多自由度系统振动(c)解析
结构动力学之多自由度体系的振动问题
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
多自由度系统的振动模态分析
多自由度系统的振动模态分析振动是物体在受到外界作用力或受到初始扰动后产生的周期性运动。
在工程领域中，多自由度系统的振动模态分析是一项重要的研究内容。
本文将介绍多自由度系统的振动模态分析的基本原理和方法。
一、多自由度系统的定义多自由度系统是指由多个相互连接的质点组成的系统。
每个质点都可以在三个坐标方向上自由运动，因此系统的自由度就是质点的个数乘以每个质点的自由度。
多自由度系统的振动模态分析可以帮助我们了解系统的固有振动特性，为工程设计和结构优化提供依据。
二、振动模态的概念振动模态是指多自由度系统在固有频率下的振动形态。
每个固有频率对应一个振动模态，振动模态的数量等于系统的自由度。
振动模态分析可以帮助我们确定系统在不同频率下的振动特性，从而预测系统的响应和寻找可能的共振点。
三、振动模态分析的方法1. 模态分析方法模态分析是一种通过数学方法求解系统的固有频率和振动模态的方法。
常用的模态分析方法包括有限元法、模态超级位置法等。
有限元法是一种基于离散化的方法，将系统分割成有限个小单元，通过求解每个单元的振动特性，最终得到整个系统的振动模态。
模态超级位置法是一种基于物理原理的方法，通过测量系统在不同频率下的振动响应，推导出系统的振动模态。
2. 模态参数的计算模态参数是指描述振动模态特性的参数，包括固有频率、振型、振幅等。
模态参数的计算可以通过实验测量和数值模拟两种方法。
实验测量是通过激励系统，测量系统在不同频率下的振动响应，并通过信号处理和频谱分析等方法计算出模态参数。
数值模拟是通过建立系统的数学模型，利用计算机仿真软件求解系统的振动模态。
四、振动模态分析的应用振动模态分析在工程领域有广泛的应用。
首先，振动模态分析可以帮助工程师了解系统的固有振动特性，从而优化设计和改善结构。
其次，振动模态分析可以用于故障诊断和预测，通过对系统的振动模态进行监测和分析，可以判断系统是否存在异常或潜在故障。
此外，振动模态分析还可以应用于声学工程、航天工程、汽车工程等领域。
多自由度系统振动的研究
多自由度系统振动的研究1.建立系统的数学模型：多自由度系统的数学模型通常可以通过运动微分方程来描述，这些微分方程可以由拉格朗日方程或哈密顿方程获得。
建立系统的数学模型是研究多自由度系统的第一步，它能够定量描述系统的振动特性。
2.振动模态分析：振动模态是指各种独立振动模式对应的特征值及特征向量。
在多自由度系统中，有多个振动模态，每个振动模态都有对应的特征值和特征向量，它们描述了系统在不同振动模态下的振动特性。
振动模态分析可以帮助我们理解系统的振动特性、模式和共振现象，并为系统的设计和优化提供依据。
3.模态叠加方法：模态叠加方法是一种常用的分析多自由度系统振动响应的方法。
该方法将系统的初始条件和外力激励在模态基下展开，通过将各模态响应相加，得到系统的总体振动响应。
模态叠加方法可以简化计算，使得问题的求解更加方便，应用广泛。
4.模态分析与结构动力学：多自由度系统的模态分析与结构动力学密切相关。
结构动力学是研究结构体受外力激励下的振动响应的学科，它通常涉及到多自由度系统的模态分析、频率响应和时域分析等。
模态分析为结构动力学提供了基础，通过分析结构的振动模态，可以预测结构在不同激励下的振动响应。
5.数值模拟与实验验证：在研究多自由度系统的振动过程中，可以借助于数值模拟和实验验证相结合的方法。
数值模拟可以通过有限元、边界元或半经验法等方法，对系统的振动响应进行计算和预测。
实验验证可以通过振动台试验或实验模态分析等方式，对系统的振动特性进行实测，从而验证数值模拟的准确性。
总之，研究多自由度系统振动是一个复杂而又重要的课题。
通过建立数学模型、进行振动模态分析、应用模态叠加方法以及进行数值模拟和实验验证等手段，可以更深入地了解多自由度系统的振动特性，为实际工程问题的求解和优化提供科学依据。
第三部分 多自由度系统的振动
q t uη(t) u r t
r
r 1
n
u11 u12 u1n u u u 21 22 2n 1 (t ) 2 (t ) n (t ) un1 un 2 unn
(r )
1
r
u
(r )
r u
( r )T
Mu( r )
正则振型
主振型 正则化因子
组成正则振型矩阵
u u
(1)
u
(2)
u
(n )
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的基本步骤： (4)用正则振型矩阵进行坐标变换（方程组解耦）
q t uη t 令 代入无阻尼自由振动系统，并用uT左乘方程
2 r t 2 rrr t r r t Nr (t )
r 1,2,, n
