【五年级容斥原理】数学练习题
小学奥数计数之容斥原理练习【三篇】
【导语】天⾼鸟飞，海阔鱼跃，学习这舞台，秀出你独特的精彩⽤好分秒时间，积累点滴知识，解决疑难问题，学会举⼀反三。
以下是为⼤家整理的《⼩学奥数计数之容斥原理练习【三篇】》供您查阅。
【第⼀篇】1.⼀个班有45个⼩学⽣,统计借课外书的情况是:全班学⽣都借有语⽂或数学课外书.借语⽂课外书的有39⼈,借数学课外书的有32⼈.语⽂、数学两种课外书都借的有⼈. 3.在1~100的⾃然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个. 4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75⼈,既懂英语⼜懂俄语的20⼈,那么懂俄语的教师为⼈. 5.六⼀班有学⽣46⼈,其中会骑⾃⾏车的17⼈,会游泳的14⼈,既会骑车⼜会游泳的4⼈,问两样都不会的有⼈. 6.在1⾄10000中不能被5或7整除的数共有个. 7.在1⾄10000之间既不是完全平⽅数,也不是完全⽴⽅数的整数有个. 8.某班共有30名男⽣,其中20⼈参加⾜球队,12⼈参加蓝球队,10⼈参加排球队.已知没⼀个⼈同时参加3个队,且每⼈⾄少参加⼀个队,有6⼈既参加⾜球队⼜参加蓝球队,有2⼈既参加蓝球队⼜参加排球队,那么既参加⾜球队⼜参加排球队的有⼈. 9.分母是1001的最简真分数有个. 10.在100个学⽣中,⾳乐爱好者有56⼈,体育爱好者有75⼈,那么既爱好⾳乐,⼜爱好体育的⼈最少有⼈,最多有⼈.【第⼆篇】[ 例1 ] 洗好的8块⼿帕夹在绳⼦上晾⼲，同⼀个夹⼦夹住相邻的两块⼿帕的两边，这样⼀共要多少个夹⼦？ 分析：两块⼿帕有⼀边重叠，⽤3个夹⼦。
三块⼿帕有两边重叠，⽤4个夹⼦，我们发现夹⼦数总⽐⼿帕数多1，因此8块⼿帕就要⽤9个夹⼦。
[ 例2 ] 把图画每两张重叠在⼀起钉在墙上，现在有5张画要多少个图钉呢？ 分析：每排两张画要6个图钉，每排三张画要8个图钉，每排四张画要10个图钉。
可以看出，图画每增加⼀张，图钉就要增加2颗，那么5张画要12个图钉。
1.有两块⽊板，⼀块长72厘⽶，另⼀块长56厘⽶，如果把两块⽊板重叠后钉成⼀块⽊板，重叠部分是20厘⽶。
容斥原理 小学数学 习题集
一、选择题1. 五年级有95名同学去春游，每人至少带矿泉水和水果中的一种，由图可知带水果的有( )人．A．22 B．34 C．562. 红星小学三一班有25位同学报了合唱兴趣班，有32位同学报了美术兴趣班，其中有10位同学同时报了这两个兴趣班，三一班至少有（）位同学报了兴趣班．A．47 B．57 C．673. 学校音乐小组中会唱歌的有28人，会乐器的有22人，两项都会的有16人，音乐小组一共有（）人。
A．50 B．34 C．184. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( ) A．150种B．180种C．300种D．345种5. 三（1）班有45人，每人都参加了跳绳比赛或跑步比赛．跳绳比赛的有28人，跑步比赛的有24人，两种活动都参加的有（）人．A．17 B．7 C．24二、填空题6. 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。
7. 三（1）班进行体育达标测试，参加的40人中每人至少有一项达标，立定跳远达标的有28人，50米跑达标的有32人。
立定跳远和50米跑都达标的有( )人。
8. 奶奶要来我家，我得准备准备，煮开水要10分钟，洗茶杯要2分钟，找茶叶1分钟，泡茶要1分钟，洗水果要2分钟，整理客厅要3分钟，最短需要_____分钟做完这些事情．9. 养牛场有2007头黄牛和水牛，其中母牛1105头，黄牛1506头，公水牛200头，那么母黄牛有____头。
10. 一个人用140元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋．外衣比帽子贵90元，外衣和帽子共比鞋贵120元．一双鞋( )元．三、解答题11. 甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆？12. 在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？13. 三年级有92个小朋友参加文艺会演,其中参加大合唱的有68人,参加舞蹈演出的有64人,每人至少参加一项表演,三年级既参加大合唱又参加舞蹈演出的有几人?14. 王强和李辉两人合租一套房子，客厅、厨房和厕所是两家合用的，在登记住房面积时，两家在登记表上填了如下数字（单位：平方米）：姓名客厅居室厨房厕所总面积王强18 18 10 6 52李辉18 20 10 6 54那么，他们租的这套房子共有______平方米．。
专题22 容斥原理(原卷)
2022-2023学年小学五年级思维拓展举一反三精编讲义专题22 容斥原理专题简析：集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。
如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。
组成集合的每个事物称为这个集合的元素。
如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。
两个集合中可以做加法运算，把两个集合A 、B 合并在一起，就组成了一个新的集合C 。
计算集合C 的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A 、B 的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A 、B 两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A ＋B －AB 。
在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。
有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。
【典例分析01】五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。
两种报纸都订的有多少人？【思路引导】用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。
