三角形与多边形
第8讲 相似多边形与相似三角形(备课,讲义)全套
第八讲 相似多边形与相似三角形一、新知探索与考点剖析考点一：相似多边形例1．下面各组中的两个图形，形状相同的图形是（ ）例2．（1）以下五个命题：①所有的正方形都相似； ②所有的矩形都相似；③所有的菱形都相似； ④所有的三角形都相似； ⑤所有的等腰直角三角形都相似； ⑥所有的正五边形都相似．其中正确的命题有______________________．（2）已知四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似,相似比为4:3，①若∠A ′=65°,则∠A=___________； ②A ′B ′=6 cm,则 AB=___________；③若四边形ABCD 周长为64cm,则四边形A ′D ′、B ′C ′的周长为______________．例3．E 、F 分别是矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD ∽矩形EABF ，（1） 求长方形ABCD 长AD 与宽CD 的比； （2） 当AB=1时，求矩形ABCD 的面积. ◎变式提升训练◎1. 如图，已知四边形ABCD ∽A ’B ’C ’D ’, 则x= ，y= ， = ．考点二：相似三角形例4. 如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm ，AB=4cm ，如果图中的两个直角三角形相似，求AD 的长.◎变式提升训练◎1． 如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形.当ΔAPB ∽ΔACP 时，则∠APB=_________.2.如图，已知点D 在AC 上，且△ABD ∽△ACB ，AB=2，AD=1，求CD 的长.3.如图，在矩形ABCD 中，点E F 、分别在边AD DC 、上，A B ED E F △∽△，692AB AE DE ===，，，求EF 的长．C第1题第2题第3题二、易错点、考点强化提升例6.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 为AB 上一点，MN ∥BC 交CD 于N.若AD=2，BC=8，M 点在何处时，MN 所分梯形AMND 与梯形MBCN 相似？◎变式提升训练◎如图，在△ABC 中，已知∠ACB=900，过C 作1CD AB ⊥于1D ，过点1D 作12D D BC ⊥于2D 过2D 作23D D AB ⊥于3D ，这样继续下去.（1）判断图中的这些三角形的形状都相同吗？（2）若∠B=30°，AC=1，求线段1n n D D +(n 为正整数)的长度.◎素质能力测试◎一、选择题：1．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=a ，BC=b ，EF ∥AD 交AB 、CD 于E 、F ，且梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，则EF 等于（ ）．A ．abB ．2b a +C ．222b a + D ．不能确定2. 如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m, BD 长0.55m,且△ADE ∽△ABC,则梯子的长AB=( ) A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m3. 如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使⊿ABC ∽⊿CAD, 只要CD 等于( )A.c b 2B.a b 2C.c abD.ca 213A DC M N B4. 一个钢筋三角架三 长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( )A.一种B.两种C.三种D.四种二、填空题1．两个相似多边形的相似比是81，则这两个多边形的对应对角线的比是________．2．在菱形ABCD 和菱形A ′B ′C ′D ′中，∠A =∠A ′=60°，若AB ∶A ′B ′=1∶3， 则BD ∶A ′C ′=____________．三、解答题1．在一矩形ABCD 的花坛与花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等.如果花坛AB=20米，AD=30米，试问小路的宽x 与y 的比值为多少时，能使使小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′与矩形ABCD 相似？请说明理由.2．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 上的一点，EF ∥BC ，并且EF 将梯形ABCD 分成的两个梯形AEFD 、EBCF 相似，若AD=4，BC=9，求AE ∶EB ．——相似多边形与相似三角形 姓名：______一、选择题：1．下列图形中一定相似的是（ ）A ．有一个角相等的两个平行四边形B ．有一个角相等的两个等腰梯形C ．有一个角相等的两个菱形D ．有一组邻边对应成比例的两平行四边形 2．下列结论不正确的是（ ）． A ．所有的矩形都相似 B ．所有的正方形都相似C ．所有的等腰直角三角形都相似D ．所有的正八边形都相似3．五边形ABCDE ∽五边形A ′B ′C ′D ′E ′，若对应边AB 与A ′B ′的长分别为50厘米 和40厘米，则五边形A ′B ′C ′D ′E ′与五边形ABCDE 的相似比是（ ）． A ．5∶4 B．4∶5 C ．5∶25 D ．25∶54．若△ABC ∽△DEF,它们的周长分别为6 cm 和8 cm ，那么下式中一定成立的是（ ）． A ．3AB=4DE B ．4AC=3DEC ．3∠A=4∠D D ．4（AB+BC+AC ）=3（DE+EF+DF ）5．某学生利用树影测松树的高度，他在某一时刻测得1．5米长的竹竿影长0．9米，但当他马上测松树高度时，因松树靠近一幢高楼，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墙上，他测得留在地面部分的影长是2．4米，留在墙上部分的影高是1.5米，则松树的高度为_____米．二、解答题1．已知：△ABC 三边的比为1∶2∶3，△A ′B ′C ′∽△ABC ，且△A ′B ′C ′的最大边长为15 cm ，求△A ′B ′C ′的周长．2.已知ABC A B C '''△∽△,△ABC 2，A B C '''△的两边长分别为1A B C '''△的第三边长.3. 如图，分别取等边三角形ABC 各边的中点D 、E 、F ，得△DEF ．若△ABC 的边长为a ． （1）△DEF 与△ABC 相似吗？如果相似，相似比是多少？（2）分别求出这两个三角形的面积．（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？。
精品 八年级数学上册 三角形认识综合题3
19.如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.
20.已知六边形 ABCDEF，如图，它的每个内角都相等，且 AB=1，BC=CD=DE=9，求这个六边形 的周长.
21.如图,在四边形 ABCD 中,∠A=∠C=90°,作出∠B 和∠D 的平分线, 观察它们之间的关系, 作出猜想并加以说明理由.
15.在△ABC 中，∠B＝20°+∠A，∠C＝∠B－10°，求∠A 的度数.
16.一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为 2670 ，求这个内角的大小．
17.如果一个多边形的边数增加一倍， 它的内角和是 2880 ， 那么原来的多边形的边数是多少？
0
18.已知从多边形一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成三角形的个数恰好等于该多边 形所有对角线条数，求多边形内角和。
0 0
22.如图， 在六边形 ABCDEF 中， AF//CD， AB//DE， 且 A 120 ，B 80 ， 求 C 和 D
0 0
的度数。
23.如果多边形恰有四个内角是钝角,那么多边形的边数共有几种可能? 其中最多是几边形? 最少是几边形?
24.一个广场地面的一部分如图所示,地面的中央是一块正六边形的地砖, 周围用正三角形 和正方形的大理石地砖拼成,从里往外共 12 层(不包括中央的正六边形地砖),每一层的外 界都围成一个多边形.若中央正六边形地砖的边长是 0.5 米, 则第 12 层的外边界所围成的 多边形的周长是多少?
1 ，则它的每一个内角都是______． 5
9.如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围第一层有六个白色正六边形， 则第 n 层有__________个白色正六边形.