(5)按单自由度相关方法求各正则坐标下的响应 各正则坐标下单自由度自由振动系统，对初始条件的 响应 1）原坐标下的初始条件变换为正则坐标下的初始条件
η0 u q0 T η0 u Mq0 ,
u( s )T Ku(r ) 0
(r s )
u( r )T Ku(r ) r2
M r u Mu
T
K r uT Ku 12 2 2 Λ 2 n
1 1 I 1
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的类型： 无阻尼振动系统对初始条件的响应 无阻尼振动系统对任意激励的响应 有阻尼振动系统对各种激励的响应 （简谐激励、周期激励、任意激励）
第三章(多自由度系统的振动)
固有振型的正交性
加权正交性的简洁表示
T r M s 0, r s
M s M r , r s
T r
rT M s M r rs
rs
def
1, r s 0, r s
rT K s 0, r s
rT K s K r , r s
x
x1 1
节点
x3 1
3 2
k m
x2 1
理解固有振型
理解固有振型
理解固有振型
返回
固有振型的正交性
1.固有振型的归一化
2 r 1 3 2 r 1 3
都是固有振型向量 ① 按某一自由度的幅值归一化
k m
理解固有振型
3k k 0 m 0 0 1 0 k 2k k 2 0 m 0 2 0 0 k 3k 0 0 m 3 0
u(t ) sin(t )
对任意时间都成立
( M ) 0, 2
特征方程 特征值
det( K M ) 0
r (r 1, 2, N )
有非零
r (r 1, 2, N )
特征向量
u(t ) ψa sin(t ) φ sin(t )
结论： 系统存在形如 形式的同步振动。
u(t ) φ sin(t )
多自由度系统的固有振动
2.多自由度系统的固有振动
Mu(t ) Ku(t ) 0
( K 2 M ) sin(t ) 0
第r阶模态质量
固有振型关于刚度矩阵加权正交性 T 当 rs 时 r K s 0 T r K s K r 当 rs时
振动力学(两自由度系统和多自由度系统)
2
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
3.1 两自由度系统的振动方程 ——刚度矩阵和质量矩阵
建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难 度更大。
3.1.1 运动微分方程
标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：
3
振动理论及应用
坐标原点仍取在静平衡位置
具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位 移均为0。
7
振动理论及应用
5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵
第3章 多自由度系统的振动
质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其 mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐 标处施加的广义力。
具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的 加速度均为0。
2
x1 5 kx1 5 kx2
V x2
2 5
kx1
1 5
kx2
26
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
计算广义力，设只有x1处产生虚位移x1，则
Q1
cx1 x1 x1
cx1
同样设x2处产生虚位移x2，则
Q2
c 0
x2
0
代入拉格朗日方程即可。
27
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
5l 3
48EI
k12
l3 3EI
k22
1
求出各个刚度系数即组 成刚度矩阵[K]。
17
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
用拉格朗日方程 建立振动系统的运动微分方程
对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学 方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和 能量的方法。拉格郎日方程为：
机械振动运动学第四章 多自由度系统振动(改)
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0
多自由度系统振动理论及应用
对一些较简单的问题,用牛顿定律来建立振动微分方程是简便的.
