专题复习证明线段相等角相等的基本方法

专题复习证明线段相等角相等的基本方法(一)

一、教学目标：

知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两个三角形中，利用等边对等角、或三角形全等证明角相等线段相等的基本方法.

过程与方法：使学生在根据角或边的位置关系确定证明角相等或线段等的方法过程中，体验证明角相等线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰富学生的学习经验；培养学生推理论证能力.

情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的习惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，获得不同的发展.

二、教学重点：

掌握根据角和线段位置关系确定证明角相等线段相等的基本方法.

教学难点：

分析图形的形状特征，识别角或线段的位置关系，确定证明方法.

三、教学用具：三角板、学案等

四、教学过程：

（一）引入：

相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主要依据；运用三角形全等证明线段相等角相等，常出现在中考15题左右的位置，是北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图形与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中.

（二）例题：

例1已知：如图1，△ABC中，AB=AC，BC为最大边，点D、 E分别在BC、AC上，BD=CE，F为BA延长线上一点，BF=CD.求证：∠DEF=∠DFE .

分析：要证在一个三角形中的两角相等，考虑用等腰三角形的性质（等边对等角）来证；因要证的两条相等的边在两个三角形中，故利用三角形全等来证线段相等．

证明：∵AB=AC∴∠B=∠C．

图1

在△BDF 和△CED 中，

点拨：抓住图形的特征（两角在一个图形中）常用等边对等角证明，这是证两角相等的常用方

法．

例2 已知：如图1，在△ABC 中，∠ACB=，于点D,点E 在 AC 上，CE=BC,过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证AB=FC.

分析：观察AB 与FC 在图形中的位置，发现这两条线段分别位于两个三角形中，考虑用三角形全等来证明．准备三角形全等的条件时，已知一对角一对边对应相等，还需证另一对对应角相等；已知条件有直角，故利用同角的余角相等来证.

证明：∵于点，

∴， 易证． ∴. ∴．

点拨：根据图形特征，要证明相等的两边分别在两个三角形中，常利用证明两边所在的两个三角形全等来

证．在证明两角相等时，利用了同角的余角相等证明，也可用等角的余角相等来证，但较复杂．

例3 两个大小不同的等腰直角三角板如图1-1所示放置，图1-2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．求证：∠ABE=∠ACD ．

分析：图1-2是由两个大小不同的等腰直角三角板构成的旋转图形，分别从一个等腰三角形取一条腰，夹角为等角加同角，就

,,,...

BD CE B C BF CD BDF CED DF ED DEF DFE =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴∆≅∆∴=∴∠=∠图1

图1-2

图1-1

可构成边角边对应相等的ABE △与ACD △全等，从而可证全等三角形的对应角相等．

证明：ABC Q △与AED △均为等腰直角三角形,

AB AC ∴=，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=o ． 易证BAE CAD ∠=∠.

ABE ACD ∴△≌△． ∴∠ABE=∠ACD ．

点拨：由有公共顶点的两个等腰直角三角形构成的几何图形，当分别从一个等腰三角形中取一腰时，可构成边角边全等三角形；证夹角相等时常用等角加同角的和相等．

此题可以拓展，将等腰直角三角形换成等边三角形、顶角相等的等腰三角形、正方形等．

例4点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作ABE ∆和BCF ∆，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．

（1）如图1，若ABE ∆和FBC ∆是等腰直角三角形，且090=∠=∠FBC ABE ，则MBN ∆ 是 三角形．

（2）如图1-2，在ABE ∆和BCF ∆中，若BA=BE,BC=BF,且α=∠=∠FBC ABE ，则MBN ∆是 三角形，且=∠MBN .

（3）如图1-3，若将（2）中的ABE ∆绕点B 旋转一定角度，其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.

分析：（1）判断三角形形状时，三角形一般是特殊三角形，由已知易知

BN EC AF BM ===

2

1

21，

又可证得∠MBN=90°，所以△MBN 为等腰直角三角形． （2）图形中是两个等腰三角形以公共顶点为中心旋转而成，则一个等腰三角形取一腰，构成两个边角边全等三角形． 解：（1）等腰直角 （2）等腰 α （3）结论仍然成立

证明：如图1-3，易证

△ABF ≌△EBC. ∴AF=CE ，∠AFB=∠ECB. ∵M,N 分别是AF 、CE 的中点, ∴FM=CN. ∴△MFB ≌△NCB. ∴BM=BN. ∠MBF=∠NBC.

∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=α.

点拨：在图形形状发生变化时，抓住影响结论的主要条件是否变化，如果没有变，则结论不变；如主要条件变，则结论变．

在证明此类问题时，图形变化后的证明思想或证明方法，常可由特殊（变化前）的证法类比得到．

（三）练习：

1． 如图1，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）PA =PQ ．

2．如图1，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边

CE 上，连接BE 、DG ．(1)求证：BE ＝DG ；(2)图中是否存在

A

C B

D

P

Q

图1

图1