第2章 误差的基本性质与处理
误差理论及数据处理第二三章答疑
, 25.96 ， 26.07 。测量完毕后，发现测量装置有接触松动现
象， 为判断是否接触不良而引入系统误差， 将接触改善后， 又重新作了 10 次等精度测量，测得结果（单位为 V ）为
25.93 ， 25.94 ， 25.98 ， 26.02 ， 26.01 ， 25.90 ， 25.93 ， 26.04 ，
误差基本性质与处理
25.94 ， 26.02 。试用 t 检验法（取
为 0.05）判断两测量值
之间是否有系统误差。
误差基本性质与处理
解：用 t 检验法判断： 第一次测量的数据
, x 26.001
x
2
1 nx
( xi x) 2
i 1
n
1 1.549 102 1.549*103 10
• • • • •
第二章：误差基本性质与处理 知识点: 1.算术平均值 2.标准差及算术平均值的标准差 3.测量结果表达方式 4.粗大误差判断及剔除
误差基本性质与处理
2-2 测量某物体共8次，测得数据（单 位为g）为236.45，236.37，23.51， , 236.34，236.39，236.48，236.47， 236.40。试求算术平均值及其标准差.
26.2023 ，26.2025 ，26.2026 ，26.2022 ，试写出测量结果。
③ 若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中 10 次 重复测量的测量值，写出上述①、②的测量结果。
误差基本性质与处理
解：①
lim x 3 3 0.5 1.5 m 0.0015mm
误差基本性质与处理
故，当置信概率 P 98.36% ，此时 t 2.40 ，
| t | 2.427 t 2.40
《误差理论与数据处理》答案
《误差理论与数据处理》第一章绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答：研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L0已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm，测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm）1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
误差理论与数据处理第二章1.ppt
i 1
i 1
1
n
n
i
i 1
1 n
n i 1
li
L0
L0
1 n
n i 1
li
1 n
n
i
i 1
x
1 n
n
i
i 1
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北京工业大学机电学院
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说明：
(1) n=1, δ1= x-L0=l1-L0即为随机误差定义
(2)
n=2，1
2
均值 x 定义为：
x
l1 l2 n
ln
1 n
n
li
i 1
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3 x 与 L0之关系
对n个 i 求和，有
1 2 n l1 l2 ln nL0
=> 同除以n
n
n
i li nL0
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(一) 算术平均值
1 随机误差的表示方法
设被测量真值L0(理想、理论)，一系列测量 值为l0，则测量值中随机误差δi为
i li L0 (i=1,2,3…，n) 2 算术平均值定义
设 l1,l2, ,ln 为n次测量所得结果，则算术平
1
2
x
L0
(3) n→∞时，由随机误差的特征(抵偿性)
有 x L0
1
n
n
i
i 1
0
即：如能对同一量测无限次时，就可得到不受随
《误差理论与数据处理》习题2及解答
(mm)
② 重复测量 10 次，计算其算术平均值为： x = 26.2025(mm). 取与①相同的置信度，则测量结果为：26.2025±3σ= 26.2025±0.0015 (mm). ③ 若无该仪器测量的标准差资料，则依 10 次重复测量数据计算标准差和表示测量结 果。选参考值 x0 = 26.202，计算差值 ∆x i = x i − 26.202 、 ∆ x 0 和残差ν i 等列于表中。 序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号
∑ν
i =1
i
n( n − 1)
= 1.253
0.0008 5× 4
= 0.000224 （mm）
σx =
σ
n
=
0.000255 5
= 0.000114 ； σ x =
'
σ'
n
=
0.000224 5
= 0.0001
⑤求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差 因假设测量值服从正态分布，并且置信概率 P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查附录
∆ x0 = 1 10 ∑ ∆xi = 0.0005 10 i =1
νi
0 +0.0003 +0.0003 0 +0.0001 -0.0003 -0.0002 0 +0.0001 -0.0003
ν i2
0 9×10 9×10 0 1×10
《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰习题解答
误差理论与数据处理》习题及参考答案（第七版）第一章绪论1 — 5测得某三角块的三个角度之和为180°00' 02” ,试求测量的绝对误差1-8在测量某一长度时，读数值为 2.31m ，其最大绝对误差为 20 m ，试求其最大相对误差。
