等比数列的概念及基本运算

第37讲 等比数列的概念及基本运算

1．(2016·湖北省八校第二次联考)在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝(A)

A ．1

B ．±1

C ．2

D ．±2

因为a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，即a 1q 2＝2，

所以a 1>0，又a 2a 3a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 21·a 1q 6＝a 21·

a 7＝8a 21＝8，所以a 1＝1或a 1＝－1(舍去)，故选A.

2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14

，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝(C) A ．2 B ．1

C.12

D.18

由题意可得a 3a 5＝a 24＝4(a 4－1)，

所以a 4＝2，所以q 3＝a 4a 1

＝8，所以q ＝2. 所以a 2＝a 1q ＝12

. 3．(2017·湖南五市十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的(B)

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列；

若数列{a n }是等比数列，当q ＝1时，S n ＝A ＋B ，所以a n ＝0(n ≥2)与数列{a n }是等比数

列矛盾，所以q ≠1，S n ＝a 1(1－q n )1－q

， 所以A ＝－a 11－q ，B ＝a 11－q

，所以A ＝－B ， 因此“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的必要不充分条件．

4．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝33，则

a 11＋a 2011a 17＋a 2017

＝(D) A.29 B.49

C.23

D.89

依题意知等比数列{a n }的公比q ＝a 3a 2＝332

， 故a 11＋a 2011a 17＋a 2017＝a 11＋a 2011q 6(a 11＋a 2011)＝1q 6＝89

. 5．已知{a n }为等差数列，公差为1，且a 5是a 3与a 11的等比中项，则a 1＝ －1 .

因为a 5是a 3与a 11的等比中项，所以a 25＝a 3·a 11.

即(a 1＋4d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋10d )，解得a 1＝－1.

6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝6，S 4＝30，则S 6＝ 126 .

因为{a n }是等比数列，

所以S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列．

所以S 6－S 4S 4－S 2

＝S 4－S 2S 2，故S 6＝126. 7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13

(a n －1)(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；

(2)求证：数列{a n }是等比数列；

(3)求数列{a n }的通项公式．

(1)由S 1＝13

(a 1－1)，得 a 1＝13(a 1－1)，所以a 1＝－12

. 又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14

. (2)证明：当n ≥2时，

a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13

(a n －1－1)， 得a n a n －1

＝－12，所以数列{a n }是等比数列． (3)由(1)、(2)可知{a n }是a 1＝－12，公比为－12

的等比数列， 所以a n ＝a 1·q n －1＝－12×(－12)n －1＝(－12

)n .

8．(2017·湖南三湘名校联盟三模)一个等比数列{a n }的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有(B)

A ．13项

B ．12项

C ．11项

D ．10项

设首项为a 1，公比为q ，共有n 项．

前三项的积为a 31q 3＝2，

最后三项的积为a 31q

3n －6＝4， 两式相乘得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21q

n －1＝2， 又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1q n －1＝64，

所以a n 1q n (n －1)2

＝64.则(a 21q n －1)n ＝642， 所以2n ＝642，所以n ＝12.

9．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ 50 .

因为a 1a 20＝a 10a 11＝a 9a 12＝e 5，

所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1·a 2·…·a 20)

＝ln[(a 1·a 20)·(a 2·a 19)·…·(a 10·a 11)]

＝ln(e 5·e 5·…·e 5)＝ln e 50＝50.

10．(2017·新课标卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.

(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；

(2)若T 3＝21，求S 3.

设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q (q ≠0)．

(1)由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3，①

由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②

联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝1，

q ＝2. 因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.

(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0. 解得q ＝－5或q ＝4.

当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.