2018届江西省横峰中学高三第3周周练数学(理)试题
2018届普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷(三)理
理科数学（三）
本试题卷共 2 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
★祝考试顺利★
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。
A．x | 1 x 1
B．x | 1 x 2
C．x | 0 x 2
D．x | 0 x 1
2．设复数 z 1 2i （是虚数单位），则在复平面内，复数 z2 对应的点的坐标为（ ）
A． 3, 4
B． 5, 4
C． 3, 2
D． 3, 4
3． 2 x2x 16 的展开式中 x4 的系数为（ ）
的体积的最大值为 4 ，则球 O 的表面积为__________． 3
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列an 是等差数列， a1 t 2 t ， a2 4 ， a3 t2 t ． （1）求数列an 的通项公式；
（2）若数列an 为递增数列，数列bn 满足 log2bn an ，求数列 an 1 bn 的前项和 Sn ．
A．-160
B．320
C．480
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
D．640 ）
A． 5 2
B． 4 2
C． 4 4
D． 5 4
5．过双曲线
x2 9
y2 16
1的右支上一点
P
，分别向圆 C1 ： x
52
y2
4 和圆C2 ： x
52
y2
r2
（ r 0 ）作切线，切点分别为 M ， N ，若 PM 2 PN 2 的最小值为 58 ，则 r （ ）欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，
江西省上饶市横峰职业中学2018-2019学年高三数学理模拟试题含解析
江西省上饶市横峰职业中学2018-2019学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，I是全集，M、P、S是I的子集，则阴影部分所表示的集合是A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪SC．（M∩P）∩（C I S） D．（M∩P）∪（C I S）参考答案：C略2. 在△ABC中，，，且，则AB=（）A. B. 5 C. D.参考答案：A【分析】在中，由正弦定理得，又，所以，再利用余弦定理，即可求解，得到答案。
【详解】在中，因为，由正弦定理知，又，所以，又由余弦定理知：，解得，即，故选A。
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.3. 赣州某中学甲、乙两位学生7次考试的历史成绩绘成了如图的茎叶图，则甲学生成绩的中位数与乙学生成绩的中位数之和为（）A. 154B.155C.156D. 157参考答案：B4. 设，则（）A B C D参考答案：D5. sin的值是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．【解答】解：sin=sin（4π+）=sin=sin=，故选：C．6. 若函数满足，当x∈[0，1]时，，若在区间(-1，1]上，有两个零点，则实数m的取值范围是( )A、0<m≤B、0<m<C、<m≤lD、<m<1参考答案：A 有两个零点，即曲线有两个交点.令，则，所以. 在同一坐标系中，画出的图象（如图所示）：直线过定点，所以，满足即选.7. 已知（、，是虚数单位，是的共轭复数），，，定义，．现有三个命题：①；②；③．其中为真命题的是A．①②③ B．①③ C．②③D．①②参考答案：D8. 已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令，则（）A. B. C. D.参考答案：A9. 阅读右边程序框图，下列说法正确的是A．该框图只含有顺序结构、条件结构B．该框图只含有顺序结构、循环结构C．该框图只含有条件结构、循环结构D．该框图包含顺序结构、条件结构、循环结构参考答案：B10. 如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图（或称正视图）为（）参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 A． B．8C．8－ D．8参考答案：12. 正数满足，则的最大值为_______.参考答案：13. 已知函数，(其中a为常数)．给出下列五个命题：① 函数 f(x) 的最小值为-3 ? ；② 函数f(x) 的最大值为 h (a）, 且h (a）的最大值为3 ；③ 存在a , 使函数f(x) 为偶函数；④ 存在a , 使函数f(x)为奇函数；⑤ a=π/6时, (-π/3，0)是函数f(x) 的一个对称中心；其中正确的命题序号为___________(把所有正确命题的序号都填上)参考答案：14. 已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列．（1）当0＜x≤1时，f（x）= ．（2）若该数列的前n项的和为S n，则S10= ．参考答案：（1）2x﹣2．（2）S10=45．考点：数列的求和；函数零点的判定定理．专题：等差数列与等比数列．分析：函数y=f（x）与y=x﹣1在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即函数g（x）=f（x）﹣x+1的零点按从小到大的顺序为0，1，2，3，4，…，n+1．方程g（x）=f（x）﹣x+1的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…，可得数列通项公式．解答：解：当x≤0时，g（x）=f（x）﹣x+1=x，故a1=0当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1≤0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2（x﹣1）﹣1+1=2x﹣2，g （x）=f（x）﹣x+1=x﹣1，故a2=1；当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2（x﹣1）﹣2+1=2x﹣3，g（x）=f（x）﹣x+1=x﹣2，故a3=2；当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2（x﹣1）﹣3+1=2x﹣4，g（x）=f（x）﹣x+1=x﹣3，故a4=3；…以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=n+1．故数列的前n项构成一个以0为首项，以1为公差的等差数列．故S10==45故答案分别为：2x﹣2，45．点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式、函数图象的交点、“分类讨论”方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 已知函数的图象关于直线x = 1对称，则__________。
江西省横峰中学高三第4周周练数学试题
第4周高三文科数学周练试卷一、单项选择题：1、若集合22{|1},{|log (2)}A y y x B x y x ==+==+，则C B A =（ ） A ．(2,1)- B ． (2,1]- C ．[2,1)- D ．以上都不对2、已知函数f （x ）=x 3﹣x +1，则曲线y =f （x ）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．23、()()2ln 11f x a x x b x =+---，若对1,e x ⎡⎫∀∈+∞⎪⎢⎣⎭， ()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A. 1e 2e a ≤+- B. 2a < C. 22e a ≤< D. 2ea ≤ 二、填空题：4、已知函数()21cos '2f x f cosx x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 . 5、已知函数()2ln xf x a x x a =+-，对任意的[]12,0,1x x ∈，不等式()()121f x f x a -≤-恒成立，则实数a 取值范围为__________． 三、解答题： 6、已知函数21()3ln ,()2f x ax xg x bx=+=-,其中R b a ∈,．设)()()(x g x f x h -=,若02f '=，且(1)(1)2fg '=--． （1）求a b 、的值； （2）求函数()h x 的图像在点(1,4)-处的切线方程．7、设函数f （x ）=ln x +kx ，k ∈R ．（1）若曲线y =f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线x ﹣2=0垂直，求出k 值． （2）试讨论f （x ）的单调区间；（3）已知函数f （x ）在x =e 处取得极小值，不等式f （x ）＜mx 的解集为P ，若M={x|e ≤x≤3}，且M ∩P ≠φ，求实数m 的取值范围．8、设函数()1ln a f x x x-=+，()3g x ax =-（0a >）. （1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（2）当1a =时，记()()()•h x f x g x =，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()2h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.参考答案一、单项选择 1、【答案】A2、【答案】C 【解析】解：求导函数，可得y ′=3x 2﹣1，当x=0时，y ′=﹣1，∴函数f （x ）=x 3﹣x+1，则曲线y=f （x ）在点（0，1）处的切线方程为y ﹣1=﹣x ，即x+y ﹣1=0， 令x=0，可得y=1，令y=0，可得x=1， ∴函数f （x ）=x 3﹣x+1，则曲线y=f （x ）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是×1×1=． 故选：C3、【答案】A 由题意： ()10f =，即()()1,,1x f x f e ⎡⎫∀∈+∞≥⎪⎢⎣⎭恒成立，可知()1f 为极小值， ()'10f =，求导有()()'2,'120,2af x x b f a b b a x=+-∴=+-==+. 则： ()()()()12'22x x a af x x a x x--=+-+=，分类讨论： ①当12a e ≤时，函数在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()1,+∞单调递增，满足题意； ②当112a e <<时， ()f x 在()1,,1,2a e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间,12a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 只需： 10f e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，解得： 1212,2a e a e e e e≤+-∴<≤+-； ③当12a=时， ()()21'0x f x x+=>， ()f x 在定义域内单调递增，而()10f =， 存在01,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()00f x <；④当12a >时， ()f x 在区间1,1,,2a e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在区间1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，不合题意.综上可得实数a 的取值范围是1e 2ea ≤+-. 本题选择A 选项.二、填空题4、【答案】【解析】令[]cos ,1,1t x t =∈-，())21'12f t f t t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，所以()1''32f t f t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令12t =，则())21'12f f t t t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭考点：（1）换元法；（2）求导公式；（3）函数值的求法.【易错点晴】本题函数中的变量是x cos ，因此求解时必须先进行换元，即令t x =cos .将其转换为变量t 的函数)(t f ，即())21'12f t f t t ⎛⎫=--⎪⎝⎭.另外由于题设中还出现了)(/t f ，所以还要对函数())21'12f t f t t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭中的t 进行求导运算,再令12t =,求出)21(/f 的值,最后再求出)21(f 的值.因此解答好本题还是具有一定的困难的.5、【答案】[),e +∞【解析】由题意可得()()max min 1f x f x a -≤-，且1a >，由于()()ln 2ln 1ln 2x x f x a a x a a a x =+-'=-+，所以当0x >时， ()0f x '>，函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()()()()ma xm in11l n ,01f x f a a f x f ==+-==，所以()()ma xm i nln f x f x a a -=-，故1ln ln 1a a a a -≥-⇒≥，即a e ≥，应填答案[),e +∞。
江西省横峰中学2018届高三下学期第9周周练数学(理)试题
横峰中学2017-2018学年高三下第9周周练数学(理)试题 一.选择题(共6小题,每小题10分,共60分)1. 同时拋掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次 数为ξ，则ξ的数学期望是（ ）A ．20B ．25 C.30 D ．402.有一决策系统，其中每个成员做出的决策互不影响，且每个成员作正确决策的概率均为()01p p <<．当占半数以上的成员做出正确决策时，系统做出正确决策．要使有5位成员的决策系统比有3位成员的决策系统更为可靠，p 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭3.设某地区历史上从某次特大洪水发生以后，在30年内发生特大洪水的概率是0.8，在40年内发生特大洪水的概率是0.85.现该地区已无特大洪水过去了30年，在未来10年内该地区将发生特大洪水的概率是（ ）A ．0.25B ．0.30C ．0.35D ．0.404. 已知服从正态分布2(,)N μσ的随机变量，在区间(,)μσμσ-+,(2,2)μσμσ-+和(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%．某大型国有企业为10000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm ）服从正态分布()2173,5N ，则适合身高在163~178cm 范围内员工穿的服装大约要定制（ ）A ．6830套B ．9540套C ．8185套D ．9755套二.填空题(共2小题,每小题10分,共20分)5. 某校教师趣味投篮比赛的规则是:每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是2,3教师甲在一场比赛中获奖的概率为______．6. 箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是_________.7.将函数6cos2)(xx f π=的图象向左平移3个单位后得到)(x g 的图象. 设n m ,是集合}5,4,3,2,1{中任意选取的2个不同的元素，记)()(n g m g X ⋅=，则随机变量X 的数学期望=)(X E .8. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________. 三.解答题9.(10分) 某网络营销部门为了统计某市网友2016年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如表）：若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰为3:2. （1）试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图（如图）；（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人总随机选取3人进行问卷调查，设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．10.(10分)为响应国家“精准扶贫，产业扶贫“的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的A县推进光伏发电项目，在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表，以样本的频率作为概率．（1）在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X的数学期望；（2）已知该县某山区自然村有居民300户，若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度进行收购．经测算以每千瓦装机容量平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？横峰中学2017届高三下第9周周练数学(理)试题答案命题人郑建忠一.选择题(共6小题,每小题10分,共60分)1. 同时拋掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（ B ）A．20 B．25 C.30 D．402.有一决策系统，其中每个成员做出的决策互不影响，且每个成员作正确决策的概率均为()01p p<<．当占半数以上的成员做出正确决策时，系统做出正确决策．要使有5位成员的决策系统比有3位成员的决策系统更为可靠，p的取值范围是（ B ）A．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C．2,13⎛⎫⎪⎝⎭D．2,13⎛⎫⎪⎝⎭3.设某地区历史上从某次特大洪水发生以后，在30年内发生特大洪水的概率是0.8，在40年内发生特大洪水的概率是0.85.现该地区已无特大洪水过去了30年，在未来10年内该地区将发生特大洪水的概率是（ A ）A ．0.25B ．0.30C ．0.35D ．0.404. 已知服从正态分布2(,)N μσ的随机变量，在区间(,)μσμσ-+,(2,2)μσμσ-+和(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%．某大型国有企业为10000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm ）服从正态分布()2173,5N ，则适合身高在163~178cm 范围内员工穿的服装大约要定制（ C ）A ．6830套B ．9540套C ．8185套D ．9755套 二.填空题(共2小题,每小题10分,共20分)5. 某校教师趣味投篮比赛的规则是:每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是2,3教师甲在一场比赛中获奖的概率为______．答案：32816. 箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是_________.答案： 966257.将函数6cos2)(xx f π=的图象向左平移3个单位后得到)(x g 的图象. 设n m ,是集合}5,4,3,2,1{中任意选取的2个不同的元素，记)()(n g m g X ⋅=，则随机变量X 的数学期望=)(X E .答案：()5134+ 8. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________. 答案： 0.128三.解答题9.(10分) 某网络营销部门为了统计某市网友2016年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如表）：若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰为3:2. （1）试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图（如图）；（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人总随机选取3人进行问卷调查，设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．解析：（1）根据题意，有39151860,182,39153x y y x +++++=⎧⎪+⎨=⎪+++⎩解得9,6.x y =⎧⎨=⎩ ∴0.15p =，0.10q =， 补全频率分布直方图如图所示：（2）用分层抽样的方法，从中选取10人， 则其中“网购达人”有21045⨯=人；“非网购达人”有31065⨯=人， 故ξ的可能取值为0,1,2,3，03463101(0)6C C P C ξ===，12463101(1)2C C P C ξ===，21463103(2)10C C P C ξ===，30463101(2)30C C P C ξ===，所以ξ的分布列为：所以1()01236210305E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．10.(10分)为响应国家“精准扶贫，产业扶贫“的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的A 县推进光伏发电项目，在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表，以样本的频率作为概率．（1）在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，求X 的数学期望；（2）已知该县某山区自然村有居民300户，若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度进行收购．经测算以每千瓦装机容量平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？解析：（1）记在该县山区居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A ．由抽样可知，()35P A =．由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数X ，服从二项分布，即310,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()31065E X =⨯=．（2）设该县山区居民户年均用电量为()E Y ，由抽样可得()51510155=1003005007009005005050505050E Y ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（度）则该自然村年均用电约150000度．又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150000度，能为该村创造直接收益120000元．。
江西省横峰中学高三数学上学期第十三周周练试题 理