8.66 10-4%1-10检定2.5级（即引用误差为 2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现 50V 刻度点的示值误差 2V 为最大误差，问该电压表是否合格？I 1 I 2 所以L 2=80mm 方法测量精度高。
1 — 13多级弹导火箭的射程为 10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.1km ，优秀射手能在距离 50m 远处准确地射中直径为 2 cm 的靶心，试评述哪一个射和相对误差 解： 绝对误差等于: 相对误差等于: 180°00 02 180o 2222 180o 180 60 60 6480000.00000308641 0.000031%相对误差max绝对误差max测得值 100%20 10-62.31 100%最大引用误差某量程最大示值误差测量范围上限100%2100100% 2% 2.5%该电压表合格 1-12用两种方法分别测量L1=50mm L2=80mm 测得值各为50.004mm,80.006mm 。
试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差 L 1：50mmI 150.004 50 50 100% 80.006 8080100% 0.008% 0.0075%击精度高? 解：多级火箭的相对误差为： ----------------------------0 10.00001 0.001% 10000射手的相对误差为：1cm°.°1m 0.0002 0.002% 50m 50m多级火箭的射击精度高。
1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm 其测量误差分别为11 m和9 m ;而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm其测量误差为 12 m ，试比较三种测量方法精度的高低。
第二章误差的基本性质与处理
解：任选参考值 l0 =1879.65，计算差值li 和x0列于表 很容易求得算术平均值x ＝ 1879.64 。
第二章误差的基本性质与处理
四、测量值误差的评价指标
为了评定测量列和其最优概值的优劣，需引入一些评价指标，
常用的有标准误差和极限误差。
1. 测量列的标准误差σ
n
i2
i 1
n
因被测量的真值X0为未知，上式中 i xi x0 不能计算，
热工仪表及测量技术
孟献丰主讲
第二章误差的基本性质与处理
本章分别详细阐述随机误差、系统误差、粗大 误差三类误差的来源、性质、数据处理的方法以及 消除或减小的措施。特别是在随机误差的数据处理 中，分别掌握等精度测量和不等精度测量的不同数 据处理方法。通过学习本章内容，使大家能够根据 不同性质的误差选取正确的数据处理方法并进行合 理的数据处理。
l0
i 1
n
l0 x0
(2-6)
式中的x0为简单数值，很容易计算，因此按（2-6）求算术平均
值比较简单。
第二章误差的基本性质与处理
根据（2-5）可证明算术平均值有以下两个性质：
n
（1）剩余误差代数和为零，即 vi 0 i 1 这一性质可以校核算术平均值及其残余误差的计
算是否正确。
（2）剩余误差的平方和为最小，即
第二章误差的基本性质与处理
4、不同公式计算标准差比较法
对等精度测量，可用不同分式计算标准差，通过比较以发现系 统误差。如贝塞尔公式。
在判断含有系统误差时，违反“准则”时就可以直接判定，而 在遵守“准则”时，不能得出“不含系统误差”的结论，因为每 个准则均有局限性，不具有“通用性”。
第二章误差的基本性质与处理
《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰习题解答
《误差理论与数据处理》(第七版)习题及参考答案第一章绪论1－5测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于： 180 o 00 02o 1802 相对误差等于： 2 o180180 2 60 60 ＝26480000.000003086410.000031%1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m ，试求 其最大相对误差。
相对误差max绝对误差 测得值 max 100%-6 20 102.31100%8.66 -4 10%1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现 50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ 最大引用误差某量程最大示值误差 测量范围上限100%2 100100%2%2.5%该电压表合格1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。
测得值各为50.004mm ，80.6mm 。
试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差50.450L 1:50mmI100%0.008%15080.680L2:80mmI100%0.0075%280I 1I 所以L 2=80mm 方法测量精度高。
21－13多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.lkm，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高?解：多级火箭的相对误差为：0.12.320.001%10000射手的相对误差为：1cm0.01m8.6700020.002%50m50m多级火箭的射击精度高。
1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为11和9m；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm。
m其测量误差为12m，试比较三种测量方法精度的高低。
