曲线的凹凸性、渐近线 及函数图形的描绘
合集下载
23-曲线的凹凸性、描绘函数图形
趋于零 , 则称此直线 L 为曲线 y = f ( x ) 的一条 渐近线 .
曲 线 的 渐 近 线
水平渐近线
垂直渐近线
斜渐近线
水平渐近线
若 lim f ( x) b , 则曲线 f ( x) 有一条水平渐近线 y b .
x
这里的极限可以是
x
lim f ( x) b 或 lim f ( x) b .
x
垂直渐近线
若 lim f ( x) , 则曲线 y f ( x) 有一条垂直渐近线 x a .
x a
这里的极限可以是 xlim f ( x) , a lim lim f ( x) ; f ( x) ,
x a
x a
x a
lim f ( x) ; lim f ( x) .
f ( x) ( x 1) lim lim 1 2 x x x ( x 1) x
b k
现在给定一个函数 , 我们可以讨论它的：
定义域、 值 域、 奇偶性、 有界性、 周期性、 连续性、 间断点、 可微性、 单调性、 极 值、 最 值、 凹凸性、 拐 点、 渐近线、 零点位置 . 用极限讨论函数的变化趋势 . 用泰勒公式将函数离散化 .
三、函数图形的描绘
作函数图形的一般步骤如下： (1) 确定函数的定义域 , 观察奇偶性、周期性 . (2) 求函数的一、二阶导数 , 确定极值可疑点和拐点可疑点 .
若 f ( x) 在点 x0 两侧符号相反, 则
点 ( x0 , f ( x0 )) 为曲线 y f ( x) 的拐点 .
定理
( 判别拐点的充分条件 )
设 f ( x) C ( I ) , f ( x) 在 U( x0 ) ( x0 I ) 内三阶可导 .
第8节 曲线的凹凸性及渐近线
2
2
那么称在Ⅰ上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；
如果恒有
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2)
2
2
那么称在Ⅰ上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。
定义：设函数 y f x在a,b内可导，则
1.如果曲线y f x在a,b内任意点的切线总位于 曲线的下方，则称曲线y f x在a,b上是凹的.
1.确定函数的定义域并求f x; 2.求出f x 0和f x不存在的点x0; 3.对于2中的每一个x0,检查f x在x0左、右两侧
邻近的符号.
例3.求曲线y 2x3 3x2 12 x 14的凹凸区间和拐点 .
解 函数的定义域为 (, ).
y y
6x2 0
6x 12, ,得x1
y 1 2
第八节 曲线的凹凸性及渐近线
一、曲线的凹凸性及拐点的判定定理 二、曲线的渐近线
一、曲线的凹凸性及其判别法
y y f (x)
y y f (x)
o
x x x1 x2 12
x
2
o x1 x1 x2 x2 x
2
定义 设在区间Ⅰ上连续，如果对Ⅰ上任意两点 x1, x2，
恒有 f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2)
拐点是曲线凹与凸的分界点.由定理知，在拐点左右两侧
f x的符号必然异号，因而在拐点处有f x 0或者f x 不存在；反过来，f x 0的点和f x不存在的点可能是 曲线的拐点，究竟是否拐点，还要看该点处f x的符号是
否异号.
例1.判定曲线 y x3的凹凸性.
解 函数的定义域为 (, ).
y' 3x2 , y'' 6x. x 0 y'' 0.
函数的凹凸性与作图
机动 目录 上页 下页 返回 结束
6）绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
1
无 定 义
(1, 3) 3
(3 , )
2
(极大)
0
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
x 1 1 5 y x 4 4
( x 3) 2 y 4( x 1)
x
y
0 9 4
2 1 4
3) 判别曲线形态
x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
机动
(拐点)
目录 上页 下页 返回 结束
x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
y
A
1 2
lim y 0
( k x b)
f ( x) b k lim [ ] x x x f ( x) k lim x x
(或 x )
f ( x) b lim x[ k ]0 x x x f ( x) b lim [ k ]0 x x x
b lim [ f ( x) k x]
y
C M
y f ( x)
y kxb
L
PN
有渐近线
但抛物线
x y 0 a b
无渐近线 .
o
y
x
x
o
机动
目录
上页
下页
返回
结束
1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线
6）绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
1
无 定 义
(1, 3) 3
(3 , )
2
(极大)
0
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
x 1 1 5 y x 4 4
( x 3) 2 y 4( x 1)
x
y
0 9 4
2 1 4
3) 判别曲线形态
x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
机动
(拐点)
目录 上页 下页 返回 结束
x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
y
A
1 2
lim y 0
( k x b)
f ( x) b k lim [ ] x x x f ( x) k lim x x
(或 x )
f ( x) b lim x[ k ]0 x x x f ( x) b lim [ k ]0 x x x
b lim [ f ( x) k x]
y
C M
y f ( x)
y kxb
L
PN
有渐近线
但抛物线
x y 0 a b
无渐近线 .
