数学线性代数n维向量空间
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3.2 n维向量空间
2.表示方法 2.表示方法
n维向量一般用小写黑体的希腊字母 α, β, γ 等表示； 有时也用黑体的拉丁字母 a, b, c, o, u, v, x, y来表示.
例如, n维向量 α = (a1 , a2 , L , an ).
n维向量 α = ( a1 , a2 , L , an ).
n 维向量写成一行，称为 n 维行向量， 维向量写成一行， 行向量，
3．向量的相等 ． 如果n维向量 如果 维向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) ,β = (b1 , b2 ,L , bn ) 的对应分量皆相等， 的对应分量皆相等，即
ai = bi ,
i = 1, 2,L , n
相等， 则称向量 α 与 β 相等，记作 α = β ．
4．特殊的向量 ． 零向量： 分量全为零的向量称为零向量 零向量， 零向量 分量全为零的向量称为零向量，记作 0． 即, 0 = (0,0,L ,0) .
n 维向量还可以写成一列，称为 n 维列向量， 维向量还可以写成一列， 维列向量，
a1 a2 β = = (a1 , a2 , L , an )T . M a n
n 维行向量就是一行 列的矩阵； × n 的矩阵 维行向量就是一行n列的矩阵 1 列的矩阵； n 维列向量就是 行一列的矩阵 n × 1 的矩阵 维列向量就是n行 列的矩阵.
为向量α 与 β 的和； 称向量
kα = ( ka1 , ka2 ,L , kan )
数量乘积． 为向量 α 与数 k 的数量乘积．称向量
α − β = α + (− β ) = (a1 − b1 , a2 − b2 ,L , an − bn )
为向量α 与 β 的差；
n维向量一般用小写黑体的希腊字母 α, β, γ 等表示； 有时也用黑体的拉丁字母 a, b, c, o, u, v, x, y来表示.
例如, n维向量 α = (a1 , a2 , L , an ).
n维向量 α = ( a1 , a2 , L , an ).
n 维向量写成一行，称为 n 维行向量， 维向量写成一行， 行向量，
3．向量的相等 ． 如果n维向量 如果 维向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) ,β = (b1 , b2 ,L , bn ) 的对应分量皆相等， 的对应分量皆相等，即
ai = bi ,
i = 1, 2,L , n
相等， 则称向量 α 与 β 相等，记作 α = β ．
4．特殊的向量 ． 零向量： 分量全为零的向量称为零向量 零向量， 零向量 分量全为零的向量称为零向量，记作 0． 即, 0 = (0,0,L ,0) .
n 维向量还可以写成一列，称为 n 维列向量， 维向量还可以写成一列， 维列向量，
a1 a2 β = = (a1 , a2 , L , an )T . M a n
n 维行向量就是一行 列的矩阵； × n 的矩阵 维行向量就是一行n列的矩阵 1 列的矩阵； n 维列向量就是 行一列的矩阵 n × 1 的矩阵 维列向量就是n行 列的矩阵.
为向量α 与 β 的和； 称向量
kα = ( ka1 , ka2 ,L , kan )
数量乘积． 为向量 α 与数 k 的数量乘积．称向量
α − β = α + (− β ) = (a1 − b1 , a2 − b2 ,L , an − bn )
为向量α 与 β 的差；
北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间
n
向量组 1 , 2 , , n 称为矩阵A 的列向量组．
10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
23
例4 已知
1 1, 4, 0, 2，2 2, 7, 1, 3， 3 0, 1, 1, a , 3, 10, b, 4 , 不能由1 ,2 ,3 线性表出? ⑴ a , b为何值时， 能由1 ,2 ,3 线性表出且表示法 ⑵ a , b 为何值时，
, n
n xn 是否有解。
n xn
,n 线 性表出.
19
＊若方程组 1 x1 2 x2
有解，则 可以由1 ,2 ,
n xn
,n 线 性表出.
