平面向量与复数

专题复习___________平面向量与复数

【例题选讲】

例1. 设z ∈C ，求满足z+z 1

∈R 且|z －2|=2的复数z. 解法一：设z=a+bi ，则z+z 1=a+bi+i 1

b a +=a+bi+2

2i b a b a +-

=a+

22

a a

b ++(b －22b a b +)i ∈R ∴b=22b a b +∴b=0或a 2+b 2

=1

当b=0时，z=a ， ∴|a －2|=2∴a=0或4 a=0不合题意舍去，∴z=4

当b ≠0时，a 2+b 2=1 又∵|z －2|=2，∴(a －2)2+b 2

=4

解得a=41，b=±415，∴z=41±415i 综上，z=4或z=41

±415i

解法二：∵z+z 1∈R ，∴z+z 1

=z +z 1 ∴(z －z )－z z z

z -=0，(z －z )·2

2||1||z z -=0

∴z=z 或|z|=1，下同解法一

例 2. 四边形ABCD 中,AB a = , BC b = ,CD c = , DA d =

,且a b b c c d d a ⋅=⋅=⋅=⋅

，判断四边形ABCD 是什么图形？

分析：在四边形ABCD 中，a+b+c+d=0，这是一个隐含条件， 对a+b=－（c+d ），两边平方后，用a ·b=b ·c=d ·c 代入， 从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状.

解：∵a+b+c+d=0， ∴a+b=－（c+d ）， ∴（a+b ）2=（c+d ）2，即|a|2+2a ·b+|b|2=|c|2+2c ·d+|d|2

，

∵a ·b=c ·d ， ∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2……① 同理：|a|2+|d|2=|b|2+|c|2

……②

①，②两式相减得：|b|2=|d|2，|a|2=|c|2

，即|b|=|d|，|a|=|c|. ∴ABCD 为平行四边形. 又∵a ·b=b ·c ，即b ·（a －c ）=0，而a=－c ，∵b ·（2a ）=0 ∴a ⊥b ， ∴四边形ABCD 为矩形.

例3. 已知A(0，a),B(0,b),(0＜a ＜b)，在x 轴的正半轴上求点C ，使∠ACB 最大，并求出最大值、

解，设C(x,0)(x ＞0) 则=(－x,a), =(－x,b) 则·=x 2

+ab

cos ∠

22222b x a x ab

x +++ 令t=x 2

+ab

故cos ∠ACB=

11)(1

)(1

222

+∙-+--t b a t

b a ab 当t 1=ab 21即t=2ab 时，cos ∠ACB 最大值为b a ab

+2、

当C 的坐标为(ab ,0)时，∠ACB 最大值为arccos b a ab

+2

例4. 是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?

【存在性的解答】解：设A,B,C,D 4个向量,共起点O ，从左到右分别为A,B,C,D,其中A 与B 成600

，角B 与C 成300

,C 与D 成600

,4个向量长度相等这样的话,,0E OB OA =+,0F OD OC =+则

与垂直。（其实这样的向量有很多,只要4个向量,两两之和相乘为0就行了）。

【任意性的解答】解：如图所示，在正△ABC 中，O 为其内心，P 为圆周上一点，

满足PA ，PB ，，两两不共线，有 (PA +PB )·(+)

=(+++)·(++)

=(2PO +OA +OB )·(2PO +OC )=(2PO －OC )·(2PO +OC )

=4PO 2

－OC 2

=4PO 2

－OC 2

=0 所以 (+)与(PC +PO )垂直

同理证其他情况、从而PA ，PB ，，满足题意、故存在这样4个平面向量 【巩固练习】

1. a 与2()

||

a a

b d b a ⋅⋅=-

关系为________. a ⊥d 2. 将二次函数y=x 2

的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y=2x －5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a=_________.(2,0)

3.200532i i i i ++++ 的值=____i____

4. 在ΔABC 中,若(CA +CB )·(CA －CB )=0,则ΔABC 为____等腰三角形 _______

5. 已知z 1=x 2

+

12

+x i ，z 2=(x 2+a)i 对于任意x ∈R 均有|z 1|＞|z 2|成立，则实数a 的取值 范围为_______ a ∈(－1，21

]_________

分析：求出|z 1|及|z 2|，利用|z 1|＞|z 2|问题转化为x ∈R 时不等式恒成立问题

解：∵|z 1|＞|z 2|，∴x 4+x 2+1＞(x 2+a)2∴(1－2a)x 2+(1－a 2

)＞0对x ∈R 恒成立

当1－2a=0，即a=21时，不等式成立;当1－2a ≠0时，

⎩⎨⎧<--->-0)1)(21(40212a a a

⇒ －1＜a ＜21 综上，a ∈(－1，21

]

6. 如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A B 、

的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅

的最小

值是__________．－4.5

解：()PA PB PC +⋅

=2PO PC ∙=-2X*(3-X)=2(X-1.5)2

-4.5

所以最小值为-4.5

7. 复数

arccos (22)()x

z x i x R π=-+-∈，在复平面内的对应点只可能位于（ B ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8. 已知O 、A 、B 、C 是不共线的四点，若存在一组正实数1λ，2λ，

3λ，使1λ＋2λ＋

3λ= 0

，则三个角∠AOB ，∠BOC ，∠COA ( D )

A.都是锐角

B.至多有两个钝角

C.恰有两个钝角

D.至少有两个钝角。

9. 设复数

i a z )cos 21()sin 4(2

2θθ++-=，其中i 为虚数单位，a 为实数，),0(πθ∈．若z 是方程0522

=+-x x 的一个根，且z 在复平面内所对应的点在第一象限，求θ与a 的值．

解：方程0522

=+-x x 的根为i x 21±=

因为z 在复平面内所对应的点在第一象限，所以i z 21+=，

所以⎩

⎨⎧=+=-2cos 211sin 422θθa ，解得21cos =θ，因为),0(πθ∈，所以3πθ=． 所以

4

43

41sin 4122=⋅

+=+=θa ，2±=a ．所以

3πθ=，2±=a ． 10.已知△ABC 的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC 边上的高AD ，求AD 及点D 的坐标、

解：设点D 的坐标为(x,y) ∵AD 是边BC 上的高， ∴AD ⊥BC ，∴⊥BC 又∵C 、B 、D 三点共线， ∴∥BD 又AD =(x －2,y －1), =(－6,－3)

=(x －3,y －2) ∴⎩⎨

⎧=-+--=----0)3(3)2(60)1(3)2(6x y y x

解方程组，得x=59

,y=57

∴点D 的坐标为(59，57)，AD 的坐标为(－51

，52)

O P C

B

A