例谈两动点间距离的最值问题的几种解题途径

例谈两动点间距离的最值问题的几种解题途径(中学教研2017／3)
杨伟达
（广州市花都区第二中学 510800）
众所周知，距离问题本是一个古老的话题．但在每一年的高考中，它常常成为专家命题的第一视觉，也常常是许多学生解题的绊脚石．因此，在解题中若能处理好距离的最值问题，对快速解题起到事半功倍的效果．下面是笔者对两动点间距离的最值问题从不同角度进行析疑解惑，突显“动”的魅力，焕发出新的活力．
一、借助特殊曲线，寻求等价替换
有这样的一类题，它们的两动点分别在常见的特殊曲线上，且这特殊曲线具有特殊的性质．此时可以通过观察图形，利用图形的特殊性质即可求得最值.
例1 已知圆C ：03422
2
=+-++y x y x
（1）略；（2）从圆C 外一点),(y x P 向圆引一条切线，M 为切点，O 为坐标原点，且有PO PM =，求使PM 最小的P 点的坐标．
分析：此题的一个动点在圆外，另一个在圆上，且这两个动点的连线是圆的切线（特殊）．解决此题关键在于利用圆的特殊性质，找出切线长等价替换，问题即可解决．
解：已知圆C 方程：03422
2
=+-++y x y x
所以圆心坐标为)2,1(-，半径为2，又因为PO PM =，设),(11y x P ， 且PM 是圆C 的切线，所以)(2
2
2
为圆的半径R PC R PM =+ 所以2
1212
12
12)2()1(y x y x +=
--++
化简为：034211=+-y x 这是点P 满足的轨迹方程. 因为PO PM =，所以PM 的最小值就是PO 的最小值.
PO 的最小值转化为点O 到直线034211=+-y x 的距离.即10
5
320
3min =
=
PO
联立方程组有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+034220911212
1y x y x ，解得：⎪⎩
⎪⎨⎧
=-=53
1031
1y x 因此，点P 的坐标为)53
,103(-.
例2 分别在椭圆19
42
2=+y x 与抛物线222m y x -=上的两动点M 、N 间的距离最小值是5，则m 的值是（ ）
（A ）1± （B ）2± （C ）2±
（D ）2
2
±
分析：如图1，通过草图，不难发现两曲线相离，且位置比较特殊．观察可知，曲线上两动点的最短距离转化为两顶点（定点）间的距离．此时问题就变得简单了.
解：因为M 、N 间的距离最小值是5 所以椭圆与抛物线不相交
如图1，观察，此时抛物线的顶点N 与椭圆上顶点M 的距离 就是两动点M 、N 间的距离最小值
抛物线的顶点)2,0(2
m 与椭圆上顶点)3,0(的距离最小值为5 所以5322
=-m 解得：2±=m 故选B.
二、借助三角函数，寻求合二为一
有这样的一类题，它们的两动点分别在常见的特殊曲线上，且动点也可以用含参坐标表示．此时可以直接运用距离公式，把它转化为三角函数的形式即可求得最值．比如：圆
2
2
2
R y x =+上一动点可表示为))(sin ,cos (为参数θθθR R ；椭圆122
22=+b
y a x 上一动点
可表示为))(sin ,cos (为参数θθθb a .
例3 （2016·广州二测理数23）选修4－4坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为,(sin x y θθθ
⎧=⎪
⎨
=⎪⎩为参数).以点O 为极
点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin(ρθ+
)4
π
=(1) 略；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值.
分析：此类型题每年在全国卷选做题中常常出现．比较快捷的解决方法是利用参数方程
表示曲线上的某一动点坐标，再根据条件转化为求三角函数的最值问题即可将问题解决.
解：(1)略.所求曲线C 的直角坐标方程为2
213
x y +=；直线l 的直角坐标方程为2x y +=.
(2)因为点Q 是曲线C 上的点，所以可设点Q
的坐标为
)
,sin θθ
所以点Q 到直线l
的距离为d
=
=
. 当cos 16πθ⎛
⎫
-
=- ⎪⎝
⎭
时，max d ==所以点Q 到直线l
的距离的最大值为三、借助数形结合，突显形象直观
有这样的一类题，它们的一个动点在某区域内，另一个动点在某特殊曲线上．此时两动点间距离问题可转化为某一定点到区域内的距离最值即可将问题解决.