且方程组的一组解就是表出系数． ① 若方程组有唯一解，则 可以由1 ,2 , ,n 线性表出且表示法唯一. ② 若方程组有无穷多解，则
1
第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念 二．向量与矩阵的关系 三．向量的线性组合与线性表出
2
一． n 维向量空间的概念 一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成 的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序 数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数 组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结 构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为 数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．
线性代数-n维向量
第三章 n维向量
一. n维向量及其线性运算 二. 线性相关性 三. 向量组的秩 四. 向量空间
五. 内积与正交化
第Байду номын сангаас节 n维向量及其线性运算
(一) n维向量的概念
定义
由n 个有数 a1 , a2 ,
, an 组成的有序数组 a1 , a2 ,
, an
称为一个n 维向量。 这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 a i 称为第i个分量。 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
2
0
0 3 1 2 0 3 1 2 2 0 1 1 2 0 1 1 0 1 1 b 0 0 0 b 2 0 0 a 1 0 1 a 2 0
1 0 0 0
T T T (2, 5,1) , (10,1, 5) , (4,1, 1) , 求 . 其中 1 2 3
解 3 1 3 2 2 2 5 3 5 ,
6 3 1 2 2 5 3 ,
1 ( 3 1 2 2 5 3 ) (1, 2, 3)T . 6
一般用希腊字母 , , 等表示 n 维向量。
a1 , a2 , 向量通常写成一行：
, an 称为行向量。
a1 a 2 有时也写成一列： 称为 列向量 。它们的区别只是 写法上的不同。 an
分量全为零的向量 0,0,
,0 称为零向量，记为 0。
, km称为这个线性组合的系数。 , m ,和向量 ， 如果存在
m m
定义2：给定向量组 A : 1 , 2 , 一组实数 1 , 2 , m , 使得 1 1 2 2
一. n维向量及其线性运算 二. 线性相关性 三. 向量组的秩 四. 向量空间
五. 内积与正交化
第Байду номын сангаас节 n维向量及其线性运算
(一) n维向量的概念
定义
由n 个有数 a1 , a2 ,
, an 组成的有序数组 a1 , a2 ,
, an
称为一个n 维向量。 这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 a i 称为第i个分量。 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
2
0
0 3 1 2 0 3 1 2 2 0 1 1 2 0 1 1 0 1 1 b 0 0 0 b 2 0 0 a 1 0 1 a 2 0
1 0 0 0
T T T (2, 5,1) , (10,1, 5) , (4,1, 1) , 求 . 其中 1 2 3
解 3 1 3 2 2 2 5 3 5 ,
6 3 1 2 2 5 3 ,
1 ( 3 1 2 2 5 3 ) (1, 2, 3)T . 6
一般用希腊字母 , , 等表示 n 维向量。
a1 , a2 , 向量通常写成一行：
, an 称为行向量。
a1 a 2 有时也写成一列： 称为 列向量 。它们的区别只是 写法上的不同。 an
分量全为零的向量 0,0,
,0 称为零向量，记为 0。
, km称为这个线性组合的系数。 , m ,和向量 ， 如果存在
m m
定义2：给定向量组 A : 1 , 2 , 一组实数 1 , 2 , m , 使得 1 1 2 2
线性代数--向量空间
dx4 0 d 2 x4
0
a 3 x1 b3 x2 c 3 x3 d 3 x4 0
该方程组的系数行列式
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 (b a)(c a)(c b)(d a)(d b)(d c) a3 b3 c3 d 3
由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AX
b
其中
A
a21
a22
a2n
,
a a 3 = (1,c,c2 , c3 , )T , 4 = (1,d, d2 , d3 )T
（其中a，b，c，d各不相同）
解 考察 x1a1 x2a2 x3a3 x4a4 0
x1 x2 x3 x4 0
按分量写出来，即为
a
2
ax1 x1
b
bx2 2 x2
cx3 c2 x
3
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由 其余向量线性表示。
k1a1 k2a2 ksas 0 (1) 则称向量组a1,a2, as 线性相关；
否则称之为线性无关。
即当且仅当 k1 k2 ks 0 时，(1)式才成立，
则称向量组 a1,a2 , as , 线性无关。
注意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关. （2） 仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
X
x2
,
b
b2
am1
am2
线性代数N维向量空间基与维数
§ 4.4 向量空间
12 解: 0 1
1 0
1 1 1
1 1 1
初等 行变换
1 0 0
2 1 0
1 1 0
1 1 0
可见dim L(A1, A2, A3, A4) = 2, A1, A2是L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
注: 此外A1, A3也是L(A1, A2, A3, A4)的一组基. 还有A1, A4.
分别为x, y, 则
x = Py, y = P1x.
证明: = (1, 2, …, r)x = (1, 2, …, r)y = (1, 2, …, r)Py
(1, 2, …, r)(x Py) = 0. 又因为1, 2, …, r线性无关,
所以x Py = 0, 即x = Py, 进而y = P1x.
L(A1, A2, …, As)——A的列空间(column space) dimL(A1, A2, …, As) = 秩(A).
1 2 1 1Biblioteka 例3. 设A = [A1, A2, A3, A4] = 0 1 1 1 ,
1 0 1 1
求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.
第四章 n维列向量空间
事实上, 对于这个例子, 除了A3, A4以外, A1, A2, A3, A4中任意两个向量都构成 L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
第四章 n维列向量空间
三. 向量在基下的坐标
1, 2, …, r——V 的一组基,
§ 4.4 向量空间
由定义, 对V, 唯一的一组有序实数 k1, k2, …, kr使得 = k11+k22+…+krr .
则称V是Rn的一个子空间(subspace), 或直接 称为一个(实)向量空间(real vector space). 仅含有零向量0的集合{0}关于向量的线性运 算也构成一个向量空间.
线性代数-N维向量空间-第5节-标准正交基
n
[, ] = i=1aibi = T.
第四章 n维列向量空间
2. 内积的基本性质
(1) 对称性: [, ] = [, ];
§ 4.5 内积与正交矩阵
(2) 线性性: [k11+k22,] = k1[1, ]+k2[2,];
(3) [, ] 0; 且[, ] = 0 = 0 .
(3) 三角不等式(Triangle Inequality):
| +| |||| + ||||.
第四章 n维列向量空间
§ 4.5 内积与正交矩阵
5. 长度为1的向量称为单位向量(unit vector).
对于非零向量, ||||1是一个单位向量.
——单位化/标准化(normalize).
(i,j1,2,
i j
,n),
故Ae1，Ae2，…，Aen也是一个标准正交组.
第四章 n维列向量空间
§4.5 内积与正交矩阵
§4.5 内积与正交矩阵
一. Rn中向量的内积, 长度和夹角
1. 设 =(a1, a2, …, an)T, =(b1, b2, …, bn)T,
则称实数
n
i=1aibi
为向量
与
的内积
(inner/dot/scalar product).
记为[, ], 即
(4) (Cauchy-Schwartz Inequality) |[, ]| [, ] [, ].