【精品】初中数学 三角形与多边形复习 练习题
三角形复习三角形有关边1.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为2.一个三角形的两边长为2cm和9cm，第三边长是一个奇数，则第三边的长为+-.3.已知a,b,c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|-c b a4.已知等腰三角形的周长为20．（1）当一边长为6时，另两边的长是多少？（2）当一边长为4时，另两边的长是多少？5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。
ECB6.用三角尺分别画出图中的各边上的高。
7.用三角尺分别画出图中的各边上的中线以及角平分线。
8.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，BC=12，AC=8，AD=6，求BE 的长。
9.如图，△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若AB=5cm ，AC=3cm ，则△ABD 的周长比△ACD 的周长多______________.DCBA10.如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，DF为△ABD中AB边上的中线。
已知AB=5cm，AC=3cm，△ABC的面积为212cm，则（1）△ABD与△ACD的周长之差是（2）△ABD的面积是（3）△ADF的面积是11.小明从家A点去学校B点，有两条路可走，A→D→B；A→C→B，可小明每回上学都走A→C →B，因为他认为该路比另一条要近，小明的想法对吗？为什么？12.如图，一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( )A、三角形的稳定性B、两点确定一条直线C、两点之间线段最短D、垂线段最短FD CBA三角形有关角1.下列说法正确的是( )A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于60° 2.已知三角形的一个内角是另一个内角的23,是第三个内角的45,则这个三角形各内角的度数分别为( ) A.60°,90°,75° B.48°,72°,60°C.48°,32°,38°D.40°,50°,90°3.已知△ABC 中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A 的度数为( ) A.100° B.120° C.140° D.160°4.在△ABC 中,∠A=12∠B=13∠C,则此三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5.若一个三角形的三个内角不相等，则它的最小角不能大于（ ）A.450B.600C.900D.12006.如图，a ∥b ，则下列式子中值为180°的是( )．A ．∠α＋∠β－∠γB ．∠α＋∠β＋∠γC ．∠β＋∠γ－∠αD ．∠α－∠β＋∠γ7.如图是由平面上五个点A ，B ，C ，D ，E 连接而成，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数是多少？8.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC,AE 是∠BAC 的平分线，已知∠C=420, ∠B=740, 求∠AED 和∠DAE 的度数.9.已知△ABC ，①如图1，若P 点是ABC ACB ∠∠和的角平分线的交点，请说明1902PA ∠=+∠； EDC BAAB D EC②如图2 ，若P 点是ABC ∠∠和外角ACD 的角平分线的交点,你能说明∠P=12∠A 吗? ③如图３，若P 点是外角CBF BCE ∠∠和的角平分线的交点，你能说明1902P A ∠=-∠吗?多边形：1、若一个多边形的内角和与外角和的比为7∶2，求这多边形的边数。
三角形与多边形
多边形1．多边形及其有关概念(1)多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形． 多边形按组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边形、六边形、……由n 条线段组成的多边形就叫做n 边形．如图，是一个五边形，可表示为五边形ABCDE .三角形是最简单，边数最少的多边形.(2)多边形的边：组成多边形的线段叫做多边形的边．(3)多边形的内角、外角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，也称为多边形的角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图，∠B ，∠C ，∠D ，…是五边形的内角，∠1是五边形的外角．谈重点 多边形外角的理解 多边形每一个顶点处有两个外角，并且同顶点的外角与内角互为邻补角．(4)多边形的对角线： ①定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图，AC ，AD 就是五边形ABCDE 中的两条对角线．②拓展理解：一个n 边形从一个顶点可以引(n －3)条对角线，把n 边形分成(n －2)个三角形．一个n边形一共有n (n －3)2条对角线． 析规律 多边形的对角线条数与顶点数的关系 ①从多边形一个顶点引出的对角线能将多边形分割成不同的三角形，这就把多边形问题转化为三角形问题来研究；②所有的四边形都有2条对角线，五边形有5条对角线，也就是说一个边数一定的多边形的对角线的条数是一定的．(5)凸多边形和凹多边形：①在图(1)中，画出四边形ABCD 的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；②在图(2)中，画出DC (或BC )所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧，我们称这个四边形为凹四边形，像这样的多边形称为凹多边形．【例1】 填空：(1)十边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．(2)从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形．解析：(1)一个n 边形有n 个顶点，n 个角，2n 个外角，从一个顶点能画出(n －3)条对角线，共有n (n －3)2条对角线； (2)一个n 边形从一个顶点可以引(n －3)条对角线，把n 边形分成(n －2)个三角形，所以n －2＝4，n ＝6，这个多边形是六边形．答案：(1)10 10 20 7 35(2)六2．正多边形(1)定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．如等边三角形、正方形等．(2)特点：不仅边都相等，角也都相等，两个条件必须同时具备才是正多边形．如长方形四个角都是直角，都相等，但边不等，所以不是正多边形．析规律 正多边形外角的特征 因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等．【例2】 下列说法正确的个数有( )．(1)由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形；(2)各边都相等的多边形是正多边形；(3)各角都相等的多边形一定是正多边形；(4)正多边形的各个外角都相等．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：(1)不正确，一是要在同一平面内，二是不能在同一条直线上；(2)不正确，各边都相等，各角也都相等的多边形才是正多边形，这两个条件必须同时具备，如菱形虽然四边都相等，但它不是正多边形；(3)不正确，如长方形四个角都是直角，都相等，但边不一定相等，所以不是正多边形；(4)正确，因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等．故选A.答案：A3．多边形的内角和(1)公式：n 边形内角和等于(n －2)×180°.(2)探究过程：如图，以五边形、六边形为例．①从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形，五边形的内角和等于180°×3＝540°；②从六边形的一个顶点出发，可以画3条对角线，它们将六边形分成4个三角形，六边形的内角和等于180°×4＝720°；③从n 边形的一个顶点出发，可以画(n －3)条对角线，它们将n 边形分成(n －2)个三角形，n 边形的内角和等于180°×(n －2)．所以多边形内角和等于(n －2)×180°.析规律 多边形内角和公式的推导 推导多边形内角和公式的方法很多，但都是将多边形内角和转化为三角形内角和进行推导的，这也是研究问题的一种思路方法，将多边形问题转化为三角形问题解决．(3)应用：①运用多边形内角和公式可以求出任何边数的多边形的内角和；②由多边形内角和公式可知，边数相同的多边形内角和也相等，因此已知多边形内角和也能求出边数．【例3】 选择：(1)十边形的内角和为( )．A ．1 260°B ．1 440°C ．1 620°D ．1 800°(2)一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有( )．A ．6条B ．7条C ．8条D ．9条解析：(1)运用多边形内角和公式计算：180°×(10－2)＝1 440°，故选B ；(2)一个多边形的内角和为720°，即180°×(n －2)＝720°，解得n ＝6，所以该多边形是六边形，六边形有6×(6－3)2＝9条对角线，故选D. 答案：(1)B (2)D4．多边形的外角和(1)公式：多边形的外角和等于360°.(2)探究过程：如图，以六边形为例．①外角和：在每个顶点处各取一个外角，即∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，它们的和为外角和．②因为同顶点处的一个内角和外角互为邻补角，所以六边形内、外角和等于180°×6＝1 080°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝1 080°－180°×(6－2)＝360°.③n 边形外角和＝n ×180°－(n －2)×180°＝360°.