横峰中学2017届高三第13周周练数学(理)试题一.选择题(共6小题,每小题10分,共60分) 1.若数列｛n a ｝的前n 项和为n S ,如果323-=n n a S ,那么这数列的通项公式是( ) A. )1(22++n n B. 13+n C. n 32⨯ D. n23⨯2．如果A 是a 、b 的等差中项，G 是a ﹑b 的正的等比中项，那么ab 与AG 之间的关系是( ) A. AG ab ≤ B. AG ab ≥ C. AG ab ≠ D. 不具备上述三种关系 3.若等差数列｛n a ｝、｛n b ｝前n 项和分别为n A 、n B ,满足27417++=n n B A n n ,则1111b a =( ) A.34 B. 47 C. 7178D. 44774.设某等差数列的首项为a (0≠a ),第二项为b ,则这个数列有一项为0的充要条件是( ) A. b a -是正整数 B. b a +是正整数 C.b a b -是正整数 D. ba a -是正整数 5.若关于x 的方程02=+-a x x 和)(02b a b x x ≠=+-的四个根可组成首项为41的等差数列,则b a +的值是( )A.83 B. 2411 C. 2413 D. 7231 6.已知)1lg(),21lg(sin ,3lg y x --顺次成等差数列,则( )A. y 有最大值1,无最小值B. y 有最小值1211,无最大值C. y 有最大值1,最小值1-D. y 有最小值1211,最大值1二.填空题(共2小题,每小题10分,共20分)7.已知数列｛n a ｝的前n 项和为n n S n 22-=, 则65432a a a a a ++-+= .8.右表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起， 每一行成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行，第j 列的数为 ),,(*N j i j i a ij ∈≥，则84a 等于三.解答题9.(20分)已知数列{a n },{b n }满足a 1=3, a n a n+1+1=3a n -a n+1, b n =a n -1, 数列{b n }的前n41 21，41 43，83，163 ……项和为S n , T n =S 2n -S n .(1) 求数列{b n }的通项公式; (2)求证:T n+1>T n . 10.附加题(20分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n =21(3n+S n )对一切正整数n 成立. (1)设b n =3na n , 求数列{b n }的前n 项和为B n ; (2) 数列{a n }中是否存在构成等差数列的四项?若存在求出一组;否则说明理由.横峰中学2017届高三第13周周练数学(理)答案 一.选择题(共6小题,每小题10分,共60分) 1.若数列｛n a ｝的前n 项和为n S ,如果323-=n n a S ,那么这数列的通项公式是( C ) A. )1(22++n n B. 13+n C. n 32⨯ D. n23⨯2．如果A 是a 、b 的等差中项，G 是a ﹑b 的正的等比中项，那么ab 与AG 之间的关系是( D ) A. AG ab ≤ B. AG ab ≥ C. AG ab ≠ D. 不具备上述三种关系 3.若等差数列｛n a ｝、｛n b ｝前n 项和分别为n A 、n B ,满足27417++=n n B A n n ,则1111b a =( A ) A.34 B. 47 C. 7178D. 44774.设某等差数列的首项为a (0≠a ),第二项为b ,则这个数列有一项为0的充要条件是( C ) A. b a -是正整数 B. b a +是正整数 C.b a b -是正整数 D. ba a -是正整数 5.若关于x 的方程02=+-a x x 和)(02b a b x x ≠=+-的四个根可组成首项为41的等差数列,则b a +的值是( D )A.83 B. 2411 C. 2413 D. 7231 6.已知)1lg(),21lg(sin ,3lg y x --顺次成等差数列,则( B )A. y 有最大值1,无最小值B. y 有最小值1211,无最大值C. y 有最大值1,最小值1-D. y 有最小值1211,最大值1二.填空题(共2小题,每小题10分,共20分)7.已知数列｛n a ｝的前n 项和为n n S n 22-=,则65432a a a a a ++-+= 15 .8.下表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行，第j 列的 数为),,(*N j i j i a ij ∈≥，则84a 等于41三.解答题9.(20分)已知数列{a n },{b n }满足a 1=3, a n a n+1+1=3a n -a n+1, b n =a n -1, 数列{b n }的前n 项和为S n , T n =S 2n -S n .41 21，41 43，83，163 ……(1) 求数列{b n }的通项公式; (2)求证:T n+1>T n .解:(1)由b n =a n -1得a n = b n +1代入a n a n+1+1=3a n -a n+1得b n b n+1=2b n -2 b n+1∴21111=-+n n b b .∴数列{n b 1}是以2111=b 为首项, 21为公差的等差数列. ∴n b n b n n 221=⇒=. (2)∵n S n 2222+++= , ∴T n =S 2n -S n =n n n 222212+++++ ∴T n+1=222122223222+++++++++n n n n n ∴T n+1 -T n =012222122>+-+++n n n . ∴T n+1 >T n10.附加题(20分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n =21(3n+S n )对一切正整数n 成立. (1)设b n =3na n , 求数列{b n }的前n 项和为B n ; (2) 数列{a n }中是否存在构成等差数列的四项?若存在求出一组;否则说明理由.解:(1)由a n =21(3n+S n )323211+=-=⇒-=⇒++n n n n n n a S S a n a S 由待定系数法得)3(231+=++n n a a 又0631≠=+a∴数列{a n +3}是以6为首项,2为公比的等比数列. ∴a n +3=6×2n-1, ∴a n =3(2n-1).∵ b n =3na n =n2n -n, ∴B n =2+2)1(2)1(1+--+n n n n .(2)假设数列{a n }存在构成等差数列的四项依次为: m a 、n a 、p a 、q a (m<n<p<q) 则3(2m-1)+3(2q-1)=3(2n-1)+3(2p-1) ∴2m+2q=2n+2p. 上式两边同除以2m,则1+2q-m=2n-m+2p-m∵m 、n 、p 、q ∈N*, 且m<n<p<q, ∴上式左边是奇数,右边是偶数,相矛盾. ∴数列{a n }不存在构成等差数列的四项.。
2017-2018学年江西省上饶市横峰中学高考数学适应性试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年江西省上饶市横峰中学高考数学适应性试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，则集合C中的元素个数为（）A．3 B．11 C．8 D．122．复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣2x+1≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+1＞0C．∀x∈R，x2﹣2x+1≥0 D．∀x∈R，x2﹣2x+1＜04．已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，则等于（）A．B．C．D．或5．执行如图所示的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有序数对为（）A．（11，12）B．（12，13）C．（13，14）D．（13，12）6．某班周二上午安排数学、物理、历史、语文、体育五节课，则体育课不排第一节，且语文课与物理课不相邻的排法总数为（）A．60 B．96 C．48 D．727．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β8．已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=lnx+x，若f（a）=g（b）=h（c）=0，则（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．310．已知双曲线的左焦点是F l，P是双曲线右支上的点，若线段PF1与y轴的交点M恰好为PF1的中点，且|OM|=a，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．311．已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（）A．B．C．D．12．已知a，b∈R，且e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．e3 B．e3 C．e3 D．e3二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填入答题纸相应位置）13．如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为．14．设a=dx，则二项式展开式中常数项是．15．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等），若a、b、c∈{1，2，3，4}，且a，b，c 互不相同，则这个三位数为”有缘数”的概率是．16．设函数y=f（x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f（x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2﹣x是“似周期函数”；④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真的序号是．（写出所有满足条件的序号）三、解答题（共5小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17．（10分）（2015•上饶校级模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0．（1）求角C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．18．（12分）（2015•临沂二模）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（I）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（Ⅲ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）19．（12分）（2015•上海模拟）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=．（I）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）求二面角B一PC﹣D的余弦值．20．（12分）（2015•邢台模拟）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2，动点P在椭圆上，且使得∠F1PF2=90°的点P恰有两个，动点P到焦点F1的距离的最大值为2+（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）如图，以椭圆C1的长轴为直径作圆C2，过直线x=﹣2上的动点T作圆C2的两条切线，设切点分别为A，B若直线AB与椭圆C1交于不同的两点C，D，求||的取值范围．21．（12分）（2015•茂名二模）设函数f（x）=lnx，g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2f（x）．（1）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=f（x）图象上任意不同两点，线段AB中点为C （x0，y0），直线AB的斜率为k．证明：k＞f（x0）（3）设F（x）=|f（x）|+（b＞0），对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有＜﹣1，求实数b的取值范围．四、选做题（请考生从第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．）22．（12分）（2015•河南二模）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．23．（2015•福建模拟）设函数f（x）=|x+1|（I）若f（x）+f（x﹣6）≥m2+m对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围（Ⅱ）当﹣1≤x≤4，求的最大值．2015年江西省上饶市横峰中学高考数学适应性试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，则集合C中的元素个数为（）A．3 B．11 C．8 D．12考点：集合的表示法．专题：集合．分析：根据题意和z=xy，x∈A且y∈B，利用列举法求出集合C，再求出集合C中的元素个数．解答：解：由题意得，A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，当x=1时，z=1或2或3；当x=2时，z=2或4或6；当x=3时，z=3或6或9；当x=4时，z=4或8或12；当x=5时，z=5或10或15；所以C={1，2，3，4，6，8，9，12，5，10，15}中的元素个数为11，故选：B．点评：本题考查集合元素的三要素中的互异性，注意集合中元素的性质，属于基础题．2．复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的除法运算化简复数，然后求出复数在复平面内对应点的坐标，则答案可求．解答：解：∵，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（，）．位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣2x+1≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+1＞0C．∀x∈R，x2﹣2x+1≥0 D．∀x∈R，x2﹣2x+1＜0考点：的否定．专题：常规题型．分析：对于含有量词的的否定，要对量词和结论同时进行否定，“∃”的否定为“∀”，“＜”的否定为“≥”即可求解解答：解解：∵“存在性”的否定一定是“全称”∴“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣2x+1≥0故选C．点评：本题考查了含有量词的的否定，要注意对量词和结论同时进行否定，属于基础题．4．已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，则等于（）A．B．C．D．或考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列和等比数列可得a2﹣a1=﹣2，b2=﹣4，代入要求的式子计算可得．解答：解：∵﹣2，a1，a2，﹣8成等差数列，∴a2﹣a1==﹣2，又∵﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比数列，∴b22=（﹣2）×（﹣8）=16，解得b2=±4，又b12=﹣2b2，∴b2=﹣4，∴==故选：B点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有序数对为（）A．（11，12）B．（12，13）C．（13，14）D．（13，12）考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，n的值，当n=4时不满足条件n＜4，退出循环，输出有序数对为（11，12）．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=7，y=6，n=1满足条件n＜4，x=7，y=8，n=2满足条件n＜4，x=9，y=10，n=3满足条件n＜4，x=11，y=12，n=4不满足条件n＜4，退出循环，输出有序数对为（11，12）．故选：A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基本知识的考查．6．某班周二上午安排数学、物理、历史、语文、体育五节课，则体育课不排第一节，且语文课与物理课不相邻的排法总数为（）A．60 B．96 C．48 D．72考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：先考虑语文课与物理课不相邻，则用插空法；再考虑体育课排第一节，且语文课与物理课不相邻的排法总数，从而可得结论．解答：解：先考虑语文课与物理课不相邻，则用插空法，即=72种，再考虑体育课排第一节，且语文课与物理课不相邻的排法总数为=12，∴体育课不排第一节，且语文课与物理课不相邻的排法总数为72﹣12=60故选A．点评：本题考查排列知识的运用，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．7．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故A正确；若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故B正确；若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．点评：本题考查真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．8．已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=lnx+x，若f（a）=g（b）=h（c）=0，则（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b考点：函数的零点．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：f（a）=g（b）=h（c）=0即为函数y=2x，y=log2x，y=lnx与y=﹣x的交点的横坐标分别为a，b，c，画出它们的图象，即可得到a，b，c的大小．解答：解：f（a）=g（b）=h（c）=0即为函数y=2x，y=log2x，y=lnx与y=﹣x的交点的横坐标分别为a，b，c，画出它们的图象，由图象可得，a＜c＜b．故选：D．点评：本题考查函数的零点的判断和比较，运用函数和方程的思想和数形结合的思想方法是解题的关键．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．C．D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE 的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论．解答：解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A ﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，故选：B．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的侧面积的求法，考查计算能力．10．已知双曲线的左焦点是F l，P是双曲线右支上的点，若线段PF1与y轴的交点M恰好为PF1的中点，且|OM|=a，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．3考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，设右焦点是F2，则|PF2|=2a，|PF1|=4a，由勾股定理可得16a2=4a2+4c2，即可求出双曲线的离心率．解答：解：由题意，设右焦点是F2，则|PF2|=2a，|PF1|=4a，PF2⊥F1F2，由勾股定理可得16a2=4a2+4c2，∴e==2，故选：C．点评：本题考查双曲线的离心率，考查勾股定理的运用，确定|PF2|=2a，|PF1|=4a，PF2⊥F1F2，是关键．11．已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球的性质．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：四面体ABCD的体积的最大值，AB与CD是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出体积的最大值．解答：解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为h，则有，当直径通过AB与CD的中点时，，故．故选B．点评：本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力．12．已知a，b∈R，且e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．e3 B．e3 C．e3 D．e3考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：分a＜0、a=0、a＞0三种情况讨论，而a＜0、a=0两种情况容易验证是否恒成立，在当a＞0时，构造函数f（x）=ae x+1﹣a2x来研究不等式e x+1≥ax+b恒成立的问题，求导易得．解答：解：若a＜0，由于一次函数y=ax+b单调递减，不能满足且e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，则a≥0．若a=0，则ab=0．若a＞0，由e x+1≥ax+b得b≤e x+1﹣ax，则ab≤ae x+1﹣a2x．设函数f（x）=ae x+1﹣a2x，∴f′（x）=ae x+1﹣a2=a（e x+1﹣a），令f′（x）=0得e x+1﹣a=0，解得x=lna﹣1，∵x＜lna﹣1时，x+1＜lna，则e x+1＜a，则e x+1﹣a＜0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）递减；同理，x＞lna﹣1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）递增；∴当x=lna﹣1时，函数取最小值，f（x）的最小值为f（lna﹣1）=2a2﹣a2lna．设g（a）=2a2﹣a2lna（a＞0），g′（a）=a（3﹣2lna）（a＞0），由g′（a）=0得a=，不难得到时，g′（a）＞0；时，g′（a）＜0；∴函数g（a）先增后减，∴g（a）的最大值为，即ab的最大值是，此时．故选：A．点评：本题主要考查了函数的单调性，以及利用导数求函数的最值的应用，渗透了分类讨论思想，属于中档题．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填入答题纸相应位置）13．如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为60．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据已知，求出第2小组的频率，再求样本容量即可．解答：解：第2小组的频率为（1﹣0.0375×5﹣0.0125×5）×=0.25；则抽取的学生人数为：=60．故答案为：60．点评：本题考查了读取频率分布直方图中数据的能力，属于基础题．14．设a=dx，则二项式展开式中常数项是﹣160．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：由条件求定积分可得a=2，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式中常数项．解答：解：a=dx=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）=2，则二项式=的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•26﹣r•x3﹣r，令3﹣r=0，可得r=3，可得二项式展开式中常数项是﹣•23=﹣160，故答案为：﹣160．点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等），若a、b、c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为”有缘数”的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：利用“有缘数”的定义，求出所有的三位数，求出“有缘数”的个数，再利用古典概型概率计算公式即可得到所求概率．解答：解：由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理由1，2，4组成的三位自然数共6个；由1，3，4组成的三位自然数也是6个；由2，3，4组成的三位自然数也是6个．所以共有6+6+6+6=24个．由1，2，3组成的三位自然数，共6个”有缘数”．由1，3，4组成的三位自然数，共6个”有缘数”．所以三位数为”有缘数”的概率：=．故答案为：．