本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－10，0)，F 2(10，0)，且椭圆C 过点P (3，2)． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）与直线OP 平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值．21. （本小题满分12分）已知函数()e x f x ax =-（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为2-．（1）求a 的值及函数()f x 的单调区间；（2）设()231g x x x =-+，证明：当0x >时，()()f x g x >恒成立． 22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+=+⎧⎨⎩（ϕ为参数），过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点．（1）求l 和M 的极坐标方程；（2）当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求OA OB +的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．2019全国卷Ⅱ高考压轴卷数学文科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】设复数i z a b =+，(),a b ∈R ，则i z a b =-，因为11i 12z z -=+，所以()()211i z z -=-，所以2(1)2i a b --()1i a b =+-，所以可得2221a bb a -=-⎧⎨-=+⎩，解得5343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以54i 33z =-，所以复数z 在复平面内对应点54,33⎛⎫-⎪⎝⎭在第四象限上．故选D ．2【答案】A【解析】 因为{}06M x x =≤≤， {}232{|5}x N x x x =≤=≤， 所以{|6}M N x x ⋃=≤，故选A. 3.【答案】B【解析】∵()222422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ．设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2θ⋅==a b a b ，又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒．4.【答案】C【解析】分析：根据已知条件，设等差数列的公差为，将已知条件转化为等式，求出等差数列的首项和公差，再得出答案。
天津市2019年高考数学压轴卷文含解析
天津市2019年高考数学压轴卷 文（含解析）一、选择题（共8题，每题5分，共40分）1.()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．62．i 为虚数单位，若复数()()1i 1i m ++是纯虚数，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．0或13.阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入n 的值为6，则输出S 的值为A.73 B. 94 C. 76 D. 98 4．若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅为()1,3，则a 的取值范围为（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()(),11,-∞+∞ D ．(]1,0-5.已知向量2=a ，1=b ，()22⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．150︒6.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为（ ）A ．23B．3CD．7.已知π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A ．725B ．725-C ．2325D ．2325-8.已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b C a =，12n n T c c c =+++，()n ∈*N ，则当2019n T <时，n 的最大值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9.已知两点)2,2(),2,0(-N M 以线段MN 为直径的圆的方程为________________.10.已知函数()cos 22π2πy x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π6x =对称，则ϕ等于_____．11.已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为__________． 12.在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=．直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值 ．13.已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，直线l 经过点F ，若点(),0A a ，()0,B b 关于直线l 对称，则双曲线C 的离心率为__________．14.函数()()ln 2e 4e x a a x f x x x --=-+++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使()03f x =成立，则实数a 的值为三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且B A c b 2,1,3=== (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求)62cos(π+A 的值.16(本小题满分13分)某工厂连续6天对新研发的产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组数据()()12,,,,6i i x y i =如下表所示（1）试根据4月2日、3日、4日的三组数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并预测4月6日的产品销售量m ；（2）若选取两组数据确定回归方程，求选取得两组数据恰好是不相邻两天的事件B 的概率． 参考公式：ˆˆˆybx a =+， 其中()()1122211(ˆ)n niii i i i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-， 17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2AB BC CD DA ====，1PA =，120BAD ∠=︒，E 为BC 的中点．（1）求证：AE ⊥平面PAD ；（2）若F 为CD 的中点，求点D 到平面PEF 的距离． 18.（本小题满分13分）已知抛物线C 的方程()220y px p =>，焦点为F ，已知点P 在C 上，且点P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1． （1）试求出抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 上存在两动点M ，N （M ，N 在对称轴两侧），满足OM ON ⊥（O 为坐标原点），过点F 作直线交C 于A ，B 两点，若AB MN ∥，线段MN 上是否存在定点E ，使得4EM EN AB⋅=恒成立？若存在，请求出E 的坐标，若不存在，请说明理由．19.(本小题满分14分)数列{}n a 是等比数列，公比大于0，前n 项和nS ()n N *∈，{}nb 是等差数列，已知112a =，32114a a =+，3461a b b =+，45712a b b =+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ； （Ⅱ）设{}n S 的前n 项和为n T ()n N *∈，（i ）求n T ； （ii ）证明：()21121311<⋅-∑=+++++ni i i i i i b b b b T .20.（本小题满分14分）已知函数()()22e ,0xx f x x m m m=+-∈≠R ，（1）求函数()f x 的单调区间和()f x 的极值；（2）对于任意的[]1,1a ∈-，[]1,1b ∈-，都有()()e f a f b -≤，求实数m 的取值范围． 1【答案】C【解析】∵()1,8A =-，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5,82AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()5Z AB =．故选C ．2【答案】C【解析】∵()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++是纯虚数，∴1010m m -=⎧⎨+≠⎩，即1m =，故选C ．3【答案】A【解析】由题意，模拟执行程序，可得：，，满足条件，，满足条件，， 满足条件，，不满足条件，退出循环，输出S 的值为．故选：A ． 4【答案】A【解析】结合不等式组，绘制可行域，得到：目标函数转化为y ax z =-+，当0a -≥时，则1a -<，此时a 的范围为(]1,0-，当0a -<时，则1a ->-，此时a 的范围为()0,1，综上所述，a 的范围为()1,1-，故选A ． 5【答案】B【解析】∵()222422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ． 设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2θ⋅==a b a b ， 又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒． 6【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -和三棱锥111B A B C -后的剩余部分．其表面为六个腰长为1的等边三角形，所以其表面积为22161232⨯⨯+=+B ．所以其表面积为22161232⨯⨯+=+B ．7【答案】C【解析】由π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1s i n 5α=，又由2123cos212sin 122525αα=-=-⨯=．故选C ．8.【答案】A 【解析】{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n b -∴=，112121242n n n n b b b T c c c a a a a a a a -∴=+++=+++=++++()()()()()1121122124122121242n n n --=⨯-+⨯-+⨯-++⨯-=++++-11222212nn n n +-=⨯-=---，2019n T <，1222019n n +∴--<，解得9n ≤．则当2019n T <时，n 的最大值是9，故选A ． 9【答案】【解析】由题得圆心的坐标为（1,0），|MN|=所以圆的半径为所以圆的方程为.故答案为：10【答案】π3-【解析】函数()cos 22π2πy x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π6x =对称，2π6πk ϕ∴⨯+=，因为π22πϕ-<<，求得3πϕ=-，故答案为π3-． 11【答案】【解析】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，求得球的半径为，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，设长方体的外接球的半径为，则，即，所以球的表面积为.12【答案】32a =或3211． 【解析】 圆C 的极坐标方程转化成直角坐标方程为：22224a a x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的倍，∴3812522aa d -==⋅，整理得23165a a -=，利用平方法解得32a =或3211131【解析】因为F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点，所以(),0F c -，又点(),0A a ，()0,B b 关于直线l 对称，00AB b bk a a-==--， 所以可得直线l 的方程为()ay x c b=+， 又A ，B 中点在直线l 上，所以22b a a c b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，整理得222b a ac =+，又222b c a =-，所以22220c ac a --=，故2220e e --=，解得1e =1e >，所以1e =+故答案为1e =+ 14【答案】ln21--【解析】由()()ln 2e 4e x a a x f x x x --=-+++，可令()()ln 2g x x x =-+， ()11122x g x x x +'=-=++，故()()l n 2g x x x =-+在()2,1--上是减函数，()1,-+∞上是增函数，故当1x =-时，()g x 有最小值()11g -=-，而e 4e 4x a a x --≥+，（当且仅当e 4e x a a x --=，即ln2x a =+时成立）， 故()3f x ≥（当且仅当等号同时成立时，等式成立）， 故ln21x a =+=-，即ln21a =--．15(Ⅰ) 解:由B A 2=，知B B B A cos sin 22sin sin ==，由正、余弦定理得acb c a b a 22222-+⋅=.因为1,3==c b ，所以122=a ,则32=a .(Ⅱ) 解:由余弦定理得31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A . x§]由于π<<A 0，所以322911cos 1sin 2=-=-=A A故7sin 2cos29A A ==- 1837246sin2sin 6cos2cos )62cos(-=-=+πππA A A16【答案】（1）41；（2）23．【解析】（1）由题设可得111012113x ++==，322935323y ++==， 则()()()()()31322221ˆ0013133011iii ii x x y y bx x ==--⨯+-⨯-+⨯===++-∑∑．所以32ˆ11ˆ31ay bx =-=-⨯=-， 则回归直线方程为ˆ31yx =-，故314141m =⨯-=．（2）从6天中随机取2天的所有可能结果为：{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}15,A A ，{}16,A A ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}26,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}36,A A ，{}45,A A ，{}46,A A ，{}56,A A 共15种，其中相邻两天的结果为{}12,A A ，{}23,A A ，{}34,A A ，{}45,A A ，{}56,A A 共5种， 所以选取的两组数据恰好是不相邻两天的事件B 的概率()521153P B =-=．17【答案】（1）详见解析；（2 【解析】（1）如图，连接AC ．由条件知四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=︒， ∴60BAC ∠=︒，∴ABC △为正三角形． ∵E 为BC 的中点，∴AE BC ⊥． 又∵AD BC ∥，∴AE AD ⊥．又∵PA ⊥底面ABCD ，AE ⊂底面ABCD ，∴PA AE ⊥． ∵PAAD A =，∴AE ⊥平面PAD ．（2）设AC 交EF 于点G ，连接PG ，DE ，则G 为EF 的中点．易知AE AF =，则Rt Rt PAE PAF ≅△△，∴PE PF =，∴PG EF ⊥． 连接BD ，∵2AB BC CD DA ====，1PA =，∴BD ==3342AG AC ==，∴12EF BD =PG ==∴12PEF S EF PG =⋅=△．1111sin1202442DEF CDE BCD S S S BC CD ===⨯⨯⨯︒=△△△设点D 到平面PEF 的距离为h ，又PA ⊥底面ABCD ， 由P DEF D PEF V V --=，得11133h =，解得h =故点D 到平面PEF18【答案】（1）24y x =；（2）存在，E 的坐标为()4,0．【解析】（1）因为P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1，由题意和抛物线定义12p=， 所以抛物线C 的方程为24y x =． （2）由题意0MN k ≠，设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()22221,4y N y y y ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭，由O M O N ⊥，得1216y y =-，直线124:MN k y y =+， 2111244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，整理可得()1244y x y y =-+， 直线:AB ①若斜率存在，设斜率为k ，()1y k x =-，与C 联立得2440ky y k --=，2141AB k ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 若点E 存在，设点E 坐标为()00,x y ，01EM EN y y ⋅=-()2120120211y y y y y y k ⎛⎫⎡⎤=+--++ ⎪⎣⎦⎝⎭200241116y y k k ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4EM EN AB⋅=时，2041616y y k-+=， 解得00y =或04y k=（不是定点，舍去） 则点E 为()4,0经检验，此点满足24y x <，所以在线段MN 上， ②若斜率不存在，则4AB =，4416EM EN ⋅=⨯=，此时点()4,0E 满足题意，综合上述，定点E 为()4,0．19【答案】（Ⅰ）12n n a =，1n b n =-（Ⅱ）（i ）112n n T n =-+ 【解析】（Ⅰ）解：设数列{}n a 的公比为q （0q >）121112114a a qa q ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，21120q q --=，=-1q （舍）或=2q ，12n n a = 设数列{}nb 的公差为d111182(4)1116316b d b d⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ 114431616b d b d +=⎧⎨+=⎩ 101b d =⎧⎨=⎩ ，1n b n =-. （Ⅱ）解：112212(1)1112n n n S -==-- 211111(111)()(1)122222n n n n T n n =+++-+++=--=-+ 111132112()(2)()(2)(1)(1)2i i i i i i i i i i T b b i b b i i i i ++++++++-⋅+-⋅+==⋅⋅+⋅+⋅1112(1)2i i i i +=-⋅+⋅ 1132231112()111111()()()122222322(1)2n i i i n n i i i T b b b b n n ++++=++-⋅=-+-++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅∑ 11112(1)22n n +=-<+⋅ 20【答案】（1）见解析；（2）2,,⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭． 【解析】（1）∵()22e 1x f x x m =+-'，()22e x f x m''=+，其中()f x ''是()f x '的导函数． 显然，()0f x ''>，因此()f x '单调递增，而()00f '=，所以()f x '在(),0-∞上为负数，在()0,+∞上为正数，因此()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，当0x =时，()f x 取得极小值为()01f =，无极大值．∴()f x 的极小值为1，无极大值．单增区间为()0,+∞，单减区间为(),0-∞．（2）依题意，只需()()max min e f x f x -≤，由（1）知，()f x 在[]1,0-上递减，在[]0,1上递增，∴()f x 在[]1,1-上的最小值为()01f =，最大值为()1f 和()1f -中的较大者，而()()22111111e 11e 20e e f f m m ⎛⎫⎛⎫--=+--++=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此()()11f f >-，∴()f x 在[]1,1-上的最大值为21e 1m +-，所以21e 11e m +--≤，解得m ≥或m ≤∴实数m 的取值范围是2,,22⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．。
天津市2019年高考数学压轴卷 文(含解析)
天津市2019年高考数学压轴卷 文(含解析）一、选择题（共8题,每题5分，共40分)1.()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．i 为虚数单位，若复数()()1i 1i m ++是纯虚数，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．0或13。
阅读如图的框图，运行相应的程序,若输入n 的值为6，则输出S 的值为A.73 B. 94 C. 76 D. 984．若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅为()1,3，则a 的取值范围为( ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．()(),11,-∞+∞ D ．(]1,0-5。
已知向量2=a ，1=b ，()22⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．150︒6.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为（ ）A ．23B ．33+C 93+ D ．237。
已知π1cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos2α=( )A ．725B ．725-C ．2325D ．2325-8。
已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列,设n n b C a =，12n n T c c c =+++，()n ∈*N ，则当2019n T <时,n 的最大值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9.已知两点)2,2(),2,0(-N M 以线段MN 为直径的圆的方程为________________。
10.已知函数()cos 22π2πy x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π6x =对称，则ϕ等于_____．11。
2019年天津市高考压轴卷数学理科Word版含解析