显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，知识精讲典例分析比总人数多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。
【典例分析02】某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。
已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。
这个学校共有多少名教师？【思路引导】把懂英语和懂日语的人数加起来得35＋34=69人，但是，两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：69－21=48人。
【典例分析03】学校开展课外活动，共有250人参加。
其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。
五年级下册奥数试题-容斥原理
容斥原理知识概述当两个计数部分有重复时，为了不重复计算，应从他们的和中减去重复计算的部分，这就是容斥原理。
在解决包含与排除问题时，要注意一下几个方面：灵活运用容斥原理；善于利用形象的图示帮助理解题意，利用图形的重合部分，理清数量之间的逻辑关系；在计算一个总量时，可以把总量分成几个分量来计算，先把每个分量加起来，再从几个分量的和中减去重复计算的部分。
例题精选例1、五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。
两种报纸都订的有多少人？练习1、 一个班的52人都在做语文和数学作业。
有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。
语文、数学作业都做完的有多少人？练习2、 五年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。
其C B ∩CA ∩C A ∩B ∩C B A A ∩B中语文得优的有65人，数学得优的有87人。
语文、数学都得优的有多少人？例2、某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。
已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。
这个学校共有多少名教师？练习1、某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。
已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。
这个学校共有学生多少人？练习2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优。
这个班共有多少人？例3、学校开展课外活动，共有250人参加。
其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。
问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？练习1、五（1）班有50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的35人，语文和数学都在90分以上的有20人。
两科都在90分以下的有多少人？例4、实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。
容斥原理例题
--------------- 名师点拨....................学科:学科：奥数一教学内容：第四讲容斥原理（二）开始学习上一讲我们已经初步研究了简单的容斥原理，今天我们继续研究较复杂的容斥问题。
例1五年级一班有45名同学，每人都积极报名参加暑假体育训练班，其中报足球班的有25人，报篮球班的有20人，报游泳班的有30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。
请问：三项都报的有多少人？分析：由于问题比较复杂，我们把它简化成下图要计算阴影部分的面积，我们记AHB 为圆A与圆B公共部分的面积，BHC为圆B与圆C公共部分的面积，AHC表示圆A与圆C 的公共部分的面积，x为阴影部分的面积则图形盖住的面积为：A+B+C-AHB-BnC-AnC+X。
请同学们注意：阴影部分的面积先加了3次，然后又被减了3次，最后又加了1次。
解答：设三项都报的有x人，由容斥原理有30+25+20-10-10-12+x=45解得x=2。
答：三项都报名的有2人。
说明：在“A+B+C-AnB-BnC-AnC+X” 式中，A, B, C, AnB, Bnc, Anc, x 和总量这8个数中，只要知道了7个数，就可通过列方程求出第8个数。
例2从1至1000这1000个自然数中，不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？分析：第一步先求出：能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？第二步再求出：不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？能被3整除的自然数的个数+能被5整除的自然数的个数+能被7整除的自然数的个数一（既能被3整除又能被5 整除的自然数的个数+既能被3整除又能被7整除的自然数的个数+既能被5整除又能被7 整除的自然数的个数）+能同时被3、5、7整除的自然数的个数二能被3、5、7中任何一个自然数整除的数的个数。
解答：能被3整除的自然数有多少个？1000^3=333……1有 333 个。
容斥原理
容斥原理（二）效能训练：姓名：1、13．65扩大（）倍是1365；6.8缩小（）倍是0.0682、把7.4343434343……用简便方法写出来是（），保留两位小数是（）。
3、把7.1687保留整数约是（），精确到千分位约是（）.4、4.09×0.05的积有（）小数，5.2×4.76的积有（）位小数。
5、根据13×28=364，很快地写出下面各式的积。
1.3×2.8= 0.13×0.28= 13×2.8=0.013×28= 0.13×2.8= 1.3×0.028=6、在（）里填上>、<或=163×0.8（）16336×2.8（）367、判断题（正确的打√，错误的打×）①、0.03与0.04的积是0.12。
