人教版初三数学上册二次函数顶点式

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人教版九年级数学上册二次函数的图像与性质

增减性：【a>0】 x<0，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小 X>0，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
【a<0】 x<0，即在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 X>0，即在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
ax2 a<0
图像与性质 (y=ax2)
y ax2
x O a>0
y O
x
二次函数
最值：【a>0】二次函数有最小值，即当x=0时，y最小值=0，此时最低点为（0，0）
）
A．-6 或1 B.-3或2 或-1 或-2
【练习1】已知二次函数y=7x2+13x+9,求此二次函数图象的顶点坐标__________ _
二次函数
图像与性质一般式
【练习2】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1. 以下四个判断：①b2>4ac；②4a-2b+c<0；③不等式 ax2+bx+c>0的解集是x>2；④若（ -1 ，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2。其中正确的是（）
x>-b/2a，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数有最大值，即当x=0时，y最大值=0，此时最高点为（0，0）
x<0，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小
对称轴：直线x=h(y轴)
【练习】已知函数y=（m﹣2）xm2+m-4 ﹣2是关于x的二次函数，则m=_____．
x=h
a<0
图像与性质
y x=h
x O a>0

二次函数顶点公式二次函数顶点公式的求法

二次函数顶点公式二次函数顶点公式的求法二次函数顶点公式大家知道吗？这个公式又是怎么求出来的？想了解的小伙伴看过来，下面由小编为你精心准备了“二次函数顶点公式二次函数顶点公式的求法”仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯!二次函数顶点公式二次函数顶点公式二次函数顶点公式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最大(小)值=k。

二次函数顶点式二次函数顶点公式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最大(小)值=k。

具体情况当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到;当h<0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位得到;当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象;当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。

二次函数顶点公式的求法二次函数的顶点式方程可以通过配方法求出假设这个二次函数的普通表达式是：y=ax²+bx+c，(a≠0)进行配方，方法如下：1、提出系数a，y=a(x²+bx/a)+c;2、配方，配一次项系数的一半的平方，y=a(x²+bx/a+b²/4a²)+c-b²/4a;3、化简，y=a[x+b/(2a)]²-(b²-4ac)/(4a);，对称轴是c=-b/(2a)，顶点坐标是：(-b/(2a)，-(b²-4ac)/(4a));二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c(a≠0)。