相对误差I 11m1mm11080.7%I 9m2mm11050.50082%I 12m3mm15080.708%I3II第三种方法的测量精度最高21第二章误差的基本性质与处理2-6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA）为168.41，168.54，1.，168.40，168.50。
误差理论及数据处理第二章-误差的基本性质与处理
第二章 误差的基本性质与处理2-1．试述标准差 、平均误差和或然误差的几何意义。
答：从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从 N 维空间的一个点到一条直线的距离的函数；从几何学的角度出发，平均误差可以理解为 N 条线段的平均长度； 2-2．试述单次测量的标准差 和算术平均值的标准差 ，两者物理意义及实际用途有何不同。
【解】单次测量的标准差σ表征同一被测量n 次测量的测量值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。
2n δσ++=算术平均值的标准差xσ-是表征同一被测量各个独立列算术平均值分散性的参数，可作为算术平均值不可靠性的评定标准xσ-=在n ，当测量次数n 愈大时,算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。
2-3试分析求服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在中的概率 【解】（1）误差服从正态分布时2222(2)(2)()P ed ed δδσσδδ--==引入新变量t:,t tδσδσ==,经变换上式成为： 22()2()20.41950.8484%t t P edt t -==Φ=⨯==⎰（2）误差服从反正弦分布时因反正弦分布的标准差为：σ=，所以区间[],,a a ⎡⎤=-⎣⎦,故:1()1aaP δπ+-==⎰（3） 误差服从均匀分布时因其标准差为：σ=,⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故111()20.8282%22P d a a δπ==⨯==⎰2-4．测量某物体重量共8次，测的数据(单位为g)为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40，是求算术平均值以及标准差。
0.05(0.03)0.11(0.06)(0.01)0.080.070236.48236.43x +-++-+-+++=+=0.0599σ=0.0212x σ==2-5用別捷尔斯法、极差法和最大误差法计算2-4，并比较2-6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA ）为168.41，168.54，168.59，168.40，168.50。
误差的基本性质与处理解析
2
e
2 2 2
第一节 随机误差
第二章 误差的基本性质与处理
f ()
不同形状的分布曲线所 表征的含义是不同的。曲线 越陡，随机误差的分布就越 集中，表明测量精度就越高。
2 2 e 2
根据 可得
f ( )
1
2
f max
1
2
由此可知，当σ↑， f↓ max 曲线就平坦，随机误差的 分布就分散，测量精度低。
第一节 随机误差
2、或然误差ρ 将整个测量列的 n 个随机 误差分为个数相等的两半。 其中一半随机误差的数值落 在-ρ ~ +ρ范围内，而另一半 落在-ρ ~ +ρ范围以外。
第二章 误差的基本性质与处理
f ( ) d 0.5
2 0.6745 3
第一节 随机误差
第一节 随机误差
3、标准差的其它算法 (1) 别捷尔斯法
由
第二章 误差的基本性质与处理
v
2 i
n1
n
2 i
n n 2 i vi i vi n1 n1
1 n
将②式两边平方得 当n充分大时，
0 因此有
i 1 j 1 i j
n 1 n
x2 ③2 i
1 n
2
将①式平方后再相加， i 2 vi 2 n x 2
④
第一节 随机误差
③、④联立消去 x 2
x2
1 n2
2
第二章 误差的基本性质与处理
1 1 D ( x ) 2 nD ( l ) D ( l ) n n
第二章《误差理论与数据处理》
n
i2
i 1
n
n
实际上真值一般情况下是 未知，在有限次测量下，用残 余误差代替随机误差可得到标 准差的估计值：
ˆ
v
i 1
n
2 i
n 1
该证明如下：
（一）构建残余误差与随机误差之间的关系：
i li L0
x
n
结论
在n次测量的等精度测量中，算术平均值 1 n 的标准差是单次测量标准差 n ， ， x 。但 也不是n越大越好，因为 n 要出较大的劳动， 而且 难保证测量条件的恒定，从而引入新 n 的误差。一般情况下去n=10为宜。
标准差的计算还有别捷尔斯法，极差法， 最大误差法等。
（4）别捷尔斯（Peters）法
1.253
v
i 1 n
ห้องสมุดไป่ตู้
n
i
n n 1
x 1.253
v
i 1
i
n
n 1
（4）极差法
等精度多次测量被测值 x1 ,x2 ,x3 ,......,xn 服从正态分布，在其中选取最大值 xmax 与最小 值 xmin，则两者之差称为极差：n xmax xmin 标准差的无偏估计： n
n1 n2
x1
i 1
1i
n1
n1
, x2
n2
i 1
2i
n2
,..., xm
m
l
i 1
nm
mi
nm
x ( l1i l2i ... lmi ) / ni
i 1 i 1 i 1 i 1
误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理考试重点
1、随机误差产生的原因（装环人）2、随机误差具有统计规律性对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的次数相等。
单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限。
抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零。
3、算术平均值非X=X1+X2+...+XiVi(残余误差)=Xi-非X4、标准差（1）单次测量的标准差（δi）标准差=根号下（δi平方和/n）标准差的估计值=根号下（Vi平方和/n-1）（贝塞尔公式）评定单次测量不可靠的参数或然误差p=2/3标准差的估计值平均误差θ=4/5标准差的估计值（2）算术平均值的标准差标准差非x=标准差/根号下n或然误差R=2/3算术平均值标准差非x平均误差T=4/5标准差非x5、极差法Wn=Xmax-Xmino=Wn/dn6、最大误差法真值可代替o=|δi|/Kn真值未知o=|Vi|/Kn'7、权的确定方法:按测量的次数确定权8、单位权化的实质是使任何一个量值乘以自身权数的平方根，得到新的量值权数为1。
9、系统误差产生的原因（装环方人）10、系统误差的特征（服从某一确定规律变化的误差）不变的系统误差线性变化的系统误差周期性变化的系统误差复杂规律变化的系统误差11、系统误差的发现方法实验对比法残余误差观察法残余误差校核法不同公式计算标准差比较法计算数据比较法秩和检验法t检验法12、系统误差的减小和消除（1）从产生误差的根源上消除系统误差（2）用修正方法消除系统误差（3）不变系统误差消除法（代替法抵消法交换法）（4）线性系统误差消除法（对称法）（5）周期性系统误差消除法（半周期法）13、粗大误差产生的原因测量人员的主观原因客观外界条件的原因14、防止与消除粗大误差的方法（1）设法从测量结果中发现和鉴别而加以剔除（2）加强测量者的工作责任心和以严格的科学态度对待测量工作（3）保证测量条件的稳定（4）采用不等精度测量方法（5）互相之间进行校核的方法15、判别粗大误差的准则3o准则（莱以特准则）罗曼诺夫斯基准则格罗布斯准则狄克松准则计算题测量某电路电流共5次，测得数据（单位位mA）为168.41 168.54 168.59 168.40 168.50 试求算术平均值及标准差或然误差和平均误差。
《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰习题解答(可编辑修改word版)
《误差理论与数据处理》(第七版)习题及参考答案第一章绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为 180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：180o00'02 '-180o= 2 '相对误差等于：2 '180o =2 '＝180 ⨯ 60 ⨯ 60 '2 '648000 '= 0.00000308641 ≈ 0.000031%1-8 在测量某一长度时，读数值为 2.31m，其最大绝对误差为 20m，试求其最大相对误差。
相对误差max =绝对误差max⨯100% 测得值=20 ⨯10-6⨯2.31100%= 8.66 ⨯10-4%1-10 检定2.5 级（即引用误差为 2.5%）的全量程为 100V 的电压表，发现 50V 刻度点的示值误差 2V 为最大误差，问该电压表是否合格？最大引用误差=某量程最大示值误差⨯100% 测量范围上限=2100⨯100% = 2% < 2.5%该电压表合格1-12 用两种方法分别测量 L1=50mm，L2=80mm。
测得值各为 50.004mm，80.006mm。
试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差L1:50mm L2:80mm I1 =I 2 =50.004 -505080.006 -8080⨯100% = 0.008%⨯100% = 0.0075%I 1 >I2所以L2=80mm 方法测量精度高。
1－13 多级弹导火箭的射程为 10000km 时，其射击偏离预定点不超过 0.lkm，优秀射手能在距离 50m 远处准确地射中直径为 2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高?解：多级火箭的相对误差为：0.110000= 0.00001 = 0.001% 射手的相对误差为：1cm 50m =0.01m50m= 0.0002 = 0.002%多级火箭的射击精度高。
1-14 若用两种测量方法测量某零件的长度 L1=110mm，其测量误差分别为±11m和±9m ；而用第三种测量方法测量另一零件的长度 L2=150mm。
《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰 习题答案
《误差理论与数据处理》(第七版)习题及参考答案第一章 绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00'02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于:1-8在测量某一长度时，读数值为2。
31m,其最大绝对误差为20m μ,试求其最大相对误差。
%108.66 %1002.311020 100%maxmax 4-6-⨯=⨯⨯=⨯=测得值绝对误差相对误差1-10检定2。
5级（即引用误差为2.5%)的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？%5.22%100%1002100%<=⨯=⨯=测量范围上限某量程最大示值误差最大引用误差该电压表合格1-12用两种方法分别测量L1=50mm,L2=80mm 。
测得值各为50.004mm ，80。
006mm 。
试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差L 1:50mm 0.008%100%5050004.501=⨯-=IL 2:80mm 0.0075%100%8080006.802=⨯-=I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。
