第三章弹性力学有限元法

B. 单元分析 a. 建立单元刚度矩阵
弹性力学几何方程和物理方程 b. 建立单元节点力列阵
静力等效原则
3.1 有限元法求解问题的基本步骤
4. 整体分析和有限元方程求解
A. 建立整体刚度矩阵
B. 建立整体节点力列阵 C. 代入边界条件 D. 选择适当的代数方程求解
a. 高斯消元法 b. 三角分解法 c. 波前法 d. 雅克比迭代法


N
e

qe

vl

um
vm
3.3 单元分析
1. 单元的插值函数（各种多项式）
形函数特点：
A. 本点为1，他点为0
Ni(
x, y ) ij

1 0
当ji 当ji
( i, j,l,m )
B. 在单元内任一点各形函数之和等于1
Ni N j Nl Nm 1 C. 单元任意一条边上的形函数，仅与该边两端节点的


0

1 1
0
0
1



2
E是杨氏模量， 是泊松比
应力矩阵S的分块子矩阵为
Ni
x
Si

E
1 2

Ni
x
1 Ni
2 y
Ni
y
Ni y

1 Ni
2 x
(i, j,l,m)
3.3 单元分析
第三章 弹性力学有限元法
第三章 弹性力学有限元法
3.1 有限元法求解问题的基本步骤 3.2 连续体离散化 3.3 单元分析 3.4 整体分析 3.5 边界约束条件处理 3.6 求解、计算结果的整理和有限元后处理
3.1 有限元法求解问题的基本步骤
1. 建立力学模型
A. 工程结构的几何简化 B. 载荷简化 C. 边界条件的简化
4.整体分析
A. 位移
节点位移按总体编码由小到大排列起来得到
δ2n1
δT 1
δT2
δTn T
其中： qi ui vi i 1, 2, , n
矩阵没有逆矩阵且
Krr 0
3.3 单元分析
3.载荷移置
设在矩形单元体上：
体力 分布面力 集中力 (1) 集中力
FV ( X ,Y )T FA (X ,Y )T
Q (Qx ,Qy )T
FQe
X
e i
Yi e
X
e j
Y
e j
X
e l
Yle
X
e m
Yme T
由虚功原理得到 FQe N TQ 或
i, j,l,m
令： 0 i 0 i
由平面问题物理方程单元内任意一点的应力可表示为
x
σ e y Dε e DBq e Sq e

xy

S为应力矩阵
3.3 单元分析
2.单元分析
D为弹性矩阵其表达式为 ：


D

E
1 2
1
3.1 有限元法求解问题的基本步骤
5. 结果后处理和分析
A. 应力误差的减小 B. 结果输出方式 C. 结果分析
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3.2 连续体离散化
1. 杆状单元
A. 轴力单元
uj j
vj 平面杆单元
vi
i ui
wi
i ui
vi
vj j
u空j 间杆单元
wj
只能承受轴向的拉 压载荷，平面杆单 元每个节点有两个 自由度。

a5 xy a11 xy

a6 y2 a12 y 2
i
j
l
3.3 单元分析
1. 单元的插值函数（各种多项式）
四节点矩形单元 的插值多项式
ue
v
e

a1 a7

a2 x a8 x

a3 a9
y y

a4 xy a11xy

N
i

1 (1 4
x a
)(1
y b
1. 单元的插值函数（各种多项式）
令： x a y b
i, j,l,m
Ni
(
, )

1 4
(1 i
)(1 i )
矩阵形式：
ui

vi

u e ve



Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nl 0
0 Nl
Nm 0
0 Nm

uvuljj
(3) 分布面力
FAe
X
e i
Yi e
X
e j
Y
e j
X
e l
Yle
X
e m
Yme T
由虚功原理得到
FAe sN TFAtds
或
X i