九年级数学上册第二十二章二次函数知识点总结(新版)新人教版

九年级数学上册：第22章二次函数知识点归纳及相关典型题第一部分基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①2axy =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧，“左同右异”.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121中考回顾1.(2017天津中考)已知抛物线y=x 2-4x+3与x 轴相交于点A ,B (点A 在点B 左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M 平移后的对应点M'落在x 轴上,点B 平移后的对应点B'落在y 轴上,则平移后的抛物线解析式为( A )A.y=x 2+2x+1B.y=x 2+2x-1C.y=x 2-2x+1D.y=x 2-2x-12.(2017四川成都中考)在平面直角坐标系xOy 中,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,下列说法正确的是( B )A. abc<0, b 2-4ac>0B. abc>0, b 2-4ac>0C. abc<0, b 2-4ac<0D. abc>0, b 2-4ac<03.(2017内蒙古赤峰中考)如果关于x 的方程x 2-4x+2m=0有两个不相等的实数根,那么m 的取值范围是 m<2 .4.(2017内蒙古赤峰中考)如图,二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于点D ,点B 的坐标为(3,0),顶点C 的坐标为(1,4).备用图(1)求二次函数的解析式和直线BD 的解析式;(2)点P 是直线BD 上的一个动点,过点P 作x 轴的垂线,交抛物线于点M ,当点P 在第一象限时,求线段PM 长度的最大值;(3)在抛物线上是否存在异于B ,D 的点Q ,使△BDQ 中BD 边上的高为2,若存在求出点Q 的坐标;若不存在请说明理由.解:(1)设二次函数的解析式为y=a (x-1)2+4.∵点B (3,0)在该二次函数的图象上, ∴0=a (3-1)2+4,解得:a=-1.∴二次函数的解析式为y=-x 2+2x+3.∵点D 在y 轴上,所以可令x=0,解得:y=3. ∴点D 的坐标为(0,3).设直线BD 的解析式为y=kx+3,把(3,0)代入得3k+3=0,解得:k=-1. ∴直线BD 的解析式为y=-x+3.（2）设点P 的横坐标为m (m>0), 则P (m ,-m+3), M (m ,-m 2+2m+3),PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-, PM最大值为(3)如图,过点Q作QG∥y轴交BD于点G,作QH⊥BD于点H,则QH=2设Q(x,-x2+2x+3),则G(x,-x+3),QG=|-x2+2x+3-(-x+3)|=|-x2+3x|.∵△DOB是等腰直角三角形,∴∠3=45°,∴∠2=∠1=45°.∴sin∠1=,∴QG=4.得|-x2+3x|=4,当-x2+3x=4时,Δ=9-16<0,方程无实数根.当-x2+3x=-4时,解得:x1=-1,x2=4,Q1(4,-5),Q2(-1,0).模拟预测1.已知二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是(D)A.k<3B.k<3,且k≠0C.k≤3D.k≤3,且k≠02.若点M(-2,y1),N(-1,y2),P(8,y3)在抛物线y=-x2+2x上,则下列结论正确的是(C)A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y1<y3<y2解:x=-2时,y1=-x2+2x=-(-2)2+2×(-2)=-2-4=-6,x=-1时,y2=-x2+2x=-(-1)2+2×(-1)=--2=-2,x=8时,y3=-x2+2x=-82+2×8=-32+16=-16.∵-16<-6<-2,∴y3<y1<y2.故选C.3.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1·x2=3,则二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象有可能是()解析:∵x1+x2=4,∴-=4.∴二次函数的对称轴为x=-=2.∵x1·x2=3,=3.当a>0时,c>0,∴二次函数图象交于y轴的正半轴.4.小明在用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格:x…-2 -1 0 1 2 …y…-6-4 -2-2 -2…根据表格中的信息回答问题:该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时,y=-4.5.若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为k=0或k=-1.6.抛物线y=-x2+bx+c的图象如图,若将其向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则平移后的解析式为.解析:由题中图象可知,对称轴x=1, 所以- =1,即b=2.把点(3,0)代入y=-x2+2x+c,得c=3.故原图象的解析式为y=-x2+2x+3,即y=-(x-1)2+4,然后向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得y=-(x-1+2)2+4-3,即y=-x2-2x. 答案:y=-x2-2x7.如图①,若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合),我们把这样的两抛物线L1,L2互称为“友好”抛物线,可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条.(1)如图②,已知抛物线L3:y=2x2-8x+4与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标;(2)请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式,并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围;(3)若抛物线y=a1(x-m)2+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a2(x-h)2+k,请写出a1与a2的关系式,并说明理由.解:(1)∵抛物线L3:y=2x2-8x+4,∴y=2(x-2)2-4.∴顶点为(2,-4),对称轴为x=2,设x=0,则y=4,∴C(0,4).∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为(4,4).(2)∵以点D(4,4)为顶点的L3的友好抛物线L4还过点(2,-4),∴L4的解析式为y=-2(x-4)2+4.∴L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是2≤x≤4.(3)a1=-a2,理由如下:∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上,∴可以列出两个方程由①+②,得(a1+a2)(m-h)2=0,∴a1=-a2.。

九年级数学二次函数顶点公式

二次函数顶点公式对于二次函数y=ax^2+bx+c其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]其中x1，2= -b±√b^2－4ac顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a= （x₁+x₂）/2 k=(4ac-b^2)/4a 与x轴交点：x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a抛物线y=ax²+bx+c 的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；(2)当△=b²-4ac>0，图象与x轴交于两点A( ,0)和B( ,0)，其中的 , 是一元二次方程y=ax²+bx+c(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=| - |.当△=0,图象与x轴只有一个交点；当△<0,图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)．(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)．(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．二次函数顶点坐标公式及推导过程二次函数顶点式及推导过程二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)推导过程：y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a)y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4ay=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)2二次函数的其他表达式交点式[仅限于与x轴即y=0有交点时抛物线，即b2-4ac≥0] a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。