1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm,优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝o击精度高？ 解：射手的相对误差为：多级火箭的射击精度高。
1—14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm.其测量误差为m μ12±，试比较三种测量方法精度的高低。
误差的基本性质与处理
误差的基本性质与处理第1章绪论1-1 研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答：研究误差的意义（1）正确认识误差的性质，分析误差产⽣的原因，以消除或减⼩误差。
（2）正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在⼀定条件下得到更接近于真值的数据。
（3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选⽤仪器和测量⽅法，以便在最经济的条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：（1）讨论形成误差的原因；（2）各类误差的特征及处理⽅法；（3）对测量结果进⾏评定。
1-2 试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答1：测量误差的定义：误差＝测得值－真值。
测量误差的分类：随机误差、系统误差和粗⼤误差。
各类误差的特点：（1）随机误差：服从统计规律，具有对称性、单峰性、有界性和抵偿性；（2）系统误差：不服从统计规律，表现为固定⼤⼩和符号，或者按⼀定规律变化；（3）粗⼤误差：误差值较⼤，明显地歪曲测量结果。
答2：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗⼤误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循⼀定的规律变化（⼤⼩和符号都按⼀定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定⽅式变化；粗⼤误差的特点是可取性。
1-3 试述误差的绝对值与绝对误差有何异同，并举例说明。
答1：相同点：都是测量值与真值之差。
不同点：误差的绝对值都是正值，⽽绝对误差有正、有负，反映了测得值与真值的差异。
例：某长度的绝对误差为－0.05mm，⽽该误差的绝对值为|－0.05|mm＝0.05mm。
答2：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺⼨和标准尺⼨差别的⼤⼩数量，不反映是“⼤了”还是“⼩了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺⼨和标准尺⼨的差值。
+多少表明⼤了多少，-多少表⽰⼩了多少。
(2)就测量⽽⾔,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本⾝标准值未定。
《误差理论与数据处理(苐7版)》费业泰第2章误差的基本性质与处理剖析.
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误差理论与数据处理
正态分布的分布密度 f ( ) 与分布函数F( ) 为
f ( )
1
e 2 /(2 2 )
2
(2-2)
F ( ) 1
e d 2 (2 2 )
2
(2-3)
式中：σ——标准差（或均方根误差） e——自然对数的底，基值为2.7182……。
它的数学期望为
就是当测量次数无限增大时，算术平均值（数学上称之为最大或然值）
被认为是最接近于真值的理论依据。但由于实际上都是有限次测量，
因此，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。
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误差理论与数据处理
第一节 随机误差
一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式（2-1）求得随
机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的
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误差理论与数据处理
重点与难点
三大类误差的特征、性质以及减小各 类误差对测量精度影响的措施
掌握等精度测量的数据处理方法 掌握不等精度测量的数据处理方法
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误差理论与数据处理
第一节 随机误差
一、随机误差产生的原因
当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列 不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有误差，这些 误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出现后，不能预测下 一个数据的大小和方向。但就误差整体而言，却明显具有某种统 计规律。
第一节 随机误差
二、正态分布
随机误差的分布可以是正态分布，也有在非正态分布，而多数随 机误差都服从正态分布。我们首先来分析服从正态分布的随机误差的 特性。
误差
i
设被测量值的真值为 可表示为：
第二章 误差的基本性质与处理
n
2 i
n 1
II. 测量列算术平均值的评定标准
在相同条件下对同一量值作多组重复的系列 测量，每一系列测量都有一个算术平均值。 标准差 x 则是表征同一被测量的各个独立测 量列算术平均值分散性的参数，可作为算术 平均值不可靠性的评定标准。
l1 l2 ln 已知算术平均值：x n
12 22 n2
n
2 i i 1
I.