（）②、一个数的1.65倍一定大于这个数。
（）③、53.78保留一位小数是53.8。
（）④、一个数乘小数，积一定小于这个数。
（）8、选择（把正确答案的序号填入括号里）①、一个小数的小数点右移动2位，再向左移动3位，这个小数（）。
A、扩大了10倍B、缩小10倍C、扩大100倍D、缩小1000倍②、下面各式得数小于0.85的是（）。
A、0.85×1.01B、0.85×0.99C、 0.85×19、直接写出得数。
0.6×0.83×0.9 2.5×0.4 3.6×0.412.5×8 50×0.04 80×0.3 1.1×910、脱式计算（能简算的要用简算）12.5×0.4×2.5×89.5×101 4.2×7.8+2.2×4.211、列式计算：1、 25乘4.8减5，差是多少？2、比4.7的1.5倍多3.05的数是多少？典型例题1、在参加数学竞赛的46人中，做第一题的有32人，做对第二题的有24人，两道题都做对的有20人，两道题都没有做对的有几人？开心一练：全班46名同学，仅会乒乓球的有28人，即会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球的有多少人？典型例题2、一个单位有70个职工，其中有的职工会打网球，有的会打乒乓球，有的两样都会，现在知道会打网球的48人，会打网球又会打乒乓球的有24人，问会打乒乓球的有多少人？典型例题3、一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两题都做错的有多少人？（1）两道题全对的有人。
五年级数学思维容斥原理专题训练
五年级数学思维容斥原理专题训练常规训练1.一次数学课有两道课堂练习题，全班 36 人中，做对第一道题的有28 人，做对第二道题的有 16 人，每人至少做对一道，问:两道题都做对的有几人？2.某校五年级共有六个班,除一班外共有 146名学生,除二班外共有150名学生二班的共有 60名。
问:五年级一班有多少名学生？3.全班 36名同学参加校庆，每人不是持彩旗，就是举鲜花。
现有 8名男同学持彩旗,25名举鲜花。
如果全班有 17 名女同学问她们中有多少名举鲜花？4.某班 28 名学生，星期一有 16 名学生迟到，星期二有 13 名学生迟到，星期三有9名学生迟到，如果在这三天中每人至少迟到过一次，则这三天都迟到的学生最多有多少名？5.100 亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号分别为 1，2，3，+··100。
将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下;再将编号为3 的倍数的灯的拉线各拉一下，拉完后亮着的灯数有多少盏？6.某年级共有 118 人，每人至少参加了一个课外小组。
其中参加美术小组的有56 人，参加舞蹈小组的有 45 人，参加航模小组的有 88 人，同时参加美术和舞蹈两个小组的有 21人，同时参加舞蹈和航模两个小组的有 18 人，同时参加美术和航模两个小组的有 35 人，那么三个小组都参加的有多少人？7.五(1)班的全体学生进行短跑、跳高、跳远三个项目的测试，全班每人至少有一个项目达到了优秀。
其中短跑达到优秀的有 18 人、跳高达到优秀的有 16 人、跳远达到优秀的有 20 人、短跑、跳高都达到优秀的有9人、跳高跳远都达到优秀的有 8 人、短跑、跳远都达到优秀的有 10 人，三个项目都达到优秀的有6人。
请问五(1)班共有多少人？8.如图所示，三个圆纸片叠在一起，每个纸片的面积都是 60 平方厘米。
圆纸片A与 B、B与C、C与A 的重叠部分的面积分别为14 平方厘米，7平方厘米，10 平方厘米。
五年级下册数学试题 - 奥数第04讲：容斥定理 人教版(含答案)
第4讲 容斥定理内容概念：有重叠部分的若干对象的计数问题，能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；灵活处理具有一些不确定性的计数问题，以及其他形式的重复计数问题。
典型问题：兴趣篇：1. 暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”。
他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的。
如果小悦去过其中的十二景，那么冬冬去过其中的几景？【分析】“十八景”剩余了18126-=景，所以冬冬去过其中的6+5=11景。
2.在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过。
请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？【分析】至少看过一部的小朋友有：1221825+-=（人）3、 五年级一班45个学生参加期末考试。
成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人。
请问：语文成绩得满分的有多少人？【分析】两科至少有一科得满分的有：452916-=（人），只有数学得满分的有：1037-=人，语文得满分的有：1679-=（人）。
4.某餐馆有27道招牌菜。
小悦吃过其中的13道，冬冬吃过其中的7道，而且有2道菜是两人都吃过的。
请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？【分析】两人都吃过的菜有：137218+-=道理，两人都没有吃过的有：27189-=（道）。
5.如图4-1，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2。
请问：（1）只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？（2）只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？【分析】（1）根据题意，有：6D G +=，则2G =,624D =-=;8F G +=,则有：826F =-=;5E G +=,则有：523E =-=;所以：()306321A =-+=;()308319B =-+=所以只被甲或者乙覆盖，却不被丙覆盖的是：2119343++=；（2）()306618C =-+=所以只被这3个圆中的某一个圆覆盖的部分的面积是：21191858++=。
五年级数学 --- 容斥原理(一)
