-稳恒磁场复习

圆柱轴线上一点 P 的
磁感应强度。
B Bx
dB sin
I
y
dl θ θ
dB x
P
dB



o
(
Rd R
2R
I)
sin


o I
sin d
0 2 2 R

o I 2R
结束 返回
3:如图所示，电荷Q均匀分布在长为b的细杆上，
杆以角速度ω 绕垂直于纸面过 O 点的轴转动 。O 点在杆的延长线上，与杆的一端距离为a,求O 点
磁场的能量
1.磁场的能量
2.磁场能量密度
单位体积中储存的磁场能量
Wm =
1 2
L
I
2
w =dWm/dV
螺线管特例： L =μ n2V H = n I B =μ H
Wm
=
1 2
L
I
2
= 12μ H 2V
=
1 2
H
BV
wm
=
12μΒιβλιοθήκη Baidu
H 2=
1 2
BH
Wm
=
V
wmdV
结束 返回
1:如图所示，无限长直导线
e
r xa
x
ra 0I bdx 0Ib [ln(r a) ln r]
r 2 x
2
e d 0Ib ( 1 1) dr 0Ib (1 1 ) 0 dt 2 r a r dt 2 r r a
§12-3 磁介质中的磁场 磁场强度 一、有介质时的安培环路定理
的位置 OA 时细杆中的电动势
a
的大小。细杆所在空间B处处相同,
但杆的各个部分速度不同,因而要利用积分工具.
de Bdx Bxdx
e b Bxdx 1 Bb2
0
2
2:如 图 所 示 ，金 属
细 杆 长 为 b，与 通 有 电
流 I 的长直导线共面。 杆以角速度 ω 绕垂直 I
于纸面过 O 点的轴转
动，O 点与直导线的
O
距 离 为 a。求 当 金 属 细
a
杆转到与直导线垂直
的 位 置 OA 时细杆中
vB
ω A b
bbab
eee ddee 00 a
deb0b0(aBbadbxx)b02(x(axa2)Ib(2xIIxxa))ddxx
sin(I2
2
)
)]
I1 I2
RR12 04I(L1LR12scino2s), 方向BB12相外1,方. 向相反.
7:磁场高斯定理的表达式；它表明磁场的磁感 应线是怎样的。磁场环路定律的表达式；它表明 磁场是什么场。
8: 将通有电流I的导线弯成
如图所示的形状, 求O点处的磁 R感强度 矢量的大小和方向。
R 2
B t
Rk =2
I e Rk2 R hd Rkhd R 2 2 R 2
11:如图柱形空间中，其间充满均匀
磁场 B，若 B 对时间稳恒增加，B a ，
t
rP
ra P 为磁场中的一点 ，距轴心 o 为 r，则
o
P 点的涡旋电场大小为_________；方
向为_______。（可直接画在图上）
图所示。已知直导线上的电流 为Ｉ。求圆环中心 O 处的磁
感应强度的大小。
L1
2 O
I1 I
I2 L2
β1 I
B1 B2



B0 I1=4(2μ4Rπo Ia
) (
B

4
0I R sin
sinβ 2
[4s0iIn2R2
sinIβ1(21 )
复习 稳恒磁场
真空中的恒定磁场
磁感应强度 磁场的高斯定理
一、磁感应强度
B=
Fm qv
二、磁感应线： 直线电流、圆电流、螺线管
三、磁通量 高斯定理
Φm = s B . dS = 0 无源场
毕奥
萨伐尔定律
B
=
μ
4π
o
I dl × r3
r
dB
=
μo
4π
I dl sina
r2
毕奥
萨伐尔定律的应用
1. 载流直导线的磁场
dΦm = B . dS ,
B
=
μo
2π
I
x
, dS = l dx
Φ m =S B . dS
x
取面=法 线aa+方b μ2向πo与xI Bl 的dx方向相同 I
B
=
μ oI
2π
l
ln
a +b
a
x
dx
l
ab
结束 返回
6: 用两根彼此平行的半无限 长直导线L1、L2把半径为 R 的 均匀导体圆环联到电源上，如
中通有电流 I=αt,( α 为常数), I 与其共面有一正方形线圈 ABCD ,L 为已知。求：(1) 通 过线圈 ABCD 的磁通量；(2) 互 感系数；(3)矩形线圈 ABCD 中
A
B
a
x
D
C
LL
的感生电动势。
d Bds
I
2l
ldx, d
Il ln 2
2 x
l
q
=
N R
(Φ 1
Φ2 )
感生电动势、 动生电动势
一、感生电动势