点评：本题考查组合数公式的运用，关键在于根据题干中所给的“有缘数”的定义，再利用古典概型概率计算公式即得答案．16．设函数y=f（x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T•f（x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2﹣x是“似周期函数”；④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真的序号是①③④．（写出所有满足条件的序号）考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，首先理解似周期函数的定义，从而解得．解答：解：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，则f（x﹣1）=﹣f（x），即f（x﹣1）=﹣f（x）=﹣（﹣f（x+1））=f（x+1）；故它是周期为2的周期函数；故正确；②若函数f（x）=x是“似周期函数”，则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），即x+T=Tx；故（1﹣T）x+T=0恒成立；故不存在T．故假设不成立，故不正确；③若函数f（x）=2﹣x是“似周期函数”，则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），即2﹣x﹣T=T•2﹣x，即（T﹣2﹣T）•2﹣x=0；而令y=x﹣2﹣x，作图象如下，故存在T＞0，使T﹣2﹣T=0；故正确；④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，则存在非零常数T，使f（x+T）=T•f（x），即cos（ωx+ωT）=Tcosωx；故T=1或T=﹣1；故“ω=kπ，k∈Z”．故正确；故答案为：①③④．点评：本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）17．（10分）（2015•上饶校级模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0．（1）求角C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）由三角函数恒等变换化简已知等式可得sinA=acosC，结合正弦定理，可得sinC=cosC，从而可求C．（2）由余弦定理整理可得a2+b2=1+ab，①，利用基本不等式aab≤②，由代入法，即可得到当且仅当a=b时取到等号，从而可求取得最大值时∠A，∠B的值．解答：解：（1）由cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0．可得cosBsinC﹣（a﹣sinB）cosC=0，即为sin（B+C）=acosC，即有sinA=acosC，∵==sinC，∴sinC=cosC，即tanC=1，∴C=；（2）∵a2+b2﹣c2=2abcosC，∴a2+b2=c2+2abcos=1+ab，①，∵ab≤②，∴②代入①可得：a2+b2≤1+（a2+b2），∴a2+b2≤2+，当且仅当a=b时取到等号，即取到最大值2+时，A=B=．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．（12分）（2015•临沂二模）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（I）求直方图中x的值；（Ⅱ）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（Ⅲ）从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）由直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x即可．（II）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12，即可得出1200个企业中有1200×0.12个企业可以申请政策优惠．（III）X的可能取值为0，1，2，3，4．由（I）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=．因此X～B（4，），可得分布列为P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），再利用E（X）=4×即可得出．解答：解：（I）由直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x=0.0125．（II）企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12，∴1200×0.12=144．∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠．（III）X的可能取值为0，1，2，3，4．由（I）可得：某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=0.25=．因此X～B（4，），∴分布列为P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），∴E（X）=4×=1．点评：本题考查了频率分布直方图的有关性质、随机变量服从二项分布的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2015•上海模拟）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=．（I）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）求二面角B一PC﹣D的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取AB的中点O，连接PO，CO，AC，由已知条件推导出PO⊥AB，CO⊥AB，从而AB⊥平面PCO，由此能证明AB⊥PC．（Ⅱ）由已知得OP⊥OC，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B一PC﹣D的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接PO，CO，AC，∵△APB为等腰三角形，∴PO⊥AB…（2分）又∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，∴△ACB是等边三角形，∴CO⊥AB…（4分）又CO∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，又PC⊂平面PCO，∴AB⊥PC …（6分）（Ⅱ）解：∵ABCD为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=，∴PO=1，CO=，∴OP2+OC2=PC2，∴OP⊥OC，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（，0，0），P（0，0，1），D（，﹣2，0），=（，﹣1，0），=（），=（0，2，0），设平面DCP的法向量=（x，y，z），则，令x=1，得=（1，0，），设平面PCB的法向量=（a，b，c），，令a=1，得=（1，），cos＜＞==，∵二面角B一PC﹣D为钝角，∴二面角B一PC﹣D的余弦值为﹣．点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2015•邢台模拟）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2，动点P在椭圆上，且使得∠F1PF2=90°的点P恰有两个，动点P到焦点F1的距离的最大值为2+（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）如图，以椭圆C1的长轴为直径作圆C2，过直线x=﹣2上的动点T作圆C2的两条切线，设切点分别为A，B若直线AB与椭圆C1交于不同的两点C，D，求||的取值范围．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）通过使得∠F1PF2=90°的点P恰有两个，可得b=c，a=，再利用动点P到焦点F1的距离的最大值为2+，得，计算即得椭圆C2的方程；（Ⅱ）易得圆C2：x2+y2=4，设T（，t），设A（x1，y1），B（x2，y2），通过题意可得直线AB的方程，进而得原点O到直线AB的距离d，及|AB|，联立直线AB与椭圆C2的方程，结合韦达定理得|CD|，所以可得的表达式，运用函数相关知识即得答案．解答：解：（Ⅰ）由使得∠F1PF2=90°的点P恰有两个，可得b=c，a=，∵动点P到焦点F1的距离的最大值为2+，∴，即a=2，，所以椭圆C2的方程为；（Ⅱ）易得圆C2的方程为：x2+y2=4，设直线上的动点T的坐标为（，t），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AT的方程为：x1x+y1y=4，直线BT的方程为：x2x+y2y=4，又T（，t）在直线AT和BT上，即，所以直线AB的方程为：，由原点O到直线AB的距离d=，得=4，联立，消去x，得（t2+16）y2﹣8ty﹣16=0，设C（x3，y3），D（x4，y4），则，，从而|CD|=|y1﹣y2|=，所以=，设t2+8=m （m≥8），则==，又设（），所以=，记f（s）=1+12s﹣256s3，故由f′（s）=12﹣768s2=0，得，所以f（s）=1+12s﹣256s3在（0，）上单调递增，故f（s）∈（1，2]，即∈（1，]．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方法，联立方程组后利用韦达定理是解题的关键．21．（12分）（2015•茂名二模）设函数f（x）=lnx，g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2f（x）．（1）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=f（x）图象上任意不同两点，线段AB中点为C （x0，y0），直线AB的斜率为k．证明：k＞f（x0）（3）设F（x）=|f（x）|+（b＞0），对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有＜﹣1，求实数b的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；直线的斜率．专题：导数的综合应用．分析：（1）将a=1代入求出g（x）的表达式，再求出g（x）的导数，从而求出g（x）的单调区间；（2）将x0=代入f′（x0）==，问题转化为证：k（t）lnt+﹣2的单调性，（t＞1），从而证出结论；（3）设G（x）=F（x）+x，则G（x）在（0，2]单调递减，通过讨论x的范围，结合导数的应用，从而求出b的范围．解答：解：（1）当a=1时，g（x）=（x﹣1）﹣2f（x）=（x﹣1）﹣2lnx=x﹣1﹣2lnx，定义域为（0，+∞）；g′（x）=1﹣=；当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；即g（x）的单调增区间为（2，+∞），单调减区间为（0，2）．（2）证明：k==，又x0=，所以f′（x0）==；即证，＞，不妨设0＜x1＜x2，即证：lnx2﹣lnx1＞；即证：ln＞；设t=＞1，即证：lnt＞=2﹣；即证：lnt+﹣2＞0，其中t∈（1，+∞）；事实上，设k（t）=lnt+﹣2，（t∈（1，+∞）），则k′（t）=﹣=＞0；所以k（t）在（1，+∞）上单调递增，所以k（t）＞k（1）=0；即结论成立．（3）由题意得+1＜0，即＜0；设G（x）=F（x）+x，则G（x）在（0，2]单调递减，①当x∈[1，2]时，G（x）=lnx++x，G′（x）=﹣+1≤0；b≥+（x+1）2=x2+3x++3在[1，2]上恒成立，设G1（x）=x2+3x++3，则G1′（x）=2x+3﹣；当x∈[1，2]，G1′（x）＞0；∴G1（x）在[1，2]上单调递增，G1（x）≤；故b≥．②当x∈（0，1）时，G（x）=﹣lnx++x；G1（x）=x2+3x++3，G′（x）=﹣﹣+1≤0，b≥﹣+（x+1）2=x2+x﹣﹣1在（0，1）恒成立，设G2（x）=x2+x﹣﹣1，（x）=2x+1+＞0，即G2（x）在（0，1）单调递增，故G2（x）＜G2（1）=0，∴b≥0，综上所述：b≥．点评：本题考查了函数的单调性，函数恒成立问题，考查导数的应用，考查转化思想，本题有一定的难度．四、选做题（请考生从第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．）22．（12分）（2015•河南二模）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．解答：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．点评：本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（2015•福建模拟）设函数f（x）=|x+1|（I）若f（x）+f（x﹣6）≥m2+m对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围（Ⅱ）当﹣1≤x≤4，求的最大值．考点：分段函数的应用；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（I）运用绝对值不等式的性质，可得f（x）+f（x﹣6）的最小值，再由不等式恒成立思想，解二次不等式，即可得到m的范围；（Ⅱ）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可求得最大值．解答：解：（I）f（x）+f（x﹣6）=|x+1|+|x﹣5|≥|（x+1）﹣（x﹣5）|=6，当且仅当﹣1≤x≤5时，等号成立．由恒成立思想可得，m2+m≤6，解得﹣3≤m≤2，则实数m的取值范围是[﹣3，2]；（Ⅱ）当﹣1≤x≤4，=+=+•，由柯西不等式可得（+•）2≤（12+（）2）（（）2+（）2）=15，当且仅当=即x=时，等号成立．故当x=时，的最大值为．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查绝对值不等式的性质和不等式恒成立思想，同时考查柯西不等式的运用，属于中档题．。
2018年高考数学(理科)模拟试卷(三)(2021年整理)
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2018年高考数学(理科）模拟试卷（三) （本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本题共12小题,每小题5分,共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．［2016·全国卷Ⅲ］设集合S＝{x｜（x－2）(x－3）≥0｝，T＝｛x|x>0｝，则S∩T＝( ) A．[2，3] B．（－∞,2］∪[3，＋∞）C．[3，＋∞) D．（0，2］∪[3，＋∞）2．［2016·西安市八校联考］设z＝1＋i(i是虚数单位)，则2z－错误!＝( )A．i B．2－i C．1－i D．03．[2017·福建质检］已知sin错误!＝错误!，则cos x＋cos错误!错误!－x错误!的值为( ）A．－错误! B.错误! C．－错误! D.错误!4．［2016·天津高考］设｛a n｝是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n〈0”的( ）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．［2016·全国卷Ⅲ] 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃。
2018届江西省百所重点高中高三模拟理数试题Word版含答案
2018届江西省百所重点高中高三模拟理数试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|60}A x x x =--≥，{|33}B x x =-≤≤，则A B =（ ）A ．[3,2]--B ．[2,3]C ．[3,2]{3}--D ．[2,3]{3}-2.设复数z a bi =+（,,0a b R b ∈>），且2z z =，则z 的虚部为（ ）A ．12B ．2C ．32 3.若1sin()2sin()2αβαβ+=-=，则sin cos αβ的值为（ ） A ．38 B ．38- C ．18 D ．18- 4.在ABC ∆中，,D E 分别为,BC AB 的中点，F 为AD 的中点，若1AB AC =-，22AB AC ==，则CE AF 的值为（ ）A ．34B ．38 C. 18 D ．145.下图是函数()y f x =求值的程序框图，若输出函数()y f x =的值域为[4,8]，则输入函数()y f x =的定义域不可能为（ ）A ．[3,2]--B ．[3,2){2}-- C. [3,2]- D ．[3,2]{2}--6.函数()sin()(||)2f x x ππθθ=+<的部分图象如图，且1(0)2f =-，则图中m 的值为（ ）A ． 1B ．43 C. 2 D ．43或2 7.在公差大于0的等差数列{}n a 中，71321a a -=，且136,1,5a a a -+成等比数列，则数列1{(1)}n n a --的前21项和为（ ）A ．21B ． -21 C. 441 D ．-4418.中国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（ ）A ．3795000立方尺B ．2024000立方尺 C. 632500立方尺 D ．1897500立方尺9.已知1k ≥-，实数,x y 满足约束条件4326x y x y y k +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，且1y x +的最小值为k ，则k 的值为（ ） A ．25．25±C. 32 D．3210.设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得1260F PF ∠=，||3OP b =（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ） A ． 43 B．3 C. 76 D．611.体积为A BCD -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且:2:3R BC =，点E 为线段BD 上一点，且2DE EB =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A ．[4,12]ππB ．[8,16]ππ C. [8,12]ππ D ．[12,16]ππ12.定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数'()f x'1()2x <，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．(9)1(4)(1)1f f f -<<+B ．(1)1(4)(9)1f f f +<<-C. (5)2(4)(1)1f f f +<<- D ．(1)1(4)(5)2f f f -<<+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若公比为2的等比数列{}n a 满足274127a a =，则{}n a 的前7项和为 ．14. 34(2)(1)x x -+的展开式中2x 的系数为 ．15.已知圆C 过抛物线24y x =的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆C 的圆心不在x轴上，且与直线30x -=相切，则圆C 的半径为 ．16.已知函数2,0()21,0x e x f x x x a x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，若函数()()1g x f x ax =--有4个零点，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知tan 2sin a B b A =.（1）求B ；（2）若b =512A π=，求ABC ∆的面积.18. 某地区建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. （1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？19. 如图，在三棱锥111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，1A AC ∆为等边三角形，1AC A B ⊥.（1）求证：AB BC =；（2）若90ABC ∠=，求1A B 与平面11BCC B 所成角的正弦值.20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，且函数26516y x =-的图象与椭圆C 仅有两个公共点，过原点的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 为线段MN 的中垂线与椭圆C 的一个公共点，求PMN ∆面积的最小值，并求此时直线l 的方程.21. 已知函数1()x f x e ax -=+，a R ∈.（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若[1,)x ∀∈+∞，()ln 1f x x a +≥+恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），直线2C 的方程为y =，以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，（1）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程；（2）若直线2C 与曲线1C 交于,A B 两点，求11||||OA OB +.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|||3|f x x x =+-.（1）求不等式()62x f <的解集；（2）若0k >且直线5y kx k =+与函数()f x 的图象可以围成一个三角形，求k 的取值范围.2018届江西省百所重点高中高三模拟理数试题答案一、选择题1-5: CCABC 6-10: BADCD 11、12：BA二、填空题13. 1 14. -6 15. 14 16. (0,1)三、解答题17.（1）由t a n 2s i n a B b A =，得s i n s i n 2s i n s i n c o s B A B A B =，由于sin 0A ≠，sin 0B ≠，故有1cos 2B =， 因为0B π<<，所以3B π=. （2）因为512A π=，3B π=，所以4C π=， 又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C=+=+=由正弦定理得：sin sinb c B C=，解得：c =所以11sin 22ABC S bc A ∆===. 18.（1）由题意可知，所求概率122111234242333662221()(1)(1)33315C C C C P C C C =⨯-+⨯-=. （2）设甲公司正确完成面试的题数为X ，则X 的取值分别为1,2,3，1242361(1)5C C P X C ===，2142363(2)5C C P X C ===，3042361(3)5C C P X C ===， 则X 的分布列为∴131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=, 2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=设乙公司正确完成面试的题数为Y ，则Y 取值分别为0,1,2,31(0)27P Y ==，123212(1)()339P Y C ==⨯⨯=， 2213214(2)()()339P Y C ==⨯⨯=，328(3)()327P Y ===， 则Y 的分布列为：∴1248()01232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=（或2(3,)3Y B ，∴2()323E Y =⨯=） 222212482()(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=（或212()3333D Y =⨯⨯=） 由()()E X E Y =，()()D X D Y <可得，甲公司竞标成功的可能性更大.19.