2019天津理科数学压轴卷一、选择题（共8题，每题5分，共40分）1.()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A xx =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B =I （ ） A ．3B ．4C ．5D ．62．i 为虚数单位，若复数()()1i 1i m ++是纯虚数，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．0或13.阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入n 的值为6，则输出S 的值为A.73 B. 94 C. 76 D. 98 4.不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于（ ）A ．32 B.23 C. 43 D.345.下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是（ ） A ．()()ln 1f x x =+B ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩C．()()()() 20 0,012,,xxxf x xx⎧⎪<⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪->⎪⎪⎝⎭⎩D．()1f x x-=6.()834132x xx⎛⎫+-⎪⎝⎭展开式中2x的系数为（）A．1280-B．4864 C．4864-D．12807.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为（）A．23B．33+C93+D．238．函数()2ln0f x x x ax=-+≤恰有两个整数解，则实数a的取值范围为（）A．ln2212a-<≤-B．21a-<≤-C．31a-<≤-D．ln3ln23232a-<≤-二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.9.已知两点)2,2(),2,0(-NM以线段MN为直径的圆的方程为________________.10.学校艺术节对A、B、C、D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A、D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_________．11.已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为__________．12.在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=．直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的3倍，求a 的值 ．13.如图，在ABC △中，23AN NC =u u u r u u u r ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则实数t 的值为14.设函数()ln ,11,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，若()1f m >，则实数m 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且B A c b 2,1,3=== (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求)62cos(π+A 的值.16． (本小题满分13分)田忌赛马是《史记》中记载的一个故事，说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马，孙膑发现他们的马脚力都差不多，都分为上、中、下三等于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略：比赛即将开始时，他让田忌用下等马对战公子们的上等马，用上等马对战公子们的中等马，用中等马对战公子们的下等马，从而使田忌赢得公子们许多赌注假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示：田忌的马获胜概率公子的马 上等马 中等马 下等马上等马 0.5 0.8 1 中等马 0.2 0.5 0.9 下等马0.050.4比赛规则规定：一次比由三场赛马组成，每场由公子和田忌各出一匹马出骞，结果只有胜和负两种，并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同，三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者．（1）如果按孙膑的策略比赛一次，求田忌获胜的概率；（2）如果比赛约定，只能同等级马对战，每次比赛赌注1000金，即胜利者赢得对方1000金，每月比赛一次，求田忌一年赛马获利的数学期望． 17．（本小题13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，AD BC ∥，AD CD ⊥，且2222PC BC AD CD ====，2PA =．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒？如果存在，求PMPD的值；如果不存在，请说明理由． 18.（本小题13分）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆13222=+y a x ()3>a 的右焦点为F ，右顶点为A ，已知1=-OF OA ，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率e ；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点()轴上不在x B B ，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围. 19.(本小题满分14分)数列{}n a 是等比数列，公比大于0，前n 项和nS ()n N *∈，{}nb 是等差数列，已知112a =，32114a a =+，3461a b b =+，45712a b b =+.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n a ，n b ； （Ⅱ）设{}n S 的前n 项和为n T ()n N *∈，（i ）求n T ； （ii ）证明：()21121311<⋅-∑=+++++ni i i i i i b b b b T .20. (本小题满分14分)设函数)0()(≠=k xe x f kx .(Ⅰ) 求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； (Ⅱ) 讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅲ) 设42)(2+-=bx x x g ,当1=k 时,若对任意的R x ∈1，存在[]2,12∈x ，使得)(1x f ≥)(2x g ，求实数b 的取值范围.参考答案：1【答案】C【解析】∵()1,8A =-，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴5,82A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭I ，∴()5Z A B =I ．故选C ．2【答案】C【解析】∵()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++是纯虚数，∴1010m m -=⎧⎨+≠⎩，即1m =，故选C ．3.【答案】A【解析】由题意，模拟执行程序，可得：，，满足条件，，满足条件，，满足条件，，不满足条件，退出循环，输出S 的值为．故选：A ． 4.【答案】【解析】由340340x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得(1,1)C ，如图7-8所示，故12ABC C S AB x ∆=14(4)123=⨯-⨯43=5【答案】B【解析】对于A ，()()ln 1f x x =+，有()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=-+=+=，则函数()f x 为偶函数，不符合题意；对于B ，()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩，有()()f x f x -=-，函数()f x 为奇函数，且在R 上的单调递增，符合题意；对于C ，()()()()200,0102,,xxx f x x x ⎧⎪<⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩，有()()f x f x -=-，函数()f x 为奇函数，但在R 上不是单调函数，不符合题意； 对于D ，()11f x x x-==，()f x 的定义域为{}0x x ≠，在R 上不是单调函数，不符合题意； 故选B ． 6.【答案】A【解析】根据二项式的展开式，可以得到第一个括号里出33x 项，第二个括号里出1x项，或者340x y +-=340x y +-=yx(1,1)C BA O第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x，具体为()231742688C C 11322x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，化简得到21280x -，故答案为A ． 7.【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -和三棱锥111B A B C -后的剩余部分．其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为2的等边三角形， 所以其表面积为()22136122332⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．8.【答案】D【解析】函数()2ln 0f x x x ax =-+≤恰有两个整数解，即ln xa x x≤-恰有两个整数解， 令()ln xg x x x =-，得()221ln x x g x x--'=，令()21ln h x x x =--，易知()h x 为减函数． 当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减．()11g =-，()ln 2222g =-，()ln3333g =-． 由题意可得：()()32g a g <≤，∴ln3ln 23232a -<≤-．故选D ． 9【答案】【解析】由题得圆心的坐标为（1,0），|MN|=所以圆的半径为所以圆的方程为.故答案为：10【答案】B【解析】若A 为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 若B 为一等奖，则乙、丙的说法正确，甲、丁的说法错误，满足题意； 若C 为一等奖，则甲、丙、丁的说法均正确，不满足题意； 若D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法均错误，不满足题意； 综上所述，故B 获得一等奖． 11【答案】【解析】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，求得球的半径为，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，设长方体的外接球的半径为，则，即，所以球的表面积为.12【答案】32a =或3211． 【解析】 圆C 的极坐标方程转化成直角坐标方程为：22224a a x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的3倍，∴3812522aa d -==⋅，整理得23165a a -=，利用平方法解得32a =或321113.【答案】16【解析】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又23AN NC =u u u r u u u r ，∴25AN AC =u u u r u u u r ，∴()215AP mAC m AB =+-u u u r u u u r u u u r ，又13AP t AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴12153m t m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得56m =，16t =.14【答案】()(),0e,-∞+∞U 【解析】如图所示：可得()ln ,11,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的图像与1y =的交点分别为()0,1，()e,1，∴()1f m >，则实数m 的取值范围是()(),0e,-∞+∞U ，可得答案()(),0e,-∞+∞U ． 15【 答案】：(Ⅰ) 解:由B A 2=，知B B B A cos sin 22sin sin ==，由正、余弦定理得acb c a b a 22222-+⋅=.因为1,3==c b ，所以122=a ,则32=a .(Ⅱ) 解:由余弦定理得31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A . x§]由于π<<A 0，所以322911cos 1sin 2=-=-=A A故427sin 2cos29A A ==- 1837246sin 2sin 6cos 2cos )62cos(-=-=+πππA A A16.【答案】（1）0.72；（2）见解析．【解析】（1）记事件A ：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜，对于事件A ，三场比赛中，由于第三场必输，则前两次比赛中田忌都胜， 因此，()0.80.90.72P A =⨯=；（2）设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量ξ， 则随机变量ξ的可能取值为1000-和1000，若比赛一次，田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负，设比赛一次，田忌获胜的概率为P ，则1121139322522520P =⨯⨯⨯+⨯⨯=．随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ1000- 1000P1120 920∴119100010001002020E ξ=-⨯+⨯=-． 因此，田忌一年赛马获利的数学期望为100121200-⨯=-金． 17.【答案】（1）见证明；（2）见解析．【解析】（1）∵在底面ABCD 中，AD BC ∥，AD CD ⊥，且2222BC AD CD ===， ∴2AB AC ==，22BC =，∴AB AC ⊥，又∵AB PC ⊥，AC PC C =I ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴AB ⊥平面PAC ， 又∵PA ⊂平面PAC ，∴AB PA ⊥， ∵2PA AC ==，22PC =，∴PA AC ⊥，又∵PA AB ⊥，AB AC A =I ，AB ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD ． （2）方法一：在线段AD 上取点N ，使2AN ND =，则MN PA ∥，又由（1）得PA ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ， 又∵AC ⊂平面ABCD ，∴MN AC ⊥，作NO AC ⊥于O ，又∵MN NO N =I ，MN ⊂平面MNO ，NO ⊂平面MNO ，∴AC ⊥平面MNO ， 又∵MO ⊂平面MNO ，∴AC MO ⊥，又∵AC NO ⊥，∴MON ∠是二面角M AC D --的一个平面角， 设PMx PD=，则()122MN x AP x =-=-，22ON AN xAD x ===， 这样，二面角M AC D --的大小为60︒， 即22tan tan603MN x MON ON x -∠===︒，即423PMx PD==- ∴满足要求的点M 存在，且423PMPD=-方法二：取BC 的中点E ，则AE 、AD 、AP 三条直线两两垂直 ∴可以分别以直线AE 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，且由（1）知()0,0,2AP =u u u r 是平面ACD 的一个法向量， 设()0,1PMx PD =∈，则()122MN x AP x =-=-，2AN xAD x ==， ∴()2,22AM x x =-u u u u r ，)2,2,0AC =u u u r，设(),,AQ a b c =u u u r是平面ACM 的一个法向量，则()2220220AQ AM xb x c AQ AC a b ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u u r ，∴2a b x c =-⎧⎪⎨=⎪⎩，令22b x =-，则()22,22AQ x x x =-+-u u u r，它背向二面角，又∵平面ACD 的法向量()0,0,2AP =u u u r，它指向二面角，这样，二面角M AC D --的大小为60︒，即()()()222221cos cos602222222,AP AQ xAP AQ AP AQ x x x==︒=⋅-++-⋅+⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ， 即423x =-∴满足要求的点M 存在，且423PMPD=- 18. 【答案】（Ⅰ）13422=+y x （Ⅱ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,4646,Y 【解析】（Ⅰ）由已知得1=-c a ，即132=--a a ，解得2=a ，所以1=c ，得21==a c e ，椭圆方程为13422=+y x . （Ⅱ）解： 设直线l 的斜率为()0≠k k ，则直线l 的方程为()2-=x k y ，设()B B y x B ,由方程组()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134222y x x k y ，消去y ，整理得()0121616342222=-+-+k x k x k 解得2=x 或346822+-=k k x ，所以B 点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-3412,3468222k k k k .由（Ⅰ）知，()0,1F ，设()H y H ,0，有()H y FH ,1-=，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=3412,3449222k k k k BF ，由HF BF ⊥,则0=⋅，所以034123494222=+++-k ky k k H ，解得kk y H 12492-=， 因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=，设()M M y x M ,，由方程组()⎪⎩⎪⎨⎧-+-=-=1249122k x k y x k y 消去y ，解得()11292022++=k k x M ， 在MAO ∆中，MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即()22222MMMM y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即()111292022≥++k k ， 解得46-≤k ，或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,4646,Y 19【答案】（Ⅰ）12n n a =，1n b n =-（Ⅱ）（i ）112n n T n =-+【解析】（Ⅰ）解：设数列{}n a 的公比为q （0q >）121112114a a qa q ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，21120q q --=，=-1q （舍）或=2q ，12n na = 设数列{}nb 的公差为d111182(4)1116316b d b d⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩ 114431616b d b d +=⎧⎨+=⎩ 101b d =⎧⎨=⎩ ，1n b n =-. （Ⅱ）解：112212(1)1112n n nS -==-- 211111(111)()(1)122222n n n n T n n =+++-+++=--=-+L L111132112()(2)()(2)(1)(1)2i i i i i i i i i i T b b i b b i i i i ++++++++-⋅+-⋅+==⋅⋅+⋅+⋅1112(1)2i i i i +=-⋅+⋅ 1132231112()111111()()()122222322(1)2ni i i n n i i i T b b b b n n ++++=++-⋅=-+-++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅∑L 11112(1)22n n +=-<+⋅20【答案】 (Ⅰ) x y =(Ⅱ) ①当0>k 时，)(x f 在)1,(k --∞上单调递减，在),1(+∞-k上单调递增 ②当0<k 时，此时)(x f 在)1,(k --∞上单调递增，在),1(+∞-k上单调递减(Ⅲ)⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,412e 【解析】(Ⅰ) 解:kx e kx x f )1()('+=, 因为0)0(=f 且1)0('=f ,所以曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为 x y =(Ⅱ) 解:函数)(x f 的定义域为R ,令0)1()('>+=kx e kx x f ，由0>kx e ，知01>+kx 讨论:①当0>k 时，k x 1->，此时)(x f 在)1,(k --∞上单调递减，在),1(+∞-k上单调递增. ②当0<k 时，kx 1-<，此时)(x f 在)1,(k --∞上单调递增，在),1(+∞-k 上单调递减(Ⅲ) 解:由(Ⅱ)知，当1=k 时，)(x f 在)1,(--∞上单调递减，在),1(+∞-上单调递增. 则对任意的R x ∈1，有)(1x f ≥ef 1)1(-=-，即ex f 1)(min 1-=.又已知存在[]2,12∈x ,使得)(1x f ≥)(2x g ,所以e 1-≥[]2,1),(22∈x x g ，即存在[]2,1∈x ，使得42)(2+-=bx x x g ≤e1-， 即b 2≥x e x 14-++.因为[]2,1∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∈++-e e x e x 15,21441， 所以b 2≥e 214+，即b ≥e412+.所以实数b 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+,412e .。
全国卷Ⅲ2019年高考数学压轴卷理含解析201905140112
满
足
f 1，
f
0 ，且
的最小值为 ．
4
（1）求函数 f x 的解析式；
（2）求函数
f
x
在
0,
2
上的单调区间和最大值、最小值．
18．（本题满分 12 分）
由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取 16 名 学生，经校医用视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎， 小数点后的一位数字为叶)如下：
何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为 8 步和15 步，问其内切圆的直径为多
少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）
3
A．
10
3
B．
20
C． 1 3 10
D． 1 3 20
7．长方体 ABCD A1B1C1D1 ， AB 1 ， AD 2 ， AA1 3 ，则异面直线 A1B1 与 AC1 所成 角的余弦值为（ ）
A． 2
B． 3
C． 3 3
D． 2 2
11． 已 知 ������为 抛 物 线 C : y2 4x 的 焦 点 ， A, B, C 为 抛 物 线 C 上 三 点 ， 当
FA FB FC 0 时，称 ABC 为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ）
A． 0 个 B． 1 个 C． 3 个 D． 无数个
最大时，求 的值.