图４-１所示为无阻尼三自由度弹簧质量系统,可参照二自由度系统的方
法,写出其微分方程:
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４.１
多自由度系统的振动微分方程
或更一般地写成
该式可简单地写成
式(４-２)称为用矩阵符号表示的作用力方程,它可以代表许多种运动方程
种心灵的孤独。
2. 与 个 别 人 难 以 相 处
一些学生能够与多数人保持良好的关系,但与个别人交往
不 良 。 因 此 ,常 会 影 响 情 绪 ,如 鲠 在 喉 。
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任 务 一了解自己与人交往的现状
3. 与 他 人 交 往 平 淡
一些学生虽然能与他人交往,但多属点头之交,没有关系
人际关系新起点
1
任 务 一 了解自己与人交往的现状
2
任 务 二 调整不良交际心态
任 务 一了解自己与人交往的现状
任 务 提 出 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 。
任 务 目 标 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 ,激 发 学 习 热 情 ,明 确 努
力方向。
喜欢独来独往。
(3) 嫉 妒 心 理 。 部 分 大 学 生 不 能 正 确 对 待 别 人 的 长 处 和 优
点,看到别人冒尖心里嫉妒,对比自己水平高的同学采取
讽 刺 、 挖 苦 、 打 击 、 嘲 笑 等 不 当 方 式 ,给 别 人 造 成 伤 害 ,严
重影响了同学之间的沟通。
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5多自由度系统振动解析
X FP (t ) 位移方程： FMX
主振动： X φsin( t ) 代入，得： (FM I ) φ 0 特征方程：
X R
n
F K 1 柔度矩阵
X 0 自由振动的位移方程： FMX
φ [1 2 n ]T
特征值
1/ 2
φT Mφ f(t ) φT Kφf (t ) 0
f(t ) φT Kφ T 2 f (t ) φ Mφ
：常数
M 正定，K 正定或半正定 对于非零列向量 φ ： 令：
φ Mφ 0
T
φT Kφ 0
2
0
对于正定系统必有 0
对于半正定系统，有 0
（不生弹性变形 ）
X φf (t ) 正定系统 0 半正定系统 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
首先讨论正定系统的主振动
KX 0 正定系统： MX
主振动： X φa sin( t ) 将常数a并入 φ 中
X R
0
n
M 正定，K 正定
FM I 0
特征根按降序排列： 1 2 n 0
i 1/ i2
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
例：三自由度系统
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
x1 2k
m
x2 k
m
x3
m 2k
k
3k K k 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
f(t ) φT Kφ T 2 f (t ) φ Mφ
为常数 a、b、
（1）正定系统
多自由度系统的振动、响应和求解
D k vD
B Q2
A Q1
k vA
位移图
受力图
图(b) v21, v1v30时板的位移和受力图
（2）求刚度矩阵第二列 参见图 b，可得板的力平衡方程：
Q3 kvA kvD 0 Q1L (kvA kvD) L 0 Q1 Q2 kvE 0
；其中
k
12EI L3
解得 Q 1 2 k , Q 2 3 k , Q 3 0
微振动时， i ,
&
i
为小量，将以上能量保留到二阶小量，得
（注意：为了得到线性振动方程，能量表达式必须保留 到二阶微量）
T 12ml2[3&12 2&22 &32 4&1&2 2&2&3 2&3&1]
3
12ml2{&1,&2,&3}2
1
2 2 1
11&&12 1&3