【例 1】森林里住着 100 只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃 白菜。其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜的小白兔数量的 2 倍， 而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的 3 倍。它们 当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？
【例 2】有 100 位旅客，其中有 10 人既不懂英语，又不懂俄语，有 75 人懂英语，有 83 人懂俄语。那么这 100 位旅客中既懂英语又懂俄语的 有多少人。
【例 3】在7 整除的数有 个； ⑵能同时被 3，5，7 整除的有 个； ⑶能被 3 整除，但不能被 5 和 7 整除的有 ⑷能被 5 和 7 整除，但不能被 3 整除的有
个； 个。
【例 4】体育课上，60 名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左 到右报数：1，2，3，…，60，然后，老师让所报的数是 4 的倍数的同 学向后转，接着又让所报的数是 5 的倍数的同学向后转，最后让所报 的数是 6 的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有________人。 【例 5】中国田径队的 40 名运动员在训练基地进行封闭训练，其中男 运动员有 20 名，训练长跑的运动员有 15 名，训练竞走的女运动员有 8 名，那么训练长跑的男运动员有多少名？
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容斥原理-五年级奥数
容斥原理1、五年级（1）班有学生56人，其中45人完成数学作业，42人完成语文作业，这个班两种作业都做完的有多少人？2、某校挑选18名学生参加春季运动会，获一等奖的有12人，获二等奖的有11人，两个奖都取得的有9人，这次运动会上两个奖都没取得的有多少人？3、在1-100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？4、某学校组织同学参加足球和乒乓球比赛，参加足球比赛的有20人，参加乒乓球比赛的有18人，同时参加足球和乒乓球比赛的有13人，问参加比赛的共有多少人？5、某班有46人，其中会骑车的有17人，会游泳的有14人，既会骑车又会游泳的有5人，问两样都不会的有几人？6、某班共有45人，其中有35人会用电脑打字，这个班有男生23人，女生中有6人不会用电脑打字，那么男生中有多少人会用电脑打字？7、五（1）班有40名学生，参加围棋班的有15人，参加电脑班的有11人，参加美术班的有13人，同时参加围棋和电脑班的有4人，同时参加围棋和美术班的有5人，同时参加美术和电脑班的有5人呢，班上有3人三个班都参加了，问班级中没有参加兴趣班的有多少人？8、在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线，将木棍10等分，第二种刻度线将木棍12等分，第三种刻度线将木棍15等分。
如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？创新题1、一个班有45个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书，借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人，语文、数学两种课外书都借的有多少人？2、在1-100的所有自然数中，既非3的倍数也不是4或5的倍数的数有多少个？3、80个外语老师中，懂英语的有65人，懂日语的有35人，其中必有既懂英语又懂日语的的老师，问只懂英语的老师有多少人？4、五年级某班学生进行百米跑、跳远、投掷3个项目的测试，跳远达到优秀的有28人，投掷达到优秀的有26人，百米跑达到优秀的有24人，百米跑和跳远都达优的有12人，跳远和投掷达优的有9人，百米跑和投掷都达优的有14人，3项都达优的有5人，这个班有多少位同学？单元测试题1、某班有50名学生，在第一次测验中有26人得满分，在第二次测验中有21 人得满分，如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么两次测验都活得满分的有多少人？2、第一小组的同学们都在做两道练习题，做对第一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人，第一小组一共有多少人？3、问1-1000中所有不能被6,8,10整除的自然数有多少个？4、某校100个老师懂英语或法语，其中懂英语的有75人，既懂英语又懂法语的有20人，问懂法语的有多少人？只懂法语的有多少人？5、五年级112名同学参加语文、数学考试，没人至少有一门获优，已知语文获优者60人，数学获优者73人，求只有语文一门获优的人数.6、五一班有56名同学，只会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有16人，只会打羽毛球的有多少人？7、在1,2,3，、、、，1998这1998个数中，既不是8的倍数，又不是12的倍数的数共有多少个？。
五年级下册数学试题-容斥定理专题练习(解析版)全国通用
容斥定理专题练习A1. 某单位有青年员工85人,其中68人会骑自行车,62人会游泳,既不会骑车又不会游泳的有12人,则既会骑车又会游泳的有( )人A.57B.73C.130D.69答案A解析记A类元素为：会骑自行车；记B类元素为：会游泳.设既会骑车又会游泳的有x人.A ∪B = A+B - A∩B=68+62-A∩B=85-122.在1至10000中不能被5或7整除的数共有个.答案6857解析记A类元素为：在1至10000中能被5整除的数A=10000÷5＝2000记B类元素为：在1至10000中能被7整除的数B=10000÷7≈1428.6 B取整数B=1428 A∩B=10000÷35≈285.7 B取整数B=285设在1至10000中不能被5或7整除的数共有x个.A∪B = A+B - A∩B=68+62-A∩B=2000+1428 - 285=10000-x x =68573.