(完整)南京大学《高等代数》2013年期末考试题及答案,推荐文档
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南京大学
高等代数 2013 年期末考试试卷及答案（A 卷）
一、 填空题（每小题 3 分，共 15 分）
1、线性空间 Px的两个子空间的交 L 1 x L 1 x
2、设
1
,
2
,
...,
n
与
1
,
2
,
...,
nFra Baidu bibliotek
是
n
维线性空间
V 的两个基，
由
1
,
2
,
...,
n
到
1
,
2
,
...,
n
的过渡矩阵是
C，列向量
X
P x 3
中从基 I
:
1, x
1, x
12
到基
3
II : 1,x 1,x 12 的过渡矩阵；
（2）求线性空间
P x 3
中向量
f
x 1
2x
3x2
在基
I : 1,x 1,x 12 下的坐标。
3、在 R2 中， a1, a2 , b1, b2 ，规定二元函数：
4
, a1b1 a1b2 a2b1 4a2b2
线性空间同构： （A）数域 P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B）数域 P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C）数域 P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；
8
（D）复数域 C 作为复数域 C 上的线性空间。
2、（ D ）设是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：
（A）的核是零子空间的充要条件是是满射； （B）的核是 V 的充要条件是是满射； （C）的值域是零子空间的充要条件是是满射； （D）的值域是 V 的充要条件是是满射。
4、设 3 阶方阵 A 的 3 个行列式因子分别为：1, , 2 1,
1 0 0
则其特征矩阵 E A 的标准形是
0
0
0 0 1
5、线性方程组 AX B 的最小二乘解所满足的线性方程组是： AAX AB
二、 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
2、（ A ）复数域 C 作为实数域 R 上的线性空间可与下列哪一个
1 y12 2 y22 ... n yn2 ， 则其中的 1, 2 ,...n 是：
A1; B全是正数； C 是 A 的所有特征值； D不确定。
5、（ ）设 3 阶实对称矩阵 A 有三重特征根“ 2 ”，则 A 的若当
标准形是：
2 0 0
2 0 0
2 0 0
A
0 0
2 0
0 2
;
1
（A）的核是零子空间的充要条件是是满射； （B）的核是 V 的充要条件是是满射； （C）的值域是零子空间的充要条件是是满射； （D）的值域是 V 的充要条件是是满射。
3、（ ） 矩阵 A 可逆的充要条件是：
A A 0; B A 是一个非零常数；
C A 是满秩的； DA 是方阵。
4、（ ）设实二次型 f X AX （A 为对称阵）经正交变换后化为：
B
1 0
2 0
0 2
;
C
1 0
2 1
02 ;
D 以上各情形皆有可能。
三、 是非题（每小题 2 分，共 10 分）
（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）
1、（
V1 V2 0
）设 V1，V2 均是 n 维线性空间 V 的子空间，且
则V V1 V2 。
2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下
是
V
中向量
在基
1
,
2
,
...,
n
下的坐标，则
在基
1
,
2
,
...,
n
下
的坐标是
3、设 A、B 是 n 维线性空间 V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则 A 与 B 的关系是
4、设 3 阶方阵 A 的 3 个行列式因子分别为：1, , 2 1,
则其特征矩阵 E A 的标准形是
5、线性方程组 AX B 的最小二乘解所满足的线性方程组是：
1、线性空间 Px的两个子空间的交 L 1 x L 1 x 0
2、设
1
,
2
,
...,
n
与
1
,
2
,
...,
n
是
n
维线性空间
V 的两个基，
由
1
,
2
,
...,
n
到
1
,
2
,
...,
n
的过渡矩阵是
C，列向量
X
是
V
中向量
在基
1
,
2
,
...,
n
下的坐标，则
在基
1
,
2
,
...,
n
下
的坐标是 C 1 X
3、设 A、B 是 n 维线性空间 V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则 A 与 B 的关系是 相似关系
3、（ B ） 矩阵 A 可逆的充要条件是：
A A 0; B A 是一个非零常数；
C A 是满秩的； DA 是方阵。
4、（ C ）设实二次型 f X AX （A 为对称阵）经正交变换后化为：
A a,b,c, d a,b, a c,b d a,b,c, d P4
（1）求该线性变换在自然基： 1 1, 0, 0, 0 ,2 0,1, 0, 0 3 0, 0,1, 0 ,4 0, 0, 0,1 下的矩阵 A；
（2）求矩阵 A 的所有特征值和特征向量。
2、（1）求线性空间
5
2、设是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，证明W L 1,2 ,...,r 是的不变子空间的兖要条件是 A i W i 1, 2,..., r
6
3、已知 A E 是 n 级正定矩阵，证明：
（1）A 是正定矩阵；
（2） A 2E 3n
7
参考答案
一、 填空题（每小题 3 分，共 15 分）
的矩阵是一对角矩阵。
2
3、（ ）同阶方阵 A 与 B 相似的充要条件是 E A 与 E B
等价。 4、（ ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。
5、（ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。
四、 解答题（每小题 10 分，共 30 分）
1、在线性空间 P4 中，定义线性变换：
（1） 证明：这是 R2 的一个内积。 （2） 求 R2 的一个标准正交基。
五、 证明题（每小题 10 分，共 30 分）
1、设 P3 的两个子空间分别为：
W1 x1, x2, x3 x1 x2 x3 0 ,W2 x1, x2, x3 x1 x2 x3 0
证明：（1） P3 W1 W2 ； （2）W1 W2 不是直和。
二、 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1、（ ）复数域 C 作为实数域 R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：
（A）数域 P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B）数域 P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C）数域 P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D）复数域 C 作为复数域 C 上的线性空间。 2、（ ）设是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：