o
y
x
x
o
机动
目录
上页
下页
返回
结束
1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线
函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线、函数作图
x y x ln x y ln y 。 从而 ( x y )ln 2
10
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
二、曲线的拐点
1． 定义：连续曲线上曲线向上凸与向下凸的分界点 称为曲线的拐点。
2£ Õ ã Ä Ð ¨· ® ¹ µ µ Ŷ¨
与极值点判断类似 ， f ( x ) 0 的点和 f ( x ) 不存在 的点，是拐点横坐标 的可疑点。
2(1 x 2 ) 2x （2） y 2 ， y 2 ， 2 ( x 1) x 1
（3）令 y 0 ，得 x 1 ， x 1 。
x y
曲线 y
Hale Waihona Puke (, 1)-1 0拐点 (-1，ln2)
(-1， 1) +
1 0
拐点 (1，ln2)
(1, )
例如： f ( x ) x 4 ， f ( x ) 12 x 2 ，有 f (0) 0 ，但 （0，0）不是拐点。
12
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
例 2．求曲线 y ln( x 1) 的凸向和拐点。
2
解： （1）函数的定义域为 (,) ；
则称函数 f 为区间 I 上的凸函数； 若总有 f ( p1 x1 p2 x2 ) p1 f ( x1 ) p1 f ( x2 ) ，则称函数 f 为区间 I 上的凹函数。
3
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
y
y f ( x)
y
A
o a x1
D B
C
x
x2 b x
2
x2 x x x1 令 p1 , p2 ， 则 p1 0 ， p2 0 且 p1 p2 1 ， x2 x1 x2 x1
10
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
二、曲线的拐点
1． 定义：连续曲线上曲线向上凸与向下凸的分界点 称为曲线的拐点。
2£ Õ ã Ä Ð ¨· ® ¹ µ µ Ŷ¨
与极值点判断类似 ， f ( x ) 0 的点和 f ( x ) 不存在 的点，是拐点横坐标 的可疑点。
2(1 x 2 ) 2x （2） y 2 ， y 2 ， 2 ( x 1) x 1
（3）令 y 0 ，得 x 1 ， x 1 。
x y
曲线 y
Hale Waihona Puke (, 1)-1 0拐点 (-1，ln2)
(-1， 1) +
1 0
拐点 (1，ln2)
(1, )
例如： f ( x ) x 4 ， f ( x ) 12 x 2 ，有 f (0) 0 ，但 （0，0）不是拐点。
12
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
例 2．求曲线 y ln( x 1) 的凸向和拐点。
2
解： （1）函数的定义域为 (,) ；
则称函数 f 为区间 I 上的凸函数； 若总有 f ( p1 x1 p2 x2 ) p1 f ( x1 ) p1 f ( x2 ) ，则称函数 f 为区间 I 上的凹函数。
3
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
y
y f ( x)
y
A
o a x1
D B
C
x
x2 b x
2
x2 x x x1 令 p1 , p2 ， 则 p1 0 ， p2 0 且 p1 p2 1 ， x2 x1 x2 x1
第四、六节 曲线凹凸性及函数图形描绘
x→x0 x→x0 x→x0
x 则 = x0是 数 = f ( x)的 条 直 近 . 函 y 一 垂 渐 线
y C o x y o
x0
x
曲 例1 求 线 y =
1 的 平 近 . 水 渐 线 x −1
y
2 1 -2 -1 -1 -2
y = ( x −1)
−1
1 解 Qlim =0 x→ x −1 ∞
1 一条水平渐近线 ∴ y = 0 是y = x −1
1 曲 的 垂 近 . 铅 渐 线 例2 求 线 y = x −1
O 1
2
x
1 1 解 Qlim = −∞, lim = +∞, − + x→ x −1 1 x→ x −1 1
∴x =1 y = f (x)的 条 垂 近 . 为 一 铅 渐 线
利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 分析法作图
[ (2) f ′′( x) < 0, 则 ( x)在a,b]上的图形是凸的 f .
例1 判断函数 y = ln x的凹凸性 . 解 y 的定义域为 (0,+∞ )
1 Q y′ = x
y ′′ = − 1 x2
∴ 在(0， ∞ )内，有 y′′ < 0 +
例2 判断 y = x 3 的凹凸性 . 解
2 y ′′ = 36 x − 24 x = 36 x x − 令 y′′ = 0 3 列表
x2 =
2 3
x y" y
(−∞,0)
0 0
1(拐点)
2 , 0 3
+
－
0
11 (拐 ) 点 27
x 则 = x0是 数 = f ( x)的 条 直 近 . 函 y 一 垂 渐 线
y C o x y o
x0
x
曲 例1 求 线 y =
1 的 平 近 . 水 渐 线 x −1
y
2 1 -2 -1 -1 -2
y = ( x −1)
−1
1 解 Qlim =0 x→ x −1 ∞
1 一条水平渐近线 ∴ y = 0 是y = x −1
1 曲 的 垂 近 . 铅 渐 线 例2 求 线 y = x −1
O 1
2
x
1 1 解 Qlim = −∞, lim = +∞, − + x→ x −1 1 x→ x −1 1
∴x =1 y = f (x)的 条 垂 近 . 为 一 铅 渐 线
利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 分析法作图
[ (2) f ′′( x) < 0, 则 ( x)在a,b]上的图形是凸的 f .
例1 判断函数 y = ln x的凹凸性 . 解 y 的定义域为 (0,+∞ )
1 Q y′ = x
y ′′ = − 1 x2
∴ 在(0， ∞ )内，有 y′′ < 0 +
例2 判断 y = x 3 的凹凸性 . 解
2 y ′′ = 36 x − 24 x = 36 x x − 令 y′′ = 0 3 列表
x2 =
2 3
x y" y
(−∞,0)
0 0
1(拐点)
2 , 0 3
+
－
0
11 (拐 ) 点 27
高等数学3.4 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘
本题也可以下表给出解答：
x f (x) f (x)
( , 2)
2 0
拐点(2, 3)
(2, + ) +
其中 ， 分别表示曲线凸和凹.
例 4 讨论曲线 y = ln(1 + x2) 的凹凸区间与拐点. 解 定义域为( , ). 因为
y 2x , 1 x2
y
2(1 x 2 ) (1 x 2 )2
O1
x
-1
曲线 y x3 是凹的．
所以，点(0,0) 为曲线 y x3 的拐点．
例 3 讨论曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 的凹凸 区间与拐点．
解 定义域为( , ).
因为
f (x) = 3x2 - 12x + 9，
f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )， 令 f (x) = 0，可得 x = 2.
当 x ( , 2) 时，f (x) < 0， 此区间是凸区间． 当 x (2, + ) 时，f (x) > 0， 此区间是凹区间．
当 x = 2 时， f (x) = 0，因 f (x) 在 x = 2 的两 侧变号，而 f (2) = 3， 所以 (2, 3)是该曲线的拐点.
(2) 用上述各点按照从小到大依次将(a,b) 分成小 区间,再在每个小区间上考察 f (x) 的符号；
(3) 若 f (x) 在某点 xi 两侧近旁异号，则(xi , f (xi )) 是曲线y = f (x)的拐点，否则不是．
例 2 曲线 y x3的定义域为(,)，画其草图．
则称直线
x = x0近线.