在100个学生要么对音乐有兴趣要么对体育有兴趣,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人有人答案 31解析记A类元素为：音乐爱好者；记B类元素为：体育爱好者.A∪B = A+B - A∩B=56+75-A∩B=100 A∩B=314. 电视台向100人调查前一天收看电视的情况,有62人看过2频道,34人看过8频道,其中11人两个频道都看过.两个频道都没看过的有多少人？答案15解析记A类元素为：看过2频道的人数；记B类元素为：看过8频道的人数.设两个频道都没看过的有x人A∪B = A+B - A∩B=62+34-11=100-x x=155 某班统计考试成绩,数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90分以上的有38人.问两科都在90分以上的有多少人?答案8解析记A类元素为：数学得90分上的人数；记B类元素为：语文得90分以上的人数.A∪B = A+B - A∩B=25+21-38=86 某班同学中有39人打篮球,37人跑步,25人既打篮球又跑步,问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少?答案51解析记A类元素为：打篮球的人数；记B类元素为：跑步的人数.A∪B = A+B - A∩B=39+37-25=51B7、某车间有工人100人,其中有5个人只能干电工工作,有77人能干车工工作,86人能干焊工工作,既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人?答案68解析记A类元素为：能干车工工作的人数；记B类元素为：能干焊工工作的人数.设既能干车工工作又能干焊工工作的有x人.A∪B = A+B - A∩B=77+86-x=100-5 x=688、某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组,参加数学小组的有23人,参加语文小组的有27人,参加外语小组的有18人;同时参加数学、语文两个小组的有4人,同时参加数学、外语小组的有7人,同时参加语文、外语小组的有5人;三个小组都参加的有2人.问：这个年级参加课外学科小组共有多少人?答案54解析记A类元素为：数学小组的人数；记B类元素为：语文小组的人数；记C类元素为：参加外语小组的人数.A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C=23+27+18-4-5-7+2=549、某大学有外语教师120名,其中教英语的有50名,教日语的有45名,教法语的有40名,有15名既教英语又教日语,有10名既教英语又教法语,有8名既教日语又教法语,有4名教英语、日语和法语三门课,这三科都不教的有多少名？答案14解析记A类元素为：教英语的人数；记B类元素为：教日语的人数；记C类元素为：教法语的人数.设这三科都不教的有x名.A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C=50+45+40-15-8-10+4=120-x X=1410、某班有35个学生,每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的—个课外活动小组.现已知参加英语小组的有17人.参加语文小组的有30人,参加数学小组的有13人.如果有5个学生三个小组全参加了,问有多少个学生只参加两个小组?答案30解析记A类元素为：参加英语小组的人数；记B类元素为：参加语文小组的人数；记C类元素为：参加数学小组的人数.A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C=17+30+13-（ A∩B + B∩C +C∩A )+5 =35 A∩B + B∩C +C∩A =30C11. 36名女生结伴购物,21人买了长裙,24人买了短裙,24人买了超短裙;14人买了长裙和短裙,15人买了短裙和超短裙,13人买了长裙和超短裙;只有一位羞涩的小姑娘一条裙子都没买.请问,共有几名女生三种裙子都购买?答案7解析记A类元素为：买了长裙的人数；记B类元素为：买了短裙的人数；记C类元素为：买了超短裙的人数.A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C=21+24+24-14-15-13+A∩B∩C=36-1A∩B∩C=712.某进修班有50人,开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人,选修乙这门课有的35人,选修丙这门课的有31人,兼选甲、乙两门课的有29人,兼选甲、丙两门课的有28人,兼选乙、丙两门课的有26人,甲、乙、丙三科均选的有24人.问三科均未选的人数?答案 5解析记A类元素为：选修甲这门课的人数；记B类元素为：选修乙这门课的人数；记C类元素为：选修丙这门课的人数.设三科均未选的人数为xA∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C=38+35+31-29-26-28+24=50-xX=513.某高校对一些学生进行问卷调查.在接受调查的学生中,准备参加注册会计师考试的有63人,准备参加英语六级考试的有89人,准备参加计算机考试的有47人,三种考试都准备参加的有24人,准备只选择两种考试都参加的有46人,不参加其中任何一种考试的有15人.问接受调查的学生共有多少人？答案 192解析记A类元素为：参加注册会计师考试的人数；记B类元素为：参加英语六级考试的人数；记C类元素为：参加计算机考试的人数.设接受调查的学生共有x人A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C=63+89+47-46+24=x-x-15X=19214.如图所示,A 、B 、C 分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片,它们重叠放在一起盖住的面积是18,且A 与B ,B 与C ,C 与A 公共部分的面积分别是5、3、4,求A 、B 、C 三个图形公共部分(阴影部分)的面积.答案2 解析 设A 、B 、C 三个图形公共部分(阴影部分)的面积为xA ∪B ∪C = A+B+C - A ∩B - B ∩C - C ∩A +A ∩B ∩C=8+9+11-5-3-4+x=18X=215. 某工作组有12名外国人,其中6人会说英语,5人会说法语,5人会说西班牙语;有3人即会说英又会说法,有2人既会说法又会说西;有2人既会说西又会说英;有1人这三种语言都会说.则会说英语的人比一种语言都不会说的人多多少？答案4解析 记A 类元素为：会说英语的人数；记B 类元素为：会说法语的人数；记C 类元素为：会说西班牙语的人数.设一种语言都不会说的有x 人A ∪B ∪C = A+B+C - A ∩B - B ∩C - C ∩A +A ∩B ∩C=6+5+5-3-2-2+1=12-x X=2 6-2=4A B C。
