第三讲 期望效用理论

各种可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。
圣·彼得堡悖论（St·petersburg paradox）
1713年，数学家尼古拉·贝努利向他的一位法国朋友蒙 莫尔提出，到1738年其堂弟丹尼尔·贝努利在《圣彼得堡
科学院评论》上发表论文解决了这一问题，从此，这一问
题就开始以“圣·彼得堡悖论”而著称。 圣·彼得堡悖论是关于一个猜硬币正反面的赌博问题。 假设第一次猜对，赌徒可得2元；第一次猜错，第二次猜对， 赌徒可得4元，„，一般地，如果前n-1次都猜错，第n次猜
∴
CE =14
CE=196
故他对彩票的最高出价是196元，风险贴水ρ： 0.2×900+0.8×100-ρ=196 ∴ρ=64
2.风险厌恶系数
对于风险很小的公平博彩行为，也即预期收益为0 且预期收益的方差很小的博彩行为，如果效用函数是
二次连续可微的，我们可对 E (u (W )) u(W ) 等式
不确定性选择的事例
例1 彩票(lottery)
发行彩票是一种常见的低成本筹资手段。购买彩票有可能 获得奖品，甚至可能获得大奖。彩票种类很多，面对众多彩票， 消费者究竟依据怎样的行为准则进行选择？这是我们关心的问 题。
例2
赌博(gamble)
赌博是一种典型的靠随机因素决定收入的现象，用它可区 别一个人对待风险的态度。我们关心的问题是，当消费者面对 一种赌博的时候，他是依据什么准则来决定是参加还是拒绝赌 博的？ 例3 择业(job-choice) 职业各种各样，有些职业具有稳定的收入，而有些职业的 收入不稳定，与绩效挂钩。因此，择业也是一种不确定选择问 题。
ρ
x1
p1· x1+p2· x2
x2
x
ρ即为风险溢价，或称风险贴水（升水）。
W
例：有一种彩票，获得900元的概率是20%，获得100元的概率
是80%。如某人的效用函数形式为U=
w，问该消费者愿出
多少钱去买这种彩票？风险贴水ρ的值是多少？

解：∵U（CE）=0.2U(900)+0.8U(100)=14
由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际
中常常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的
结果发生的可能性，因此学术界常常把具有主观概率或设
定概率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果 的事件同时视为风险。即风险与不确定性有区别，但在操 作上，我们引入主观概率或设定概率分布的概念，其二者 的界线就模糊了，几乎成为一个等同概念。
三、VNM期望效用函数
期望效用理论是不确定性选择理论中最为重要的价值判断
标准。期望效用函数作为对不确定性条件下经济主体决策者 偏好结构的刻画，具有广泛的用途。 如果某个随机变量X以概率 pi 取值 xi ，i=1,2,„,n，而某 人在确定地得到
xi 时的效用为u ( xi ) ，那么，该随机变量给
通常可以从两个方面来刻画：
（1）观察经济行为主体面对公平游戏时的行为选择，
即是愿意确定性地接受一个公平游戏的期望价值还是宁 愿接受这个游戏本身及其不确定性的结果。 （2）经济行为主体愿意付出多少价值来避免蕴含在这 个游戏中的风险。或者说，让经济行为主体参与这个游 戏行为需要多少风险溢价补偿。
2.风险态度的描述
弗里德曼-萨维奇（1948）解释了这种现象。他 们认为，效用函数是几个不同的部分组成。在人们财 富较少时，部分投资者风险厌恶的；随着财富的增加， 投资者对风险有些漠不关心；而在较高财富水平阶段， 投资者则显示出风险偏好。
五、风险厌恶的度量
1.确定性等值与风险溢价
确定性等值（certainty equivalence）是指经
随机问题，但排除了未数量化的不确定性问题。即对于
未来可能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有
准确的认识。但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。
不确定性：是指发生结果尚为不知的所有情形，
也即那些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的
事件，并且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果
的一类问题。即知道未来世界的可能状态（结果），但 对于每一种状态发生的概率不清楚。
定义：
u 是经济主体的VNM效用函数，W为个体的初始 禀赋，如果对于任何满足 E ( ) 0 Var ( ) 0 的随