考察y = [, ]x2 + 2[, ]x + [, ].
n
=
i=1
(xai
+
bi)2
0
线性代数第三章(一二节向量与线性相关性)
组中至少有一个向量可由其余向量线性表示。
证明
必要性 设向量组 A: a1 , a2 , ... , am 线
性相关, 则有 m 个不全为零的实数 k1 , k2 , ... , km 使 k1a1 + k2a2 + ... + kmam = 0 . 因 k1 , k2 , ... , km 不全为 0 , 不妨设 k1 0 , 于是便 有
（9） 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则 a1 , a2 , ... , an线性相关的充要条件是其 构造的行列式值为0. 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则
a1 , a2 , ... , an线性无关的充要条件是其
构造的行列式值非0. （10） 若a1 , a2 , ... , am是n维向量组，且 m>n,则 a1 , a2 , ... , am线性相关。 特别地，n+1个n维向量必线性相关。
第 三 章 向量组的线性相关性与n 维向量空间
第一节
1. 向量的定义 定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , ... , an 所组成的
数组称为 n 维向量,其中第 i 个数 ai 称为第i 个分量，n称为向量的维数.
n维向量
n 维向量可写成一行, 也可写成一列. 分别
称为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵。
引例1：非齐次线性方程组（Ⅰ）有解<=>
存在一组数x1, x2, ... , xn, 满足
x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b。 引例2：齐次线性方程组（Ⅱ）有非零解<=> 存在一组不全为零的数x1, x2, ... , xn, 满足 x1a1 + x2a2 + ... + xnan = 0。 从这两个引例中我们可以提炼出向量组两个
证明
必要性 设向量组 A: a1 , a2 , ... , am 线
性相关, 则有 m 个不全为零的实数 k1 , k2 , ... , km 使 k1a1 + k2a2 + ... + kmam = 0 . 因 k1 , k2 , ... , km 不全为 0 , 不妨设 k1 0 , 于是便 有
（9） 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则 a1 , a2 , ... , an线性相关的充要条件是其 构造的行列式值为0. 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则
a1 , a2 , ... , an线性无关的充要条件是其
构造的行列式值非0. （10） 若a1 , a2 , ... , am是n维向量组，且 m>n,则 a1 , a2 , ... , am线性相关。 特别地，n+1个n维向量必线性相关。
第 三 章 向量组的线性相关性与n 维向量空间
第一节
1. 向量的定义 定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , ... , an 所组成的
数组称为 n 维向量,其中第 i 个数 ai 称为第i 个分量，n称为向量的维数.
n维向量
n 维向量可写成一行, 也可写成一列. 分别
称为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵。
引例1：非齐次线性方程组（Ⅰ）有解<=>
存在一组数x1, x2, ... , xn, 满足
x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b。 引例2：齐次线性方程组（Ⅱ）有非零解<=> 存在一组不全为零的数x1, x2, ... , xn, 满足 x1a1 + x2a2 + ... + xnan = 0。 从这两个引例中我们可以提炼出向量组两个
线性代数_第六章
a x1a1 + x2a2 + … + xnan
成立, 则称这组有序数x1, x2, …, xn 为元素a 在 基a1, a2, …, an下的坐标,记作(x1, x2, …, xn )T , 称
为坐标向量.
例4 求四维线性空间R2╳2中矩阵a在基{E11,
E12, E21, E22}下的坐标。
试求P[x]2中向量在这两个基下的坐标变换公式。
§6.3 欧氏空间
线性空间中，只定义了加法与数乘两种 运算；
在线性空间中引入度量的概念后，成为 欧几里德空间；
6.3.1 内积的概念与性质
定义1 设V是实数域R上的线性空间,若在V上定义了一个二元
实函数(a, b),它满足以下条件: 1)对称性 (a, b) (b, a) 2)齐次性 (ka, b) k(a, b) 3)可加性 (ab,g)(a, b)(a, g) 4)非负性 (a, a)≥0, 当且仅当a0时(a, a)0 其中, a,b,g为V中任意元素,则称此二元实函数(a, b)为元素a与 b的内积;定义了内积的线性空间称为内积空间.
例7 齐次线性方程组
AX=0 的全部解向量构成线性空间Rn的一个子 空间,称为(1)的解空间.
例8 设C[a,b]是闭区间[a,b]上所有连续实函 数组成的线性空间，P[x][a,b]是 [a,b]上所有的 实系数多项式集合；
则C[a,b]中的定义加法与数乘， P[x][a,b]构成 C[a,b]的一个子空间.
R, R2, Rn 都是有限维线性空间; P[x]是无限维线性空间;
例1 求齐次线性方程组的解空间N(A)的维数.
x1 x1
2x2 3x2
3x3 x4 10x3 5x4
0
成立, 则称这组有序数x1, x2, …, xn 为元素a 在 基a1, a2, …, an下的坐标,记作(x1, x2, …, xn )T , 称
为坐标向量.
例4 求四维线性空间R2╳2中矩阵a在基{E11,
E12, E21, E22}下的坐标。
试求P[x]2中向量在这两个基下的坐标变换公式。
§6.3 欧氏空间
线性空间中，只定义了加法与数乘两种 运算；
在线性空间中引入度量的概念后，成为 欧几里德空间；
6.3.1 内积的概念与性质
定义1 设V是实数域R上的线性空间,若在V上定义了一个二元
实函数(a, b),它满足以下条件: 1)对称性 (a, b) (b, a) 2)齐次性 (ka, b) k(a, b) 3)可加性 (ab,g)(a, b)(a, g) 4)非负性 (a, a)≥0, 当且仅当a0时(a, a)0 其中, a,b,g为V中任意元素,则称此二元实函数(a, b)为元素a与 b的内积;定义了内积的线性空间称为内积空间.