(3)拓展理解：①多边形的外角和是一个恒值，即任何多边形的外角和都是360°，与边数无关．②多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处取一个外角的和．解技巧 多边形的内角与相邻外角的关系的运用 同顶点的每一个内角和外角互为邻补角是解决含内、外角问题的关键，是内、外角转换的纽带．【例4】 填空：(1)一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是__________边形，它的内角和是__________度，外角和是__________度；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加__________，外角和增加__________． 解析：(1)因为每个外角都是60°，所以360°÷60°＝6，所以是六边形．根据内角和公式计算出内角和是720°，外角和是恒值为360°(也可以由每个外角都是60°，得每个内角都是120°，进而得到内角和是720°)；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加180°，但外角和不变．答案：(1)六720 360 (2)180°0°5．多边形内角和公式的应用多边形内角和只与边数有关，因此当一个多边形的边数确定时，多边形的内角和就是一定的，所以多边形内角和公式就有两个作用：(1)已知多边形边数(顶点数、内角个数)就可以求出多边形内角和度数，方法是直接将边数n代入公式(n－2)×180°求出．(2)已知多边形内角和求多边形边数，只要根据多边形内角和公式列出以n为未知数的方程，解方程，求出n即可得到边数．破疑点多边形内角和的理解①用内角和除以180°得到的是n－2的值，不是边数，边数是n，这点要注意．②熟记多边形内角和公式是这部分内容应用的关键．【例5－1】若一个四边形的四个内角度数的比为3∶4∶5∶6，则这个四边形的四个内角的度数分别为__________．解析：设每一份为x°，那么四个角分别为3x°，4x°，5x°，6x°.根据四边形内角和是360°，列出方程3x＋4x＋5x＋6x＝360，解得x＝20，然后求出各角；也可以用360°÷18＝20°，每一份是20°，然后求解．答案：60°，80°，100°，120°【例5－2】一个多边形的内角和等于1 440°，则它的边数为__________．解析：根据多边形内角和公式列出以n为未知数的方程(n－2)×180＝1 440，解方程得n＝10.所以这个多边形为十边形．答案：10【例5－3】一个多边形的内角和不可能是( )．A．1 800°B．540°C．720°D．810°解析：因为边数只能是整数，所以多边形的内角和必须是180°的整数倍，故选D.答案：D6.多边形外角、外角和公式的应用多边形外角和是360°，它是一个恒值，不论多边形是几边形，它的外角和都是360°，与边数无关，所以对于普通多边形，根据多边形外角和无法判断多边形的边数，因此多边形外角很少单独考查，它一般应用于正多边形中或各角都相等时的情况，因为正多边形的每一个内角都相等，所以正多边形的每一个外角也都相等，因此只要知道正多边形中任一个外角的度数就能求出边数，或知道外角的个数也能求出每一个外角的度数，进而能求出内角度数和内角和的度数．同顶点的外角和内角互为邻补角，所以多边形外角和内角又是相互联系的，知道内角能求外角，知道外角也能求内角，它们之间能相互转换．破疑点多边形外角和与外角的关系多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处各取一个外角的和，是360°，而多边形所有外角的和是360°的2倍，是720°，这点要注意．【例6－1】如图所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，则∠DAB＝__________.解析：方法一：根据同顶点的外角和内角互为邻补角，求出已知角的邻补角．根据四边形内角和为360°，求出∠A；方法二：根据四边形外角和为360°，求出与∠A同顶点的邻补角(A点处的外角)，再求出∠A.答案：125°【例6－2】如图，在四边形ABCD中，∠1，∠2分别是∠BCD和∠BAD的邻补角，且∠B＋∠ADC＝140°，则∠1＋∠2等于( )．A．140°B．40°C．260°D．不能确定解析：方法一：因为四边形内角和是360°，且∠B＋∠ADC＝140°，所以∠DAB＋∠DCB ＝220°，∠1＋∠2＋∠DAB＋∠DCB＝180°×2，所以∠1＋∠2＝360°－220°＝140°；方法二：可求出与∠B，∠ADC同顶点的两外角和为220°，根据四边形外角和是360°，得出∠1＋∠2＝360°－220°＝140°；方法三：连接BD，根据三角形一个外角等于和它不相邻的两内角和，求出∠1＋∠2的度数．答案：A7.正多边形知识的应用正多边形是特殊的多边形，它特殊在每一个内角、外角、每一条边都相等，所以在正多边形中，只要知道一个角的度数，就能知道所有角的度数，包括每一个外角的度数．知道一边的长度，就能知道每一边的长度．因此它的应用主要包括两个方面：(1)已知内角(或外角)能求边数、内角和；已知边数能求每一个外角(或内角)的度数及内角和，即在内角和、边数、内角度数、外角度数四个量中知道一个量就能求出其他三个量．(2)因为正多边形每一条边都相等，所以知道周长能求边长，知道边长能求周长(因较简单所以考查较少)．解技巧利用方程思想求多边形的边数正多边形中已知一个内角的度数求边数时，一是将内角根据“同顶点的内、外角互补”转化为外角，再根据外角和是360°，由360°除以一个外角的度数得到边数；二是根据内角和公式和每个角度数都相等列方程解出边数n.【例7－1】若八边形的每个内角都相等，则其每个内角的度数是__________．解析：由多边形内角和定理知，八边形的内角和是1 080°，每个内角都相等，所以1 080°÷8＝135°.答案：135°【例7－2】一个多边形的每一个外角都等于30°，这个多边形的边数是__________，它的内角和是__________．解析：多边形的外角和是360°，每个外角都是30°，所以360°÷30°＝12，所以该多边形是十二边形，内角和是1 800°，本题也可根据共顶点的内、外角互补，求出内角和．答案：12 1 800°【例7－3】一个多边形的每一个内角都等于144°，求这个多边形的边数．分析：方法一：可设这个多边形的边数为n，那么内角和就是(n－2)×180°，因为每一个内角都是144°，所以内角和为144°×n，根据“表示同一个量的两个式子相等”列方程解出；方法二：因为每一个内角都等于144°，所以每一个外角都是36°.根据多边形外角和为360°，用360°÷36°＝10，也可以得出这个多边形为十边形．解：设这个多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝n×144°，解得n＝10.答：这个多边形的边数为10.8．边数、顶点数、内角和、对角线条数之间关系的综合应用在多边形问题中，当多边形的边数n一定时，不论多边形形状如何，多边形的内角和也是一定的，是(n －2)×180°，多边形对角线的条数也是一定的，是n (n －3)2，并且从一个顶点引出的对角线的条数也是一定的，是(n －3)条，所以在多边形问题中，在这些量中，只要知道其中一个量，就可以求出所有的量．在多边形问题的综合应用中，一般是边数、对角线的条数、内角和之间的关系应用较多，有时还与正多边形知识相结合．因知识限制，一般是给出内角和，求边数或对角线条数题目较多，如：已知一个多边形内角和是1 080°，它有几条对角线？根据内角和公式列方程，(n －2)×180＝1 080求出边数，再根据对角线公式求出对角线条数．【例8－1】 过n 边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是( )．A ．8B ．9C ．10D ．11解析：过多边形一个顶点的所有对角线将一个多边形分成(n －2)个三角形，所以n －2＝8，解得n ＝10，即这个多边形是十边形，故选C.答案：C【例8－2】 多边形的每一个内角都是150°，则此多边形的一个顶点引出的对角线的条数是( )．A ．7B ．8C ．9D ．10解析：根据每一个内角都是150°，求出这个多边形是十二边形，它的一个顶点引出的对角线的条数是n －3＝12－3＝9，故选C.答案：C【例8－3】 一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的内角和． 分析：设边数为n ，根据对角线的条数是边数的4倍，列方程求出边数，再代入多边形内角和公式求出内角和．解：设这个多边形的边数为n ，根据题意，得n (n －3)2＝4n ，解得n ＝11， 所以这个多边形的内角和为：(n －2)×180°＝(11－2)×180°＝1 620°.9.将多边形截去一个角问题的探讨在多边形问题中，有一类问题是将多边形截去一个角后，探讨多边形边数变化和内角和变化的问题．在这类问题中，因截法不同，会出现不同的变化，现以四边形为例加以说明．如图所示，将正方形的桌面截去一个角，那么余下的多边形的内角和度数将怎样变化？因截法有三种情况，所以内角和也就有三种情况：(1)当是图①所示情况时，不过任何一个顶点，四边形变为五边形，边数增加1，所以内角和为540°.(2)当是图②所示情况时，过一个顶点，四边形边数不变，所以内角和也不变，为360°.(3)当是图③所示情况时，过两个顶点，四边形变为三角形，边数减少1，所以内角和也变为180°.析规律 分类解决问题 对于其他多边形(三角形除外，因为三角形只有两种情况)也有这样的三种情况，并且截法相同，解法也相同．【例9－1】 一个多边形截去一个角后，变为十六边形，则原来的多边形的边数为( )．A ．15或17B ．16或17C ．16或18D ．15或16或17解析：因截法不同，所以有三种可能，①当不过任何一个顶点时，截完后边数会增加1，因此原来多边形应为十五边形；②当过一个顶点时，截完后边数不变，所以这种情况下原来的多边形为十六边形；③当过两个顶点时，边数比原来减少1，所以原来就是十七边形，所以原来的多边形的边数为15或16或17，故选D.答案：D【例9－2】一个多边形截去一个角(截线不过顶点)之后，所形成的一个多边形的内角和是2 520°，那么原多边形的边数是( )．A．13 B．15 C．17 D．19解析：一个多边形截去一个角，因截线不过任何顶点，所以新得到的多边形边数比原来的多边形的边数应该增加1.因为新得到的多边形内角和是2 520°，根据多边形内角和公式列方程得(n－2)×180°＝2 520°，解得n＝16，新多边形为十六边形，所以原多边形为十五边形，故选B.