20．（本题满分 12 分）
已知双曲线
x2 5
y2
1
的焦点是椭圆
C
：
x2 a2
y2 b2
江苏省2019年高考数学压轴卷含解析201905140158
江苏省2019年高考数学压轴卷（含解析）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：球体的体积公式：V ＝334R π，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．全集12{}345U ＝，，，，，集合134{}}35{A B ＝，，，＝，，则U A B ⋂（）ð═ ． 2．已知i 是虚数单位，若12i a i a R +∈（﹣)(）＝，，则a ＝ ． 3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽 人．4．如图是一个算法的流程图，则输出y 的取值范围是 ．5．已知函数22353log (1)3x x f x x x -⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，若f （m ）＝﹣6，则f （m ﹣61）＝ ．6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为 ． 7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示，则f （76π）的值为 ．8．已知A ，B 分别是双曲线2212x y C m ：-＝的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为 ．9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ．10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R ）与函数g （x ）＝x ，在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为 ．11．设A ，B 在圆x 2+y 2＝4上运动，且23AB ＝，点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则|PA PB |+u u u r u u u r的最小值是 ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝23π，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ．13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，2BD DC =u u u r u u u r，E n （n ∈N ）为AC 上一列点，且满足：11414n n n n n E A E D E a B a +=+u u u u r u u u u ru u u u r （﹣）﹣5，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则111a -+211a -+311a -+…+11n a -＝ ．14．已知函数2910(1)e ,023xx x f x x x ⎧++<⎪⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x（f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，C 的一点．（1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ； （2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．16.（本小题满分14分）已知12(,),(0,cos(),.2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=), （1）求22sin αβ（﹣）的值； （2）求cos α的值．17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝2π，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ． （1）用a ，θ表示S 和T ； （2）设f （θ）＝TS，试求f （θ）的最大值P ；18.(本小题满分16分) 已知椭圆22221x y C a b：+＝0a b （＞＞）的离心率为22，短轴长为22（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且△APM 面积为23，求k 的值．19．(本小题满分16分) 已知函数()212ln 2f x x x ax a R =+-∈，． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）； （Ⅱ）若集合A ＝2，4，8， (2)，求证：(1)()2n n l A -=； （Ⅲ）l A （）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡．．．指定区域内．．．．．作答．解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点B作BD CD⊥于点D. 求证：2BC BA BD=⋅．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵=a bMc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=12N⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且()11402MN-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M．C．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2{2x ty t==--（t为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合），圆C的方程为42cos4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求直线l被圆C截得的弦长．D．选修4—5：不等式选讲已知正实数x y z、、，满足3x y z xyz++=，求xy yz xz++的最小值．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。
厉兵秣马，2019高考数学立体几何必考压轴题及解析，冲刺140必备
厉兵秣马，2019高考数学立体几何必考压轴题及解析，冲刺140必备高中数学的立体几何很抽象，一直让不少学生头疼。
然而，每年的高考都会至少考一题立体几何，且往往是分值高的大题，如果没有迎难而上的勇气，一下子就会被别人甩下将近20分；相反，如果你能搞定立体几何，那你就等于甩开了数以万计被立体几何打败的学生，有助你考上理想大学。
高考对于立体几何的考查重点集中在以下几个方面：①几何的机构特征和三视图、直观图，重点是三视图。
②点、线、平面之间的位置关系，重点是平行关系、垂直关系和异面直线③空间的角度，重点是二面角、直线和平面所成的角、异面直线所成的角④空间向量，一般是以解答题的形式出现，这是立体几何考查的一个重要点。
下面是小编为同学们整理的2019年高考数学立体几何必考压轴题及答案解析，希望同学们一定要给予足够的重视！由于篇幅有限文中无法全部为同学们展示，所以，如果同学们需要完整版的话可以点小编的头像私信咨询小编哦~！私信：立体几何高中数学《立体几何》压轴题及答案解析在高一的时候，同学们开始学习立体几何“三视图”时，大家都会觉得这个内容非常难学.这块内容之所以难学其本质的原因是大家空间想象力不够，对空间几何体直观图的框架呈现方式没有深入理解，另平行投影的原理及三视图的边界意义是还原几何体的重点.三视图作为高考数学立体几何部分的核心考点之一，关键是如何还原几何体．涉及立体几何所有知识点：包括空间几何体（棱锥、棱柱、棱台、圆锥、圆柱、圆台、球）的直观图画法；三视图的投影原理（平行投影：长对正、高平齐、宽相等）；截面的做法（平面的基本性质的应用）；常见几何体的概念及相关计算公式（表面积和体积等）.还原几何体过程中还会考虑到空间点、线、面位置关系的判断等，如线面平行、线面垂直的判定定理与性质定理.立体几何中的动态问题或最值问题，这类问题往往困扰成绩比较好的同学，一般成绩较弱的同学其实这类问题就果断放弃了.究其原因，这类问题的知识覆盖面广，很多同学在这方面缺乏专项的训练，常常在解题时没有明确的思路，无从下手.即使偶尔能做对，也是凭着运气成分，并不是实力使然，也不能100%的做对.。
无数学不兄弟之2019全国高考数学理科压轴题解析
⇒
44π 100
≤
ωπ 10
+
π 5
<
69π 100
69π
而
>π
，结合
f
( x) = sin t 图像
∴（3）错误
100 2
再判断（1）（2）是否正确？
∵= f ( x)
sin
ω
x
+
π 5
= ∴ f ' ( x)
ω
cos
ω
x
+
π 5
令 g ( = x) cos t=,t ω x + π ∴ π ≤ t ≤ π + 2ωπ
0,
a 3
单调递减，在
a 3
,
+∞
单调递增
当
a
<
0
时，
f
(x)
在
−∞,
a 3
单调递增，在
a 3
,
0
单调递减，在 (0, +∞)
单调递增
（2）由（1）可知：当 a ≤ 0 ， f '( x) ≥ 0 恒成立，因此 f ( x) 在 [0,1] 上单调递增
π 2
使得
h(m)
=
0
因此
f
'(x)
在
(0,
m)
单调递增，在
m,
π 2
单调递减，
因此
f
'(x)
在区间
−1, π 2
存在唯一极大值点；
2019届北京市高考压轴卷数学(理)Word版含解析
2019届北京市高考压轴卷数学（理）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=R ，A={x|x 2﹣4x+3≤0}，B={x|log 3x ≥1}，则A ∩B=（ ）A ．{3}B ．{x|＜x ≤1}C ．{x|x ＜1}D ．{x|0＜x ＜1}2. 已知数列{a n }为等差数列，且满足a 1+a 5=90．若（1﹣x ）m 展开式中x 2项的系数等于数列{a n }的第三项，则m 的值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．103已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．4.设x R ∈，则“x>21”是“0122>-+x x ”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．46.已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是A. B. C. D.7. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，a=1，c=2，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．8. 已知函数，若m＜n，且f（m）=f（n），则n﹣m的取值范围是（）A．[3﹣2ln2，2）B．[3﹣2ln2，2] C．[e﹣1，2] D．[e﹣1，2）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）9. 若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是． 10若按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是．11采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为．12. 直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25交于A，B两点，且，则直线l的斜率为．13. 已知直线l：y=k（x﹣2）与抛物线C：y2=8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|=3|BF|，则直线l的倾斜角为．14.若函数,,则不等式的解集是______.三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15.（本小题满分13分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝asin C－ccos A.(1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.16. （本小题满分13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分别直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（Ⅰ）求直方图中a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间[10，12]的人数；（Ⅱ）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17.（本小题满分13分）如图，四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，60,2,DAB AB AD CD ∠===侧面PAD ⊥ABCD 底面，且PAD 为等腰直角三角形，90APD ∠=.（Ⅰ）求证：;AD PB ⊥（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.18.（本小题满分13分）已知函数()()2=-33x f x x x e +的定义域为[]-2t ，，设()-2=f m ，()f t n =. （Ⅰ）试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]-2t ，上为单调函数；（Ⅱ）求证：m n <；（Ⅲ）若不等式()()()72ln 1x f x x k x x k e+->-为正整数对任意正实数恒成立，求的最大值，并证明14ln .9x <（解答过程可参考使用以下数据ln7 1.95ln8 2.08≈≈，）19.(本题满分14分)已知椭圆E：的离心率为，其右焦点为F（1，0）．（1）求椭圆E的方程；（2）若P、Q、M、N四点都在椭圆E上，已知与共线，与共线，且=0，求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值．20.（本小题满分 14 分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，b1=8，T n是数列{b n}的前n项和，求正整数k，使得对任意n∈N*均有T k≥T n恒成立；（3）设，R n是数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N*均有R n＜λ恒成立，求λ的最小值．2019届北京市高考压轴卷数学（理）答案1A【分析】求出A，B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．【解答】解：A={x|x2﹣4x+3≤0}={x|1≤x≤3}，B={x|log3x≥1}={x|x≥3}，则A∩B={3}，故选：A2D【分析】利用等差数列的性质，求出a3=45，利用（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，可得=45，即可求出m．【解答】解：数列{a n}为等差数列，且满足a1+a5=2a3=90，∴a3=45，∵（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，∴=45，∴m=10，故选D．3D【分析】设单位向量，的夹角为θ，根据，得•（+2）=0，代入数据求出cosθ的值．【解答】解：设单位向量，的夹角为θ，∵，∴•（+2）=+2=0，即12+2×1×1×cosθ=0，解得cosθ=﹣，∴与夹角的余弦值为﹣．故选：D．4.A 5B【解答】解：如图所示，由三视图可知该几何体为：四棱锥P﹣ABCD．连接BD．其体积V=V B﹣PAD+V B﹣PCD==．故选：B．6D【解析】本题主要考查导数与导数的几何意义，考查了存在问题与逻辑思维能力.,因为曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，所以有两个不同的解，令,,由得x>2，由得x<2,所以当x=2时，函数取得极小值，所以a>7A【解答】解：由题意cosC=，a=1，c=2，那么：sinC=，cosC==，解得b=2．由，可得sinB=，那么△ABC的面积=故选A8A【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：若m＜n，且f（m）=f（n），则当ln（x+1）=1时，得x+1=e，即x=e﹣1，则满足0＜n≤e﹣1，﹣2＜m≤0，则ln（n+1）=m+1，即m=2ln（n+1）﹣2，则n﹣m=n+2﹣2ln（n+1），设h（n）=n+2﹣2ln（n+1），0＜n≤e﹣1则h′（n）=1﹣==，当h′（x）＞0得1＜n≤e﹣1，当h′（x）＜0得0＜n＜1，即当n=1时，函数h（n）取得最小值h（1）=1+2﹣2ln2=3﹣2ln2，当n=0时，h（0）=2﹣2ln1=2，当n=e﹣1时，h（e﹣1）=e﹣1+2﹣2ln（e﹣1+1）=1+e﹣2=e﹣1＜2，则3﹣2ln2≤h（n）＜2，即n﹣m的取值范围是[3﹣2ln2，2），故选：A9. 【Ks5u答案】（﹣4，2）【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出k的取值范围．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx+2y得y=﹣x+，要使目标函数z=kx+2y仅在点B（1，1）处取得最小值，则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方，∴目标函数的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直线2x﹣y=1的斜率即﹣1＜﹣＜2，解得﹣4＜k＜2，即实数k的取值范围为（﹣4，2），故答案为：（﹣4，2）．10.6【解答】解：由图知运算规则是对S=2S+1，执行程序框图，可得A=1，S=1满足条件A＜M，第1次进入循环体S=2×1+1=3，满足条件A＜M，第2次进入循环体S=2×3+1=7，满足条件A＜M，第3次进入循环体S=2×7+1=15，满足条件A＜M，第4次进入循环体S=2×15+1=31，满足条件A＜M，第5次进入循环体S=2×31+1=63，由于A的初值为1，每进入1次循环体其值增大1，第5次进入循环体后A=5；所以判断框中的整数M的值应为6，这样可保证循环体只能运行5次．故答案为：6．11.10【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数，即为所求．【解答】解：由960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由 451≤30n﹣21≤750 解得 15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得 16≤n≤25，且 n∈z，故做问卷B的人数为10，故答案为：10．12.±【分析】直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0，|AB|=|t1﹣t2|=⇒（t1+t2）2﹣4t1t2=10，即可得出结论．【解答】解：直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25联立，可得t2+12tcosα+11=0．t1+t2=﹣12cosα，t1t2=11．∴|AB|=|t1﹣t2|=⇒（t1+t2）2﹣4t1t2=10，⇒cos2α=，tanα=±，∴直线AB的斜率为±．故答案为±．13.或【分析】设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F，过B作AE的垂线BC，在三角形ABC中，∠BAC 等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，在直角三角形ABC中，得出直线AB的斜率．【解答】解：如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F′，过B作AE的垂线BC，在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，设|BF|=n，∵|AF|=3|BF|，∴|AF|=3n，根据抛物线的定义得：|AE|=3n，|BF′|=n，∴|AC|=2n，在直角三角形ABC中，tan∠BAC==，∴k AB=k AF=．∴直线l的倾斜角为．根据对称性，直线l的倾斜角为，满足题意．故答案为或．14. 【Ks5u答案】(1,2)15. 【Ks5u答案】(1)由c＝3a sin C－c cos A及正弦定理，得3sin A sin C －cos A ·sin C －sin C ＝0，由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12， 又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8，解得b ＝c ＝2. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12， 又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8，解得b ＝c ＝2.16.解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a ）×2=1，解得a=0.0375，因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，所以甲班的学生人数为． 所以甲、乙两班人数均为40人，所以甲班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.0375×2=3（人）．（2）乙班学习时间在区间[10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间[10，12]的人数为3人．在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3.，，，．所以随机变量ξ的分布列为：．17. 解：（Ⅰ）取AD 的中点G ，连结PG GB BD 、、．PA PD =，PG AD ∴⊥……………………………2分AB AD =，且60DAB ∠=︒，ABD ∴∆是正三角形，AD BG ⊥,又PG BG G =,AD ∴⊥平面PGB ．AD PB ∴⊥． ……………………………5分（Ⅱ） ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，又PG AD ⊥，PG ∴⊥底面ABCD ．PG BG ∴⊥．∴直线GA GB GP 、、两两互相垂直，故以G 为原点,直线GA GB GP 、、所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．设PG a =，则可求得(0,0,),(,0,0),P a Aa ,0)B ，(,0,0)D a -，)0,23,23(a a C -．…………………………………………………7分3(,,0)2BC a ∴=-．,)PB a ∴=- 设000(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0n BC ⋅=且0n PB ⋅=．000030,20.ax az ⎧--=⎪∴⎨-=0000,.x y z ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩取0y =(1,3,3)n =-． …………………………………………9分又平面PAD 的法向量1,0)n GB ==，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ,则11cos 131n nn n θ⋅===+⋅, 所以平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为13．……………………13分 18. 解：（Ⅰ）因为x x x e x x e x e x x x f ⋅-=⋅-+⋅+-=')1()32()33()(2 ………………1分令()0f x '>，得：1x >或0x <；令()0f x '<，得：01x <<所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增，在(0,1)上递减………………………………3分要使()f x 在[2,]t -为单调函数，则20t -<≤所以t 的取值范围为(2,0]- …………………………………………………4分 （Ⅱ）证：因为()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增，在(0,1)上递减，所以()f x 在1x =处取得极小值e 又213(2)f e e-=<，所以()f x 在[2,)-+∞的最小值为(2)f -………………………6分 从而当2t >-时，)()2(t f f <-，即m n < ………………………………………8分 （Ⅲ）()72(ln 1)x f x x k x x e+->-等价于241(ln 1)x x k x x ++>- 即14ln 0k x k x x+++->………………………………………9分 记1()4ln k g x x k x x+=++-， 则221(1)(1)()1k k x x k g x x x x ++--'=--=， 由()0g x '=，得1x k =+，所以()g x 在(0,1)k +上单调递减，在(1,)k ++∞上单调递增，所以()(1)6ln(1)g x g k k k ≥+=+-+()0g x >对任意正实数x 恒成立，等价于6ln(1)0k k +-+>，即61ln(1)0k k+-+>………………………………11分 记6()1ln(1)h k k k=+-+， 则261()01h x x x =--<+， 所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，又(6)2ln 70h =->，13(7)ln807h =-<， 所以k 的最大值为6………………………………………12分当6k =时，由2416(ln 1)x x x x ++>-令3x =，则14ln 39<………………………………………13分19解：（1）由椭圆的离心率公式可知：e==，由c=1，则a=，b 2=a 2﹣c 2=1，故椭圆方程为；…（4分） （2）如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F （1，0），且PQ ⊥MN ，设直线PQ 的斜率为k （k ≠0），则PQ 的方程为y=k （x ﹣1），P （x 1，y 1），Q （x 1，y 1），则，整理得：（1+2k 2）x 2﹣4k 2x+2k 2﹣2=0，x 1+x 1=，x 1x 2=，则丨PQ 丨=•，于是，…（7分）同理：．则S=丨PQ 丨丨MN 丨=，令t=k 2+，T ≥2，S=丨PQ 丨丨MN 丨==2（1﹣），当k=±1时，t=2，S=，且S 是以t 为自变量的增函数，当k=±1时，四边形PMQN 的面积取最小值． 当直线PQ 的斜率为0或不存在时，四边形PMQN 的面积为2．综上：四边形PMQN 的面积的最小值和最大值分别为和2．20.解：（1）由S n=2a n﹣2，得S n+1=2a n+1﹣2两式相减，得a n+1=2a n+1﹣2a n ∴a n+1=2a n数列{a n}为等比数列，公比q=2又S1=2a1﹣2，得a1=2a1﹣2，a1=2∴（2），方法一当n≤5时，≥0因此，T1＜T2＜T3＜T4=T5＞T6＞…∴对任意n∈N*均有T4=T5≥T n，故k=4或5．方法二（两式相减，得，=（6﹣n）•2n+1﹣12，，当1≤n＜4，T n+1＞T n，当n=4，T4=T5，当n＞4时，T n+1＜T n，综上，当且仅当k=4或5时，均有T k≥T n（3）∵∴=∵对任意n∈N*均有成立，∴，所以λ的最小值为．。