n
正态分布的随机误差分布密度
1 f ( ) e 2
2 2 2
坦。
值越小 ，曲线变陡 ；反之 ，曲线越平
可作为测量列中单次测量不可靠性的评 定标准。
当被测量的真值为未知时，不能求得标 准差。实际上，在有限次测量情况下，可用残 余误差 v i 代替真值误差，而得到标准的估计 值。
II. 权的确定方法
最简单的方法是按测量的次数来确定权，即 测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量 次数愈多，其可靠程度也愈大，因此完全可 由测量的次数来确定权的大小，即 pi ni 。 假定同一个被测量有m组不等精度的测量结 果，这m组测量结果是从单次测量精度相同 而测量次数不同的一系列测量值求得的算术 平均值。因为单次测量精度皆相同，其标准 差均为 ，则各组算术平均值的标准差 为： xi , i 1,2, m ni
算术平均值的极限误差： lim x t x
作业：P53-2-2,2-4,2-5
六
不等精度测量
为了得到更精确的测量结果，如在科学研究 或高精度测量中，往往在不同的测量条件下， 用不同的仪器、不同的测量方法、不同的测 量次数以及不同的测量者进行测量与对比， 这种测量称为不等精度测量。 在一般的测量工作中，常遇到的不等精度测 量在两种情况：
误差理论与分析
第二章误差的基本性质与处理第一节随机误差一.随机误差的产生原因1)测量装置方面的因素2)环境方面的因素3)人员方面的因素二.正态分布若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则该测量列中的随机误差一般具有以下几个特征：1)绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性。
2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多，这称为误差的单峰性。
3)在一定测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限，这称为误差的有界性。
4)随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零，这称为误差的抵偿性。
服从正态分布的随机误差均具有以上4个特征。
，则测量列中的随机误差δi为设被测量的真值为Lδi=Ll0-（2--1）正态分布的分布密度f(δ)与分布函数F(δ)为f(δ)=e)2/(2221σδπσ- (2--2)δπσδδσδd eF ⎰∞--=)2/(2221)( (2--3)式中，δ为标准差（或称均方根误差）；e 为自然对数的底，其值为2.7182~~ 它的数学期望为⎰∞∞-==0)(δδδd f E(2--4)它的方差为 δδδσd f )(22⎰∞∞-= (2--5)其平均误差为 σσδδδθ547979.0)(≈==⎰∞∞-d f (2--6) 此外由21)(=⎰-δδd f pp可得或然误差为 p=0.6745σ≈σ32(2--7)三.算术平均值（一）算术平均值的意义设为n 次测量所得的值，则算术平均值为nlnl l l l x ni in ∑==++++=1321...... （2-8）一般情况下，被测量的真值为未知。
可用算术平均值，代替被测量的真值进行计算，则有 x l v i i -= （2-9），式中，为第i 个测得值，i =1,2，.... ，n ；i v 为i l 的残余误差（简称残差）。
任选一个接近所有测得值的数0l 作为参考值，计算出的每个测得值i l 与0l 的差值0l l l i i -=∆ i=1,2,......,n 因nlx ni i∑==1nlx ni i∑=∆=∆1则 x l x ∆+=0 （2--10） （二）算术平均值的计算校核根据式（2-9）求得的残余误差，其代数和为 x n l vni i ni i-=∑∑==11式中的算术平均值是根据（2-8）计算的，当求得的为未经凑整的准确数时，则有∑==ni i v 10 （2--11） 残余误差代数和为零是用来校核算术平均值及其残余误差计算的正确性。
第二章误差的基本性质与处理
解法二：
x 20.0000
(0.0005 0.0004 0.0003 0.0006 0.0002)
i 0
5
5
20.0000
10
算术平均值的计算校核
1.残差代数和 ① ②
x为准确数时， v 0 x为不准确数时， v 为正，其等于余数 v 为负，其等于亏数
i 1 i n i 1 n i 1 i i
x x0
p (x
i 1 i m i 1
m
i
x0 )
i
p
27
3.单位权化