sNi Xtds
Yi sNiYtds
s为单元上作用有外载荷的边
(i, j,l,m) (i, j,l,m)
3.3 单元分析
0
N i y
0

Ni
y N i x

i, j,l,m
3.3 单元分析
2.单元分析
代入无量刚插值函数，应变矩阵为：
Bi

1 4ab


bi (1 0
0
ai (1 0
) )
0
ai (1 0 ) bi (1 0 )
只能承受轴向的拉 压载荷，平面杆单 元每个节点有三个 自由度。
3.2 连续体离散化
1. 杆状单元
B.梁单元
wi
θi
ui i
wj
θj
j uj
平面梁单元
wi
θzi
θxi i
ui
θyi θxi uj
vj
j
θzi
空间梁单元
wj
vi
平面梁单元每个节点有 三个自由度，两个线位 移一个角位移，可承受 平面内的体力，集中力、 分布力和垂直平面的弯 矩的作用。
2.单元分析
代入无量刚插值函数，应力矩阵为：
Si

E 4ab(1

2
)

1
bi (10 )
bi (10 )

2
ai
(1

0
)
ai (1 0 ) ai (1 0 )

1

2
ai
(1


0
)

(i, j,l,m)
对于平面应变问题：
E
i1 4
y


i1
Ni ( ,) yi
注意:
总体坐标系适用于整体结构，局部坐标系只适用于具体 某个单元。
常用的对于平面问题还有八节点等参元，空间问题有八 节点空间等参元，二十节点等参元等 。
3.2 连续体离散化
5.轴对称单元
对于回转结构，如果约束条件和载荷都对称于回转 轴，其应力、应变和位移也都对称于回转轴线，这类应 力应变问题称为轴对称问题 ，通常用柱坐标来描述应 力、应变和位移，单元为实心圆环体，仅截面不同
)

N j

N
l

1 (1 4 1 (1 4
x
a x
a
)(1 )(1
y
b y
b
) )

N
m

1 4
(1
x a
)(1
y b
)
ue Niui N ju j Nlul Nmum

v
e

N i vi

N jvj

N l vl

N m vm
3.3 单元分析
2. 连续体离散化
用合适的单元将连续体划分为有限个具有规则形状的 的单元集合，单元的选取应视所分析问题的性质、规模 和精度要求而定。
3.1 有限元法求解问题的基本步骤
3. 单元分析
A. 位移模式(位移函数、插值函数）选取 单元的位移模式一般采用多项式，因为多项式计算简
便，并且随着项数的增加，可以逼近任何一段光滑的函 数曲线。
坐标有关，而与其他节点无关
3.3 单元分析
1. 单元的插值函数（各种多项式）
单元形函数必须满足的条件 ： A. 位移模式在单元内连续，在单元的公共边界
处协调.
B. 位移模式必须包括单元的刚体位移 .
C. 位移模式还必须包括单元的常应变状态 .
3.3 单元分析
2.单元分析
弹性力学平面问题的几何方程 ：
E 1 2

1
3.3 单元分析
2.单元分析
由虚功原理得：
Fe
K e BT DBdxdyt A
BT DBdxdyt δe
A
Fe Keδe
单元刚度矩阵可分块表示为：

K
e ii
K
e ij
K
e il
Kiem
Ke


K
e ji
K
e li
3.2 连续体离散化
4.多面体单元
l m
vi i ui wi
j
四面体单元
四面体单元有四个节点，每个节点有三个自由度。
3.2 连续体离散化
4.多面体单元
s
r
p
q
l vi i
ui wi
m j
六面体单元
六面体单元有八个节点，每个节点有三个自由度。
3.2 连续体离散化
5.等参单元
计算期望：
求解实际问题时人们总希望用最少的单元实现比较高的计算精度， 而且所选用的单元对复杂结构也有比较好的适应性 。
B. 薄板单元 l
θxi
vi i
θyi
ui
wi
m
j
四边形薄 板单元
四边形薄板单元有四个节点，每个节点有五个自 由度，可承受各个方向的载荷和绕水平轴的弯矩。
3.2 连续体离散化
3.薄板弯曲单元和薄板单元
A. 薄板单元
m
θxi
vi i
θyi
ui
wi
j
三角形薄 板单元
三角形单元有三个节点，每个节点有五个自由度， 可承受各个方向的载荷和绕水平轴的弯矩 。
X i NiQx