机变量


，有
u (W ) E[u (W )]
则称个体是（严格）风险厌恶的（risk aversion）； 如果上述不等号方向相反，则称个体是风险偏好的 （risk loving）；如果两边相等，则称个体是风险中
E x 1 x1 2 x2 ... n xn i xi
i 1
பைடு நூலகம்
n
抽奖的预期值是奖的加权之和，此权是各自的概率。
例如，发500张彩票， 一等奖：200元 二等奖：50元 三等奖：10元 四等奖：0元
概率 概率 概率 概率
1/500 1/100 1/20 469/500
即：
u ( px1 (1 p ) x2 ) pu ( x1 ) (1 p )u ( x2 )
这表明，风险厌恶的经济主体偏好未来收益分布的期 望值，而不是未来收益分布本身。即对于风险厌恶的经济 主体而言，确定性收益（数学期望值）的效用大于效用的
期望值。
基于这一性质，我们认为，风险厌恶者的效用函数为 凹函数。

i 1
xn1
i
1
2.预期值（数学期望值）
假如抽奖提供几个奖项（有一些可能是0），
赢得这些奖项的概率是，
x1 , x2 ,..., xn
1 , 2 ,..., n

i 1
n
i
1
如果假定每个参与者只能得到一个奖，那么为了给这 种抽奖的平均报偿提供一种测量方法，我们将其定义为预 期值：
公平游戏不改变个体原来的期望收益，但它提供了
个体增加或减少原来收入的机会。
风险厌恶者：如果经济主体拒绝接受公平游戏，这
说明该个体在确定性收益和游戏之间更偏好确定性收益，
我们称该主体为风险厌恶者。
风险偏好者：如果一个经济主体在任何时候都愿意 接受公平游戏，则称该主体为风险偏好者。 风险中性者：如果一个经济主体对公平游戏持无所 谓的态度，则称该主体为风险中性者。
因此，他的期望效用为
根据我们对风险厌恶者的定义，对于一个风险厌
恶的经济主体而言，我们有：
u (W ) pu (W x1 ) (1 p )u (W x2 )
由于
W p (W x1 ) (1 p )(W x2 )
所以，上述不等式可改写为：
u ( p(W x1 ) (1 p)(W x2 )) pu (W x1 ) (1 p)u (W x2 )
A B
u=u(x)
u(x1)
x1
p1· x1+p2· x2
x2
x
期望效用与期望值的效用
四、风险态度
1.问题的提出 现实观察： 经济行为主体对待风险的态度是存在差异 的。热衷冒险的人会在等待不确定性结果中获得刺激而兴 奋不已；大多数的行为主体则认为风险是一种折磨，尽可 能地回避风险；而另一些人对风险可能采取一种无所谓的 态度。 如何通过效用函数描述不同经济主体对待风险的态度？
对于风险中性者而言，我们有
u ( px1 (1 p ) x2 ) pu ( x1 ) (1 p )u ( x2 )
其效用函数为线性效用函数。
U(x)
x
3.效用函数的凸凹性的局部性质
经济行为主体效用函数的凸凹性实际上是一种局 部性质。即一个经济主体可以在某些情况下是风险厌
恶者，在另一种情况下是风险偏好者。
3.公平游戏（博彩）
期望值为0的游戏
如果期望值不为0,那么就有一玩家为 此游戏支付成本.
二、不确定性下的理性决策原则
A.数学期望最大化原则
数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下 这一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行
准确的优劣比较，同时这一准则还是收益最大化准 则在不确定情形下的推广。
问题：数学期望最大化准则是否是一最优的不确定 性下的行为决策准则？

E (u (W )) u (W )
这里，ε 为公平博彩的随机收益（即报酬的微小 增量）， W为初始禀赋，ρ 被称之为马科维兹风险溢 价。其值越大表明经济主体风险厌恶的程度越高。而 W-ρ 为确定性等价收益。
u(x)
u(x2)
p1· u(x1)+p2· u(x2)
u=u(x)
u(x1)

性的（neutral）。
对于一个具有效用函数为 u 和初始禀赋为W的经济
主体，如果他不参加博彩，则其效用为 u w 。如果他
愿意参加博彩，则他有p的概率获得 W x1 ，1-p的
概率获得
W x2 ，（ W p(W x1 ) (1 p)(W x2 ) ）。 pu (W x1 ) (1 p )u (W x2 )
1 则其预期效用= iU ( xi ) (ln 2 ) 2i 1.39 i 1 i 1
i
C.后期望效用理论：
由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期望效用 理论，如前景理论、遗憾理论、加权的期望效用理论、 非线性的期望效用理论等等行为金融学和非线性经济 学对期望效用的新的解释。
U(x) B
C
A
x
风险厌恶者的效用函数
同样地，我们可以得到风险偏好者和风险中性者 的效用函数的特征。 对于风险偏好者而言，我们有：
u ( px1 (1 p) x2 ) pu ( x1 ) (1 p)u ( x2 )