（1）证明：取AC 的中点O ，连接1,OA OB ，∵点O 为等边1A AC ∆中边AC 的中点，∴1AC OA ⊥，∵1AC A B ⊥，111OA A B A =，∴AC ⊥平面1OA B ，又OB ⊂平面1OA B ，∴AC OB ⊥，∵点O 为AC 的中点，∴AB BC =.（2）由（1）知，AB BC =，又90ABC ∠=，故ABC ∆是以AC 为斜边的等腰直角三角形， ∵1AO AC ⊥，侧面11ACC AO ⊥底面上ABC ，1A ⊥底面ABC 以线段1,,OB OC OA 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，设2AC =，则(0,1,0)A -，1A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，∴(1,1,0)BC =-，11(0,1BB AA ==，1(1,0,A B =，设平面11BCC B 的一个法向量0000(,,)n x y z =，则有00100n BC n BB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即000000x y y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令0y则0x =，01z =-，∴0(3,1)n =-设1A B 与平面11BCC B 所成角为θ，则01010121sin |cos ,|7||||n A B n A B n A B θ=<>==. 20.（1）由题意可知，22b =，则1b =，联立2221(1)x y a a+=>与26516y x =-，得：42221658149()0816x x a ⨯+-+= 根据椭圆C 与抛物线26515y x =-的对称性，可得221658149()0864a ⨯∆=--= ∴21656388a -=±，又1a >， ∴2a =，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （2）①当直线l 的斜率不存在时，1222PMN S b a ∆=⨯⨯=；当直线l 的斜率为0时，1222PMN S a b ∆=⨯⨯=， ②当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为y kx =，由2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得22222414414x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， ∴||MN == 由题意可知线段MN 的中垂线方程为1y x k =-，由22141x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得222224444k x k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， ∴||OP ==∴22222214(1)4(1)8||||(14)(4)5(1)2522PMN k k S MN OP k k k ∆++=⨯⨯=≥==++++ 即85PMN S ∆≥，当且仅当22144k k +=+，即1k =±时等号成立，此时PMN ∆的面积取得最小值85， ∵825>，∴PMN ∆的面积的最小值为85，此时直线l 的方程为y x =±. 21.（1）'1()x f x e a -=+，（ⅰ）当0a ≥时，'()0f x >，函数()f x 在R 上单调递增；（ⅱ）当0a <时，令'()0f x =，则ln()1x a =-+，当'()0f x >，即ln()1x a >-+时，函数()f x 单调递增；当'()0f x <，即ln()1x a <-+时，函数()f x 单调递减.综上，当0a ≥时，函数()f x 在R 上单调递增；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是(ln()1,)a -++∞，单调递减区间是(,ln()1)a -∞-+.（2）令1a =-，由（1）可知，函数1()x f x e x -=-的最小值为(1)0f =，所以10x e x --≥，即1x e x -≥. ()ln 1f x x a +≥+恒成立与()ln 10f x x a +--≥恒成立等价，令()()ln 1g x f x x a =+--，即1()(1)ln 1(1)x g x e a x x x -=+-+-≥，则'11()x g x e a x-=++， ①当2a ≥-时，'111()20x g x e a x a x a a x x x-=++≥++≥+=+≥（或令11()x x e x ϕ-=+，则'121()x x e x ϕ-=-在[1,)+∞上递增，∴''()(1)0x ϕϕ≥=，∴()x ϕ在[1,)+∞上递增，∴()(1)2x ϕϕ≥=，∴'()0g x ≥）∴()g x 在区间[1,)+∞上单调递增，∴()(1)0g x g ≥=，∴()ln 1f x x a +≥+恒成立，②当2a <-时，令11()x h x e a x -=++，则21'12211()x x x e h x e x x ---=-=，当1x ≥时，'()0h x ≥，函数()h x 单调递增.又(1)20h a =+<，11111(1)110111a h a e a a a a a a---=++≥-++=+>---， ∴存在0(1,1)x a ∈-，使得0()0h x =，故当0(1,)x x ∈时，0()()0h x h x <=，即'()0g x <，故函数()g x 在0(1,)x 上单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，0()()0h x h x >=，即'()0g x >，故函数()g x 在0(,)x +∞上单调递增.∴min 0()()(1)0g x g x g =<=，即[1,)x ∀∈+∞，()ln 1f x x a +≥+不恒成立，综上所述，a 的取值范围是[2,)-+∞.22.（1）曲线1C 的普通方程为22(2)(2)1x y -+-=，则1C 的极坐标方程为24cos 4sin 70ρρθρθ--+=，由于直线2C 过原点，且倾斜角为3π，故其极坐标为()3R πθρ=∈（或tan θ= （2）由24c o s 4s i n 703ρρθρθπθ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩得：22)70ρρ-+=，故122ρρ+=，127ρρ=，∴121211||||||||||||OA OB OA OB OA OB ρρρρ+++===. 23.（1）由()62xf <，即|||3|622x x +-<， 得：3236x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩或03236x ⎧<<⎪⎨⎪<⎩或0236x x ⎧≤⎪⎨⎪-+<⎩， 解得：39x -<<，∴不等式()62xf <的解集为(3,9)-. （2）作出函数23,0()3,0323,3x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩的图象，如图所示，∵直线(5)y k x =+经过定点(5,0)A -，∴当直线(5)y k x =+经过点(0,3)B 时，35k =， ∴当直线(5)y k x =+经过点(3,3)C 时，38k =， ∴当33(,]85k ∈时，直线(5)y k x =+与函数()f x 的图象可以围成一个三角形. 24.。
江西省上饶市横峰中学高考数学适应性考试试题 文
B C A 江西省上饶市横峰中学2018届高考数学适应性考试试题 文一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合2{|230}A x x x =∈--≤Z ，{}0,1B =，则=（ ）A ．{}3,2,1---B ．{}1,2,3-C ．{}1,0,1,2,3-D ．{}0,1 2.已知i 是虚数单位，且(34)5z i i +=+，则z 的虚部为（ ）A. 1925iB. 1925C. 1725D.1725i 3.已知等差数列{}n a 的前11项之和为411π，则)tan(864a a a ++等于（ ）33A.3.B 1C.- 1.D 4.若双曲线22221x y a b -=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，且线段12F F 被抛物线24y ax =的焦点分成5:3的两段，且双曲线过点(3,15)P ，则双曲线的方程为（ ）A ．2218120x y -= B ． 221815x y -= C.221415x y -= D ． 2219120x y -= 5.已知某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A. 52410++ B. 522410++ C. 522414++ D. 542414++6.已知函数)0)(sin()(>+=A x A x f ϕω的图象如图所示,则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在5ππ,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B ．()f x 在5ππ,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 C ． ()f x 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 D ．()f x 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数7. 运行右图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A.2220172018-⨯ B.2220182018+⨯ C. 2220182019-⨯ D. 2220172019+⨯8.函数223e xx xy -=的图象大致是（ ）9.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺以后每天减半。
江西省南昌市2018届高三第三次理科数学模拟试题(解析版)
第三次模拟测试卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】所以于是所以。
故选D2. 已知，是虚数单位，若，，则为（）A. 或B.C.D. 不存在的实数【答案】A【解析】分析：根据共轭复数的定义先求出，再由，即可求出a详解：由题得，故，故选A.点睛：考查共轭复数的定义和复数的四则运算，属于基础题.3. “”是“关于的方程有解”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】分析;：求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：由得，且即，即，则，此时方程无解，即充分性不成立，若，满足方程无解，但不成立，即必要性不成立，即“”是“关于的方程有解”的既不充分也不必要条件.故选D．点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的等价条件求出的值是解决本题的关键．4. 下列有关统计知识的四个命题正确的是（）A. 衡量两变量之间线性相关关系的相关系数越接近，说明两变量间线性关系越密切B. 在回归分析中，可以用卡方来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越差C. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点D. 线性回归方程中，变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位【答案】A【解析】分析：利用“卡方”的意义、相关指数的意义及回归分析的适用范围，逐一分析四个答案的真假，可得答案．详解：A. 衡量两变量之间线性相关关系的相关系数越接近，说明两变量间线性关系越密切，正确；B. 在回归分析中，可以用卡方来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越差，错误对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，“与有关系”可信程度越大; 故B错误；C. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点，错误，回归直线可能不经过其样本数据点中的任何一个点；D. 线性回归方程中，变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位，错误，由回归方程可知变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位.故选A.点睛：本题考查回归分析的意义以及注意的问题．是对回归分析的思想、方法小结．要结合实例进行掌握.5. 在平面直角坐标系中，已知双曲线与双曲线有公共的渐近线，且经过点，则双曲线的焦距为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：双曲线C与双曲线x2−=1有公共的渐近线，因此设本题中的双曲线C的方程x2−=λ，再代入点P的坐标即可得到双曲线C的方程．然后求解焦距即可．详解：双曲线C与双曲线x2−=1有公共的渐近线，设本题中的双曲线C的方程x2−=λ，因为经过点，所以4-1=λ，解之得λ=3，故双曲线方程为故焦距为：，选D.点睛：本题给出与已知双曲线共渐近线的双曲线经过某个已知点，求该双曲线的方程，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质，属于基本知识的考查．6. 执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】S＝0，k＝1，k＝2，S＝2，否；k＝3，S＝7，否；k＝4，S＝18，否；k＝5，S＝41，否；k＝6，S＝88，是．所以条件为k＞5，故选B.7. 已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．详解：由题，的大小关系为故选：D．点睛：本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8. 某几何的三视图如图所示，其中主视图由矩形和等腰直角三角形组成，左视图由半个圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图知几何体的上半部分是半圆柱，圆柱底面半径为1，高为2，其表面积为：，下半部分为正四棱锥，底面棱长为2，斜高为，其表面积：，所以该几何体的表面积为本题选择A选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．9. 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到图象，若，且，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到，再向上平移1个单位，得到因为，g(x)的最大值为3，所以=3，因为，所以所以所以的最大值为故选C.点睛：本题的一个关键之处是对且的转化.要从g(x)的最大值为3，推理出这里是解题的关键.10. 为培养学生分组合作能力，现将某班分成三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组，某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比丙低，在组中的那位成绩比乙低.若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是（）A. 甲、丙、乙B. 乙、甲、丙C. 乙、丙、甲D. 丙、乙、甲【答案】C【解析】因为在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比乙低．所以甲、乙都不在B组，所以丙在B组. 假设甲在A组，乙在C组，由题得甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲.假设甲在C组，乙在A组，由题得矛盾，所以排序正确的是乙、丙、甲.故选C.11. “在两条相交直线的一对对顶角内，到这两条直线的距离的积为正常数的点的轨迹是双曲线，其中这两条直线称之为双曲线的渐近线”．已知对勾函数是双曲线，它到两渐近线距离的积是,根据此判定定理，可推断此双曲线的渐近线方程是（）A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】A【解析】分析：根据定义设为上任一点，逐次验证四个选项，只有A符合.详解：根据定义设为上任一点，对于A选项，则到直线的距离为，到直线的距离为，由单一可知可知，则显然当时，当时，综上，，符合定义.同理可知B,C，D不符合定义.故选A.点睛：本题考查双曲线的定义，利用定义验证选项是否符合，是基础题12. 已知函数，对任意不等实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出函数的导数，分离参数，结合二次函数的性质，求出的范围即可．详解：对任意两个不等的实数，都有不等式恒成立，则当时，恒成立，即在上恒成立，则故选D．点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数为偶函数，则的解集为__________．【答案】【解析】分析：由函数为偶函数，可得，则，则解之即可.详解：由题函数为偶函数，则即，，故即答案为.点睛：本题考查偶函数的定义，以及利用偶函数的单调性解不等式，属基础题.14. 已知，则__________．【答案】【解析】分析：由，展开二项式即可求得．详解：∵故答案为20点睛：本题考查二项式定理的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．15. 已知是两个非零向量，且，则的最大值为__________．【答案】【解析】分析：根据题意，设，则，由分析可得变形可得进而可得，变形可得，由基本不等式分析可得答案．详解：根据题意，设设，则，若，则变形可得：则又由即；则|的最大值为.故答案为．点睛：本题考查向量数量积的计算以及基本不等式的应用，解题的关键是构造关于的模的函数．16. 如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发，绕着点逆时针旋转，在旋转分入过程中，记，经过的单位圆内区域（阴影部分）的面积为，记，对函数有如下四个判断：①当时，；②时，为减函数；③对任意，都有；④对任意，都有其中判断正确的序号是__________．【答案】①③【解析】分析：由已知画出图形，再由扇形面积公式及三角形面积公式求得阴影部分的面积，然后逐一核对四个选项得答案．详解：如图，设圆心为 P交圆于另一点，连接，则当时，，故①正确；在上为增函数，故②错误；当时，故③正确；当时，故④错误.故答案为①③．点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，考查了三角函的性质，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由得，解得或，又数列的各项均为正数，可得．（2）由，所以，可得，利用错位相减法即可得出．详解：（1）由得，所以或，又因为数列的各项均为正数，负值舍去所以.（2）因为，所以由①②由①-②得：∴点睛：本题考查了数列递推关系、错位相减法、分组求和方法、等比数列的求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. 如图，多面体中，为正方形，，二面角的余弦值为，且.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）.【解析】分析：（1）通过证明AD⊥DE，，推出平面，得到平面平面；；（2）由（1）知，是二面角的平面角．以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得平面与平面所成锐二面角的余弦值．详解：（1）证明：∵，由勾股定理得：又正方形中，且∴平面，又∵面，∴平面平面（2）由（1）知是二面角的平面角作于，则且由平面平面，平面平面，面所以，面取中点，连结，则，如图，建立空间直角坐标系，则∴又，知的一个方向向量设面法向量，则取，得又面一个法向量为：∴设平面与平面所成锐二面角为，则点睛：本题考查直线与平面垂直的判断，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力．19. 质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量（单位：克）分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过克的为合格．（1）质检部门从甲车间个零件中随机抽取件进行检测，若至少件合格，检测即可通过，若至少件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（2）若从甲、乙两车间个零件中随机抽取个零件，用表示乙车间的零件个数，求的分布列与数学期望．【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）设事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“检测通过”；事件表示“检测良好”.通过，P（E）=P（B）+P（C），．求解概率即可．（2）由题意知，的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．详解：（1）设事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“检测通过”；事件表示“检测良好”.∴∴.故所求概率为.（2）可能取值为分布列为所以，.点睛：本题考查条件概率的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力．20. 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）已知不经过点的直线与椭圆交于两点，关于原点对称点为（与点不重合），直线与轴分别交于两点，证明：【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，根据已知条件得到关于a,b,c的方程，解方程即得椭圆的方程.（2）第（2）问，转化成证明,再转化成证明，再利用韦达定理证明.试题解析：（1）由可得，所以，解得，所以椭圆的方程为：.（2）设，联立方程，得，解得，所以，，∴，分子.∴, ∴．点睛：本题的第（2）问的关键是转化，把证明转化成证明,再转化成证明，再利用韦达定理证明.转化的思想是数学里的用的最普遍的数学思想，大家遇到了复杂的数学问题，大家要学会转化.21. 已知函数.（1）若，函数的极大值为，求实数的值；（2）若对任意的，在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，根据导函数符号变化规律确定函数极大值，最后根据绝对值求实数的值；（2）先求，最大值，再变量分离得，最后根据导数研究函数最大值，即得实数的取值范围.试题解析：（1）由题意，.①当时，，令，得；，得，所以在单调递增单调递减.所以的极大值为，不合题意.②当时，，令，得；，得或，所以在单调递增，，单调递减.所以的极大值为，得.综上所述.（2）令，当时，，故上递增，原问题上恒成立①当时，，，，此时，不合题意.②当时，令，，则，其中，，令，则在区间上单调递增（ⅰ）时，，所以对，，从而在上单调递增，所以对任意，，即不等式在上恒成立.（ⅱ）时，由，及在区间上单调递增，所以存在唯一的使得，且时，.从而时，，所以在区间上单调递减，则时，，即，不符合题意.综上所述，.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，）将曲线经过伸缩变换：得到曲线.（1）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，求的极坐标方程；（2）若直线（为参数）与,相交于两点，且，求的值.【答案】（1）（2）或.【解析】试题分析：求得曲线的普通方程，然后通过变换得到曲线方程，在转化为极坐标方程在极坐标方程的基础上结合求出结果解析：（1）的普通方程为，把，代入上述方程得，，∴的方程为.令，，所以的极坐标方程为.（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，由得，由得.而，∴.而，∴或.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.求不等式的解集；(2)设，证明：【答案】（1）或（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）利用分析法证明不等式：，平方作差并因式分解可得结论试题解析：(1)①当时,原不等式可化为,解得;②当时,原不等式可化为,解得,此时原不等式无解;③当时,原不等式可化为,解得.综上, .（2）因为,所以,要证,只需证,即证,即证,即证,即证.因为,所以,所以成立,所以原不等式成立.。