答案：B【例9－3】如果一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是2 880°，那么原来的多边形的边数是( )．A．10 B．9 C．8 D．7解析：现在的多边形的内角和是 2 880°，根据多边形内角和公式(n－2)×180°＝2 880°，求出n＝18，所以原来的多边形的边数就是18÷2＝9，因此是九边形，故选B.答案：B10.多边形内角和少算或多算一个角类型题目探索因为多边形的边数只能是整数，由多边形内角和公式(n－2)×180°可知，n－2是正整数，所以多边形的内角和必定是180°的整数倍，因此：①当所给内角和是多计算一个角的情况时，用所给内角和除以180°，因为多加的角大于0°小于180°，所以得到的余数部分就是多加角的度数，得到的整数部分加2就是边数；②当所给内角和是少计算一个角的情况时，因为少加了角，所以得到的整数部分加2比实际的角个数少1，所以用所给内角和除以180°，整数部分加3才是边数，180°减余数部分就是少加的角的度数．破疑点多边形内角和与边数的关系内角和除以180°所得到的整数并不是边数(或角的个数)n，而是n－2的值，所以得到的整数加2才是边数，这是易错点，要注意．【例10－1】一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为2 670°，求这个多边形的边数和少加的内角的大小．分析：因为这个多边形的内角和少加了一个内角，所以内角和实际要大于2 670°，并且加上这个角后就是180°的整数倍，2 670°÷180°＝14……150°，所以n－2＝14，n ＝16，因少加一个角，所以实际有16＋1＝17个角，所以边数是17条，少加的内角是180°－150°＝30°.解：因为2 670°÷180°＝14……150°，所以n－2＝14＋1，n＝17.所以这个多边形的边数是17.少加的内角是180°－150°＝30°.【例10－2】若多边形所有内角与它的一个外角的和为600°，求这个多边形的边数及内角和．分析：由已知可知，600°是多加了一个外角后的内角和，减去多加的角就应是180°的整数倍，因此600°÷180°＝3……60°，因此n－2＝3，所以n＝5，这个多边形为五边形，边数是5，代入多边形内角和公式即可求出内角和．因为多加了一个角，并且多加的角是余数60°，也可以用600°减去余数(60°)得到内角和度数．解：由题意，得600°÷180°＝3……60°，所以n－2＝3，n＝5.所以这个多边形的边数是5.所以这个多边形的内角和为：180°×(5－2)＝540°.答：这个多边形的边数是5，内角和是540°.多边形及其内角和习题第1题. 各角都相等的n 边形的一个外角可能取得的值是 （ ） Ａ．(2)180n n -︒ Ｂ．360n ︒ Ｃ．180n ︒ Ｄ．以上都不对第2题. 一个多边形的内角和比它的外角的3倍少180°，则这个多边形的边数是（ ） 第3题. 过n 边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是 （ ）第4题. 若一个多边形的对角线的条数恰好为边数的3倍，则这个多边形的边数为（ ） 第5题. 一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的内角和． 第6题. 图中是三种将多边形(3)n ≥分成三角形的不同方法．第7题 第8题求证：第9题. 多边形的每一个内角都是150°，则此多边形的一个顶点引出的对角线的条数是（ ）第10题. 如果五边形的五个外角的比是1:3:2:4:5，则五边形中最大的内角与最小的内角的比是 ．第11题. 如图，一个顶角为40o的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则 12∠+∠= 度．第12题. (1)n +边形的内角和比n 边形的内角和大第13题. 正六边形的一个内角的度数是o 1A2A 3A4A 5A n 1A 2A 3A 4 5A n A 1A 2A 3A 45A n A参考答案1答案：Ｂ．2答案：73答案：104答案：9．5答案：(3)42n n n -=11n = 1620︒．6答案：2n -，1n -，n ．7答案：十，六．8答案：提示：由OB ，OC 是ABC ∠和BCD ∠的平分线，得1180()2BOC ABC BCD ∠=︒-∠+∠ 再由四边形内角和等于360︒，得360()ABC BCD A D ∠+∠=︒-∠+∠代入上式．9答案：9．10答案：13:5．11答案：220；12答案：180o13答案：120；三角形1．三角形(1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．(2)构成：如图所示，三角形ABC 有三条边，三个内角，三个顶点．①边：组成三角形的线段叫做三角形的边．②角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．③顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点．(3)表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC 用符号表示为△ABC .注：顶点A 所对的边BC 用a 表示，顶点B 所对的边AC 用b 表示，顶点C 所对的边AB 用c 表示．(4)分类：①三角形按角分类如下：三角形⎩⎪⎨⎪⎧ 直角三角形锐角三角形钝角三角形②三角形按边的相等关系分类如下：破疑点 等边三角形和等腰三角形的关系 等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边三角形是底边和腰相等的等腰三角形．【例1】 如图所示，图中有几个三角形，分别表示出来，并写出它们的边和角．分析：根据三角形的定义及构成得出结论．解：图中有三个三角形，分别是：△ABC ，△ABD ，△ADC .△ABC 的三边是：AB ，BC ，AC ，三个内角分别是：∠BAC ，∠B ，∠C ； △ABD 的三边是：AB ，BD ，AD ，三个内角分别是：∠BAD ，∠B ，∠ADB ； △ADC 的三边是：AD ，DC ，AC ，三个内角分别是：∠ADC ，∠DAC ，∠C .2．三角形的三边关系(1)三边关系：三角形两边的和大于第三边，用字母表示：a ＋b ＞c ，c ＋b ＞a ，a ＋c ＞b . 三角形两边的差小于第三边，用字母表示为：c －b <a ，b －a <c ，c －a <b .(2)作用：①利用三角形的三边关系，在已知两边的三角形中可以确定第三边的取值范围；②根据所给三条线段长度判断这三条线段能否构成三角形．“两点之间线段最短”是三边关系得出的理论依据.破疑点 三角形三边关系的理解 三角形两边之和大于第三边指的是三角形中任意两边之和都大于第三边，即a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞b三个不等式同时成立．【例2】下列长度的三条线段(单位：厘米)能组成三角形的是()．A．1,2,3.5 B．4,5,9C．5,8,15 D．6,8,9解析：选择最短的两条线段，计算它们的和是否大于最长的线段，若大于，则能构成三角形，否则构不成三角形，只有6＋8＝14＞9，所以D能构成三角形．答案：D3．三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．(2)描述方法：高的描述方法有三种，这三种方法都能得出AD是BC边上的高．如图所示．①AD是△ABC的高；②AD⊥BC，垂足为D；③D在BC上，且∠ADB＝∠ADC＝90°.(3)性质特点：①因为高是通过作垂线得出的，因而有高一定有垂直和直角．常用关系式为：因为AD是BC边上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.②“三角形的三条高(所在直线)交于一点”，当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部．如图所示．破疑点三角形的高线的理解三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上．【例3】三角形的三条高在()．A．三角形的内部B．三角形的外部C．三角形的边上D．三角形的内部、外部或边上解析：三角形的三条高交于一点，但有三种情况：当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部，所以只有D正确．答案：D4．三角形的中线(1)定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．(2)描述方法：三角形中线的描述方法有两种方式，如图．①直接描述：AD 是BC 边上的中线；②间接描述：D 是BC 边上的中点．(3)性质特点：①由三角形中线定义可知，有中线就有相等的线段，如上图中，因为AD 是BC 边上的中线，所以BD ＝CD (或BD ＝12BC ，DC ＝12BC )． ②如下图所示，一个三角形有三条中线，每条边上各有一条，三角形的三条中线交于一点．不论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，三角形的三条中线都交于三角形内部一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．破疑点 三角形的中线的理解 三角形的中线也是线段，它是一个顶点和对边中点的连线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点的对边中点．【例4】 如图，AE 是△ABC 的中线，EC ＝6，DE ＝2，则BD 的长为( )．A ．2B ．3C ．4D ．6解析：因为AE 是△ABC 的中线，所以BE ＝EC ＝6.又因为DE ＝2，所以BD ＝BE －DE ＝6－2＝4.答案：C5．三角形的角平分线(1)定义：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．(2)描述方法：角平分线的描述有三种，如图．①直接描述：AD 是△ABC 的角平分线；②在△ABC 中，∠1=∠2，且D 在BC 上；③AD 平分∠BAC ，交BC 于点D.(3)性质特点：①由三角形角平分线的定义可知，有角平分线就有相等的角，如上图中，因为AD 是△ABC 的角平分线，所以∠1=∠2(或∠1=∠2= ∠BAC ，或∠BAC=2∠1=2∠2)．②一个三角形有三条角平分线，三角形的三条角平分线交于一点，不论是锐角三角形、。