容斥原理练习题
容斥原理练习题
1、有两块一样长的木板，各长130厘米，中间钉在一起后成了一块长木板，中间钉在一起的重叠部分时10厘米，长木板的长度是多少？
2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。
中间重叠部分长11厘米。
这两块木板各长多少厘米？
3、老师出了两道数学题，在40人中，做对第一题的有31人，做对第二题的有28人，每人至少做对一道，两道题都做对的有几人？
4、三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。
问两项比赛都参加的有几人？
5、某班共有42人，参加美术小组的有11人，参加陶艺小组的有15人，有6人两个小组都参加。
这个班既没参加美术小组也没参加陶艺小组的有多少人？
6、盛夏，有10个同学去冷饮店，向服务员交出需要的冷饮数统计表：有6个人要可可，有5个人要咖啡，有5个人要果汁，有3人既要可可又要咖啡；有2人既要咖啡又要果汁；有3人既要可可又要果汁；有一人三样都要，问几人没有吃冷饮？
7、五年级有54人参加三项课外活动，每人至少参加一项，有32人参加科技组，27人参加书法组，20人参加体育组，其中参加科技又参加体育的有10人，而参加科技又参加书法的有14人，既参加体育又参加书法的有4人，问三项都参加的有几人？
8、.某班学生参加语文、数学、英语三科考试，语文、数学、英语优秀的学生分别有302 825人，语文数学、语文英语、数学英语都优秀的学生分别有201617
优秀的有10人。
问语文、数学、英语？。
五年级数学思维训练《容斥原理》专题训练
五年级数学思维训练《容斥原理》专题训练一、填空题（每题5分，共45分）1两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状。
把它放在桌面上，疫盖面积有（）平方厘米。
2把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。
已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条长（）平方厘米。
3实验小学四年级2班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。
这个班有（）人参加了语文或数学兴趣小组。
4在一次三年级数学竞赛中，所有同学都答了第8、9两题，其中答对第8题的有36人，答对第9题的有27人，这两题都答对的有22人，没有人两题都答错。
一共有（）人参加了这次数学竞赛。
5如图所示，有三个面积为36 平方厘米的圆，两两相交的面积分别为7，8，9平方厘米，三个圆相交部分的面积为3平方厘米。
总体图形盖住的面积是（）平方厘米。
6 某校体育运动队有48名同学，规定他们至少参加乒乓球、篮球和排球三个球队中的一个。
结果参加乒乓球队的有18人，参加排球队的有12人，参加篮球队的有30人，其中有6人既参加乒乓球队又参加了篮球队，有2人既参加了篮球队又参加了排球队，没有人三个球队都参加。
那么，既参加乒乓球队又参加排球队的有（）人。
7五年级组织体育单项比赛，比赛项目有赛跑、跳远、投掷三项。
已知参加赛跑的共42人，参加跳远比赛的共51人，参加投掷比赛的共30人；同时参加赛跑和跳远比赛的13人，同时参加赛跑和投掷比赛的7人，同时参加跳远和投掷比赛的11人；这三项比赛都参加3人。
参加这次体育比赛的共有（）人。
8有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不罹俄语，有75人懂英语，83人慌俄语。
则既懂英语又陇俄语的有（）人。
9 五(2)班的全体同学进行了短跑、跳远和实心球三个项目的测试，有6名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀；具体项目与达优人数如下表。
五(2)班有（）人。
项目短跑跳远实心球短跑跳远短跑实心球跳远实心球短跑、跳远实心球人数18 16 20 7 9 8 4 二、解答题（笫10题15分，笫11~13题20分，共75分）10某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球。
容斥原理 小学数学 课时练习
一、选择题1. 红星小学三一班有25位同学报了合唱兴趣班，有32位同学报了美术兴趣班，其中有10位同学同时报了这两个兴趣班，三一班至少有（）位同学报了兴趣班．A．47 B．57 C．672. 学校举行拔河和跳绳比赛，三（2）班一共有32人参加了比赛，其中参加跳绳比赛的有20人，有18人参加了拔河比赛。
只参加拔河比赛的有（）人。
A．12 B．6 C．143. 学校音乐小组中会唱歌的有28人，会乐器的有22人，两项都会的有16人，音乐小组一共有（）人。
A．50 B．34 C．184. 班有的学生订阅了《小学生数学报》，的学生订阅了《数学小灵通》．既订阅了《小学生数学报》又订阅了《数学小灵通》的学生至少占全班人数的（）A．B．C．D．5. 学校开设了两个兴趣小组，三年级20人参加书画小组，18人参加了音乐小组，两个小组都参加的有5人，那么三年级一共有（）人参加了兴趣小组．A．38 B．33 C．23二、填空题6. 五(1)班有27名学生订《数学周报》，有15名学生订《英语周报》，两种报纸都订的有5名学生，每名学生至少订一份报纸，五(1)班共有( )名学生．7. 五年级一班共有人，每人参加一个兴趣小组，共有、、、、五个小组，若参加组的有人，参加组的人数仅次于组，参加组、组的人数相同，参加组的人数最少，只有人。
那么，参加组的有_______人。
8. 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。
9. 统计午餐．某食堂周六菜单如下:麻辣豆腐香菇油菜红烧肉糖醋鱼清蒸鸡周日菜单如下:蒜蓉西兰花香菇油菜红烧肉炸鸡腿糖醋里脊(1)周六和周日一共做了( )道菜．(2)重复的菜有( )道,不重复的菜有( )道．10. 某数学竞赛共160人进入决赛，决赛共四题，做对第一题的有136人，做对第二题的有125人，做对第三题的有118人，做对第四题的有104人。
