曲线的凹凸性、渐近线 及函数图形的描绘

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例7
描绘出函数 y e
x2
的图形．
分析：应根据图形描绘的步骤，先确定函数的定义域、 单调区间、极值、凸区间、拐点、渐近线及一些特殊点， 然后逐段描绘出函数图形. 解 函数的定义域为(, ). 由于函数为偶函数，其图 像关于y 轴对称，因此只要在区间 [0, ) 上讨论就可以了. 由于
2 2 y 0 当 x 时， ，当 x 时， y 0 9 9 2 时，曲线是凹的， 因此，当 x 9 2 y 时，曲线是凸的． y 3 x 2 x 1 当 x 9
3 2
有些函数的曲线在定义域的不同区间 上有不同的凹凸性．从本题看，凹凸
O
x
区间的分界点应怎么去找？
y y
凹
O
f ( x1 ) f ( x2 ) 2 x1 x2 f( ) 2 x1 x2 x2 x 2
x1 x2 f( ) 2
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
O
凸
x1
x1 x1 x2 x2 2
x
对于该区间内的任意两点x1, x2
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) ; 2 2 f( x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ) . 2 2
3 2 y 3 x 2 x 1 ，讨论曲线的凹凸性． 例1 设
讨论：要解决这个“未知”，需要用什么做“已知”？为了 解 定义域 (, ) ， 由y 3 x 3 2 x 2 1 求得， 利用这个“已知”首先应做什么？ y 18 x 4 y 9 x 2 4 x
f ( x2 ) f ( x1 ) 2 f ( x0 ) 0,
即
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1 f ( x0 ) f ( ), 2 2
这就证明了曲线在 (a , b)是凹的． 类似的可以证明另一部分. 注：若知道函数二阶可导，可以对函数施用两次中值定理.
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3 y x 即曲线 的凹、凸性区间分别是 (, 0),(0, ) ，
原点 (0, 0) 是曲线的拐点．
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3 2 y 2 x 3 x 12 x 14 的拐点． 例 4 求曲线
3 2 y 2 x 3 x 12 x 14 得， . ( , ) 解 定义域为 由 ， 分析：由二阶导数的符号判断曲线的凹凸性，并求得拐点
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) ， 2 2
则称曲线 y f ( x) 在区间 I 上是凸的，称 I 为函数 y f ( x) 的凸区间．
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前面已经利用函数的一阶导数研究了函数的单调性, 看来要研究函数的凸性就不能再单单依靠一阶导数了. 下面的定理给出了利用函数的二阶导数来判别函数凸性 的方法．
其中 位于( 2 , 1 ) 之内．
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f ( x2 ) f ( x1 ) 2 f ( x0 ) f ( )(1 2 )h,
其中 位于( 2 , 1 ) 之内． 由于 1 2 0, h 0, 因此当 f ( x ) 0 时，有
这两个不等式分别用解析的方法揭示了 函数图形的凹、凸性.
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于是我们有下面的函数凹凸性的定义：
定义 1 设函数 y f ( x) 在区间 I 上连续，如果对于 I 上的 任意两点 x1 , x2 ，恒有
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) ， 2 2
则称曲线 y f ( x) 在区间 I 上是凹的，称 I 为函数 y f ( x) 的凹区间；如果对于 I 上的任意两点 x1 , x2 ，恒有
虽然在 x 1 的两侧所对应的曲线有不同的凹凸性，但是该 函数在 x 1 处无定义，因此曲线没有拐点．
4 y x 例6 的凹凸性区间，并找出其拐点．
4 2 ( , ) y x y 12 x 解 定义域为 ， 由 知， ．
解方程 y 0 得 x 0 ，并且当 x 0 或 x 0 时，都有 y 0 ．
x
函数在定义域内是单调下降 函数在定义域内是单调递增的, 为了更好的反映函数的变化性态，再来研 的，但它的图形也是弯曲的， 但它的图形在上升的过程中是弯 究函数另外的性质——函数的凹凸性． 曲的,而且弯曲的方式是不同的 , 起初是凹的，后来变成是凸 的. 图形先是凹的,后变为凸的；
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１．曲线的凹凸性
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三、函数图形的描绘
借助函数的单调性、凹凸性、拐点、极值以及渐近线等性 质，并利用一些特殊的点就可以比较准确地描绘出函数的 图形． 描绘函数图形的步骤： 1．考察函数的定义域、函数的奇偶性、周期性； 2．求出函数的导数，确定函数的单调区间及极值； 3．求出函数的二阶导数，确定曲线的凹凸区间及拐点． 4．考察函数图形的渐近线． 5．计算特殊点（不可微点，极值点、拐点等）以及容易 计算函数值的点（如与坐标轴的交点等）处的函数值． 6. 综合上述讨论，描绘函数图形.
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2．曲线的拐点
y
M
O
x
由左图可以看到， 曲线在点M的两侧有不 同的凹凸性，我们把点 M称为曲线的拐点.
定义
如果 y f ( x ) 在 x x0 点连续，且在曲线上的点
( x0 , f ( x0 )) 两侧， 曲线有不同的凸性， 则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为
曲线的拐点．
y 6 x 2 6 x 12,
1 x 解方程 y 0 得 2，
1 y 12 x 6 12( x ) 2
1 1 x 并且当 x 2 时， y 0; 当 2 时 y 0．
