概率论第一章概率论的基本概念第1节随机试验,样本空间、随机事件,频率与概率

A B
S
A
BA
S
事件A和B不能同时发生 。
事件A和B必有一个发生 ， 且仅有一个发生，A的对立
注:基本事件是两两互不相容的 。 事件记为 A，A S A 。
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第一章 概率论的基本概念
随机事件的运算规律
幂等律: A A A, A A A
交换律: A B B A, A B B A
结合律: A B C A B C
A B C A B C
分配律: A B C A B A C
A B C A B A C
De Morgan律: A A , A A
注：大bar变小bar，开口由上(下)变下(上)。 返回主目2录2
关于德摩根(De Morgan)律的说明：
k 1
事件A和B至少有一个发生，
也可说A发生或者B发生。
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第一章 概率论的基本概念
30 积事件 A B
推广：n个事件的积
A1, A2 , , An同时发生
A
BFra Baidu bibliotek
称为 A1, A2 , , An 的积。记为：
S
n
A1 A2 An或 Ak或A1A2 An
k 1
事件A和B同时发生。也记AB.
这些试验具有以下特点：
•可以在相同的条件下重复进行；(试验的可重复性)
•每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确 实验的所有可能结果；（全部试验结果的可知性）
•进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。
（一次试验结果的随机性）
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在概率论中，把具有上述三个特 点的试验称为随机试验。
• 注：1、以后我们讲的试验都是随机
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第一章 概率论的基本概念
事件发生 的频繁程度
频率 频率的性质
事件发生 的可能性的大小
稳 定值
概率
概率的公理化定义
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第一章 概率论的基本概念
3） 概率的定义
定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于
E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为P( A) ,
称为事件 A 的概率，要求集合函数P(•) 满足
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第一章 概率论的基本概念
随 机 事 件（Randon event）
•随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的随机事件，
简称事件，用A，B，C等或一种叙述来表示(由一个或者若干 个基本事件组成的随机试验的结果)；
•基本事件 : 由一个样本点组成的单点集(随机试验中每个可能
第一章 概率论的基本概念
性质 4 P( A) 1; 性质 5 P( A) 1 P( A) ; 性质 6 P(A B) P(A) P(B) P(AB)。
A S
BA
A
B
S
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第一章 概率论的基本概念
重要推广
1) P( A B C) P( A) P(B) P(C)
P(AB) P( AC) P(BC)
随机现象的特征 条件不能完全决定结果 6
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象 统计规律性的一门学科。
如何来研究随机现象?
• 随机现象是通过随机试验来研究的。 问题: 什么是随机试验?
7
第一章 概率论的基本概念
随机试验（Experiment ）
这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样 的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。 其典型的例子有：
3
第一章 概率论的基本概念
§1 随 机 事 件 的 概率
目录索引
一 随机事件 二 事件间的关系与运算 三 频率与概率
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第一章 概率论的基本概念
一、 随 机 事 件 随机现象
自然界所观察到的现象：确定性现象，随机现象。
1.确定性现象 在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象。
实例 “太阳不会从西边升起”, “水从高处流向低处”,
产生的结果)；
•必然事件 : 样本空间 S 本身(随机试验中必然发生的事件)； •不可能事件 : 空集(在随机试验中不可能发生的事件)。
我们称一个随机事件发生当且仅当它所包 含的一个样本点在试验中出现． 返回主目1录4
第一章 概率论的基本概念
例如：S2 中事件 A={HHH,HHT,HTH,HTT} 表示 “第一次出现的是正面”
显然： AB A(B) A B
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第一章 概率论的基本概念
40 差事件 A B
A B
A B
A AB S
A
B
S
事件A发生且B不发生， 也记A-AB或者AB 。
注： A B A B AB B A
三个不相交的事件之和！
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第一章 概率论的基本概念
次品
0
1000
一等品 1500
概率论与数理统计
1
概率论的诞生
公元1651年夏天，数学家帕斯卡在旅途中偶然遇到赌徒梅 累，梅累向帕斯卡请教一个他亲身经历的“分赌金”的问题。 问题是这样的:一次梅累和赌友投骰子，各押赌注32个金币。约 定的赌规是:梅累若先掷出三次“6点”，或赌友先掷出三次“4 点”，就算赢了对方。赌博进行了一段时间，梅累先掷出了两 次6点，赌友也掷出了一次“4点”。这时梅累奉命要立即去晋 见国王，赌博只好中断。那么，两人应该怎样分这64枚金币呢? 赌友说:梅累还要再掷一次“6点”才算赢，而他自己如果能掷出 两次“4点”也就赢了。
f n ( A1 A2 Ak) f n ( A1) f n ( A2) f n ( Ak)
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第一章 概率论的基本概念
2 ） 频率的稳定性 n=500时(硬币正面朝上的次数)
nA 251 249 256 253 251 246 244 fn(A) 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488
试验； 2、我们是通过研究随机试验
来研究随机现象的； 3、随机试验用字母E表示。
10
第一章 概率论的基本概念
样本空间(Space)
定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间， 记为 S 。样本空间的 元素，即 E 的每个结果，称为样本点。
注：样本空间的元素的个数可以是有限个也可能是无限个。
0.002 -0.002 0.012 0.006 0.002 -0.008 -0.012