人教版初三数学上册用配方法求二次函数的顶点坐标

出它的开口方向、对称轴和顶点坐标。 • 【学习重点】
运用配方法把二次函数一般式化为顶点式。 • 【学习难点】
当二次项系数不是正负1时，配方法的运用技巧。
知识回顾
一、完全平方公式：
a2 ±2ab +b2= ( a±b) 2
x2 6x (__3_2 _) (_x__3_)2
2 x 3
(x+3)2=25
系数化为1：x2+3x－8=0
x+3= 25
x=±5-3 x1=+5-3=2 x2=-5-3=-8
知识回顾
《学考精练》P6：10、用配方法证明：2x2－4x+7的值恒大于0.
解： 2 x 2 4 x 7
2( x 2 2 x 7 ) 2
2( x 2 2 x 1 1 7 ) 2
2x2 12x (_____) 2(____)2
2( x2 6x __3_2 _) 2(__x___3_)2
知识回顾
二、用配方法解一元二次方程:
x2+6x－16=0
如果是2x2+6x－16=0呢？
解：x2+6x =16
x2+6x+

6 2
2
=16+

6
2

2
2( x 2 2 x 1 5 ) 2

2x
12

5 2
2x 12 5 0 所以2x2－4x+7的值恒大于0.
知识总结
给出二次函数的一般式如何求顶点坐标？
(1)提公因式：提取二次项系数 (2)配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方 (3)整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项 (4)化简:去掉中括号

人教版数学九年级上册优质课课件《二次函数的顶点式》

与y=-3x² 有关哟
开口向下, 当x=1时y有最大值:且对称轴仍是平行于y轴的直线最大值= 2 (x=1);增减性与y= -3x2类似. (或最大值=-2).
二次函数y=a(x-h)² +k与y=ax² 的关系
一般地,由y=ax² 的图象便可得到二次函数y=a(x-h)² +k 的图象:y=a(x-h)² +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下) 平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的. 因此,二次函数y=a(x-h)² +k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关. 抛物线y=a(x-h)² +k有如下特点：（1）当a＞0时，开口向上;当a＜0时，开口向下；（2）对称轴是直线x=h；（3）顶点坐标是（h，k）。
y
y 3x 1 2
2
y 3x 2
y 3x 1
2 2
二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后得到的.
y 3x 1 2
X=1
y
解：如图建立直角坐标系，点（1、3）是顶点，设抛物线的解析式为 Y=a（x-1）² +3 （0≤x≤3）点（3、0）在抛物线上，所以有 0=a（3-1）² +3 ∴ a=-¾ 点（1、3） ∴ y=-¾（x-1）² +3 （0≤x≤3）是顶点，知当x=0时，y=2.25，道h=1，即水管应长2.25m。 k=3，求出 a就好啦!

九年级上册数学知识点二次函数

九年级上册数学知识点二次函数
九年级上册数学的知识点二次函数包括以下内容：
1. 二次函数的定义：二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。

2. 二次函数的图像特征：二次函数的图像一般是一个开口朝上或朝下的抛物线。

当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。

3. 二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点（对于开口朝上的抛物线）或
最高点（对于开口朝下的抛物线）。

顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = f(-
b/2a)。

4. 二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是经过顶点且与抛物线垂直的直线。

对称轴
的方程为x = -b/2a。

5. 二次函数的零点：二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点，即使得f(x) = 0的
x值。

二次函数一般有两个零点。

6. 二次函数的判别式：二次函数的判别式是b^2 - 4ac。

判别式的值决定了二次函数
的图像与x轴的相交情况：当判别式为正时，函数图像与x轴有两个交点，即有两个
不同的实数根；当判别式为零时，函数图像与x轴有一个交点，即有一个重根；当判
别式为负时，函数图像与x轴没有交点，即无实数根。