例4 设D 为不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧
≤-+≤-≥03200y x y x x 表示的平面区域，圆C:1)5(2
2=+-y x 上的点
与区域D 上的点之间的距离的取值范围是 A.⎪
⎪⎭
⎫⎢
⎣⎡+-134,12
25 B.[)
134,
117+- C.[)34,17 D.[)
134,117--
分析：此题涉及线性规划问题.先将不等式组表示出平面区域，再根据圆的特殊性质通过数形结合可将问题解决.
解：如图2，不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤-≥03200y x y x x 表示的平面区域如下图中三角形ABO 内（含边缘）
的阴影部分。

其中三角形ABO 的顶点坐标分别为A （0，3），O （0，0），B （1，1） 圆C:1)5(2
2
=+-y x 表示圆心坐标（5，0），半径为1
所以求两个动点的距离转化为定点到动点的距离 即先求圆心C 到三角形ABO 的阴影部分内任一动点的距离经观察可知，BC 距离为最小；AC 距离为最大
所以17)10()15(2
2=-+-=
BC
34)30()05(22=-+-=AC
所以两动点的最小距离为117-，最大距离为134+ 故选B.
四、借助二次函数，寻求配方到位
有这样的一类题，它们的两动点分别在常见的特殊曲线上，且这些动点均可以用含参坐标表示．此时可以直接运用距离公式，把它转化为一元二次函数即可求得最值.例如人教版选修2-1第113页习题B 组第二题.
例5 （人教版必修2第139页B 组第3题）如图3，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上. （1）当点P 在对角线AB 上运动，点Q 在棱CD 上运动，探究PQ 的最小值.
分析：这是一道课本习题．两动点分别在两条异面直线上，关键是把动点用坐标表示出来，再转化为一元二次函数求最值.
解：设正方体边长为a ，因为点P 在对角线AB 上运动， 所以设),,(λλλ-a P )0(a ≤≤λ
又因为点Q 在棱CD 上运动， 所以设),,0(μa Q )0(a ≤≤
μ
所以2
2
2
2
)()()0(λμλλ+-+-+-=a a PQ
2222
2
1)()2(2a a a PQ +--+-=μλλ
因为0)(,0)2
(22
2≥--≥-μλλa a
所以22222
2
121)()2(2a a a a PQ ≥+--+-
=μλλ 当且仅当02
=--=-
μλλa a
时，等号成立 此时a 21
=
=μλ，即当且仅当P 、Q 分别为AB 、CD 的中点时 所以2
min
22
1a PQ
=
，a PQ 22min =. 五、借助导数工具，寻求转换条件
有这样的一类题，它们的一动点在函数图象上，另一动点在另一个函数（分段函数）图象上．若运用动点坐标距离公式，方法简单，但运算复杂，只能可望而不可及；此时若能借助导数这一工具，利用切线间的距离即可求得最值.
例6 已知实数1>a ，设函数18)(2
++=
x x a x f ，⎩⎨⎧≤->=)
0(,2
)0(,log )(x x x x g a ，
设P 、Q 分别为)(x f 、)(x g 图象上的任意点，若线段PQ 长度的最小值为2，则实数a 的值为（ ）
A ．2
B ．2
C ．e
D ．2或e
分析：此题涉及两函数图象上的两动点问题．关键在于分别求出两曲线上的切线的最值问题，此时两切线为互相平行．值得注意的是要进行检验，防止“多一个”或“漏一个”. 解：当0≤x 时，P 在函数18
)(2
++=
x x a x f 图象上的最低点，点P 的坐标为)21,4(a a --，所以222
1min =+-=a
PQ
当2=a 时，如图3，y 轴左边，2=MN 为最小y 轴右边，观察图象
发现x y a log =与1-=x y 图象上有两个交点A ，再结合以C （0，1），可知2=AC
观察还存在有比2=AC 小的动点
经检验，2=a 不符合 当0>x 时，
当P 、Q 分别在)(x f 、)(x g 图象上的各自切线间的距离时，此时PQ 长度为最小 对于任意a ，)(x f 常过点（0，1），)(x g 常过（1，0） 不妨发现两点（0，1）与（1，0）间距离刚好为2
所以原问题转化为能否存在a ，使得分别过P （0，1），Q （1，0）处的切线平行，此时两切线的斜率相等
14)(+='x a x f 1104)0(=+⨯='=a
f k P xlina x
g 1)(=
' a
g k Q ln 1
)1(='= 所以Q P k k =即
1ln 1
=a
解得：e a = 图3。