V
1 2
mgl
(312
222
简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为
P
f Pb(xl2x2b2), 0xa 6EIl
x
a
b
l
f Pb[l(xa)3(l2b2)xx3], axl
6EIlb
例4.1 写出图示梁的柔度矩阵，梁的抗弯刚度为EI。如果 将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点，写出梁的质
量矩阵，设梁单位长度的质量为 l。
；其中
k
12EI L3
Q1 Q2
2 2
(kvA
kvD
)
0
解得 Q 1 4 k , Q 2 2 k , Q 3 0
因此，刚度矩阵第一列为
4多自由度系统的振动解析
A(i)为对应于 pi的特征矢量。它表示系统在以 pi的频率作自 由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第 i 阶主振型， 也称固有振型或主模态。 对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有 频率和与之对应的n阶主振型
A1 A1(1) 1 A2 1 An A1 2 2 A A2 2 2 An A n A1( n ) (n) A2 (n) An
归一化后，得到三个主振型
A1 . 10000 10000 . . 10000 , A 2 . 10000 0.2808 0.6404 , A1 . 10000 17808 . 0.3904
(i ) 令 An 1 ，于是可得第i阶主振型矢量为
Ai A1(i )
(i ) A2
1
T
在主振型矢量中，规定某个元素的值为 1，并进而确定其 它元素的过程称为归一化。
Mechanical and Structural Vibration
4.1 固有频率 主振型
4.1.2主振型
sin( pt )
i 1,2,3,n
p 2 MA A 0
LM
( M 1 I)A 0 2 p
1 I 2 p
特征矩阵Biblioteka 频率方程M1 I 0 2 p
求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩 阵adjL将pi值代入而求出.
Mechanical and Structural Vibration
于是，得到
多自由度体系自由振动讲解
代入振动方程可得
K 2 M A 0 -----------振型方程
K11 m1 2
K 21 K n1
K12
K22 m2 2
K1n
K2n
0
Kn2
Knn mn 2
-----频率方程
3. 柔度矩阵与刚度矩阵的关系
FEK2 K21 y1(t) K22 y2 (t)
振动方程------受力平衡方程
m1
mm21yy21
(t (t
) )
FEK1 FEK 2
0 0
m1y1(t)
mm21yy21
(t) (t)
K11 y1 (t) K21 y1 (t)
方程（1）的解设为 ： y(t) Asin(t ) 式中， A A1 A2 An T
把 y(t) Asin(t ) 代入（1）
A 2 M A
M EA 0
记
1
2
----------------（2）
3）振型图
画振型图时， 完全按照2个振型中的量值，与假定的2 个位移方向相协同。
A1 1.0 1.0T A2 1.0 1.0T
1
1
1
1
第一振型
第二振型
多自由度振动
重 点：频率、振型 难 点：建立方程、求刚度
系数、柔度系数
多自由度体系的自由振动
主要内容：振动方程、振型方程、频率方程及振型图
一、柔度法建立振动方程 1. 两个质点的振动
m2
y2 (t)
y1(t) y2(t) 由质点1与质点2的惯性力共同产生 m1
第五章-多自由度系统的振动
0 M P1 ( t ) k 11 ... k 1 j ... k 1 n k 1 j P ( t ) k ... k ... k 0 k 2j 2n 2j 2 = 21 P (t ) = 1 = M .......... .......... . M 0 Pn ( t ) k n 1 ... k nj ... k nn M k nj 0
k11 = k1 + k 2