(全国卷Ⅰ)2019年高考数学压轴卷文(含解析)
A. ab ba logba log 1b
a
B. ba ab log 1b logba
a
C. logba ab ba log 1b
a
D. logba ba ab log 1b
a
x… 1
7．
若实数
x
，
y
满足条件
y… 2x
0
y„
，则 z 6
23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知 a＞b＞c＞d＞0，ad＝bc．
（Ⅰ）证明：a＋d＞b＋c；
（Ⅱ）比较 aabbcddc 与 abbaccdd 的大小．
2019 全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文科（一）答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小 题给出的 四个选项 中，只 有一项是符合题目要求的．
已知函数 f (x)＝ln (mx)－x＋1，g (x)＝(x－1)ex－mx，m＞0．
（Ⅰ）若 f (x)的最大值为 0，求 m 的值；
1
（Ⅱ）求证：g
(x)仅有一个极值点
x0，且
ln 2
(m＋1)＜x0＜m．
请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作
答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
所求的回归方程，预测 x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润 z 最大？
（19）（本小题满分 12 分） 在四棱锥 P-ABCD 中，△PAD 为等边三角形，底面 ABCD 等腰梯 P 1
形，满足 AB∥CD，AD＝DC＝ AB＝2，且平面 PAD⊥平面 ABCD． 2
（Ⅰ）证明：BD⊥平面 PAD； （Ⅱ）求点 C 到平面 PBD 的距离． （20）（本小题满分 12 分）
2019年浙江省高考数学压轴试卷(解析版)
2019年浙江省高考数学压轴试卷一、选择题（本大题共11小题，共44.0分）1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁U B）（）A. B. C. D.2.已知双曲线（a＞0）的离心率为，则a的值为（）A. B. C. D.3.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）A.B. 2C.D.4.若复数z满足：1+（1+2z）i=0（i是虚数单位），则复数z的虚部是（）A. B. C. D.5.函数y=2x2-e|x|在[-2，2]的图象大致为（）A.B.C.D.6.已知平面α与两条不重合的直线a，b，则“a⊥α，且b⊥α”是“a∥b”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.（1-x）4（1+x）5的展开式中x3的系数为（）A. 4B.C. 6D.8.4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查．根据调查结果知道，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率是．现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，则期望E（X）和方差D（X）分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，9.已知A，B，C是球O球面上的三点，且，，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，则三棱锥D-ABC体积的最大值为（）A. B. C. D.10.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a7=5，S5=-55，则nS n的最小值为（）A. B. C. D.11.某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）A. 120种B. 156种C. 188种D. 240种二、填空题（本大题共6小题，共32.0分）12.《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款．问他们的人数和物品价格？答：一共有______人；所合买的物品价格为______元．13.已知x，y满足条件则2x+y的最大值是______，原点到点P（x，y）的距离的最小值是______14.在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则c=______；三角形外接圆的半径为______．15.已知向量、满足||=1，||=2，则|+|+|-|的最小值是______，最大值是______．16.已知实数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围为______．17.已知直线y=-x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），若椭圆的离心率e∈[，]，则a的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.设函数f（x）=sin（ωx-）+sin（ωx-），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[-，]上的最小值．19.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，，，且∈．（1）求首项a1与m的值；（2）若数列{b n}满足∈，求数列{（a n+6）•b n}的前n项和．20.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=120°，PA⊥平面ABCD，M，N分别是BC，PC的中点．（1）证明：AM⊥平面PAD；（2）若H为PD上的动点，MH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角M-AN-C的余弦值．21.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为5．（1）求该抛物线C的方程；（2）已知抛物线上一点M（t，4），过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是否过定点？并说明理由．22.已知函数f（x）=-x2+ax-ln x（a∈R）．（1）若函数f（x）是单调递减函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）在区间（0，3）上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，B={1，2}，∴∁U B═{3，4，5，6}，又集合A={1，3，5}，∴A∩∁U B={3，5}，故选：D．先由补集的定义求出∁U B，再利用交集的定义求A∩∁U B．本题考查交、并补集的混合运算，解题的关键是熟练掌握交集与补集的定义，计算出所求的集合．2.【答案】B【解析】解：双曲线，可得c=1，双曲线的离心率为：，∴，解得a=．故选：B．直接利用双曲线求出半焦距，利用离心率求出a即可．本题考查双曲线的离心率的求法，双曲线的简单性质的应用．3.【答案】D【解析】解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱ABC-A′B′C′，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积S=2×+2×2+2×=6+4，故选：D．根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．4.【答案】B【解析】解：由1+（1+2z）i=0，得z=，∴复数z 的虚部是，故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．5.【答案】D【解析】解：∵f（x）=y=2x2-e|x|，∴f（-x）=2（-x）2-e|-x|=2x2-e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8-e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2-e x，∴f′（x）=4x-e x=0有解，故函数y=2x2-e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．6.【答案】A【解析】解：a⊥α，且b⊥α⇒a∥b，反之不成立．可能a，b分别于α，β斜交．∴“a⊥α，且b⊥α”是“a∥b”的充分不必要条件．故选：A．a⊥α，且b⊥α⇒a∥b，反之不成立．可能a，b分别于α，β斜交．本题考查了空间线面位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：（1-x）4（1+x）5=（1-4x+6x2-4x3+x3）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），故展开式中x3的系数为10-40+30-4=-4，故选：B．把（1-x）4和（1+x）5按照二项式定理展开，可得展开式中x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意，从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率．从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，所以．X的分布列为均值，方差．故选：B．从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率．说明每次抽取的结果是相互独立的，推出．得到分布列，然后求解期望即可．本题考查独立重复实验的概率的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．9.【答案】D【解析】解：如图，在△ABC中，∵AB=AC=3，BC=3，∴由余弦定理可得cosA==-，则A=120°，∴sinA=．设△ABC外接圆的半径为r，则，得r=3．设球的半径为R，则，解得R=2．∵×3×3×=，∴三棱锥D-ABC体积的最大值为=，故选：D．由题意画出图形，求出三角形ABC外接圆的半径，设出球的半径，利用直角三角形中的勾股定理求得球的半径，则三棱锥D-ABC体积的最大值可求．本题主要考查空间几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，是中档题．10.【答案】A【解析】解：由题意可得，解可得a1=-19，d=4，∴S n=-19n=2n2-21n，∴nS n=2n3-21n2，设f（x）=2x3-21x2，f′（x）=6x（x-7），当0＜x＜7时，f′（x）＜0；函数是减函数；当x＞7时，f′（x）＞0，函数是增函数；所以n=7时，nS n取得最小值：-343．故选：A．分别利用等差数列的通项公式及求和公式表示已知条件，然后求出得a1，d，在代入求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．11.【答案】A【解析】解：根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：①、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有4×2×6=48种编排方法；②、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有3×2×6=36种编排方法；③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有3×2×6=36种编排方法；则符合题意要求的编排方法有36+36+48=120种；故选：A．根据题意，由于节目甲必须排在前三位，对甲的位置分三种情况讨论，依次分析乙丙的位置以及其他三个节目的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意题目限制条件比较多，需要优先分析受到限制的元素．12.【答案】7 53【解析】解：设人数为x，物品价格为y，则，解得x=7，y=53．故答案为：7，53．列方程组求解．本题考查了方程的应用，属于基础题．13.【答案】6【解析】解：作出x，y满足条件的可行域如图：目标函数z=2x+y在的交点A（2，2）处取最大值为z=2×2+1×2=6．原点到点P（x，y）的距离的最小值是：|OB|=．故答案为：6；；画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z=2x+y的位置，求出最大值．利用可行域转化求解距离即可．本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的关键．14.【答案】2 2【解析】解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc•sinA=c•，∴c=2=b，故B=（180°-A）=30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2，故答案为：2；2由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．15.【答案】4【解析】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：|+|=，|-|=，令x=，y=，则x2+y2=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z=x+y，则y=-x+z，则直线y=-x+z过M、N时z最小为z min=1+3=3+1=4，当直线y=-x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max=×=．综上所述，|+|+|-|的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知|+|=、|-|=，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．16.【答案】（-∞，-2]【解析】解：原问题等价于f2（x）+f（x）=-t有三个不同的实根，即y=-t与y=f2（x）+f（x）有三个不同的交点，当x≥0时，y=f2（x）+f（x）=e2x+e x为增函数，在x=0处取得最小值为2，与y=-t只有一个交点．当x＜0时，y=f2（x）+f（x）=lg2（-x）+lg（-x），根据复合函数的单调性，其在（-∞，0）上先减后增．所以，要有三个不同交点，则需-t≥2，解得t≤-2．原问题等价于f2（x）+f（x）=-t有三个不同的实根，即y=-t与y=f2（x）+f（x）有三个不同的交点，然后分x≥0和x＜0两种情况代入解析式可得．本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．17.【答案】【解析】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），由，消去y，可得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0，∴则x1+x2=，x1x2=，由△=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）＞0，整理得a2+b2＞1．∴y1y2=（-x1+1）（-x2+1）=x1x2-（x1+x2）+1．∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），可得•=0∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（-x1+1）（-x2+1）=0，化简得2x1x2-（x1+x2）+1=0．∴2•-+1=0．整理得a2+b2-2a2b2=0．∵b2=a2-c2=a2-a2e2，∴代入上式，化简得2a2=1+，∴a2=（1+）．∵e∈[，]，平方得≤e2≤，∴≤1-e2≤，可得≤≤4，因此≤2a2=1+≤5，≤a2≤，可得a2的最大值为，满足条件a2+b2＞1，∴当椭圆的离心率e=时，a的最大值为．故答案为：．将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，向量数量积的坐标运算，求得2a2=1+，由离心率的取值范围，即可求得a的最大值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx-）+sin（ωx-）=sinωx cos-cosωx sin-sin（-ωx）=sinωx-cosωx=sin（ωx-），又f（）=sin（ω-）=0，∴ω-=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x-），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x-）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+-）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x-）；当x∈[-，]时，x-∈[-，]，∴sin（x-）∈[-，1]，∴当x=-时，g（x）取得最小值是-×=-．【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[-，]时g（x）的最小值．本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．19.【答案】解：（1）由已知得a m=S m-S m-1=4，且a m+1+a m+2=S m+2-S m=14，设数列{a n}的公差为d，则有2a m+3d=14，∴d=2…（2分）由S m=0，得，即a1=1-m，∴a m=a1+（m-1）×2=m-1=4∴m=5，a1=-4…（6分）（2）由（1）知a1=-4，d=2，∴a n=2n-6∴n-3=log2b n，得．∴ ．设数列{（a n+b）b n}的前n项和为T n∴ ①②①②，得==∴∈…（12分）【解析】（1）利用a m=S m-S m-1，转化求出数列的公差，然后利用已知条件求解m．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求和求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，可得∠ABC=60°，△ABC为正三角形．因为M为BC的中点，所以AM⊥BC．…（2分）又BC∥AD，因此AM⊥AD．因为PA⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，所以PA⊥AM．而PA∩AD=A，所以AM⊥平面PAD．…（4分）（2）解：AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，MH．由（1）知：AM⊥平面PAD，则∠MHA为MH与平面PAD所成的角．在Rt△MAH中，AM=，∴当AH最短时，∠MHA最大，即当AH⊥PD时，∠MHA最大．此时，tan∠MHA==又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=2．由（1）知AM，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），，，，，，，，，，则，，，，，，，，，设AC的中点为E，则，，，故就是面PAC的法向量，，，．设平面MAN的法向量为n=（x，y，1），二面角M-AN-C的平面角为θ．⇒⇒，，，，，．＜，＞，∴二面角M-AN-C的余弦值为．…（12分）【解析】（1）利用菱形与等边三角形的性质可得：AM⊥BC，于是AM⊥AD．利用线面垂直的性质可得PA⊥AM．再利用线面垂直的判定与性质定理即可得出；（2）连接AH，MH．由（1）知：AM⊥平面PAD，可得：∠MHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AM=，可知：当AH最短时，∠MHA最大，即当AH⊥PD时，∠MHA最大．利用直角三角形边角关系可得PA=2．由（1）知AM，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．求出法向量，利用向量夹角求解即可．本题考查了直线与平面垂直的判定．在题中出现了探究性问题，在解题过程中“空间问题平面化的思路”，是立体几何常用的数学思想，属于中档题．21.【答案】解：（1）由题意设抛物线方程为y2=2px，其准线方程为，∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，∴，∴p=2．∴抛物线C的方程为y2=4x．（2）由（1）可得点M（4，4），可得直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为：x=my+t，联立，得y2-4my-4t=0，则△=16m2+16t＞0①．设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=-4t．∵•=（x1-4，y1-4）•（x2-4，y2-4），=x1x2-4（x1+x2）+16+y1y2-4（y1+y2）+16，=，=，=t2-16m2-12t+32-16m=0即t2-12t+32=16m2+16m，得：（t-6）2=4（2m+1）2，∴t-6=±2（2m+1），即t=4m+8或t=-4m+4，代入①式检验均满足△＞0，∴直线DE的方程为：x=my+4m+8=m（y+4）+8或x=m（y-4）+4．∴直线过定点（8，-4）（定点（4，4）不满足题意，故舍去）．【解析】（1）求出抛物线的焦点坐标，结合题意列关于p的等式求p，则抛物线方程可求；（2）由（1）求出M的坐标，设出直线DE的方程x=my+t，联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的一元二次方程后D，E两点纵坐标的和与积，利用⊥得到t与m的关系，进一步得到DE方程，由直线系方程可得直线DE所过定点．本题考查抛物线的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，属中档题．22.【答案】解：（1）＞，∵函数f（x）是单调递减函数，∴f'（x）≤0对（0，+∞）恒成立，（3分）∴-2x2+ax-1≤0对（0，+∞）恒成立，即对，恒成立，∵（当且仅当2x=，即x=时取等号），∴（7分）（2）∵函数f（x）在（0，3）上既有极大值又有极小值．∴在（0，3）上有两个相异实根，即2x2-ax+1=0在（0，3）上有两个相异实根，（9分），则△＞＜＜＞＞，得＜或＞＜＜＜，即＜＜．（12分）【解析】（1）求出导函数，通过f'（x）≤0对（0，+∞）恒成立，分离变量推出a，利用基本不等式求解函数的最小值，得到a的范围．（2）通过函数f（x）在（0，3）上既有极大值又有极小值．说明导函数由两个零点，列出不等式组求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力．。
全国卷Ⅲ2019年高考数学压轴卷文含解析201905140113