2.三角形的内角外角及正多边形的内角和
三角形的内角外角及多边形的内角1.三角形内角与外角定理及性质⑴三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 三角形的一个外角和与之相邻的内角互补.例1.如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAF的度数．例2.如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC中，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B 和点C.(1)若∠A＝30°，则∠ABX＋∠ACX的大小是多少？(2)若改变三角板的位置，但仍使点B、点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX＋∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由．例3.如图，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.变式练习1.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数为________．2.如图，点D，E分别是AB，AC上的点，连接BE，CD，若∠B＝∠C，则∠AEB与∠ADC的大小关系是()A．∠ADC>∠AEB B．∠ADC＝∠AEB C．∠ADC<∠AEB D．不确定第2题第3题3.如图，B处在A处的南偏西60°方向，C处在A处的南偏东20°方向，C处在B处的正东方向，求∠ACB 的度数4.如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，若∠BOC＝140°，求∠A的度数．5.如图，△ABC中，∠A＝50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1＋∠2的大小为第5题第7题第8题6.已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的外角度数之比为2∶3∶4，则这个三角形是()A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰三角形7.如图，∠1、∠2、∠3、∠4恒满足的关系是()A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠34.如图，△ABC中，∠B和∠C的外角平分线相交于点D，则∠BDC＝()A.12(90°－∠A) B．90°－∠A C.12(180°－∠A) D．180°－∠A1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.5.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.6.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，7公式(1)多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180° (2)多边形的外角和：多边形的外角和为360°.(3)多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线.例 4.下列说法：①等腰三角形是正多边形；②等边三角形是正多边形；③长方形是正多边形；④正方形是正多边形．其中正确的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个例5.如图，△ABC ，△ADE 及△EFG 都是等边三角形，D 和G 分别为AC 和AE 的中点，若AB ＝4时，则图形ABCDEFG 外围的周长是( ) A ．12 B ．15 C ．18 D ．21变式练习1.一个正多边形的一个内角为162°,则这个多边形的边数为 .2.过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形共有k 条对角线，则(m －k)n 为多少？3. 如图，图中分别是正方形、正五边形、正六边形，试求出∠1，∠2，∠3的度数。
人教版同步教参数学八年级-三角形：多边形及其内角和
三角形第3节 多边形及其内角和【知识梳理】一、多边形的概念（1）在同一平面内，由不在同一直线上的n （n ≥3的整数）条线段首尾顺次相接而成的图形叫做n 边形。
注意：（1）有几条边就是几边形；三角形、四边形是最简单的多边形。
（2）多边形相邻两边组成的角是它的内角，一个n 边形有n 个内角；（3）多边形的边和它邻边延长线组成的角是它的外角，一个n 边形有n 个外角，同一个顶点的内角和外角是互为邻补角。
（4）连接多边形不相邻的两个顶点的线段是它的对角线，四边形有两条对角线，五边形有五条对角线，n 边形有(3)2n n 条对角线，从同一个顶点出发的对角线有(n －3)条。
（5）各个角相等，各条边都相等的多边形是正多边形。
（6）下面两图中，图（1）任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线同一侧，这样的图形我们称为凸多边形，而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD 所在直线，整个n 边形不都在这条直线的同一侧。
我们称这样的多边形为凹多边形，今后我们课本提到的多边形，如果不加特别说明，一般指的是凸多边形。
二、多边形的内角和n 边形的内角和等于（n －2）·180°。
二、多边形的外角和 多边形的外角和等于360°注意：多边形的外角和与它的边数无关。
A BCDABC D【诊断自测】1、平面内，由________叫做多边形。
组成多边形的线段叫做____。
如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做_____。
多边形_____叫做它的内角，多边形的边与它的邻边的_____组成的角叫做多边形的外角。
连接多边形_______的线段叫做多边形的对角线。
2、画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在______,那么这个多边形称作凸多边形。
3、各个角______,各条边_____的_____叫做正多边形。
4、n变形的内角和等于____.这是因为，从n变形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将此n边形分为_____个三角形。
【精品】第九章 三角形、多边形
第9章三角形与多边形一、教学目标本章的主要内容是三角形和多边形的有关概念及其边角的性质。
教材先从瓷砖的铺设提出问题,接着研究三角形和多边形的有关边角的性质,最后探究正多边形在拼地板中的运用及其隐含的数学道理。
本章的教学目标是:1．了解三角形的内角、外角及其主要线段（中线、高、角平分线）等概念。
2．会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和高。
3．了解三角形的稳定性。
4．了解几种特殊的三角形与多边形的特征，并能加以简单地识别。
5．探索并掌握三角形的外角性质与外角和。
6．理解并掌握三角形的三边关系。
7．探索、归纳多边形的内角和外角和公式，并能运用于解决计算问题。
8．体验探索、归纳过程，学会合情推理的数学思想方法。
9．在直观感知、操作确认的基础上，体验证明的必要性，初步学会说理.10．欣赏丰富多彩的图案,体验数学美，提高审美情趣.二、教材特点1．本章由“瓷砖的铺设"导入,接着研究三角形和多边形的性质,最后运用三角形和多边形的有关性质探索拼地板的问题，体现了数学来源于实践,又应用于实践的特点。
2．在呈现方式上，改变“结论——例题——练习”的陈述模式，而是采用“问题——探究——发现”的研究模式，并采用多种探究方法：对“三角形的外角性质及外角和”同时采用拼图和数学说理的方法；对“三角形的三边关系"采用画图的方法；对“多边形的内角与外角和”采用计算与归纳说理的方法.3．在直观感知、操作确认的基础上，适当地进行数学说理，将两者有机地结合起来,让学生体验证明的必要性，学会初步说理。
4．渗透计算器的应用，有意识地让学生运用计算器探索多边形的内角和外角和。
5．通过教材的“问题型”呈现和探索性、开放性习题的练习,力图改变学生的学习方式，让学生自主探索、合作学习。
6．第1课时认识三角形（1）教学目的1。
理解三角形、三角形的边、顶点、内角、外角等概念.2。
会将三角形按角分类.3。
理解等腰三角形、等边三角形的概念。
中考数学全程复习方略第十六讲三角形与多边形课件
(1)求∠CBE的度数. (2)过点D作DF∥BE,交AC的延长线于点F,求∠F的度数.
第二十页，编辑于星期六：六点 三十五分。
【思路点拨】(1)先根据直角三角形两锐角互余求出
∠ABC=90°-∠A=50°,由邻补角定义得出∠CBD=130°.再根
据角平分线定义即可求出∠CBE.
(2)先根据(1)得出∠CEB,再根据平行线的性质即可求出
(2)区分性质与判定:已知直角三角形可得两锐角互余,此为 性质;已知两锐角互余可得直角三角形,此为判定.
第十八页，编辑于星期六：六点 三十五分。
【核心突破】 例2(2018·宜昌中考)如图,在Rt△ABC中
,∠ACB=90°,∠A=40°,△ABC的外角
∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
第十九页，编辑于星期六：六点 三十五分。
第三条线段,那么这三条线段能组成一个三角形,否则不能组 成一个三角形.
第八页，编辑于星期六：六点 三十五分。
2.已知两边求第三边:设三角形的两边长分别为a,b(a>b),则第
三边长c必须满足条件:a-b<c<a+b,由此便可确定第三边长
的范围.
3.证明线段不等关系:若是和的大小关系则采用三角形的两 边之和大于第三边,若是差的大小关系则采用三角形两边 之差小于第三边.
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
第十三页，编辑于星期六：六点 三十五分。
3.长度分别为3,4,5,7的四条线段首尾顺次相接,相邻 两线段的夹角可调整,则任意两端点的距离最大值为 ____9____.