江西省南昌市2018届高三第三次模拟考试数学(理)试卷及答案
2018届江西省南昌市高三第三次理科数学模拟试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}3,2a M =，{},N a b =，若{}1M N ⋂=，则M N ⋃=（ ） A ．{}1,2,3 B ．{}0,2,3 C ．{}0,1,2 D ．{}0,1,32.已知a R ∈，i 是虚数单位，若z ai =，4z z ⋅=，则a 为（ ） A ．1或 1- B ．1 C ．1- D ．不存在的实数3.“3m >x 的方程sin x m =有解”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 下列有关统计知识的四个命题正确的是（ ）A ．衡量两变量之间线性相关关系的相关系数r 越接近1，说明两变量间线性关系越密切B ．在回归分析中，可以用卡方2x 来刻画回归的效果，2x 越大，模型的拟合效果越差 C.线性回归方程对应的直线y bx a =+至少经过其样本数据点中的一个点 D ．线性回归方程0.51y x =+中，变量x 每增加一个单位时，变量y 平均增加1个单位5.在平面直角坐标系中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点(P -，则双曲线C 的焦距为（ ）A ．．6.执行如图所示的程序框图，若输出的57S =，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．4k >B ．5k > C.6k > D ．7k >7.已知13241(),b log 3,c log 72a ===，则,,abc 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c << C.c a b << D ．a c b <<8.某几何的三视图如图所示，其中主视图由矩形和等腰直角三角形组成，左视图由半个圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（ ）A ．342π+B ．4(21)π+ C.4(2)π+ D ．4(1)π+ 9.将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 图象，若12()()6g x g x +=，且[]12,2,2x x ππ∈-，则12x x -的最大值为（ ） A ．π B ．2π C.3π D ．4π10.为培养学生分组合作能力，现将某班分成,,A B C 三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组，某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B 组中的那位的成绩与甲不一样，在A 组中的那位的成绩比丙低，在B 组中的那位成绩比乙低.若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是（ ）A ．甲、丙、乙B ．乙、甲、丙 C. 乙、丙、甲 D ．丙、乙、甲11.“在两条相交直线的一对对顶角内，到这两条直线的距离的积为正常数的点的轨迹是双曲线，其中这两条直线称之为双曲线的渐近线”．已知对勾函数4y x x=+是双曲线，它到两渐近线距离的积是根据此判定定理，可推断此双曲线的渐近线方程是（ ）A ．0x =与y x =B ．0x =与2y x = C.0x =与0y = D ．y x =与2y x = 12.已知函数21()ln 2f x a x x =+，对任意不等实数12,(0,)x x ∈+∞，不等式1212()()3f x a f x a x x +-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)2,+∞B ．(2,)+∞ C.9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．9(,)4+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()(1)()f x x x b =-+为偶函数，则(3)0f x -<的解集为 ．14.已知6260126(2)(1)(1)...(1)x a a x a x a x +=+++++++，则3a ．15.已知,m n u r r是两个非零向量，且1,23m m n =+=u r u r r ，则m n n ++u r r r 的最大值为 ．16.如图，直线AB 与单位圆相切于点O ，射线OP 从OA 出发，绕着点O 逆时针旋转，在旋转分入过程中，记(0)AOP x x π∠=<<，OP 经过的单位圆O 内区域（阴影部分）的面积为S ，记()S f x =，对函数()f x 有如下四个判断：①当34x π=时，3142S π=+；②(0,)x π∈时，()f x 为减函数； ③对任意(0,)2x π∈，都有()()22f x f x πππ-++=；④对任意(0,)2x π∈，都有()()22f x f x ππ+=+ 其中判断正确的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且2*2(21)0,n n a na n n N --+=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1(1)n n n b a -=-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 如图，多面体ABCDEF 中，ABCD 为正方形，2,3,5AB AE DE ===，,二面角E AD C --的余弦值为55，且//EF BD . （1）证明：平面ABCD ⊥平面EDC ；（2）求平面AEF 与平面EDC 所成锐二面角的余弦值.19.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量（单位：克）分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．（1）质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过，若至少3件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（2）若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X 表示乙车间的零件个数，求X 的分布列与数学期望．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>33(1,A 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过A 点的直线3:2l y x t =+与椭圆C 交于,P Q 两点，P 关于原点对称点为R （与点A 不重合），直线,AQ AR 与y 轴分别交于两点,M N ，证明： AM AN = 21.已知函数2()()()xf x ax x a e a R -=++∈. （1）若0a ≥，函数()f x 的极大值为3e，求实数a 的值； （2）若对任意的0a ≤，()ln(1)f x b x ≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈）将曲线1C 经过伸缩变换：''3x xy y=⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线2C .（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程； （2）若直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与1C ,2C 相交于,A B 两点，且21AB -，求α的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =+.（1）求不等式()211f x x <+-的解集M ； 设,a b M ∈，证明：(ab)()()f f a f b >--试卷答案一、选择题1-5:DADAD 6-10:ADACC 11、12：AA二、填空题13.(2,4) 14.20①③三、解答题17.解：（1）由22(21)0n n a na n --+=得[](21)(1)0n n a n a -+⋅+=，所以21n a n =+或1n a =-，又因为数列{}n a 的各项均为正数，负值舍去所以*21,n a n n N =+∈.（2）因为11(1)(1)(21)n n n n b a n --=-⋅=-⋅+，所以13579...(1)(21)n n T n -=-+-+-⋅+ 由13579...(1)(21)n n T n -=-+-+-⋅+①1(1)3579...(1)(21)(1)(21)n n n T n n --=-+-++-⋅++-⋅+②由①-②得：1232119...(1)(1)(21)n nn T n -⎡⎤=--++---⋅+⎣⎦1111(1)322(1)(1)(21)2(1)(22)1(1)n n n n n n ---⎡⎤--⎣⎦=-=+---⋅+=+-+--∴11(1)(1)n n T n -=+-+18.解：（1）证明：∵2,3,5AB AE DE ===，由勾股定理得：ADDE ⊥ 又正方形ABCD 中AD DC ⊥，且DE DC D ⋂= ∴AD ⊥平面EDC ，又∵AD ⊂面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面EDC（2）由（1）知EDC ∠是二面角E AD C --的平面角 作OE CD ⊥于O ，则cos 1,2OD DE EDC OE =⋅∠==且由平面ABCD ⊥平面EDC ，平面ABCD ⋂平面EDC CD =，OE ⊂面EDC 所以，OE ⊥面ABCD取AB 中点M ，连结OM ，则OM CD ⊥，如图，建立空间直角坐标系，则(2,1,0)B(2,1,0)D(0,1,0)E(0,0,2)A --、、、 ∴(2,1,2),(2,2,0)AE BD =-=--u u u r u u u r 又//EF BD ，知EF 的一个方向向量(2,2,0)设面AEF 法向量(,,)n x y z =r ，则220220n AE x y z n DB x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩r u u u rr u u u r取2x =-，得(2,2,3)n =-r又面EDC 一个法向量为(1,0,0)m =u r ：∴217cos ,17n m n m n m ⋅==-⋅r u rr u r r u r设平面AEF 与平面EDC 所成锐二面角为θ，则217cos cos ,n m θ==r u r19.解：（1）设事件A 表示“2件合格，2件不合格”；事件B 表示“3件合格，1件不合格”；事件C 表示“4件全合格”；事件D 表示“检测通过”；事件E 表示“检测良好”.∴223144444444488853()()()()70C C C C C PD P A P B P C C C C =++=++= ∴()()17()()()53P C P B PE D P D P D =+=.故所求概率为1753. （2）X 可能取值为0,1,22112848422212121214161(0),(1),(2)333311C C C C P X P X P X C C C =========分布列为所以，14()012=3333113E X =⨯+⨯+⨯20.解（1）c e a ==224,3(0)a m c m m ==>，则2b m = 所以2214x y m m +=，将点(1,A 代入得1m =，即所求椭圆方程为2214x y +=. （2）设1122(,),(,)P x yQ x y ，则11(,)R x y --，且121222,11ARAQy y k k x x -+==--- 由22142x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y化简得：2210x t ++-= ∴21212,1x x x x t +==-∴1212121212(1)(1)(222211(1)(1)AR AQy y y x x y k k x x x x --+-+--+=+=------1221211212())2(1)(1)x y x y y y x x x x ++--+=+-分子12212112))))x x t x t x x x x =++++-+-22112()1)()0x t x x t t =++=-+=即0AR AQ k k +=，又,M N 分别为直线,AQ AR 与y 轴焦点，得AMN ANM ∠=∠ 所以AM AN =得证.21.解（1）由题意，2'()(21)()xx f x ax eax x a e --=+-++2(12)1(1)(1)x xe ax a x a e x ax a --⎡⎤=-+-+-=--+-⎣⎦（i ）当0a =时，'()(1)xf x e x -=--，令'()0f x >，得1x <；'()0f x <，得1x >；所以()f x 在(,1)-∞单调递增，(1,)+∞单调递减，所以()f x 的极大值为13(1)f e e=≠，不合题意. （ii ）当0a >时，111a -<，令'()0f x >，得111x a -<<；'()0f x <，得11x a <-或1x >；所以()f x 在1(1,1)a -单调递增，1(,1),(1,)a-∞-+∞单调递减，所以()f x 的极大值为213(1)a f e e+==，得1a =.综上所述：1a =（2）令(]2()(1),,0x xg a e x a xe a --=++∈-∞，当[)0,x ∈+∞时，2(1)0xe x -+≥，则()ln(1)g a b x ≤+对(],0a ∀∈-∞恒成立等价于()(0)ln(1)g a g b x ≤≤+， 即ln(1)xxeb x -≤+，对[)0,x ∈+∞恒成立.（i ）当0b ≤时，(0,),bln(x 1)0,xe0xx -∀∈+∞+<>此时ln(1)x xe b x ->+，不合题意.（ii ）当0b >时，令[)()ln(1),0,xh x b x xe x -=+-∈+∞则21'()()1(1)x x x b be x h x e xe x x --+-=--=++，其中[)(1)0,0,xx e x +>∀∈+∞令[)2()1,0,xp x be x x =+-∈+∞，则()p x 在区间[)0,+∞上单调递增，①1b ≥时，()(0)10p x p b ≥=-≥，所以对[)0,x ∀∈+∞，'()0h x ≥，从而()h x 在[)0,+∞上单调递增，所以对[)0,x ∈+∞，()(0)0h x h ≥=，即不等式ln(1)xb x xe-+≥在[)0,+∞上恒成立.②01b <<时，由(0)10,(1)0p b p be =-<=>及(0)p 在区间[)0,+∞上单调递增， 所以存在唯一的0(0,1)x ∈使得0()0p x =，且0(0,)x x ∈时，0()0p x < 从而0(0,)x x ∈时，'()0h x <，所以()h x 在区间0(0,)x 上单调递减， 则0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h <=，即ln(1)xb x xe -+<，不符合题意.综上所述，1b ≥.22.解：（1）1C 的普通方程为221(0)x y y +=≥，把','x x y ==代入上述方程得，'2'2'1(3)3y x y +=≥， ∴2C 的方程为221(0)3y x y +=≥，令cos ,sin x y ρθρθ== 所以2C 的极坐标方程为[]222233(0,)3cos sin 2cos 1ρθπθθθ==∈++；（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，由1ρθα=⎧⎨=⎩，得1A ρ=，由2232cos 1ρθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得B ρ=，11=，∴1cos 2α=±，而[]0,απ∈，∴3πα=或23π. 23.解：（1）（i ）当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --<--，解得1x <-，此时1x <-； （ii ）当112x -<<-时，原不等式可化为122x x +<--，解得1x <-，此时无解； （iii ）当12x ≥-时，原不等式可化为12x x +<，解得1x >，此时1x >； 综上，{1M x x =<-或}1x >（2）因为()()(ab)11111f ab ab b b ab b b b a b =+=++-≥+--=+-- 因为,a b M ∈，所以1,10b a >+>， 所以(ab)11f a b >+--，即(ab)()()f f a f b >--。
江西省横峰中学2018届高三第4周周练数学试题 含答案 精品
第4周高三文科数学周练试卷一、单项选择题：1、若集合22{|1},{|log (2)}A y y x B x y x ==+==+，则C B A =（ ） A ．(2,1)- B ． (2,1]- C ．[2,1)- D ．以上都不对2、已知函数f （x ）=x 3﹣x +1，则曲线y =f （x ）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．23、()()2ln 11f x a x x b x =+---，若对1,e x ⎡⎫∀∈+∞⎪⎢⎣⎭， ()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A. 1e 2e a ≤+- B. 2a < C. 22e a ≤< D. 2ea ≤ 二、填空题：4、已知函数()21cos '2f x f cosx x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 . 5、已知函数()2ln xf x a x x a =+-，对任意的[]12,0,1x x ∈，不等式()()121f x f x a -≤-恒成立，则实数a 取值范围为__________． 三、解答题： 6、已知函数21()3ln ,()2f x ax xg x bx=+=-,其中R b a ∈,．设)()()(x g x f x h -=,若(02f '=，且(1)(1)2fg '=--． （1）求a b 、的值； （2）求函数()h x 的图像在点(1,4)-处的切线方程．7、设函数f （x ）=ln x +kx ，k ∈R ．（1）若曲线y =f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线与直线x ﹣2=0垂直，求出k 值． （2）试讨论f （x ）的单调区间；（3）已知函数f （x ）在x =e 处取得极小值，不等式f （x ）＜mx 的解集为P ，若M={x|e ≤x≤3}，且M ∩P ≠φ，求实数m 的取值范围．8、设函数()1ln a f x x x-=+，()3g x ax =-（0a >）. （1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（2）当1a =时，记()()()•h x f x g x =，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()2h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.参考答案一、单项选择 1、【答案】A2、【答案】C 【解析】解：求导函数，可得y ′=3x 2﹣1，当x=0时，y ′=﹣1，∴函数f （x ）=x 3﹣x+1，则曲线y=f （x ）在点（0，1）处的切线方程为y ﹣1=﹣x ，即x+y ﹣1=0， 令x=0，可得y=1，令y=0，可得x=1， ∴函数f （x ）=x 3﹣x+1，则曲线y=f （x ）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是×1×1=． 故选：C3、【答案】A 由题意： ()10f =，即()()1,,1x f x f e ⎡⎫∀∈+∞≥⎪⎢⎣⎭恒成立，可知()1f 为极小值， ()'10f =，求导有()()'2,'120,2af x x b f a b b a x=+-∴=+-==+. 则： ()()()()12'22x x a af x x a x x--=+-+=，分类讨论： ①当12a e ≤时，函数在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()1,+∞单调递增，满足题意； ②当112a e <<时， ()f x 在()1,,1,2a e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间,12a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 只需： 10f e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，解得： 1212,2a e a e e e e≤+-∴<≤+-； ③当12a=时， ()()21'0x f x x+=>， ()f x 在定义域内单调递增，而()10f =， 存在01,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦满足()00f x <；④当12a >时， ()f x 在区间1,1,,2a e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在区间1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，不合题意.综上可得实数a 的取值范围是1e 2ea ≤+-. 本题选择A 选项.二、填空题4、【答案】【解析】令[]cos ,1,1t x t =∈-，())21'12f t f t t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，所以()1''32f t f t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令12t =，则())21'12f f t t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭考点：（1）换元法；（2）求导公式；（3）函数值的求法.【易错点晴】本题函数中的变量是x cos ，因此求解时必须先进行换元，即令t x =cos .将其转换为变量t 的函数)(t f ，即())21'12f t f t t ⎛⎫=--⎪⎝⎭.另外由于题设中还出现了)(/t f ，所以还要对函数())21'12f t f t t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭中的t 进行求导运算,再令12t =,求出)21(/f 的值,最后再求出)21(f 的值.因此解答好本题还是具有一定的困难的.5、【答案】[),e +∞【解析】由题意可得()()max min 1f x f x a -≤-，且1a >，由于()()ln 2ln 1ln 2x x f x a a x a a a x =+-'=-+，所以当0x >时， ()0f x '>，函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()()()()ma xm in11l n ,01f x f a a f x f ==+-==，所以()()ma xm i nln f x f x a a -=-，故1ln ln 1a a a a -≥-⇒≥，即a e ≥，应填答案[),e +∞。
江西省横峰中学2018届高三第4周周练数学理试题 含答案
