第二章 数据描述和描述性统计

i =1 i
m
i
− X )2
n −1 i：第i个等级区间；X i ：第i个等级区间的中点； X所有观测值的平均值；f i : 第i个等级区间的频率； n是全部观测的样本数
19
20

（修正）样本标准差

负半方差
非组数据计算公式
σ=
∑(X
i =1
n
i
− X )2
方差、标准差在度量风险时的局限

方差和标准差将偏离于均值的所有波动，都算作风险。
2 i 2 i i =1 j >i n
= ∑ wi2σ i2 + 2∑∑ wi w j ρ ijσ iσ j
i =1 j >i
36
投资多样化的风险减少效应

投资多样化的风险减少效应

一个特例：两种风险资产（A和B）
2 投资组合P的方差σ P : 2 2 2 2 2 σP = wA σ A + wB σ B + 2wi w j ρ ABσ Aσ B
n +1 2 −F L + i f
14

算术平均值
非组数据：

几何平均值
X=
∑X
i =1
n
i
n
例子：股票指数5年中按以下比例增长： 10%,20%,15%,-30%,20%。5年前开始的指数为100 点，因此，5年中指数分别为：110, 132, 151.80, 106.26, 127.51。 三种计算收益率计算方法
∑(X
i =1
n
如何理解偏度系数？ 对称分布的偏度系数为0
收益率 正偏度
收益率 无偏度（对称）
25
∑(X
i =1
n
i
2 − X ) 3＝∑ ( X i − X )( X i − X） i =1
n
26
相对频率

峰度

峰度：随机变量分布的尖端程度
随机变量分布的尖端程度
收益率 常峰态
∑(X
i =1
n
i
− X )4
17

组数据高四分位数的计算
3(n + 1) −F Q3 = L + i 4 f
18

离散性度量
方差、标准差 半方差、半标准差 方差系数

（修正）样本方差
非组数据计算公式
σ2 =
∑(X
i =1
n
i
− X )2
n −1
组数据计算公式
σ =
2
∑ f (X
Corr ( X , Y ) = ρ XY =
Cov ( X , Y )
σ Xσ Y
Corr ( X , X ), Corr ( X , Y ), Corr ( X , Z ) 相关系数矩阵 = Corr (Y , X ), Corr (Y , Y ), Corr (Y , Z ) Corr ( Z , X ), Corr ( Z , Y ), Corr ( Z , Z ) ρ XX , ρ XY , ρ XZ 1, σ XY , σ XZ = ρYX , ρYY , ρYZ = σ YX ,1, σ YZ ρ , ρ , ρ σ , σ ,1 ZX ZY ZZ ZX ZY
σ A +σ B
2 2
38
σ A题：随着资产组合P的投资范围不断扩大，组合 的风险会如何？
2 : 投资组合P的方差σ P 2 ?σ P →0 2 ?σ P →∞ 2 ?σ P → 其他
假定： (1)风险资产组合P有N种风险资产, 为等权组合（w i = (2)∃K ∈ R + , ∀i, j, σi < K, σ ij < K
非系统风险 系统风险
40
39
2.1 引言

统计学
第二章 数据描述和描述性统 计
暨南大学金融系 朱滔
统计学是应用数学的一个分支，是一门关于数 据资料的收集、整理、分析和推断的科学。 统计学的主要内容
描述性统计学 描述收集的数据（手段：图、表、数） 推断统计学 在样本数据基础上，对有关总体作出推断。

1
2
2.2 数据类型

4
3
2.3 数据描述

数据描述－图
频率分布图 相对频率分布图 累积频率分布图 直方图

（相对）频率分布图
纵轴—用高度表示（相对）频率 横轴—用宽度表示等级区间
相对频率
频率
2 1 -8
5
2/51 1/51 -7 -6 收益率 -8 -7 -6 收益率
6