第十四页，编辑于星期六：六点 三十五分。
4.(2019·株洲芦淞区一模)已知关于x的不等式组
三角形中位线、多边形内角和定理
三角形的中位线与多边形的内角和定理【知识梳理】1、三角形中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．注意三角形中位线与三角形中线的区别．2、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图，D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，则，且DE∥BC．3、定理：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边．4、多边形有关概念在一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.这里所指的多边形是指凸多边形．即多边形总在任何一条边所在直线的同一旁．如图（1）是凸多边形，图（2）是凹多边形.组成多边形的各条线段叫做多边形的边，多边形有几条边就叫几边形，每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角．5、正多边形如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那就称它为正多边形.研究多边形的问题经常转化为研究三角形的问题.6、多边形内角和定理n边形的内角和等于(n－2)·180°（n≥3的正整数），可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.7、多边形外角和定理多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°.8、注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.二、重难点知识归纳1、三角形中位线定理的证明方法，关键在于添加辅助线．除课本上的证明方法外，还有如下几种方法参考：（1）如图，延长中位线DE到点F，取EF＝DE，连接DC、FC、AF．根据对角线互相平分判定四边形ADCF是平行四边形，得到AD CF．以下步骤同教材．（2）如图，作CF∥AB，与DE的延长线交于点F，通过证明△ADE≌△CFE，得 AD FC，以下步骤同教材．2、三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理．在同一题设下，有两个结论，一个结论是表明位置关系，即平行关系，另一个结论是表明数量关系，即中位线等于第三边的一半，应用时按需选用．3、经过探索式推理得到的定理：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边，可以作为中位线的判定方法．4、利用三角形中位线定理，可判定顺次联结各种不同类型的四边形各边中点所得四边形的形状，它取决于原四边形的两条对角线的位置与长短，一般可归结为：原四边形两条对角线中点四边形互相垂直矩形相等菱形互相垂直且相等正方形既不互相垂直也不相等平行四边形5、由三角形中位线定理可以推得的结论（1）三角形三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长一半．（2)三角形三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．(3)三角形三条中位线可以从原三角形中划分出面积相等的三个平行四边形．6、多边形内角和定理的几种证法（1）在n边形内任取一点，并把这点与各顶点连结起来，共构成n个三角形，这n个三角形的内角和为n·180°，再减去一个周角，即得到多边形的内角和为(n－2)·180°.（2）过n边形一个顶点连对角线，可以得(n－3)条对角线，并且将n边形分成(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形的内角和恰好是多边形的内角和，等于(n－2)·180°.（3）在n边形一边上取一点与各顶点相连，得(n－1)个三角形，n边形内角和等于这(n－1)个三角形内角和减去所取点处的一个平角，即(n－1)·180°－180°=(n－2)·180°.注意：以上各推导方法体现将多边形问题转化为三角形问题来解决的基本思想.7、多边形外角和定理的证明多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°，外角和等于n·180°－(n－2)·180°=360°.8、多边形边数与内角和、外角和的关系（1）内角和与边数成正比，边数增加，内角和增加；边数减少，内角和减少.每增加一条边，内角和就增加180°.（反过来也成立）（2）多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.9、多边形对角线的条数设n边形为A1A2A3…A n则以A1为端点的对角线有A1A3，A1A4，…，A1A n－1共(n－3)条.同理以A2，A3，…，A n为端点的对角线都有(n－3)条.但每条对角线都重复计数了一次，故n边形对角线的总数为．【典型例题】知识点一：三角形的中位线例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：EG、FH互相平分．例2、如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长．例3、如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB=，则当△ABC+△DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．知识点二：多边形的内角和与外角和例1、已知两个多边形的内角和的和为1980°，且这两个多边形的边数之比为2︰3，求这两个多边形的边数.例2、一个多边形除了一个内角外，其余各角的和为2750°．则这一内角是（）A．130°B．140°C．150°D．120°1．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A．8B．10C．12D．142．如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（）A．DE=DF B．EF=AB C．S△ABD=S△ACD D．AD平分△BAC3.如图，△ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（）A．12cm B．9cm C．6cm D．3cm4.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．115．如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为（）A．12B．14C．16D．186．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm，连接各边中点E，F，G，H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（）A．20cm B．20cm C．20cm D．25cm7.若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是（）A．6B．8C．18D．278.顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．以上都不对9.如图，点A，B为定点，定直线l△AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：△线段MN的长；△△PAB的周长；△△PMN的面积；△直线MN，AB之间的距离；△△APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．△△B．△△C．△△△D．△△10.如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG△CD，交AC 边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为．11.己知正多边形的每个外角都是45°，则从这个正多边形的一个顶点出发，共可以作条对角线．12.已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的2倍，则这个多边形的边数是，内角和是．13.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形的周长为．14.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为．15.如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点．若EF=5cm，则AB=cm；若BC=9cm，则DE=cm；中线AF与DE的关系．16.已知一个三角形的周长为10cm，则连接各边中点所得的三角形的周长为cm．17.如图，D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点．若△ABC的周长为18cm，则△DEF的周长为．18.如图，已知直线l1：y=k1x+4与直线l2：y=k2x﹣5交于点A，它们与y轴的交点分别为点B，C，点E，F 分别为线段AB、AC的中点，则线段EF的长度为．19.已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．20.已知，如图，E、F分别是AB、AC的中点，△ACD是△ABC的外角，延长EF交△ACD的平分线于G 点，求证：AG△CG．21.探索与证明如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，M、N分别是BO、CO 的中点，顺次连接E、M、N、D四点．（1）求证：EMND是平行四边形；22.如图，已知△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，连接FC，AD，DE△FC，EF△DC （1）若D，F分别是BC，AB的中点，连接FD，求证：EF=FD；（2）连接AE，若BF=CD，求证：△AED是等边三角形．23.如图1，点P是线段AB的中点，分别以AP和BP为边在线段AB的同侧作等边三角形APC和等边三角形BPD，连接CD，得到四边形ABDC．（1）在图1中顺次连接边AC、AB、BD、CD的中点E、F、G、H，则四边形EFGH的形状是菱形；（2）如图2，若点P是线段AB上任一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，△APC=△BPD，连接CD，得四边形ABDC，则（1）中结论还成立吗？说明理由；（3）如图3，若点P是线段AB外一点，在△APB的外部作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，且△APC=△BPD=90°，请你先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．【巩固练习】1.如果三角形的两边分别为4和6，那么连接该三角形三边中点所得三角形的周长可能是（）A．6B．8C．10D．122.如图，点D、E、F分别是△ABC中AB、BC、AC边上的中点，点M、N、P分别是DE、EF、DF的中点．若△ABC的周长为24，则△PMN的周长为（）A．6B．8C．10D．123.直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（）A．相等且平分B．相等且垂直C．垂直平分D．垂直平分且相等4.从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是（）A．6B．7C．8D．95.一个多边形的外角和与它的内角和的比为1：3，这个多边形的边数是（）A．9B．8C．7D．66.如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（）A．9B．10C．11D．127.如图，已知△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形…依此类推，则第2015个三角形的周长为（）A．B．C．D．8.如图，已知长方形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC 上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长先增大后变小9.如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分△ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（）A．3B．2C．D．410.如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，EF=1，则BD=．11.如图，H是△ABC的边BC的中点，AG平分△BAC，点D是AC上一点，且AG△BD于点G．已知AB=12，BC=15，GH=5，则△ABC的周长为．12.如图，在△ABC中，AB=AC=13，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点．已知B（﹣1，0），C（9，0），则点F的坐标为．13.如图，在△ABC中，△ACB=52°，点D，E分别是AB，AC的中点．若点F在线段DE上，且△AFC=90°，则△FAE的度数为°．14．（1）从四边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将四边形分成个三角形．（2）从五边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将五边形分成个三角形．（3）从六边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将六边形分成个三角形．（4）从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将n边形分成个三角形．15．由n边形的一个顶点可以引条对角线，它们将n边形分为不重叠的个三角形，n边形共有条对角线，12边形共有条对角线．16．已知一个多边形的每一个内角都等于150°，则此多边形从一个顶点出发的对角线共有条，可以将此多边形分成个三角形．17.如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分△BAC，AE△CE于点E，且AB=10，AC=16，则DE的长度为．18.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，CF=1，DF交CE于点G，且EG=CG，则BC=．19.如图，矩形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，已知AB=6，AF=4，则AC=．20.已知，D是△ABC内一点，BD△CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，求四边形EFGH的周长．21.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：△DHF=△DEF．22.如图1，已知E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：可连接AC或BD）；（2）在电脑上用适当的应用程序画出图1，然后用鼠标拖动点D，当点D在原四边形ABCD的内部，在原四边形ABCD的外部时，图1依次变为图2、图3．图2、图3中四边形EFGH还是平行四边形吗？选择其中之一说明理由．。
五年级下册奥数三角形和多边形的内角和人教版
即学即练
在△ABC中，已知∠A=2∠B，∠B=∠C，这又是一个什么三
角形呢？
∠A+∠B+∠C=180° 2∠B+∠B+∠B= 180°
4∠B=180° ∠B=180°÷4= 45°
∠A=2×45°= 90° ∠C= 45°
答：这是一个等腰直角三角形。
例4：任意一个四边形的内角和是多少度？任意一个五边形 的内角和是多少度？六边形、七边形……n边形呢？
我们可以猜测一下，长方形的内 角和是360°，那么四边形的内 角和可能是360°吗？
例4：任意一个四边形的内角和是多少度？任意一个五边形 的内角和是多少度？六边形、七边形……n边形呢？
看这个多边形可以分成几个三角形， 利用三角形的内角和是180°来解决问题。
例4：任意一个四边形的内角和是多少度？任意一个五边形 的内角和是多少度？六边形、七边形……n边形呢？
(180°- 82°)÷2 = 49°
∠A=180°-60°= 120° 49°- 16°= 33°
要求∠BOC的度数，
必须要知道哪些角的度数？ 我们可以猜测一下，长方形的内角和是360°，那么四边形的内角和可能是360°吗？
例5：内角和是1800°的平面图形是几边形？
（8-2）×180°=1080°
10+2=12
在其父精心地教育下，帕斯卡很小时就精通欧几里得几何，他自己独立地发现了欧几里得的前32条定理，而且顺序也完全正确。
帕斯卡：（1623—1662）
三角形和多边形的内角和
画着画着，12岁的帕斯卡发现任何一个三角形内角和都是180度，当他把这个发现告诉父亲时，父亲激动得泪如雨下，搬出了自己所有的数学书给帕斯卡看。
《多边形》三角形PPT精品课件
巩固练习
下列图形包含了哪些多边形？
六边形
四边形
五边形和六边形
探究新知
知识点 2 多边形的对角线
定义：
A
连接多边形不相邻的两个顶点的线 B
E
段，叫做多边形的对角线.