Yi

NiQy
(i, j,l,m)
3.3 单元分析
3.载荷移置
(2) 体力
FVe
X
e i
Yie
X
e j
Yje
X
e l
Yle
X
e m
Yme T
由虚功原理得到
FVe
NT
A
FV
tdd
或
X i

Yi
A Ni Xtdd A NiYtdd
x
ε y Bi B j Bl Bm qe Bqe


x
y

B称为应变矩阵，其分块子矩阵为：

x
Bi


0

y

0

y x

Ni 0
Ni
x
0 Ni



z
三角形环单元
O
y
x
3.2 连续体离散化
5.轴对称单元
四边形环单元
回转圆锥薄壳单元
z
O
y
x z
O
y
x
3.3 单元分析
1. 单元的插值函数（各种多项式）
m
u e
v
e

a1 a4

a2 a5
x x

a3 a6
y y
i
j
r
s
m
u ve
e a1 a2 x a3 y a4 x2 a7 a8 x a9 y a10 x2

1
2
r p
r和p遍历i、j、l和m得到单元刚度矩阵
对于平面应变问题： E

E 1 2
1
3.3 单元分析
2.单元分析
单元刚度矩阵的性质：
(1) 单元刚度矩阵与所选单元的位移模式，几何形状、 大小及单元的材料性质有关
(2) 单元刚度矩阵具有对称性
(3) 单元刚度矩阵是主元恒为正的奇异矩阵，即单元
四边形单元有四个节点，每个节点有三个自由度， 主要承受横向载荷和绕水平轴的弯矩。
3.2 连续体离散化
3.薄板弯曲单元和薄板单元
m
A. 薄板弯曲单元
θxi
i
θyi
wi
j
三角形弯 曲单元
三角形单元有三个节点，每个节点有三个自 由度，主要承受横向载荷和绕水平轴的弯矩 。
3.2 连续体离散化
3.薄板弯曲单元和薄板单元
3.2 连续体离散化
2. 平面单元
vm um
m
vl ul l
四节点四 边形单元
i ui vi
j uj vj
四边形单元有四个节点， 每个节点也有两个自由 度，采用双线性位移模 式，计算精度较高 。
3.2 连续体离散化
3.薄板弯曲单元和薄板单元
A. 薄板弯曲单元
l
θxi
i
θyi
wi
m
j
四边形弯 曲单元
空间梁单元每个节点有 六个自由度，三个线位 移三个角位移，可承受 各个方向的体力，集中 力、分布力和弯矩的作 用。
3.2 连续体离散化
2. 平面单元
平面单元属于二维单元，只能承受单元平面内的分布力和 集中力，不能承受面外载荷 。
vl l ul
三节点三 角形单元
vi i ui
vj
j
uj
每个节点有两个自由度， 因此只能采用线性模式， 应变值为常量，也称为 常应变单元或常应力单 元。
手段：
单元形状的变化和单元内位移函数的变化用相同数目的结点参数和
相同的插值函数进行变换。
y
η
四边
η=1 l
ξ
形四 节点 等参 元
m ξ=-1
ξ=1
o1
j
η=-1
i
x
m ξ=-1
i
η
η=1 l
o ξ=1 ξ
j
η=-1
3.2 连续体离散化
5.等参单元
四边形四节点等参元插值函数

x


4
Ni ( ,)xi
3.3 单元分析
2.单元分析
K
11 rp

b a
rp(1
13r p
)
1
2
a b
r
p
(
1

1 3

r
p
)
其中：
K
12 rp

r p

1
2

r
p
K
22 rp

b a
r
p
(
1

1 3
r
p
)
1
2
a b
r p(1
1 3
r
p
)
K
21 rp

r p
K
e jj
K
e lj
K
e jl
K
e ll
K
e jm

K
e lm


K
e mi
K
e mj
K
e ml
K
e mm

对于平面应力问题每一个子快为 ：
K
e rp
1
tab 1
1 1
Br
T
S
p
dd

Et
4(1 2
)

K
11 rp
K
21 rp
K
12 rp
K
22 rp