例7 齐次线性方程组
AX=0 的全部解向量构成线性空间Rn的一个子 空间,称为(1)的解空间.
例8 设C[a,b]是闭区间[a,b]上所有连续实函 数组成的线性空间，P[x][a,b]是 [a,b]上所有的 实系数多项式集合；
则C[a,b]中的定义加法与数乘， P[x][a,b]构成 C[a,b]的一个子空间.
R, R2, Rn 都是有限维线性空间; P[x]是无限维线性空间;
例1 求齐次线性方程组的解空间N(A)的维数.
x1 x1
2x2 3x2
3x3 x4 10x3 5x4
0
线性代数-第二章-向量和向量空间
n维单 位坐标 向量组
所以，称 是 1, 2 , 3 ,4 的线性组合， 或 可以由 1, 2 , 3 ,4线性表示。
命题2 设向量可由向量组(I) :1,2,,m
线性表出，而(I)中每个向量都可以由向量组
(II) : 1, 2,, s线性表出, 那么也可由向量组
(II)线性表出 给出证明
二 线性相关
当 r( A) r n 时，求得基础解系是1 ,2 , ,nr , 则 x k11 k22 knr nr 是AX 0 的解，
称为通解。
4. 解的结构
AX 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
例3 : 求下列齐次方程组的通解。
(1)
x1 2 x1
2 x2 4 x2
分量全为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。
例如：
(1,2,3,, n)
(1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
向量通常写成一行： a1,a2 , ,an 称为行向量。
有时也写成一列：
a1
xr1 1 0
,nr
是令
xr2
为
0
,
1
,
xn
0
0
0
,
0
所得。
1
Ax 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
注：
(1) 证明过程提供了一种求解空间基（基础 解系）的方法。
(2) 基（基础解系）不是唯一的。
(3) 当 r( A) n 时，解空间是{0}.
(2) s t
则向量组 1,2 , , s 必线性相关。
线性代数2.2n维向量
06
单位元存在性
存在一个零向量，使得对任意向量a，都有 a+0=a；同时存在一个单位元e，使得对任意 标量k和任意向量a，都有 ke=k(a+0)=ka+0=ka。
向量空间的性质
1 2
线性组合
向量空间中的任意两个向量可以线性组合成一个 新的向量，且结果仍属于该向量空间。
线性无关
向量空间中的一组向量是线性无关的，当且仅当 这组向量不能被其他向量线性表示。
3
子空间
如果一个向量空间的非空子集满足向量的加法和 标量乘法的封闭性，则称这个子集为子空间。
向量空间的应用
几何学
向量空间是几何学中研究图形和变换的基础，例 如向量的加法对应于图形的平移和旋转。
工程学
向量空间在工程学中广泛应用于信号处理、图像 处理、控制系统等领域。
物理学
向量空间在物理学中用于描述物理量的方向和大 小，例如力、速度和加速度等。
要点二
详细描述
向量的点积是将两个向量对应分量相乘后求和，得到一个 标量。点积的结果可以用来判断两个向量的相似程度，如 果两个向量的点积为零，则它们垂直；如果点积为正，则 两个向量方向相同；如果点积为负，则两个向量方向相反 。
向量的叉积
总结词
叉积是向量的另一种基本运算，它表示两个向量的垂直 关系。
详细描述
03
向量空间的基
如果一个向量组是线性无关的，并且 该向量组可以生成整个向量空间，则 该向量组被称为该向量空间的基。
线性组合的应用
矩阵运算
矩阵运算中经常涉及到向量的线性组合，如矩阵乘法、 向量点乘等。
线性方程组
通过向量的线性组合，可以将线性方程组转化为矩阵 形式，便于求解。
线性代数第三章 线性空间
组，通常称为矩阵 A 的列向量组；若对 A 按行进行
分块，即
A
1T
T 2
T m
其全体行向量构成一个含有 m 个 n 维行向量的向量
组，称为矩阵的行向量组．
并且，矩阵和含有有限个向量的有序向量组是一 一对应的．
定义5 设 ,1,2, ,s Rn， s 1． 如果存在数
k R，则
1）称向量 与 相等，记作 ，如果 与
对应的分量均相等，即 ai bi , i 1, 2, , n;
2）称向量
(a1 b1, a2 b2 , , an bn )T 为向量 与 的和，并记 ；
3）称向量
k (ka1, ka2 , , kan )T
a11 a2 2 an n ;
另外，零向量 0 是任何向量组的线性组合．
定义7 设 I :1,2 , ,s 和 II : 1, 2, , t 是两个向 量组． 如果向量组 I 中的每一个向量 i ( i 1, 2, , s )
均可以由向量组 II : 1, 2, , t 线性表出，则称向量 组 I 可以由向量组 II 线性表出．
k1, k2 , , ks R ，使得 k11 k22 kss ,
则称向量 是向量组 I :1,2, ,s 的一个线性组合， 或者说，向量 可以由向量组 I :1,2, ,s 线性表 出（或线性表示）．此时，k1, k2 , , ks 相应地被称 为组合系数或者表出系数．
在本书中，如果没有特别说明，我们涉及的向量 均指分量为实数的列向量，即列形式的实向量．
将所有 n 维实向量的全体记为 Rn，即
线性代数-3n维向量
α = ( a1 , a 2 , L a n ),
或:
(n维行向量 维行向量) 维行向量
α
a1 a 2 = M a n
(n维列向量 维列向量) 维列向量
目录
其中: 是实数,称为分量 分量的个数称为向量的维数 其中 ai (i=1,2…n)是实数 称为分量 分量的个数称为向量的维数 是实数 称为分量,分量的个数称为向量的维数. 维向量的线性运算(可参看矩阵的运算) 二. n维向量的线性运算 可参看矩阵的运算 维向量的线性运算 可参看矩阵的运算 设 1.相等 相等 2.加法 加法 3.数乘 数乘 4.转置 α 转置
T
α = (a1 , a2 ,L, an ), β = (b1 , b2 ,L, bn )
α = β ai = bi , (i = 1,2,Ln)
α ± β ( a i ± bi ), ( i = 1, 2 , L , n )