D C
线段AC是五边形ABCDE的一条对角线， 多边形的对角线通常用虚线表示.Байду номын сангаас
素养考点 1 多边形的截角问题
例 凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边 数可能是多少？画出图形说明．
解：∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况， ∴新多边形的边数为7、5、6三种情况， 如图所示.
探究新知
归纳总结
一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能 增加了一条，也可能不变或减少了一条.
∴n-3+n-2=21， 解得n=13． 答：该多边形的边数有13条．
巩固练习
画一画：画出下列多边形的全部对角线.
巩固练习 观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，解答下 列问题：
十边形有多少条对角线？n边形呢？
巩固练习
解：∵四边形的对角线条数为4×(4－3)×12 ＝2.
五边形的对角线条数为5×(5－3)×
n(n≥3)边形共有对角线 n(n 3) 条.
2
探究新知
素养考点 2 利用多边形的对角线相关公式求边数
例 过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角 线分割多边形所得三角形的个数的和为21，求这个多边 形的边数．
解：设这个多边形为n边形，则有(n-3)条对角线，所 分得的三角形个数为n-2，
中考数学 专题17 三角形与多边形(知识点串讲)(原卷版)
专题17 三角形与多边形考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一三角形的概念三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形特性（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“Δ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。
三角形按边分类：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。
三角形三边的关系（重点）（1）三角形的任意两边之和大于第三边。
三角形的任意两边之差小于第三边。
（这两个条件满足其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b考查题型一三角形的三边关系1．（2018·湖南中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm 2．（2018·湖南中考真题）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．113．（2018·贵州中考真题）已知一个三角形的两边长分别为8和2，则这个三角形的第三边长可能是（）A．4 B．6 C．8 D．104．（2018·四川中考模拟）已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为() A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．0三角形的分类：三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）1．（2018·湖南中考模拟）下列说法正确的是（）A．按角分类，三角形可以分为钝角三角形、锐角三角形和等腰直角三角形B．按边分类，三角形可分为等腰三角形、不等边三角形和等边三角形C．三角形的外角大于任何一个内角D．一个三角形中至少有一个内角不大于60°2．（2019·陕西中考模拟）等腰三角形两边长分别是2 cm和5 cm，则这个三角形周长是（）A．9 cm B．12 cm C．9 cm或12 cm D．14 cm三角形的稳定性➢三角形具有稳定性➢四边形及多边形不具有稳定性要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。
中考数学专题复习 三角形与多边形
第四章 三角形
第2节 三角形与多边形
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·理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，会按照边长的 关系和角的大小对三角形进行分类，了解三角形的稳定性．
·探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论．证明三角形的任意两边之 和大于第三边．
·了解三角形重心的概念． ·探索并证明三角形的中位线定理． ·了解多边形的定义，多边形的定点、边、内角、外角、对角线等概念；探索 并掌握多边形内角和与外角和公式．
∴BF＝2BT＝2 3.
∵∠A F E ＝120°，∠A F B ＝∠A B F ＝30°，
∴∠B F E ＝90°.
∴S
△PE
F＝
S
△B EF
＝1·E 2
F
·BF
＝1×2×2 2
3＝2
外心 三角形三边垂直平分线的交点，外心到各顶点的距离相等.
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3．(1)下列说法错误的是( D ) A．三角形的内心是三角形内切圆的圆心 B．三角形的外心是三角形外接圆的圆心 C．三角形的重心到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的 2 倍 D．等腰三角形的四心重合
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2．(1)如图，在△ABC 中，AE 是中线，AD 是∠BAC 的角平分线，AF ⊥BC 于点 F，∠B＝30°，∠C＝50°.
①BE＝ EC ； ②∠BAD＝ 50 °； ③∠DAF＝ 10 °； ④S△AEC ＝ S△ABE.(填“>”“＜”或“＝”)
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AD×BC×14.
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顶点连中点，倍长造全等 点 D 是 BC 的中点，延长 AD 到 E，使 AD＝DE，则有 点 D 为 BC 的中点，延长 ED △ACD≌△EBD，AC∥BE. 到点 F，使 DF＝ED，连接 CF，则有△BED≌△CFD.
多边形对角线和三角形的关系
多边形对角线和三角形的关系1.引言1.1 概述多边形是几何学中一个重要的概念，指的是由若干条线段组成的封闭图形。
在研究多边形的性质和特点时，对角线是一个不可忽视的要素。
对角线是多边形内部任意两个不相邻顶点之间的线段，它们可以将多边形分割成若干个三角形。
本文将探讨多边形对角线与三角形之间的关系。
我们将从多边形和对角线的定义和性质入手，逐步深入讨论它们之间的密切联系。
通过分析多边形对角线的数量和特点，以及它们与多边形内部三角形的关系，我们可以揭示出一些有趣而重要的几何性质。
通过研究本文，读者将能够掌握多边形对角线的基本概念和性质，了解对角线如何影响多边形的形状和结构。
同时，我们还将阐述多边形对角线与三角形之间的紧密联系，讨论它们在几何学和应用领域中的重要作用。
无论是对于学生学习几何知识的帮助，还是对于几何学爱好者的深入研究，本文都具有一定的参考价值。
在下一节中，我们将从多边形的定义和性质入手，对多边形的基本概念进行介绍，并探讨多边形的对角线特点。
接着，在第三节中，我们将深入研究多边形对角线与三角形之间的关系，并总结出一些重要的结论。
通过本文的研究，我们希望读者能够进一步提升对多边形和对角线的理解，拓展几何学的知识面，并将这些知识应用于解决实际问题。
多边形对角线和三角形的关系将为我们提供一个新的视角，帮助我们更好地理解和分析几何学中的各种现象。
让我们一同进入这个有趣而富有挑战性的几何领域，探索多边形对角线与三角形之间的奥秘。
1.2文章结构【1.2 文章结构】本文将主要围绕多边形的对角线和三角形展开讨论。
首先，我们将介绍多边形的定义和一些基本性质，以便读者对多边形有一个清晰的认识。
接着，我们将详细探讨多边形对角线的定义和一些基本性质，包括对角线的数量、相交点的性质等。
在掌握了多边形和对角线的基本知识后，我们将深入研究多边形对角线与三角形之间的关系，其中会涉及对角线在三角形中的应用以及其对三角形性质的影响。
三角形与多边形
【自主解答】选A.因为∠A=50°,∠ABC=70°,所以∠C=180°∠A-∠ABC=180°-50°-70°=60°.又因为BD平分∠ABC,所以 ∠DBC= 1 ∠ABC= 1 ×70°=35°,所以∠BDC=180°-∠DBC2 2
∠C=180°-35°-60°=85°.