例如， 对于曲线 y = ln x 来说， 因为
x f (x) f (x)
( , 2)
2 0
拐点(2, 3)
(2, + ) +
其中 ， 分别表示曲线凸和凹.
例 4 讨论曲线 y = ln(1 + x2) 的凹凸区间与拐点. 解 定义域为( , ). 因为
y 2x , 1 x2
y
2(1 x 2 ) (1 x 2 )2
O1
x
-1
曲线 y x3 是凹的．
所以，点(0,0) 为曲线 y x3 的拐点．
例 3 讨论曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 的凹凸 区间与拐点．
解 定义域为( , ).
因为
f (x) = 3x2 - 12x + 9，
f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )， 令 f (x) = 0，可得 x = 2.
当 x ( , 2) 时，f (x) < 0， 此区间是凸区间． 当 x (2, + ) 时，f (x) > 0， 此区间是凹区间．
当 x = 2 时， f (x) = 0，因 f (x) 在 x = 2 的两 侧变号，而 f (2) = 3， 所以 (2, 3)是该曲线的拐点.
(2) 用上述各点按照从小到大依次将(a,b) 分成小 区间,再在每个小区间上考察 f (x) 的符号；
(3) 若 f (x) 在某点 xi 两侧近旁异号，则(xi , f (xi )) 是曲线y = f (x)的拐点，否则不是．
例 2 曲线 y x3的定义域为(,)，画其草图．
则称直线
x = x0近线.
例如， 对于曲线 y = ln x 来说， 因为
凹凸性、渐近线、作图
或二阶导数不存在的点； （4）检验各点两侧二阶导数的符号,如果
符号不同,该点就是拐点的横坐标；
（5）求出拐点的纵坐标．
例2.求曲线 y5x33x27x1凹、凸区间 及拐点．
解：函数的定义域为 (,)
y'15x26x7, y''30x6
令 y '' 0, 得 x 1 , 没有二阶导数不存在的点 列表如下：5
解:
y 4 x3 , y 12x2
当x 0时，y 0; x 0时 , y 0,
y Ox
故曲线 y x 4 在 (, ) 上是凹的.
说明：若在某点二阶导数为0,在其两侧二 阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变 .
求拐点的一般步骤：
（1）求函数的定义域； （2）求二阶导数； （3）求定义域内使二阶导数等于零
2
o
2
x
o
2
x
2020/6/8
20
例5.求曲线 f (x) 1 的铅直渐近线．
x(x 1)
解 因为 lim 1 ,
x0 x(x 1)
lim 1 x1 x(x 1)
所以 x 0 和x 1 是曲线的两条铅直渐近线．
y=1/x(x-1) 10
5
y
0 x=0 x=1
-5
-10 -10
2020/6/8
若(x0, f (x0 ))为 f (x)的
x
拐点,则有f (x0 ) 0.
o x0
2020/6/8
8
定理2（拐点的充分条件）
设f 在点x0的某邻域内有二阶, 导 若f 在x0两侧异号 ,则(x0, f (x0))是f 的一 个拐点 .
2020/6/8
9
符号不同,该点就是拐点的横坐标；
（5）求出拐点的纵坐标．
例2.求曲线 y5x33x27x1凹、凸区间 及拐点．
解：函数的定义域为 (,)
y'15x26x7, y''30x6
令 y '' 0, 得 x 1 , 没有二阶导数不存在的点 列表如下：5
解:
y 4 x3 , y 12x2
当x 0时，y 0; x 0时 , y 0,
y Ox
故曲线 y x 4 在 (, ) 上是凹的.
说明：若在某点二阶导数为0,在其两侧二 阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变 .
求拐点的一般步骤：
（1）求函数的定义域； （2）求二阶导数； （3）求定义域内使二阶导数等于零
2
o
2
x
o
2
x
2020/6/8
20
例5.求曲线 f (x) 1 的铅直渐近线．
x(x 1)
解 因为 lim 1 ,
x0 x(x 1)
lim 1 x1 x(x 1)
所以 x 0 和x 1 是曲线的两条铅直渐近线．
y=1/x(x-1) 10
5
y
0 x=0 x=1
-5
-10 -10
2020/6/8
若(x0, f (x0 ))为 f (x)的
x
拐点,则有f (x0 ) 0.
o x0
2020/6/8
8
定理2（拐点的充分条件）
设f 在点x0的某邻域内有二阶, 导 若f 在x0两侧异号 ,则(x0, f (x0))是f 的一 个拐点 .
2020/6/8
9
函数的性质曲线的凹凸性与分析作图法
9
1
y 10(x2)13 10
9
9
1 0[1
(x
2)3 ]
1
9( x 2)3
x1 3 时 y 0 ; x 2 2 时 y 不存在
(3)列表
1
y 10(x2)13 10
9
9
10[1
(x
2)3 ]
1
9( x 2)3
x1 3 时 y 0; x 2 2 时 y 不存在
x
(, 2) 2 (2,3) 3 (3, )
f (x)
0
0
f(x) f (x)
0
极大值
拐点
32 27
( 1 , 16 ) 3 27
y
极小值
0
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
1
x
3
3
yx3x2x1
四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是 导数应用的综合考察.
y
凸的
单增
yf(x)
极
凹的
拐 点
大 值
0
拐点
(3, 26) 9
极小值
3
lx i m f(x)lx i [m 4(x x 21)2]2, 得水平渐近 y线 2;
lx i0m f(x)lx i0[m 4(x x 21)2] ,得 垂 直 渐 近 线 x 0 .
补充点: (13 ,0 ),(13 ,0 );
A(1,2), 作图
B(1,6), C(2,1). y
1、 曲线 y e x 的水平渐近线为_______________.
2、 曲线 y 1 的水平渐近线为______________， x1
第四节 曲线的凹向,渐近线及图像的描绘
上一页下一页 返回
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察.
y
下凹
单增
y f (x)
极
上凹
拐 点
大 值
最
小
值
a
o
单减
最 大 值 极 小 值
bx
上一页下一页 返回
思考题
设 f ( x)在(a, b)内二阶可导，且 f ( x0 ) 0 ， 其中 x0 (a, b)，则( x0 , f ( x0 ))是否一定为 曲线 f ( x)的拐点？举例说明.