7. 二次函数的求解：用二次函数的零点和其他已知条件可以求得函数的具体表达式。

可以通过配方法、因式分解、公式法等来求解二次函数。

这些是九年级上册数学中关于二次函数的主要知识点，了解并掌握这些内容可以帮助你正确理解和应用二次函数。

九年级上册数学二次函数知识点汇总

新人教版九年级上二次函数知识点总结知识点一：二次函数的定义1．二次函数的定义：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．知识点二：二次函数的图象与性质⇒2. 二次函数()2=-+的图象与性质y a x h k（1）二次函数基本形式2=的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小y ax（2）2=+的图象与性质：上加下减y ax c（3）()2y a x h =-的图象与性质：左加右减（4）二次函数()2y a x h k =-+的图象与性质3. 二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．（2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．4. 二次函数常见方法指导（1）二次函数2y ax bx c =++图象的画法 ①画精确图五点绘图法（列表-描点-连线）利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.②画草图抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y 轴的交点，顶点. （2）二次函数图象的平移平移步骤：① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 可以由抛物线2ax 经过适当的平移得到具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．（3）用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式：.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.③交点式：.已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点式.（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. （5）抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样. ②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故如果0=b 时，对称轴为y 轴；如果0>a b（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；如果0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置当0=x 时，c y =，所以抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ），故如果0=c ，抛物线经过原点；如果0>c ,与y 轴交于正半轴；如果0<c ,与y 轴交于负半轴.知识点三：二次函数与一元二次方程的关系5.函数c bx ax y ++=2，当0y =时，得到一元二次方程20ax bx c ++=，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,)c .（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组2y kx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121知识点四：利用二次函数解决实际问题7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.。

数学人教版九年级上册顶点式

不同．置______
(2)把抛物线 y＝ax2 向左或向右平移|h|个单位，再向上或向下平移|k|个单位，即可以得到抛物线 y＝a(x－h)2＋k. (3)抛物线 y＝a(x－h)2＋k 的特点：
a 的符号 a>0 a<0
开口方向向上向下
对称轴 x＝h
顶点坐标 (h，k)
有最高或最低点有最低点有最高点
x 为何值时，y<0.
1 2 1 解：(1)将 y＝2x ＋2x＋1 配方，得 y＝2(x＋2)2－1.
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为(－2，－1)，
对称轴是 x＝－2.
1 ∵a＝2>0，图象有最低点，
∴当 x＝－2 时，y最小值＝－1.
(2)令 x＝0，则 y＝1.∴抛物线与 y 轴交于点(0,1)． 1 2 令 y＝0，则2x ＋2x＋1＝0.
解得 x1＝－2－ 2，x2＝－2＋ 2. ∴抛物线与 x 轴交于点(－2－ 2，0)或点(－2＋ 2，0)．
(3)草图如图 D3.
图 D3
(4)由图象可知：当 x≤－2 时，y 随 x 增大而减小；当 x≥－2 时，y 随 x 增大而增大．
(5)由图象可知：当 x<－2－ 2或 x>－2＋ 2时，y>0；当 x＝－2－ 2或 x＝－2＋ 2时，y＝0；当－2－ 2<x<－2＋ 2时，y<0.
2.二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象配方 (1)求其顶与对称轴的常用方法：__________.
2 ＋k y ＝ a ( x － h ) (2)通过变形可将其转化为_______________的形式． 2 4 ac － b b b 直线 x ＝－－2a， 4a ． (3)对称轴是____________ 2a ，顶点坐标是______________

人教版初三数学上册二次函数的顶点式图像与性质

2.通过以上的作图，我们可以总结出函数y=a(x－h)2+k（a≠0）的图像：
（1）当a＞0时，开口，当a＜0时，开口。
（2）顶点坐标为，对称轴为。
（3）当h＞0，k＞0时，抛物线y=a(x－h)2+k可看成由抛物线y=ax2向平移个单位，再向平移个单位得到的。
三、例题
例1、指出下列函数的开口方向，对称轴，顶点坐标，并说明是由哪个抛物线通过怎么样的平移得到的？
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2x2
y=2（x－用描点法在同一坐标系中画出y=﹣ x2. y=﹣ x2-1，y=﹣ （x+1）2－1的图像
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y=﹣ x2
…
…
y=﹣ x2-1
…
…
y=﹣ （x+1）2－1
…
…
通过图像可知：抛物线y=﹣ （x+1）2－1的开口，顶点坐标为，对称轴为，它可以看成把抛物线y=﹣ x2向平移个单位，再向平移个单位得到。
授课标题
二次函数顶点式图像性质
学习目标
会用描点法画出二次函数顶点式的图像，能结合图像确定抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标及其性质
重点难点
能确定抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标及其性质
授课内容
一、回顾
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=－0.5x2
开口向下
y=－0.5x2＋1
y=－0.5x2－1
抛物线
（1）y=2（x+3）2+5（2）y=﹣3(x－1)2－2
四、练习
1、对称轴是直线x=-2的抛物线是（）