在这次决赛中至少有____得满分。
三、解答题11. 志诚中学5年级有200名学生踊跃申报学科培训班，已知申报奥数班的学生有140人，申报英语班的学生有120人，申报科技班的学生有60人，参加奥数和英语班的学生有60人，申报奥数和科技班的学生有40人，申报英语班和科技班的学生有30人，那么有多少人三个班都报了？12. 分母为385的最简真分数共有多少个？它们的和是多少？13. 五（1）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名同学，两种棋都不会下的有10名同学。
【五年级容斥原理】数学练习题
博易新思维数学——全国中小学数学培训课程领军品牌较复杂的容斥原理在一个明媚的春日里，聪明美丽的公主迎来了她的二十岁生日。
国王看着自己的宝贝女儿，想：要选一个什么样的人才能配得上她，做她的驸马呢？于是，国王在公主的生日晚会上宣布，要为公主选一位驸马。
所有人都知道公主要出嫁了，各国的王子纷纷派使臣来求婚。
面对众多的求婚者，国王有些难以取舍。
宰相给他出了一个主意：驸马一定要文武双全，我们可以向求婚者提出几个要求。
宰相看了礼部的统计发现，求婚者一共有35 个国家的王子，其中有25 人胸怀治国方略，28 人精通兵法，33 人熟读诗书，30 人武艺高强。
现在国王想知道，这35 名王子中至少有多少人符合所有的要求。
同学们能告诉他吗？解决这个问题，就要用到容斥原理。
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
数学培训教材加盟合作例1：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？“至少有一门得满分”就是说只有语文一门得满分的、只有数学一门得满分的、语数双百的同学都是要求的人数。
我们可以画个图来帮助理解博易新思维数学——全国中小学数学培训课程领军品牌 有一根180厘米长的绳子，从一端开始，每3厘米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将作有记号的地方剪断，绳子共被剪成多少段？例2：五年级学生在一次春游中每个人都带了饮料，其中有51人带了汽水，有48人带了可乐，有32人带了果汁，有16人带了汽水、可乐两种饮料，有11人带了可乐、果汁两种饮料，有13人带了汽水、果汁两种饮料，另外还有7人带了汽水、可乐和果汁三种饮料。
问五年级的学生有多少人？容斥原理（1）：如果被计数的事物有A 、B 两 类，那么，A 类或B 类元素个数= A 类元素个数＋B 类元素个数－既是A 类又是B 类的元素个数。
容斥原理五年级试题
容斥原理五年级试题容斥原理五年级试题容斥原理五年级试题一1、在1到500的全部自然数中，不是7的倍数，也不是9的倍数的数共有多少个?2、六年级一班有45名同学，每人都参加暑假体育培训班，其中足球班报25人，篮球班报20人，游泳班报30人，足球、篮球都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。
问三项都报的有多少人?3、某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人参加，老师告诉同学既参加数学又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。
4、某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没有得满分者3人。
问这个班最多多少人?最少多少人?5、向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的人数是全体的35，其余不赞成;赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人，其余不赞成，另外对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的13多1人，同时去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人?6、分母是1001的最简真分数共有多少人?7、李老师出了两道数学题，全班40人中，第一有30人做对，第二题有12人未做对，两题都做对的有20人。
(1)第2题对第1题不对有几个人?(2)两题都不对的有几人?8、每边长为10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为宽1厘米的方框，把五个这样的方框放在桌面上，成为如的图案。
问桌面上放这些方框盖住部分的面积是多少平方厘米?9、一次数学竞赛都是填空题，小明答错的恰是题目总数的14，小亮答错5题，两人都答错的题目的总数的16，已知小明，小亮都答对题目超过了试题总数的一半，则他们都答对了多少道题?10、在1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个?容斥原理五年级试题二1、全班有46名同学,仅会打乒乓球的有18人,会打乒乓球以及会打羽毛球的有7人,不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人,问,仅会打羽毛球的`有多少人?2、电视台向100人调查昨天收看电视情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。
五年级奥数题及答案-容斥问题-卖水果
五年级奥数题及答案-容斥问题-卖水果
今天为同学们提供一道小学五年级数学题：关于容斥问题的数学题。
同学们，快来动手试一试哦！
李老板：卖出的商品有：糖果、香蕉、苹果、菠萝、萝卜、龙眼.
王老板：卖出的商品有：龙眼、梨、苹果、西瓜、香蕉、草莓、葡萄.
(1)请将他们卖出的商品填在如图的圆圈中.
(2)两人共卖出几种商品?
考点：物体的比较、排列和分类;容斥原理.
分析：(1)根据给出的商品填入表中，其中左边只有李老板卖的商品，右边只有王老板卖的商品，中间的是两人都卖的商品;
(2)他们卖的商品总数应是：李老板卖的商品数加王老板卖的商品数，然后减去共同卖的商品数.
解答：解：(1)填图如下：
(2)6+7-3=10(种);
答：两人共卖出10种商品.