上一页下一页 返回
y
o
x
上一页下一页 返回
四、渐近线
定义: 当曲线 y f ( x) 上的一动点 P 沿着曲线 移向无穷点时, 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零, 那么直线 L 就称为曲线 y f ( x) 的 一条渐近线.
1.铅垂渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
如果 lim f (x) 或 lim f (x)
第三章 导数的应用
第四节 曲线的凹凸性与拐点及函数图 形的描绘
在讨论函数图形的时候，仅仅知道函数的单调性 是不够的，如图：
y y x2
y x 1
01
x
上一页下一页 返回
• 学习要求 • 能熟练地求出函数的水平渐近线和铅垂渐近线 • 熟练掌握判断函数的凹向与拐点的方法 • 了解函数图形描绘的步骤
例如，曲线 y x2在区间（0，1）是上凹的，而曲线 y x 在区间（0，1）是下凹的。
上一页下一页 返回
二、曲线凹向的判定
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A A
凹凸性、渐近线、作图资料
[解] 定义域：(,), 是偶函数.
因 为 lim e x2 0, 所 以 直 线y 0 x
是 水 平 渐 近 线.
y 2xex2
y 2ex2 (2x2 1)
令 y 0 驻点：x 0
令 y 0 x 1
10/15/2019
令 y '' 0, 得 x 1 , 没有二阶导数不存在的点 列表如下：5
x
(,
1 )
5
y '' -
y凸
1
5
0
8 25
拐点
(1 , ) 5
+
凹
在 x 1 两侧 y ''符号发生改变,则(1 , 8 )是拐点．
5
5 25
1
例3.求曲线 y x3 的拐点．
1
解:函数 y x3 的定义域为 (, )
函数的凹凸性、渐近线 与作图
一、函数的凹凸性 二、曲线的渐近线 三、函数作图
10/15/2019
1
一、函数的凹凸性
若在某区间内,曲线上每一点的切线都位 于该曲线的下方,则称曲线在该区间内是凹的； 若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方，
则称曲线在该区间内是凸的．
(a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方
f (x2 )
则称f (x)在该区间上的图形是凸的.
10/15/2019
4
凹曲线的一阶导数变化规律：
若 f (x)是凹函数,则 f (x)单调增加；
10/15/2019
5
凸曲线的一阶导数变化规律：
若 f (x)是凸函数,则 f (x)单调减少.
10/15/2019
6
因 为 lim e x2 0, 所 以 直 线y 0 x
是 水 平 渐 近 线.
y 2xex2
y 2ex2 (2x2 1)
令 y 0 驻点：x 0
令 y 0 x 1
10/15/2019
令 y '' 0, 得 x 1 , 没有二阶导数不存在的点 列表如下：5
x
(,
1 )
5
y '' -
y凸
1
5
0
8 25
拐点
(1 , ) 5
+
凹
在 x 1 两侧 y ''符号发生改变,则(1 , 8 )是拐点．
5
5 25
1
例3.求曲线 y x3 的拐点．
1
解:函数 y x3 的定义域为 (, )
函数的凹凸性、渐近线 与作图
一、函数的凹凸性 二、曲线的渐近线 三、函数作图
10/15/2019
1
一、函数的凹凸性
若在某区间内,曲线上每一点的切线都位 于该曲线的下方,则称曲线在该区间内是凹的； 若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方，
则称曲线在该区间内是凸的．
(a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方
f (x2 )
则称f (x)在该区间上的图形是凸的.
10/15/2019
4
凹曲线的一阶导数变化规律：
若 f (x)是凹函数,则 f (x)单调增加；
10/15/2019
5
凸曲线的一阶导数变化规律：
若 f (x)是凸函数,则 f (x)单调减少.
10/15/2019
6
4.6函数的凹凸渐近线图形
例5 求曲线y x2 的渐近线. 1 x
解 无水平渐近线，x=-1为垂直渐近线．
又 lim f ( x) lim x 1
x x
x 1 x
所以
lim [ f (x) ax] lim [ x2 x] 1
x
x 1 x
所 以 b 1
a1
于是曲线有斜渐近线 y x 1
注意: 如果
(1) lim f ( x) 不存在; x x
第六节 函数的凸性(concavity) 、曲线的拐点
(point of inflexion)及渐近线(asymptote)
一、函数的凸性、曲线的拐点
f (x) x2 g(x) x
在(0,)上都是单调递增的,但它 们增长的方式不同,从几何上来 看，两条曲线弯曲的方向不同.
函数图形向上或向下凸的性质 称为函数的凸性.
