线性定常连续系统的离散化
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x(t ) Φ(t t0 )x(t0 ) Φ(t τ ) Bu(τ )dτ
t0 t
现在只考虑在采样时刻t kT和t (k1)T时刻之间的状 态响应, 即对于上式, 取t0 kT, t (k1)T, 于是
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT )
1 1 1 1
1 s
1 0.5 0.5 2t 1 0 . 5 ( 1 e ) 1 s s s 2 L 2t 1 e 0 0 s2
线性定常连续系统的离散化(1/10)
3.3 线性定常连续系统的离散化
离散系统的工作状态可以分为以下两种情况:
整个系统工作于单一的离散状态 对于这种系统, 其状态变量、输入变量和输出变量全 部是离散量, 如现在的全数字化设备、计算机集成制 造系统等 系统工作在连续和离散两种状态的混合状态
由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言, 输出方程为静态的代数方程, 其离散化后应保持不变, 即 C(T) C D(T) D 离散化主要针对连续系统状态方程(A, B)如何通过采样 周期T, 变换成离散系统状态方程(G, H)
线性定常连续系统的离散化(7/10)
连续系统的状态方程的求解公式如下:
例3-7 试用离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的状 态方程:
0 1 0 x x u 0 2 1
解 首先求出连续系统的状态转移矩阵:
1 s 2 s 1 1 Φ(t ) L [(sI A) ] L L 0 0 s 2 s ( s 2 )
y( k)
连续系统离散化的实现
线性定常连续系统的离散化(4/10)
在离散化之后, 系统在各采样时刻的状态变量、输入变量和 输出变量的值保持不变。
保持器为零阶的, 即加到系统输入端的输入信号u(t)在采样周 期内不变, 且等于前一采样时刻的瞬时值, 故有 u(t) u(kT) kT t (k1)T
线性定常连续系统的离散化(6/10)
线性定常连续系统状态空间模型的离散化, 实际上是指在采 样周期T下, 将状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du 变换成离散系统的如下状态空间模型:
x(( k 1)T ) G (T )x(kT ) H (T )u(kT ) y (kT ) C (T )x(kT ) D(T )u(kT )
在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机 分析求解连续系统的状态方程, 或者进行计算机控制 时, 都会遇到离散化问题
线性定常连续系统的离散化(3/10)
下图所示为连续系统化为离散系统的系统框图
u(t)
连续系统
x来自百度文库t)
y( t )
保持器 u(k) D/A x( k)
采样
数字 A/D 计算机
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT ) Φ(t )dt Bu(kT )
0
T
于是有
G(T) (T) eAT
T T H (T ) Φ(t )dt B e At dt B 0 0
上两式即为离散化法的计算式
线性定常连续系统的离散化(9/10)
对于这种系统, 其状态变量、输入变量和输出变量既 有连续时间型的模拟量, 又有离散时间型的离散量, 如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况
线性定常连续系统的离散化(2/10)
对于第二种情况的系统, 其状态方程既有一阶微分方程组 又有一阶差分方程组 为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计 方法, 要求整个系统统一用离散状态方程来描述 由此, 提出了连续系统的离散化问题
( k 1)T
kT
Φ[(k 1)T τ ]Bu(τ )dτ
考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定,所以有
x(( k 1)T ) Φ(T )x(kT )
( k 1)T
kT
Φ[( k 1)T τ ]dτ Bu(kT )
线性定常连续系统的离散化(8/10)
对上式作变量代换, 令t (k1)T, 则上式可记为
t0 t
现在只考虑在采样时刻t kT和t (k1)T时刻之间的状 态响应, 即对于上式, 取t0 kT, t (k1)T, 于是
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT )
1 1 1 1
1 s
1 0.5 0.5 2t 1 0 . 5 ( 1 e ) 1 s s s 2 L 2t 1 e 0 0 s2
线性定常连续系统的离散化(1/10)
3.3 线性定常连续系统的离散化
离散系统的工作状态可以分为以下两种情况:
整个系统工作于单一的离散状态 对于这种系统, 其状态变量、输入变量和输出变量全 部是离散量, 如现在的全数字化设备、计算机集成制 造系统等 系统工作在连续和离散两种状态的混合状态
由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言, 输出方程为静态的代数方程, 其离散化后应保持不变, 即 C(T) C D(T) D 离散化主要针对连续系统状态方程(A, B)如何通过采样 周期T, 变换成离散系统状态方程(G, H)
线性定常连续系统的离散化(7/10)
连续系统的状态方程的求解公式如下:
例3-7 试用离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的状 态方程:
0 1 0 x x u 0 2 1
解 首先求出连续系统的状态转移矩阵:
1 s 2 s 1 1 Φ(t ) L [(sI A) ] L L 0 0 s 2 s ( s 2 )
y( k)
连续系统离散化的实现
线性定常连续系统的离散化(4/10)
在离散化之后, 系统在各采样时刻的状态变量、输入变量和 输出变量的值保持不变。
保持器为零阶的, 即加到系统输入端的输入信号u(t)在采样周 期内不变, 且等于前一采样时刻的瞬时值, 故有 u(t) u(kT) kT t (k1)T
线性定常连续系统的离散化(6/10)
线性定常连续系统状态空间模型的离散化, 实际上是指在采 样周期T下, 将状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du 变换成离散系统的如下状态空间模型:
x(( k 1)T ) G (T )x(kT ) H (T )u(kT ) y (kT ) C (T )x(kT ) D(T )u(kT )
在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机 分析求解连续系统的状态方程, 或者进行计算机控制 时, 都会遇到离散化问题
线性定常连续系统的离散化(3/10)
下图所示为连续系统化为离散系统的系统框图
u(t)
连续系统
x来自百度文库t)
y( t )
保持器 u(k) D/A x( k)
采样
数字 A/D 计算机
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT ) Φ(t )dt Bu(kT )
0
T
于是有
G(T) (T) eAT
T T H (T ) Φ(t )dt B e At dt B 0 0
上两式即为离散化法的计算式
线性定常连续系统的离散化(9/10)
对于这种系统, 其状态变量、输入变量和输出变量既 有连续时间型的模拟量, 又有离散时间型的离散量, 如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况
线性定常连续系统的离散化(2/10)
对于第二种情况的系统, 其状态方程既有一阶微分方程组 又有一阶差分方程组 为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计 方法, 要求整个系统统一用离散状态方程来描述 由此, 提出了连续系统的离散化问题
( k 1)T
kT
Φ[(k 1)T τ ]Bu(τ )dτ
考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定,所以有
x(( k 1)T ) Φ(T )x(kT )
( k 1)T
kT
Φ[( k 1)T τ ]dτ Bu(kT )
线性定常连续系统的离散化(8/10)
对上式作变量代换, 令t (k1)T, 则上式可记为