【规律方法】三角形内角、外角关系的应用 (1)正确识别三角形的外角. (2)明确三角形的外角与“和它不相邻两个内角”的等量关系: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. (3)注意三角形内角、外角转化,灵活运用整体思想.
2x＞20 2x, 20 2x＞0,
解得5cm<x<10cm.
热点考向二 三角形的内角和定理及其推论 【例2】(2014·昆明中考)如图,在△ABC中, ∠A=50°,∠ABC=70°,BD平分∠ABC,则∠BDC 的度数是( A.85° C.75° ) B.80° D.70°
【思路点拨】根据三角形内角和定理及其推论求出角的度数 .
3.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个 互逆 定理. 定理,则这两个定理为_____
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1.三角形是由三条线段组成的封闭图形.( √ ) 2.长为3cm,4 cm,1 cm的三条线段能组成一个三角形.( × ) 3.一个三角形中最多有3个锐角.( √ ) 4.一个三角形中至少有1个锐角.( × ) 5.三角形的角平分线是一条射线.( × )
5.(2014·玉林、防城港中考)在等腰△ABC中,AB=AC,其周长为
20cm,则AB边的取值范围是( )
A.1cm<AB<4cm
C.4cm<AB<8cm
B.5cm<AB<10cm
第十七讲三角形与多边形
【例1】(1)(2013·温州中考)下列各组数可能是一个三角形 的边长的是( A.1,2,4 ) B.4,5,9 C.4,6,8 D.5,5,11
(2)(2012·长沙中考)现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,
任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数 是( A.1个 ) B.2个 C.3个 D.4个
∴∠ACD=∠A+∠B,∴∠A=120°-40°=80°.
【名师助学】1.在三角形中解决角的问题,一般要将角转化到 同一个三角形中利用三角形内角和定理、外角的性质 ,从整体 上求解.
2.证明角的不等关系时,经常用三角形外角性质来证明.
3.注意事项:
(1)三角形的一个外角等于和它“不相邻”的两个内角的和,
热点考向 二
三角形的内角和定理及其推论
【例2】(1)(2012·云南中考)如图,在△ABC中,∠B=67°, ∠C=33°,AD是△ABC的角平分线,则∠CAD的度数为( )
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
(2)(2011·怀化中考)如图所示,∠A,∠1,∠2的大小关系是 ( )
A.∠A>∠1>∠2 C.∠A>∠2>∠1
内部 三条高不相交,但三条高所在的直线相交 高在三角形的_____,
于三角形外一点.
二、三角形与多边形的性质 大于 第三边, 1.三角形三边之间的关系:三角形任意两边的和_____ 小于 第三边. 任意两边的差_____ 180° 2.三角形的内角和定理:三角形三个内角的和等于______. 3.三角形的外角定理及推论: 等于 与它不相邻的两个内角的和. (1)三角形的一个外角_____ 大于 与它不相邻的任何一个内角. (2)三角形的一个外角_____
【内部绝密】佳明老师三角形边角与多边形精选江苏真题
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
7．a，b，c 为△ABC 的三边，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（ ）
A．0
B．2a+2b+2c
C．4a
D．2b﹣2c
8．已知△ABC 的三边长都是整数，且 AB＝2，BC＝6，则△ABC 的周长可能是（ ）
A．12
．
13．若三角形的两边长是 7 和 2，且第三边长是奇数，则第三边长可能是
．
14．已知 a，b，c 是三角形的三边，且（b﹣1）2+|a2﹣9|＝0，则第三边 c 的范围是
．
15．若一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是
．
16．平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，
B．150 米
C．160 米
D．240 米
【分析】多边形的外角和为 360°每一个外角都为 24°，依此可求边数，再求多边形的周长．
【解答】解：∵多边形的外角和为 360°，而每一个外角为 24°，
∴多边形的边数为 360°÷24°＝15，
∴小华一共走了：15×10＝150 米．
故选：B．
【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据多边形的外角和
A．γ＝2α+β
B．γ＝α+2β
C．γ＝α+β
D．γ＝180°﹣α﹣β
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可
得结论．
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三角形与多边形
1.已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为( )
A.100°
B.120°
C.140°
D.160°
2.已知三角形的一个内角是另一个内角的,是第三个内角的,则这个三角形各内角的度数分别为( )
A.60°,90°,75°
B.48°,72°,60°
C.48°,32°,38°
D.40°,50°,90°
3.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
4.一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，则这两个角的大小关系为（）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定
5.若一个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于 ( )
A．30° B．45° C．60° D．55°
6.如图，已知AB∥CD，则 ( )
A．∠1＝∠2+∠3 B．∠1＝2∠2+∠3 C．∠1＝2∠2-∠3 D．∠1＝180°-∠2-∠3
7.如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）A．140米 B．150米 C．160米 D．240米
8.两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是（）
A．∠1与∠2 B．∠2与∠3 C．∠1与∠3 D．三个角都相等
9.将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为________．
10.如图△ABC中，∠ABC=20°，外角∠ABF的平分线与CA边的延长线交于点
D，外角∠EAC的平分线交BC边的延长线于点H，若∠BDA=∠DAB，则∠AHC=
（）度．
11.如图，在三角形ABC中，∠A =∠ABD，∠C=∠BDC=∠ABC，求∠DBC的度数-----
如图，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，则∠EDF=------- 。
12.如图1，光线射在平面镜上，入射线和反射线与镜面的夹角都相等，按照这样的规律，如图2，现有一光线照射在平面镜Ⅰ上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α=60°，∠β=50°，则∠γ=( )度。
13.直角三角形两锐角平分线相交所成的钝角的度数是______．
14.一个多边形除一个内角外，其余各内角之和是2570°，求这一内角的度数。
15.当多边形的边数每增加1条时，它的内角和增加______度
16.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A'重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=______．
将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是_____
17.如图，BE 平分∠ABD ，CF 平分∠ACD ，BE 、CF 交于G ，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A=______．
18.如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝54°，求∠DAC 的度数。
19.已知在△ABC 中，∠A ＝62°，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，且BO 、CO 相交于O ，求∠BOC 的度数。
20..已知BO 、CO 分别是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的外角角平分线，BO 、CO 相交于O ，试探索
∠BOC 与∠A 之间是否有固定不变的数量关系。
21.已知：BD 为△ABC 的角平分线，CO 为△ABC 的外角平分线，它与BO 的延长线交于点O ，试探索∠BOC 与∠A 的数量关系。
B D C
2 4
3 1
A
B C
E
B C
E
B D E C
22.如图，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+
∠E=180°。
23.如图，已知△ABC 中，已知∠B ＝65°，∠C ＝45°，AD 是BC 边上的高，
AE 是∠BAC 的平分线，求∠DAE 的度数。
24.如图AD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的内角平分线，BE 、AD 相交于点F ，已知∠BAD=40°，求∠BFD ．
25.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其
中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为1000，那么这个“特征三角
形”的最小内角的度数多少度
26.如图1，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分
别经过点B 、C 。
△ABC 中，∠A=30。
，则∠ABC+∠ACB=（ ）度，∠XBC+∠XCB=（ ）
度；
（2）如图2，改变直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 仍然分别经过点B 、C ，那么∠ABX+∠ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX 的大小
27.如图，B处在A处的南偏西80°方向，C处在A处的南偏西45°方向，C处在B处的南偏东20°方向，求∠ACB。
28.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明
29.如图，∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）当∠OCD=50°（图1），试求∠F．（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．
30.已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： _________ ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： _________ 个；
（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，试求∠P的度数；。