（全国卷Ⅲ）2019年高考数学压轴卷 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．12i2i+=-+（ ） A ．41i 5-+B ．4i 5-+C ．i -D ．i2．设1i2i 1iz +=+-，则z =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a =，972S =，则10a =（ ） A ．20B ．23C ．24D ．284．若π5sin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么πcos 4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ） A ．25 B ．25-C ．5 D ．5-5．设x ，y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥-⎧+≥--≤⎪⎨⎪⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．16C ．20D ．226．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为（ ）A ．2π3B ．4π3C ．2πD ．25π7．如图，在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线的条数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知()13ln2a =，()13ln3b =，2log 0.7c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<9．过圆2216x y +=上一点P 作圆()222:0O x y m m +=>的两条切线，切点分别为A 、B ，若2π3AOB ∠=，则实数m =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．910．执行如图所示程序框图，输出的S =（ ）A ．25B ．9C ．17D ．2011．已知1F ，2F 分别是椭圆22:14x y C m +=的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点P ，使得12PF F △3则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．132⎛ ⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．3⎫⎪⎪⎝⎭D ．3,13⎛⎫⎪⎪⎝⎭12．在边长为2的等边ABC △中，D 是BC 的中点，点P 是线段AD 上一动点，则AP CP ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,0-D ．[]1,1-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为________．S ＝S ＋8开始 T>S ？结束S ＝1，T=0,n =0 n=＝0n ＝n +2输出ST ＝T +2n14．若x，y 满足01010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的最大值为______．15．设函数()ln ,11,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，若()1f m >，则实数m 的取值范围是______．16．直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若3AB =，4AC =，5BC =，12AA =，则此球的表面积等于______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且223sin sin 302AA +-=． （1）求角A 的大小；（2）已知ABC △外接圆半径3R =，且3AC =，求ABC △的周长．18．(本小题满分12分）某中学为了丰富学生的课外文体活动，分别开设了阅读、书法、绘画等文化活动；跑步、游泳、健身操等体育活动．该中学共有高一学生300名，要求每位学生必须选择参加其中一项活动，现对高一学生的性别、学习积极性及选择参加的文体活动情况进行统计，得到数据如下：（1）在选择参加体育活动的学生中按性别分层抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解家庭情况，求2人中至少有1名女生的概率；（2）是否有99.9％的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关?请说明你的理由．附：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．(本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形，π3BCD ∠=，四边形BDEF 是正方形，且DE ⊥平面ABCD ．（1）求证：CF ∥平面AED ；（2）若2AE =，求多面体ABCDEF 的体积V ．20．(本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点13,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且右焦点()23,0F ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与椭圆E 交于A ，B 两点，当AB 最大时，求直线l 的方程． 21．(本小题满分12分）已知()()2ln ln a x xf x x+=．求()f x 在()1,0处的切线方程； 求证：当1a ≥时，()10f x +≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy 取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的平面直角坐标方程；（2）若曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，求这三个点的极坐标． （2）∵圆心O 到曲线2C：20x -+=的距离112d r ===，23．(本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 若0a >，0b >，且(1a b +=． （1）求3311a b+的最小值； （2）是否存在a ，b ，使得1123a b+？并说明理由． 2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学文科（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5+--+-===--+-+--，故选C ． 2．【答案】B 【解析】()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2+++===--+，则3i z =，故3z =，故选B ． 3．【答案】D【解析】由于数列是等差数列，故41913493672a a d S a d =+==+=⎧⎨⎩，解得18a =-，4d =，故101983628a a d =+=-+=．故选D ． 4．【答案】D【解析】由题意可得πππππcos sin sin sin 42444αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选D ． 5.【答案】B【解析】由题可知，再画出约束条件所表示的可行域，如图所示，结合图象可知当:20l x y +=平移到过点A 时，目标函数取得最大值，又由10240x y x y -+=--=⎧⎨⎩，解得()5,6A ，此时目标函数的最大值为max 16z =，故选B ．6．【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体由两个同底的圆锥拼接而成，圆锥的底面半径1r =，高2h =，所以该几何体的体积为()214π2π1233V =⨯⨯⨯⨯=，故选B ．7．【解析】在正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中任取两个点作直线，与直线1A B 异面且夹角成60︒的直线有：1AD ，AC ，11D B ，1B C ，共4条．故选B ． 8．【答案】B【解析】22log 0.7log 10c =<=，()()11330ln21ln3a b <=<<=，故c a b <<，故选B ． 9．【答案】A 【解析】如图所示，取圆2216x y +=上一点()4,0P ，过P 作圆()222:0O x y m m +=>的两条切线PA 、PB ， 当2π3AOB ∠=时，π3AOP ∠=，且OA AP ⊥，4OP =；122OA OP ==，则实数2m OA ==．故选A ．10．【答案】C【解析】按照程序框图依次执行为1S =，0n =，0T =；9S =，2n =，044T =+=；17S =，4n =，41620T S =+=>，退出循环，输出17S =．故选C ．11．【答案】A【解析】由题知2a =，b m =，4c m =-，设椭圆的右顶点为(),0Am ，12AF F △的面积为12142F F m m m ⨯=-， ∴12PF F △的面积的最大值时为12AF F △，43m m ->故，13m <<解， ∴13c <<，∴13,2c e a ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故选A ． 12．【答案】B【解析】画出图像如下图所示，以DC ，DA 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，故(3A ，()1,0C ， 设()()0,3P t t ⎡∈⎣，所以(()20,31,3AP CP t t t t ⋅=⋅-=u u u r u u u r， 根据二次函数的性质可知，对称轴3t =， 故当0t =或3t =0，当3t =时取得最小值为233334=-⎝⎭，故AP CP ⋅u u u r u u u r 的取值范围是3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】6【解析】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组，抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号．故答案为6．14．【答案】1【解析】由x ，y 满足01010y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图，联立010y x y =⎧⎨+-=⎩，解得()1,0A ，函数2z x y =-为22x z y =-，由图可知，当直线22x zy =-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 的最大值为1．故答案为1． 15．【答案】()(),0e,-∞+∞U 【解析】如图所示：可得()ln ,11,1x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的图像与1y =的交点分别为()0,1，()e,1，∴()1f m >，则实数m 的取值范围是()(),0e,-∞+∞U ，可得答案()(),0e,-∞+∞U ． 16．【答案】29π【解析】如图，在ABC △中，3AB =，4AC =，5BC =，由勾股定理可得90BAC ∠=︒，可得ABC △外接圆半径52r =，设此圆圆心为O '，球心为O ，在Rt OBO '△中，可得球半径R =∴此球的表面积为2294π4π29π4R =⨯=．故答案为29π． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分）【答案】（1）π3A =；（2）3+【解析】（1）2sin 02A A +=Q ，1cos sin 02A A -∴+=，即sin 0A A =，tan A ∴=， 又0πA <<，π3A ∴=．（2）2sin a R A =Q，2sin π33a R A ∴===，AC b =Q ，∴由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，293c =+，∴260c -=，∵0c >，所以得c =3a b c ++=+18．(本小题满分12分） 【答案】（1）35；（2）见解析．【解析】（1）由题意知参加体育活动的学生中，男生人数为60人，女生人数为30人， 按性别分层抽取6名，则男生被抽取的人数为60646030⨯=+，女生被抽取的人数为30626030⨯=+，记4名男生分别为a ，b ，c ，d ，2名女生为A ，B ，则从这6名学生中抽取2人的情况有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a A ，(),a B ，(),b c ，(),b d ，(),b A ，(),b B ，(),c d ，(),c A ，(),c B ，(),d A ，(),d B ，(),A B ，一共15种情况，2人中至少有1名女生共有9种情况，概率为93155=． （2）列联表为：学习积极性高学习积极性不高总计 参加文化活动 180 30 210 参加体育活动60 30 90 总计24060300()()()()()()22230018030603010014.28610.82824060210907n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯， ∴有99.9％的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关．19．(本小题满分12分） 【答案】（1）见解析；（2）3． 【解析】（1）证明：∵ABCD 是菱形，∴BC AD ∥， 又BC ⊄平面ADE ，AD ⊂平面，∴BC ∥平面ADE ．又BDEF 是正方形，∴BF DE ∥．∵BF ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，∴BF ∥平面ADE ， ∵BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，BC BF B =I ， ∴平面BCF ∥平面AED ，∴CF ∥平面AED ． （2）解：连接AC ，记AC BD O =I ．∵ABCD 是菱形，AC BD ⊥，且AO BO =．由DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，DE AC ⊥． ∵DE ⊂平面BDEF ，BD ⊂平面BDEF ，DE BD D =I ， ∴AC ⊥平面BDEF 于O ，即AO 为四棱锥A BDEF -的高． 由ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒，则ABD △为等边三角形， 由2AE ，则1AD DE ==，3AO =，1BDEF S =，133BDEF BDEF V S AO =⋅=，2BDEF V V ==20．(本小题满分12分）【答案】（1）2214x y +=；（2）2y x =±+【解析】（1）设椭圆E的左焦点()1F ，则12242a PF PF a =+=⇒=，又2221c b a c =-=，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）由()2222144044y kx k x x y ⎧⎪⎨⎪=⇒+++=+=⎩，设()11,A x y ，()22,B x y ，由()2221128161404Δk k k =-+>⇒>，且1214x x k +=+，122414x x k =+，AB == 设2114t k =+，则10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，AB ==， 当112t=，即k =AB:l y =21．(本小题满分12分）【答案】（1）10x y --=；（2）见解析．【解析】（1）()()()222ln 1ln ln 'a x a x x f x x ⎡⎤+-+⎣⎦=，故()11f '=，故切线方程是10x y --=． （2）令()ln 1g x x x =--，()11g x x'=-， 令()0g x '>，解得1x >，令()0g x '<，解得01x <<，故()g x 在()0,1递减，在()1,+∞，故()()min 10g x g ==，故ln 1x x ≥+， ∵1a ≥， ∴()()()()()2222ln ln ln ln ln ln ln 1ln 110a x x xx x x x x x x f x xxxx+++++++++=≥≥≥≥，故1a ≥时，()10f x +≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】【答案】（1）224x y +=，320x y -+=；（2）2π2,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2,6B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π2,6C ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）由2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α得224x y +=，即曲线1C 的普通方程为224x y +=，又由πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得ππsin cos cos sin 166ρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即为320x y -+=，即曲线2C 的平面直角坐标方程为320x y -+=． （2）∵圆心O 到曲线2C ：320x y -+=的距离()22211213d r ===+，如图所示，∴直线340x y -+=与圆的切点A 以及直线30x y -=与圆的两个交点B ，C 即为所求．∵OA BC ⊥，则3OA k =OA l 的倾斜角为2π3， 即A 点的极角为2π3，∴B 点的极角为2πππ326-=，C 点的极角为2ππ7π326+=， ∴三个点的极坐标为2π2,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2,6B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π2,6C ⎛⎫⎪⎝⎭．23．(本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 【答案】（1）42（2）不存在a ，b ，使得1123a b+6． 【解析】（1）(1a b ab +=Q ，()a b ab∴+=，0a >Q ，0b >，()2a b ab ∴+≥a b =时取等号，2ab ab≥12ab ∴≤．33331111242a b a b ab ab∴+≥⋅≥ 331142a b∴+≥a b =时取等号． （2）0a >Q ，0b >，111123223236a b a b ab∴+≥⋅≥，<Q，∴不存在a ，b ，使得1123a b+。
2019高考数学压轴小题及答案解析
2019高考数学压轴小题及答案解析题组一10.设函数$f(x)$为定义域为$\mathbb{R}$的奇函数，且$f(x)=f(-2x)$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\sin x$，则函数$g(x)=\cos(\pi x)-f(x)$上的所有零点的和为（）在区间$[-2,2]$。
11.已知函数$f(x)=\frac{2}{1+x^2}+\sin x$，其中$f'(x)$为函数$f(x)$的导数，求$f(2018)+f(-2018)+f'(2019)+f'(-2019)$的值。
12.已知直线$l:y=ax+1-a(a\in\mathbb{R})$，若存在实数$a$使得一条曲线与直线$l$有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于$|a|$，则称此曲线为直线$l$的“绝对曲线”。
下面给出的四条曲线方程：$y=-2x-12$，$(x-1)^2+(y-1)^2=1$，$y=4x$，$x+3y=4$。
其中直线$l$的“绝对曲线”的条数为（）。
15.若平面向量$\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$，$\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$，$\vec{c}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$，满足$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，$\vec{b}\cdot\vec{c}=0$，则$\vec{1}$在$\vec{2}$方向上投影的最大值是（）。
16.观察下列各式：$3=3^1$，$6=3+5$，$9=7+9+11$，$12=13+15+17+19$，$\cdots$，$3m=m^2+(m+1)^2+(m+2)^2+\cdots+(2m-1)^2$。
按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则$m$的值为（）。
2019年北京市高考压轴卷数学理科Word版含解析
2019北京市压轴卷数学试题（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知(1b i)i 1i(b R)，则b的值为（）A.1B.1C.iD.i2．下列函数中，值域为R的偶函数是（）A．y=x2+1B．y=e x﹣e﹣x C．y=lg|x|D．y x23．若变量满足约束条件x y 2,x 1,,则z 2x yy 0的最大值为（）A．0B．2C．3D．44. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为1，则输出的a值为（）开始输入否是输出结束A.1B.2C.3D.55.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．27B．30C．32D．36x,y16.“a b 4”是直线2x ay 10与直线bx 2y 20平行的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知点Q(22,0)及抛物线x24y上一动点P(x,y)，则y |PQ|的最小值是（）1A．28.设函数f(x)B．1C．2D．3的定义域D ，如果存在正实数m，使得对任意x D，都有f(x m)f(x)，则称f(x)为D上的“m型增函数”，已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x 0时，f(x)x a a（a R）．若f(x)为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a 0B．a 5C．a 10D．a 20二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.把答案填在题中的横线上．）9.函数y 2sin(2x6)1的最小正周期是，最小值是．10．已知，且411x y，若恒成立，则实数的取值范围是__________．11.如果平面直角坐标系中的两点A(a 1,a 1)，B(a,a)的方程为．关于直线l对称，那么直线l112.x 的二项展开式中xx项的系数为_________．（用数字作答）13.若0a b 1，x a b，y b a，z log a，则xb，y，z有小到大排列为．14.数列{a}n 满足：an 1an 12a(n 1,n N*)n，给出下述命题：25①若数列{a}n满足：a a21，则a an n1(n 1,n N*)成立；②存在常数c，使得a c(n N*)n成立；③若p q m n(其中p,q,m,n N*)，则a a a ap q m n；④存在常数d，使得a a (n 1)d(n N*)n1都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题满分13分）在△ABC中，已知A312,cos C ，BC 13.413（Ⅰ）求AB的长；（Ⅱ）求BC边上的中线AD的长.16.（本小题满分13分）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下20,3030,4040,5050,6060,7070以上使用人数未使用人数31217361443623（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在30,50且未使用自由购的概率；（2）从被抽取的年龄在50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在50,60的人数，求随机变量的分布列及数学期望；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋．17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB；3（Ⅲ）如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线 ME 与平面 ABCD 所成的角相等，求 值．的18. （本小题满分 14 分）已知函数f ( x ) x exm 2(x 1)2 (m 0) . （Ⅰ）当 m 0时，求函数f ( x )的极小值；（Ⅱ）当 m0 时，讨论 f (x )的单调性；（Ⅲ）若函数f ( x )在区间,1上有且只有一个零点，求 m的取值范围.19.（本小题满分 14 分）已知圆 O : x2y21 的切线 l 与椭圆 C : x23 y24 相交于 A ， B 两点．