k12 = −k 2
k13 = 0
k 21 = − k 2
k 31 = 0
k 22 = k 2 + k 3 + k 5 + k 6
k 32 = −k 3
k 23 = −k 3
k 33 = k 3 + k 4
− k3 k3 &刚度矩阵：
&& MX + KX = P (t )
X ∈ Rn
确定后，系统动力方程即可完全确定。 当 M、K 确定后，系统动力方程即可完全确定。 那么M、K 该如何确定？ 讨论刚度阵K 加速度为零。 && 假设外力是以准静态方式施加于系统， 加速度为零。X 假设外力是以准静态方式施加于系统， KX = P (t ) 则：
振动理论与声学原理
——刚度矩阵和质量矩阵 一、多自由度系统的动力学方程——刚度矩阵和质量矩阵
0 M P (t) k11...k1 j ...k1n k1 j 1 P (t) k ...k ...k 0 k 2 = 21 2 j 2n 1 = 2 j P(t) = M ..................... M 0 n P (t) kn1...knj ...knn M knj 0
第五章(第3节)多自由度系统的振动讲解
0
0 m
x
y
3 i 1
ki
sincosi 2cosi i
sin i
sin
cos
2 i
i
x y
Qx Qy
5.3 振型向量（模态向量）的正交性·展开定
理
1.固有振型的正交性——例题：正交性验证（例：5.3-1）
将以上各i值和k1=k2=k3=k代入刚度矩阵，得
3
i1
ki
cos2 i sini cosi
sini cosi
sin 2 i
k
1 0
0 0
k
1
4 3
4
3 34
4
k
34 34
3 4 1 4
k
2 0
0 1
或
Cr u(r)T Mw
单位矩阵，模态刚度矩阵为固有频率平方的对角
矩阵，即
1
Mr
uT Mu
I
1
(5.3-17)
1
5.3 振型向量（模态向量）的正交性·展开定 理
2.模态矩阵
12
Kr
uT Ku
Λ
22
(5.3-18)
n2
●由于振型向量只表示系统作固有振动时各 坐标间幅值的相对大小，所以模态质量和模态刚 度的值依赖于正则化方法，只有进行正则化后， 才能确定振型向量各元素的具体数值，也才能使 Mr和Kr具有确定的值。
第三章 多自由度系统振动
U = U ( q1 , q2 ,..., qn )
通常将静平衡位置作为势能零点， 并且以静平衡 通常将静平衡位置作为势能零点， 位置为坐标原点。 位置为坐标原点。 我们研究的是在静平衡位置附 近的微振动， 近的微振动，则将 U 在静平衡位置作泰勒展开有
∂U U = U0 + ∑ i =1 ∂qi
0
q
对应的广义力，阻尼力，耗散力。 对应的广义力，阻尼力，耗散力。系统的第 k 个 质点受到的阻尼力
& Rk = − β k ⋅ rk
与势能形式上对应存在一个耗散函数
m n 1 ∂rk dqi n ∂rk dq j 1 & & Φ = ∑ β k ⋅ rk ⋅ rk = ∑ β k ⋅ ∑ ⋅ ⋅∑ ⋅ dt j =1 ∂q j dt k =1 2 k =1 2 i =1 ∂qi
kn 2 − mn 2ωi2 ) ⋅ ϕ 2i + ... + ( knn − mnnωi2 ) ⋅ ϕ ni = ( mn1ωi2 − kn1 ) ϕ1i (
n − 1 个方程，n − 1 未知数， 个方程， 未知数， 最终可求出 ϕ2i ,..., ϕni 用 ϕ1i
表示，其余都与其成一定比例。 表示，其余都与其成一定比例。 与其成一定比例
系统的能量等于各阶主振动的能量之和不同阶之间能量不发生变换每一阶主振动的动能和势能在内部交换总和保持常数34多自由度系统的受迫振动mxcxkx1特征值分析求出无阻尼的各阶固有频率和各阶主振型2模态叠加方法分解解耦期望阻尼阵也和mk一样具有正交性即如果这样就可以使用模态叠加法进行解耦分析求解
结 构 动 力 学
1 n n ∂ 2U U = ∑∑ 0 qi q j 2 i =1 j =1 ∂qi ∂q j ， 令
多自由度系统的振动、响应和求解
P
f Pb(xl2x2b2), 0xa 6EIl
x
a
b
l
f Pb[l(xa)3(l2b2)xx3], axl
6EIlb