y
g(x) x 1
o f (x) x2 1
x
C
B
D A
f '( x) 0
递增
y
y
o
x1
x1 x2 2
x x2
图形上任意弧段在弦的下方
f
x1
2
x2
f x1
2
f x2
o
x1 x1 x2
x2
x
2
图形上任意弧段在弦的上方
f
x1
2
x2
f x1
2
f x2
定义1：设 f (x)在区间 I 上连续，
驻点、不可导点等； 4.确定函数的单调区间、极值点、凸凹区间以及拐点； 5.求函数的渐近线； 6.综合以上讨论画出函数图像。
下凸、单调增, 上凸、单调增,
下凸、单调减, 上凸、单调减,
曲线的凹凸性和拐点、函数图像的描绘
高等数学
曲线的凹凸性和拐点、函数图 像的描绘
一、曲线的凹凸性与拐点 1．曲线凹凸性的定义及其判定
首先观察图3-9所示的两条曲线。
图3-9
如图3-9所示，有一类曲线向上弯曲，它在任何点处的切 线总位于曲线的下方；另一类曲线向下弯曲，它在任何点处的 切线总位于曲线的上方，由此我们给出关于曲线凹凸的定义：
x x0
则称直线 x x0 为曲线 y f (x)的垂直渐近线。
其一般步骤如下：
2．函数图像的描绘
（1）确定函数 y f (x) 的定义域、间断点及函数所具有的某些特 性（如奇偶性、周期性等）； （2）求出函数的一阶导数 f (x) 和二阶导数 f (x)，解方程
f (x)=0，f (x) 0 在定义域内的全部实根及 f (x) 和 f (x)不存在的 点，应用这些根和点，将函数的定义域划分为若干个子区间； （3）列表讨论 f (x)和 f (x) 在（2）中所得各子区间内的符号，由 此确定函数的单调性、极值、曲线的凹凸性和拐点； （4）如有渐近线，求出渐近线，并确定其他变化趋势； （5）求辅助点，如曲线与坐标轴的交点等； （6）在直角坐标系中，根据上面讨论，描点作图。
例2 求曲线 y x4 2x3 1 的凹凸点区间和拐点。 解 函数 y x4 2x3 1 的定义域为( ， )
y 4x3 6x2 y 12x2 12x 12x(x 1) ， 令 y 0，得 x 0 和 x 1。 列表讨论如下：
x y
曲线
( ，0) +
0 0 拐点 （0，1）
如果将定理中的区间改为其他区间，结论仍然成立。
例1 判定曲线 y x3 的凹凸性。 解 函数的定义域为 ( ， ) ，y 3x2，y 6x
（当 x 0 时，y 0 ，故曲线在 ( ，0] 内是凸的；当 x 0 时，y 0，股曲线在 [0 ， ) 内是凹的；当x 0时，y 0。 点（0，0）是曲线 y x3由凸变凹的分界点（图3-11）
曲线的凹凸性和拐点、函数图 像的描绘
一、曲线的凹凸性与拐点 1．曲线凹凸性的定义及其判定
首先观察图3-9所示的两条曲线。
图3-9
如图3-9所示，有一类曲线向上弯曲，它在任何点处的切 线总位于曲线的下方；另一类曲线向下弯曲，它在任何点处的 切线总位于曲线的上方，由此我们给出关于曲线凹凸的定义：
x x0
则称直线 x x0 为曲线 y f (x)的垂直渐近线。
其一般步骤如下：
2．函数图像的描绘
（1）确定函数 y f (x) 的定义域、间断点及函数所具有的某些特 性（如奇偶性、周期性等）； （2）求出函数的一阶导数 f (x) 和二阶导数 f (x)，解方程
f (x)=0，f (x) 0 在定义域内的全部实根及 f (x) 和 f (x)不存在的 点，应用这些根和点，将函数的定义域划分为若干个子区间； （3）列表讨论 f (x)和 f (x) 在（2）中所得各子区间内的符号，由 此确定函数的单调性、极值、曲线的凹凸性和拐点； （4）如有渐近线，求出渐近线，并确定其他变化趋势； （5）求辅助点，如曲线与坐标轴的交点等； （6）在直角坐标系中，根据上面讨论，描点作图。
例2 求曲线 y x4 2x3 1 的凹凸点区间和拐点。 解 函数 y x4 2x3 1 的定义域为( ， )
y 4x3 6x2 y 12x2 12x 12x(x 1) ， 令 y 0，得 x 0 和 x 1。 列表讨论如下：
x y
曲线
( ，0) +
0 0 拐点 （0，1）
如果将定理中的区间改为其他区间，结论仍然成立。
例1 判定曲线 y x3 的凹凸性。 解 函数的定义域为 ( ， ) ，y 3x2，y 6x
（当 x 0 时，y 0 ，故曲线在 ( ，0] 内是凸的；当 x 0 时，y 0，股曲线在 [0 ， ) 内是凹的；当x 0时，y 0。 点（0，0）是曲线 y x3由凸变凹的分界点（图3-11）
曲线的凹向及函数图形描绘
x1
y
来说，因li为 m 1 0. 所以
x x1
直 线 y0是 曲•线 y
1
o
的水平
x1
渐近线。
yf(x)
1
x
返回
又如 •y曲 ar线 c， tg因 x 为
lia m r c • t• g•x •l• ia • m •r• c •.t ••g ••x
x
返回
例1 讨论 f（ x ） 曲 x 3 线 6x 29x1 的凹 间与拐点.
解 定义 ， 域 ） 为 ， f（ x （ ） 因 3 x 2 为 1x 29，
f ( x ) 6 x 1 6 2 ( x 2 ) 令 f,（ x） 0 ，可 x2.得 当 x （ ， 2）时 f（ x ， ） 0，此区间
返回
例2 讨论曲 y线 ln（ 1x2）的凹凸区间 . 与
解 定义 ， 域 ） .因 为 y 为 1 （ 2 x x 2，
y
2(1 x2 )， (1 x2 )2
令 y 0 ， x 1 得 ， x 1 .
x (,1)
1
f ( x)
x
(1,)
y
y
y
因为
lim ln(x21) ,
x 1
的单调区间 将上述讨论列为下表
x (,1) 1 (1,0) 0
(0,1)
y(x) 0
1 (1,)
0
y(x) y
极小值 2
0
拐点 ( 0 ，0 )
极大值 2
••令 y0 ， 可y 知 3xx 曲 3 与 x 轴 线 交 x3 在
y
来说，因li为 m 1 0. 所以
x x1
直 线 y0是 曲•线 y
1
o
的水平
x1
渐近线。
yf(x)
1
x
返回
又如 •y曲 ar线 c， tg因 x 为
lia m r c • t• g•x •l• ia • m •r• c •.t ••g ••x
x
返回
例1 讨论 f（ x ） 曲 x 3 线 6x 29x1 的凹 间与拐点.