L
E
.
感
d
l
=
s
B t
.
dS
二注、:动1、生S电是动以势L为: 边界非的静任电意性电曲场面的。场强为：
2、++曲++面+ E的k “方向”与ELk绕= 向-成fem右=旋v关×系B 。
注: dl 的方B向
就是 dei假定正v
互感电动势：
M = M 12 = M 21 M =K L 1L 2
互感的计算步骤：
ε 12= ε 21=
dΨ dt
12
=
dΨ dt
21
=
M
dI 2 dt
M
dI 1 dt
. . L H2 dl = I2 B2=μ H2 Φ = sB dS Ψ = NΦ Ψ = MI2
H2
B2
Φ12
Ψ12
M 结束 返回
2
12: 如图所示，一矩形线圈放在一无限长直导线旁， 且两者共面, 矩形线圈以V 向右运动。若在长直导线中通 有电流 I, (1)求线圈中的感应电动势？（以r=0为计时零 点。)(2) 若I=Kt呢?
解: 设r r(t),在任意时刻 :
d B dS 0I bdx 2 x
I
bV
ω
Pr o
左视
EP
Pr
· o
Bo
B nI 2 Rl R l 2
EP

r 2
B t

rR
2

t

R
2
r
10:一平均半径为 R，高度为 h， 厚度为 d 的薄壁圆筒，其电阻率为 ρ，外加均匀对称时变磁场 B=kt。 求筒上的涡电流。
E感
=
w 1 BH2 ,2B, H 2
I
r2 R2
2 r

IrIr 22R2R2
W
自感的计算步骤：
LH .dl = I B =μ H Φ = sB.dS Ψ = NΦ Ψ =LI
H
B
Φ
ΨL
结束 返回
二、互感应
Φ 12 = M 12 I 2 Φ 21 = M 21 I 1
互感:
M 12 = M 21
Φ N 1 12 = M I 2 =Ψ 12 Φ N 2 21 = M I 1 =Ψ 21

3:如 图所示 ，均匀磁场 B 垂直向里，金属细
杆 长 为 b，杆以角
速度 ω 绕垂直于纸 B
面过 O 点的轴转
o
动 。O 点在杆的 延长线上，与杆的
a
b
一 端 距 离 为 a,求 金
属细杆中的电动势
e


d
dt

Bds dt

B dt
1 2
(a

b)2
a2 d
1 B(2ab b2 ).(也可用动生观点做)
2 x
M l ln 2, I 2 x
e d l ln 2 dI al ln 2
dt
2 x
dt
2 x
2: 一 无 限 长 直 圆 柱 形 导 线，截面各处的电流密度相
等，总电流为 I，试证：每 单位长度导线内所储藏的
磁能为 μ0 I 2 /16π 。
带有面密度为σ 的电荷 ，圆环以角速度ω 绕
通过圆 环中心垂直于环面的轴转动，求:圆
环中心处的磁感强度大小。
dB
=
μo
2
I r
o
ω
I dq 2 rdr
R2
T
T