非等精度 等精度 任何一个非等精度随机变量乘以自身 权数的平方根，得到的新变量的权数为1。 即： z y p y
pz 1
pi
i
4.加权算术平均值的标准差 M组不等精度测量 x x
p
i 1
m
i
p
i 1
m
i
28
由残差来计算
pv
i 1
m
m
2
i xi
m 1
则：
x
pv
i 1
2
i xi m
( m 1) pi
i 1
(m要求足够大）
29
例：1m的米尺经三种方法检定，其结果
如下：
x1 1000.045mm
x 5m
1
x2 1000.015mm x 2 20m x3 1000.060mm x 3 10m
③得
x l 0
l
i 0
n
i
n
9
例：求20.0005，19.9996，20.0003，19.9994， 20.0002五个测得值的算术平均值。
《误差理论与数据处理》答案
《误差理论与数据处理》第一章 绪论1—1．研究误差的意义是什么?简述误差理论的主要内容.答： 研究误差的意义为：（1）正确认识误差的性质,分析误差产生的原因，以消除或减小误差;(2）正确处理测量和实验数据,合理计算所得结果,以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；（3）正确组织实验过程,合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下,得到理想的结果。
误差理论的主要内容:误差定义、误差来源及误差分类等. 1-2．试述测量误差的定义及分类,不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下,误差的绝对值和符号保持恒定,或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。
1—3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同,并举例说明。
答：（1）误差的绝对值都是正数,只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了"，只是差别量;绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少. （2）就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”，试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于:1—6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？解: 绝对误差＝测得值－真值，即: △L ＝L －L 0 已知:L ＝50，△L ＝1μm ＝0。
001mm ，测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0。
001＝49.999(mm ）1—7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100。
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第二节 系统误差
二、系统误差的分类和特征
系统误差的特征是在同一条件下，多次测 量同一测量值时，误差的绝对值和符号保 持不变，或者在条件改变时，误差按一定 的规律变化。由系统误差的特征可知，在 多次重复测量同一值时，系统误差不具有 抵偿性，它是固定的或服从一定函数规律 的误差。从广义上讲，系统误差是指服从 某一确定规律变化的误差。
征
第二节 系统误差
（一）不变系统误差
固定系统误差是指在整个测量过程中，误差 的大小和符号始终是不变的。
如千分尺或测长仪读数装置的调零误差，量 块或其它标准件尺寸的偏差等，均为不变系 统误差。它对每一测量值的影响均为一个常 量，属于最常见的一类系统误差。
第二节 系统误差
i 1
j k 1
i 1
jK 1
i 1
jK 1
测量次数足够多时,
K
n
vi ' v j ' 0
i 1
j k 1
K
n
K
n
所以得： vi v j (li x) (l j x)
i 1
jK 1
i 1
j K 1
若Δ显著不为O，则有理由认为测量列存在线性系统误差。 这种校核法又称“马列科夫准则” 。
② 周期变化的系统误差 在整个测量 过程中，系统误差随某因素周期变化。
例如，仪表指针的回转中心与刻度盘中心有一
个偏心量 e ，则指针在任一转角 处引起的
读数误差为 L e。 s此in误 差变化规律符合正