（1）求椭圆 C的离心率； （2）求证： OA OB；（3）求OAB 面积的最大值.20.（本小题共 13 分）已知曲线 C 的方程为： nx y 1( n N * ).（1 ）分别求出 n 1,n 2时，曲线 C n所围成的图形的面积;（2）若 S (nN n) 表示曲线 C 所围成的图形的面积，求证： nS (n N n)关于 n 是递增的;（ 3 ）若方程x n y n z n (n 2, n N )， xyz 0，没有正整数解，求证：曲线C (n 2, n N n)上任一点对应的坐标( x , y )， x , y不能全是有理数.1.【答案】A【解析】试题分析：因为（1+bi ）i=i+bi2=-b+i=-1+i ，所以b1 b 1 2．【答案】C【解析】试题分析：y=x2+1 是偶函数，值域为：[1，+∞）．y=ex ﹣e ﹣x 是奇函数．y=lg|x|是偶函数，值域为：R ．yx2的值域：[0，+∞）．4nn ，．故选：C 3．【答案】D【解析】作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线l:2x y 0，z是直线2x y z的纵截距，向上平移直线l，z增大，当直线l过点B(2,0)时，z 2x y 4为最大值．故选D．4.【答案】C【解析】由题知：a=1，i=1，a=2-1=1，i=2，否；a=3，i=3，否；a=6-3=3，i=4，是，则输出的a为3．5.【答案】A.【解析】四棱锥的底面是边长为3的正方形，侧面是两个直角边长为3，4的直角三角形，两个直角边长为3，5 的直角三角形，∴该四棱锥的侧面积是1134235227226．【答案】B，故选A.【解析】a 0时，直线2x ay 10与直线bx 2y 20不平行，所以直线2x ay 10与直线bx 2y 20平行的充要条件是b222a 1，即ab 4且a 1(b 4)，所以“ab 4”是直线2x ay 10与直线b x 2y 20平行的必要不充分条件．故选B．7.【答案】C.【解析】由抛物线的定义知：F(0,1)，∴|PF |y1，∴y |PQ ||P F|1|P Q ||F Q|1(220)2(01)21312，即当，，三点共线时，值最小，故选C.5ABCQP F8.【答案】B.【解析】若：当时，f(x)|x a|a |x |x，又∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)x，符合题意；若：当时，f( x)| xx,x 0a a |ax 2a,x a，又∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)大致的函数图象如下图所示，根据题意可知f(x 20)f(x)对于任意恒成立，∴问题等价于将f(x)的图象向左平移20个单位后得到的新的函数f(x 20)图象恒在f(x)图象上方，根据图象可知4a 20，即0a 5，综上实数的取值范围是，故选B.9.【答案】，1.【解析】T222，最小值是211，故填：，1.10．【答案】3,2【解析】，因为．11.【答案】x y 10，，=恒成立，恒成立，且【解析】直线斜率为a 1aa 1a 1，所以l斜率为1，设直线方程为y x b，由已知直线过点(a 1,a)512.【答案】，所以a a 1b，即b 1所以直线方程为x y 10T 【解析】展开式通项为C r(x)55r1()r (1)r C r xx53r253r1，令2，r 1，(1)1C15所以项的系数为5．13.【答案】x y z【解析】取特殊值，令a 11，b ，则x a42b11121141a 0x 0a 0x 0x Ra(,5)ABr 15x，y b ，a42226z log a logb121412，则2，即x y z14.【答案】①④.【解析】试题分析：对①；因为a a21，所以a a 021，由已知an 1a a an n n 1，所以an 1a a an n n 1a a021，即a an n 1，正确对②；假设存在在常数，使得a cn，则有a a ca n n 12aa，所以n1n 1应有最大值，错，对③，因为，p q m n22，所以假设a a a ap q m n，则应有a a pq m n22，即原数列应为递增数列，错，对④，不妨设a 11，an 1a nn，则ann(n 1)21，若存在常数，使得a a (n 1)dn1，应有a a nd n1n 12，显然成立，正确，所以正确命题的序号为①④．15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由cos C125，0C ，所以s in C13213.5由正弦定理得，AB BCsin C sin A，即AB BCsin C=1352sin A2..………6分（Ⅱ）在△ABD中，cos Bcos(2322172C)cos C sin C42226.由余弦定理得，AD2AB2+BD22A B BD cos B,所以AD2(52)2+169131722925242264.所以AD292.【答案】（1）17100；（2）详见解析；（3）2200．11422c np q m nd137【解析】（1）在随机抽取的 100 名顾客中，年龄在 30,50且未使用自由购的共有 3 14 17人，所以随机抽取 1 名顾客，估计该顾客年龄在 30,50 且未使用自由购的概率为 P （2） X 所有的可能取值为 1，2，3，17100．PX 1C C 4 2 C 61； P 5X 2C C 34 2C 56； PX 3C C 4 2 C 615．所以 X 的分布列为1 X1 P51 3 1所以 X 的数学期望为 EX1 2 3 2 5 5 5．22 531 5（3）在随机抽取的 100 名顾客中，使用自由购的共有 3 12 17 6 4 2 44 人，44所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为 5000 2200 1003 3．17．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） 2【解析】试题分析：（Ⅰ）证明 AB ⊥AC．EF ⊥AC ．推出 PA ⊥底面 ABCD ，即可说明 PA ⊥EF ， 然后证明 EF ⊥平面 PAC ．（Ⅱ）证明 MF ∥PA ，然后证明 MF ∥平面 PAB ，EF ∥平面 PAB ．即可证明平面 MEF ∥平面 PAB ，从而证明 ME ∥平面 PAB ．（Ⅲ）以 AB ，AC ，AP 分别为 x 轴、y 轴和 z 轴，如上图建立空间直角坐标系，求出相 关点的坐标，平面 ABCD 的法向量，平面 PBC 的法向量，利用直线 ME 与平面 PBC 所成的角和 此直线与平面 ABCD 所成的角相等，列出方程求解即可试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形 ABCD 中，因为 AB=AC ，∠BCD=135°，∠ABC=45°． 所以 AB ⊥AC．由 E ，F 分别为 BC ，AD 的中点，得 EF ∥AB ， 所以 EF ⊥AC．因为侧面 PAB ⊥底面 ABCD ，且∠BAP=90°，所以 PA ⊥底面 ABCD ．又因为 EF ⊂底面 ABCD ，所以 PA ⊥EF．又因为 PA ∩AC=A ，PA ⊂平面 PAC ，AC ⊂平面 PAC ，81 23 2 1 3 3 0 3所以EF⊥平面PAC．（Ⅱ）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点，所以MF∥PA，又因为MF平面PAB，PA⊂平面PAB，所以MF∥平面PAB．同理，得EF∥平面PAB．又因为MF∩EF=F，MF⊂平面MEF，EF⊂平面MEF，所以平面MEF∥平面PAB．又因为ME⊂平面MEF，所以ME∥平面PAB．（Ⅲ）解：因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以AP，AB，AC两两垂直，故以AB，AC，AP分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，0），E（1，1，0），所以PB (2,0,2)，PD (2,2,2)，BC (2,2,0)，设PMPD ([0,1])，则PM (2,2,2)，所以M（﹣2λ，2λ，2﹣2λ），ME1(21,22,2)，易得平面ABCD的法向量=（0，0，1）．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），2x2y 0由，，得令x=1，得=（1，1，1）．因为直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，MEmME n所以所以cos ME,m c os ME,n2223，，即ME m ME n，解得3333，或（舍）．mn2x 2z 0n BC 0n PB 0n22918.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)当m 0时：f (x)(x 1)e x，令f (x)0解得x1，又因为当x ,1，f (x)0，函数f(x)为减函数；当x1,，f (x)0，函数f(x)为增函数.所以，f(x)的极小值为f(1)1 e .（Ⅱ）f (x)(x 1)(e x m).当m 0时，由f (x)0，得x1或x ln m.(ⅰ)若m 1e，则f (x)(x 1)(e x )0.故f(x)在,e上单调递增；（ⅱ）若m 1e，则ln m1.故当f (x)0时，x 1或x ln m；当f (x)0时，1x ln m.所以f(x)在,1，l n m,单调递增，在1,l n m 单调递减.(ⅲ)若0m 1e，则ln m1.故当f (x)0时，x ln m或x1；当f (x)0时，ln m x1.所以f(x)在,l nm ，1,单调递增，在l n m,1单调递减.（Ⅲ）(1)当m 0时，f(x)x e x，令f(x)0，得x 0.因为当x 0时，f(x)0，1当x 0时，f(x)0，所以此时f(x)在区间,1上只有一个零点.(2)当m 0时：（ⅰ）当m 1e时，由（Ⅱ）可知f(x)在,上单调递增，且1f (1)0e，102f(1)e 0，此时f(x)e在区间,1上有且只有一个零点.（ⅱ）当m 1e时，由（Ⅱ）的单调性结合f(1)0，又f(ln m)f (1)0，只需讨论f (1)e 2m的符号：当1em 时，f(1)0，f(x)e2在区间，1上有且只有一个零点；当m e2时，f(1)0，函数f(x)在区间，1上无零点.(ⅲ)当0m1e时，由（Ⅱ）的单调性结合f(1)0，f(1)e 2m 0，m mf(ln m)ln2m 0，此时f(x)22在区间,1上有且只有一个零点.综上所述，0m e 2 .19.（本小题满分14分）623【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）根据题意以及椭圆中，，满足的关系式即可求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示即可得证；（3）建立函数关系式，将问题转化为求函数最值.48b2c2a2b2试题解析：（1）由题意可知，，∴，∴c66ea3，∴椭圆的离心率为；SOAB的（2）若切线的斜率不存在，则，在x23y2144中令得y1，不妨设A(1,1)，B(1,1)，则OA OB 110OA OB l:x1时，也有，若切线的斜率存在，设l:y kx m，依题意mk211，即k21m2，33a b ca2433C3l l:x 1x 1，∴，同理，当OA OB l11y kx mx 23 y 2 4由，得3( k 2 1)x 26kmx 3m 420．显然，设A ( x , y )B ( x , y ) 11 ，2 2 ,则xx126k m 3k 2 1 ，x x1 23m 3k2 24 1y y (k x m )( kxm ) k 2 x xkm ( xx )m ，∴ 1 2121 2122，∴OA OB x x y y(k1 21 221)x xkm ( xx ) m 1 2122(k21)3m 2 4 6kmkm m3k 2 1 3k 2 12(k21)(3m24) 6k 2 m 3k 2 12(3k21)m24m 2 4k 2 3k 2 144( k21) 4k 3k 2 124，∴ O A OB ，综上所述，总有OA OB 成立；（3）∵直线 AB 与圆 O 相切，则圆O 半径即为的高，当 的斜率不存在时，由（2）可知AB 2，则S 1OAB，当 的斜率存在时，由（2）可知，AB (1k 2)[( xx ) 1224 x x ] 1 21k2(6km 3m 2 4 )2 4 3k 2 1 3k 2 12 1 k 2 2 1 k 29k 2m 2 (3m 2 4)(3k 2 1)12k3k 2 1 3k 2 12 1k 2 2 1 k 2212k 2 3(k 21) 49k 13k 2 13k 2 1，23m2 4∴AB4(1k 2 )(9k 2 1) 4(9k 4 10 k 2 1) 4k 24(1(3k 2 1)2 9k 4 6k 2 1 9k 4 6k 21)4 169k4k 2 6k 2 14 2164 16 41 3 3k 23 k（当且仅当时，等号成立），∴AB4 3 3，此时(S)OAB max2 333 k，综上所述，当且仅当时，120 OAB ll29k63 3 OAB23面积的最大值为．20.（本小题共13分）【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析．【解析】试题分析：（1）画出对应的取值的图形，根据图形即可求解；（2）由于曲线Cn具有对称性，只需证明曲线Cn在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，再根据式子推导；（3）根据条件中给出的结论利用反证法推导．试题解析：（1）当n 1,21C 41121C时，由图可知，2；（2）要证S(n N*) nS S是关于递增的，只需证明：n n1(n N*)，由于曲线Cn具有对称性，只需证明曲线Cn在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增，现在考虑曲线Cn与Cn 1，因为|x|n |y |n 1(n N*)（1）因为|x|n 1|y|n 11(n N*)，在(1)和(2)中令x x，x (0,1)，当x (0,1)，存在y y (0,1)1，2使得x n y n 1x n 1y01，01n 11成立，此时必有y y x (0,1)21，因为当0时x n x n 1 00，所以y2n 1y1n，两边同时开次方有，y y22n 1n y1.（指数函数单调性）这就得到了y y2 1，从而S(n N*)n是关于递增的；（3）由于x n y n z n(n 2,n N)可等价转化为x y ( )n ()n 1 z z，反证：若曲线C(n 2,n N*)n上存在一点对应的坐标(x,y)，，y全是有理数，不妨设xqp，yts，p,q,s,t N*，且互质，互质，则由|x|n |y|n 1可得，q t| |n ||p s n 1，即，这时qs，pt，ps就是133n2nnnxp,q s,t|qs|n |pt|n |p s|nx n y n z n(n 2,n N)的一组解，这与方程x n y n z n(n 2,n N)，xyz 0，没有正整数解矛盾，所以曲线C(n 2,n N*)n上任一点对应的坐标(x,y)，x,y不能全是有理数.14。
2019浙江省高考压轴卷数学附答案解析
2 2
，所以 e2
1 a2
2 ，解得 a
2
，故选 B.
2
4
3.【答案】D 【解析】
根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱 ABC A ' B 'C ' ，
底面是一个直角三角形，两条直角边分别是 2 、斜边是 2，
且侧棱与底面垂直，侧棱长是 2，
∴ 几何体的表面积 S 2 1 21 2 2 2 2 2 6 4 2 ， 2
14.【答案】 4 2 5
【解析】设向量
a,
b
的夹角为
，由余弦定理有：
4. 若复数 z 满足： 1 1 2z i 0 （ i 是虚数单位），则复数 z 的虚部是（ ）
A. 1 2
1
B.
2
C. 1 i 2
1 D. i
2
5. 函数 y 2x2 e x 在 2, 2 的图像大致为（ ）.
y
y
1
1
-2
O
2 x -2
O
2x
A
B
1
y
y
1
1
-2
2019 浙江省高考压轴卷
数学
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.
1．已知全集U 1, 2,3, 4,5, 6, 集合 A 1,3,5, B 1, 2, 则 A CU B A. B. 5 C. 3 D. 3,5
2
xy0 ,
12.
已知
x,
y
满足条件
x
y
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压轴题命题区间(一)⎪⎪函数与方程 增分点抽象问题有形化，破解抽象函数难题抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征式子的一类函数．由于抽象函数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，使多数学生感觉无从下手，望而生畏．事实上，解决此类问题时，只要准确掌握函数的性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题，问题就迎刃而解了．[典例] (2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m[思路点拨](1)由于题目条件中的f (x )没有具体的解析式，仅给出了它满足的性质f (－x )＝2－f (x )，即f (x )(x ∈R)为抽象函数，显然我们不可能求出这些点的坐标，这说明这些交点坐标应满足某种规律，而这种规律必然和这两个函数的性质有关．(2)易知函数y ＝x ＋1x 关于点(0,1)成中心对称，自然而然的让我们有这样的想法：函数f (x )(x ∈R)的图象是否也关于点(0,1)成中心对称？基于这个想法及选择题的特点，那么解题方向不外乎两个：一是判断f (x )的对称性，利用两个函数的对称性求解；二是构造一个具体的函数f (x )来求解．[方法演示]法一：利用函数的对称性由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )＝2，所以点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))连线的中点是(0,1)，故函数f (x )的图象关于点(0,1)成中心对称．(此处也可以这样考虑：由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )－2＝0，即[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0，令F (x )＝f (x )－1，则F (x )＋F (－x )＝0，即F (x )＝f (x )－1为奇函数，图象关于点(0,0)对称，而F (x )的图象可看成是f (x )的图象向下平移一个单位得到的，故f (x )的图象关于点(0,1)对称)．又y ＝x ＋1x ＝1＋1x 的图象也关于点(0,1)对称，所以两者图象的交点也关于点(0,1)对称，所以对于每一组对称点x i ＋x i ′＝0，y i ＋y i ′＝2，所以∑i ＝1m(x i ＋y i )＝∑i ＝1mx i ＋∑i ＝1my i ＝0＋2×m2＝m ，故选B.法二：构造特殊函数由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )－2＝0， 即[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0.令F (x )＝f (x )－1，则F (x )为奇函数， 即f (x )－1为奇函数，从而可令f (x )－1＝x ， 即f (x )＝x ＋1，显然该函数满足此条件． 此时y ＝f (x )与y ＝x ＋1x的交点分别为(1,2)和(－1,0)， 所以m ＝2，∑i ＝1m(x i ＋y i )＝1＋2＋(－1)＋0＝2，结合选项可知选B. 答案：B [解题师说]1．解决抽象函数问题的2个常用方法2．解决抽象函数问题常用的结论(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b2对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )．特例：函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )； 函数y ＝f (x )关于x ＝0对称⇔f (x )＝f (－x )(即为偶函数)．(2)函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝2b . 特例：函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝0⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝0； 函数y ＝f (x )关于点(0,0)对称⇔f (x )＋f (－x )＝0(即为奇函数)．(3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；y ＝f (x ＋a )是奇函数⇔函数y ＝f (x )关于(a,0)对称．(4)对于函数f (x )定义域内任一自变量的值x ： ①若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； ②若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ；③若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a；(a>0)④若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则T＝|a－b|；⑤若f(2a－x)＝f(x)且f(2b－x)＝f(x)(a≠b)，则T＝2|b－a|.[应用体验]1．已知函数f(x)在R上是单调函数，且满足对任意x∈R，都有f(f(x)－2x)＝3，则f(3)的值是()A．3B．7C．9 D．12解析：选C由题意，知对任意x∈R，都有f(f(x)－2x)＝3，不妨令f(x)－2x＝c，其中c是常数，则f(c)＝3，所以f(x)＝2x＋c.再令x＝c，则f(c)＝2c＋c＝3，即2c＋c－3＝0.易得2c与3－c至多只有1个交点，即c＝1.所以f(x)＝2x＋1，所以f(3)＝23＋1＝9.2．已知奇函数f(x)(x∈D)，当x>0时，f(x)≤f(1)＝2.给出下列命题：①D＝[－1,1]；②对∀x∈D，|f(x)|≤2；③∃x0∈D，使得f(x0)＝0；④∃x1∈D，使得f(x1)＝1.其中所有正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选A由奇函数f(x)(x∈D)，当x>0时，f(x)≤f(1)＝2，只说明函数有最值，与定义域无关，故①错误；对于②，可能f(3)＝－3，|f(3)|＝3>2，故②错误；对于③，当0不在D中，且x轴为渐近线时，则不满足③；当y＝1为渐近线时，不满足④，因此选A.3．已知定义域为R的函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，若x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒大于0 B．恒小于0C．可能等于0 D．可正可负解析：选B法一：由f(－x)＝－f(x＋4)，得f(－x＋2)＝－f(x－2＋4)＝－f(x＋2)，即f(x＋2)＝－f(－x＋2)，故函数f(x)的对称中心为M(2,0)．令x＝－2，得f(2)＝－f(2)，解得f(2)＝0.又函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，画出函数的大致图象如图所示．由(x 1－2)(x 2－2)<0，可得x 1－2与x 2－2异号，即x 1，x 2分布在直线x ＝2的两侧，不妨设x 1<2<x 2.由x 1＋x 2<4，可得(x 1－2)＋(x 2－2)<0，即|x 1－2|>|x 2－2|，由函数的对称性，可知必有f (x 1)＋f (x 2)<0.法二：由f (－x )＝－f (x ＋4)可知，f (2＋x )＝－f (2－x )，则函数图象关于点(2,0)中心对称．因为x <2时，f (x )单调递增，所以x >2时，f (x )单调递增．因为x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，设x 1<2<x 2，则x 2<4－x 1，所以f (x 2)<f (4－x 1)．又因为f (4－x 1)＝－f (x 1)，所以f (x 2)<－f (x 1)，即f (x 1)＋f (x 2)<0.一、选择题1．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))的值为( ) A ．5 B ．－5 C.15D ．－15解析：选D ∵函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )， ∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是以4为周期的周期函数． ∵f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (f (1))＝f (－5)＝f (3)＝1f (1)＝－15.2．(2017·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数． 因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0， 所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0. 又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)， 20．8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3， 所以b <a <c .3．