实验者 n 德•摩根 2048 蒲 丰 4040 K •皮尔逊 12000 K •皮尔逊 24000
nH 1061 2048 6019 12012
fn(H) 0.5181 0.5096 0.5016 0.5005
P( ABC)
B
2) P(B A) P(B) P( AB)
A
S
n
注： Ai A1 A1A2 A1A2 A3 A1A2 An1An i 1 返回主目3录2
第一章 概率论的基本概念
加法公式的推广
对任意n 个事件 A1, A2 , , An , 有
确定性现象的特征 条件完全决定结果
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第一章 概率论的基本概念
2. 随机现象
在生活当中，经常接触到事件的概率，
比如： 掷硬币于平面正面朝上 概率为 50% ， 某强队对弱队 赢球 的概率为 80% ， 某人远距离射击击中目标的概率为：60% ；
这种在个别实验中其结果呈现出不确定性； 在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象， 我们称之为随机现象。
E1：（抛T一ai枚ls）硬出币现，的观情察况正。面H（Heads）、反面T
E2
：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现 的情况。
E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。
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第一章 概率论的基本概念
E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E7：记录某地一昼夜的最低温度和最高温度。
HTT, THT, TTH, TTT }
S3 : { 0, 1, 2, 3 } S4 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
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第一章 概率论的基本概念
E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E7：记录某地一昼夜的最低温度和最高温度。
S5 : {0,1,2,3……} S6 : { t | t 0 } S7 : { ( x , y ) | T 0 x , y T1 }
4 ） 概率的性质与推广
性质 1 P() 0 ; 性质 2 若A1, A2 , , An 是两两互不相容事件 ,则
P( A1 A2 An) P( A1) P( A2) P( An)
性质 3 A B P(B A) P(B) P(A) P(B) P(A)
A B S
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S6 中事件 B1={t|0≤t＜1000} 表示 “灯泡是次品”
事件 B2={t|t ≥ 1000} 表示 “灯泡是合格品”
事件 B3={t|t≥1500} 表示“灯泡是一级品”
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第一章 概率论的基本概念
二 、 事件间的关系与运算
10 包含关系 A B
20 和事件 A B
30 积事件 A B 40 差事件 A B 50 互不相容 A B 60 对立事件 A B
BC
S6 : { t | t 0 }中 事件A ={ t | 0≤t ＜ 1000} “次品” 事件B ={ t | t ≥ 1000} “合格品” 事件C ={ t | t ≥ 1500} “一等品”
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第一章 概率论的基本概念
50 互不相容
A B
60 对立事件 A B A B S
2
这样，自己所得应是梅累的一半，即他得64个金币的三分之一， 而梅累得三分之二。梅累争辩说:即使下一次赌友掷出了“4 点”，两人也是平分秋色，各自收回32个金币。何况那一次自 己还有可能得到所有的金币呢。所以，他主张自己应得更多的 赌金。梅累的这个问题把数学家帕斯卡难住了。为了寻求解答 这类问题的方法，帕斯卡冥思苦想了三年，终于在1654年想出 一些眉目。于是，他把自己的想法告诉了当时数学界的“怪杰” 费尔马，两人对此进行了深入研究，得出了许多有用的结论， 奠定了一门数学分支的基础，这门分支叫-------概率论。人们确 认，1654年7月29日帕斯卡写信给费尔马的日子是概率论的诞 生之日。
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E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。
E2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现 的情况。
E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。
S1 : { H , T } S2 : { HHH, HHT, HTH, THH,
关于德摩根(De Morgan)律的说明： A1A2 An A1, A2, , An同时发生
A1, A2, , An都不发生
A1, A2, , An至少有一个发生
A1 A2 An
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第一章 概率论的基本概念
三、频 率 与 概率
1） 频率的定义和性质 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这
n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为 事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件 A 发生的频率，并记成 fn(A) 。
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第一章 概率论的基本概念
它具有下述性质:
1 0 f n ( A) 1 ; 2o f n(S) 1;
3o 若A1, A2,L , Ak是两两互不相容事件,则
A B S
A B S
事件A发生必然导致事件B发 生，也可说A是B的子事件。
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第一章 概率论的基本概念
20 和事件 A B
推广：n个事件的和
A1发生或A2发生或 An发生
A
B A1, A2, , An至少有一个发生
S
称为 A1, A2 , , An 的和。记为：
n
A1 A2 An或 Ak
A1 A2 An A1, A2, , An中至少有一个发生
A1, A2, , An都不发生
A1A2 A（n A1，A2， ，An同时发生）
至少
转换
至多
B A1, A2, , An中至少有 k个事件发生（ 不好算）
B A1, A2, , An中至多有 k -1个事件发生（ 好算）
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下列条件：
概率是随机事件发生大小的可能
10 0 P( A) ; 非负性 性的数字表征，是事件的“函数”！
20 P(S ) 1 ; 规范性
30 若A1, A2 , 是两两互不相容事件 ,则 可列可加性
P( A1 A2 ) P( A1) P( A2) 返回主目2录9
第一章 概率论的基本概念