例4.1 写出图示梁的柔度矩阵，梁的抗弯刚度为EI。如果 将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点，写出梁的质
量矩阵，设梁单位长度的质量为 l。
0 0 y y2 1 m 3 y3
qrki qrkj qiqj 12in1
n
mijqiqj
j1
其中mij
N
mk
k1
rk rk qi qj
பைடு நூலகம்
mji
(4.4)
(4.2)、(4.4)式可写成矩阵形式
V1qTKq, 2
(4.5)
T1qTMq
(4.6)
2
其中q[q1, q2,, qn]T,K[kij]nn,M[mij]nn
矩阵K 称为刚度矩阵，它是一个对称正定或半正定矩阵；矩 阵M 称为质量矩阵，它是一个对称正定矩阵。
因此，柔度矩阵的第一列为
{f11,f21,f31}T76l83EI{9,11,7}T
类似可算出柔度矩阵的第二、第三列。柔度矩阵为
f11 [F]f21
f12 f22
ff123376l83EI191
11 16
7 11
f31 f32 f33
7 11 9
系统的动能为
T1 2(m 1y & 1 2m 2y & 2 2m 3y & 3 2)1 2{y1,y2,y3} m 01 m 02 0 0
§4.1 多自由度系统的动力学方程
我们先来考察多自由度线性系统动能和势能的数学结
第1章多自由度系统的固有振动特性
第一章多自由度系统的固有振动特性§1.1概述实际工程结构的振动往往用一个有限的多自由度振动系统来描述。
多自由度系统在数学上用一组常微分方程来描述，又称为集中参数系统。
因此研究多自由度系统振动特性是研究结构振动的基础和出发点。
§1.2 无阻尼系统的自由振动1．振动方程（1－1），为广义位移矢量2．质量矩阵物理意义动能（1－2）（1）质量矩阵反映了系统的动能（2）质量矩阵是正定的（3）质量矩阵是对称的例外：纯静态位移使（1－3）如在用有限元法建模时，采用非一致质量阵，则某些自由度上可能无质量项，此时质量阵不能保证正定。
即可以找到这样的一个位移向量使上式成立。
3．刚度矩阵的物理意义势能（1－4）（1）刚度矩阵反映了系统的势能（2）刚度矩阵是半正定的（刚体位移对应的势能为零）（3）刚度矩阵是对称的刚度矩阵的逆阵也有明确的物理意义——柔度矩阵使用刚度矩阵或柔度矩阵建立振动方程，分别称为“力法”、“位移法”4．特征方程各个自由度上的运动互不相同，但都是同频的简谐振动。
（1－5）求解上述方程是结构振动分析最基本的任务之一。
5．几个基本概念（1）固有频率特征方程的根为，即为固有频率，它反映了结构自由振动随时间的变化特性。
（2）固有模态或固有振型对应于特征方程根的特征矢量（1－6）它反映了结构自由振动在空间的变化特性。
（3）标准模态对固有模态归一化（1－7）则称为标准模态或归一化模态，模态归一化的方法有：1）置中某一分量为12）置中绝对值最大的分量为13）置模态质量为1，（1－8）（4）刚体模态：对应于（1－9）纯刚体模态：仅含有一种刚体运动（5）纯静态模态：使的模态，在非一致质量阵中，某些对角元素可以为零，可以找到一组位移使（1－10）（6）单频：称为单频。
（7）重频：称为重频，但相应有两个模态。
（8）密频或近频：通常当时，可以称为密频§1.3 固有频率与固有模态的特性1．正交性指模态对刚度矩阵[K]及质量阵[M]的加权正交性：（1－11）证明：由（1－12）分别前乘，然后相减并利用质量阵和刚度阵的对称性。
多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵的关系 -回复
多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵的关系-回复多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵是描述系统动力学性质的重要工具。
本文将详细探讨这两个矩阵之间的关系，以及它们在动力学分析中的应用。
先来看一下多自由度振动体系的定义。
一个多自由度振动体系由多个具有自由度的质点组成，这些质点可以在空间中以不同的方式运动。
对于一个包含n个自由度的系统，其运动状态可以由n个广义坐标表示。