k β = ( ka
n
i
= (a1, a 2 ,L , a
)T
a1 a2 = M a n
线性相关. 线性相关
推论2: 两个线性无关的等价的向量组 必含有相同个数的向量 必含有相同个数的向量; 推论 两个线性无关的等价的向量组,必含有相同个数的向量 推论3: 任意n+1个n维向量组必然线性相关 维向量组必然线性相关. 推论 任意 个 维向量组必然线性相关 二. 向量组中的极大线性无关组和向量组的秩 设一个向量组的某一部分组是线性无关的,并且从该向量组 设一个向量组的某一部分组是线性无关的 并且从该向量组 中的其余向量中任取一个添进去 所得的新的向量组线性相关 所得的新的向量组线性相关, 中的其余向量中任取一个添进去,所得的新的向量组线性相关 则称该部分组为一个极大线性无关组 则称该部分组为一个极大线性无关组. 极大线性无关组
线性代数ppt第二章 n维向量
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
(6) k(l ) = (kl) , (7) (k + l) = k + l , (8) k( + ) = k + k . 五. 线性组合(linear combination)
n维向量: 1, 2, …, s
数(scalars): k1, k2, …, ks 线性组合: k11+k22+…+kss
根据推论2.1可知 1, 2, …, s线性相关.
第二章 n维列向量
§2.3 向量组线性相关性的等价刻画
推论2.4. 若1, 2, …, s线性相关, 则1, 2, …, s, s+1, …, t也线性相 关. 反之, 若1, 2, …, s, s+1, …, t线性 无关, 则1, 2, …, s也线性无关.
…
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
r(1, 2, …, s) s r(1, 2, …, s) < s r(1, 2, …, s) = s
1, 2, …, s
线性相关
(linearly dependent)
1, 2, …, s
线性无关
(linearly independent)
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
推论2.2. 若向量组1, 2, …, t与向量组1, 2, …, s等价, r(1, 2, …, t) = r(1, 2, …, s).
推论2.3. 若向量组1, 2, …, s 和1, 2, …, t 都线性无关, 并且这两个向量组等价, 则s = t.
线性代数第五习题答案详解
第五章n 维向量空间习题一1． 解：a-b = a+(-b)= (1,1,0)T +(0,-1,-1)T = (1,0,-1)T3a+2b-c = 3a+2b+(-c)= (3,3,0)T +(0,2,2)T +(-3,-4,0)T = (0,1,2)T2． 解： 3(a 1-a)+2(a 2+a) = 5(a 3+a) 3a 1+2a 2+(-3+2)a = 5a 3+5a 3a 1+2a 2+(-a) = 5a 3+5a3a 1+2a 2+(-a)+a+(-5)a 3 = 5a 3+5a+a+(-5)a 3 3a 1+2a 2+(-5)a 3 = 6a61[3a 1+2a 2+(-5)a 3] = 61⨯6a 21a 1+31a 2+(-65)a 3 = a将a 1=(2,5,1,3)T ,a 2=(10,1,5,10)T ,a 3=(4,1,-1,1)T 代入a =21a 1+31a 2+(-65)a 3 中可得： a=(1,2,3,4)T .3． (1) V 1是向量空间.由(0,0,…,0)∈V 1知V 1非空.设a=(x 1,x 2,…,x n )∈V 1,b=(y 1,y 2,…,y n )∈V 1,则有x 1+x 2+…+x n =0，y 1+y 2+…+y n =0.因为(x 1+y 1)+(x 2+y 2)+…+(x n +y n )= (x 1+x 2+…+x n )+( y 1+y 2+…+y n )=0所以a+b=( x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n )∈V 1.对于k ∈R ，有 kx 1+kx 2+…+kx n =k(x 1+x 2+…+x n )=0所以ka=( kx 1,kx 2,…,kx n ) ∈V 1.因此V 1是向量空间.(2) V 2不是向量空间.因为取a=(1, x 2,…,x n )∈V 2 ,b=(1, y 2,…,y n )∈V 2,但a+b=(2, x 2+y 2,…,x n +y n )∉V 2.因此V 2不是向量空间.习 题 二1． 求向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式：(1) 解：设向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3+k 4a 4其中, k 1,k 2,k 3,k 4为待定常数.则将b=(0,2,0,-1)T ,a 1=(1,1,1,1)T ,a 2=(1,1,1,0)T ,a 3=(1,1,0,0)T ,a 4=(1,0,0,0)T 向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式中可得： (0,2,0,-1)T =k 1(1,1,1,1)T +k 2(1,1,1,0)T +k 3(1,1,0,0)T +k 4(1,0,0,0)T根据对分量相等可得下列线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====++++++1201213214321k k k k k k k k k k解此方程组可得：k 1=－1,k 2=1,k 3=2,k 4=－2.因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－a 1+a 2+2a 3－2a 4 .(2) 与(1)类似可有下列线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=+++++++++121332223212143214321k k k k k k k k k k k k k由方程组中的第一和第二个方程易解得：k 2=4,于是依次可解得：k 1=-2,k 3=-9, k 4=2.