解 定义 ， 域 ） 为 ， f（ x （ ） 因 3 x 2 为 1x 29，
f ( x ) 6 x 1 6 2 ( x 2 ) 令 f,（ x） 0 ，可 x2.得 当 x （ ， 2）时 f（ x ， ） 0，此区间
返回
例2 讨论曲 y线 ln（ 1x2）的凹凸区间 . 与
解 定义 ， 域 ） .因 为 y 为 1 （ 2 x x 2，
y
2(1 x2 )， (1 x2 )2
令 y 0 ， x 1 得 ， x 1 .
x (,1)
1
f ( x)
x
(1,)
y
y
y
因为
lim ln(x21) ,
x 1
的单调区间 将上述讨论列为下表
x (,1) 1 (1,0) 0
(0,1)
y(x) 0
1 (1,)
0
y(x) y
极小值 2
0
拐点 ( 0 ，0 )
极大值 2
••令 y0 ， 可y 知 3xx 曲 3 与 x 轴 线 交 x3 在
高等数学第三章第5节函数的凹凸性、拐点与函数图形的描绘
- 12 -
第五节
曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描绘
例6
第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用
确定常数a, b, c, 使得函数 y x 3 ax 2 bx c
有拐点(1,-1)，且在x =0处的切线斜率为1。
解
由于曲线有拐点 (1, 1), 因此
x 1
y x 1 ( x 3 ax 2 bx c )
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点, 则 f ( x ) [ f ( x )]在x0两边变号,
f ( x )在x0取得极值, 由可导函数取得极值的条件, f ( x ) 0.
-6-
第五节
曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描绘
根据定理2可知: 如果 y f ( x ) 在 x0 处连续, 且
有铅直渐近线两条:
x 2,
- 15 -
x 3.
第五节
曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描绘
(2)
第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用
水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线 )
x x
如果 lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) b (b 为常数), 那么
拐点
上凸 上凸
- 10 -
y
6 1 (6 , 5 5 (5) )
2 3
上凹
第五节
曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描绘
第 三 曲线 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用
6 6 6 6 1 3 上凸区间 ( , ), 上凹区间[ ,), 拐点为 ( , ( ) ) 5 5 5 5 5 注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能是连续
第五节
曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描绘
例6
第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用
确定常数a, b, c, 使得函数 y x 3 ax 2 bx c
有拐点(1,-1)，且在x =0处的切线斜率为1。
解
由于曲线有拐点 (1, 1), 因此
x 1
y x 1 ( x 3 ax 2 bx c )
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点, 则 f ( x ) [ f ( x )]在x0两边变号,
f ( x )在x0取得极值, 由可导函数取得极值的条件, f ( x ) 0.
-6-
第五节
曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描绘
根据定理2可知: 如果 y f ( x ) 在 x0 处连续, 且
有铅直渐近线两条:
x 2,
- 15 -
x 3.
第五节
曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描绘
(2)
第 三 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用
水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线 )
x x
如果 lim f ( x ) b 或 lim f ( x ) b (b 为常数), 那么
拐点
上凸 上凸
- 10 -
y
6 1 (6 , 5 5 (5) )
2 3
上凹
第五节
曲线的凹凸性、拐点与函数图形的描绘
第 三 曲线 章 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用
6 6 6 6 1 3 上凸区间 ( , ), 上凹区间[ ,), 拐点为 ( , ( ) ) 5 5 5 5 5 注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能是连续
函数的凸性
移向无穷点时 , 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零 , 那么直线 L 就称为曲线 y = f ( x ) 的 一条渐近线 .
1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线 )
如果
+ x → x0
lim f ( x ) = ∞ 或 lim f ( x ) = ∞
− x → x0
那么 x = x0 就是 y = f ( x ) 的一条铅直渐近线 .
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
2007年8月
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
2
南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁
定义（凸函数与凹函数） 设f : I → R，若∀x1 , x2 ∈ I，∀λ ∈ [0,1]有 则称f 为I上的凸函数； 若∀x1 ≠ x2 ∈ I，∀λ ∈ (0,1)有
x → −∞
那么 y = b 就是 y = f ( x ) 的一条水平渐近线 .
例如
y = arctan x ,
π 有水平渐近线两条: y = , 2
2007年8月
π y=− . 2
18
南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁
3.斜渐近线
如果
x → +∞ x → −∞
lim [ f ( x ) − (ax + b )] = 0
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁
9
三、曲线的拐点及其求法
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.
2.拐点的求法
定理 2 如果 f ( x )在( x0 − δ , x0 + δ )内存在二阶导 数,则点( x0 , f ( x0 ) )是拐点的必要条件是 f " ( x0 ) = 0 .
1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线 )
如果
+ x → x0
lim f ( x ) = ∞ 或 lim f ( x ) = ∞
− x → x0
那么 x = x0 就是 y = f ( x ) 的一条铅直渐近线 .
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
2007年8月
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
2
南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁
定义（凸函数与凹函数） 设f : I → R，若∀x1 , x2 ∈ I，∀λ ∈ [0,1]有 则称f 为I上的凸函数； 若∀x1 ≠ x2 ∈ I，∀λ ∈ (0,1)有
x → −∞
那么 y = b 就是 y = f ( x ) 的一条水平渐近线 .
例如
y = arctan x ,
π 有水平渐近线两条: y = , 2
2007年8月
π y=− . 2
18
南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁
3.斜渐近线
如果
x → +∞ x → −∞
lim [ f ( x ) − (ax + b )] = 0
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁
9
三、曲线的拐点及其求法
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.
2.拐点的求法
定理 2 如果 f ( x )在( x0 − δ , x0 + δ )内存在二阶导 数,则点( x0 , f ( x0 ) )是拐点的必要条件是 f " ( x0 ) = 0 .
3.5函数的凹凸性、曲线的拐点及渐近线
o
x
图形上弧段总是位于任
意切线的上方……凹弧
y
y f (x)
方，则称曲线弧AB是向上凹的或
称凹弧（向上凸的，或称凸弧）， o
x
记为“∪”(“∩”)。
图形上弧段总是位于任 意切线的下方……凸弧
分析：
y
y f (x) B
y f (x)
y
B
A A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
oa
bx
f ( x) 递减 y 0
例8
描绘函数
y
4
x 1
x2
2的图形
解：1）定义域为 ，0 0，
2)
y
4x
x3
2
,
由y 0,得x 2
y
8x 3，
x4
由y 0得x
3;
3）列表确定函数及曲线的特性
3）列表确定函数及曲线的特性
x ,3 3 3,2 2 2,0
y
0
y
0
y f x
拐点 3， 26
9
极小值 3
1
有垂直渐近线
x =-1,x =1
3.曲线的斜渐近线
若 lim f x a, lim f x ax b ，则直线
x x
x
y = ax +b 是曲线 y = f (x)的斜渐近线.