这些广义坐标的变化随时间的导数称为广义速度，而广义速度的变化随时间的导数称为广义加速度。
在动力学分析中，我们需要知道系统中各个自由度的变化方式，即广义坐标如何随时间变化。
为了推导出系统的振动方程，我们需要引入两个重要的概念：刚度和柔度。
刚度是描述系统对应力或应变的响应程度的物理量。
对于一个弹簧系统，刚度越大，弹簧对作用力的响应越强，相应的系统振动频率也越高。
在多自由度振动体系中，可以用刚度矩阵来描述系统的刚度性质。
柔度是描述系统对形变的响应程度的物理量。
对于一个弹性材料，柔度越大，材料对形变的响应越强，相应的系统振动频率也越低。
在多自由度振动体系中，可以用柔度矩阵来描述系统的柔度性质。
那么刚度矩阵和柔度矩阵之间的关系是什么呢？首先，我们需要理解刚度和柔度与位移之间的关系。
根据胡克定律，刚度和位移之间呈线性关系。
对于一个自由度振动体系，有如下表达式：F = kx式中，F是作用在系统上的外力，k是系统的刚度，x是位移。
这表明，位移与系统的刚度成正比。
同样地，柔度和位移之间也呈线性关系，但是比例系数的倒数。
对于一个自由度振动体系，有如下表达式：x = F/c式中，c是系统的柔度。
这表明，位移与系统的柔度成反比。
接下来，我们将讨论多自由度振动体系中刚度矩阵和柔度矩阵的关系。
考虑一个具有n个自由度的振动体系，其刚度矩阵为K，柔度矩阵为C。
如果我们取系统的位移为一个n维列向量x，广义力为一个n维列向量f，那么系统的运动方程可以表示为：M*dx^2/dt^2 + C*dx/dt + K*x = f式中，M是系统的质量矩阵。
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X Rn
φ 有非零解的充要条件： K 2M 0
0
K 0
K为奇异矩阵是零固有频率存在的充要条件，满足此条件时系 统的刚度矩阵 K 是半正定的
0
Kφ 0
当半正定系统按刚体振型运动时，不发生弹性变形，因此不产 生弹性恢复力
2020年10月23日 3
《振动力学》
xN3
mv
3
sin
3t
xN4 0
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
xN1 m vt
xN2 0
xN3
mv
3
s
in
3t
xN4 0
X N [xN1
xN 2
xN 3
xN 4 ]T mv[t
0
1
3
sin
3t
0]T
物理空间响应：
t
1
3
sin3t
X ΦN X N
v
t
1
3
sin3t
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
设 φ(1)为与 1 0 对应的刚体位移模态 正交性条件 φ(i)T Mφ( j) 0 (i j) 要求：
φ(1)T Mφ(i) 0 (i 2 ~ n)
φ(i) (i 2 ~ n) ：除刚体位移之外的其它模态
设 xpi (i 2 ~ n) 为与 φ(i) (i 2 ~ n) 所对应的主坐标
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
假定系统中 1 0 相应的主坐标方程： mp1xp1 k p1xp1 0
xp1 0
x p1 at b 由初始条件决定 表明此主振动为随时间匀速增大的刚体位移 系统的刚体自由度可以利用模态的正交性条件消除
2020年10月23日 4
《振动力学》
2
t
1
3
sin3t
2020年10月23日
t
1
3
sin3t
10
《振动力学》
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
解：
方法二：利用约束条件
k
k
k
m
m
m
m
m 0 0 0 x1 1 1 0 0 x1
0
0
0
m 0 0
0 m 0
0
0
m
x2 xx43
k
1
0
0
2 1 0
5 《振动力学》
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
例：四自由度系统
k
k
k
m
m
m
m
初始条件：
X 0 [0 0 0 0]T
求系统响应
X 0 [v 0 0 v]T
2020年10月23日 6
《振动力学》