因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－2a 1+4a 2－9a 3+2a 4 .2．(1) 解：因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数，由推论2知a 1,a 2 ,a 3,a 4线性相关.(2) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400510111220510111331621111321a a a因为()3321=a a a R所以a 1,a 2,a 3线性无关.(3) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00021011142012601117131442111321a a a因为()32321<=a a a R所以a 1,a 2,a 3线性相关. (4) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=500410111320410111211301111321a a a因为()3321=a a a R所以a 1,a 2,a 3线性无关.3. 证明：假设有常数k 1,k 2,k 3,使 k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3=0又由于b 1=a 1,b 2=a 1+a 2,b 3=a 1+a 2+a 3,于是可得 k 1a 1+k 2(a 1+a 2)+k 3(a 1+a 2+a 3)=0 即(k 1+k 2+k 3)a 1+ (k 2+k 3)a 2+k 3a 3=0 因为a 1,a 2,a 3线性无关，所以有⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧===000321k k k因此向量组b 1,b 2,b 3线性无关.4. 设存在常数k 1,k 2,k 3,k 4使k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3+k 4b 4=0因为b 1=a 1+a 2,b 2= a 2+a 3,b 3=a 3+a 4,b 4= a 4+a 1 于是可得：k 1 (a 1+a 2)+k 2(a 2+a 3)+k 3(a 3+a 4)+k 4(a 4+a 1)=0 整理得：(k 1+k 4)a 1+ (k 2+k 1)a 2+(k 2+k 3)a 3+(k 3+k 4)a 4=0， （下用两种方法解）法 一：因为a 1,a 2,a 3,a 4为同维向量，则 (1) 当向量组a 1,a 2,a 3,a 4线性无关时，k 1+k 4=0， k 2+k 1=0，k 2+k 3=0，k 3+k 4=0可解得：k 2=- k 1，k 4=- k 1，k 3=k 1取k 1≠0可得不为0的常数k 1,k 2,k 3,k 4使k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3+k 4b 4=0 因此b 1,b 2,b 3,b 4线性相关。
线性代数第二章 n维向量
可得r(P) = r, 因此, |P| 0
第二章 n维向量
§2.5 向量空间
定理:(教材P.74)设1, 2, …, r和1, 2, …, r是 V 的两组基, V 在这两组基下的坐标分别为
x, y, 则
x = P y , y = P1x
证明: = (1, 2, …, r)x = (1, 2, …, r)Py
推论3. 若向量组 1, 2, …, s 和 1, 2, …, t
均线性无关, 并且这两个向量组等价,
则 s = t.
例. 设1 = 1 + 22, 2 = 2 + 23,
3 = 21 + 3.
证明: 1, 2, 3 线性无关 1, 2, 3 线性
无关.
第二章 n维向量
§2.3 向量组线性相关性的等价刻画
3. n维向量的线性运算满足的性质
4. 线性组合, 线性表示
n维向量: 1, 2, …, s
数: k1, k2, …, ks
线性组合: k11+k22+…+kss
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
n维向量:
若存在数 k1, k2, …, ks使得
= k11+k22+…+kss 则称能由向量组1, 2, …, s 线性表示
关, 证明 任何一个n维向量都能由
1, 2, …, n 线性表示.
第二章 n维向量
§2.4 向量组的极大线性无关组
§2.4 向量组的极大线性无关组
定义 :
如果向量组 1, 2, …, s 的部分组 i1 , i2 , …, ir
满足下列条件:
(1) i1 , i2 , …, ir 线性无关, (2) 1, 2, …, s 中任一向量都可由
第二章 n维向量
§2.5 向量空间
定理:(教材P.74)设1, 2, …, r和1, 2, …, r是 V 的两组基, V 在这两组基下的坐标分别为
x, y, 则
x = P y , y = P1x
证明: = (1, 2, …, r)x = (1, 2, …, r)Py
推论3. 若向量组 1, 2, …, s 和 1, 2, …, t
均线性无关, 并且这两个向量组等价,
则 s = t.
例. 设1 = 1 + 22, 2 = 2 + 23,
3 = 21 + 3.
证明: 1, 2, 3 线性无关 1, 2, 3 线性
无关.
第二章 n维向量
§2.3 向量组线性相关性的等价刻画
3. n维向量的线性运算满足的性质
4. 线性组合, 线性表示
n维向量: 1, 2, …, s
数: k1, k2, …, ks
线性组合: k11+k22+…+kss
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
n维向量:
若存在数 k1, k2, …, ks使得
= k11+k22+…+kss 则称能由向量组1, 2, …, s 线性表示
关, 证明 任何一个n维向量都能由
1, 2, …, n 线性表示.