2017-2018学年高三数学理科第四周周练试卷班级： 姓名：1．设函数,“是偶函数”是“的图象关于原点对称”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2．已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.3．已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是( )A. B. C. D.4．若()02f x '=，则()()000lim2h f x h f x h→+-= ____________ .5．若不等式()22222x xy a x y +≤+对于一切正数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为__________．6．已知函数()32f x x bx ax d =+++的图象过点()0,2P ，且在点()()1,1M f --处的切线方程为670x y -+=.(1)求函数()y f x =的解析式；(2)求函数()y f x =的单调区间.7．()()222ln .f x x ax x x x =-++-（Ⅰ）当2a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()0,x ∈+∞时， ()20f x x +>恒成立，求整数a 的最小值；8．已知函数()()()()ln 1,ln 11xf x x axg x b x x=+-=-++， （Ⅰ）当1b =时，求()g x 的最大值；（Ⅱ）若对[)()0,,0x f x ∀∈+∞≤恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）证明211ln .12ni i n i =-≤+∑第四周周练答案1. B2. B3. A4. 15. 16. 解：(1)由()f x 的图象经过()0,2P ，知2d =，所以()322f x x bx cx =+++，()2'32f x x bx c =++，由在()()1,1M f --处的切线方程是670x y -+=，知()6170f ---+=，即()11f -=， ()'16f -=，∴326{ 121b c b c -+=-+-+=，即23{ 0b c b c -=-=，解得3b c ==-.故所求的解析式是()32332f x x x x =--+.(2) ()2'363f x x x =--，令23630x x --=，即2210x x --=，解得11x = 21x =，当1x <1x >+ ()'0f x >，当11x << ()'0f x <，故()32332f x x x x =--+的增区间是(,1-∞-和()1+∞.减区间是(1. 7. （Ⅰ）由题意可得()f x 的定义域为()0,+∞,当2a =时，()()2222ln f x x x x x x=-++-()()()()2122221ln 242ln f x x x x x x x x x=-++-+-⋅=-'，由()0f x '>可得():42l n 0x x ->，所以420:{ 0x lnx ->>或420{ 0x lnx -<<解得1x >或102x <<；由()0f x '<可得():42ln 0x x -<，所以420:{x lnx -><或420{x lnx -<>，解得11.2x <<综上可知():f x 递增区间为()10.,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭， （Ⅱ）若()0,x ∈+∞时， ()20f x x +>恒成立，则()22ln 0ax x x x +->恒成立，因为0x >，所以()21ln 0a x x +->恒成立，即():21ln a x x >--恒成立，令()()21ln g x x x =--，则()max a g x >，因为()122ln 2ln 2x g x x x x x -⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭'，所以()g x '在()0,+∞上是减函数，且()10g '=，所以()g x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上是减函数， 1x ∴=时， ()max 0g x =， 0a ∴>，又因为a Z ∈，所以min 1.a = 8.（Ⅰ）当1b = 时，()()()ln 1,1,1xg x x x x=-+∈-+∞+，()()()2211111xg x x x x -=-=++'+，当()1,0x ∈-时， ()()0,g x g x '>单调递增，当()0,x ∈+∞时， ()()0,g x g x '<单调递减， ∴函数()g x 的最大值()00g =.（Ⅱ）()11f x a x='-+， [)0,x ∈+∞， (]10,11x∴∈+当1a ≥时， ()0f x '≤恒成立， ()f x ∴在[)0,+∞上是减函数， ()()00f x f ∴≤=适合题意，②当0a ≤时，()101f x a x=->+'，()f x ∴在[)0,+∞上是增函数，()()()ln 100f x x ax f ∴=+->=，不能使()0f x <在[)0,+∞恒成立；③当01a <<时，令()0f x '=，得11x a =-，当10,1x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时， ()0f x '≥ ()f x ∴在10,1a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上为增函数， ()()00f x f ∴>=，不能使()0f x <在[)0,+∞恒成立， a ∴的取值范围是[)1,+∞. （Ⅲ）由（Ⅰ）得()l n 101x x x -+≤+， ()ln 11xx x∴<++,()0x >取111,ln 11x n n n ⎛⎫=<+ ⎪+⎝⎭，21ln 1nn i ix n i ==-+∑，则112x =()12ln ln 11n n nx x n n n -⎡⎤∴-=---⎣⎦+21ln 111n n n ⎛⎫=-+ ⎪+-⎝⎭()2211011n n n n n<-=-<++， 1112n n x x x -∴<<<= 211ln .12n i i n i =-≤+∑。
江西省南昌市2018届高三第三次理科数学模拟试题(含答案)
NCS20180607 项目第三次模拟测试卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}3,2a M =，{},N a b =，若{}1M N ⋂=，则M N ⋃=（ ） A ．{}1,2,3 B ．{}0,2,3 C ．{}0,1,2 D ．{}0,1,3 2.已知a R ∈，i 是虚数单位，若3z ai =+，4z z ⋅=，则a 为（ ） A ．1或 1- B ．1 C ．1- D ．不存在的实数 3.“33m m >”是“关于x 的方程sin x m =有解”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 下列有关统计知识的四个命题正确的是（ ）A ．衡量两变量之间线性相关关系的相关系数r 越接近1，说明两变量间线性关系越密切B ．在回归分析中，可以用卡方2x 来刻画回归的效果，2x 越大，模型的拟合效果越差 C.线性回归方程对应的直线y bx a =+至少经过其样本数据点中的一个点 D ．线性回归方程0.51y x =+中，变量x 每增加一个单位时，变量y 平均增加1个单位5.在平面直角坐标系中，已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线，且经过点(2,3)P -，则双曲线C 的焦距为（ ）A ．3B ．23 C.33 D ．436.执行如图所示的程序框图，若输出的57S =，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．4k >B ．5k > C.6k > D ．7k >7.已知13241(),b log 3,c log 72a ===，则,,abc 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c << C.c a b << D ．a c b <<8.某几何的三视图如图所示，其中主视图由矩形和等腰直角三角形组成，左视图由半个圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（ ）A ．342π+B ．4(21)π++ C.4(2)π+ D ．4(1)π+ 9.将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 图象，若12()()6g x g x +=，且[]12,2,2x x ππ∈-，则12x x -的最大值为（ ）A ．πB ．2π C.3π D ．4π10.为培养学生分组合作能力，现将某班分成,,A B C 三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组，某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B 组中的那位的成绩与甲不一样，在A 组中的那位的成绩比丙低，在B 组中的那位成绩比乙低.若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是（ ） A ．甲、丙、乙 B ．乙、甲、丙 C. 乙、丙、甲 D ．丙、乙、甲11.“在两条相交直线的一对对顶角内，到这两条直线的距离的积为正常数的点的轨迹是双曲线，其中这两条直线称之为双曲线的渐近线”．已知对勾函数4y x x=+是双曲线，它到两渐近线距离的积是22,根据此判定定理，可推断此双曲线的渐近线方程是（ ）A ．0x =与y x =B ．0x =与2y x = C.0x =与0y = D ．y x =与2y x = 12.已知函数21()ln 2f x a x x =+，对任意不等实数12,(0,)x x ∈+∞，不等式1212()()3f x a f x a x x +-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)2,+∞B ．(2,)+∞ C.9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．9(,)4+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()(1)()f x x x b =-+为偶函数，则(3)0f x -<的解集为 ．14.已知6260126(2)(1)(1)...(1)x a a x a x a x +=+++++++，则3a ．15.已知,m n 是两个非零向量，且1,23m m n =+=，则m n n ++的最大值为 ．16.如图，直线AB 与单位圆相切于点O ，射线OP 从OA 出发，绕着点O 逆时针旋转，在旋转分入过程中，记(0)AOP x x π∠=<<，OP 经过的单位圆O 内区域（阴影部分）的面积为S ，记()S f x =，对函数()f x 有如下四个判断： ①当34x π=时，3142S π=+；②(0,)x π∈时，()f x 为减函数； ③对任意(0,)2x π∈，都有()()22f x f x πππ-++=；④对任意(0,)2x π∈，都有()()22f x f xππ+=+ 其中判断正确的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且2*2(21)0,n n a na n n N --+=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1(1)n n n b a -=-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 如图，多面体ABCDEF 中，ABCD 为正方形，2,3,5AB AE DE ===，,二面角E AD C --的余弦值为55，且//EF BD . （1）证明：平面ABCD ⊥平面EDC ；（2）求平面AEF 与平面EDC 所成锐二面角的余弦值.19.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量（单位：克）分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过20克的为合格．（1）质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过，若至少3件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（2）若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用X 表示乙车间的零件个数，求X 的分布列与数学期望．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，且点3(1,)2A -在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过A 点的直线3:2l y x t =+与椭圆C 交于,P Q 两点，P 关于原点对称点为R （与点A 不重合），直线,AQ AR 与y 轴分别交于两点,M N ，证明： AM AN = 21.已知函数2()()()xf x ax x a e a R -=++∈. （1）若0a ≥，函数()f x 的极大值为3e，求实数a 的值； （2）若对任意的0a ≤，()ln(1)f x b x ≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，[]0,θπ∈）将曲线1C 经过伸缩变换：''3x xy y=⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线2C . （1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求2C 的极坐标方程； （2）若直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）与1C ,2C 相交于,A B 两点，且21AB =-，求α的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =+.（1）求不等式()211f x x <+-的解集M ； 设,a b M ∈，证明：(ab)()()f f a f b >--试卷答案一、选择题1-5:DADAD 6-10:ADACC 11、12：AA二、填空题13.(2,4) 14.20 15.10 16.①③三、解答题17.解：（1）由22(21)0n n a na n --+=得[](21)(1)0n n a n a -+⋅+=，所以21n a n =+或1n a =-，又因为数列{}n a 的各项均为正数，负值舍去所以*21,n a n n N =+∈.（2）因为11(1)(1)(21)n n n n b a n --=-⋅=-⋅+，所以13579...(1)(21)n n T n -=-+-+-⋅+ 由13579...(1)(21)n n T n -=-+-+-⋅+①1(1)3579...(1)(21)(1)(21)n n n T n n --=-+-++-⋅++-⋅+②由①-②得：1232119...(1)(1)(21)n nn T n -⎡⎤=--++---⋅+⎣⎦1111(1)322(1)(1)(21)2(1)(22)1(1)n n n n n n ---⎡⎤--⎣⎦=-=+---⋅+=+-+--∴11(1)(1)n n T n -=+-+18.解：（1）证明：∵2,3,5AB AE DE ===，由勾股定理得：AD DE ⊥ 又正方形ABCD 中AD DC ⊥，且DE DC D ⋂= ∴AD ⊥平面EDC ，又∵AD ⊂面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面EDC（2）由（1）知EDC ∠是二面角E AD C --的平面角 作OE CD ⊥于O ，则cos 1,2OD DE EDC OE =⋅∠==且由平面ABCD ⊥平面EDC ，平面ABCD ⋂平面EDC CD =，OE ⊂面EDC 所以，OE ⊥面ABCD取AB 中点M ，连结OM ，则OM CD ⊥，如图，建立空间直角坐标系，则(2,1,0)B(2,1,0)D(0,1,0)E(0,0,2)A --、、、 ∴(2,1,2),(2,2,0)AE BD =-=--又//EF BD ，知EF 的一个方向向量(2,2,0)设面AEF 法向量(,,)n x y z =，则220220n AE x y z n DB x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取2x =-，得(2,2,3)n =-又面EDC 一个法向量为(1,0,0)m =：∴217cos ,17n m n m n m⋅==-⋅ 设平面AEF 与平面EDC 所成锐二面角为θ，则217cos cos ,17n m θ==19.解：（1）设事件A 表示“2件合格，2件不合格”；事件B 表示“3件合格，1件不合格”；事件C 表示“4件全合格”；事件D 表示“检测通过”；事件E 表示“检测良好”.∴223144444444488853()()()()70C C C C C PD P A P B P C C C C =++=++= ∴()()17()()()53P C P B PE D P D P D =+=.故所求概率为1753. （2）X 可能取值为0,1,22112848422212121214161(0),(1),(2)333311C C C C P X P X P X C C C =========分布列为X 012P14331633111所以，141612()012=3333113E X =⨯+⨯+⨯ 20.解（1）32c e a ==，不妨设224,3(0)a m c m m ==>，则2b m = 所以2214x y m m +=，将点3(1,)2A -代入得1m =，即所求椭圆方程为2214x y +=. （2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，则11(,)R x y --，且12123322,11ARAQy y k k x x -++==---由221432x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 化简得：22310x tx t ++-= ∴212123,1x x t x x t +=-=-∴12121212123333()(1)(1)()222211(1)(1)AR AQy y y x x y k k x x x x -++-+-+--++=+=------ 12212112123()()32(1)(1)x y x y y y x x x x ++-+-+=+-分子122121123333()()()()32222x x t x x t x x x x =++++-+-+ 221123()33(1)(3)30x x t x x t t t =+++=-+-+=即0AR AQ k k +=，又,M N 分别为直线,AQ AR 与y 轴焦点，得AMN ANM ∠=∠ 所以AM AN =得证.21.解（1）由题意，2'()(21)()xx f x ax eax x a e --=+-++2(12)1(1)(1)x xe ax a x a e x ax a --⎡⎤=-+-+-=--+-⎣⎦（i ）当0a =时，'()(1)xf x e x -=--，令'()0f x >，得1x <；'()0f x <，得1x >；所以()f x 在(,1)-∞单调递增，(1,)+∞单调递减，所以()f x 的极大值为13(1)f e e=≠，不合题意. （ii ）当0a >时，111a -<，令'()0f x >，得111x a -<<；'()0f x <，得11x a <-或1x >；所以()f x 在1(1,1)a -单调递增，1(,1),(1,)a-∞-+∞单调递减，所以()f x 的极大值为213(1)a f e e+==，得1a =. 综上所述：1a =（2）令(]2()(1),,0x xg a e x a xe a --=++∈-∞，当[)0,x ∈+∞时，2(1)0xe x -+≥，则()ln(1)g a b x ≤+对(],0a ∀∈-∞恒成立等价于()(0)ln(1)g a g b x ≤≤+， 即ln(1)xxeb x -≤+，对[)0,x ∈+∞恒成立.（i ）当0b ≤时，(0,),bln(x 1)0,xe0xx -∀∈+∞+<>此时ln(1)x xe b x ->+，不合题意.（ii ）当0b >时，令[)()ln(1),0,x h x b x xe x -=+-∈+∞则21'()()1(1)x x xb be x h x e xe x x --+-=--=++，其中[)(1)0,0,x x e x +>∀∈+∞ 令[)2()1,0,x p x be x x =+-∈+∞，则()p x 在区间[)0,+∞上单调递增，①1b ≥时，()(0)10p x p b ≥=-≥，所以对[)0,x ∀∈+∞，'()0h x ≥，从而()h x 在[)0,+∞上单调递增，所以对[)0,x ∈+∞，()(0)0h x h ≥=，即不等式ln(1)x b x xe -+≥在[)0,+∞上恒成立.②01b <<时，由(0)10,(1)0p b p be =-<=>及(0)p 在区间[)0,+∞上单调递增， 所以存在唯一的0(0,1)x ∈使得0()0p x =，且0(0,)x x ∈时，0()0p x < 从而0(0,)x x ∈时，'()0h x <，所以()h x 在区间0(0,)x 上单调递减， 则0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h <=，即ln(1)xb x xe -+<，不符合题意.综上所述，1b ≥.22.解：（1）1C 的普通方程为221(0)x y y +=≥，把','3x x y y ==代入上述方程得，'2'2'1(3)3y x y +=≥， ∴2C 的方程为221(0)3y x y +=≥，令cos ,sin x y ρθρθ== 所以2C 的极坐标方程为[]222233(0,)3cos sin 2cos 1ρθπθθθ==∈++； （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，由1ρθα=⎧⎨=⎩，得1A ρ=，由2232cos 1ρθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得232cos 1B ρα=+， 而231212cos 1α-=-+，∴1cos 2α=±，而[]0,απ∈，∴3πα=或23π. 23.解：（1）（i ）当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --<--，解得1x <-，此时1x <-； （ii ）当112x -<<-时，原不等式可化为122x x +<--，解得1x <-，此时无解；（iii ）当12x ≥-时，原不等式可化为12x x +<，解得1x >，此时1x >； 综上，{1M x x =<-或}1x >（2）因为()()(ab)11111f ab ab b b ab b b b a b =+=++-≥+--=+-- 因为,a b M ∈，所以1,10b a >+>，所以(ab)11f a b >+--，即(ab)()()f f a f b >--。
江西省上饶市横峰中学2018届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)