累积频率分布图
累积频率 3 2 1 -8 -7 -6 收益率
33 34
协方差和相关性的应用

投资组合P : n项风险资产，资产i的收益率Ri， 投资权重为wi。 投资组合P的收益率RP : RP = ∑ wi Ri
2 投资组合P的方差σ P : 2 σP = E ( RP − E ( RP )) 2
单项资产的风险
资产收益率的方差或标准差来度量 投资组合收益率的方差或标准差来度量
28
2.5 相关的度量

相关的度量：度量两个变量之间的线性关 系关系的方法
协方差 相关系数

（修正样本）协方差
Cov( X , Y ) = σ XY =
∑(X
i =1
n
i
− X )(Yi − Y ) n −1
注意：这些方法只能度量线性相关
如何理解协方差？ P58 图2.7
29
30

方差－协方差矩阵
2 = σ NSV Ri ≤ R
∑ (R − R )
i Ri ≤ R
∑1 − 1
23 24
相对频率

偏度

偏度：随机变量分布的对称性
随机变量分布的对称性
收益率 负偏度
∑(X
i =1
n
i
− X )3
3
偏度系数 =
n −1 − X )2 n −1
i
相对频率
相对频率


绘制（相对）频率、累积频率图的过程
构建频率分布表（表2.4） 划分等级区间 统计（相对）频率、累积频率 绘制图形
7
8
2.4 描述统计学

直方图（Histogram）－估计的密度函数
纵轴—用面积表示相对频率 横轴—用宽度表示等级区间

矩的公式
∑(X
i =1
n
i
− A) k
n
(−0.8 + 0.2) 2 + (0.2) 2 + (0.2 + 0.2) 2 3 −1 (−0.2 − 0.2) 2 + (0.2) 2 + (0.8 − 0.2) 2 2 σB = 3 −1 2 2 σA =σB
2 σA =
n −1
一个例子（非正式）：
收益率 平均 0.2 0.8 -0.2 0.2 -0.8 -0.2 0 0

相关系数
例子：三种风险资产X,Y,Z
协方差由于量纲的影响，并不具有可比性
Cov( X , X ), Cov( X , Y ), Cov( X , Z ) V = Ω = Cov(Y , X ), Cov(Y , Y ), Cov(Y , Z ) Cov( Z , X ), Cov( Z , Y ), Cov( Z , Z )

组数据：
X=
∑fX
i =1 i
m
i
n
5
算术平均：35％/5＝7％ 平均收益率：(127.51-100/100)/5=5.5％ 几何平均：
i：第i个等级区间；X i ：第i个等级区间的中点； f i : 第i个等级区间的频率； n是全部观测的样本数
15
(1 + 10%)(1 + 20%)(1 + 15%)(1 − 30%)(1 + 20%) − 1 = 4.98%
31 32

相关系数

随机变量
1、 − 1 ≤ ρ XY ≤ 1 2、相关系数度量的是线性相关关系 3、相关关系 不等于 因果关系

随机变量的期望与方差
E (ξ ), E (aξ ) = aE (ξ )
D(ξ ) = Var (ξ ) = E (ξ − E (ξ )) 2 D(aξ ) = a 2 D(ξ ) Cov (ξ ,η ) = E (ξ − E (ξ ))(η − E (η ))

投资组合风险
投资组合P : n项风险资产，资产 i的收益率Ri， 投资权重为wi。 问题：投资组合 P的收益率和方差如何计 算？ (? wi )
35
= ∑ wi2σ i2 + 2∑∑ wi w j Cov ( Ri , R j )
i =1 j >i n
n
= ∑ w σ + 2∑∑ wi w jσ ij
11
区间：9
12

组数据中位数的计算

组数据中位数的计算
例子：P45－表2.6 中位数位置：52/2=26，利用插值法将中位数计算出来。
宽度：1% 中位数：
一般化公式（P45）
0% 0 23 1 24 2 25 频率：3 区间：3
1% 3 26
51 + 1 − 24 + 1 0% + 1% * ( 2 ) = 1% 3
问：哪种方法是正确的？为什么？
16
P48－50

P49