高三一轮复习(椭圆)

专题五 椭圆

【考纲要求】掌握椭圆的定义，标准方程及简单几何性质。 【知识点】 1．椭圆的定义

定义： 叫椭圆，其中两个定点

12,F F 叫椭圆的焦点．

当12122PF PF a F F +=>|时，P 的轨迹为_____； 当12122PF PF a F F +=<时，P 的轨迹________；

当12122PF PF a F F +== 时 ， P 的 轨 迹 为 。

【课前预习】

1.椭圆22

143

x y +=的长轴位于 轴，长轴长等于 ，短轴位于 轴，短轴长等于 ，焦点在 轴上，焦点坐标分别为

和 ，离心率e = ，左顶点坐标是 ，

下顶点坐标是 ，椭圆上点00(,)P x y 的横坐标的范围是 ，纵坐标的范围是 ，00x y +的取值范围是 。 2.

ABC 中，已知,B C 的坐标分别为(3,0)(3,0)-和，且ABC 的周长等于16，则顶点A

的轨迹方程为 。

3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为(F -，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 。

4.若12,F F 是椭圆

22

1169

x y +=的两个焦点，过1F 作直线交椭圆与,A B 两点，则2ABF 的周长等于 。

5.设12,F F 是椭圆2

214

x y +=的左，右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于,P Q 两点，当四边形12PF QF 面积最大时，12PF PF = 。

6.（1）若椭圆的短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该焦点到同侧长轴一端点距离的3倍，则椭圆的离心率e = 。

（2）若椭圆的长轴长不大于短轴长的2倍，则椭圆的离心率e ∈ 。

（3）若椭圆的短轴长的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率e = 。 【典型例题】 例1.

设椭圆:C 22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直

的直线分别交椭圆C 与x 轴正半轴于点,P Q ，且8

5

AP PQ =

（1） 求椭圆C 的离心率；（2）若过,,A Q F 三点的圆恰好与直线:30l x ++=相切，

求椭圆C 的方程

例2.

设椭圆22

2:1(0)2x y C a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是椭圆C 上的一点，

且2120AF F F =，坐标原点O 到直线

1AF 的距离为11

3

OF 。 （1） 求椭圆C 的方程；（2）设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 的直线l 交x 轴于(1,0)P -，

交y 轴于点M ，设2MQ QP =，求直线l 的方程。

例3.

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1

2

，短轴的一个端点到右焦点的距

离为2。（1）求椭圆C 的方程；（2）若1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，能否在椭圆上找到一点P 到右准线的距离PQ 是1PF 和2PF 的等比中项？若存在，求出点P 坐标；若不存在，说明理由。

例4.如图，已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为

2

，点,A B 分别是

椭圆C 的长轴，短轴的端点，点O 到直线AB 的距离为5

。 （1） 求椭圆C 的标准方程；

（2） 已知点(3,0)E ，设点,P Q 是椭圆C 上的两个动点，满足EP EQ ⊥，求EP QP 的

取值范围。

【巩固练习】

1.若椭圆22

15x y m

+=的离心率e =，则m 的值是 。

2.设椭圆2

2

55x ky +=的一个焦点(0,2)，则k = 。

3.点P 是椭圆22

12516

x y +=上的一点，12,F F 是它的两个焦点，若1260F PF ∠=，则12F PF 的面积为 。

4.椭圆22

1259

x y +=上一点P 到两个焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，点P 的坐标是 。

5.在平面直角坐标系中，椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径

的圆，过点2

(,0)a P c

作圆的两切线互相垂直，则离心率e = 。

6.已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -。若椭圆上存在

一点P ，使得

1221

sin sin a c

PF F PF F =∠∠，该椭圆的离心率的取值范围是 。

7.已知定椭圆C 的中心在原点，一个焦点为为(2,0)F -，且长轴长与短轴长的比是2: （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设点(,0)M m 在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点，当MP 最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围。