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
k
k
k
m
m
m
m
X 0 [0 0 0 0]T X 0 [v 0 0 v]T
2020年10月23日 8
《振动力学》
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
X N ΛX N 0 xNi i2 xNi 0 (i 1 ~ 4)
X N (0) ΦN1X 0 [0 0 0 0]T
X N (0) ΦN1X 0 m v[1 0 1 0]T
12 0
2 2
(2
2) k m
1 2 1
0
x2
0
1
1
x3 x4
奇异
x1 x2 x3 x4 0
1 1
1
1
Φ 1 1 2
1
1
2
1 (1 2) 1 (1 2)
1
1
1
1
x1 x2 x3 x4
代入方程，整理： m 0 0 x2 3 0 1 x2
0
m
0
x3
k
1
2
1
x3
0
0 0 mx4 0 1 1x4
解：方法一
动力方程 : 固有频率 :
m 0 0 0 x1 1 1 0 0 x1
0
0
0
m 0 0
0 m 0
0
0
m
x2 x3 x4
k
1
0
0
2 1 0
1 2 1
0
x2
0
1
1
x3 x4
奇异矩阵
MX KX 0
12 0
2 2
(2
2020年10月23日
《振动力学》
2) k m
2 3
2
k m
2 4
(2
2) k m
7
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
模态矩阵 ：
正则模态：
1 1
1
1
Φ 1 1 2
1
1
2
1 (1 2) 1 (1 2)
1
1
1
1
令：X ΦN X N
正则模态方程： X N ΛX N 0
ΦN
1 1 1 m 1 1
消去了一个 系统自由度
2020年10月23日 《振动力学》
非奇异
φ(1)T MX 011
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
m 0 0 x2 3 0 1 x2
0
m
0
x3
k
1
（2）多自由度系统的自由振动 刚度矩阵半正定，K 0 ，系统 为半正定系统，存在 f ( t ) = a t + b 的刚体模态
k1
k2
m1
m2
m3
k
I1
I2
2020年10月23日 零固有频率的情形 2 《振动力学》
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
n 自由度系统： MX KX 0
多自由度系统振动
多自由度系统振动
• 多自由度系统的动力学方程 • 多自由度系统的自由振动 • 频率方程的零根和重根情形 • 多自由度系统的受迫振动 • 有阻尼的多自由度系统
2020年10月23日 1
《振动力学》
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
• 频率方程的零根和重根情形
回顾： （1）两个例子 系统存在刚体运动，柔度矩阵 F 不存在，刚度矩阵奇异
2 3
2k m2 4源自(2 2) k m
（1）i 1 时 1 0 xN1 0
xN1 at b m vt
xN1(0) 0 xN1(0) m v a m v b 0
（2）i 1 时
xNi
xNi (0) cosit
xNi (0)
i
sin it,
i 2,3,4
xN2 0
2020年10月23日 《振动力学》
X N [xN1
1
1
2 2
1
2 2
1 2
1
1
2
2 2
2 2
(1
2)
1
(1
2)
2 2
2 2
1
1
1
2 2
2 2
xN 2 xN 3 xN 4 ]T
xNi i2 xNi 0 (i 1 ~ 4)
模态初始条件： X N (0) ΦN1X 0 [0 0 0 0]T X N (0) ΦN1X 0 m v[1 0 1 0]T
右乘 x pi ： φ(1)T Mφ(i) xpi 0 (i 2 ~ n)
n
令： X φ(i) xpi 系统消除刚体位移后的自由振动 i2
可得约束条件：
φ(1)T MX 0
利用此约束条件可消去系统的一个自由度，得到不含刚 体位202移0年的10月缩23减日 系统，缩减系统的刚度矩阵是非奇异的