例7
求曲线
y
x3 x2 2x 3
的斜渐近线.
x3
解：因为 lim f x lim x2 2x 3 1, 所以a 1
改变弯曲方向的点——拐点;
凹凸性的判定.
2.应用
拐点的求法.
1.水平渐近线
二、曲线的渐近线
曲线的凹凸性、渐近线 及函数图形的描绘
3 2 y 3 x 2 x 1 ，讨论曲线的凹凸性． 例1 设
讨论：要解决这个“未知”，需要用什么做“已知”？为了 解 定义域 (, ) ， 由y 3 x 3 2 x 2 1 求得， 利用这个“已知”首先应做什么？ y 18 x 4 y 9 x 2 4 x
满 足 y 0 的 点 不 一 定 对 应 函 数 曲 线 的 拐 点 , 如
y x 4 (见例 6),如 y 3 x ,当 x 0 时,其二阶导数不存
在， 但(0,0)是其拐点(请自己验证).由此来看,找函数的 拐点时应从二阶导数为零的点及二阶导数不存在的点 处考虑.
上页 目录 下页
定理 1 设函数 y f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内二阶可导．
若对任意的 x (a, b) ，都有 f ( x ) 0 ，那么曲线在 ( a , b ) 内是凹的； 若对任意的 x (a, b) ，都有 f ( x ) 0 ，那么曲线在 ( a , b ) 内是凸的．
y 2 xe
x2
, y 2(2 x 1)e
2
x2
,
1 2 ,
解方程 y 0, 得函数的驻点x=0; 解方程 y 0, 得 x
为讨论该函数在 [0, ) 上的单调性、极值及其图像的凹凸 性与拐点，列表分析如下
f ( x ) n(n 1) x n2 0 ，
因此在 (0, ) 上，函数是凹的．
由定义 2，对 x 0, y 0, x y 我们有
x y f ( x) f ( y) f( ) ， 2 2
即
1 n x y n ( x yn ) ( ) ( x 0, y 0, x y , n 1) ． 2 2
函数的凹凸性与作图.ppt
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5：证明不等式
例5.4 例5.5
1 (xn yn ) ( x y )n (x 0, y 0, x y, n 1)
2
2
证明：设 f (t) tn (t 0,n 1) 则
f (t) ntn1, f (t) n(n 1)tn2,
当 t 0,n 1 时，有 f (t) 0
x x x k lim f (x)
x x
(或x )
lim [ f (x) k b ] 0
x x
x
b lim [ f (x) kx]
x (或x )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求曲线
的渐近线 .
解: y
x3
, lim y ,
(x 3)(x 1) x3
(或x 1)
即上述 f（t）为下凸函数，于是对任意 x 0, y 0 有：
1 (xn yn) ( x y)n
2
2
二、 曲线的渐近线
定义3 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M y k x b
例如, 双曲线
L PN
o
x
有渐近线
x y0
y
ab
但抛物线
无渐近线 .
ox
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1. 水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或x )
若
则曲线
有垂直渐近线 x x0 .
(或x x0 )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
y
(, 0)
y
y
0 0
(0,1)
2
(1, 2)
2
(2, )
2
0
上页
目录
下页
由上表可知函数在区间[0， 1） 、 （1， 2]单调递减， 在 ( , 0] 、
[2, ) 单调递增；
曲线在区间 (, 1) 是凸的，在 (1, ) 是凹的．
x
函数在定义域内是单调下降 函数在定义域内是单调递增的, 为了更好的反映函数的变化性态，再来研 的，但它的图形也是弯曲的， 但它的图形在上升的过程中是弯 究函数另外的性质——函数的凹凸性． 曲的,而且弯曲的方式是不同的 , 起初是凹的，后来变成是凸 的. 图形先是凹的,后变为凸的；
上页 目录 下页
１．曲线的凹凸性
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) ， 2 2
则称曲线 y f ( x) 在区间 I 上是凸的，称 I 为函数 y f ( x) 的凸区间．
上页 目录 下页
前面已经利用函数的一阶导数研究了函数的单调性, 看来要研究函数的凸性就不能再单单依靠一阶导数了. 下面的定理给出了利用函数的二阶导数来判别函数凸性 的方法．
二、渐近线
y
观察下图,它们有什么特点？
y
y 1 2 e
x2 2
y tan x
水平渐近线
O
O
2
x
x
铅直渐近线
f ( x ) a （或 x 仅趋于 或 时 f ( x ) a ） 若 lim ， x
则称直线 y a 为曲线 y f ( x ) 的水平渐近线． 它们都有 lim f ( x ) 若 x x0 （或 x 从 x0 的一侧趋于 x0 时 f ( x ) ） ， 渐近线. 则称直线 x x0 为曲线 y f ( x ) 的铅直渐近线.
f ( x ) n(n 1) x n2 0 ，
因此在 (0, ) 上，函数是凹的．
由定义 2，对 x 0, y 0, x y 我们有
x y f ( x) f ( y) f( ) ， 2 2
即
1 n x y n ( x yn ) ( ) ( x 0, y 0, x y , n 1) ． 2 2
3 y x 即曲线 的凹、凸性区间分别是 (, 0),(0, ) ，
原点 (0, 0) 是曲线的拐点．
上页
目录
下页
3 2 y 2 x 3 x 12 x 14 的拐点． 例 4 求曲线
3 2 y 2 x 3 x 12 x 14 得， . ( , ) 解 定义域为 由 ， 分析：由二阶导数的符号判断曲线的凹凸性，并求得拐点
上页
目录
下页
例3
3 y x 求曲线 的凹凸性区间，并找出其拐点．
分析：由二阶导数的符号判断曲线的凹凸性，并求得拐点.
3 ( , ) y x 解 定义域为 ， 由 知， y 6 x ．
因此，当 x 0 时， y 0 ，由定理 2，曲线是凹的；
同样的理由，当 x 0 时，曲线是凸的．
上页
目录
下页
2．曲线的拐点
y
M
O
x
由左图可以看到， 曲线在点M的两侧有不 同的凹凸性，我们把点 M称为曲线的拐点.