人教版数学九年级上册第二十二章二次函数

第二十二章二次函数满招损，谦受益。

《尚书》怀辰学校陈海峰组长二次函数及其图象二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

二次函数可以表示为y=ax2+bx+c(a不为0)。

其图象是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，(b2-4ac)/4a) ；顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)或y=a(x-h)２+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（h，k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图象的开口方向与函数ｙ＝ax２的图象相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；交点式y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] ；重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。

a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的平方的图象，可以看出，二次函数的图象是一条永无止境的抛物线。

不同的二次函数图象如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。

轴对称1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）顶点2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。

开口3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

决定对称轴位置的因素4.一次项系数b和次项系数a共同决定对称轴的位置。

人教版九年级数学上册《二次函数顶点式的图像和性质》PPT

前几节课我们学习了哪几种类型的二次函数？
y ax2、
y ax2 k、 y a(x h)2
研究了它们的图象和性质
说出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点
抛物线 y 1 x2
2 y 1 x2 1
2 y 1 (x 2)2
2
开口方向对称轴顶点
向下 y轴 0, 0
向下 y轴 0, 1
A．y x 2 2 B．y x 2 2 6
C．y x2 6 D．y x2
5、已知点A 2, y1 、B 3, y2 在抛物线y x 12 1上，
则 y1
y2 (填“ ”、“ ”、“ ”)
若点A 3, y1 、B 2, y2 在抛物线y x 12 1上，
1抛物线y a(x h)2 k与y ax2
形状相同，位置不同，
2抛物线y ax2经过向上（或向下），
向左（或向右），平移，可以得到
抛物线y a(x h)2 k. 平移的方向、距离由h、k决定
1.抛物线y 5( x 2)2 6的开口方向、对称轴、顶点，下列选项正确的是（）
向下直线x 2 2, 0
y 1 (x 2)2 1 向下直线x 2 2, 1 2
不画图象，类比说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点
抛物线
开口方向对称轴
顶点
y 1 (x 2)2 2
1
向下直线x 2
2, 1
y
1 ( x 2)2 2
1
向上直线x 2 2,1
2
抛物线
开口方向对称轴顶点
平移方法1:
y 1 x2 向下平移 y 1 x2 1 向右平移y 1 (x 2)2 1
2 1个单位
2
2个单位 2

新人教版九年级数学上册二次函数解析式的三种形式

个二次函数的关系式。
2. （选做）已知：抛物线在x轴上所截线段为长度为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式.
汇报结束
谢谢大家! 请各位批评指正
下列这三题只给出图象，看看谁先做出（只要求列式）：
(1)的图象如图1示,求此函数解析式. (2)二次函数的图象如图2示，求此函数解析式. (3)某抛物线如图3示，求此抛物线的解析式.
ya2xbxc
y
ya2 xbxc
y
ya2 xbxc
y
1 0
-1 2
3x
3
-2 图1
11
-1 1
1 0
x
2 1 0 11 2 x
例4.图象经过A（1，0）、B（0，-3），且对称轴是直线x=2 ，求这个二次函数的关系式
解：∵A(1，0)，对称轴为x=2
∴抛物线与x轴另一个交点C应为（3，0） ∴设其解析式为y=a(x-1)(x-3)
∵B（0，-3）
∴-3 = a(0-1)(0-3) ∴a= -1
∴y= -(x-1)(x-3)= -x2+4x-3
新人教版九年级数学上册二次函数解析式的三种形式
二次函数的三种解析式
1.一般式 y=ax2+bx+c(a≠0） 2.顶点式 y=a(x-h)2+k
其中点(h, k)为顶点，对称轴为x=h。
3.交点式 y=a(x-x1)(x-x2)
其中x1 , x2 是抛物线与x轴的交点的横坐标。
一般式y=ax2+bx+c(a≠0）
例3、已知抛物线与x轴交于点 A （－1，0），B（2,0）并经过点 M(0,1），求抛物线的解析式。
解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-2)