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y＝f (x )图象的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m 解析：选B ∵f (x )＝f (2－x )， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1m x i ＝2×m －12＋1＝m . 4．已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：选D 由题意知当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )． 又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x <0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.5．已知定义在R 上的函数f (x )，对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立，若函数y ＝f (x ＋1)的图象关于直线x ＝－1对称，则f (2 018)的值为( )A ．2 018B ．－2 018C ．0D ．4 解析：选C 依题意得，函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0对称，因此函数y ＝f (x )是偶函数，且f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，即f (2)＝f (2)＋f (2)，所以f (2)＝0，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数y ＝f (x )是以4为周期的函数，f (2 018)＝f (4×504＋2)＝f (2)＝0.6．(2018·广西三市联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a 满足f (2log 3a )>f (－2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3)B ．(0，3)C ．(3，＋∞)D ．(1，3)解析：选B ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f (－2)＝f (2)，∴f (2log 3a )>f (2)．∵2log 3a >0，f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0<2log 3a <2⇒log 3a <12⇒0<a < 3.7．设函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象关于直线x ＝0及直线x ＝1对称，且x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则f ⎝⎛⎭⎫－32＝( ) A.12 B.14 C.34D.94解析：选B 法一：∵函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象关于直线x ＝0对称， ∴f (－x )＝f (x )．∵函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (1－x )＝f (1＋x )．∴f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫1＋12＝f ⎝⎛⎭⎫1－12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122＝14. 法二：∵函数y ＝f (x )关于直线x ＝0对称，则函数f (x )是偶函数，又关于x ＝1对称，则f (2－x )＝f (x )，故f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122＝14. 8．定义在R 上的函数y ＝f (x )，满足f (4－x )＝f (x )，(x －2)·f ′(x )＜0，若x 1＜x 2且x 1＋x 2＞4，则有( )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不确定解析：选B 由f (4－x )＝f (x )，知函数f (x )关于直线x ＝2对称．又(x －2)f ′(x )＜0，故当x ＞2时，函数f (x )单调递减；当x ＜2时，函数f (x )单调递增，所以当x ＝2时，函数f (x )取得最大值．由x 1＜x 2且x 1＋x 2＞4知x 1离x ＝2更近，故f (x 1)＞f (x 2)．9．(2018·惠州第一次调研)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0恒成立；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (8)，b ＝f (11)，c ＝f (2 018)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a解析：选B 由①知函数f (x )在区间[4,8]上为单调递增函数；由②知f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以c ＝f (2 018)＝f (252×8＋2)＝f (2)，b ＝f (11)＝f (3)；由③可知函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (2)＝f (6)．因为函数f (x )在区间[4,8]上为单调递增函数，所以f (5)＜f (6)＜f (8)，即b ＜c ＜a .10．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：选D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． 因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数， 所以f (－1)<f (0)<f (1)， 即f (－25)<f (80)<f (11)．11．(2018·成都第一次诊断)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在－52，12上的所有实数解之和为( )A ．－7B ．－6C ．－3D ．－1解析：选A 因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2，又当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象如图所示．由图象知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7.12．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈(0,3)时，f (x )＝x ＋1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C 因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (－2 017)＝－f (2 017)， 因为当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，所以f (x )的周期为6. 又当x ∈(0,3)时，f (x )＝x ＋1， 所以f (2 017)＝f (336×6＋1)＝f (1)＝2， f (2 018)＝f (336×6＋2)＝f (2)＝3，故f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋3＝－2＋3＝1. 二、填空题13．(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )的图象关于y 轴对称，且对任意x ∈R 都有f (x ＋3)＝－f (x )，若当x ∈⎝⎛⎭⎫12，32时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，则f (2 018)＝________. 解析：因为对任意x ∈R 都有f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，函数f (x )是周期为6的函数，f (2 018)＝f (336×6＋2)＝f (2)．由f (x ＋3)＝－f (x )可得f (－1＋3)＝－f (－1)＝f (2)，因为函数f (x )的图象关于y 轴对称，所以函数f (x )是偶函数，f (－1)＝f (1)＝12，所以f (2 018)＝f (2)＝－f (1)＝－12.答案：－1214．已知定义在R 上的函数f (x )，对任意的实数x ，均有f (x ＋3)≤f (x )＋3，f (x ＋2)≥f (x )＋2且f (1)＝2，则f (2 017)的值为________．解析：∵f (x ＋3)≤f (x )＋3，f (x ＋2)≥f (x )＋2， ∴f (x ＋1)＋2≤f (x ＋3)≤f (x )＋3， ∴f (x ＋1)≤f (x )＋1.又f (x ＋1)＋1≥f (x ＋2)≥f (x )＋2， ∴f (x ＋1)≥f (x )＋1，∴f (x ＋1)＝f (x )＋1， 利用叠加法，得f (2 017)＝2 018. 答案：2 01815．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当x ∈[－3，－1)时，f (x )＝－(x ＋2)2，当x ∈[－1,3)时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝________.解析：由题意得f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，所以数列{f (n )}从第一项起，每连续6项的和为1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝336×1＋f (1)＋f (2)＝339.答案：33916．(2017·惠州三调)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －34为奇函数，给出以下四个命题： ①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称； ③函数f (x )为R 上的偶函数； ④函数f (x )为R 上的单调函数． 其中真命题的序号为________．解析：f (x ＋3)＝fx ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，所以f (x )是周期为3的周期函数，①正确； 函数f ⎝⎛⎭⎫x －34是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，则f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，②正确；因为f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，－34＝－x ＋⎝⎛⎭⎫－32＋x 2，所以f (－x )＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ，又f ⎝⎛⎭⎫－32＋x ＝－f －32＋x ＋32＝－f (x )， 所以f (－x )＝f (x )，③正确；f (x )是周期函数，在R 上不可能是单调函数，④错误． 故真命题的序号为①②③. 答案：①②③增分点应用“三招五法”，轻松破解含参零点问题根据函数的零点情况，讨论参数的范围是高考的重点和难点．对于此类题目，我们常利用零点定理、数形结合、函数单调性与分离参数等思想方法来求解．[典例] (2014·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)[思路点拨]本题的实质是函数f (x )存在唯一的零点x 0∈(0，＋∞)，因此可利用其代数特征转化为方程有唯一的正根来构思解析，也可以从零点本身的几何特征入手，将其转化为曲线的交点问题来突破，还可以利用选项的唯一性选取特例求解．[方法演示]法一 单调性法：利用函数的单调性求解由已知得，a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a.当a >0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a ，f ′(x )<0；x ∈2a ，＋∞，f ′(x )>0.所以函数f (x )在(－∞，0)和2a ，＋∞上单调递增，在0，2a 上单调递减，且f (0)＝1>0，故f (x )有小于零的零点，不符合题意．当a <0时，x ∈－∞，2a ，f ′(x )<0；x ∈2a ，0，f ′(x )>0；x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0.所以函数f (x )在－∞，2a 和(0，＋∞)上单调递减，在2a ，0上单调递增，所以要使f (x )有唯一的零点x 0且x 0>0，只需f 2a >0，即a 2>4，解得a <－2.法二 数形结合法：转化为直线与曲线的位置关系求解由ax 3－3x 2＋1＝0可知x ≠0，可得ax ＝3－1x 2，作出y ＝3－1x 2的图象如图所示，转动直线y ＝ax ，显然a >0时不成立；当a <0，直线y ＝ax 与左边的曲线相切时，设切点为t,3－1t 2，其中t <0，则切线方程为y －3－1t 2＝2t 3(x －t )．又切线过原点，则有0－3－1t 2＝2t 3(0－t )，解得t ＝－1(t ＝1舍去)，此时切线的斜率为－2，由图象可知a <－2符合题意．法三 数形结合法：转化为两曲线的交点问题求解令f (x )＝0，得ax 3＝3x 2－1.问题转化为g (x )＝ax 3的图象与h (x )＝3x 2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．当a ＝0时，函数g (x )的图象与h (x )的图象存在两个的交点； 当a >0时，如图(1)所示，不合题意；当a <0时，由图(2)知，可先求出函数g (x )＝ax 3与h (x )＝3x 2－1的图象有公切线时a 的值．由g ′(x )＝h ′(x )，g (x )＝h (x )，得a ＝－2.由图形可知当a <－2时，满足题意．法四 分离参数法：参变分离，演绎高效易知x≠0，令f(x)＝0，则a＝3x－1x3，记g(x)＝3x－1x3，g′(x)＝－3x2＋3x4＝－3(x2－1)x4，可知g(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g(－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y＝a，结合图象，可知a<－2.法五特例法：巧取特例求解取a＝3，则f(x)＝3x3－3x2＋1.由于f(0)＝1，f(－1)<0，从而f(x)在(－∞，0)上存在零点，排除A、C.取a＝－43，则f(x)＝－43x3－3x2＋1.由于f(0)＝1，f⎝⎛⎭⎫－32<0，从而f(x)在(－∞，0)上存在零点，排除D，故选B.[答案]B[解题师说]函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思维能力，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度．由本题的五种方法，可知破解含参零点问题常有“三招”.[应用体验]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(e x－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()A．－12 B.13C.12D ．1解析：选C 法一：由函数f (x )有零点，得x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)＝0有解，即(x －1)2－1＋a (e x －1＋e－x ＋1)＝0有解，令t ＝x －1，则上式可化为t 2－1＋a (e t ＋e －t )＝0， 即a ＝1－t 2e t ＋e－t .令h (t )＝1－t 2e t ＋e－t ，易得h (t )为偶函数，又由f (x )有唯一零点得函数h (t )的图象与直线y ＝a 有唯一交点，则此交点的横坐标为0， 所以a ＝1－02＝12，故选C. 法二：由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .e x －1＋e－x ＋1≥2e x －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a >0，则a (e x －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，a ＝12.2．设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x ＋10存在整数零点，则符合条件的m 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：选C 令f (x )＝0，得m ＝2x ＋1010－x .又m ∈N ，因此有⎩⎪⎨⎪⎧10－x ＞0，2x ＋10≥0，解得－5≤x＜10，x ∈Z ，∴0＜10－x ≤15.当2x ＋10＝0，即x ＝－5时，m ＝0；当2x ＋10≠0时，要使m ∈N ，则需10－x ∈N ， 当10－x ＝1，即x ＝9时，m ＝28； 当10－x ＝2，即x ＝6时，m ＝11； 当10－x ＝3，即x ＝1时，m ＝4， 所以符合条件的m 的个数为4.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋2x ＋2，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝a 有4个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4的取值范围是( )A ．(－3，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[－3,3)D ．(－3,3]解析：选D 在同一坐标平面内画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，当且仅当a ∈(0,2]时，直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有4个不同的交点，即方程f (x )＝a 有4个不同的解，此时有x 1＋x 2＝－4，|log 2x 3|＝|log 2x 4|(0＜x 3＜1＜x 4≤4)，即有－log 2x 3＝log 2x 4，x 3x 4＝1，所以x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4＝x 4－4x 4(1＜x 4≤4)，易知函数y ＝x 4－4x 4在区间(1,4]上是增函数，因此其值域是(－3,3]．4．若函数f (x )＝e x －ax 2有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫e 2，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫1，e24 D.⎝⎛⎭⎫1，e2 解析：选A 函数f (x )＝e x －ax 2有三个不同的零点等价于函数y ＝e x 与y ＝ax 2的图象有三个不同的交点，则显然有a >0，且在(－∞，0)上两函数的图象有一个交点．当x >0时，设两函数图象在点(x 0，e x 0)处相切，则⎩⎪⎨⎪⎧e x 0＝2ax 0，e x 0＝ax 20，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，a ＝e 24，由图易得若两函数图象有两个不同的交点，则a >e 24，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞.一、选择题1．(2018·贵阳检测)已知函数f (x )＝ln(x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4]D ．[－4，＋∞)解析：选D 依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，其值域A 包含(0，＋∞)，因此对方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4，即实数a 的取值范围是[－4，＋∞)．2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值是( )A ．n (n ∈Z)B ．2n (n ∈Z)C ．2n 或2n －14(n ∈Z)D ．n 或n －14(n ∈Z)解析：选C 依题意得，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数，画出函数的大致图象如图所示．在[0,2)上，由图象易得，当a ＝0或－14时，直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的公共点，∵函数f (x )的周期为2，∴a 的值为2n 或2n －14(n ∈Z)．3．(2018·洛阳第一次统考)若函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(0,1) C.⎝⎛⎭⎫－∞，1＋e e 2D.⎝⎛⎭⎫0，1＋ee 2解析：选B 依题意，关于x 的方程ax －1＝ln x x 有两个不等的正根．记g (x )＝ln x x，则g ′(x )＝1－ln xx 2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在区间(0，e)上单调递增；当x >e 时，g ′(x )<0，g (x )在区间(e ，＋∞)上单调递减，且g (e)＝1e，当0<x <1时，g (x )<0.设直线y ＝a 1x －1与函数g (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则有⎩⎨⎧a 1＝1－ln x 0x 20，a 1x 0－1＝ln x0x，由此解得x 0＝1，a 1＝1.在同一坐标系中画出直线y ＝ax －1(该直线过点(0，－1)、斜率为a )与函数g (x )的大致图象(图略)，结合图象可知，要使直线y ＝ax －1与函数g (x )的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是(0,1)．4．若f (x )＝ln x ＋ax －1有且仅有一个零点，则实数a 的最小值为( ) A ．0 B ．－1e 2C ．－1D ．1解析：选B 由f (x )＝0，得ln x ＝－ax ＋1，在同一坐标系中画出y ＝ln x 和y ＝－ax ＋1的图象如图所示， 直线y ＝－ax ＋1的斜率k ＝－a ，且恒过(0,1)点．当k ≤0，即a ≥0时，只有一个交点，从而f (x )只有一个零点，当k >0，且直线y ＝－ax ＋1与y ＝ln x 相切于点P (x 0，ln x 0)时，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)， 将x ＝0，y ＝1代入得ln x 0＝2，即x 0＝e 2，k ＝1x 0＝1e 2，所以a ＝－1e2，所以当a ≥－1e 2时，直线y ＝－ax ＋1与y ＝ln x 的图象只有一个交点，即f (x )只有一个零点，故a 的最小值为－1e2.5．(2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝e xx －kx (e 为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,2) B.⎝⎛⎭⎫0，e 24 C ．(0，e)D ．(0，＋∞)解析：选B 由题意，知x ≠0，函数f (x )有且只有一个零点等价于方程e xx －kx ＝0只有一个根，即方程e x x 2＝k 只有一个根，设g (x )＝e x x 2，则函数g (x )＝e xx 2的图象与直线y ＝k 只有一个交点．因为g ′(x )＝(x －2)e xx 3，由g ′(x )>0，得x >2或x <0；由g ′(x )<0，得0<x <2，所以函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，g (x )的极小值为g (2)＝e 24，且x →0时，g (x )→＋∞；x →－∞时，g (x )→0；x →＋∞时，g (x )→＋∞，则g (x )的图象如图所示，由图易知0<k <e 24，故选B.6．(2018·兰州模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18C ．－78D ．－38解析：选C 因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点， 所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根． 又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根， 所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0， 解得λ＝－78.7．(2018·长沙模拟)对于满足0<b ≤3a 的任意实数a ，b ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 总有两个不同的零点，则a ＋b －ca 的取值范围是( )A ．