定义
如果 y f ( x ) 在 x x0 点连续，且在曲线上的点
( x0 , f ( x0 )) 两侧， 曲线有不同的凸性， 则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为
曲线的拐点．
应由二阶导数等于0求得分界点.
上页 目录 下页
例2
1 n x y n n ) 证明 ( x y ) ( 2 2
( x 0, y 0, x y , n 1)
分析：从形式上看可以采用函数凹凸性的定义来证明，想 一想这里的函数表达式是什么样的？
n 证 对函数 f ( x ) x (n 1) ，当 x 0 时，
4 即曲线 y x 在 (, ) 上都是的凹的. 曲线无拐点．
上页
目录
下页
讨论：分析例 3、4、5、6，您看满足 y 0 的点一定对应 函数曲线的拐点吗？如果不是，有反例吗？拐点的横坐标 一定满足 y 0 吗？能举例说明吗？由此来看， 找函数的拐 点时应从哪些点处考虑？
上页
目录
下页
x1 x2 , 记 x0 证明 在[a,b]内任取两点x1, x2(不妨设x1< x2 )， 2 为下面叙述方便起见，不妨设 x2 x0 x0 x1 h.
在区间[x1, x0],[x0, x2],上分别用拉格朗日中值定理，得
f ( x2 ) f ( x0 ) f (1 )h, f ( x0 ) f ( x1 ) f (2 )h,
y y
凹
O
f ( x1 ) f ( x2 ) 2 x1 x2 f( ) 2 x1 x2 x2 x 2
x1 x2 f( ) 2
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
O
凸
x1
x1 x1 x2 x2 2
x
对于该区间内的任意两点x1, x2
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) ; 2 2 f( x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ) . 2 2
y 6 x 2 6 x 12,
1 x 解方程 y 0 得 2，
1 y 12 x 6 12( x ) 2
1 1 x 并且当 x 2 时， y 0; 当 2 时 y 0．
1 x 这就是说，曲线在对应 2 的点的两侧具有不同的凹凸性， 1 x 因此曲线上对应 2 的点是曲线的拐点． 41 1 41 y 1 ( , ) 由于 x 2 2 ，因此点 2 2 是曲线的拐点．
上页 目录 下页
讨论：前面讨论了利用函数的单调性证明不等式，现 在又利用函数的凹凸性证明了不等式，在本章第一节 我们还利用拉格朗日中值公式证明了不等式，请比较 这三种方法各自的特点．
利用凹凸性证明不等式时，含有函数在三个点处的 函数值，而且其中一点是另外两个点的中点； 利用拉格朗日中值公式证明不等式时，需要含有函 数的增量，即函数在两点处的函数值的差； 不具备上述特点时，考虑利用单调性证明不等式.
虽然在 x 1 的两侧所对应的曲线有不同的凹凸性，但是该 函数在 x 1 处无定义，因此曲线没有拐点．
4 y x 例6 的凹凸性区间，并找出其拐点．
4 2 ( , ) y x y 12 x 解 定义域为 ， 由 知， ．
解方程 y 0 得 x 0 ，并且当 x 0 或 x 0 时，都有 y 0 ．
第三章 微分中值定理 与导数的应用
上页 目录 下页
第五节 曲线的凹凸性、渐近线 及函数图形的描绘
一 、曲线的凹凸性与拐点
二 、渐近线
三、函数图形的描绘
上页 目录 下页
一、曲线的凹凸性与拐点
仅仅根据函数的单调性、极值等对刻画函数的形态 还是不够的.
y
y f ( x)
y
y f ( x)
0
x
0
3 2 y 3 x 2 x 1 ，讨论曲线的凹凸性． 例1 设
讨论：要解决这个“未知”，需要用什么做“已知”？为了 解 定义域 (, ) ， 由y 3 x 3 2 x 2 1 求得， 利用这个“已知”首先应做什么？ y 18 x 4 y 9 x 2 4 x
上页 目录 下页
三、函数图形的描绘
借助函数的单调性、凹凸性、拐点、极值以及渐近线等性 质，并利用一些特殊的点就可以比较准确地描绘出函数的 图形． 描绘函数图形的步骤： 1．考察函数的定义域、函数的奇偶性、周期性； 2．求出函数的导数，确定函数的单调区间及极值； 3．求出函数的二阶导数，确定曲线的凹凸区间及拐点． 4．考察函数图形的渐近线． 5．计算特殊点（不可微点，极值点、拐点等）以及容易 计算函数值的点（如与坐标轴的交点等）处的函数值． 6. 综合上述讨论，描绘函数图形.
上页 目录 下页
x2 y 例 5 讨论函数 x 1 在定义域内的单调性及其所对
应曲线的凹凸性，该曲线有拐点吗？ 2 x 解 函数 y 的定义域为 (,1),(1, ) x 1 x( x 2) 2 y y 2 并且 ( x 1) ， ( x 1)3 ．
这两个驻点将函数的定 我们看到，函数有两个驻点 x 0 及 x 2 ， 义域划分为 (, 0) ， (0,1) ， (1, 2) 及 (2, ) 四个区间.列表如下
上页 目录 下页
例7
描绘出函数 y e
x2
的图形．
分析：应根据图形描绘的步骤，先确定函数的定义域、 单调区间、极值、凸区间、拐点、渐近线及一些特殊点， 然后逐段描绘出函数图形. 解 函数的定义域为(, ). 由于函数为偶函数，其图 像关于y 轴对称，因此只要在区间 [0, ) 上讨论就可以了. 由于
y 2 xe
x2
, y 2(2 x 1)e
2
x2
,
1 2 ,
解方程 y 0, 得函数的驻点x=0; 解方程 y 0, 得 x
为讨论该函数在 [0, ) 上的单调性、极值及其图像的凹凸 性与拐点，列表分析如下
这两个不等式分别用解析的方法揭示了 函数图形的凹、凸性.
上页
目录
下页
于是我们有下面的函数凹凸性的定义：
定义 1 设函数 y f ( x) 在区间 I 上连续，如果对于 I 上的 任意两点 x1 , x2 ，恒有
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) ， 2 2