2017-2018学年江西省上饶市横峰中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B={x|x＜}B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜}D．AUB=R2．（5分）设i为虚数单位，复数z满足，则复数z等于（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i3．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设向量=（4，2），=（1，﹣1），则（2﹣）•等于（）A．2 B．﹣2 C．﹣12 D．125．（5分）设a≠0，函数f（x）=，若f[f（﹣）]=4，则f（a）等于（）A．8 B．4 C．2 D．16．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b7．（5分）已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A．B．C．10 D．128．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧¬q C．¬p∧q D．¬p∧¬q9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称10．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=tan（2x﹣），③y=cos（2x+），④y=|cos x|中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③11．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f （x）=2x3+x2，则f（2）=．14．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是．15．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=．16．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx为R上的增函数，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度从1℃变化到5℃，反应结果如表所示（x表示温度，y代表结果）：（1）求化学反应的结果y对温度x的线性回归方程=x+；（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关，并预测当温度到达10℃时反应结果为多少？附：线性回归方程中=x+，=，=﹣b．18．（10分）已知函数f（x）=4lnx﹣2x2+3ax（1）当a=1时，求f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣3ax+m在[，e]上有两个零点，求实数m的取值范围．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b=4，c=5，A=60°．（1）求边长a和△ABC的面积；（2）求sin2B的值．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．21．（12分）已知过点A（1，0）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于M，N两点．（I）求k的取值范围；（II）•=12，其中O为坐标原点，求|MN|．22．（12分）已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．2017-2018学年江西省上饶市横峰中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B={x|x＜}B．A∩B=∅C．A∪B={x|x＜}D．AUB=R【分析】解不等式求出集合B，结合集合交集和并集的定义，可得结论．【解答】解：∵集合A={x|x＜2}，B={x|3﹣2x＞0}={x|x＜}，∴A∩B={x|x＜}，故A正确，B错误；A∪B={x||x＜2}，故C，D错误；故选：A【点评】本题考查的知识点集合的交集和并集运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）设i为虚数单位，复数z满足，则复数z等于（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义【解答】解：∵复数z满足，∴z===i﹣1．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，得0≤x≤2．则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．4．（5分）设向量=（4，2），=（1，﹣1），则（2﹣）•等于（）A．2 B．﹣2 C．﹣12 D．12【分析】先计算2﹣的坐标，再计算（2﹣）•．【解答】解：2﹣=（7，5），∴（2﹣）•=7﹣5=2．故选A．【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题．5．（5分）设a≠0，函数f（x）=，若f[f（﹣）]=4，则f（a）等于（）A．8 B．4 C．2 D．1【分析】由已知得f（﹣）=4=2，从而f[f（﹣）]=f（2）=|4+2a|=4，由此能求出a，从而能求出结果．【解答】解：∵a≠0，函数f（x）=，f[f（﹣）]=4，∴f（﹣）=4=2，f[f（﹣）]=f（2）=|4+2a|=4，解得a=﹣4或a=0（舍），∴a=﹣4．f（a）=f（﹣4）=4log24=8．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．6．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误；故选：B【点评】本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档．7．（5分）已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A．B．C．10 D．12【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：∵{a n}是公差为1的等差数列，S8=4S4，∴8a1+×1=4×（4a1+），解得a1=．则a10=+9×1=．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0；命题q：若a2＜b2，则a＜b．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧¬q C．¬p∧q D．¬p∧¬q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断复合命题的真假即可．【解答】解：命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0，是真命题；命题q：若a2＜b2，则|a|＜|b|，是假命题，故p∧￢q是真命题，故选：B．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查不等式的性质，是一道基础题．9．（5分）已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称【分析】由已知中函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），可得f（x）=f（2﹣x），进而可得函数图象的对称性．【解答】解：∵函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），∴f（2﹣x）=ln（2﹣x）+lnx，即f（x）=f（2﹣x），即y=f（x）的图象关于直线x=1对称，故选：C．【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，熟练掌握函数图象的对称性是解答的关键．10．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=tan（2x﹣），③y=cos（2x+），④y=|cos x|中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③【分析】由题意利用三角函数的周期性，逐一判断各个函数的周期性，从而得出结论．【解答】解：∵函数①y=cos|2x|=cos2x，故它的最小正周期为=π，满足条件；∵②y=tan（2x﹣）的最小正周期为，故排除②；③y=cos（2x+）的最小正周期为=π，满足条件；④y=|cos x|中，最小正周期为•2π=π，满足条件，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．11．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．【解答】解：函数y=1+x+，可知：f（x）=x+是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y=1+x+的图象关于（0，1）对称，当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，点x=π时，y=1+π，排除B．故选：D．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法．12．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【分析】（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，两个解，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．对a分类讨论：①当a＜0时，由题意可得关于a的不等式组；②当a＞0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．【解答】解：（i）当a=0时，f（x）=﹣3x2+1，令f（x）=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，舍去．（ii）当a≠0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣），令f′（x）=0，解得x=0或．①当a＜0时，＜0，当x＜或x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当＜x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，则：；即：，可得a＜﹣2．②当a＞0时，＞0，当x＞或x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．∴是函数f（x）的极小值点，0是函数f（x）的极大值点．不满足函数f（x）=ax3﹣3x2+1存在唯一的零点x0，且x0＞0，综上可得：实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：B．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f （x）=2x3+x2，则f（2）=12．【分析】由已知中当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，先求出f（﹣2），进而根据奇函数的性质，可得答案．【解答】解：∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，∴f（﹣2）=﹣12，又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（2）=12，故答案为：12【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题．14．（5分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞）．【分析】求出函数的定义域，结合复合函数单调性的性质进行求解即可．【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得x＜﹣2或x＞4，设t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt是增函数，要求函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间，等价为求函数t=x2﹣2x﹣8的递增区间，∵t=x2﹣2x﹣8的递增区间为（4，+∞），则函数f（x）的递增区间为（4，+∞），故答案为：（4，+∞）【点评】本题主要考查复合函数单调区间的求解，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．15．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=6．=2a n，结合等比数列的定义可知数列{a n}是a1=2为首项，以2为【分析】由a n+1公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．=2a n，【解答】解：∵a n+1∴，∵a1=2，∴数列{a n}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n===2n+1﹣2=126，∴2n+1=128，∴n+1=7，∴n=6．故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．16．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx为R上的增函数，则实数a的取值范围是[﹣，] ．【分析】令cosx=t，通过讨论t=0的情况，再讨论t∈（0，1]的情况，分离参数，构造函数，利用函数的单调性即可求得实数a的取值范围．【解答】解：f′（x）=1﹣cos2x+acosx，若f（x）在R递增，则f′（x）≥0在R恒成立，即acosx≥cos2x﹣1=cos2x﹣在R恒成立，令cosx=t，则t∈[﹣1，1]，则at≥t2﹣在t∈[﹣1，1]恒成立，t=0时，显然成立，t∈（0，1]时，a≥t﹣，令h（x）=t﹣，显然h（t）在（0，1]递增，a≥h（x）max=h（1）=﹣，t∈[﹣1，0）时，a≤t﹣，故a≤h（x）min=h（﹣1）=，综上，a∈[﹣，]，故答案为：[﹣，]．【点评】本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是分离参数，构造函数，利用函数的单调性求解三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度从1℃变化到5℃，反应结果如表所示（x表示温度，y代表结果）：（1）求化学反应的结果y对温度x的线性回归方程=x+；（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关，并预测当温度到达10℃时反应结果为多少？附：线性回归方程中=x+，=，=﹣b．【分析】（1）求出回归学生，即可求出线性回归方程；（2）=2.1＞0，x与y之间是正相关，x=10，代入计算可预测当温度到达10℃时反应结果．【解答】解：（1）由题意，=3，=7.2，∴===2.1，=﹣b=7.2﹣2.1×3=0.9，∴=2.1x+0.9；（2）∵=2.1＞0，∴x与y之间是正相关，x=10时，=2.1×10+0.9=21.9．【点评】本题考查回归方程的计算与运用，考查学生的计算能力，正确求出回归方程是关键．18．（10分）已知函数f（x）=4lnx﹣2x2+3ax（1）当a=1时，求f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣3ax+m在[，e]上有两个零点，求实数m的取值范围．【分析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）利用导数求出函数g（x）=f（x）﹣3ax+m在[，e]上的极值和最值，即可得到结论．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=4lnx﹣2x2+3x，则f′（x）=﹣4x+3，切点坐标为（1，1），切线斜率k=f′（1）=3，则函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y﹣1=3（x﹣1），即y=3x﹣2；（2）g（x）=f（x）﹣3ax+m=4lnx﹣2x2+m，则g′（x）=，∵x∈[，e]，∴由g′（x）=0，得x=1，当＜x＜1时，g′（x）＞0，此时函数单调递增，当1＜x＜e时，g′（x）＜0，此时函数单调递减，故当x=1时，函数g（x）取得极大值g（1）=m﹣2，g（）=m﹣4﹣，g（e）=m+4﹣2e2，g（e）﹣g（）=8﹣2e2+＜0，则g（e）＜g（），∴g（x）=f（x）﹣3ax+m在[，e]上最小值为g（e），要使g（x）=f（x）﹣3ax+m在[，e]上有两个零点，则满足，解得2＜m≤4+，故实数m的取值范围是（2，4+]．【点评】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值和最值问题，考查学生的计算能力．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b=4，c=5，A=60°．（1）求边长a和△ABC的面积；（2）求sin2B的值．【分析】（1）直接利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．（2）利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．【解答】解：（1）由余弦定理得a2=b2+c2﹣2abcosC，=16+25﹣20，=21．故：c=．…（6分）（2）由正弦定理得，…（8分）由于b＜c，所以B为锐角，则cosB=，则：sin2B=2sinBcosB=．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和正弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．【分析】（1）推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD．（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，且AD=，PO=，由四棱锥P﹣ABCD的体积为，求出a=2，由此能求出该四棱锥的侧面积．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，∴AB⊥PA，CD⊥PD，又AB∥CD，∴AB⊥PD，∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．解：（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD，∴PO⊥底面ABCD，且AD==，PO=，∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，∴V P=﹣ABCD====，解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2，PO=，∴PB=PC==2，∴该四棱锥的侧面积：S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC=+++==6+2．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．21．（12分）已知过点A（1，0）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于M，N两点．（I）求k的取值范围；（II）•=12，其中O为坐标原点，求|MN|．【分析】（I）求出过A且与圆C相切的直线斜率，从而得出k的范围；（II）联立方程组消元，根据根与系数的关系和•=12列方程求出k，确定直线的方程，再计算弦长．【解答】解：（I）设过A（1，0）的直线与圆C相切，显然当直线无斜率时，直线x=1与圆C相切，当直线有斜率时，设切线方程为k0x﹣y﹣k0=0，圆C的半径r=1．则圆心C（2，3）到直线的距离为=1，解得k0=．∵过A且斜率为k的直线l与圆C有两个交点，∴k＞．（II）直线l的方程为y=k（x﹣1），代入圆C的方程得：（1+k2）x2﹣（2k2+6k+4）x+k2+6k+12=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2=，x1+x2=，∴y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2（x1x2﹣x1﹣x2+1）=，∴=x1x2+y1y2==12，解得k=3或k=0（舍），∴l的方程为3x﹣y﹣3=0．故圆心（2，3）在直线l上，∴|MN|=2r=2．∴|MN|=2．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，根据切线的性质得出临界值，判断直线过圆心是关键，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断，（2）根据（1）的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a的范围．【解答】解：（1）f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x=e2x﹣e x a﹣a2x，∴f′（x）=2e2x﹣ae x﹣a2=（2e x+a）（e x﹣a），①当a=0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在R上单调递增，②当a＞0时，e x﹣a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，③当a＜0时，2e x+a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣），当x＜ln（﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞ln（﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，综上所述，当a=0时，f（x）在R上单调递增，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣））上单调递减，在（ln（﹣），+∞）上单调递增，（2）①当a=0时，f（x）=e2x＞0恒成立，②当a＞0时，由（1）可得f（x）min=f（lna）=﹣a2lna≥0，∴lna≤0，∴0＜a≤1，③当a＜0时，由（1）可得：f（x）min=f（ln（﹣））=﹣a2ln（﹣）≥0，∴ln（﹣）≤，∴﹣2≤a＜0，综上所述a的取值范围为[﹣2，1]【点评】本题考查了导数和函数的单调性和函数最值的关系，以及分类讨论的思想，考查了运算能力和化归能力，属于中档题．。
2018学年度高三第三次模拟考试理科数学试题及答案精品
x2
5． 已知实数 x、y 满足约束条件 y 2 ，则 z 2 x 4y 的最大值为 （
）．
xy6
A．24
B
．20
C
．16
D
． 12
6．已知向量 | a | 10,| b | 12 , 且 a b 60 ，则向量 a 与 b 的夹角为（
）
A． 600
B
． 1200
C
．1350
D
．150 0
7．下列命题错误的是（
17. （本小题满分 14 分）
18. （本小题满分 14 分） 1
P
E
D C
O
A
B
19. （本小题满分 14 分）
20. （本小题满分 14 分）
2018-2018 学年度高三第三次模拟考试 ( 理科 ) 数学试题参考答案
一、选择题 : （本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．） 1．D本题主要考察互为共轭复数的概念及复数的乘法运算．
20．（本小题满分 14 分） 设 { an} 是等差数列， {bn} 是各项都为正数的等比数列， 且 a1 b1 1 ，a3 b5 21 ，
a5 b3 13
（Ⅰ）求 { an} ， { bn} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列
an bn
的前 n 项和 Sn ．
2018-2018 学年度高三第三次模拟考试
）
A．命题“若 m 0 ，则方程 x2 x m 0 有实根”的逆否命题为： “若方程
x2 x m 0 无实根，则 m 0 ”。
B．“ x 1 ”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件。
C．命题“若 xy 0 ，则 x, y 中至少有一个为零”的否定是： “若 xy 0，则 x, y 都 不为零”。 D．对于命题 p : x R ，使得 x2 x 1 0 ；则 p 是 : x R ，均有 x2 x 1≥ 0 。
【2018新课标-全国通用】最新高考总复习数学(理)高三第三次模拟检测试题及答案解析