1，74B ．(1,2]C ．[1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意对方程ax 2＋bx ＋c ＝0， 有Δ＝b 2－4ac >0，于是c <b 24a， 从而a ＋b －c a >a ＋b －b 24a a ＝1＋b a －14⎝⎛⎭⎫b a 2， 对满足0<b ≤3a 的任意实数a ，b 恒成立． 令t ＝ba ，因为0<b ≤3a ，所以0<t ≤3.因为－14t 2＋t ＋1∈(1,2]，所以a ＋b －c a >2.8．(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，若x 1<f (x 1)<x 2，则关于x 方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实数根的个数不可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D 由题意，得f ′(x )＝－x 2＋2ax ＋b .因为x 1，x 2是函数f (x )的两个极值点，所以x 1，x 2是方程－x 2＋2ax ＋b ＝0的两个实数根，所以由[f (x )]2－2af (x )－b ＝0，可得f (x )＝x 1或f (x )＝x 2.由题意，知函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增，又x 1<f (x 1)<x 2，依题意作出简图，如图所示，结合图形可知，方程[f (x )]2－2af (x )－b ＝0的实根个数不可能为5，故选D.9．(2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝e 2x －ax 2＋bx －1，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数．若f (1)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，函数f ′(x )在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(e 2－3，e 2＋1)B ．(e 2－3，＋∞)C ．(－∞，2e 2＋2)D ．(2e 2－6,2e 2＋2)解析：选A 由f (1)＝0，得e 2－a ＋b －1＝0，所以b ＝a －e 2＋1，又f ′(x )＝2e 2x －2ax ＋b ，令g (x )＝2e 2x －2ax ＋b ，则g ′(x )＝4e 2x －2a ，因为x ∈(0,1)，所以4<4e 2x <4e 2.当a ≥2e 2时，g ′(x )<0，函数g (x )在(0,1)内单调递减，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点；当a ≤2时，g ′(x )>0，函数g (x )在(0,1)内单调递增，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点；当2<a <2e 2时，若0<x <12ln a 2，则g ′(x )<0，若12ln a2<x <1，则g ′(x )>0，所以函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12ln a 2内单调递减，在⎝⎛⎭⎫12ln a 2，1内单调递增，所以g (x )min ＝g 12ln a2＝a －a ln a 2＋b ＝2a －a ln a 2－e 2＋1.令h (x )＝2x －x ln x2－e 2＋1＝2x －x ln x ＋x ln 2－e 2＋1(2<x <2e 2)，则h ′(x )＝－ln x ＋1＋ln 2，当x∈(2,2e)时，h ′(x )>0，h (x )为增函数，当x ∈(2e,2e 2)时，h ′(x )<0，h (x )为减函数，所以h (x )max ＝h (2e)＝2e －e 2＋1<0，即g (x )min <0恒成立，所以函数g (x )在(0,1)内有两个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝2＋a －e 2＋1>0，g (1)＝2e 2－2a ＋a －e 2＋1>0，解得e 2－3<a <e 2＋1. 综上所述，a 的取值范围为(e 2－3，e 2＋1)．10．(2017·太原一模)设[x ]表示不小于实数x 的最小整数，如[2.6]＝3，[－3.5]＝－3.已知函数f (x )＝([x ])2－2[x ]，若函数F (x )＝f (x )－k (x －2)＋2在(－1,4]上有2个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．－52，－1∪[2,5)B ．－43，－1∪[5,10)C ．－1，－23∪[5,10)D ．－43，－1∪[5,10)解析：选C 由题意知，f (x )＝([x ])2－2[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈(－1，0]∪(1，2]，－1，x ∈(0，1]，3，x ∈(2，3]，8，x ∈(3，4].令F (x )＝0，得f (x )＝k (x －2)－2，作出函数y ＝f (x )和y ＝k (x －2)－2的图象如图所示． 若函数F (x )＝f (x )－k (x －2)＋2在(－1,4]上有2个零点，则函数y ＝f (x )和y ＝k (x －2)－2的图象在(－1,4]上有2个交点，结合图象可得，k PA ＝5，k PB ＝10，k PO ＝－1，k PC ＝－23，所以实数k 的取值范围是－1，－23∪[5,10)．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜0，⎪⎪⎪⎪12x 2－2x ＋1，x ≥0.方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0(b ≠0)有6个不同的实数解，则3a ＋b 的取值范围是( )A ．[6,11]B ．[3,11]C ．(6,11)D ．(3,11)解析：选D 作出函数f (x )的图象如图所示，对于方程[f (x )]2－af (x )＋b ＝0，可令f (x )＝t ，那么方程根的个数就是f (x )＝t 1与f (x )＝t 2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t 的方程t 2－at ＋b ＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，由根的分布得出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，1－a ＋b ＜0，4－2a ＋b ＞0，画出可行域如图所示，目标函数z ＝3a ＋b 经过⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4－2a ＋b ＝0的交点A (3,2)时取得最大值11，经过B (1,0)时取得最小值3.故3a ＋b 的取值范围为(3,11)．12．(2018·广东五校协作体第一次诊断)已知e 为自然对数的底数，若对任意的x 1∈[0,1]，总存在唯一的x 2∈[－1,1]，使得x 1＋x 22e x 2－a ＝0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，e]B ．(1，e] C.⎝⎛⎦⎤1＋1e ，e D.⎣⎡⎦⎤1＋1e ，e 解析：选C 令f (x 1)＝a －x 1，则f (x 1)在x 1∈[0,1]上单调递减，且f (0)＝a ，f (1)＝a －1.令g (x 2)＝x 22e x 2，则g ′(x 2)＝2x 2e x 2＋x 22e x 2＝x 2e x 2(x 2＋2)，且g (0)＝0，g (－1)＝1e ，g (1)＝e.若对任意的x 1∈[0,1]，总存在唯一的x 2∈[－1,1]，使得x 1＋x 22e x 2－a ＝0成立，即f (x 1)＝g (x 2)，则f (x 1)＝a －x 1的最大值不能大于g (x 2)的最大值，即f (0)＝a ≤e ，因为g (x 2)在[－1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当g (x 2)∈⎝⎛⎦⎤0，1e 时，有两个x 2使得f (x 1)＝g (x 2)．若存在唯一的x 2∈[－1,1]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则f (x 1)的最小值要比1e 大，所以f (1)＝a －1>1e ，所以a >1＋1e，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1＋1e ，e . 二、填空题13．若对任意的实数a ，函数f (x )＝(x －1)ln x －ax ＋a ＋b 有两个不同的零点，则实数b 的取值范围是________．解析：由f (x )＝(x －1)ln x －ax ＋a ＋b ＝0，得(x －1)ln x ＝a (x －1)－b .设g (x )＝(x －1)ln x ，h (x )＝a (x －1)－b ，则g ′(x )＝ln x －1x ＋1，因为g ′(x )＝ln x －1x ＋1在(0，＋∞)上是增函数，且g ′(1)＝0，所以当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，当x ＞1时，g ′(x )＞0，所以g (x )在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，又g (1)＝0，所以函数g (x )的大致图象如图所示．易知h (x )＝a (x －1)－b 的图象是恒过点(1，－b )的直线，当－b ＞0，即b ＜0时，易知对任意的实数a ，直线h (x )＝a (x －1)－b 与函数g (x )的图象始终有两个不同的交点，即函数f (x )＝(x －1)ln x －ax ＋a ＋b 有两个不同的零点；当b ＝0时，若a ＝0，则h (x )＝0，其图象与函数g (x )的图象只有一个交点，不满足；当－b ＜0，即b ＞0时，由图易知，不满足对任意的实数a ，直线h (x )＝a (x －1)－b 与函数g (x )的图象始终有两个不同的交点．综上可知，b ＜0.答案：(－∞，0)14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x x ＋1，－1<x ≤0，x ，0<x ≤1，与g (x )＝a (x ＋1)的图象在(－1,1]上有2个交点，若方程x －1x ＝5a 的解为正整数，则满足条件的实数a 的个数为________．解析：在同一坐标系中作出函数f (x )与g (x )的图象如图所示，结合图象可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.由x －1x ＝5a ，可得x 2－5ax －1＝0，设h (x )＝x 2－5ax －1，当x ＝1时，由h (1)＝1－5a －1＝0，可得a ＝0，不满足题意；当x ＝2时，由h (2)＝4－10a －1＝0，可得a ＝310，满足题意；当x ＝3时，由h (3)＝9－15a －1＝0，可得a ＝815，不满足题意．又函数y ＝x －1x在(0，＋∞)上单调递增，故满足条件的实数a 的个数为1.答案：115．若函数f (x )＝x 2＋2x －a ln x (a >0)有唯一的零点x 0，且m <x 0<n (m ，n 为相邻整数)，则m ＋n ＝________.解析：令y 1＝x 2＋2x ，y 2＝a ln x (a >0)， 则y 1′＝2x －2x2，y 2′＝a x (a >0)．∵函数f (x )＝x 2＋2x －a ln x (a >0)有唯一的零点x 0，∴函数y 1＝x 2＋2x ，y 2＝a ln x 的图象有公切点(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧2x 0－2x 20＝a x 0，x 20＋2x 0＝a ln x⇒x 20＋2x 0－2⎝⎛⎭⎫x 20－1x 0ln x 0＝0. 构造函数g (x )＝x 2＋2x －2⎝⎛⎭⎫x 2－1x ln x (x >0)， 则g (1)＝3，g (2)＝4＋1－2×⎝⎛⎭⎫4－12ln 2＝5－7ln 2， 欲比较5与7ln 2的大小，可比较e 5与27的大小， ∵e 5>27，∴g (2)>0，又g (e)＝e 2＋2e －2⎝⎛⎭⎫e 2－1e ＝－e 2＋4e <0， ∴x 0∈(2，e)，∴m ＝2，n ＝3，∴m ＋n ＝5. 答案：516．已知函数f (x )＝x 2－x ln x －k (x ＋2)＋2在12，＋∞上有两个零点，则实数k 的取值范围为________．解析：f (x )＝x 2－x ln x －k (x ＋2)＋2在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上有两个零点，即关于x 的方程x 2－x ln x ＋2＝k (x ＋2)在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上有两个不相等的实数根．令g (x )＝x 2－x ln x ＋2，所以当x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞时，直线y ＝k (x ＋2)与函数g (x )＝x 2－x ln x ＋2的图象有两个不同的交点．设直线y ＝k 0(x ＋2)与函数g (x )＝x 2－x ln x ＋2，x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞的图象相切于点(x 0，y 0)，g ′(x )＝2x －ln x －1，则有⎩⎪⎨⎪⎧k 0＝2x 0－ln x 0－1，k 0(x 0＋2)＝x 20－x 0ln x 0＋2，由此解得x 0＝1，k 0＝1.令h (x )＝g ′(x )＝2x－ln x －1，则h ′(x )＝2－1x ，且x ≥12，所以h ′(x )≥0，故h (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，h (x )≥h ⎝⎛⎭⎫12＝ln 2＞0，所以g (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，g ⎝⎛⎭⎫12＝94＋12ln 2，作出y ＝g (x )的大致图象，如图所示，当直线y ＝k (x ＋2)经过点⎝⎛⎭⎫12，94＋12ln 2时，k ＝910＋ln 25.又当直线y ＝k (x ＋2)与g (x )的图象相切时，k ＝1.结合图象可知，k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，910＋ln 25.答案：⎝⎛⎦⎤1，910＋ln 25增分点函数新情境问题专练一、选择题1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝－x 2，值域为{－1，－9}的“同族函数”共有( )A ．9个B ．8个C ．5个D ．4个解析：选A 函数y ＝－x 2，值域为{－1，－9}，可知自变量x 从1，－1，±1中任取一个，和从3，－3，±3中任取一个构成函数，故满足条件的“同族函数”有3×3＝9个．2．(2017·山东高考)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－x B ．f (x )＝x 2 C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A 对于选项A ，f (x )＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则e x f (x )＝e x ·⎝⎛⎭⎫12x ＝⎝⎛⎭⎫e 2x ，∵e2＞1， ∴e x f (x )在R 上单调递增，∴f (x )＝2－x 具有M 性质．对于选项B ，f (x )＝x 2，e x f (x )＝e x x 2，[e x f (x )]′＝e x (x 2＋2x )，令e x (x 2＋2x )＞0，得x ＞0或x ＜－2；令e x (x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，∴函数e x f (x )在(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，∴f (x )＝x 2不具有M 性质． 对于选项C ，f (x )＝3－x ＝⎝⎛⎭⎫13x ， 则e x f (x )＝e x ·⎝⎛⎭⎫13x ＝⎝⎛⎭⎫e 3x ，∵e 3＜1， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫e 3x 在R 上单调递减， ∴f (x )＝3－x不具有M 性质．对于选项D ，f (x )＝cos x ，e x f (x )＝e x cos x ，则[e x f (x )]′＝e x (cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立，故e x f (x )＝e x cos x 在R 上不是单调递增的，∴f (x )＝cos x 不具有M 性质．故选A.3．数学上称函数y ＝kx ＋b (k ，b ∈R ，k ≠0)为线性函数．对于非线性可导函数f (x )，在点x 0附近一点x 的函数值f (x )，可以用如下方法求其近似代替值：f (x )≈f (x 0)＋f ′(x 0)(x －x 0)．利用这一方法，m ＝ 4.001的近似代替值( )A ．大于mB ．小于mC ．等于mD ．与m 的大小关系无法确定解析：选A 依题意，取f (x )＝x ，则f ′(x )＝12x，所以x ≈x 0＋12x 0(x －x 0)．令x ＝4.001，x 0＝4， 所以 4.001≈2＋14×0.001.因为⎝⎛⎭⎫2＋14×0.0012＝4＋0.001＋⎝⎛⎭⎫14×0.0012＞4.001， 所以m ＝ 4.001的近似代替值大于m .4.某地一天内的气温Q (t )(单位：℃)与时刻t (单位：时)之间的关系如图所示，令C (t )表示时间段[0，t ]内的温差(即时间段[0，t ]内最高温度与最低温度的差)，C (t )与t 之间的函数关系用下列图象表示，则下列正确的图象是( )解析：选D 当0<t <4时，最高温度不变，最低温度减小，所以温差变大，排除C ；当4<t <8时，前面一段温差不变，后面一段最高温度增大，所以温差变大，排除A 、B ，故选D.5.如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速竖直向上移动，且在t ＝0时，圆O 与l 2相切于点A ，圆O 被直线l 2所截得到的两段圆弧中，位于l 2上方的圆弧的长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )解析：选B 法一：如图，设∠MON ＝α，由弧长公式知x ＝α，在Rt △AOM 中，|AO |＝1－t ，cos x 2＝|OA ||OM |＝1－t ，∴y ＝cos x ＝2cos 2x2－1＝2(t －1)2－1(0≤t ≤1)．故其对应的大致图象应为B.法二：由题意可知，当t ＝1时，圆O 在直线l 2上方的部分为半圆，所对应的弧长为π×1＝π，所以cos π＝－1，排除A ，D ；当t ＝12时，如图所示，易知∠BOC ＝2π3，所以cos 2π3＝－12<0，排除C ，故选B.6．若函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点M ，N 关于原点对称，则称点对(M ，N )是函数y ＝f (x )的一对“和谐点对”．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x <0，x 2－4x ，x >0，则此函数的“和谐点对”有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对解析：选B 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x <0，x 2－4x ，x >0的图象如图所示，f (x )的“和谐点对”数可转化为y ＝e x (x <0)和y ＝－x 2－4x (x <0)的图象的交点个数．由图象知，函数f (x )有2对“和谐点对”．7．(2018·兰州模拟)已知a ，b ∈R ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R ，若方程f (x )－a ＝0只有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，－1]∪(1,2)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．[－2，－1]∪[1,2]D ．(－2，－1]∪(1,2)解析：选B 由f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)得，当(x 2－2)－(x －1)≤1，即－1≤x ≤2时，f (x )＝x 2－2；当x >2或x <－1时，f (x )＝x －1.方程f (x )－a ＝0只有两个不同的实数根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 只有2个不同的交点．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x >2或x <－1的图象，如图所示，从图中可以看出，当－2<a ≤－1或1<a ≤2时，直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象只有2个交点．故实数a 的取值范围为(－2，－1]∪(1,2]．8.将边长为2的等边△PAB 沿x 轴正方向滚动，某时刻P 与坐标原点重合(如图)，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，关于函数y ＝f (x )有下列说法：①f (x )的值域为[0,2]； ②f (x )是周期函数； ③f (－1.9)<f (π)<f (2 019)． 其中正确的说法个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 根据题意画出顶点P (x ，y )的轨迹，如图所示． 轨迹是一段一段的圆弧组成的图形．从图形中可以看出，①f (x )的值域为[0,2]，①正确； ②f (x )是周期函数，周期为6，②正确； ③由于f (－1.9)＝f (4.1)，f (2 019)＝f (3)， 而f (3)<f (π)<f (4.1)，所以f (－1.9)>f (π)>f (2 019)，③不正确，故选C.9．(2018·武汉调研)定义函数y ＝f (x )，x ∈I ，若存在常数M ，对于任意x 1∈I ，存在唯一的x 2∈I ，使得f (x 1)＋f (x 2)2＝M ，则称函数f (x )在I 上的“均值”为M ，已知f (x )＝log 2x ，x ∈[1,22 018]，则函数f (x )＝log 2x 在[1,22 018]上的“均值”为( )A ．1 008B ．2 016C ．1 009D ．2 018解析：选C 令x 1x 2＝22 018， 当x 1∈[1,22 018]时，x 2＝22 018x 1∈[1,22 018]， 所以M ＝12log 2(x 1x 2)＝1 009.10．对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β∈{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为( )A ．[2,4] B.⎣⎡⎦⎤2，73 C.⎣⎡⎦⎤73，3D ．[2,3]解析：选D ∵f ′(x )＝e x －1＋1＞0，∴f (x )＝e x －1＋x －2是R 上的单调递增函数． 又f (1)＝0，∴函数f (x )的零点为x ＝1， ∴α＝1，∴|1－β|≤1，∴0≤β≤2，∴函数g (x )＝x 2－ax －a ＋3在区间[0,2]上有零点． 由g (x )＝0，得a ＝x 2＋3x ＋1(0≤x ≤2)，即a ＝(x ＋1)2－2(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1－2(0≤x ≤2)，设x ＋1＝t (1≤t ≤3)，则a ＝t ＋4t －2(1≤t ≤3)，令h (t )＝t ＋4t －2(1≤t ≤3)，易知h (t )在区间[1,2)上是减函数，在区间(2,3]上是增函数， ∴2≤h (t )≤3，即2≤a ≤3.11．已知点A (1,0)，若点B 是曲线y ＝f (x )上的点，且线段AB 的中点在曲线y ＝g (x )上，则称点B 是函数y ＝f (x )关于函数g (x )的一个“关联点”．已知f (x )＝|log 2x |，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则函数f (x )关于函数g (x )的“关联点”的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 设AB 的中点Q (x ，y )，则由A (1,0)得B (2x －1,2y )，则2y ＝|log 2(2x －1)|，即y ＝12|log 2(2x －1)|.在同一平面直角坐标系中作出函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝12|log 2(2x －1)|的图象如图所示，观察可知它们有2个交点，则对应的“关联点”也有2个．12．对于函数f (x )，若f (x 0)＝x 0，则称x 0为函数f (x )的“不动点”；若f (f (x 0))＝x 0，则称x 0为函数f (x )的“稳定点”．若函数f (x )＝x 2＋a (a ∈R)的“稳定点”恰是它的“不动点”，则实数a 的取值范围是( )。