人教版九年级上册22.1 二次函数(第5课时)顶点式(20张PPT)

对称轴
2
解: 列表
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y 1 (x 1)2 1 2
…
-5.5
描点、连线
抛物线 y 1 (x 1)2 1 开口向下, 2
对称轴是直线x=－1,
-3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
平移规律
左右平移 y = ax2 + k
y = a( x - h )2 + k 上下平移
简记为：上下平移，括号外上加下减；
y = a(x - h )2 左右平移，
括号内左加右减.
上下平移 y = ax2 左右平移
二次项系数a不变.
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的. 2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2 形状相
向左平移 1个单位
y 1 (x 1)2 1 2
-2
-3 -4
-5
-6
平移规律：
-7 -8
上加下减，常数项；
-9
-1x0=－1
左加右减，自变量。
y 1 (x 1)2 1 2
二次函数y=2x2－8x＋12经过
可
以得到二次函数y=2x2？
将y=2x2－8x＋12 配方 y=2(x－2)2＋4 向左平移2个单位
（2）对称轴是直线__x_=__h_ ；
（3）顶点坐标是_（__h__,_k_)__。
1.对于抛物线
y

1 2
(x

数学人教版九年级上册二次函数顶点式的图像与性质

… …
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
-5.5 -3 -1.5
-1 -1.5 -3 -5.5 …
1 y
再描点、连线
1 (1)抛物线 y ( x 1) 2 1 2
的开口方向、对称轴、顶
点、最值和增减性?
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 直线x=－1 -9 1 -10 81 y ( x 1) 2
在对称轴的左侧,递减. 在对称轴的右侧, 递增.
y=ax2(a<0) 向下直线x=0 （ 0， 0）
在对称轴的左侧,递增. 在对称轴的右侧, 递减.
增减性
最值
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
2 二次函数y=ax +k图象和性质
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2+k(a>0) 向上直线x=0 （ 0， k ）
画出函数口方向、顶点、对称轴，最值与增减性、
1 y ( x 1) 2 1 的图像.指出它的开 2
解: 先列表
x
1 y ( x 1) 2 1 2
… …
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…

-5.5 -3 -1.5
-1 -1.5 -3 -5.5 …
再描点画图.
7
解: 先列表
x
1 y ( x 1) 2 1 2
开口对称顶点最值方向轴
向上 x=h x=h时,有 (h,k) 最小值 y=k x=h时,有 (h,k) 最大值 y=k

人教版初中数学同步讲义九年级上册第02讲二次函数的图像与性质——顶点式(解析版)

第 02 讲二次函数的图像与性质——顶点式
课程标准
①二次函数 y ax h2 的图像与性质
②二次函数 y ax2 k 的图像与性质
③二次函数 y ax h2 k 的图像与性
质
学习目标
1. 掌握 y ax h2 、 y ax2 k 、 y ax h2 k 的函数与性质。
2. 能够利用三种函数的图像与性质进行解题。
大致图像
a＞0
h＜0
（向左平移）
h＞0
（向右平移）
a＜0
h＜0
（向左平移）
h＞0
（向右平移）
开口方向顶点坐标
对称轴增减性
最值
开口向上
开口向下
（h，0）
xh
（h，0）
xh
对称轴右边 y 随 x 的增大而增大。对称轴右边 y 随 x 的增大而减小。对称轴左边 y 随 x 的增大而减小。对称轴左边 y 随 x 的增大而增大。
y ax h2 ka 0
a＜0
k＜0
（向下平移）
k＞0
（向上平移）
k＜0
（向下平移）
k＞0
（向上平移）
大致图像
开口方向顶点坐标
对称轴增减性
最值
开口向上
开口向下
（0，k）
（0，k）
y轴
y轴
对称轴右边 y 随 x 的增大而增大。对称轴右边 y 随 x 的增大而减小。
对称轴左边 y 随 x 的增大而减小。对称轴左边 y 随 x 的增大而增大。
知识点 01 y ax h2a 0的图像与性质 1. y ax h2 的图像与性质：
由函数的平移可知，可将 y ax2 向左右平移 h 个单位得到函数 y ax h2 。由 y ax2 的图像与性质可得到函数 y ax h2 的图像与性质如下：