点评：本题需要注意两人共卖出商品的商品数的计算方法，他们各卖的商品数的和，这样共同卖的商品数就算了2遍，再减去共同卖的商品数即可.。
五年级下册数学专项训练 奥数第十二讲 容斥原理 _ 全国版 (含答案)
五年级下册数学专项训练奥数第十二讲容斥原理 _ 全国版 (含答案）第十二讲容斥原埋在很多计数问题中常用到数学上的一个包含与排除原理，也称为容斥原理.为了说明这个原理，我们先介绍一些集合的初步知识。
在讨论问题时，常常需要把具有某种性质的同类事物放在一起考虑.如：A=｛五（1）班全体同学｝.我们称一些事物的全体为一个集合.A＝{五（1）班全体同学}就是一个集合。
例1 B＝｛全体自然数｝=｛1，2，3，4，…｝是一个具体有无限多个元素的集合。
例2 C=｛在1，2，3，…，100中能被3整除的数｝＝（3，6，9，12，…，99｝是一个具有有限多个元素的集合。
集合通常用大写的英文字母A、B、C、…表示.构成这个集合的事物称为这个集合的元素.如上面例子中五（1）班的每一位同学均是集合A的一个元素.又如在例1中任何一个自然数都是集合B的元素.像集合B这种含有无限多个元素的集合称为无限集.像集合C这样含有有限多个元素的集合称为有限集.有限集合所含元素的个数常用符号|A|、|B|、|C|、…表示。
记号A∪B表示所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合.就是右边示意图中两个圆所覆盖的部分.集合A∪B叫做集合A与集合B 的并集.“∪”读作“并”，“A∪B”读作“A并B”。
例3 设集合A=｛1，2，3，4｝，集合B=｛2，4，6，8｝，则A∪B=｛1，2，3，4，6，8｝.元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只写一个。
记号A∩B表示所有既属于集合A也属于集合B中的元素的全体.就是上页图中阴影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所组成的集合.它称为集合A、B的交集.符号“∩”读作“交”，“A∩B”读作“A交B”.如例3中的集合A、B，则A∩B=｛2，4｝。
下面再举例介绍补集的概念。
例4 设集合I=｛1，3，5，7，9｝，集合A=｛3，5，7｝。
补集（或余集），如图中阴影部分表示的集合（整个长方形表示集合I）.对于两个没有公共元素的集合A和B，显然有|A∪B|=|A|+|B|。
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较复杂的容斥原理
在一个明媚的春日里，聪明美丽的公主迎来了她的二十岁生日。
国王看着自己的宝贝女儿，想：要选一个什么样的人才能配得上她，做她的驸马呢？于是，国王在公主的生日晚会上宣布，要为公主选一位驸马。
所有人都知道公主要出嫁了，各国的王子纷纷派使臣来求婚。
面对众多的求婚者，国王有些难以取舍。
宰相给他出了一个主意：驸马一定要文武双全，我们可以向求婚者提出几个要求。
宰相看了礼部的统计发现，求婚者一共有35 个国家的王子，其中有25 人胸怀治国方略，28 人精通兵法，33 人熟读诗书，30 人武艺高强。
现在国王想知道，这35 名王子中至少有多少人符合所有的要求。
同学们能告诉他吗？
解决这个问题，就要用到容斥原理。
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
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例1：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
“至少有一门得满分”就是说只有语文一门得满分的、只
有数学一门得满分的、语数双百的同学都是要求的人数。
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有一根180厘米长的绳子，从一端开始，每3厘米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将作有记号的地方剪断，绳子共被剪成多少段？
例2：五年级学生在一次春游中每个人都带了饮料，其中有51人带了汽水，有48人带了可乐，有32人带了果汁，有16人带了汽水、可乐两种饮料，有11人带了可乐、果汁两种饮料，有13人带了汽水、果汁两种饮料，另外还有7人带了汽水、可乐和果汁三种饮料。
问五年级的学生有多少人？
容斥原理（1）：如果被计数的事物有A 、
B 两 类，那么，A 类或B 类元素个数= A 类元素个
数＋B 类元素个数－既是A 类又是B 类的元素
个数。
容斥原理（2）：如果被计数的事物有A 、
B 、
C 三类，那么，A 类或B 类或C 类元素个数= A 类元素个数＋B 类元素个数＋C 类
元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数
—既是A 类又是C 类的元素个数—既是B
类又是C 类的元素个数＋既是A 类又是B
类而且是C 类的元素个数。
由于“每个人都带了饮料”，那么求“五年级的学生有多少人”就是求至少带了一种饮料的人数。
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五年级一班的学生都喜欢运动，每人至少爱好一种球。
其中爱好乒乓球的有40人，爱好足球的有20人，爱好排球的有30人，既爱好乒乓球又爱好排球的有18人，既爱好足球又爱好乒乓球的有14人，既爱好足球又爱好排球的有12人。
三种球都爱好的有8人，那么这个班有多少人？数学培训教材加盟合作
例3：六（1）班有学生44人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？
某年级的课外兴趣小组共有54人，分数学、语文、外语三个小组，参加数学兴趣小组的有23人，参加语文兴趣小组的有27人，参加外语兴趣小组的有18人；其中同时参加数学、外语两个兴趣小组的有7人；同时参加语文、数学兴趣小组的有4人；同时参加语文、外语兴趣小组的有5人。
问其中三个小组都参加的有多少人？
朋朋正面图 把容斥原理
（二）变形即可求出。
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例4：某班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：
求这个班的学生共有多少人？
六年级100名学生中，15人既不会骑自行车也不会游泳，有62人会骑自行车，75人会游泳。
问既会自行车又会游泳的有多少人？数学培训教材加盟合作
例5:边长分别为10厘米、8厘米和4厘米的三块正方形纸片放在桌面上，如图，它们盖住的面积是多少平方厘米？
程程正面图 先求出至少有一个优秀的人数，再加上没有达到优秀的人数。
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在一个边长为90厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为20厘米和45厘米的正方形纸，如图。
问桌面上没被纸片盖住的面积是多少？
例6：在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。
其中6人要了汽水，6人要了可乐，4人要了果汁，有3人既要了汽水又要了可乐，1人既要了汽水又要了果汁，2人既要了可乐又要了果汁。
问：只要一样的有几人？
六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项。
其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人。
问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？
（接下来的题目有一定难度，如果课堂时间不够，可以留在课下思考。
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例7：在1～1000的自然数中，是3的倍数或是5的倍数共有多少个？不是3的倍数或是5的倍数共有多少个？
先求出1～1000中3的倍数有多少个，当成A类元素
的个数；再求出5的倍数有多少个，当成B类；最后
求出3和5的公倍数的个数，当成既是A类又是B
类的元素个数。
然后用容斥原理（一）即可。
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在1～1000的自然数中，不能被2、3、5中任何一个整除的数有多少个？。