第二章 n维向量
§2.4 向量组的极大线性无关组
§2.4 向量组的极大线性无关组
定义 :
如果向量组 1, 2, …, s 的部分组 i1 , i2 , …, ir
满足下列条件:
(1) i1 , i2 , …, ir 线性无关, (2) 1, 2, …, s 中任一向量都可由
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A = (α1, α2 ,L , αm )，°A = (α1, α2 ,L , αm , β)。
线性方程组(4.2)可表示为两种矩阵方程：
(1). 将所有系数构成一个系数矩阵A
a11 a12 L
a21 M
a22 M
L M
an1 an2 L
即：AX B
a1m x1 b1
a2m M
# 向量加法和向量的数乘满足的运算规律:
1 加法交换律: α + β = β + α； 2 加法结合律 : α β γ α β γ ; 3 α Ο α; 4 α α O; 51 α α; 6 k(lα) (kl)α; 7 k(α β) kα kβ 8 (k l)α kα lα
# 向量α和β的差为 α - β = α + (- β) = (a1 - b1, a2 - b2 ,L , an - bn )T
# 实向量a :向量a的分量都是实数; # 复向量b :向量b的分量都是复数。 定义4.1 所有n维实向量(real vector)的集合称为, n维实向量空间，记为R n，即
第四章 n维向量空间
第一节 n维向量的概念 第二节 向量的线性表示与线性相关 第三节 等价向量组 第四节 线性方程组的结构 第五节 向量空间的子空间
4.1 n维向量的概念
由第一章知道
行向量(1 n矩阵) 列向量(n 1矩阵)
通称：n维向量
n个数构成的有序数组
a1
本章所称的n维向量指n维列向量：a= a1, a2 ,L
证(1) β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm线性表示
存在m个数x1, x2 ,L , xm，使得
x1α1 x2α2 L xmαm β
方程组 AX β 有解
其中A (α1,α2,L ,αm ), X (x1,x2,L ,xm )T
, an T
a2
aMn
其中ai(i=1,L ,n)为a的第i个分量。
复习若干概念：
# 向量α a1, a2 ,L , an T 和β b1, b2 ,L , bn T 相等
对应分量都相等
ai bi 1 i n # 向量α, β的和: α β a1 b2 , a2 b2 ,L , an bn T # 向量 0,0,L , 0T 称为零向量，用O表示。 # α的负向量 α a1, a2 ,L , an T # 向量α与数k的数量乘积 kα ka1, ka2 ,L kan T
R n a1, a2 ,L , an T a1, a2 ,L , an为实数 。
所有n维复向量(complex vector)的集合称为 n维复向量空间，记为C n，即
C n z1, z2 ,L ,zn T z1, z2 ,L ,zn 为复数 。
注意：在R n中，向量只能与实数相乘，而在Cn中，向量 可以乘任意复数。
本章只研究实向量空间R n，但结论对Cn也成立。
4.2 向量的线性表示与线性相关
4.2.1 向量的线性表示
定义4.2 设α1 ,α2 ,L ,αm ,β都是n维向量，若存在数 k1 ,k2 ,L ,km ,使得
m
β=k1α1 +k2α2 +L +kmαm = kiαi， i=1
称β可由α1,α2 ,L ,αm线性表示，或称β是α1,α2 ,L ,αm 的线性组合。
定理4.1
(1)向量β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm线性表示的充要条件是： rank(α1 ,α2 ,L ,αm ) rank(α1 ,α2 ,L ,αm , β)
(2)向量β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm惟一线性表示的充要条件是： rank(α1 ,α2 ,L ,αm ) rank(α1 ,α2 ,L ,αm , β) m。
例 设有向量α1 =(1,3,1)T ,α2 =(-1,-1,3)T ,α3 =(-5,-11,3)T， 因α3 =-3α1 +2α2，故α3可由α1和α2线性表示。
例4.1 判断向量β= -3, 2, 0,5T 是否可由向量,
e1 (1, 0, 0, 0)T , e2 (0,1, 0, 0)T , e3 (0, 0,1, 0)T , e4 (0, 0, 0,1)T 线性表示。
解 因 =-3e1 2e2 0e3 5e4，所以β可由e1, e2 , e3 , e4
线性表示。 一般地，在n维向量空间中，向量
e1 (1, 0,L , 0)T , e2 (0,1,L , 0)T ,L , en (0, 0,L ,1)T 称为n维向量空间的基本单位向量。R n中任意n维向量
xM2
bM2
anm xm bn
(2). 将所有系数分成m个列向量αi (1 i m)
a11
a12
a1m b1
x1
aM21
x2
aM22
L
xm
a2m M
bM2
an1
an2
anm bn
即：x1α1 x2α2 L ，都可以用基本单位向量线性表示：
α x1e1 x2e2 L xnen。
4. 2. 2 向量的线性表示与线性方程组的关系 给定具有m个变量和n个线性方程组成的方程组
a11x1 a12 x2 L a1m xm b1
a21 x1
a22 x2
L a2m xm M
b2
an1x1 an2 x2 L anm xm bn
方程改写成：
(4.2)
a11x1 a12 x2 L a1m xm b1
a21
x1
a22 x2
L
a2m
xm
b2
M
M
an1
x1
an2 x2
L
anm
xm
bn
a11
a12
a1m b1
x1
a21
aMn1
x2
a22
M an 2
L
xm
a2m M
anm
b2
bMn
记
a11
a12
a1m