高等代数 2013 年期末考试试卷及答案（A 卷）
一、 填空题（每小题 3 分，共 15 分）
1、线性空间 Px的两个子空间的交 L 1 x L 1 x
2、设
1
,
2
,
...,
n
与
1
,
2
,
...,
nFra Baidu bibliotek
是
n
维线性空间
V 的两个基，
由
1
,
2
,
...,
n
到
1
,
2
,
...,
n
的过渡矩阵是
C，列向量
X
P x 3
中从基 I
:
1, x
1, x
12
到基
3
II : 1,x 1,x 12 的过渡矩阵；
（2）求线性空间
P x 3
中向量
f
x 1
2x
3x2
在基
I : 1,x 1,x 12 下的坐标。
3、在 R2 中， a1, a2 , b1, b2 ，规定二元函数：
4
, a1b1 a1b2 a2b1 4a2b2
线性空间同构： （A）数域 P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B）数域 P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C）数域 P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；
8
（D）复数域 C 作为复数域 C 上的线性空间。
2、（ D ）设是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：
（A）的核是零子空间的充要条件是是满射； （B）的核是 V 的充要条件是是满射； （C）的值域是零子空间的充要条件是是满射； （D）的值域是 V 的充要条件是是满射。
4、设 3 阶方阵 A 的 3 个行列式因子分别为：1, , 2 1,
1 0 0
则其特征矩阵 E A 的标准形是
0
0
0 0 1
5、线性方程组 AX B 的最小二乘解所满足的线性方程组是： AAX AB
二、 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
2、（ A ）复数域 C 作为实数域 R 上的线性空间可与下列哪一个
1 y12 2 y22 ... n yn2 ， 则其中的 1, 2 ,...n 是：
A1; B全是正数； C 是 A 的所有特征值； D不确定。
5、（ ）设 3 阶实对称矩阵 A 有三重特征根“ 2 ”，则 A 的若当
标准形是：
2 0 0
2 0 0
2 0 0
A
0 0
2 0
0 2
;
1
（A）的核是零子空间的充要条件是是满射； （B）的核是 V 的充要条件是是满射； （C）的值域是零子空间的充要条件是是满射； （D）的值域是 V 的充要条件是是满射。
3、（ ） 矩阵 A 可逆的充要条件是：
A A 0; B A 是一个非零常数；
C A 是满秩的； DA 是方阵。
4、（ ）设实二次型 f X AX （A 为对称阵）经正交变换后化为：
B
1 0
2 0
0 2
;
C
1 0
2 1
02 ;
D 以上各情形皆有可能。
三、 是非题（每小题 2 分，共 10 分）
（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）
1、（
V1 V2 0
）设 V1，V2 均是 n 维线性空间 V 的子空间，且
则V V1 V2 。
2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下
是
V
中向量
在基
1
,
2
,
...,
n
下的坐标，则
在基
1
,
2
,
...,
n
下
的坐标是
3、设 A、B 是 n 维线性空间 V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则 A 与 B 的关系是
4、设 3 阶方阵 A 的 3 个行列式因子分别为：1, , 2 1,
则其特征矩阵 E A 的标准形是
5、线性方程组 AX B 的最小二乘解所满足的线性方程组是：
1、线性空间 Px的两个子空间的交 L 1 x L 1 x 0
2、设
1
,
2
,
...,
n
与
1
,
2
,
...,
n
是
n
维线性空间
V 的两个基，
由
1
,
2
,
...,
n
到
1
,
2
,
...,
n
的过渡矩阵是
C，列向量
X
是
V
中向量
在基
1
,
2
,
...,
n
下的坐标，则
在基
1
,
2
,
...,
n
下
的坐标是 C 1 X
3、设 A、B 是 n 维线性空间 V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则 A 与 B 的关系是 相似关系
3、（ B ） 矩阵 A 可逆的充要条件是：
A A 0; B A 是一个非零常数；
C A 是满秩的； DA 是方阵。
4、（ C ）设实二次型 f X AX （A 为对称阵）经正交变换后化为：
A a,b,c, d a,b, a c,b d a,b,c, d P4
（1）求该线性变换在自然基： 1 1, 0, 0, 0 ,2 0,1, 0, 0 3 0, 0,1, 0 ,4 0, 0, 0,1 下的矩阵 A；
（2）求矩阵 A 的所有特征值和特征向量。
2、（1）求线性空间
5
2、设是数域 P 上线性空间 V 的线性变换，证明W L 1,2 ,...,r 是的不变子空间的兖要条件是 A i W i 1, 2,..., r
6
3、已知 A E 是 n 级正定矩阵，证明：
（1）A 是正定矩阵；
（2） A 2E 3n
7
参考答案
一、 填空题（每小题 3 分，共 15 分）
的矩阵是一对角矩阵。
2
3、（ ）同阶方阵 A 与 B 相似的充要条件是 E A 与 E B
等价。 4、（ ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。
5、（ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。
四、 解答题（每小题 10 分，共 30 分）
1、在线性空间 P4 中，定义线性变换：
（1） 证明：这是 R2 的一个内积。 （2） 求 R2 的一个标准正交基。
五、 证明题（每小题 10 分，共 30 分）
1、设 P3 的两个子空间分别为：
W1 x1, x2, x3 x1 x2 x3 0 ,W2 x1, x2, x3 x1 x2 x3 0
证明：（1） P3 W1 W2 ； （2）W1 W2 不是直和。
二、 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1、（ ）复数域 C 作为实数域 R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：
（A）数域 P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B）数域 P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C）数域 P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D）复数域 C 作为复数域 C 上的线性空间。 2、（ ）设是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：