弦曲线规律，当指针在 0 和 180 时误差为 零，而在 90 和 270 时误差绝对值达最大。
在此情况下，可用统计准则进行判断.若
n1
u vivi1 v1v2 v2v3 vn1vn 2 n 1 i 1
（二）变化系统误差 变化系统误差指在整个测量过程中，误差的
大小和方向随测试的某一个或某几个因素按 确定的函数规律而变化.其种类较多，又可分 为以下几种：
① 线性变化的系统误差 在整个测量过程中， 随某因素而线性递增或递减。 例如，量具长度随温度的变化：
L (L0 L0 T )mm
第二节 系统误差
第二节 系统误差
② 用于发现周期性系统误差：
等精度测量列，按测量先后顺序排列残余误差，若存在 按此顺序呈周期性变化的系统误差，则相邻残余误差之差 值的符号也将出现周期性的正负号变化.但这种方法只有当 周期性系统误差是整个测量误差的主要成分时，才有实用 效果。否则，差值符号变化将主要取决于随机误差，以致 不能判断出周期性系统误差。
1、用于发现测量列组内的系统误差，包括实验对 比法、残余误差观察法、残余误差校核法和不同公 式计算标准差比较法；
2、用于发现各组测量之间的系统误差，包括计算
数据比较法、秩和检验法、和 t 检验法。
第二节 系统误差
（一）测量列组内的系统误差发现方法
1、实验对比法 实验对比法是改变产生系统误差的条件， 进行不同条件的测量，以发现系统误差。
① 测量装置方面的因素
计量校准后发现的偏差、仪器设 计原理缺陷、仪器制造和安装的 不正确等。
② 环境方面的因素
测量时的实际温度对标准温度的 偏差、测量过程中的温度、湿度 按一定规律变化的误差。
③ 测量方法的因素
采用近似的测量方法或计算公式 引起的误差等。
④ 测量人员的因素
测量人员固有的测量习性引起的 误差等。
➢系统误差和随机误差同时存在测量数据之中，而 且不易被发现，多次重复测量又不能减小它对测量 结果的影响，这种潜伏使得系统误差比随机误差具 有更大的危险性，因此研究系统误差的特征与规律 性，用一定的方法发现和减小或消除系统误差，就 显得十分重要。
第二节 系统误差
一、系统误差产生的原因
系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素造成，在条件 充分的情况下这些因素是可以掌握的。主要来源于：
显著含有系统误差的测量列,其任一测量值的残余误
差约为系统误差与测量列系统误差平均值之差。
第二节 系统误差
① 用于发现线性系统误差：
若将测量列中前K个残余误差相加，后n-K个残余误差相加 (K=n/2；或K=(n+1)/2)，两者相减得：
K
n
K
n
K
n
vi v j vi ' v j ' (li x) (l j x)
第二节 系统误差
三、系统误差的发现方法
在测量过程中形成系统误差的因素是复杂的,通常人们 还难于查明所有的系统误差,也不可能全部消除系统误 差的影响.发现系统误差必须根据具体测量过程和测量 仪器进行全面的仔细分析.目前尚无发现各种系统误差
的普遍方法.针对不同性质的系统误差，可按照下述 两类方法加以识别：
这种方法适用于发现不变的系统误差。
第二节 系统误差
2、残余误差观察法 残余误差观察法是根据测量列的各个残余误 差大小和符号的变化规律，直接由误差数据 或误差曲线图形来判断有无系统误差。
即根据测量先后顺序,将测量列的残余误差列 表或作图进行观察,可以判断有无系统误差.
这种方法适于发现有规律变化的系统误差。
第二节 系统误差
第二节 系统误差
3、残余误差校核法
设有测量列l1,l2,…,ln，它们的系统误差为l1, l2 ln， 它们不含系统误差之值为l1', l2' ln' ，则：
li l'i li i 1,2,..., n.
取算术平均值
x x'x
两式相减 vi vi (li x)
若系统误差显著大于随机误差， v可i 予忽略，则 vi li x
第2章 误差的基本性质与处理
第二节 系统误差
系统误差的产生原因 系统误差的特征与分类 系统误差的发现方法 系统误差的减小和消除方法
第二节 系统误差
研究系统误差的重要意义
➢系统误差是指在确定的测量条件下，某种测量方 法和装置，在测量之前就已存在误差，并始终以必 然性规律影响测量结果的正确度，如果这种影响显 著的话，就要影响测量结果的准确度。
第二节 系统误差
③ 复杂规律变化的系统误差 在整个测量过 程中，随某因素变化，误差按确定的更为复 杂的规律变化，称其为复杂规律变化的系统 误差。
例如，微安表的指针偏转角与偏转力距间不 严格保持线性关系，而表盘仍采用均匀刻度 所产生的误差就属于复杂规律变化的系统误 差。这些复杂规律一般可用代数多项式、三 角多项式或其它正交函数多项式来描述。