B


2 rdr 2

orbdr
R2 I0dr

a
0

2 R1
2

R2
r
R1

o
R1
结束 返回
5: 在真空中有一无限长载流直导线， 试求：通过其右侧矩形线框的磁通量。
有旋、非保守场
1.长直通电导线外的磁场
B =μ2π0I r
2.长直通电螺线管内的磁场
B =μ 0n I
3. 环形螺线管内的磁场
B =μ2π0NrI
4. 均匀通电直长圆柱体的磁场
B
=
μ
I
0
r
2π R 2
B
B
=
μ 0I
2π r
O
R
r
1: 如图，一无限长薄平板导体，宽为a ，通有电 流I，求和导体共面的距导体 一边距离为d的P点 的磁感应强度。
4. 通电圆弧在
B
=
μ oI
4π a
( sinβ 2
sinβ 1 )
2. 载流圆线圈轴线上的磁场
圆心处的磁场
B
=
μ oIθ
4πR
μ o IR2
B= 2 ( x 2 +R2 )3 2
B
=
μoI
2R
3. 有限长载流螺线管轴线上P点的磁场
B
=
μ onI
2
( cosβ 2
cosβ 1)
环路定律的应用
l B .dl =μ oΣ I
I a
bo
9: 将通有电流I的导线弯成如
图所示的形状, 求O点处的磁感强
度B。
B
=
μ oIθ
4πR
Ia
oI b
复习 电磁感应
电磁感应定律
一、电磁感应现象
二、 法拉第电磁感应定律
e 1.感应电动势
i=
dΦ
dt
ei Φ
2.磁通链数 ψ = N Φ
3.感应电流 4. 感应电量
ε I i
=
i
R
=
N dΦ R dt
dB 0I ' 0I dx 2 x 2 ax
B da 0I dx
d 2 ax
x 0
x dB
0I ln x da 0I ln d a 2 a d 2 a a
2:在半径 为R 的“无限长”的半圆柱形金属 薄
片中，有电流I自下而上通过。如图所示。试求：
方向。 fm
e i = l E k.dl
dei =( v×B ) . dl
e i = l ( v × B ) . dl
1:如图所示，金属细杆
长为 b，与通有电流 I 的长直
导线共面。杆以角速度 ω 绕垂 直于纸面过 O 点的轴转动，O I 点与直导线的距离为 a。求当
B ωx A
v
b
金属细杆转到与直导线平行 v B O
l H . dl =Σ I
二、磁感应强度和磁场强度关系: (各向同性的磁介质)
B =μ oμ rH =μ H
三、有介质时磁感应强度的求得: 先用有介质时的安培环路定理求磁场强度H, 然后求得磁感应强度B。
结束 返回
自感和互感
一、自感应
Ψ 磁通链 自感电动势
Ψ = NΦ =L I
ε L=
L
dII dt
处的磁感应强度B的大小。
解 : dB= 0dq
o
4 x2
a

0 x 4 x2
Q b
dx

0Q 4 bx
dx
v = xω ω
x x+dx
x
b
B ab 0Q dx 0Q ln a b .
a 4 bx
4 b a
方向向外.
4: 内外半径分别为a 、b 的圆环，其上均匀
dt
动作e，非8:切静一割电根dd磁场直t 力场导线强线S，）dd在导EBtB线=_的中__对均a__2应匀_Bd_d于磁t__非(场_2。静中0I电r，)力以的速场2度0arV强2（dd运称It
9:一细长的带电圆筒，半径为 R，电荷面密度为 σ(>0)，以角速度 ω 绕其中心轴转动，则轴心处磁感应 强度 Bo=________，方向为（请画在图上）假如 ω 正 在增加，即 dω/dt=β>0，则离轴心 O 距离为 r 的 P 点， 其涡旋电场的大小 EP=__ ，方向为（请画在图上）。
Φm(×10-4Wb) 5
×10-2Ω，则回路的感应电动
势 εi 为____5__1_0_-4__V_____ ； O
1 t(s)
感应电流 Ii 为___2_.5__1_0_-_2 _A ；
0 至 1 秒时间内的感应电量 qi 为__2_.5__1_0_-_2_C___。
6:通过闭合回路的磁通量按下列关系变化: Φm =(3t2-24t-5)×10-2 Wb，则 t = 1 s 时,回路中的
感应电动势的大小为___e____(_6_t___2_4_)___1_0__2_V______；
当 t =___4____ s 时回路中的感应电动势开始反向。
7:在一通电流 I 的无限长直导线所在平面内，有 一半径为 a 的导线环，环心到直导线的距离 r >>a, 当直导线的电流以dI 变化时，求导线环的电动势？
2
4:如 图 所 示 ，一 矩 形 线
圈 放 在 一 无 限 长直导线 旁 ，且 两 者 共 面 .长 直 导 线 I
A
B
中通有电流
I I 0 e a t (a 0 ) ,
则线圈将向_______运动.
D
C
5:通过某线圈回路的磁通 量 Φm(t)的时间函数关系如 图所示，若回路的电阻为 2