1 x 这就是说，曲线在对应 2 的点的两侧具有不同的凹凸性， 1 x 因此曲线上对应 2 的点是曲线的拐点． 41 1 41 y 1 ( , ) 由于 x 2 2 ，因此点 2 2 是曲线的拐点．
y 2 xe
x2
, y 2(2 x 1)e
2
x2
,
1 2 ,
解方程 y 0, 得函数的驻点x=0; 解方程 y 0, 得 x
为讨论该函数在 [0, ) 上的单调性、极值及其图像的凹凸 性与拐点，列表分析如下
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例3
3 y x 求曲线 的凹凸性区间，并找出其拐点．
分析：由二阶导数的符号判断曲线的凹凸性，并求得拐点.
3 ( , ) y x 解 定义域为 ， 由 知， y 6 x ．
因此，当 x 0 时， y 0 ，由定理 2，曲线是凹的；
同样的理由，当 x 0 时，曲线是凸的．
应由二阶导数等于0求得分界点.
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例2
1 n x y n n ) 证明 ( x y ) ( 2 2
( x 0, y 0, x y , n 1)
分析：从形式上看可以采用函数凹凸性的定义来证明，想 一想这里的函数表达式是什么样的？
n 证 对函数 f ( x ) x (n 1) ，当 x 0 时，
第三章 微分中值定理 与导数的应用
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第五节 曲线的凹凸性、渐近线 及函数图形的描绘
一 、曲线的凹凸性与拐点
二 、渐近线
三、函数图形的描绘
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一、曲线的凹凸性与拐点
仅仅根据函数的单调性、极值等对刻画函数的形态 还是不够的.
y
y f ( x)
y
y f ( x)
0
x
0
4 即曲线 y x 在 (, ) 上都是的凹的. 曲线无拐点．
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讨论：分析例 3、4、5、6，您看满足 y 0 的点一定对应 函数曲线的拐点吗？如果不是，有反例吗？拐点的横坐标 一定满足 y 0 吗？能举例说明吗？由此来看， 找函数的拐 点时应从哪些点处考虑？
二、渐近线
y
观察下图,它们有什么特点？
y
y 1 2 e
x2 2
y tan x
水平渐近线
O
O
2
x
x
铅直渐近线
f ( x ) a （或 x 仅趋于 或 时 f ( x ) a ） 若 lim ， x
则称直线 y a 为曲线 y f ( x ) 的水平渐近线． 它们都有 lim f ( x ) 若 x x0 （或 x 从 x0 的一侧趋于 x0 时 f ( x ) ） ， 渐近线. 则称直线 x x0 为曲线 y f ( x ) 的铅直渐近线.
定理 1 设函数 y f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内二阶可导．
若对任意的 x (a, b) ，都有 f ( x ) 0 ，那么曲线在 ( a , b ) 内是凹的； 若对任意的 x (a, b) ，都有 f ( x ) 0 ，那么曲线在 ( a , b ) 内是凸的．
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讨论：前面讨论了利用函数的单调性证明不等式，现 在又利用函数的凹凸性证明了不等式，在本章第一节 我们还利用拉格朗日中值公式证明了不等式，请比较 这三种方法各自的特点．
利用凹凸性证明不等式时，含有函数在三个点处的 函数值，而且其中一点是另外两个点的中点； 利用拉格朗日中值公式证明不等式时，需要含有函 数的增量，即函数在两点处的函数值的差； 不具备上述特点时，考虑利用单调性证明不等式.
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x1 x2 , 记 x0 证明 在[a,b]内任取两点x1, x2(不妨设x1< x2 )， 2 为下面叙述方便起见，不妨设 x2 x0 x0 x1 h.
在区间[x1, x0],[x0, x2],上分别用拉格朗日中值定理，得
f ( x2 ) f ( x0 ) f (1 )h, f ( x0 ) f ( x1 ) f (2 )h,
其中 1 , 2 分别位于(x0, x2),(x1, x0)内,显然 1 2 . 两式相减，得
f ( x2 ) f ( x1 ) 2 f ( x0 ) [ f (1 ) f (2 )]h,
对左边在实施拉格朗日中值定理，得
f ( x2 ) f ( x1 ) 2 f ( x0 ) f ( )(1 2 )h,
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x2 y 例 5 讨论函数 x 1 在定义域内的单调性及其所对
应曲线的凹凸性，该曲线有拐点吗？ 2 x 解 函数 y 的定义域为 (,1),(1, ) x 1 x( x 2) 2 y y 2 并且 ( x 1) ， ( x 1)3 ．
这两个驻点将函数的定 我们看到，函数有两个驻点 x 0 及 x 2 ， 义域划分为 (, 0) ， (0,1) ， (1, 2) 及 (2, ) 四个区间.列表如下
满 足 y 0 的 点 不 一 定 对 应 函 数 曲 线 的 拐 点 , 如
y x 4 (见例 6),如 y 3 x ,当 x 0 时,其二阶导数不存
在， 但(0,0)是其拐点(请自己验证).由此来看,找函数的 拐点时应从二阶导数为零的点及二阶导数不存在的点 处考虑.
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x
y
(, 0)
y
y

0 0பைடு நூலகம்
(0,1)
2

(1, 2)

2
(2, )
2
0

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由上表可知函数在区间[0， 1） 、 （1， 2]单调递减， 在 ( , 0] 、
[2, ) 单调递增；
曲线在区间 (, 1) 是凸的，在 (1, ) 是凹的．
f ( x ) n(n 1) x n2 0 ，
因此在 (0, ) 上，函数是凹的．
由定义 2，对 x 0, y 0, x y 我们有
x y f ( x) f ( y) f( ) ， 2 2
即
1 n x y n ( x yn ) ( ) ( x 0, y 0, x y , n 1) ． 2 2