2018届高三第三次模拟考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题纸和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座位号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置．2．答题时，考生需用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ={x ||x -12|≤32}，B ={x |y =lg(4x -x 2)}，则A ∩B 等于 A ．(0，2]B ．[-1，0)C ．[2，4)D ．[1，4)2．若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，那么复数1zi+对应的点位于复平面内的 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知函数f (x )=cos(2x -6π)，若存在a ∈(0，π)，使得f (x +a )=f (x -a )恒成立，则a 的值是 A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S n =n m ，S m =mn(m ≠n )，则S m +n -4的符号是A ．正B ．负C ．非负D ．非正5．从平行六面体的8个顶点中任取5个顶点为顶点，恰好构成四棱锥的概率为A ．17B ．27C ．37D ．676．设f (x )=(1+x )6(1-x )5，则导函数f ′(x )中x 2的系数是(第1题图)A ．0B ．15C ．12D ．-15 7．设直线x +y =1与抛物线y 2=2px (p >0)交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则△OAB的面积为A ．1B ．152C ．5D ．28．某几何体的三视图如图所示，当a +b 取最大值时，这个几何体的体积为A ．16 B ．13 C ．23D ．129．下图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是 A ．n >2 B ．n >3 C ．n >4 D ．n >510．已知双曲线22221x y a b-=(a >0，b >0)，被方向向量为k =(6，6)的直线截得的弦的中点为(4，1)，则该双曲线离心率的值是A ．52B ．62C ．103D ．211．函数f (x )=(x -a )e x 在区间(2，3)内没有极值点，则实数a 的取值范围是A ．(-∞，3]∪[4，+∞)B ．[3，4]C ．(-∞，3]D ．[4，+∞)12．两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的内部，且互相外切，若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切，球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切，则球O 1和O 2的表面积之和的最小值为A ．3(2-3)πB ．4(2-3)πC ．3(2+3)π否(第9题图)输出S是结束开始S =0 ① n =1n =n +1S =(S +n )·n 第8题图D ．4(2+3)π第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必修作答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．6个儿童分坐两行，每行3人面对着做游戏，其中甲、乙二人既不对面，又不相邻的坐法有___________种．(用数字作答)14．△ABC 外接圆的圆心为O ，且2()5AO AB AC =+，则cos ∠BAC =___________．15．如果双曲线x 2-y 2=a 2经过圆(x -3)2+(y -1)2=5的直径AB 的两个端点，则正实数a 的值等于___________． 16．关于x 的不等式2222x bax +-<有唯一整数解x =1，则21b a --的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+． (Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若△ABC 的面积S =3，a =1，求边AC 上的中线BD 的长．18．(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =BC =CA =AA 1=2，侧棱AA 1⊥面ABC ，D 、E 分别是棱A 1B 1，AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF =14AB ．(Ⅰ)求证：EF ∥平面BDC 1；(Ⅱ)求二面角E －BC 1－D 的余弦值．19．(本小题满分12分)(第18题图)已知袋内有标有1～6数字的小球6个，球除标号不同外完全相同，甲、乙两人玩“摸球赢枣”的游戏，由丙做裁判，游戏规定由丙从袋中有放回的摸三次球，记第1、2、3次摸到的球的标号分别为a ，b ，c ，然后将所得的数代入函数f (x )=ax 2+bx +c ，若所得到的函数无零点，则甲输一个枣给乙，若所得到的函数有零点，则乙输四个枣给甲．(Ⅰ)记函数的零点的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；(Ⅱ)根据两人得枣的数学期望，该游戏公平吗？若不公平，谁吃亏？20．(本小题满分12分)如图，椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的离心率e =35，左焦点为F ，A ，B ，C为其三个顶点，直线CF 与AB 交于点D ，若△ADC 的面积为15． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)是否存在分别以AD ，AC 为弦的两个相外切的等圆？ 若存在，求出这两个圆的圆心坐标；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )=a ln x +x 2(a 为实数)．(Ⅰ)求函数f (x )在区间[1，e ]上的最小值及相应的x 值；(Ⅱ)若存在x ∈[1，e ]，使得f (x )≤(a +2)x 成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲设AB 为圆O 的直径，AB =10．E 为线段AO 上一点，OE =17AB ．过E 作一直线交圆O 于C ，D 两点，使得∠CEA =45°．试求CE 2+ED 2的值．23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程．设直线l 的参数方程为35sin 26cos6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 轴为极轴，选择相同的长度单位建立极(第20题图) DC EA OB（第22题图）坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ=26cos sin θθ． (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； (Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |．24．(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲若实数a ，b 满足ab >0，且a 2b =4，若a +b ≥m 恒成立． (Ⅰ)求m 的最大值；(Ⅱ)若2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围．理科数学参考答案一、选择题1．A 解析：∵A =[-1，2]，B =(0，4)，则A ∩B =(0，2]．故选A ．2．D 解析：由图知，z =2+i ，∴221311121122z i i i i i i i i ++-==⋅=-+-+-，则对应的点位于复平面内的第四象限．故选D ．3．D 解析：依题意可得，2x +2a -6π=2x -2a -6π+2k π(k ∈Z )，∴a =2k π(k ∈Z )，∵a ∈(0，π)，∴a =2π．故选D ． 4．A解析：∵S n =na 1+(1)2n n -d =n m ，S m =ma 1+(1)2m m -d =m n，解得d =2mn ，a 1=1mn． ∵故S m +n -4=(m +n )a 1+()(1)2m n m n ++-d -4=2()m n mn->0(∵m ≠n )．故选A ．5．D 解析：四棱锥的底面可由6个侧面和6个对角面构成，每个底面对应4个四棱锥，故所求概率为P =5812467C ⨯=．故选D ． 6．D解析：计算f ′(x )中x 2的系数较麻烦，只需计算f (x )中x 3的系数．f (x )=(1+x )(1-x 2)5=(1-x 2)5+x (1-x 2)5，x 3的系数为0-15C =-5，∴含x 3的项为-5x 3，故函数f ′(x )中x 2的系数是-15．故选D ．7．B 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由x +y =1与抛物线y 2=2px ，得y 2+2py -2p =0，解得y 1=-p +22p p +，x 1=1+p -22p p +，y 2=-p -22p p +，x 2=1+p +22p p +，由OA ⊥OB 得，x 1x 2+y 1y 2=0，即[(1+p )2-(p 2+2p )]+[p 2-(p 2+2p )]=0，化简得2p =1，从而A (352-，152-+)，B (352+，152--)，OA 2=x 12+y 12=5-25， OB 2=x 22+y 22=5+25，△OAB 的面积S =12|OQ ||OB |=152．故选B ．8．D 解析：由三视图知这个几何体是一个三棱锥P —ABC ，其中PA ⊥面ABC ，AB =1，PB =a ，BC =b ，PC =6，∠BAC =90°，设PA =x ，AC =y ，则2222221,1,6.x a y b x y ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩⇒a 2+b 2=8， 由2222a b a b ++≤=4知当a =b =2时a +b 取最大值，此时x =y =3，故三棱锥P —ABC 的体积V =111322xy ⨯=．故选D ．9．B 解析：由框图的顺序，s =0，n =1，s =(s +n )n =(0+1)×1=1；n =2，依次循环s =(1+2)×2=6，n =3；注意此刻3>3仍然是“否”，所以还要循环一次s =(6+3)×3=27，n =4，此刻输出s =27．故选B ．10．A 解析：点差得，1212121222()()()()x x x x y y y y a b +-+--=0，即224ka b-=0，∴2214b a =，e 2=1+2254b a =．故选A ． 11．A 解析：f ′(x )=(x +1-a )e x ，依题意，x +1-a ≥0或x +1-a ≤0区间(2，3)内恒成立，∴a ≤3或a ≥4．故选A ． 12．A 解析：∵AO 1=3R 1，C 1O 2=3R 2，O 1O 2=R 1+R 2，∴(3+1)(R 1+R 2)=3，R 1+R 2=331+，球O 1和O 2的表面积之和为4π(R 12+R 22)≥4π ·2(122R R +)2= 2π(R 1+R 2)2=3(2-3)π．故选A ．二、填空题13．384 解析：由于甲、乙是特殊元素，可先安排甲、乙，分两种情况：(1)甲坐两端，可从四个位中选一个坐下，有14A 种，由于乙不与甲坐对面和相邻，在其他3个位中选一个坐下有13A 种，其余4人有44A 种，此类有114434A A A 种方法．(2)甲在中间两个位上找一个位子坐下，有12A 种，乙应在其他两个位上找一个位子坐下有12A 种，其余4人有44A 种坐法．此类坐法有114224A A A 种．所以满足条件的坐法共有114114434224A A A A A A +=384(种)．故填384．14．14 解析：设BC 边中点为M ，则2AB AC AM +=，由题设45AO AM =， ∴A 、O 、M 共线，且AO =4OM ，而∠BOM =2∠BAM ，∴∠BOM =∠BAC ， 即cos ∠BAC =14OM OM OB OA ==．故填14． 15．1+2 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入双曲线方程作差得(x 1+x 2)(x 1-x 2)=(y 1+y 2)(y 1-y 2)，∵x 1+x 2=6，y 1+y 2=2，1212y y x x --=3，∴AB 的方程为y =3x -8，与圆方程联立得10(x -3)2=5，∴(x -3)2=12，∴a 2=(x +y )(x -y )=(4x -8)(8-2x )=8-8(x -3)2=4．a =2．故填2．16．(14，1) 解析：∵2222x b ax +-<⇔x 2+ax +2b <0，依题意方程x 2+ax +2b =0只有唯一的整数解x =1，∴方程x 2+ax +2b =0一根在[0，1)内，另一根在(1，2]内，即函数f (x )=x 2+ax +2b 的图象与x 轴在[0，1)和(1，2]内各有一个交点．∴(0)00(1)0210(2)020f b f a b f a b ≥≥⎧⎧⎪⎪<⇒++<⎨⎨⎪⎪≥++≥⎩⎩，作出可行域，如图所示： ∵21b a --为可行域内的点(a ，b )与定点P (1，2)的连线的斜率，由图可知，k PA <21b a --<k PB ，其中点A (-3，1)，B (-1，0)， ∴k PA =14，k PB =1，故21b a --的取值范围是(14，1)．三、解答题17．(Ⅰ)解：由cos sin cos 2sin sin B BC A C=-+⇒2sin A cos B +sin(B +C )=0， ……………………2分 即2sin A cos B +sin A =0，…………………………………………………………………4分而sin A≠，∴cos B =-12，B =23π．……………………………………………………6分 (Ⅱ)解：因S =12ac sin B ，又S =3，a =1，sin B =32，则c =4．……………………8分解法一：由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B，得b =21，………………………………10分由cosC=222222()2222ba BD abc b ab a +-+-=⋅，得2211121164212121BD +-+-=⨯⨯， 解得BD =132．………………………………………………………………………12分 解法二：作AE 平行于BC ，并延长BD 交AE 于E ，在△ABE 中，∠BAE =3π，AB =4，AE =1，且BD =12BE ， 又BE 2=AB 2+AE 2-2AB ·AE cos A ，即BE 2=16+1-2×4×1×12=13，这样BD =12BE =132．………………………………12分18．(Ⅰ)证明(证法一)：设O 为AB 的中点，连结A 1O ，∵AF =14AB ，O 为AB 的中点，∴F 为AO 的中点，又E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1O ．又∵D 为A 1B 1的中点，O 为AB 的中点，∴A 1D =OB ． 又A 1D ∥OB ，∴四边形A 1DBO 为平行四边形． ∴A 1O ∥BD ．又EF ∥A 1O ，∴EF ∥BD ． 又EF ⊄平面DBC 1，BD ⊂平面DBC 1． ∴EF ∥平面DBC 1．…………………6分(证法二)建立如图所示的坐标系．(坐标系建立仅为参考)O(第18题解图1)∵AB=BC=CA=AA1=2，D、E分别为A1B1、AA1的中点，AF=14AB．E(-1，0，1)，F(-12，0，0)，B(1，0，0)，D(0，0，2)，C1(0，3，2)．设平面DBC1的法向量为n=(x，y，z)．EF=(12，0，-1)，BD=(-1，0，2)，1BC=(-1，3，2)．BD·n=-x+2z=0，1BC·n=-x+3y+2z=0，令z=1，则y=0，x=2，∴n=(2，0，1)．EF·n=12×2+0×0+(-1)×1=0，∴EF⊥n．又EF⊄平面BDC1，∴EF∥平面BDC1．……………6分(Ⅱ)解：设平面EBC1的法向量为m=(x，y，z)．BE=(-2，0，1)，1BC=(-1，3，2)．BE·m=-2x+z=0，1BC·n=-x+3y+2z=0，令x=1，则z=2，y=-3，∴m=(1，-3，2)．cos< m，n >=|12(3)02110 |||5225⋅⨯+-⨯+⨯==⨯m nm n||．∴二面角E－BC1－D的余弦值为105．……………………………………………12分19．(Ⅰ)解：ξ的可能取值为0，1，2．f(x)=ax2+bx+c的判别式∆=b2-4ac，当∆=0时，b为偶数，b=2时，a=1，c=1；b=4时，a=1，c=4或a=2，c=2或a=4，c=1；b=6时，a=3，c=3，∴P(ξ=1)=5216．…………………………………………………4分当∆≥0时，有b≥3，b=3时，ac≤2，有3种；b=4时，ac≤4，有9种；b=5时，ac≤6，有14种；b=6时，ac≤9，有17种，共计43种．∴ξ=1的情形有43-5=38种，∴P(ξ=2)=38 216．P(ξ=0)=1-P(ξ=1)-P(ξ=2)=173216．…………………………………………………………6分∴ξ的分布列为：ξ0 1 2xyoz(第18题解图2)P173216521638216数学期望Eξ=1735388130122162162162168⨯+⨯+⨯==．…………………………………8分(Ⅱ)甲得枣的数学期望是43173141216216216⨯-⨯=-，…………………………………10分乙得枣的数学期望是17343114216216216⨯-⨯=．………………………………………11分∴该游戏不公平，甲吃亏．……………………………………………………………12分20．(Ⅰ)解：设左焦点F的坐标为(-c，0)，其中c=22a b-，∵e=35ca=，∴a=53c，b=43c．·1分∴A(0，43c)，B(-53c，0)，C(0，-43c)，·2分∴AB：33154x yc c-+=，CF：314x yc c--=，·3分联立解得D点的坐标为(-54c，13c)．·4分∵△ADC的面积为15，∴12|x D|·|AC|=15，即12·54c·2·43c=15，解得c=3，∴a=5，b=4，∴椭圆C的方程为221 2516x y+=．·6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，A点的坐标为(0，4)，D点的坐标为(-154，1)．·7分假设存在这样的两个圆M与圆N，其中AD是圆M的弦，AC是圆N的弦，则点M在线段AD的垂直平分线上，点N在线段AC的垂直平分线y=0上．·8分当圆M和圆N是两个相外切的等圆时，一定有A，M，N在一条直线上，且AM=AN．∴M、N关于点A对称，设M(x1，y1)，则N(-x1，8-y1)，·9分根据点N在直线y=0上，∴y1=8．∴M(x1，8)，N(-x1，0)，而点M在线段AD的垂直平分线y-52=-54(x+158)上，可求得x1=-25140．·10分故存在这样的两个圆，且这两个圆的圆心坐标分别为M (-25140，8)，N (25140，0)．·12分 21．(Ⅰ)解：f (x )=a ln x +x 2的定义域为(0，+∞)，f ′(x )=ax +2x =22x a x+．·1分当x ∈[1，e ]时，2x 2∈[2，2e 2]．·2分若a ≥-2，f ′(x )在[1，e ]上非负(仅当a =-2，x =-1时，f ′(x )=0)， 故f (x )在[1，e ]上单调递增，此时f (x )min =f (1)=1；·3分若-2e 2<a <-2，令f ′(x )<0，解得1≤x <2a-，此时f (x )单调递减； 令f ′(x )>0，解得2a-<x ≤e ，此时f (x )单调递增， ∴f (x )min =f (2a -)=ln()222a a a --；·4分 若a ≤-2e 2，f ′(x )在[1，e ]上非正(仅当a =-2e 2，x =e 时，f ′(x )=0)，故f (x )在[1，e ]上单调递减，此时f (x )min =f (e )=a +e 2．·5分综上所述，得a ≥-2时，f (x )min =1，相应的x =1；当-2e 2<a <-2时，f (x )min =ln()222a a a--，相应的x =2a -；当a ≤-2e 2时，f (x )min =a +e 2，相应的x =e ．·6分(Ⅱ)解：不等式f (x )≤(a +2)x 可化为a (x -ln x )≥x 2-2x ．∵x ∈[1，e ]，∴ln x ≤1≤x 且等号不能同时成立，∴ln x <x ，即x -ln x >0，·8分因而a ≥22ln x x x x --，x ∈[1，e ]，令g (x )=22ln x x x x--(x ∈[1，e ])，则g ′(x )=2(1)(22ln )(ln )x x x x x -+--，当x ∈[1，e ]时，x -1≥0，ln x ≤1，x +2-2ln x >0，·10分从而g ′(x )≥0(仅当x =1时取等号)，∴g (x )在[1，e ]上是增函数， 故g (x )min =g (1)=-1，∴实数a 的取值范围是[-1，+∞)．·12分22．解：∵AB =10，OE =17AB ．作OH ⊥CD 于H ，则OH =12OE ，CD =222OC OH -=22249AB AB -=477AB ．·5分由相交弦定理知CE ·ED =AE ·EB =(12AB -17AB )(12AB +17AB )=45196AB 2．∴CE 2+ED 2=(CE +ED )2-2CE ·ED =4749AB 2-4598AB 2=12AB 2=50．·10分 23．(Ⅰ)解：由ρ=26cos sin θθ得ρsin 2θ=6cos θ，ρ2sin 2θ=6ρcos θ，∴y 2=6x ．∴曲线C 表示顶点在原点，焦点在x 上的抛物线．·5分(Ⅱ)解：将35sin 26cos 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为312232x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入y 2=6x 得t 2-4t -12=0(*)，|AB |=|t 1-t 2|=222112()444(12)t t t t +-=-⨯-=8．·10分 或由(*)式解得t 1=6，t 2=-2，|AB |=|t 1-t 2|=8．或将直线方程化为直角坐标方程用弦长公式求解均可．24．(Ⅰ)解：由题设可得b =24a >0，∴a >0．∴a +b =a +24a =2422a a a++≥3，当a =2，b =1时，a +b 取得最小值3，∴m 的最大值为3．·5分(Ⅱ)解：要使2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，须且只须2|x -1|+|x |≤3．用零点区分法求得实数x 的取值范围是-13≤x ≤53．·10分。
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2017年秋季高三年级第一次周练习(理科数学)
陈文彬
1.设函数()f x 可导，则 ）
A. ()1f '
B. D. ()31f -' 2.已知函数()x f y =对任意的⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈2,2ππx 满足0sin )(cos )(>+'x x f x x f (其中)(x f '是函数()x f 的导数),则下列不等式成立的是( ) A.)4()3(2ππ-<-f f B.)4()3(2ππf f < C.)3(2)0(πf f > D.)4(2)0(π
f f > 3.在区间[]
3,3-的图象大致为（ ）
A.
B. C. D.
4.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2322f x x xf =+'，则()3f '=_______．
5.设dx x x a )sin cos (0-=⎰π
，则二项式6
1⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a 的展开式中含2x 项的系数为__________．
6.已知函数32
()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：
（Ⅰ）0x 的值；
（Ⅱ）,,a b c 的值.
7.设函数()x a x x f ln 2-=.
(1)求函数()x f 的极值;
(2)若关于x 的方程()()c x a x f +-=2有两个不想等的实数根21,x x ,求证:2)2(
21->+'a x x f .
8.，()ln g x e x =. （Ⅰ）设函数()()()F x f x g x =-，求()F x 的单调区间并求最小值；
（Ⅱ）若存在常数k ，m ，使得()f x kx m
≥+对x R ∈恒成立，且()g x kx m ≤+对()0,x ∈+∞恒成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”，
试问：()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
2017年秋季数学第一次周练试卷(理科数学)参考答案
陈文彬
1.C
2.A
3.A
4.-6
5.192
6.解：(Ⅰ)由图象可知，在(-∝,1)上f '(x)＞0,在(1,2)上f '(x)＜0.
在(2,+∝)上f '(x)＞0.
故f(x)在(-∝,1),(2,+∝)上递增，在(1,2)上递减.
因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x 0=1.
(Ⅱ)f '(x)=3ax 2
+2bx+c, 由f '(1)=0,f '(2)=0,f(1)=5, 得⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++=++.5,0412,023c b a c b a c b a 解得a=2,b=－9,c=12
7.(1)当22a x =
时,函数()x f 有极小值为2
2ln 2a a a -,无极大值; (2)略
8.
，()0,x ∈+∞， 时，()'0F x <，所以()F x 在 时，(
)'0F x >，所以()F x 在
，则()f x 与()g x 在
则()f x 与()g x 存在分界线，则其必然过 对x R ∈恒成立，。