b1
α1
a21
M
,α2
a22
,L
M
, αm
a2m
,
β
M
b2
M
an1
anm
anm
bn
则线性方程组(4.2)可写成向量方程的形式：
x1α1 x2α2 L xmαm β 方程组(4.2)的系数矩阵和增广矩阵分别是
线性方程组(4.2)可表示为两种矩阵方程：
(1). 将所有系数构成一个系数矩阵A
a11 a12 L
a21 M
a22 M
L M
an1 an2 L
即：AX B
a1m x1 b1
a2m M
# 向量加法和向量的数乘满足的运算规律:
1 加法交换律: α + β = β + α； 2 加法结合律 : α β γ α β γ ; 3 α Ο α; 4 α α O; 51 α α; 6 k(lα) (kl)α; 7 k(α β) kα kβ 8 (k l)α kα lα
# 向量α和β的差为 α - β = α + (- β) = (a1 - b1, a2 - b2 ,L , an - bn )T
# 实向量a :向量a的分量都是实数; # 复向量b :向量b的分量都是复数。 定义4.1 所有n维实向量(real vector)的集合称为, n维实向量空间，记为R n，即
第四章 n维向量空间
第一节 n维向量的概念 第二节 向量的线性表示与线性相关 第三节 等价向量组 第四节 线性方程组的结构 第五节 向量空间的子空间
4.1 n维向量的概念
由第一章知道
行向量(1 n矩阵) 列向量(n 1矩阵)
通称：n维向量
n个数构成的有序数组
a1
本章所称的n维向量指n维列向量：a= a1, a2 ,L
证(1) β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm线性表示
存在m个数x1, x2 ,L , xm，使得
x1α1 x2α2 L xmαm β
方程组 AX β 有解
其中A (α1,α2,L ,αm ), X (x1,x2,L ,xm )T
, an T
a2
aMn
其中ai(i=1,L ,n)为a的第i个分量。
复习若干概念：
# 向量α a1, a2 ,L , an T 和β b1, b2 ,L , bn T 相等
对应分量都相等
ai bi 1 i n # 向量α, β的和: α β a1 b2 , a2 b2 ,L , an bn T # 向量 0,0,L , 0T 称为零向量，用O表示。 # α的负向量 α a1, a2 ,L , an T # 向量α与数k的数量乘积 kα ka1, ka2 ,L kan T
R n a1, a2 ,L , an T a1, a2 ,L , an为实数 。
所有n维复向量(complex vector)的集合称为 n维复向量空间，记为C n，即
C n z1, z2 ,L ,zn T z1, z2 ,L ,zn 为复数 。
注意：在R n中，向量只能与实数相乘，而在Cn中，向量 可以乘任意复数。
本章只研究实向量空间R n，但结论对Cn也成立。
4.2 向量的线性表示与线性相关
4.2.1 向量的线性表示
定义4.2 设α1 ,α2 ,L ,αm ,β都是n维向量，若存在数 k1 ,k2 ,L ,km ,使得
m
β=k1α1 +k2α2 +L +kmαm = kiαi， i=1
称β可由α1,α2 ,L ,αm线性表示，或称β是α1,α2 ,L ,αm 的线性组合。
定理4.1
(1)向量β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm线性表示的充要条件是： rank(α1 ,α2 ,L ,αm ) rank(α1 ,α2 ,L ,αm , β)
(2)向量β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm惟一线性表示的充要条件是： rank(α1 ,α2 ,L ,αm ) rank(α1 ,α2 ,L ,αm , β) m。
例 设有向量α1 =(1,3,1)T ,α2 =(-1,-1,3)T ,α3 =(-5,-11,3)T， 因α3 =-3α1 +2α2，故α3可由α1和α2线性表示。
例4.1 判断向量β= -3, 2, 0,5T 是否可由向量,
e1 (1, 0, 0, 0)T , e2 (0,1, 0, 0)T , e3 (0, 0,1, 0)T , e4 (0, 0, 0,1)T 线性表示。
解 因 =-3e1 2e2 0e3 5e4，所以β可由e1, e2 , e3 , e4
线性表示。 一般地，在n维向量空间中，向量
e1 (1, 0,L , 0)T , e2 (0,1,L , 0)T ,L , en (0, 0,L ,1)T 称为n维向量空间的基本单位向量。R n中任意n维向量
xM2
bM2
anm xm bn
(2). 将所有系数分成m个列向量αi (1 i m)
a11
a12
a1m b1
x1
aM21
x2
aM22
L
xm
a2m M
bM2
an1
an2
anm bn
即：x1α1 x2α2 L ，都可以用基本单位向量线性表示：
α x1e1 x2e2 L xnen。
4. 2. 2 向量的线性表示与线性方程组的关系 给定具有m个变量和n个线性方程组成的方程组
a11x1 a12 x2 L a1m xm b1
a21 x1
a22 x2
L a2m xm M
b2
an1x1 an2 x2 L anm xm bn
方程改写成：
(4.2)
a11x1 a12 x2 L a1m xm b1
a21
x1
a22 x2
L
a2m
xm
b2
M
M
an1
x1
an2 x2
L
anm
xm
bn
a11
a12
a1m b1
x1
a21
aMn1
x2
a22
M an 2
L
xm
a2m M
anm
b2
bMn
记
a11
a12
a1m
b1
α1
a21
M
,α2
a22
,L
M
, αm
a2m
,
β
M
b2
M
an1
anm
anm
bn
则线性方程组(4.2)可写成向量方程的形式：
x1α1 x2α2 L xmαm β 方程组(4.2)的系数矩阵和增广矩阵分别是